4. зкон полного тока. магнитные цепи

3.9. Закон полного тока. Магнитный поток. Магнитные цепи
3.9.1. В плоскости бесконечного проводника с током I = 100 А расположена прямоугольная рамка с длинной большей стороны l = 1 м.
Расстояние от рамки до проводника равно длине меньшей её стороны.
Определить величину магнитного потока, пронизывающего рамку.
Решение
1. Магнитный поток через замкнутую поверхность определяется уравнением

  Bn ds ,
(1)
s
где Вn  нормальная составляющая вектора
магнитной индукции, s  площадь контура. В
данном случае вектор магнитной В индукции
перпендикулярен плоскости рамки, поэтому на
всей площади рамки Вn = В.
2. Определим величину вектора магнитной
индукции поля, создаваемого бесконечным
проводником
 I
B 0 .
(2)
2x
3. Выделим элементарную площадку рамки ds и определим через неё
поток
(3)
d  Bx ds ,
где ds  dx  значение элементарной площадки.
4. Подставим в уравнение (3) значение магнитной индукции из
уравнения (2)
I
d  0 dx .
(4)
2x
5. Проинтегрируем уравнение (4) в пределах х1 = а, х2 = 2а
2a
 I dx  0 I
 I
2a
4 10 7 100 1
 0 

ln x a  0 ln 2 
 0,7  20 мкВб . (5)
2 a x
2
2
2
3.9.2. По соленоиду длиной l = 1 м без сердечника, имеющего N =
1000 витков, пропускают постоянный ток силой I = 20 А. Определить
циркуляцию вектора магнитной индукции вдоль контуров 1,2,3,4 и
5,6,7,8.
229
Решение
1. В соответствие с законом полного
тока для магнитного поля в вакууме
i n
B   B d   0  I i .
(1)
i 1
L
Контур 1,2,3,4 не охватывает токов, поэтому

B  B d  0 .
(2)
L
2. Контур 5,6,7,8 охватывает витки
соленоида, по которым течёт постоянный ток I. Магнитная индукция соленоида, расположенного в вакууме определяется уравнением
N
B  0 I .
(3)

3. Закон полного тока для рассматриваемого контура, таким образом, примет
вид
B   B d 
L
 0 NI 12,56 10 7 10 3  20

 0,025 Тл  м .

1
(4)
3.9.3. Вычислить циркуляцию вектора индукции вдоль контура,
охватывающего токи I1 = 10 А, I2 = 15 А, текущие в одном направлении, и ток силой I3 = 20 А, текущий в противоположном направлении.
Решение
1.Выберем контур 1,2,3,4 который
охватывает все заданные по условию токи
и воспользуемся для определения циркуляции вектора магнитной индукции законом полного тока
i n
B   B d   0  I i ,
L
(1)
i 1
который для данного случая будет выглядеть следующим образом
B   0
i3
I
i
  0 I1  I 2  I 3   12,56 10 7 10  15  20   6,28 мкТл . (2)
i1
230
3.9.4. По сечению проводника равномерно распределён ток плотностью j = 2 МА/м2. Определить циркуляцию вектора напряжённости
вдоль окружности радиусом R = 5 мм, расположенной внутри проводника, так что её плоскость составляет угол  = 300 с вектором плотности тока.
Решение
1. Определим величину силы тока, текущего по заданному круговому контуру радиуса R, с учётом того, что вектор плотности
тока j c внешней нормалью n составляет угол
 = (900  ) = 600
I  js cos   jR 2 cos  .
(1)
2. Найдём циркуляцию вектора напряжённости, создаваемой током I

H  H L d 
i n
I
i
 R 2 j cos ,
i 1
L
(2)
H  3,14  25 10  0,5  2 10  78,5 A.
6
6
3.9.5. Диаметр тороида R = 0,15 м имеет в сечении круг радиусом R
= 5 см. По обмотке тороида, содержащей N = 2000 витков, пропускают постоянный ток силой I =5 A. Используя закон полного тока определить минимальное и максимальное значение магнитной индукции В в
тороиде.
Решение
1. Магнитная индукция на оси тороида (в точке О)определяется уравнением
N
Bo   0
.
(1)
2R
2. Запишем закон полного тока в
общем виде
i N
 B d    I

0
i
.
(2)
i 1
L
3. Выберем далее два замкнутых контура, показанные на рисунке
пунктиром и запишем для них закон полного тока
B
max
d   0 NI ,
L1
B
L2
231
min
d   0 NI ,
(3)
4. Подставим в уравнения (3) соответствующие пределы и разрешим
полученные соотношения относительно магнитной индукции
2  ( R r )
B
d   0 NI , B max 2(R  r )   0 NI ,
(4)
 0 NI
2 10 7  2 10 3  5

 20 мТл .
2R  r 
0,1
(5)
max
0
Bmax 
2  ( R r )
B
min
d   0 NI , B min 2(R  r )   0 NI ,
(6)
0
 0 NI
2 10 7  2 10 3  5
(7)

 10 мТл .
2R  r 
0,2
Как видно из уравнений (5,7), полученные формулы для индукции тороида на разных его поверхностях в общем виде совпадают с уравнением (1), что подтверждает возможность использования закона полного
тока для определения параметров магнитных полей.
Bmin 
3.9.6. Соленоид с поперечным сечением s = 10  3 м2 по обмотке которого течёт ток силой I = 20 A имеет n = 1000 витков на 1 м длины.
Определить величину магнитного потока, создаваемого этим соленоидом.
Решение
1. Магнитный поток через поверхность площадью сечения s определяется уравнением

  Bn ds ,
(1)
s
где Bn  нормальная составляющая вектора магнитной индукции. Применительно к однородному полю соленоида уравнение (1) принимает
вид
 
(2)
  Bscos B; s  Bs ,

где s  вектор, направленный по внешней нормали к поверхности и
численно равный площади.
2. Определим величину потока, используя уравнение магнитной индукции соленоида
   0 nIs  12,56 10 7 10 3  20 10 3  25,2 мкВб .
(3)
 
3.9.7. Плоский контур площадью s = 2510  4 м2 находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,04 Тл. Определить магнит-
232
ный поток Ф, проходящий через контур, если его
плоскость составляет с направлением вектора
индукции угол  = 300.
Решение
Магнитный поток через замкнутый контур
произвольной формы определяется уравнением
(2) задачи 3.9.6
 
  Bscos B; s  Bs cos600 ,
 
  0,04  25 10  0,5  50 мкВб .
4
(1)
(2)
3.9.8. Магнитный полюс два раза перемещают вокруг проводника,
по которому течёт ток силой I = 100 А, совершая, при этом, работу А
= 1 мДж. Определить магнитный поток Ф, созданный полюсом.
Решение
1. Работа, совершаемая внешними силами при перемещении магнитного полюса в магнитном поле проводника, определяется из следующих
соображений
i n
i n
d
(1)
A 
I i dt  I i d ,
i1 dt
i1
A
A
A 10 3
d  i2 ,  


 5 10 6 Вб .
(2)
I  I 2I 200
Ii



i 1
3.9.9. Соленоид длиной L = 1 м с поперечным сечением s = 1610  4 м2
содержит N = 2103 витков. По соленоиду пропускают ток силой I = 10
А. вычислить величину потокосцепления .
Решение
1. Под потокосцеплением понимается величина магнитного потока
через все витки соленоида или тороида, другими словами,
  N  NBs ,
(1)
где В  индукция магнитного поля в центре соленоида
 N
 N 2 Is
  N  0 Is  0
,
L
L
(2)
мкВб
  12 ,56 10 7  4 10 6 10 16 10 4  80
.
виток
233
3.9.10. На расстоянии l = 0,1 м от бесконечного проводника в током
I = 100 А в одной плоскости расположена квадратная рамка с длиной
стороны а = 0,2 м. Определить магнитный поток, проходящий через
поверхность рамки.
Решение
1. Определим величину потока через элементарную площадку контура
(1)
d  Bx ds ,
где ds  adx  значение элементарной площадки.
2. Подставим в уравнение (1) значение магнитной индукции бесконечного проводника с
током силой I и проинтегрируем в пределах
изменения переменной величины от а до (а + l)

 0 Ia
2
 a

a
 Ia   a
 a
dx  0 Ia

ln x a  0 ln
,
x
2
2
a
  2 10 7 100  0,2  ln 1,5  1,62 мкВб .
(2)
(3)
3.9.11. Во сколько раз отличаются магнитные потоки, пронизывающие квадратную рамку в двух её положениях относительно проводника с током, если расстояние от проводника до одной из параллельных
проводнику сторон рамки отличается в 5 раз?
Решение
1. Для определения величины магнитного
потока в двух положениях рамки воспользуемся уравнением (2) предыдущей задачи
2a
 Ia dx  0 Ia
 Ia
2a
1  0 

ln x a  0 ln 2 . (1)
2 a x
2
2
 0 Ia dx  0 Ia
 Ia
6a

ln x 5 a  0 ln 1,2 . (2)
2 5a x
2
2
2. Отношение магнитных потоков
1
ln 2 0,693


 3,8 .
(3)
 2 ln 1,2 0,182
6a
2 
234
3.9.12. Квадратная рамка со стороной а = 0,2 м расположена в одной плоскости с бесконечно длинным проводником на расстоянии l = 1
м от центра рамки. Вычислить относительную погрешность в определении величины магнитного потока, проходящего через рамку, если при
однородности магнитного поля в пределах рамки магнитную индукцию
считать равной значению её в центре рамки.
Решение
1. Определим величину индукции
магнитного поля проводника в точке,
совпадающей с центром рамки
I
B0  0 ,
(1)
2
2. Магнитный поток через рамку при
полученном значении В0 составит
 Ia 2
 0  B0s  0
.
(2)

3. Величина магнитного потока с учётом изменения магнитной индукции поля в пределах от (l  0,5а) до (l +0,5a)

a
a

 Ia 2 dx  0 Ia
 Ia 1,1  0 Ia
1  0 

ln x a2  0 ln

 0,20067 .

2   a x
2
2
0,9
2
2
(3)
2
4. Разность величин потоков составляет
 I
a2 
   1   0  0  0,0067 a   .
(4)
 
 
4. Относительная погрешность вычисления потока

a2 
 0,20067 a  
  0,040134  0,04 
 



 3,34 10 3 0,67 %  . (5)
0
0,20067 a
0,040134
3.9.13. Тороид квадратного сечения
содержит N = 1000 витков. Наружный
диаметр D = 0,4 м, внутренний d = 0,2
м. Определить величину магнитного
потока при силе тока в нём I = 10 A.
235
Решение
1. Для определения величины магнитного потока в тороиде воспользуемся уравнением, полученным в задаче 3.9.1 (уравнения 1  5)
D
 IN D  d  dx  0 NI D  d 
 0 NI D  d  0,4
D
 0
d x  4 ln x d  4 ln 0,2 , (1)
4

10 7 1000 10  0,2
 0,7  1,4 10 4 Вб .
1
(2)
3.9.14. Железный сердечник находится в однородном магнитном
поле напряжённостью Н = 1000 А/м. Определить индукцию магнитного поля В и магнитную проницаемость железа.
Решение
1. Для определения величины магнитной индукции поля воспользуемся графиками зависимости B = f(H), которые приведены на рисунке.
При Н = 1000 А/м величина магнитной индукции составляет В = 1,3 Тл.
2. Магнитную проницаемость железа определим, воспользовавшись
уравнением
B
1,3
B   0 H,   

 1035 .
(1)
 0 H 12,56 10 7 10 3
236
3.9.15. На тороидальный сердечник со средним диаметром d = 0,25
м круглого сечения намотаны в один слой N = 500 витков провода.
Определить магнитную индукцию поля в железе В и магнитную проницаемость железа  при пропускании по обмотке тока силой I = 0,5 А.
Решение
1. Определим величину напряжённости магнитного поля, создаваемого в центре тора
NI
500  0,5
(1)
H

 318 А / м .
2r 6,28  0,125
2. По графикам, приведенным на рисунке в предыдущей задаче
определим, что при полученном значении напряжённости поля Н индукция магнитного поля в сердечнике составит В = 1 Тл.
3. Магнитная проницаемость железа при заданных условиях определится как
B
1


 2503 .
(2)
 0 H 12,56 10 7  318
3.9.16. Стальной сердечник в виде тороида круглого сечения площадью s = 410  4 м2 имеет n = 10 витков провода на каждый сантиметр.
Вычислить величину магнитной индукции B в сердечнике при силе тока
в обмотке I = 2 A.
Решение
1. Определим напряжённость магнитного поля, создаваемого в центре тороида
H  nI  1000  2  2 10 3 А / м .
(1)
2. По графикам, приведенным в задаче 3.9.14, определим величину
магнитной индукции поля в стали: В = 1,27 Тл.
3. Магнитный поток, пронизывающий сердечник
  Bs  1,27  4 10 4  5 10 4 Вб .
(2)
3.9.17. Найти величину магнитодвижущей силы Fm, достаточной
для получения магнитного потока Ф = 0,3 мВб в железном сердечнике
тора с длиной средней линии l = 1,2 м при площади поперечного сечения
сердечника s = 2,510  4 м2.
Решение
1. Определим величину магнитной индукции
237

3 10 4
(1)

 1,2 Tл .
s 2,5 10 4
2. По графикам, приведённым в задаче 3.9.14, определим соответствующую величину напряжённости поля: Н  700 А/м.
3. Величина магнитной проницаемости железа при заданных параметрах поля
B
1,2
(2)


 1350 .
 0 H 12,56 10 7  700
4. Найдём магнитное сопротивление

1,2
A
.
(3)
Rm 

 2,8 10 6
7
4
 0 s 12,56 10 1350  2,5 10
Вб
5. Магнитодвижущая сила
Fm  R m  3 10 4  2,8 10 6  849 A .
(4)
B
3.9.18.Соленоид представляет собой чугунное кольцо сечением s =
510  4 м2. При пропускании по обмотке тока силой I = 1 А, магнитный
поток равен Ф = 250 мкВб. Найти число витков соленоида, приходящееся на 1 см длины его средней линии.
Решение
1. Из уравнения магнитного потока определим величину напряжённости поля
 250 10 6
B 
 0,5 Тл .
(1)
s
5 10 4
2. По графикам, приведённым в задаче 3.9.14, определим величину
соответствующей напряжённости поля: Н  1500 А/м.
3. Определим далее магнитную проницаемость чугуна
B
0,5


 265 .
(2)
 0 H 12,56 10 7 1500
4. Подставим найденные значения величин в уравнение магнитной
индукции соленоида
B
0,5
витка
B   0 In ,  n 

 1502
,
(3)
7
 0 I 265 12,56 10 1
м
n
1502
 15 .
100
238
(4)
3.9.19. Электромагнит представляет собой стальной тороид со
средним диаметром d = 0,4 м. Сердечник имеет вакуумный зазор длиной l = 2 мм. При силе тока I = 10 А величина магнитной индукции в
зазоре составляет B = 1 Тл. Сколько витков N содержит обмотка
электромагнита?
Решение
1. В соответствии с законом
полного тока, напряжённость магнитного поля можно представить в
виде суммы напряжённостей поля в
стали и вакууме
(1)
H  H1  H 0 .
2. Поскольку напряжённость
поля тороида с намотанным на него
проводом определяется как
NI NI
H

,
(2)

d
где N  количество витков, намотанных на тороид, l  длина окружности со средним диаметром d.
3. Перепишем уравнение (2) в следующем виде
(3)
IN  H  H 0  0 .
4. По графикам, приведённым в задаче 3.9.14, определим величину
соответствующей напряжённости поля: Н  300 А/м.
5. Напряжённость поля в зазоре, в виду того, что магнитная проницаемость вакуума, впрочем, как и воздуха, принимается равной единице
(  1) можно определить как
B
1
H0 

 800 кА / м .
(4)
 0 12,56 10 7
6. Подставим значения заданных и найденных величин в уравнение
(3) и разрешим его относительно числа витков
1
N  Hd  H 0  0 ,
(5)
I
N  0,1300  3,14  0,4  8 10 5  2 10 3   198 витков .
239
3.10. Движение проводников с током в магнитном поле.
Электромагнитная индукция
3.10.1. Прямолинейный проводник длиной l = 0,1 м по которому течёт постоянный ток силой I = 10 A расположен в однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл. Вычислить работу магнитного поля при
перемещении проводника на расстояние х = 1 м, если вектор магнитной индукции поля перпендикулярен плоскости, в которой расположен
проводник.
Решение
1. Работа по перемещению проводника с током I в магнитном поле
с индукцией В определится уравнением
A  I  IBs  IBx  10 11 0,1  1Дж .
(1)
3.10.2. Плоский контур площадью s = 0,03 м2, по которому течёт
постоянный ток силой I = 10 A, находится в однородном магнитном
поле с индукцией В1 = 0,01 Тл. Плоскость контура перпендикулярна
вектору магнитной индукции. Определить величину работы при переносе контура в область пространства, где магнитное поле отсутствует.
Решение
1. Определим изменение магнитного потока, пронизывающего контур при его перемещении из исходного положения, при наличии магнитного поля в область пространства не занятую полем
(1)
  1   2  (B1  B2 )s  B1s ,
2. Найдём величину работы, совершаемой внешними силами при
перемещении контура
(2)
A12  I  IB1s  10  0,01  0,03  3 мДж .
3.10.3. По замкнутому контуру в виде квадрата со стороной а = 0,1 м пропускают постоянный
ток силой I = 20 А. Плоскость контура составляет  = 200 с вектором магнитной индукции однородного поля (В = 0,1 Тл). Определить работу
сторонних сил, необходимую для перемещения
контура за пределы магнитного поля.
240
Решение
1. Определим величины магнитного потока, пронизывающего рамку,
с учётом того, что угол между вектором магнитной индукции и внешней
нормалью равен  = 900   = 700
 1  Ba 2 cos ,  2  0 .
(1)
2. Найдём величину работы сторонних сил, необходимую для извлечения контура за пределы магнитного поля
A12  I  IBa 2 cos   20  0,1  0,01  0,34  6,84 мкДж .
(2)
3.10.4. Проволочное кольцо радиусом R = 0,1 м находится под током силой I = 100 A. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено
магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл, по направлению, совпадающему
с вектором индукции В1 собственного магнитного поля кольца. Определить работу внешних сил, которые способны деформировать провод,
придав ему форму квадрата при постоянстве силы тока и пренебрежении силами упругости.
Решение
1. Определим длину проводника
(1)
  2R .
2. Площадь кругового контура
s1  R 2 .
(2)
3. Длина стороны квадрата, в
который под действием внешних
сил трансформируется окружность
 2R R
a 

.
(3)
4
4
2
4. Площадь квадратного контура
2R 2
s2  a 2 
.
(4)
4
5. Для трансформации формы контура необходимо совершить работу, потому что при этом изменяется величина площади
2R 2
 
s  s1  s 2  R 2 
 R 2 1   .
(5)
4
 4
6. Работа внешних сил, совершаемая при изменении формы контура
 
A  IBs  IBR 2 1    100  0,1  3,14 10 2 1  0,785   67 ,4 мДж . (6)
 4
241
3.10.5. По круговому витку радиусом R = 5 см, свободно установившемуся в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,016 Тл, протекает постоянный ток силой I = 20 А. Какую работу А требуется совершить сторонним силам чтобы повернуть виток на угол  = /2 вокруг оси, совпадающей с диаметром витка? Как изменится результат
при повороте витка на угол  = 2?
Решение
1. Виток свободно устанавливается в магнитном поле таким образом, что магнитный
поток через его площадь максимален
 1  Bs cos 0  R 2 B ,
(1)
другими словами, при таком
положении витка момент внешних сил относительно оси вращения равен нулю, а магнитный момент контура pm совпадёт по направлению в
вектором магнитной индукции В.
2. При повороте контура на угол  = /2 поток через поверхность
контура станет равен

 2  Bs  BR 2 cos  0 .
(2)
2
3. Работа, совершаемая при повороте контура, в этом случае определится как
A  IB  IB1   2   20  0,016  3,14  25 10 4  2,5 мДж .
(3)
4. При повороте контура на угол  = 3600 полная работа будет равна
нулю, потому что при повороте на угол от 0 до  работа внешних сил
будет положительной, а при последующем изменении угла поворота от
 до 2  отрицательной.
3.10.6. Квадратный контур со стороной а = 0,1 м, по которому течёт постоянный ток силой I = 200 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл. Рамку поворачивают вокруг оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной вектору индукции на угол  = 2/3. Какая при этом совершается работа?
Решение
1. Воспользовавшись уравнением (3) предыдущей задачи, имеем
A  IB  IB 1   2   IBa 2 cos 0  cos 60 0 ,
A  200  0,2 10 2  0,5  0,2 Дж.
242
(1)
3.10.7. Магнитный поток, в который помещён замкнутый контур
за время  = 210  3 с изменяет свою величину от нуля Ф = 410 2 Вб.
Определить среднее значение ЭДС индукции < i >.
Решение
1. В соответствие с законом электромагнитной индукции Майкла
Фарадея, в сочетании с правилом Эмиля Христофоровича Ленца средняя величина ЭДС индукции < i > определится уравнением

4 10 2
i  

 20 В .
(1)

2 10 3
3.10.8. Проводник прямолинейной формы длиной L = 0,4 м движется
поступательно с постоянной скоростью v = 5 м/с, перпендикулярно
линиям магнитной индукции. Разность потенциалов на концах проводника составляет  = 0,6 В. Какова величина магнитной индукции?
Решение
1. Запишем уравнение электромагнитной индукции

i  
.
(1)
t
2. Выразим величину изменения магнитного потока через заданные по условию задачи величины
B  s
B  L  x
i  

,
(2)
t
t
где s  площадь, ограниченная длиной проводника L и его перемещением х. Величина х/t = v представляет собой скорость проводника,
поэтому
(3)
 i    BvL .
3. Выразим из уравнения (3) величину магнитной индукции поля

0,6
(4)
B

 0,3 Тл .
vL 5  0,4
3.10.9. В однородное магнитное поле с индукцией B = 1 Тл помещён
проводник длиной L = 0,2 м, его концы замкнуты соединительными
проводниками, расположенными за пределами поля. Сопротивление
замкнутой цепи, при этом составило R = 0,1 Ом. Определить силу, ко-
243
торую требуется для перемещения проводника перпендикулярно полю с
постоянной скоростью v = 2,5 м/с.
Решение
1. Воспользовавшись уравнением
(3) предыдущей задачи, определим
ЭДС индукции, возникающей при перемещении проводника в магнитном
поле
(1)
 i  BvL .
2. Найдём силу индукционного тока, протекающего в замкнутой цепи
(2)
I  i R .
3. Сила Ампера, действующая на проводник с током в магнитном
поле
B2 vL2 1 2,5  0,04
(3)
FA  IBL 

 1H .
R
0,1
3.10.10. Металлический брусок, размерами а = 0,4м, b = 0,1 м, с =
0,8 м движется со скоростью v = 100 м/с в магнитном поле с индукцией В = 1Тл. Вектор скорости перпендикулярен стороне b бруска и вектору индукции поля. Определите разность потенциалов между сторонами бруска и поверхностную плотность зарядов.
Решение
1. При перемещении бруска в магнитном поле, в качестве характерного размера
при определении величины ЭДС индукции
следует взять размер b, потому что остальные стороны бруска движутся не пересекая
линий индукции магнитного поля В , следовательно изменение магнитного потока
через поверхности s1 = (a  c), и s2 = (а × b).
2. Разность потенциалов между поверхностями бруска s1 = (a × c),
будет равна ЭДС индукции. Перепишем формулу (3) задачи 3.10.8 следующим образом
(1)
   i  Bvb  1100  0,1  10 B .
3. Наличие разности потенциалов обуславливает присутствие электрического поля напряжённостью E между поверхностями s3 = (a × b)
(2)
E   b .
244
4. С другой стороны, напряженность электрического поля между
заряженными параллельными плоскостями определяется уравнением
(3)
E   0 ,
где 0  910  12 Ф/м  электрическая постоянная,   поверхностная
плотность зарядов.
5. Совместим уравнения (2) и №3)
 

нКл
 , Bv  ,    0 Bv  9 10 12 1100  10 2 .
(4)
b
0
0
м
3.10.11. Предположим, что атом урана U 92 23 2 можно представить
как шар радиуса r = 1,510  10 м с равномерно распределённым отрицательным зарядом, в центре которого находится точечное ядро с положительным зарядом. Найдите, с какой скоростью может двигаться, не распадаясь, такой атом поперёк магнитного поля с индукцией В
= 105 Тл?
Решение
1. Определим модуль заряда электронной оболочки урана
(1)
Q  eN ,
где е  1,610  19 Кл  заряд электрона, N =
92  число электронов в атоме урана.
2. Для того чтобы сорвать электронную оболочку необходимо приложить внешнюю силу, превосходящую силу Кулона, удерживающую
электроны на орбитах
2
1 Q
FK 
,
(2)
4 0 r 2
где 0  910  12 Ф/м  электрическая постоянная.
3. При движении в магнитном поле на электронную оболочку будет
действовать сила Лоренца
(3)
FL  Q vB .
4. Условие, при котором атом не будет ионизирован
2
Q
1 Q
FL  FK ,  Q vB 
, v 
,
2
4 0 r
4 0 Br 2
v
1,6 10 19  92
м
 5,8 10 7 .
12
5
20
12,56  9 10 10  2,25 10
с
245
(4)
(5)
3.10.12. Магнитная индукция В = 1 Тл перпендикулярна плоскости
проволочной квадратной рамки. Определите распределение напряжённости электрического поля вдоль рамки, если она движется поперёк
поля со скоростью v = 100 м/с.
Решение
1. ЭДС индукции будет наводиться только в
сторонах рамки, перпендикулярных полю, причём
её величина определится уравнением (3), полученным в задаче 3.10.8
(1)
   i  Bva ,
где а  длина стороны рамки.
2. Напряжённость электрического поля может быть определена
уравнением (2), полученным в задаче 3.10.10

В
E
 Bv  100 .
(2)
a
м
3.10.13. Индукция стационарного магнитного поля измеряется с
помощью квадратной рамки, с длиной стороны а = 0,1м, вращающейся
с угловой скоростью  = 1 рад/с. Амплитуда электрического напряжения, снимаемого с рамки равна U = 1 В. Определите индукцию магнитного поля В.
Решение
1. Определим линейную скорость
сторон рамки, пересекающих магнитное
поле
a
v .
(1)
2
2. ЭДС индукции, возникающей при пересечении линий индукции
магнитного поля двумя сторонами рамки, определится как
U
1
(2)
U   i  Bva  Ba 2 ,  B 

 100 Тл .
a 2 1 0,01
3.10.14. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,4 Тл в
плоскости, перпендикулярной линиям магнитной индукции поля, вращается стержень длиной L = 0,1 м. Ось вращения проходит через один из
концов стержня, частота вращения составляет n = 16 c 1. Определить разность потенциалов U на концах стержня.
246
Решение
1. Линейная скорость конца стержня
(1)
v  2nL .
2. Средняя линейная скорость стержня
(2)
 v  v 2  nL .
3. Разность потенциалов на концах стержня будет равна в этом случае ЭДС индукции
U   i  BvL  BnL2  0,4  3,14 16  0,01  201 мВ .
(3)
3.10.15. Рамка площадью s = 0,02 м2 вращается с постоянной частотой n = 10 с  1 вокруг оси, вокруг оси, лежащей в плоскости рамки и
перпендикулярной вектору индукции магнитного поля с В = 0,2 Тл. Каково среднее значение магнитной индукции <i> за время, в течение
которого, магнитный поток через рамку изменяется от максимальной
величины до минимальной?
Решение
1. Магнитный поток, пронизывающий
рамку будет иметь максимальное значение
при
перпендикулярном
расположении
плоскости рамки вектору магнитной индукции В. Другими словами, магнитный
поток будет являться функцией времени
(1)
   max cos t .
2. В точке 1 величина потока будет максимальной 1   max  Bs . Когда рамка повернётся на 900 поток станет
равным нулю Ф2 =0, потому что плоскость рамки в этом положении
будет параллельна вектору магнитной индукции поля В.
3. Изменение потока Ф = Ф1  Ф2 произойдёт за время  = Т/4, где
(2)
T 1 n ,
период вращения рамки.
3. Среднее значение ЭДС индукции определится, при этом, законом
Фарадея

  i  
 4nBs  4 10  0,2  0,02  0,16 B .
(3)

3.10.16. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,35 Тл с
постоянной частотой n = 8 с  1 вращается рамка, содержащая N =
500 витков, площадью s = 510  3 м2. Ось вращения рамки лежит в её
247
плоскости и перпендикулярна вектору магнитной индукции. Определить максимальную величину возникающей в рамке ЭДС индукции.
Решение
1. Зависимость величины магнитной индукции от времени в данном
случае определится уравнениями
d ( t )
i (t)  
,
(1)
dt
максимальное значение потока магнитной индукции Фmax = Вs, а характерное время равно периоду вращения рамки Т = 1/(2n)
2. С учётом количества витков в рамке, максимальная величина ЭДС
индукции определится как

 max  max  2nNBs  6,28  8  0,35  500  5 10 3  44 B .
(2)
T
3.10.17. Рамка площадью s = 10  2 м2 содержит N = 103 витков проволоки общим сопротивление r = 12 Ом, к концам обмотки подключено
внешнее сопротивление R = 20 Ом. Рамку вращают в стационарном
магнитном поле с В = 0,1 Тл с постоянной частотой n = 8 с 1. Определить максимальное значение электрической мощности, выделяющейся
в цепи.
Решение
1. Максимальное значение электрической мощности в замкнутой цепи, показанной на рисунке, определяется уравнением
Pmax  i 2max R  r  ,
(1)
где r  внутреннее сопротивление источника, R 
внешнее сопротивление, imax  амплитудное значение индукционного
тока.
2. Амплитудное значение силы индукционного тока

(2)
i max  max .
R  r 
3. Максимальное значение ЭДС индукции определим, воспользовавшись уравнением (2) предыдущей задачи

 max  max  2nNBs .
(3)
T
4. Подставим значение max из уравнения (3) в уравнение (2)
248
2nNBs
.
(4)
Rr
5. Перепишем далее уравнение мощности (1) с учётом значения силы индукционного тока
i max 
2nNBs 

2
Pmax
Rr
6,28  8 10

 0,110 2 
 79 Вт .
32
3
2
(5)
3.10.18. Металлический стержень АК, имеющий сопротивление
единицы длины  = 110 – 8 Омм, движется с постоянной скоростью v
= 0,1 м/с, перемыкая проводник DOC, согнутый под углом  = 310. Конструкция помещена в перпендикулярное магнитное поле с индукцией В
= 0,1 Тл. Часть проводника ОС имеет длину L = 1 м. Определите количество теплоты выделившееся при перемещении стержня от точки О
до точки С, если MN  ОС.
Решение
1. Определим расстояние DC из
прямоугольного треугольника ODC
(1)
DC  y  Ltg .
2. При перемещении стержня по
проводнику будет изменяться магнитный поток за счёт изменения площади
треугольника ОКА.
2. Минимальная площадь треугольника ОКА равна нулю, когда
стержень начинает движение их точки О. Максимальная площадь соответствует положению стержня между точками D и C. Среднюю площадь
в этом случае можно определить следующим образом
1
1
 s  Ly  L2 tg .
(2)
2
2
3. Изменение магнитного потока, таким образом, представится как
1
  B  s  BL2 tg .
(3)
2
4. Время в течение которого будет происходить изменение магнитного потока
(4)
L v.
5. ЭДС индукции, которая возникает при скольжении стержня
 BLvtg 
i 

.
(5)

2
6. Определим далее среднюю величину сопротивления стержня
249
1
Ltg  .
(6)
2
7. Средняя сила тока, протекающая по стержню
i
Bv
.
(7)
 i 

R

8. Полное количество тепла, выделяемое электрическим током, текущим по стержню за время его движения
B2 L2 vtg 10 2 10 2 1 0,6
(8)
Q  i  2 R 

 3 кДж .
2
2 10 8
 R 
3.10.19. В одном из фантастических проектов предлагалась электростанция, использующая энергию морских течений и магнитное поле
Земли. В океан предполагалось погружать две параллельные металлические пластины площадью s = 1 км2, расположенные на расстоянии L
= 100 м одна над другой. Морская вода, обладающая удельным сопротивлением  = 0,25 Омм, течёт с востока на запад со скоростью v = 1
м/с. Магнитное поле Земли направленное с юга на север имеет индукцию В = 10  4 Тл. При движении воды между пластинами образуется
разность потенциалов, другими словами, если пластины соединить с
внешней нагрузкой, то в замкнутой цепи обязан течь электрический
ток. Оценить максимальную мощность, которую можно получить с
этой конструкции?
Решение
1. Максимальная мощность
будет иметь место при закорачивании пластин.
2. Предположим для простоты, что пластины являются
квадратами со стороной а, и
расположены в океане таким
образом, что вектор индукции магнитного поля Земли перпендикулярен
вектору скорости течения воды.
3. Выделим бесконечно тонкий слой воды площадью Lа, который
движется со скоростью v перпендикулярно вектору магнитной индукции В. ЭДС индукции в этом случае определится уравнением
Bs Bsv
i 

.
(1)
2
2a
3. Электрическое сопротивление морской воды, находящейся в пространстве между пластинами
250


 .
La L
4. Максимально возможная мощность
2
 2 B 2 s 2 v 2 L B 2 s 2 v 2 L Bv  Ls
.
Pmax  i 


R
4a 2 
4s
4
10 8 100 10 6
Pmax 
 1 Вт .
1
Ra
(2)
(3)
(4)
3.10.20. Ускоритель плазмы состоит из двух параллельных массивных проводников, лежащих в плоскости, перпендикулярной магнитному
полю индукции В = 1Тл. Между точками А и С в водородной среде производят электрический разряд с постоянным разрядным током I = 10
А. Образовавшийся плазменный шнур разгоняется магнитным полем.
Определите скорость плазменного шнура, если расстояние между проводниками l = 0,1 м, длина разгонного участка L = 1м,количество ионов
в объёме, занятом электрическим разрядом равно N = 1013.
Решение
1. Определим массу плазменного
шнура, приняв массу иона водорода равной массе атома
m
N
N

, m 
,
(1)
 NA
NA
где  = 110  3 кг/моль  молярная масса
водорода, NA  61023 моль 1  число Авогадро
10 3 10 13
m
 1,7 10 14 кг .
(1)
6 10 23
2. Определим ЭДС индукции, возникающей в плазменном шнуре
при его перемещении в магнитном поле
 BL v
i 

 Bv .
(2)

L
3. Определим энергию W, выделяющуюся при движении шнура
P
BLIv
W    i I 
,
(3)

v
где Р  мощность,   время перемещения шнура на расстояние L.
4. Энергия магнитного поля, в конечном счёте, преобразуется в кинетическую энергию плазменного шнура. В соответствие с законом сохранения энергии можно записать следующие соотношения
251
mv 2
 BLI,  v 
2
2BLI 

m
2 1110  0,1
м
 1,110 7 .
14
1,7 10
с
(4)
3.10.21. В однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией
В = 1 Тл расположены две вертикальные металлические рейки, расположенные на расстоянии l =1 м друг от друга. По рельсам из состояния покоя скользит без трения вертикально вниз проводящий стержень
массой m = 10 г. Определите скорость установившегося движения
стержня, если рейки замкнуты на сопротивление R = 10 Ом.
Решение
1. На стержень при его движении будут действовать две, противоположно направленные силы: сила тяжести mg и сила Ампера FA = iBl. Запишем уравнение второго закона Ньютона применительно к стержню, движущемуся с постоянной скоростью
(1)
ma  mg  iB, a  0,  mg  iB ,
где i  индукционный ток.
2. Определим величину индукционного тока

Bvt Bv 
i i 

.
(2)
R
Rt
R
3. Подставим значение индукционного тока в уравнение (1) и разрешим полученное уравнение относительно скорости
B 2 v ,  v  mgR  10 2 10 10  1 м .
mg 
(3)
R
1
с
B 2
252