ВАРИАНТ №1 1. B 1 № 337273. Найдите значение выражения

ВАРИАНТ №1
1. B 1 № 337273. Найдите значение выражения
Решение.
Найдём значение выражения:
О т в е т : 0,8.
2. A 1 № 337307. На координатной прямой отмечено число
Расположите в порядке возрастания числа
1)
2)
3)
4)
Решение.
Заметим, что
откуда следует, что
Таким образом,
Правильный ответ указан под номером: 4.
3. A 2 № 337291. В лабораторию купили электронный микроскоп, который даёт возможность
различать объекты размером до
Выразите эту величину в миллиметрах.
1) 0,002
2) 0,0002
3) 0,00002
4) 0,000002
Решение.
Вспомним, что в одном сантиметре 10 миллиметров:
Правильный ответ указан под номером: 3.
4. B 2 № 338202. Квадратный трёхчлен разложен на множители:
Найдите
Решение.
Корни уравнения
— суть числа −9 и 3. В силу равенства
где
и
— корни уравнения
Поэтому
Следовательно,
5. B 3 № 339079. На рисунке изображён график функции
Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения удовлетворяются.
УТВЕРЖДЕНИЯ
А) Функция возрастает на промежутке
Б) Функция убывает на промежутке
ПРОМЕЖУТКИ
1) [0; 3]
2)
[− 1; 1]
3) [2; 4]
4) [1; 4]
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
А
Б
Решение.
Заметим, что функция возрастает на промежутке (−∞; 2] и убывет на промежутке [2; +∞). Таким
образом, она возрастает на промежутке [− 1; 1] и убывает на промежутке [2; 4].
О т в е т : 23.
6. B 4 № 340584. Даны пятнадцать чисел, первое из которых равно 6, а каждое следующее
больше предыдущего на 4. Найти пятнадцатое из данных чисел.
Решение.
Последовательность, описанная в условии, образует арифметическую прогрессию с первым членом, равным шести, и разностью 4. Пятнадцатый член данной прогрессии равен:
О т в е т : 62.
7. B 5 № 338076. Найдите значение выражения
если
Решение.
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:
О т в е т : 12.
8. A 3 № 338490. При каких значениях x значение выражения 9x + 7 меньше значения выражения 8x − 3?
1) x > 4
2) x < 4
3) x > − 10
4) x < − 10
Решение.
Для ответа на вопрос задачи нужно решить неравенство
Решим его:
Правильный ответ указан под номером: 4.
9. B 6 № 339365.
Найдите
Решение.
По определению тангенса
фагора:
В треугольнике
откуда
угол
равен 90°,
По теореме Пи-
О т в е т : 28.
10. B 7 № 339429.
Точка O – центр окружности, на которой лежат точки
A, B и C. Известно, что ∠ABC = 15° и ∠OAB = 8°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Проведём радиус OB. Рассмотрим треугольник AOB: AO = OB, следовательно, углы
∠OAB = ∠ABO = 8°. Рассмотрим треугольник BOC: BO = OC, следовательно,
∠BCO = ∠BCO = ∠ABC − ∠ABO = 15° − 8° = 7°.
О т в е т : 7.
Приведём другое решение.
Угол ABC — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Следовательно, величина дуги ADC равна 30°. Дуги ADC и ABC вместе составляют полную
окружность, поэтому дуга ABC равна 360° − 30° = 330°. Рассмотрим угол AOC четырёхугольника
AOCB, он центральный, опирается на дугу ABC, поэтому он равен 330°. Сумма углов
четырёхугольника равна 360°, откуда ∠ BCO = 360° − ∠ AOC − ∠ ABC − ∠
OAB = 360° − 330° − 15° − 8° = 7°.
11. B 8 № 339859.
Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 1 и HD = 28. Диагональ параллелограмма BD равна 53. Найдите площадь параллелограмма.
Решение.
Из прямоугольного треугольника
по теореме Пифагора найдём
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:
О т в е т : 1305.
12. B 9 № 340184.
сах.
Решение.
Найдите угол ABC. Ответ дайте в граду-
Проведём вспомогательное построение. Заметим, что дуга AC
составляет ровно четверть окружности, следовательно, она равна 360°/4 = 90°. Угол ABC — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается, значит, он равен половине дуги
AC: 90°/2 = 45°.
О т в е т : 45.
13. B 10 № 316349. Укажите номера неверных утверждений.
1) При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой сумма накрест лежащих углов
равна 180°.
2) Диагонали ромба перпендикулярны.
3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его биссектрис.
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение.
Проверим каждое из утверждений.
1) «При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой сумма накрест лежащих углов
равна 180°» — неверно, накрест лежащие углы равны.
2) «Диагонали ромба перпендикулярны» — верно, по свойству ромба.
3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его биссектрис» — неверно,верным будет утверждение: «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения егосерединных перпендикуляров».
О т в е т : 1; 3.
14. A 4 № 337545. В нескольких эстафетах, которые проводились в школе, команды показали
следующие результаты:
Команда
I эстафета, мин.
II эстафета, мин.
III эстафета, мин.
IV эстафета, мин.
«Непобедимые»
3,0
5,6
2,8
6,8
«Прорыв»
4,6
4,6
2,6
6,5
«Чемпионы»
3,6
4,0
2,3
5,0
«Тайфун»
3,9
5,3
2,0
5,1
За каждую эстафету команда получает количество баллов, равное занятому в этой эстафете
месту, затем баллы по всем эстафетам суммируются. Какое итоговое место заняла команда «Чемпионы», если победителем считается команда, набравшая наименьшее количество очков?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Решение.
Найдём число баллов, которое получила каждая команда за все эстафеты. Команда «Непобедимые» получила 1 очко за первую эстафету, 4 — за вторую, 4 — за третью и 4 — за четвёртую,
суммарно — 13 очков. Команда «Прорыв» получила 4 очка за первую эстафету, 2 — за вторую, 3
— за третью и 3 — за четвёртую, суммарно — 12 очков. Команда «Чемпионы» получила 2 очка за
первую эстафету, 1 — за вторую, 2 — за третью и 1 — за четвёртую, суммарно — 6 очков. Команда «Тайфун» получила 3 очка за первую эстафету, 3 — за вторую, 1 — за третью и 2 — за
четвёртую, суммарно — 9 очков. Поскольку победителем считается команда, набравшая наименьшее количество очков, «Чемпионы» заняли первое место.
Правильный ответ указан под номером: 1.
15. B 11 № 339223. На рисунке показано, как изменялась температура на протяжении одних
суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали — значение температуры в градусах
Цельсия. Сколько часов после 12:00 температура превышала 29°C?
Решение.
Из графика видно, что после 12:00 температура превышала 29 °C в течение шести часов.
О т в е т : 6.
16. B 12 № 338788. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 150 км/ч, проезжает мимо столба
за 6 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Решение.
Длина поезда будет равна его скорости, умноженной на время движения мимо столба:
О т в е т : 250.
17. B 13 № 340291. Какое наибольшее число коробок в форме прямоугольного параллелепипеда размером 30×50×90 (см) можно поместить в кузов машины размером 2,4×3×2,7 (м)?
Решение.
Объём одной коробки равен 0,3 · 0,5 · 0,9 = 0,135 м. Объём кузова машины равен
2,4 · 3 · 2,7 = 19,44 м. Таким образом, в кузов можно поместить 19,44/0,135 = 144 коробки.
О т в е т : 144.
18. B 14 № 316327. На диаграмме показано содержание питательных веществ в какао, молочном шоколаде, фасоли и сушёных белых грибах. Определите по диаграмме, в каком продукте содержание жиров находится в пределах от 15% до 25%.
*К прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества.
1) какао
2) шоколад
3) фасоль
4) грибы
Решение.
Из диаграмм видно, что в указанных пределах содержание жиров находится в какао.
Ответ: 1.
19. B 15 № 316354. Фирма «Вспышка» изготавливает фонарики. Вероятность того, что случайно выбранный фонарик из партии бракованный, равна 0,02. Какова вероятность того, что два
случайно выбранных из одной партии фонарика окажутся небракованными?
Решение.
Вероятность того, что один случайно выбранный из партии фонарик — небракованный, составляет 1 − 0,02=0,98. Вероятность того, что мы выберем одновременно два небракованных фонарика
равна 0,98 · 0,98 = 0,9604.
20. B 16 № 338071. Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое расстояние
прошёл человек, если l = 80 см, n = 1600? Ответ выразите в километрах.
Решение.
Найдём какое расстояние прошёл человек, подставим длину шага и число шагов в формулу:
О т в е т : 1,28
21. C 1 № 338070. Решите уравнение
Решение.
Последовательно получаем:
О т в е т : −1; 2; 6.
22. C 2 № 339400. Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25 .
Решение.
Углы
и
равны как накрест лежащие, углы
и
равны как вертикальные, следовательно, треугольники
и
подобны по
двум углам.
Значит,
Следовательно,
Откуда
О т в е т : 15.
23. C 3 № 338552. Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 18 км/ч.
Через час после него со скоростью 16 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если
сначала он догнал второго, а через 4 часа после этого догнал первого.
Решение.
Пусть скорость третьего велосипедиста равна км/ч, а ч— время, за которое он догнал второго
велосипедиста. Начало отсчёта времени — момент, когда первый велосипедист начал движение.
Тогда за время третий велосипедист догонит второго, и к данному моменту второй велосипедист
проедет расстояние
км, а третий — расстояние
км. Аналогично за время
третий велосипедист догонит первого, и к этому моменту первый велосипедист проедет
км, а третий —
км. Составим систему уравнений:
Умножим первое уравнение на
а второе — на
и вычтем первое уравнение из второго:
По условию задачи подходит только положительный корень, то есть
уравнение найдём
Подставляя во второе
О т в е т : 24.
24. C 4 № 339506. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10.
Докажите, что треугольники CBD и ADB подобны.
Решение.
Углы CBD и BDA равны, как накрест лежащие при параллельных прямых. В треугольниках
и
подобны по двум парам подобных сторон и углу между ними.
следовательно, эти треугольники
25. C 5 № 338160. Постройте график функции
и определите, при каких значениях прямая
имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение.
Раскрывая модуль, получим, что функцию можно представить следующим образом:
Этот график изображён на рисунке:
Из графика видно, что прямая
и
имеет с графиком функции ровно две общие точки при
О т в е т : −6,25; 12,25.
26. C 6 № 339388. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Решение.
и
и
Введём обозначения как показано на рисунке. Угол
равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники
они прямоугольные, углы
и
равны, следовательно, эти треугольники по-
добны, откуда
Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам:
Получаем:
Из прямоугольного треугольника
О т в е т : 20.
используя теорему Пифагора найдём