Задание 1 [«Нулевка» апрельского тестирования 2005 г

Нилова Н.А.
Задание 1 [«Нулевка» апрельского тестирования 2005 г.]. Составьте уравнение
касательной к графику функции у = —Зх3 + 4х2 + 5х — 22 в точке с абсциссой х = 2.
\ ) у = 10х- 15; 2)у= \0х+ 15; 3 ) у = \5х + 10; 4)у = -15х+ 10; 5 ) у = \5х - 10.
О т в е т : 4.
Дистракторы в данном задании получены простым варьированием положения чисел
15 и 10 из верного ответа и знаков при них. Заметим, что этот обычный подход к
«составлению» дистракторов в данном случае привел к тому, что значение функции в
точке с абсциссой х = 2 и значение ординаты касательной в этой точке совпадают только
для правильного ответа. Поэтому все дистракторы являются не рабочими, и тестируемому,
для того чтобы выбрать верный ответ, не нужно знать ни как записывается уравнение
касательной, ни чему равен тангенс угла ее наклона. Не каждый способен ' заметить,
что можно попытаться найти верный ответ этим путем, но тот, кто заметит, имеет возможность выбрать верный ответ, не решая задание.
Невнимательное отношение к подбору дистракторов может цель задания свести на нет.
j
Задание 2 Если х — корень уравнения 3 1  x  1  3 1  x  1  2
x
то значение выражения
равно
x2
1
1
2
2
2)
3) 3 4) 
5)
3
3
3
3
О т в е т : 2.
Поскольку область допустимых значений переменной x есть промежуток [1; +  ),
среди предложенных вариантов ответов в принципе возможен только один — второй, а
подбор дистракторов «оставляет желать лучшего».
Но даже если подбор дистракторов сделан без явных промахов, при решении
некоторых заданий закрытого типа, ко всем прямым методам решения можно добавить,
основанный на знаниях и подкрепленный математической интуицией, целенаправленный перебор ответов и выделение из них правильного, после отсечения всех
дистракторов. В этом случае «процесс решения тестового задания сводится не просто к
выбору правильного ответа, а скорее к последовательному отбрасыванию неверных
ответов, причем, чем сложнее задание, тем скорее работает такой механизм.
Рассмотрим примеры заданий по тригонометрии.
3
Задание 3 Вычислите cos а, если 12 sin 2   5 sin  cos   0,   
2
11
12
 11
 12
1)
2)
3)
4)
13
13
13
13
О т в е т : 4,
Заметим, что закономерен выбор — в качестве дистрактора, надеясь, что тестируемый не
обратит внимания на то, в какой четверти задан угол.
С другой стороны, отметим, что дистракторы 1), 2) и сразу оказываются нерабочими,
так как cosa в I I I четверти отрицателен и решением будет либо третий, либо четвертый
варианты ответа.
Задачу можно «решить» подстановкой этих обоих вариантов в исходное уравнение,
определением значения sina из получаемого квадратного уравнения и проверкой
выполнения основного тригонометрического тождества.
В разобранной задаче дистракторы органично вписываются в условие, более того
помогают найти решение.
Способом, описанным выше, выбрать верный ответ будет значительно труднее, если,
например, три варианта ответа будут иметь знак минус. Если же все пять вариантов будут
иметь знак минус, то перебор потеряет смысл, но и подобрать равноценные работающие
1) 
Нилова Н.А.
дистракторы становится невозможно.
Задание 4 . Если в треугольнике ABC A  30, B  45 , а длина стороны АС равна
10 2 , то длина стороны ВС равна
1) 5 2 ; 2) 10; 3) 20; 4) 10 3 ; 5) 12.
Задание проверяет знание теоремы синусов. Количество правдоподобных дистракторов
равно двум (номера 3), 4)), при этом выбрать верный ответ из оставшихся вариантов, не
применив теоремы, невозможно.
Рассмотрим аналогичное задание, предназначенное для контроля знания теоремы
косинусов. Но приведенный в нем набор дистракторов позволяет выбрать верный ответ, не
применяя теорему:
Задание 5 . Если длины двух сторон треугольника равны 10 см и 15 см, то длина
третьей стороны, лежащей против угла 120°, равна 1) 15 см; 2) 25 см; 3) 5 19 см; 4)
25 2 см; 5) 5 7 CM.
О т в е т : 3.
При отсутствии вариантов ответов ничего не остается, как воспользоваться теоремой
косинусов и при этом не допустить ошибки при определении косинуса угла 120°. Вместе с
тем сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны, что исключает ответы 2) и
4). Сторона не может быть равна 15 см, так как в этом случае получаем равнобедренный
треугольник с углом в основании 120° (исключаем первый ответ). Остается выбрать между
ответами 3) и 5). Так как 5 7  5 19 и против большего угла (120°) в треугольнике лежит
большая сторона, то правильный ответ 5 19 см.
При таком подходе к решению данных задач, осознанность и системность знаний
учащихся проявляются даже в большей степени, чем при обычном подходе к решению
задачи. Можно ли такому подходу обучить? Безусловно, можно на него указывать, если это
позволяет задача и, что не менее важно, набор возможных вариантов ответов, который к
ней предложен. Вот почему так важен «ответственный» подход к выбору значений
дистракторов.
Многие авторы отмечают, что форма заданий закрытого типа накладывает некоторые
ограничения на их формулировки. Утверждается, что предлагать просто решить уравнение
и указать, какое из предложенных на выбор чисел совпадает с полученным корнем,
нецелесообразно. Поэтому задания чаще всего имеют формулировки: «Укажите
промежуток, к которому принадлежит корень уравнения», «Найдите сумму (произведение)
корней уравнения», «Укажите количество корней уравнения».
Но даже и в этом случае для некоторых задач возможно найти решение, «не решая»
задание. Рассмотрим некоторые из подобных заданий.
2  log0 , 25 x
Задание 6 . Сумма корней уравнения x
 1 равна
1) 1,0625; 2} 9; 3) 17; 4) 1,125; 5) 26.
Найти решение уравнения можно, рассуждая следующим образом: при условии х > 0
получить единицу в правой части уравнения возможно, либо полагая равным единице
основание степени в левой части ( 1x = 1, для любого рационального х), либо приравняв к
нулю показатель степени (основание не равно нулю по условию).
Легко убедиться, что значение х = 1 является корнем уравнения. Полагая, что корней два,
вычитаем единицу из всех приведенных значений вариантов ответов и последовательной
подстановкой в уравнение находим второй корень. При этом, если правильный ответ
(третий в приведенном наборе) записать первым, то перебора вариантов не будет, и
тестируемый сэкономит время.
Если тестируемый для ответа на вопрос выберет именно этот путь, то его знания и
математическое мышление явно обладают еше одним немаловажным качеством.
Достаточно часто можно помучить ответ, не решая задачу от начала до конца».
Нилова Н.А.
Приведем примеры, подтверждающие эту цитату:
Задание 7. Укажите первообразную функции f(x) = 2 — sinx.
1) F{x) = 2х — cosx; 2) F(x) = x2 + cosx; 3) F(x) — 2x + cosx; 4) F(x) — 2 + cosx.
Выбрать правильный ответ можно, не находя первообразную. Достаточно найти
производные четырех предложенных функций и выбрать ту из производных, которая равна
f x  . Этот путь проще нахождения первообразной, так как с производной в школе
учащиеся знакомятся раньше, и формулы дифференцирования лучше запоминаются.
Задание 8. Найдите первообразную F функции f x  = ех + 4х3, если известно, что F(0) =
— 1.
1) F(x) = e x + Зх 4 - 2; 2) F(x)= e x + х 4 - 2; 3) F(x) = e x + 12 x 2 - 2; 4) F(x) =-е х
+12х 2 .
В качестве четвертого варианта ответа логичней предложить первообразную с другим
значением произвольной постоянной С, например: F(x) = е х + х 4 - 4.
Это усложнит задачу поиска верного ответа, так как в этом случае изменится ожидаемая
логика решения. Вместо перебора функций, которые не являются первообразными
заданной, но для которых F(0) = —1, необходимо выбрать из двух первообразных ту, для
которой F(0) = — 1.
При «прямом» способе решения — нахождении первообразной интегрированием
заданной функции, условие F(0) = —I вообще не работает.
Каждый год в задания ЕГЭ включаются неравенства, контролирующие знание метода
интервалов.
2 x  14
Задание 9. Решите неравенство.
0
x  4x  7 
1) (-7; -4) U (7; +  ); 2) [-7; -4) U (7; +  ); 3) {-  ; -7] U (-4; 7); 4) (-  .; -4) U [7;
+  ).
Но легко увидеть, что значение х — —7, удовлетворяет строгому равенству, обращая в ноль
числитель. Поэтому ответом является либо 2), либо 3). Подставляем любое х > 7 и
выбираем верный ответ — второй.
Таким образом, сразу можно вычленить верный ответ. И дело не в неправильном выборе
дистракторов; приведенный набор дистракторов как раз полностью соответствует задаче.
В некоторых случаях оправдан подбор дистракторов на основе варьирования в малых
пределах значения верного ответа и этот подход не только не дезориентирует
тестируемого, а наоборот, «подвигает» к верному ответу.
Рассмотрим пример задания, в котором дистракторы (в том наборе, как они заданы)
непосредственно способствуют выбору верного ответа.
Задание 10 . Если 40%
числа равны
9  2

2
23 
9  2

2
23 , то это число равно
1) 8 23
2) 9 23
3)10 23
4) 11 23
5)12 23
Можно было бы ожидать число 45 в качестве одного из дистракторов как результат
ошибки при извлечении корня из числа (9-2 23 )2. В данном же примере дистракторы,
наоборот, подводят к верному решению — «страхуют» от ошибки при извлечении корня и
задача сводится к выяснению умения определить число по проценту. Но при этом,
заметим, все дистракторы становятся неработающими, так как после правильного
выполнения операции извлечения корня найти число по проценту не представляет
сложности. А на заданном наборе дистракторов ошибиться практически вообще становится
невозможно.
Приведем редкий случай, когда из условия задачи, при заданном наборе ответов, сразу
возможно найти решение путем логических рассуждений.
Задание 11 . Из сосуда, первоначально содержащего 11 л чистого спирта, отлили определенное количество содержимого и долили столько же воды. Когда эту операцию проделали
еще 2 раза, спирта в сосуде осталось 2 л. За каждую операцию воды доливали одинаковое
Нилова Н.А.

1
2
 4)3 5) 3 11
2) log 2 11 3)11 1  3
3
11 
2

"Изюминка" задания состоит в том, что при данном наборе дистракторов задачу вообще
можно не решать и выбрать верный ответ.
Учитывая, что для того чтобы при понижении концентрации спирта в растворе после
первой и второй операции всего за три раза отлить 9 л спирта, необходимо в первый раз

2
отлить больше трех литров. Среди приведенных вариантов ответов 111  3

11


единственное число, большее трех. В данной задаче срабатывает даже не математическая,
а "химическая" интуиция.
Еще раз подчеркнем, что к выбору дистракторов необходимо подходить с особым
вниманием. Дистракторы, с одной стороны, не должны являться подсказкой при ответе на
задание, но, с другой стороны, не должны повышать степень "тревожности" тестирования.
количество литров, равное 1) 3 log 2 11