9 класс

9 класс
Задача 1
Из пункта А в пункт В отправляется велосипедист со скоростью
v1  12 км/час. Через 5 мин вслед за ним отправляется второй велосипедист со
скоростью v2  16 км/час.
Догнав первого велосипедиста, он отдает ему
забытую книгу и сразу же отправляется назад с той же скоростью v2 . При этом
оба велосипедиста достигли пунктов назначения ( первый –В, второй – А)
одновременно. Через какое время после отъезда второй велосипедист догонит
первого? Каково расстояние между пунктами А и В? На каком расстоянии от
пункта А велосипедисты встретились? (5 баллов)
Решение
Обозначим интервал времени, через которое второй велосипедист выехал
из пункта А вдогонку за первым  . Второй велосипедист догонит первого через
время t , определяемое из условия равенства пути, пройденного каждым из них
до встречи:
v
v1 (t   )  v2t
 t  1  15 (мин)
v2  v1
Т.к. после встречи велосипедисты двигались одно и то же время (каждый в
свой пункт назначения) и, кроме того, второй велосипедист затратил на
обратный путь то же время, t  15 мин, что и при движении из пункта А, то
расстояние между пунктами А и В
1
S  (v1  v2 )t  28   7 (км)
4
Расстояние от пункта А до места встречи велосипедистов
S1  v1 (t   )  v2t  4 (км)
Задача 2
Два локомотива движутся с одинаковыми скоростями 72 км/час по
встречным железнодорожным путям. Когда расстояние между локомотивами
было равным 1,9 км, машинист первого локомотива подает звуковой сигнал.
Каким будет расстояние между локомотивами в момент времени, когда
машинист второго локомотива услышит гудок? Скорость звука с = 340 м/с. (4
балла)
Решение
Пусть t - время, за которое звук гудка достигнет машиниста второго
локомотива, а S 0 - первоначальное расстояние между локомотивами. Тогда
S0
1,9 103

 5 (с)
2v  c 40  340
За это время локомотивы сблизятся на расстояние
S0  2vt  ct
и
t
S  S0  2vt  1,9  0,2  1,7 (км)
Задача 3
На краях квадратного плота вдоль его диагонали стоят два мальчика
4
одинаковой массы. При этом плот погружен в воду на
своей высоты. Когда
7
один из мальчиков перешел на соседний край плота, его сторона с мальчиками
на краях оказалась на одном уровне с водой. Какова масса каждого из
мальчиков, если масса плота М = 160 кг? (6 баллов)
Решение
Пусть а – сторона плота, а d - его высота. Тогда
4
(2m  M )  da 2  ( - плотность воды)
7
При переходе одного из мальчиков на соседний край плота (см. рис.1) общая
масса плота и мальчиков не изменяется, и поэтому объем вытесненной воды
4
также остается прежним V  da 2 , однако меняется точка приложения
7
равнодействующей силы и, соответственно, силы Архимеда.
FA
3
d
7
FA
6
d
7
a
Рис.1
mg
Mg
mg
2mg
Mg
Т.к. плот находится в равновесии, то равнодействующая сил 2mg и Mg и силы
Архимеда FA действуют вдоль одной вертикали. Условное изображение
расположения сил показано на рис.2, а
на рис.3 – сечение объема
вытесненной воды
вертикальной плоскостью, в которой лежит точка
приложения силы Архимеда, имеющее вид прямоугольной трапеции ABCD.
Точка приложения силы Архимеда находится в вертикальной плоскости,
4
делящей объем V  da 2 на две равные части и, соответственно, вдоль линии,
7
делящей площадь трапеции ABCD на две равные части.
FA
a/2
B
M
x
d
2mg
(2m+M)g
Рис.2
Mg
E
x
A
N
C
K
1/7d
D
a
A
Рис.3
2
Определим плечо х из условия S ABMK  S KMCD  da . Т.к.
7
EC BE
NC
6 ax
, то MN  BE
или

MN  d
NC MN
EC
7
a
Тогда
3 ( a  x) 2 1
2
d
 d (a  x)  da
7
a
7
7
или 3x 2  7ax  2a 2  0
Решениями этого уравнения являются значения
7
5
x  a  a . Т.к.
6
6
x  a , то
7
5
1
выбираем корень x  a  a  a . В результате из условия
6
6
3
1
1
a 1 
2m  a  M    a 
находим
m  M  40 (кг)
3
4
2 3 
Задача 4
Брусок массой m находится на горизонтальной поверхности и
прикреплен двумя пружинами жесткостью k 1 и k2 к вертикальным стенкам. В
начальном состоянии пружины не деформированы. Затем груз смещают из
положения равновесия на расстояние x0 (см. рис.).
Определить путь, пройденный бруском до его
остановки, если коэффициент трения между бруском и
поверхностью равен . (5 баллов)
Решение
Наличие силы трения приводит к тому, что колебания груза будут
затухающими. Брусок остановится, когда вся запасенная энергия сжатой и
растянутой пружин израсходуется на работу против силы трения
A   mgS
Для нахождения энергии пружин учтем, что сила упругости пропорциональна
растяжению (сжатию) пружины, а энергия пружины есть максимальная работа,
которую может совершить сила упругости при возвращении пружины в
недеформированное состояние. Т.к. при этом сила упругости уменьшается до
kx
нуля, то ее среднее значение на пути х равно
, и потенциальная энергия
2
kx 2
сжатой (растянутой) пружины равна
. Для двух пружин, деформированных
2
на величину x0 , потенциальная энергия.
(k1  k2 ) x02
Eï î ò 
2
(k  k ) x 2
(k  k ) x 2
S 1 2 0
Таким образом,  mgS  1 2 0
и
2
2  mg
Задача 5
Перед собирающей линзой на расстоянии d1  8см от нее стоит горящая
свеча. За линзой на расстоянии l  14 см от нее находится плоское зеркало. На
каком расстоянии от линзы находится изображение свечи, если фокусное
расстояние линзы f  6 см? Каким будет это изображение? Как изменится
результат, если расстояние от линзы до зеркала увеличить в два раза? (5
баллов)
Решение
Если бы зеркало отсутствовало, то изображение AB свечи А1B1
находилось бы на расстоянии d 2 , определяемом из уравнения тонкой линзы
1 1 1
fd1
 
 d2 
 24 (см)
d 2 f d1
d1  f
Т.к. зеркало находится на расстоянии 14 см от линзы, то отраженные
сходящиеся лучи образуют действительное изображение, отстоящее от зеркала
на расстояние s  (d 2  l )  10 см. Это изображение A2 B2
зеркально
симметрично относительно изображения AB , которое наблюдалось бы в
отсутствие зеркала. Таким образом, расстояние от линзы до изображения
d  l  s  14  10  4 (см)
На рис.1 показан ход лучей в рассмотренной системе.
зеркало
В1
Рис.1
A2
А1
Ss A
F
d1
B
B2
Если расстояние между линзой и зеркалом удвоить, то 2l  d 2 , и
действительное изображение будет наблюдаться на расстоянии d 2 =24 см от
линзы. Кроме того, на зеркало падают расходящиеся лучи, образующие в нем
мнимое изображение свечи AB , находящееся на расстоянии s  2l  d 2 = 4см
за зеркалом. Таим образом, в этом случае наблюдаются два изображения - одно
действительное на расстоянии 24 см от линзы и другое мнимое на расстоянии
d 2  2l  s  28  4  32 см. На рис.2 показан ход лучей в этой системе
зеркало
В1
F
А1
A2
s
A
d1
B2
В
Задача 6
Из пункта А в пункт В отправляется велосипедист со скоростью
v1  12 км/час. Через 5 мин вслед за ним отправляется второй велосипедист со
скоростью v2  16 км/час. Догнав первого велосипедиста, он отдает ему
забытую книгу и сразу же отправляется назад с той же скоростью v2 . При этом
второй велосипедист вернулся в пункт А на 10 мин раньше, чем первый доехал
до пункта В. Через какое время после отъезда второй велосипедист догонит
первого? Каково расстояние между пунктами А и В? На каком расстоянии от
пункта А велосипедисты встретились? (5 баллов)
Решение
Обозначим интервал времени, через которое второй велосипедист выехал
из пункта А вдогонку за первым через  1. Второй велосипедист догонит
первого через время t , определяемое из условия равенства пути, пройденного
каждым из велосипедистов до встречи:
v
v1 (t   1 )  v2t
 t  1 1  15 (мин)
v2  v1
Т.к. второй велосипедист возвращался в пункт А с той же скоростью v2 = 16
км/час, то время его обратного движения t  15 мин, а время дальнейшего
движения первого велосипедиста на  2  10 мин больше. Таким образом,
1
1
v2t  v1 (t   2 )  S
 S  28   12   9 (км)
4
6
Расстояние от пункта А до места встречи велосипедистов
S1  v1 (t   )  v2t  4 (км)
Задача 7
Проточный нагреватель воды (рис.1) потребляет мощность 2,4 кВт.
Разность температур на выходе и на входе устройства при расходе воды 1,2
л/мин составляет 20оС. Определить КПД такого проточного нагревателя воды.
Теплоемкость воды С = 4,2103 Дж/кгград. (5 баллов)
Решение
Пусть Р – мощность, потребляемая нагревателем,  - КПД нагревателя,
v - скорость течения воды, V0  Sv - расход воды, l - длина нагревателя и S площадь сечения трубы. Рассмотрим процесс
l
нагревания
массы m   S l воды. Масса m
l
v
m
подвергается нагреву в течение времени   ; при этом
v
количество теплоты, получаемое этим элементом массы
в единицу времени равно
P
l
l
l P
P
l 
S l . Эта теплота идет
v l
V0
на изменение температуры рассматриваемой массы воды, т.е.
P
 P  V0ct o
lS  lSct o или
V0
Тогда полученная за время  теплота
Отсюда получаем
Q
c V0 o 4,2  103  103  1,2  103  20

t 
 0,7
P
60  2,4  103
Задача 8
N
последовательно
соединенных
одинаковых
резисторов
сопротивлением R каждый образуют кольцо. Между какими точками кольца
сопротивление системы максимально? Каково это сопротивление? (4 балла)
Решение
Эквивалентное сопротивление между любыми двумя точками кольца
представляет собой параллельное соединение х и (N – x) резисторов с
x( N  x)
сопротивлениями xR и ( N  x) R , т.е. Rэкв 
R
N
Зависимость Rэкв ( x) представляет собой параболу с ветвями, направленными
вниз, которая обращается в 0 при х = 0 и при x = N. Вершине параболы
N
(максимальному значению Rэкв ) соответствует x  . Таким образом, если N –
2
𝑅𝑁
четное, то 𝑅экв = 4
. В случае нечетного N эквивалентное сопротивление будет максимальным при
N 1
N 1
подключении в точках, делящих кольцо на
и
резисторов.
2
2
Максимальное эквивалентное сопротивление в этом случае будет равно
( N  1)( N  1)
N  1/ N
Rэкв 
R
R
4N
4