Программа элективного курса «Метод мажорант». (для учащихся 11 классов)

Программа
элективного курса «Метод мажорант».
(для учащихся 11 классов)
Аннотация программы.
Предлагаемый элективный курс является предметно-ориентированным и
предназначен для расширения теоретических и практических знания учащихся.
Элективный курс «Метод мажорант» своим содержанием сможет
привлечь внимание старшеклассников, которые увлекаются
математикой, поможет основательно познакомиться с одним из ее
методов и, как следствие этого, расширить знания для успешной сдачи
Единого Государственного Экзамена по математике и продолжения
образования в ВУЗах, колледжах.
Данный курс направлен на удовлетворение познавательных
интересов обучающихся, имеет прикладное общеобразовательное
значение, способствует развитию логического мышления. Он
раскрывает намеченные, но совсем не проработанные вопросы общего
курса школьной математики. Изучив его, учащиеся пройдут путь от
решения простых заданий до решения заданий с применением метода
мажорант второй части ЕГЭ.
Содержание программы курса включает расширение тем базовой
общеобразовательной программы основного общего образования,
помогает учителю показать красоту, совершенство и «изощренность»
метода при решении уравнений, неравенств, систем уравнений, систем
неравенств, определении множества значений функции и пр.
Пояснительная записка.
1.Общие положения:
Элективный курс «Метод мажорант», рассчитанный для учащихся
одиннадцатых классов, направлен на расширение знаний и повышение
уровня математической подготовки учащ ихся. Он основан на
повторении и систематизации знаний, полученных за время обучения с 5
по 11 классы.
Анализ олимпиадных задач и заданий ЕГЭ, показывает, что задачи,
в которых нужно найти область значения функции, решить уравнения,
неравенства и (или) их системы, составляют немалую часть работы, а
базовые методы решения не всегда оказыв аются эффективными.
Поэтому школьников необходимо обучать нестандартным методам и
приемам выполнения заданий. Одним из таких методов и является метод
мажорант – красивейший способ решения сложных задач.
Для того чтобы элективный курс был успешно и в полн ом объеме
освоен учащимися, рекомендуется начать подготовку школьников с 5
класса. Например:
2
5 класс.
При решении задач, примеров (где это возможно) необходимо
ориентировать детей на оценку результата: «Сколько примерно
получится?» или «Оцените результа т». То есть нужно учить
«прикидывать» результат и приучать к слову «оцените».
6 класс.
При изучении темы «Модуль числа» важно, чтобы ученики знали и
понимали, что модуль – это расстояние (ключевое слово в определении),
поэтому 0 ≤ │x│ < +∞. Для осознания этого можно предлагать,
например, такие задания.
1.
Сравните с нулем
а) │x│
б) │x│+│y│
в) − │y│
г) │y│× │x│ и т.д.
2. При каком a верно
а) −│ a│≤ 0
б) │a│≥ 1
в) │a│+2 < 0
г) │− a│> 0 и т.д.
7 класс.
1.При изучении темы «Формулы сокращенного умножения» особое
внимание надо обратить на формулы квадрата суммы и квадрата
разности выражений. Ученики должны уме ть их “собирать”.
2. В темах «Линейная функция» и «Квадратичная функция»
важны такие задания как, например, « Какие значения принимает
переменная y(x), если переменная x(y) принимает значения от 3 до 7?».
Первоначально задания такого типа учим решать с помощью графиков,
но постепенно подводим их к аналитическому решению через понятие
возрастающей, убывающей функций.
8 класс.
Выделение полного квадрата, свойства неравенств.
9-11 классы.
Область значения, определения, возрастание, убывание изучаемых
функций.
3
Необходимо параллельно знакомить с «полезными», необходимыми
равенствами и неравенствами (например,  a2  b2  a sin x  b cos x  a2  b2 ;
1
c
  ; a   2, если
a
0
a  0 и пр ).
Таким образом, изучение этой тем ы в 11 классе объясняется не
только сложностью материала и тем, что в 11 классе заканчивается
изучение «школьных» функций, но и, чтобы научиться применять метод
мажорант, ученик должен в совершенстве овладеть курсом математики
основной школы.
2.Цель курса.
Расширить знания базового уровня по математике для
удовлетворения познавательных интересов обучающихся, успешной
сдачи ЕГЭ, продолжения образования.
3.Задачи курса.
1. Научить учащихся решению задач методом мажорант
2.Преодолеть психологический барьер, обусловленный сложностью
изучаемой темы.
4. Место курса в учебном плане .
На третьей ступени обучения продолжается и получает развитие
содержательная линия «математика».
В рамках указанной содержательной линии работа направлена на
содействие формированию культурного человека, умеющего мыслить,
понимающего идеологию математического моделирования реальных
процессов,
владеющего
математическим
языком
как
языком,
организующим деятельность, умеющего самостоятельно добывать
информацию и пользоваться ею на практике.
На элективный курс отводится 11 часов. Данный элективный курс
входит в систему элективных курсов школьного компонента
образовательного учреждения.
5. Методы обеспечения программы элективного курса .
При обучении школьников используется технология личностно ориентированного обучения, включающая в себя:

Разноуровневый подход – ориентация на разный уровень
сложности программного материала, доступного ученику;

Дифференцированный подход – выделение группы учащихся
на основе внешней дифференциации: по знаниям, способностям ;
4

Индивидуальный подход – распределение детей по однородным
группам: успеваемости, способностям, социальной (профессиональной)
направленности;

Субъектно-личностный подход – отношение к каждому ученику, как к
уникальности, несхожести, неповторимости.
Данный подход в обучении ориентирован на выявление субъектного опыта
каждого ученика, то есть его способностей и умений в учебной деятельности и на
предоставление возможности школьнику выбирать способы и формы учебной
работы и характер ответов.
При проведении элективного курса применяются различные формы и методы
обучения (фронтальная, индивидуальная, групповая, в парах постоянного и
сменного состава, лекции, практикумы…).
II. Основное содержание.
№
Тема
1
Мажоранта функции.
Примеры функций, имеющих
мажоранту
Нахождение области
значения функций
Метод мажорант. Решение
простейших уравнений.
Метод мажорант. Решение
простейших неравенств.
Решение уравнений,
неравенств и их систем.
Презентации задач,
подобранных учениками.
Итоговый контроль.
2
3
4
5
6
7
Кол-во
часов
Использование
ИКТ
1
ИКТ (слайд 1- 8)
2
2
ИКТ (слайд 11,
12)
ИКТ (слайд 10)
1
ИКТ (слайд 10)
3
ИКТ (слайд 13,
14,16,17)
1
1
1. Мажоранта функции. Примеры функций, имеющих мажоранту .
Множество значений функции. Понятие мажоранты функции.
Примеры функций, имеющих мажоранту.
5
Методы
заданий.
обучения:
объяснение,
выполнение
тренировочных
Формы контроля: проверка задач для самостоятельного решения.
2. Нахождение области значения функций.
Аналитический способ нахождения области значения функций
(способ оценки).
Методы
заданий.
обучения:
объяснение,
выполнение
тренировочных
Формы контроля: проверка задач для самостоятельного решения,
самостоятельная работа №1.
3. Метод мажорант. Решение простейших уравнений.
Знакомство с методом мажорант, а именно с теоремами, позволяющими
заменить
данное
уравнение
системой
уравнений,
учитывая
ограниченность функций, входящих в исходное уравнение. Определение
типов уравнений, к которым применим метод мажорант. Обобщённый
алгоритм решения уравнений методом мажорант и критерии его применения.
Методы
заданий.
обучения:
объяснение,
выполнение
тренировочных
Формы контроля: проверка задач для самостоятельного решения.
4. Метод мажорант. Решение простейших неравенств.
Теорема, позволяющая заменить неравенство системой неравенств.
Определение типов неравенств, к которым применим метод мажорант.
Обобщённый алгоритм решения неравенств методом мажорант и критерии его
применения.
Методы
заданий.
обучения:
объяснение,
выполнение
тренировочных
Формы контроля: проверка задач для самостоятельного решения.
5. Решение уравнений, неравенств и их систем.
Практикум.
6
Методы
заданий.
обучения:
объяснение,
выполнение
тренировочных
Формы контроля: проверка задач для самостоятельного решения ,
самостоятельная работа №2.
6. Презентации задач, подобранных учениками.
7. Итоговый контроль.
Контрольная работа.
III. Ожидаемый результат.
1. Точно и грамотно формулировать теоретические положения и
излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий.
2. Освоить метод мажорант.
3. Решать задания, аналогичные заданиям ЕГЭ.
IV. Используемая литература.
1.
2.
3.
4.
Ковалёва Г.И., Бузулина Т.И. и др. Математика для учащихся 11
класса и поступающих в вузы. Тренировочны е тематические
задания. – Волгоград Учитель, 2005
Е.А. Семененко, С.Д. Некрасов
Задания для подготовки к
выпускному экзамену по алгебре и началам анализа, Москва
«Просвещение», 2001
В.В. Ткачук. Математика - абитуриенту. Издание
четырнадцатое. М: МЦНМО, 2007г.
Балаян Э.Н «1001 олимпиадная и занимательная задачи по
математике», Ростов-на-Дону: Феникс, 2008.
5.
3000 конкурсных задач по математике./ Сост. Куланин Е.Д.,
Норин В.П., Федин С.Н., Шевченк о Ю.А.; под ред. проф. Н.А.
Бобылева. М.: Айрис Рольф; 1997
7
6. http://journal.kuzspa.ru/ Статья Дементьевой И.А. «Обучение
старшеклассников решению уравнений и неравенств
методом
мажорант».
7. http://ucheba.pro/
8. http://edu.tatar.ru/
V. Приложения.
I. Примеры задач.
1. Найти множество значений функции.
а) y  sin2 x  4
Ответ:  4; 3
б) y  3  log0,1 x2
Ответ:  3; 
в) y  22 x
Ответ: 32;  
2 5
г) y  log2 (1 7sin 2 x)
Ответ:
 0;3
д) y  x2  4x  8
Ответ:
 2;  
е) y  cos x  2  3
Ответ:
 2;0
ж) y  3 3  log5 (21  8x  x2 )
7
з) y  log
3 17  16  lg x
и) y 
Ответ: 6;  
Ответ:
 ; 1
8 arctg  0,25  3sin x  cos x  2  







Ответ: 0;2 
1.1. Разные задачи.
а) Найти сумму наибольшего и наименьшего целых значений фун кции
y 10 24sin4 x2 . Ответ: 3
б) Найти наименьшее целое значение функции y  4 x  5  2 x  3,25 . Ответ: -3
8
x
x

в) Найти сумму натуральных значений функции y  log  72  6  2  4  .
3

Ответ: 10
г) Найти количество целых чисел, принадлежащих множест ву значений
функции y  16log 1 sin xcos x3 2 . Ответ: 5
2
16
д) Найти наименьшее целое значение функции y  2  9sin 2 x  6cos x  26
Ответ: 9
е) Сколько отрицательных чисел принадлежит множеству значений
1
 1 12 x
функции y   
? Ответ: 0
2

 3

 2x  
 sin 2 x  sin 
 2
 3
ж) Из множества значений функции y  4arcsin 

2




удалили целые числа. Сколько пол училось числовых промежутков?
Ответ: 8
2. Решите уравнения.
а) cosx  x2  1
Ответ: 0
б) sin x  x2 1
Ответ: корней нет
б) cos2 x  x12 1
Ответ: 0
в) cos x  cos12 x  12
Ответ: корней нет
г)  sin 7 x  x2  6x  10
Ответ: 3
д) 0,2  2 x2 1
Ответ: 0
е) lg(100  x4 )  ( x 1)2  5
Ответ: корней нет
ж) sin( x3  2x2 1)  x2  2x  3
Ответ: корней нет
x
9
x
1
x  2    1
2
з)
и) 2cos x  cos x 
к)
Ответ: корней нет
1
cos x
Ответ: 2 r, r  Z
4
1
x   4y   4
x
y
л) (cos2 x 
Ответ: x  2, y 
1
)(1  tg 2 2 y)(3  sin3z)  4
2
cos x
Ответ: х   m, m  Z ; y 
м) cos
2
( x  cos x)  1 log52
н)
2 cosx sinx  sin 46

о) 2(
2 cos15 x )( 2 cos15 x )

2
k,k  Z; z  
x  x 1
x
2
 4  (10 x 1)2

2
  l,l  Z .
6 3
Ответ: корней нет
Ответ: корней нет
Ответ:
 x2  4 x  4


Ответ: 0
2
п) cos 4 x  cos 2 x  5  sin 2 3x
р) cos
1
2

2
  r, r  Z
Ответ: корней нет

с) cos2  x  3 sin5x  1  log61 x2  6 x 10

Ответ: 3.
3
3. Решите неравенства.
а) sin x  ()  x2 1
Ответ: корней нет  x  R 
б) cos3x  x2 1
Ответ: 0
в)
1 x
 2x
1 x
Ответ:  ; 1   0;  
г) log2 (1 x2 )  log2 x  2x  x2
д) x2  4 x  6 
2
z  6 z  10
2
Ответ: 1
Ответ: x  2, z  3
10
е) 13 x  sin x
Ответ: корней нет
ж) 2 x  2  x 2  ()3x
2 2 x  2
Ответ: 1 (корней нет)
y
з) 2  2cos x  y  x2 1  0
и) 3x 
12
 12 
x

к) cos x  z 3  y 
x 2

Ответ: x  0, y  1
4
Ответ: 2

Ответ: корней нет
3
3
л) 3arcsin( x2  x  ) 
4

x 1
3 2
Ответ: 
 x 1
3 2
1
2
4. Решите систему уравнений (неравенств).



x2  2 0x  6 9
 cos3 x 2 21
x  46
0, 25
а) 
0  x  23

tg 2 x  ctg 2 x  2sin 2 y
б)  2
2

sin y  cos z  1
Ответ: 23

 
 x  4  2 n, n  Z


Ответ:  y    c, c  Z
2



 z  2   t, t  Z

25x  3 10 x  4  4 x  0
в) log ( x2 12 x  37)  log ( x2 12 x  37)  0
2
2
 1 x
1 x
37
37

Ответ: 6
5. Задания с параметром.
а) Найти все значения параметра а, при которых выполняется равенство
2
449x 70x26  cos14 x  81a2  72a 13 .
5
7
Ответ: x  , a  
4
9
б) При каких значениях параметра a система
11
2
2

 x  2ax  4a  5a  3  4sin y  3cos y
имеет единственное решение?


0  y  2
1 
Ответ:  ;2
3 
в) Найдите все значения параметра a при которых выполняется
неравенство 4sin 2 (3x  8)  49a2  84a  40 .
6
Ответ: a  
7
г) Найти наибольшее целое значение параметра c, при котором решение
неравенства 2 x  4  7  13  2c 2 удовлетворяет условию x   37;35 .
Ответ: 5
II. Проверочные работы.
Самостоятельная работа №1.
1. Найти множество значений функци й.
x
а) y  6  7
2
б) y 
sin3x 1
в) y  3  cos x
Ответ: 7;  
Ответ:  ; 1
Ответ:  2;3


2. Найти сумму целых значений функции y  log 2 2  14sin 2 x .
Ответ: 3
Возможные критерии оценки.
«удовлетворительно» - верно выполнены любые два задания
«хорошо» - верно выполнены любые три задания
«отлично» - верно выполнены все задания
Самостоятельная работа №2.
1. Решите неравенство cos x  3x .
2
Ответ: 0
12
2. Решите уравнение x2 16 x  67  sin
x
16
8 .
Ответ: 8
3. Составьте уравнение или неравенство, используя функции y  2  x 2 и
y1  log3 ( x  9) . Решите его.
Возможные критерии оценки.
«удовлетворительно» - верно выполнено одно задание
«хорошо» - верно выполнены любые два задания
«отлично» - верно выполнены все задания
Контрольная работа.
1. Найдите мажоранты и область значения функций
а) 2 x  4
Ответ: M =4,  4;  
б) 2sin x  5cos x
Ответ: M   29 ,   29; 29
в) tgx  ctgx
Ответ: M  2 ,  2;  

Сколько целых чисел
1
 1 12 x
? Ответ: 0
y  
2
2.
3. Решите уравнение
входит
в

область
значения
функции
x4  4  x2  1  3  5x2 .
Ответ: 0
cos x
4. Решите неравенство log 2 ( x 2  4 x  8)  4  2  2
.
Ответ: корней нет
5. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
7cos(6x  7)  32  a2 10a  20 имеет корни.
Ответ: 5
13
Возможные критерии оценки.
«удовлетворительно» - верно выполнены любые два номера
«хорошо» - верно выполнены любые 3-4 номера
«отлично» - верно выполнены все задания
III. Презентация «Метод мажорант».
http://easyen.ru/load/math/ege/43
14