Нелинейные динамические системы

ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
Нелинейные динамические системы
Вып. 43
Межвузовский сборник научных трудов
2011
УДК 629.19
А.С. Иванюшкина, К.Н. Курская, Н.А. Репьях
г. Пермь
ТРАЕКТОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
ОРБИТАЛЬНОГО ЗОНДА ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ПОСТОЯННОЙ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕЙ СИЛЫ
Рассматривается движение материальной точки (зонд)
под действием центральной гравитационной ньютоновской силы и силы, постоянной по модулю, направленной к
опорной точке О. Исследуется структура области возможного движения зонда в окрестности опорной точки
на интервале времени, соответствующем периоду обращения точки О на Кеплеровой окружности.
В орбитальной системе координат [1] О в орбитальной плоскости О рассматривается движение материальной
точки (зонд) под действием центральной гравитационной ньютоновской силы и силы, постоянной по модулю, направленной к
опорной точке О. Точка О движется в центральном гравитационном поле по круговой Кеплеровой орбите. Предполагается, что
1) зонд начинает движение из опорной точки с заданной
по величине скоростью;
2) масса зонда постоянна, следовательно, модуль управляющего ускорения от действия восстанавливающей силы тоже
постоянен;
3) исследуется структура области возможного движения
зонда в окрестности опорной точки на интервале времени, соот© Иванюшкина А.С., Курская К.Н.,Репьях Н.А., 2011
9
ПРОБЛЕМЫ МЕ ХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2011
ветствующем периоду обращения точки О на Кеплеровой
окружности;
4) определяющим параметром для траекторий относительного движения, заполняющих область возможного движения, является направление  вектора начального импульса V 0 ,
приложенного к зонду.
Проанализируем эволюцию траекторий этого семейства
при изменении параметра  от 0 до 2 . Угол  , определяющий вектор начальной скорости V 0 , отсчитывается от положительного направления оси О , которая направлена по местной
горизонтали опорной точки О в сторону, противоположную
направлению орбитального движения опорной точки. Шаг изменения  равен

.
10
Проекции вектора V 0 на оси О и О  будут
v 0  v0 cos  ; v0  v0 sin  .
(1)
Траектории относительного движения зонда получены
численным интегрированием соответствующих дифференциальных уравнений [2] с начальными условиями (1) и с начальным положением зонда в начале координат.
Проекции вектора управляющего (возмущающего [3])
ускорения имеют вид
u  u 0


, u  u 0 ,


(2)
где u 0  const ,  ,  – орбитальные координаты зонда,  – его
расстояние до опорной точки.
Для расчетов приняты v0  0.001, u 0  0.01. Все величины безразмерные [2]. Как показывают результаты интегрирования, практически все семейство траекторий расположено в круге
диаметром d  0.0001 (  640 м для околоземных условий полета), отдельно взятые траектории представляют многолепестковые кривые, охватывающие опорную точку, число целых "лепестков", расположенных выше линии местного горизонта рав10
А.С. Иванюшкина и др. Траектории относительного движения орбитального зонда…
но (  1) числу "лепестков" ниже линии местного горизонта и
это число колеблется от 16 до 13. "Лепестки" имеют различную
ширину, соответственно охватывают различную площадь:
наибольшей величины эти параметры достигают в окрестности
местной вертикали, наименьшей – в окрестности местного горизонта опорной точки. Число "лепестков" соответствует числу
полных витков (обходов) зонда вокруг опорной точки. Эти витки заполняют область возможного движения для различных
значений  с разной степенью однородности. Наиболее равномерное заполнение области витками траектории наблюдается
для малых  : 0   

и диаметрально противоположных
5
6
направлений V 0 :    
(рис. 1).
5
 
 

5
6
5
Рис. 1
11
ПРОБЛЕМЫ МЕ ХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2011
Менее равномерно лежат витки траекторий для значений
 , близких к
 2
3
 
:
. Для этих и диаметрально про5
2 5
тивоположных направлений вектора V 0 в круге диаметра d есть
области, где траектории зонда не имеют ни одного "лепестка" и,
наоборот, на оси O есть узловые точки, симметрично расположенные относительно начала координат, в окрестности которых проходят практически все витки траекторий (рис. 2).
 
2
5
 
7
5
Рис. 2
При равномерном заполнении витками области возможного движения есть траектории зонда, когда "лепестки" траектории прорисовываются практически при двукратном, а иногда
при трехкратном прохождении зонда по контуру "лепестка"
(рис. 3).
12
А.С. Иванюшкина и др. Траектории относительного движения орбитального зонда…
 
 

10
11
10
Рис. 3
Следует отметить общую закономерность всех пар траекторий, соответствующих диаметрально противоположным направлениям вектора V 0 : симметрия направлений V 0 относительно
опорной точки переходит в почти симметрию траекторий и симметрию положения конечных точек траекторий. Конечная точка
траекторий на рис. 1–3 отмечена звездочкой.
Библиографический список
1. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1975.
2. Ермилов Ю.А., Иванова Е.Е., Пантюшин С.В. Управление
сближением космических аппаратов. М.: Наука, 1977.
3. Курская К.Н., Репьях Н.А. Траектории наискорейшего изменения оскулирующего эксцентриситета в орбитальном движении
точки // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы: межвуз. сб. науч. тр. Пермь, 2008. Вып. 40. С. 36–45.
13