Решение текстовых задач на движение

Отдел образования, молодёжной политики, физкультуры и спорта администрации
Моргаушского района Чувашской Республики
Муниципальное образовательное учреждение «Сятракасинская средняя
общеобразовательная школа» Моргаушского района Чувашской Республики
Методика решения
текстовых задач на движение в школе.
Методическая разработка
Разработала:
Савельева Любовь Римовна
учитель математики
МОУ «Сятракасинская СОШ»
Моргаушского района
Чувашской Республики
Моргауши 2010
2
Содержание:
1. Введение
2. Задачи в начальной школе
3. Задачи на движение по суше:
3.1 решение задач на движение двух тел в противоположных
направлениях
3.2 решение задач на встречное движение двух тел
3.3 решение задач на движение двух тел в одном направлении
4. Задачи на движение по водоёму
5. Тренировочные тестовые задания для 9 класса ( 1 часть теста)
6. Тренировочные текстовые задачи для 11 класса. Задания В12.
7. Зачётные карточки по темам
7.1 движение по суше
7.2 движение по водному пути
8. Заключение
9. Использованная литература
3-5
6-10
11-19
12-14
14-16
16-19
20-21
22-28
29-33
34-40
34-37
38-40
41
42
3
Введение.
«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решать одну и ту же задачу
тремя различными способами, чем решать три-четыре различные задачи.
Решая одну задачу различными способами, можно путём сравнения выяснить,
какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт решения
задач.» (У.У.Сойер)
Математика проникает почти все области деятельности человека, что
положительно сказалось на темпе роста научно-технического прогресса. В связи с этим
стало жизненно необходимым усовершенствовать математическую подготовку
подрастающего поколения.
С начала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает
ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснить различные
стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, даёт возможность применять изучаемые
теоретические положения.
В «Федеральном компоненте образовательного стандарта основного общего
образования по математике» представлен «обязательный минимум содержания основных
общеобразовательных программ», среди которых есть и умение решать текстовые задачи.
Арифметика: «…Проценты. Нахождение процента от величины, величины по её
проценту. Текстовые задачи (на движение, работу, стоимость, смеси и др.) Решение
текстовых задач арифметическим способом»
Алгебра: «… Составление уравнений, неравенств и их систем по условиям задач. Решение
задач алгебраическим способом».
В «Требованиях к уровню подготовки выпускников основной школы» сказано, что
ученик должен уметь:
Арифметика: «,,, Решать текстовые задачи, включая задачи на движение и работу; задачи,
связанные с отношением и с пропорциональностью величин; основные задачи на дроби и
проценты; задачи с целочисленными неизвестными».
Алгебра: «,,, Решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать
полученный результат, проводить отбор решений, учитывать ограничение
целочисленности, диапазона изменения величин.»
В «Примерной программе основного общего образования по математике» дана
«Общая характеристика учебного предмета», в которой отмечено, что «… одной из
основных задач изучения алгебры является развитие алгоритмического мышления». А
изучение основных типов текстовых задач и является одной из составляющих в развитии
алгоритмизации мышления.
Состояние математического развития учащихся наиболее ярко характеризуется их
умением решать задачи. Задачи – это основное средство оттачивания мысли каждого
4
школьника. В процессе обучения решению задач ученики должны в известной мере
овладевать основными идеями школьной математики, а именно:







функциональной зависимости
равенства, неравенства;
тождественных преобразований;
соответствия, порядка, расположения;
непрерывности;
доказуемости заключений относительно свойств пространственных форм и
количественных соотношений в них;
применимости числа и меры к явлениям окружающего мира.
Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо ответить,
опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче.
Следует учесть, что научиться решать задачи школьники смогут, лишь решая их.
Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Поэтому
обучению решения задач уделяется много внимания (уже в первом классе учащиеся
начинают решать текстовые задачи). Связи с ведением ЕГЭ в 11 классе и экзаменом в
новой форме в 9 классе умение решать текстовые задачи стало ещё более актуальным.
Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако, прежде всего
необходимо научиться различать основные типы задач и уметь решать простейшие из них.
Без конкретной программы деятельности для учащихся, без алгоритмов или общих
указаний по поиску решения задач, трудно организовать процесс учения детей, т.к. этот
процесс имеет своими составными частями подражание и последующее творчество.
Неосознанные навыки быстро утрачиваются. Лишь те навыки, которые доведены до
автоматизма, или сохранили теоретическую основу, надолго остаются действенными. Я
придерживаюсь в своей деятельности такого метода работы над задачами, когда ученик
твёрдо усвоил основные приёмы решения задач и знает основные типы задач. Эти приёмы
и способы задач вырабатываются в процессе изучения той или иной темы и только в
последствии используются как алгоритм решения. Как показала практика, этот метод
хорош при работе со слабыми и средними по успеваемости учениками. Они запоминают
по различным признакам схему решения образца, решают определённый класс задач. Для
более подготовленных учеников этот этап работы проходит быстро, без затруднений, они
уже на начальной стадии изучения способны «ухватить» метод и применить его в более
сложных задачах. Им даются уже более сложные задания, требующие не только
автоматического применения основных приёмов, но и нетрадиционного подхода,
смекалки.
Целесообразность и необходимость моей работы: В связи с переходом к новым
формам аттестации учеников девятых и одиннадцатых классов формирование умений
решать текстовые задачи стало ещё актуальным.
5
В своей работе я попыталась решить следующие задачи:
1) Изучить методические пособия, литературу по решению текстовых задач.
2) Рассмотреть основные типы задач на движение по суше и по водоёму, которые
наиболее часто встречаются в ГИА 9-ых классов и ЕГЭ в 11-ых классов.
3) Подобрать как можно более разнообразные задачи по мере увеличения их
сложности с решениями и ответами, необходимые при подготовке к экзаменам в
девятых и в одиннадцатых классах.
4) Рассмотреть в своей работе основные моменты в работе с текстовыми задачами:
методику решения текстовых задач в школьном курсе математики, некоторые
приёмы и методы, принимаемые на уроках.
5) Выявить роль задач на движение в процессе обучения математики.
6
Задачи в начальной школе.
Действующая программа в начальной школы требует развития самостоятельности
детей. Самостоятельность тем более необходима при решении текстовых задач. В ряду
текстовых задач по математике задачи на движения по суше занимают особое место.
Ученик начальной школы должен уметь кратко записать условие задачи,
проиллюстрировать его с помощью рисунка, схемы или чертежа, обосновать каждый шаг
в анализе задачи и её решении, проверить правильность решении.
Задачи, связанные движением или задачи с величинами: скорость, время,
расстояние, рассматриваются в 4 классе. Подготовительная работа к решению простых
задач на движение в одном направлении предусматривает обобщение представлений детей
о движении, знакомство с новой величиной «скорость», раскрытие связей между
величинами: скоростью, временем, расстоянием. С целью обобщения о движении полезно
провести специальную экскурсию по наблюдению за движением транспорта, после чего
провести наблюдения в условиях класса, где движения будут демонстрировать сами дети.
На экскурсии и во время работы в классе пронаблюдать за движением одного тела и двух
тел относительно друг друга. Так, одно тело может двигаться быстрее, медленнее, может
остановиться, может двигаться по прямой или кривой. Два тела могут двигаться в одном
направлении, а могут в противоположных, либо приближаясь одно к другому. Наблюдая
указанные ситуации в условиях класса, надо показать детям, как выполняются чертежи:
расстояние принято обозначать отрезком, место (пункт отправления, встречи, прибытия)
обозначают либо точкой на отрезке и соответствующей буквой, либо чёрточкой, либо
флажком; направление движения указывают стрелками.
На рассмотрение связи между скоростью, временем и расстоянием выделяется 4-5
уроков в начале изучения умножения и деления многозначных чисел. Полученные
сведения систематически пользуются в дальнейшем при решении задач «на движение» в
течение всего учебного года. В результате рассмотрения этих вопросов ученик должен
получить представление о новой величине – скорости, которая характеризуется
расстоянием, проходимым в единицу времени. Раскрывается связь между скоростью,
расстоянием и временем (при равномерном движении) в виде формулы V=S|t, где Sпройденное расстояние, V – скорость движения, t- затраченное время. Школьники
учатся решать задачи, в которых по времени и скорости находится путь; по времени и
пути находится скорость; по скорости и пути находится время. На первом из уроков
необходимо, опираясь на жизненный опыт и наблюдения учащихся обратить внимание
детей на то, что некоторые предметы могут двигаться быстрее и медленнее. На
последующих уроках с помощью соответствующих простых задач устанавливается, что
расстояние равно скорости, умноженной на время: S=V*t В ходе решения задачи
(пассажир проехал в автобусе 90 км, скорость автобуса 45 км/ч.Сколько времени ехал
пассажир?) можно получить формулу для вычисления времени:t=S|V. В ходе решения
задач устанавливается, что при равномерном движении за одно и тоже время тело пройдёт
тем большее расстояние, чем больше будет скорость.
7
Методика обучения решению задач «на встречное движение» основывается на
чётких представлениях учащихся о скорости равномерного движения. На основе
жизненных наблюдений выясняется и иллюстрируется смысл слов «двигаться навстречу
друг другу», «в противоположных направлениях», «выехали одновременно из двух
пунктов и встретились через…» и т. п. После наглядной инсценировки каждого из случаев
с помощью учащихся целесообразно с постепенным усложнением научить детей
изображать схему таких задач «в отрезках». Причём стараться соблюдать отношения их
длины в зависимости от скоростей и пройденных (в частности «до встречи»)расстояний.
Если, например, скорость одного поезда была 60 км в час, а другого – 45 км/ч, то первая
стрелка должна быть длиннее второй.
Решим задачу: Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух сёл
и встретились через 3 часа. Первый пешеход шёл со скоростью 4 км/ч, второй – 5км/ч.
Найди расстояние между сёлами. При анализе задачи выясняется: откуда начал движение
каждый пешеход? С какой скоростью двигался каждый? Почему их место встречи на
схеме обозначено ближе к месту выхода одного из пешеходов? Можно спросить при этом:
«В каком случае флажок окажется точно на полпути? Что означает деление слева от
флажка, справа от флажка? Почему они различны по длине? Что означают числа под
стрелками?» Такое подробное рассмотрение учит детей «читать» схему. Возможно, один
из учеников приведёт примерно такое рассуждение: «один пешеход до встречи прошёл
4*3=12 (км), а другой – 5*3=15 (км). Расстояние между сёлами будет 12+15=27 (км). Если
такого ученика не нашлось и предложения детей неполны или неверны, то учитель
проводит, пользуясь наводящими вопросами, эту работу с классом, постепенно подводя
его к составлению по задаче выражения:
4*3+5*3=27 (км) Расстояние между сёлами равно 27 км. В связи с нашей задачей
учитель должен провести специальную работу, на основе которой будет выявлен смысл
понятия «скорость сближения». Для этого по схеме выясняется, что каждый час пешеходы
сближаются на (4+5) км . «На сколько километров сблизятся пешеходы за 3 часа?» Это
даёт нам второй способ решения задачи: (4+5)*3=27 км.
Решим задачу: Из двух посёлков одновременно навстречу друг другу выехали 2
велосипедиста и встретились через 2 часа. Один ехал со скоростью 15 км/ч, а второй –
18 км/ч. Найдите расстояние между посёлками. Что известно о движении
велосипедистов? Что надо узнать? Пусть это будет посёлок, из которого вышел 1
велосипедист (учитель выставляет в наборное полотно карточку с римской цифрой «1»). А
это посёлок из которого выехал 2 велосипедист (выставляет карточку «11»). Двое из вас
будут велосипедистами. (Выходят два ученика). С какой скоростью ехал 1 велосипедист?
(15 км/ч). Это твоя скорость. (Учитель даёт карточку, на которой написано число 15). Это
твоя скорость. (Даёт второму ученику с числом 18). Сколько времени они будут двигаться
до встречи? Начинайте двигаться. Прошёл час (дети вставляют одновременно свои
карточки в наборное полотно). Прошёл второй час.(Дети вставляют карточки).
Встретились ли велосипедисты? (Встретились). Почему? (Шли до встречи 2 часа.
Обозначим место встречи. (Вставляет).Что надо узнать? (Все расстояние). После такого
разбора учащиеся сами находят два способа решения. Решение надо записать с
8
пояснением сначала определёнными действиями, а позднее можно записать выражением
или уравнением.
1 способ: 15*2=30 (км) проехал первый велосипедист
18*2=36 (км) проехал второй велосипедист
30+36=66 (км) расстояние между посёлками
2 способ: 15+18=33 (км) сблизились велосипедисты в 1 час
33*2=66 (км) расстояние между посёлками.
Ответ: 66 км.
Здесь так же, как и при решении других задач, полезно предлагать различные
упражнения творческого характера. В частности, ставится вопрос вида: «Могли ли
велосипедисты (теплоходы, пешеходы и т. п.) встретиться на середине пути? При каких
условиях? Если велосипедисты после встречи будут продолжать движение, то какой из
них придёт раньше к месту выхода другого велосипедиста, если будет двигаться с той же
скоростью и др?
Ознакомление с задачами на движение в противоположных направлениях может
быть проведено аналогично введению задач на встречное движение. Проведя
подготовительную работу, надо, чтобы ученики пронаблюдали движение двух тел
(пешеходов, автомашин, катеров и т. д.) при одновременном выходе их одного пункта.
Ученики должны заметить, что при таком движении расстояние между движущимися
телами увеличивается. При этом надо показать, как выполняется чертёж. Эффективны на
этом этапе упражнения на составление различных задач на движение по данным в таблице
значениям величин и соответствующим выражением.
Скорость
60 км/ч
75 км/ч
Время
4ч
4ч
Предлагается, используя данные таблицы, составить задачи, которые решаются так:60*4;
75*4; (60+75):4; (75-60)*4 По двум последним выражениям ученики могут составить
задачи на встречное движение и на движение в противоположных направлениях.
Рассмотрим следующую задачу: Поезд, отправившись со станции А, прошёл до станции
В за 3ч 210км, после чего он снизил скорость на 10 км/ч. Со сниженной скоростью поезд
шёл от В до следующей станции С в 2 раза дольше, чем от А до В. Определите
расстояние АС.
Задача решается в пять действий:
1) 210:3=70 (км/ч)
2) 70-10=60 (км/ч)
3) 3*2=6 (ч)
9
4) 60*6=360 (км)
5) 210+360=570 (км) Ответ: 570 км.
Полезно рассмотреть другие способы решения задачи.
1)
2)
3)
4)
5)
210*2=420 (км)
210+420=630 (км)
3*2=6 (ч)
10*6=60 (км)
630-60=570 км. Ответ: 570 км.
1) 10*3=30 (км)
2) 210-30=180 (км)
3) 180*2=360 (км)
4) 210+360=570 (км) ответ: 570 км
Для того чтобы организовать разноуровневую работу над задачей в одно и тоже
время, мы используем индивидуальные карточки-задания, которых готовим заранее в трёх
вариантах.
Карточки содержат системы заданий, связанные с анализом и решением
одной и той же задачи, но на разных уровнях. В размноженном виде они предлагаются
учащимся в виде печатной основы. Ученики выполняют задание письменно в специально
отведённом для этого месте. Предлагая ученику вариант оптимального для ученика
уровня сложности, мы осуществляем дифференциацию поисковой деятельности при
решении задач.
Решаем задачи на встречное движение самостоятельно:
1. Из двух городов одновременно отправились навстречу друг другу 2 путника.
Расстояние между городами 63 версты. Один шёл со скоростью 3 версты 125
саженей в час, другой – 7 вёрст 125 саженей в час. Через какое время они
встретятся? (В 1 версте 500 саженей) (Ответ: 6 ч.)
2. Крейсер «Варяг» 27 января 1904 года вышел из порта Чемульпо навстречу
японской эскадре. Его скорость была 500 м/мин, одновременно навстречу ему
двинулись японцы со скоростью 200 м/мин. Через сколько минут корабли
встретились, если расстояние между ними было 21 км? (Ответ: 30 мин.)
3. От линии фронта в штаб по железной дороге был отправлен моторный
броневагон со скоростью 81 км/ч. Одновременно навстречу ему на фронт
отправили из штаба бронепоезд «Илья Муромец», который может проходить за
сутки 1080 км. Через сколько часов поезда встретятся, если между фронтом и
штабом 252 км? (Ответ: 2 ч.)
4. Между городами Саранск и Москва 650 км. Из них вышли одновременно
навстречу друг другу два поезда и встретились через 5 часов. Чему равна
скорость второго поезда, если скорость первого равна 62 км/ч? (Ответ: 86
км/ч.)
5. Два гуся летят навстречу друг другу со скоростью 23 м/с. Через сколько секунд
они встретятся, если расстояние между ними 920 м? (Ответ: 20 с.)
10
Задачи на движение в одном направлении:
1. Бабочка – капустница пролетела 47 с со скоростью 4 м/с, а когда подул попутный
ветер, скорость бабочки увеличилась на 6 м/с, и она пролетела ещё некоторое
количество метров. Какое расстояние бабочка пролетела при попутном ветре, если
всего она пролетела 688 м? (Ответ: 50 м.)
2. Грузовой автомобиль ГАЗ-63 проезжает расстояние 390 км от посёлка Солнечный
до города Хабаровск за 6 ч. За какое время проедет этот же путь грузовик МАЗ525, если его скорость на 35 км/ч меньше? (Ответ: 13 ч.)
3. От Нижнего Новгорода до Москвы поезд шёл 9 ч, а от Москвы до Минска 15 ч с
той же скоростью. Расстояние от Москвы до Минска на 300 км длиннее, чем от
Нижнего Новгорода до Москвы. Сколько всего километров от Нижнего Новгорода
до Минска через Москву? (Ответ: 1200 км)
4. Грузовик выехал из Москвы и 5 ч утра и приехал в Тамбов в 6 ч вечера того же дня.
Останавливался он на пути 8 раз по 15 мин и проезжал по 40 км в час. Сколько км
от Москвы до Тамбова? (Ответ: 480 км.)
5. Первый в мире паравоз, построенный англичанином Тривайтиком, за 2 часа
прошёл 52 км. После того как к нему подцепили 5 вагонов, скорость его
уменьшилось на 18 км/ч. Какое расстояние паразоз прошёл за 10ч? (Ответ: 116 км.)
Задачи на противоположное движение и движение в обратном направлении:
1. От гнезда одновременно в противоположных направлениях полетели 2 ласточки.
Скорость первой 18 м/с, второй – на 2 м/с меньше. Через какое время расстояние
между ними будет 680 м? (Ответ: 20 с.)
2. Два воробья одновременно полетели с одной крыши в противоположных
направлениях. Скорость первого воробья 12 м/с, скорость второго – на 2 м/с
меньше. Какое расстояние будет между ними через 20 с? (Ответ: 440 м.)
3. От одной льдины одновременно в противоположных направлениях поплыли 2
пингвина со скоростью 6 м/с и 7 м/с. Через какое время расстояние между ними
будет 39 м? (Ответ: 3 с.)
4. От одного улья одновременно в противоположных направлениях полетели 2 пчелы
со скоростью 8 м/с и 6 м/с. Сколько пролетела каждая пчела, когда расстояние
между ними стало 126 м? (Ответ: 9 с.)
5. Посыльный катер преодолел расстояние от Североморска до плавбазы подлодок за
8 ч со скоростью 30 км/ч. На обратном пути то же расстояние катер прошёл за 6 ч.
Какова скорость катера на обратном пути? (Ответ: 40 км/ч.)
11
Задачи на движение по суше.
« Решение математической задачи, как правило,
предполагает изобретение специально ведущего
к поставленной цели рассуждения и тем самым
становится – пусть весьма скромным – творческим
актом.»
А.Я.Хинчин.
Процесс обучения решению задач начинается в начальной школе. Ученикам
знакомы многие типы задач. В 5,6 классах круг задач расширяется, вводятся задачи на
проценты, на составление уравнений, умение решать задачи совершенствуется. В
процессе работы над текстовыми задачами я стараюсь добиться у учащихся умения чётко
представлять ситуацию, о которой говориться в задаче, анализировать, сопоставлять,
устанавливать зависимость между величинами, участвующими в данной задаче,
например, между скоростью, временем и расстоянием; работой, продолжительностью и
временем и т.п. Все задачи на составление уравнений можно решать по схеме:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Анализ и краткая запись условия задачи. Построение чертежа, если он необходим.
Выявление оснований для составления уравнения.
Составление уравнения.
Решение уравнения.
Исследования корней уравнения.
Запись ответа.
Умение решать задачу несколькими способами является одним из признаков хорошей
подготовки школьников по математике. Обучение поискам нескольких способов решения
задачи – это одна из форм учебной работы по развитию математического мышления
школьников, их общего развития.
Выше изложенные принципы работы над задачей рассмотрим подробнее на
конкретных примерах далее.
В 5 классе закрепляем полученные знания начальной школы.

S=Vt

V=S/t


t=S/V

если движение происходит из одной точки в разные стороны, то скорости и
расстояния складываются;
если движение происходит навстречу друг другу, то скорости и пройденные
расстояния складываются.
Перед решением задачу составляем таблицу. А при составлении таблицы обязательно
обращаем внимание на следующее, если речь идёт о двух телах:
12
1. При составлении столбика «время»
 вышли они одновременно или нет?
 какое тело находилось в пути дольше и на сколько часов?
 какое тело находилось данное время в пути или это общее время?
2. При заполнении столбика «расстояние»
 какое тело прошло заданное расстояние или это общее расстояние. В
зависимости от этого пройденное расстояние проставляем или напротив
каждого тела, или объединяем два тела.
 Какое тело прошло большее расстояние и на сколько, или они прошли
одинаковое расстояние.
На эти же самые пункты обращаем внимание, если речь идёт не о двух телах, а об одном
теле, движение которого разбито на части.
Решение задач на движение двух тел в противоположных направлениях.
Задача 1. Одновременно из одного пункта в противоположных направлениях вышли два
пешехода. Один из них шёл со скоростью 6 км/ч, а другой 4 км/ч. Какое расстояние будет
между ними через 3 часа?
? км
4 км/ч
3ч
6 км/ч
3ч
Решение
1 пешеход
2 пешеход
Скорость
6 км/ч
4 км/ч
Время
3 ч.
3 ч.
Расстояние
?
?
?
1 способ: (6+4)*3=30 (км)
2 способ: 6*3+4*3=30 (км)
Ответ: 30 км.
Задача 2. Одновременно из одного пункта в противоположных направлениях вышли два
пешехода. Один из них шёл со скоростью 6 км/ч, а другой 4 км/ч. Через сколько времени
пешеходы удалятся друг от друга на 30 км?
30 км
4 км/ч
6 км/ч
13
Решение
Скорость
6 км/ч
4 км//ч
1 пешеход
2 пешеход
Время
xч
хч
Расстояние
6х
30 км
4х
1 способ: 6х+4х=30
х=3 Пешеходы удалятся друг от друга на 30 км через 3 часа.
2 способ: (6+4)*х=30
х=3 Ответ: 3 часа.
Задача 3. Одновременно из одного пункта в противоположных направлениях вышли два
пешехода. Один из них шёл со скоростью 6 км/ч. Через 3 часа пешеходы удалились друг
от друга на 30 км. Определите скорость другого пешехода.
30 км
х км/ч
6 км/ч
3ч
3ч
Решение
(До заполнения таблицы выясняем, что обозначаем через х: то, о чём спрашивается в
вопросе задачи). Заполнив 2 столбика, опять проговариваем фразу: «Третий столбик
заполняем, глядя на первые два. Третий столбик нам даёт уравнение.»
Скорость
6 км/ч
х км/ч
1 пешеход
2 пешеход
Время
3ч
3ч
Расстояние
6*3 км
3х км
30 км
1 способ: 6*3+3х=30
х=4
2 способ: (без помощи уравнения)
(30-18):3=4
Ответ: 4 км/ч.
Решить самостоятельно задачу 4. По данным таблицы составьте задачи на движение
двух тел в противоположных направлениях при одновременном начале движения из
одного пункта. Найдите неизвестные величины.
14
Задача
Движущиеся тела
Скорость первого тела
Скорость второго тела
Общее
время
движения
Путь,
пройденный
первым телом
Путь,
пройденный
вторым телом
Тела удалились на
1
Велосипедисты
20 км/ч
23 км/ч
2ч
2
Лыжники
12 км/ч
9 км/ч
хч
3
Катера
х км/ч
14 км/ч
5ч
4
Поезда
50 км/ч
х км/ч
6ч
?
12х км
?
?
?
?
9х км
12х+9х=63
?
120 км
?
540 км
В следующих заданиях составить уравнение и решать задачу.
Задача 5. Из одного и того же пункта одновременно в противоположных направлениях
вышли два пешехода. Через 2 часа расстояние между ними стало 16 км. Найдите скорость
второго пешехода, если скорость первого была 5 км/ч. (ответ: 10+2х=16; 3 км/ч)
Задача 6. Из одного и того же пункта одновременно в противоположных направлениях
вышли два пешехода. Через 3 часа расстояние между ними стало 27 км. Найдите скорость
второго пешехода, если скорость первого была 4 км/ч. (ответ: 12+3х=27; 5км/ч)
Задача 7. Из одного и того же пункта в противоположных направлениях выехали
одновременно две автомашины. Скорость одной из них 55 км/ч, скорость другой – 65км/ч.
Через сколько часов расстояние между ними будет 600 км? (ответ: 55х+65х=600; 5ч.)
Решение задач на встречное движение двух тел.
Задача 1. Одновременно из двух пунктов навстречу друг другу вышли два пешехода.
Через 3 часа они встретились. Какое расстояние до встречи прошёл каждый пешеход и
какое расстояние было между пунктами, если один пешеход шёл со скоростью 6 км/ч, а
другой – со скоростью 4 км/ч?
? км
4 км/ч
3ч
6 км/ч
3ч
Решение
1 пешеход
2 пешеход
Скорость
4 км/ч
6 км/ч
Время
3ч
3ч
a. 4*3=12 (км) – прошёл 1 пешеход
b. 6*3-18 (км) – прошёл 2 пешеход
Расстояние
?
?
15
c. 12+18=30 (км) – расстоянии е между пунктами
Ответ: 12 км; 18 км; 30 км.
Задача 2. Из двух пунктов, находящихся на расстоянии 30 км, одновременно навстречу
друг другу вышли два пешехода. Один из них проходит в час 6 км, а другой 4 км. Через
сколько часов пешеходы встретятся и какое расстояние пройдёт каждый из них до
встречи.
30 км
? км
7 км
4 км/ч
6 км/ч
хч
хч
Решение:
1 пешеход
2 пешеход
Скорость
4 км/ч
6 км/ч
Время
хч
хч
Расстояние
4х км
6х км
30
км
1) 6х+4х=30 х=3 (3 ч.)
2) 4*3=12 (км)
3) 6*3 (км)
Ответ: 3 ч; 12 км;18 км
Задача3. Из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км, одновременно навстречу
друг другу вышли два пешехода. Через 3 ч пешеходы встретились. Скорость одного
пешехода 4 км/ч. Найдите скорость другого.
Решение.
30 км
4 км/ч
3ч
1 пешеход
2 пешеход
4*3+3х=30
3х=30-12
х=6 (км/ч)
Ответ: 6 км/ч
Скорость
4 км/ч
х км/ч
х км/ч
3ч
Время
3ч
3ч
Расстояние
4*3 км
30 км
3х км
16
Решать самостоятельно задачу 4: по данным таблицы составьте задачи на встречное
движение двух тел при одновременном начале движения из двух пунктов. Найдите
неизвестные величины.
Задача
Движущиеся тела
1
Бегуны
2
Лодки
3
Катера
4
Поезда
Скорость первого тела
Скорость второго тела
Время движения до
встречи
Расстояние между
пунктами
Путь, пройденный первым
телом
Путь, пройденный вторым
телом
Уравнение
7 м/с
8 м/с
12 км/ч
9 км/ч
15 км/ч
х км/ч
Х км/ч
47 км/ч
хс
хч
5ч
4ч
120 м
84 км
160 км
360 км
7х м
?
15*5 км
?
8х м
7х+8х=120
?
?
х*5
?
?
?
В следующих заданиях составить уравнения и решить задачу.
Задача 5. Из двух городов навстречу друг другу вышли одновременно два поезда.
Скорость одного из них 70 км/ч, скорость другого – 80 км/ч. Через сколько часов они
встретятся, если расстояние между городами 900 км? (ответ: 70х+80х=900; 5ч.)
Задача 6. Из двух городов, расстояние между которыми 162 км, одновременно
навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Скорость одного на 3 км/ч больше
скорости другого. Встреча произошла через 6ч после их выезда. С какой скоростью ехал
каждый велосипедист? (ответ: 6х+6(х+3)=162; 12 км/ч)
Задача 7. Из городов А и В, расстояние между которыми 240 км, одновременно
навстречу друг другу выехали два поезда. Встретились они через 2,4 часа. Скорость
одного поезда больше скорости другого на 10 км/ч. Найдите скорость каждого поезда.
(ответ: 2,4(х+10)+2,4х=420; 82,5 км/ч; 92,5 км/ч)
Решение задач на движение двух тел в одном направлении.
Задача 1. Одновременно из одного пункта в одном направлении вышли два пешехода.
Первый пешеход идёт со скоростью 6 км/ч, а другой – со скоростью 4 км/ч. Какое
расстояние будет между пешеходами через 5 часов?
Решение:
? км
4 км/ч
5 ч.
6 км/ч
17
1 пешеход
2 пешеход
Скорость
6 км/ч
4 км/ч
Время
5ч
5ч
Расстояние
? 6*5 км
?
4*5
30
км
км
1) 6*5=30 (км) – прошёл первый пешеход
2) 4*5=20 (км) – прошёл второй пешеход
3) 30-20=10 (км) - расстояние между пешеходами через 5 часов.
Ответ: 10 км.
Задача 2. Одновременно из одного пункта в одном направлении вышли два пешехода.
Первый пешеход идёт со скоростью 6 км/ч, а второй – со скоростью 4км/ч. Через сколько
часов второй пешеход отстанет от первого на 10 км?
Решение:
х ч 4 км/ч
10 км
х ч
1 пешеход
2 пешеход
Скорость
6 км/ч
4 км/ч
6 км/ч
Время
хч
хч
Расстояние
6х км, на 10>,чем
4х км
Составив таблицу, выясняем, что это задача на сравнение и уравнение составляем,
проговорим фразу: «из большего отнимаем меньшее, получаем разницу».
6х-4х=10
2х=10
х=5 Ответ: второй пешеход отстанет от первого на 10 км через 5 часов.
Задача 3. Одновременно из одного пункта в одном направлении вышли два пешехода.
Скорость первого пешехода 6 км/ч. Через 5 ч второй пешеход отстал от первого на 10 км.
С какой скоростью шёл второй пешеход?
Решение:
5ч
10 км
х км/ ч
5ч
6км/ч
18
Скорость
6 км/ч
х км/ч
1 пешеход
2 пешеход
Время
5ч
5ч
Расстояние
6*5 км, на 10>,чем
5х км
Задача на сравнение: 5*6-5х=10
……………
х=4
Ответ: второй пешеход шёл со скоростью 4 км/ч
Задача 4. Одновременно из двух пунктов вышли два пешехода. Первый пешеход,
идущий со скоростью 6 км/ч, через 5 ч догнал второго, идущего со скоростью 4 км/ч.
Какое расстояние между пешеходами было первоначально?
Решение:
5 ч.
6 км/ч
4 км/ч
х км
Скорость
6 км/ч
4 км/ч
1 пешеход
2 пешеход
Время
5ч
5ч
Расстояние
? 6*5 км
? 4*5 км
1) 6*5=30 (км) – прошёл первый пешеход
2) 4*5=20 (км) – прошёл второй пешеход
3) 30-20-=10 (км) – первоначальное расстояние между пешеходами.
Ответ: 10 км.
Задача 5. Первый пешеход, идущий со скоростью 6 км/ч, догоняет второго, идущего со
скоростью 4 км/ч. Через сколько часов первый пешеход догонит второго, если
первоначально расстояние между ними было 10 км и они вышли одновременно?
Решение:
6 км/ч
10 км
4 км/ч
х ч
19
1 пешеход
2 пешеход
Скорость
6 км/ч
4 км/ч
Время
хч
хч
Расстояние
6х, на 10км>, чем
4х
6х-4х=10
2х=10
х=5 Ответ: первый пешеход догонит второго через 5ч.
В следующих заданиях составить уравнение и решить задачу.
Задача 6. Из двух пунктов в одном направлении выехали два велосипедиста. Скорость
одного из них 11 км/ч, а скорость другого – 13 км/ч. Через сколько часов первый
велосипедист догонит второго, если расстояние между пунктам 12 км?
(Ответ: 13х-11х=12; 6 км/ч)
Задача 7. Из Саратова в Москву вышел пассажирский поезд со скоростью 55 км/ч, а
через 2 часа вслед за ним отправился скорый поезд со скоростью 66 км/ч. На каком
расстоянии от Москвы второй поезд догонит первый, если расстояние от Саратова до
Москвы 855 км?
(Ответ: 66х=55(х+2); 195км)
Задача 8. Со станции вышел поезд, скорость которого 48 км/ч, а через 1,25 ч за ним
вышел второй поезд, скорость которого 56 км/ч. На каком расстоянии от станции
отправления второй поезд догонит первый?
(Ответ: 48(х+1,25)=56х; 420 км)
Задача 9. Из одного пункта в одном направлении одновременно выехали автомобилист
и мотоциклист. Скорость автомобиля 63 км/ч, скорость мотоцикла 48 км/ч. Через сколько
часов расстояние между ними будет равно 75 км?
(Ответ: 63х-48х=75: 5 ч)
20
Задачи на движение по водоёму.
Ученик с 5 класса должен знать:

Скорость по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения
реки.
Скорость против течения равна разности собственной скорости и скорости
течения реки.
Скорость по озеру равна собственной скорости.
Собственная скорость равна половине суммы скорости по течению и скорости
против течения.



Краткая запись всех задач оформляется, как, обычно, в таблицу. В начале изучения
таких задач выясняем, что, когда плывём по течению, течение нам помогает плыть,
поэтому мы к своей скорости прибавляем скорость течения, против когда плывём против
течения, течение нам мешает плыть, поэтому мы из своей скорости вычитаем скорость
течения. У основной массы класса такие задачи не вызывают затруднений, поэтому,
подробное решение и оформление таких задач не будем. Как обычно, два столбика
заполняем по условию задачи, третий по первым двум. И этот столбик нам даёт
уравнение. Дальше смотрим, к какому типу относится задача: на сравнение или на
сложение величин, если это необходимо.
Задача 1. Катер прошёл 20 км по течению реки и такой же путь обратно, затратив на
весь путь 1 ч 45 мин. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите время катера в пути.
Пусть х км/ч – собственная скорость катера. Какое из уравнений соответствует условию
задачи.
1)
2)
3)
4)
20/(х+2)=1,45
20/(х-2)-20/(х+2)=1,45
20/(х-2)+20/(х+2)=7/4
20/(2-х)+20(2+х)=7/4
Решение:
Скорость
Время
По течению
х+2 км/ч
20/(х+2) ч
Против течения
х-2 км/ч
20/(х-2) ч
Путь
1ч
45 мин
20 км
20 км
Эта задача на сложение величин. Переводим минуты в часы, 1 ч 45 мин.=7/4 ч., получаем
уравнение:
20/(х+2)+20(х-2)=7/4.
Ответ: 3
21
Задача 2. Катер прошёл 3 км по течению реки на 30 минут быстрее, чем 8 км против
течения реки. Собственная скорость катера 15 км/ч.
Пусть х км/ч – скорость течения реки. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
1)
2)
3)
4)
3/(15-х)-8(15+х)=0,5
8/(15-х)-3(15+х)=0,5
8/(х-15)-3(х+15)=0,5
8/(15-х)+3(15+х)=30
Решение:
По течению
Против течения
Скорость
х+15 км/ч
15-х км/ч
Время
3/(15+х) ч, на 30 мин.< чем
8/(15-х) ч
Путь
3 км
8 км
Эта задача на сравнение, из большего отнимаем меньшее, получаем разницу, так как 30
мин это 0,5 ч , то получаем:
8/(15-х)-3/(15+х)=0,5
Ответ: 2
В следующих заданиях составить уравнение.
Задача 3. Катер прошёл 30 км по течению реки и 13 км против течения, затратив на весь
путь 1 ч 30 мин. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки равна 2
км/ч?
(Ответ: 30/(х+2)+13/(х-2)=1,5)
Задача 4. Туристы проплыли на байдарке против течения реки 6 км и вернулись
обратно. На все путешествие они затратили 4 ч 30 мин. Какова собственная скорость
байдарки, если скорость течения реки 1 км/ч?
(Ответ:6(х+1)+6(х-1)=4,5)
Задача 5. Моторная лодка шла 0,4 ч по озеру и 0,3 ч по течению реки, скорость течения
которой 2 км/ч. Всего моторная лодка прошла 9 км. Найдите её собственную скорость.
(Ответ: 0,4(х+2)+0,4(х-2)=9)
Задача 6. Катер прошёл 0,6 ч против течения реки, скорость течения которой 2,5 км/ч, и
0,4 ч по озеру. Всего катер прошёл 17 км. Найдите собственную скорость катера.
(Ответ: 0,6(х-2,5)+0,4х=17)
22
Тренировочные тестовые задания для 9 класса (1 часть теста)
Задача 1. За три часа мотоциклист проехал а км. Скорость велосипедиста в 2 раза
меньше скорости мотоциклиста. Какое расстояние проедет велосипедист за 5 ч?
1.
2.
3.
4.
5а/6 км
6/(5а) км
15/(2а) км
2а/15 км
Решение:
Второй и третий столбик заполняем по условию задачи.
Скорость
Мотоциклист
Велосипедист
Время
3ч
5ч
Расстояние
а км
Т.к. v=s/t, то скорость мотоциклиста а/3 км/ч, а скорость велосипедиста в 2 раза меньше
скорости мотоциклиста, то скорость велосипедиста (а/3):2=а/6. Так как s=vt, то
велосипедист прошёл (а/6)*5=(5а)/6.
Мотоциклист
Велосипедист
Скорость
а/3 км/ч
а/6 км/ч
Время
3ч
5ч
Расстояние
а км
(5а)/6
Ответ: 1.
Задача 2. Скорость велосипедиста от посёлка до станции была на 1 км/ч больше, чем на
обратном пути. На обратный путь он затратил на 2 минуты больше. Расстояние между
пунктами 7 км. Найдите первоначальную скорость велосипедиста.
Пусть х – скорость велосипедиста от посёлка до станции. Какое из уравнений
соответствует условию задачи?
1)
2)
3)
4)
7/(х+1)-7/х=1/30
7/(х-1)-7/х=1/30
7/(х-1)+7/х=2
7/(х-1/30)-7/х=1
Решение:
От посёлка до стан.
Обратная путь
Скорость
х км/ч
х-1 км/ч
Время
7/х ч
7/(х-1) ч, на 2
мин>, чем
Расстояние
7 км
7 км
23
Задача на сравнение. Минуты переводим на часы. 2 мин.=2/60 ч=1/30 ч. Получим
уравнение:
7/(х-1)-7/х=1/30.
Ответ: 2.
Решаем самостоятельно;
1.Расстояние между двумя станциями равно 420 км. Два поезда вышли из них
одновременно и встретились через 3 часа. Найдите скорость каждого поезда, если у
одного она на 20 км/ч больше, чем у другого.
Обозначьте буквой х большую из скорости поездов и составьте уравнение по условию
задачи.
1)
2)
3)
4)
3х+3х=20=420
3х+3(х-20)=420
420/х+420/(х-20)=3
420/х+420/(х-20)=20
Ответ: 2
2.Автомобиль проезжает расстояние между двумя городами за 5 часов, а поезд – за 4 часа.
Скорость автомобиля на 25 км/ч меньше скорости поезда. Найдите скорость поезда.
Обозначьте скорость поезда буквой х и составьте уравнение по условию задачи.
1)
2)
3)
4)
4х=5х-25
4(х-25)=5х
4/х=5/(х-25)
4х=5(х-25)
Ответ: 4
3.Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью
10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь
туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?
Пусть х часов – время, затраченное на дорогу от озера до деревни. Какое из уравнений
соответствует условию задачи?
1)
2)
3)
4)
15х=10(1-х)
15/х+10(1-х)=1
15х+10(1-х)=1
15(1-х)=10х
Ответ: 1
24
4.Лыжник от озера до деревни шёл со скоростью 15 км/ч, а обратно – со скоростью 12
км/ч. Сколько времени ушло у него на обратную дорогу, если на весь путь туда и обратно
лыжник затратил 3 ч?
Пусть х ч – время на обратную дорогу. Какое из уравнений соответствует условию
задачи?
1)
2)
3)
4)
15(3-х)=12х
15/х+12/(3-х)=3
15х+12(3-х)=3
15х=12(3-х)
Ответ: 1
5.Скорость первого велосипедиста на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому на путь
длиной 20 км ему потребовалось на 20 минут меньше, чем второму. Чему равны cкорости
велосипедистов?
Пусть х км/ч – скорость первого велосипедиста. Какое из уравнений соответствует
условию задачи?
1)
2)
3)
4)
20/х-20/(х-3)=1/3
20/(х-3)-20/х=1/3
20/(х-3)-20/х=20
20х-20/(х-3)=20
Ответ: 2
6.Скорость первого пешехода на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому на путь длиной
5 км ему потребовалось на 15 мин меньше, чем второму. Чему равны скорости
пешеходов?
Пусть х км/ч – скорость первого пешехода. Какое из уравнений соответствует условию
задачи?
1)
2)
3)
4)
5/(х-1)-5/х=1/4
5/х-5/(х-1)=1/4
5/(х-1)-5/х=15
5х-5/(х-1)=15
Ответ: 1
7.За а ч пешеход прошёл 17 км. Скорость велосипедиста в 3 раза больше скорости
пешехода. Какое расстояние проедет велосипедист за b ч?
1)
2)
3)
4)
(17*3*b)/а км
(а*3*b)/17 км
(а*17)/(3b) км
(аb)/(17*3) км
25
Ответ: 1
8.Скорость пешехода от посёлка до станции, расстояние между которыми 4 км, была на 1
км/ч больше, чем на обратном пути. Время его обратного пути на 12 минут больше. Чему
равны скорости пешеходов?
Пусть х км/ч – скорость пешехода от посёлка до станции. Какое из уравнений
соответствует условию задачи?
1)
2)
3)
4)
4/(х+1)-4х=1/5
4/(х-1)-4/х=1/5
4/х-4/(х-1)=12
4/(х-1)-4/х=12
Ответ: 2
9.Расстояние между двумя причалами по реке 14 км. На путь от одного причала до
другого против течения моторная лодка затратила на 1 час больше, чем на обратный путь
по течению. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.
Обозначьте буквой х собственную скорость лодки (в км/ч) и составьте уравнение по
условию задачи.
1)
2)
3)
4)
14/(х-2)-14/(х+2)=1
14/(х+2)-14/(х-2)=1
14(х+2)-14(х-2)=1
14(х-2)-1=14(х+2)
Ответ: 1
10.Лодка плыла от одного причала до другого, расстояние между которыми 25 км, и
вернулась обратно. На путь по течению лодка затратила на 1 час меньше. Чем на путь
против течения. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки 8 км/ч.
Обозначьте буквой х скорость течения реки (в км/ч) и составьте уравнение по условию
задачи.
1)
2)
3)
4)
25/(8+х)-25/(8-х)=1
25/(8-х)-25/(8+х)=1
25(8+х)-25(8-х)=1
25/(х-8)-25/(х+8)=1
Ответ: 2
11.Лодка плыла 5 ч по течению реки и 2 ч против течения. Всего она проплыла 40 км.
Скорость течения реки равна 3 км/ч. Чему равна собственная скорость лодки?
Обозначьте буквой х собственную скорость лодки (в км/ч) и составьте уравнение по
условию задачи.
1) 2(х+3)+5(х-3)=40
26
2) 5(х+3)+2(х-3)=40
3) (х+3)/5+(х-3)/2=40
4) 5/(х+3)+2/(х-3)=40
Ответ: 2
12.Теплоход шёл 2 ч по течению реки и5 ч против течения. Всего он прошёл 150 км.
Найдите собственную скорость теплохода, если известно, что скорость течения реки 2
км/ч.
Обозначьте буквой х собственную скорость теплохода (в км/ч) и составьте уравнение по
условию задачи.
1)
2)
3)
4)
2/(х+2)+5/(х-2)=150
(х+2)/2+(х-2)/5=150
2(х+2)+5(х-2)=150
5(х+2)+2(х-2)=150
Ответ: 3
13.Моторная лодка прошла по течению реки 15 км и вернулась обратно, затратив на
обратный путь на 40 мин больше. Скорость течения реки 3 км/ч.
Пусть х км/ч – собственная скорость лодки. Какое из уравнений соответствует условию
задачи?
1)
2)
3)
4)
15/(х-3)-15/(х+3)=2/3
15/(х-3)-15/(х+3)=40
15/(х+3)-15/(х-3)=2/3
15/(х+3)+15/(х-3)=40
Ответ: 1
14.Катер прошёл по течению реки 8км и вернулся обратно, потратив на весь путь 5 часов.
Скорость течения реки 3 км/ч. Какова собственная скорость катера?
Обозначьте собственную скорость катера буквой х и составьте уравнение по условию
задачи.
1)
2)
3)
4)
2,5(х+3)+2,5(х-3)=8
8/(х+3)+8/(х-3)=5
5/(х+3)+5/(х-3)=8
(х+3)/5+(х-3)/5=8
Ответ: 2
15. Теплоход прошёл вверх по реке 48 км и вернулся обратно, потратив на весь путь 7
часов. Собственная скорость теплохода – 12 км/ч. Найдите скорость течения реки.
Обозначьте скорость течения реки буквой х и составьте уравнение по условию задачи.
27
1)
2)
3)
4)
7/(12-х)+7/(12+х)=48
48/(12-х)+48/(12+х)=7
(12-х)/7+(12+х)/7=48
24(12+х)+24(12-х)=7
Ответ: 2
16. Лодка за одно и то же время может проплыть 30 км по течению реки или 18 км против
течения. Найдите собственную скорость лодки. Если скорость течения реки равна 2 км/ч.
Обозначьте собственную скорость лодки буквой х и составьте уравнение по условию
задачи.
1)
2)
3)
4)
3/(х-2)=18/(х+2)
30(х+2)=18(х-2)
30/х=18/(х-2)
30/(х+2)=18/(х-2)
Ответ: 4
17.Моторная лодка курсирует между двумя пристанями, расстояние между которыми по
реке равно 4 км. На путь по течению у неё уходит на 3 мин меньше, чем на путь против
течения. Чему равна скорость течения реки, если известно, что скорость лодки в стоячей
воде равна 18 км/ч?
Пусть х км/ч – скорость течения реки. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
1)
2)
3)
4)
4/(18-х)-4/(18+х)=1/20
(18-х)/4-(18+х)/4=3
4(18+х)-4(18-х)=1/20
4(18+х)-4(18-х)=3
Ответ: 1
18.Лодка сначала плыла 4 ч по озеру, а потом 5 ч по реке против течения. За это время
она проплыла 30 км. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
Пусть х км/ч – собственная скорость лодки. Какое уравнение соответствует условию
задачи?
1)
2)
3)
4)
4х+5(х+3)=30
4х+5х-3=30
4х+5(х-3)=30
4/х+5/(х-3)=30
Ответ: 3
19. Самолёт летит со скоростью 850 км/ч. За 2,5 часа он пролетел 0,8 всего маршрута.
Найдите длину маршрута самолёта.
28
Какое уравнение соответствует условию задачи, если буквой х обозначена длина
маршрута (в км)?
1)
2)
3)
4)
0,8х=850*2,5
х=0,8*850*2,5
0,8/х=850*2,5
х*0,8=850*2,5
Ответ: 1
20.Теплоход прошёл по течению реки 24 км и столько же обратно, затратив на весь путь 7
ч. Определите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 1 км/ч.
Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, если буквой х обозначена
собственная скорость теплохода (в км/ч)
1)
2)
3)
4)
24/(х+1)+24/(х-1)=7
24/(1-х)+24/(1+х)=7
7((х+1)+(х-1))=24*2
3,5(х+1)+3,5(х-1)=24
Ответ: 1
21.От турбазы до станции турист доехал на велосипеде за 5 часов. На мопеде он смог бы
проехать это расстояние за 3 ч. Известно, что на мопеде он едет со скоростью на 8 км/ч
большей, чем на велосипеде. Какое расстояние (в км) от турбазы до станции?
Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, если буквой х обозначено
расстояние (в км) от турбазы до станции.
1)
2)
3)
4)
х/5-х/3=8
5(х-8)=3х
5х=3(х+8)
х/3-х/5=8
Ответ: 4
22.Расстояние между двумя причалами по реке равно 12 км. На путь от одного причала до
другого и обратно лодка затратила 8 ч. Найдите собственную скорость лодки, если
скорость реки 4 км/ч.
Пусть х км/ч – собственная скорость лодки. Выберите уравнение, соответствующее
условию задачи.
1)
2)
3)
4)
12(4-х)+12(4+х)=8
8((4-х)+(4+х))=12*2
12/(4+х)+12/(4-х)=8
12/(х+4)+12/(х-4)=8
Ответ: 4
29
Тренировочные текстовые задачи для 11 класса.
Задания В12.
1.Моторная лодка прошла 80 км от пункта А до пункта В и после трёхчасовой стоянки
вернулась обратно, затратив на весь путь 12 часов .Найдите скорость лодки в
неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Пусть х км/ч – скорость лодки в неподвижной воде
По течению
Против течения
Скорость
х+2 км/ч
х-2 км/ч
Время
80/(х+2)
80(х-2)
Путь
80 км
80 км
80/(х+2)+80/(х-2)=12-3
9х^2-160х-36=0
х=-2/9 – не удовлетворяет условию задачи
х=18 км/ч
Ответ: 18.
2. Байдарка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в
пункте В 45 минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00 того же дня.
Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения
реки равна 3 км/ч.
Решение:
Легко понять, что плыла байдарка всего 16-10-11/3=42/3 (ч)
Составим по условию задачи уравнение и решаем 15/(х+3)+15/(х-3)=14/3
14х2-90х-56=0
х1=7 км/ч
х2= -4/7 км/ч – не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 7
3. Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый весь путь проехал с
постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей
скорости первого на 16 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 96 км/ч, в
результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость
первого автомобиля, если известно, что она больше 57 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение: Поскольку речь в задаче идёт о половинах пути, весь путь удобно принять за
2. Тогда половина пути 1 и х км/ч – скорость первого автомобиля.
2/х=1/(х-16)+1/96
30
х2-112х+32*96=0
х1=64 км/ч
х2=48 км/ч
По условию подходит большее значение скорости, равное 64 км/ч.
Ответ: 64
4.Моторная лодка прошла против течения реки 120 км и вернулась в пункт отправления,
затратив на обратный путь на 2 ч меньше времени. Найдите скорость лодки в
неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение: Примем скорость лодки в неподвижной (стоячей) воде за х км/ч, тогда её
скорость по течению (х+1) км/ч, а против течения (х-1) км/ч.
120/(х-1)-120/(х+1)=2
120(х+1)-120(х-1)=2(х2-1)
2х2-2=240
х=11 Ответ: 11.
5.Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 315 км и после стоянки
возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в
неподвижной воде равна 18 км/ч, стоянка длится 6 ч, а в пункт отправления теплоход
возвращается через 42 ч после попытки из него. Ответ дайте в км/ч.
Решение: Скорость течения х км/ч. Скорость теплохода по течению (18+х) км/ч, а против
течения – (18-х) км/ч
315/(18+х) – время теплохода по течению
315/(18-х) – время теплохода против течения
315/(18+х)+315/(18-х)=42-6
36х2-324=0
х2=9
х=3
Ответ:
6.Теплоход отошёл от пристани одновременно с плотом и прошёл вниз по реке 42 км.
Сделав остановку на 1 час, он двинулся обратно вверх по реке. Пройдя 12 км, он
встретился с плотом. Во сколько раз собственная скорость теплохода больше скорости
течения реки, если скорость течения реки равна 4 км/ч?
Решение: х – собственная скорость теплохода
По течению
Против течения
Скорость
х+4 км/ч
х-4 км/ч
Время
42/(х+2)
12/(х-2)
Путь
42 км
12 км
31
К моменту встречи теплохода с плотом плот прошёл 30 км за 30/4 =7,5 часов. Получаем
уравнение: 42/(х+4)+1+12/(х-4)=7,5
13х2-108х+32=0
х1=2,75
х2 =8 По смыслу задачи скорость теплохода больше скорости течения, тогда скорость
теплохода равна 8, то есть в 2 раза больше скорости течения.
Ответ: 2.
7.Теплоход проходит от пристани А до пристани В по течению реки за 3 ч, а против
течения за 4 ч. За сколько часов проплывёт это расстояние плот?
Решение: Пусть х км/ч – собственная скорость теплохода, у км/ч – скорость течения реки,
S км – расстояние от пристани А до пристани В.
По условию S=3(х+у), S=4(х-у), требуется найти S/у
3(х+у)=4(х-у), х=7у, S=3(х+у)=24у, тогда S/у=24
Ответ: 24
8.Расстояние между двумя городами 180 км. Рейсовый автобус проходит это расстояние
на 27 минут медленнее маршрутного такси. Если скорость автобуса увеличить на 10 км/ч,
а маршрутного такси уменьшить на 10 км/ч, то они будут проходить это расстояние за
равное время. Определите первоначальную скорость автобуса.
Решение: х км/ч –первоначальная скорость автобуса, у км/ч – скорость маршрутного
такси.180/х – время автобуса, 180/у – время такси. Из условия следует, что автобус был в
пути на 27 мин дольше. 180/х-180/у=27/60=9/20
После изменения скорости автобус прошёл 180 км – за 180/(х+10) ч, а маршрутное такси –
за 180/(у-10) Из условии следует, что 180/(х+10)=180/(у-10) Решаем систему уравнений.
у=х+20 и 20/х – 20/(х+20)=1/20 отсюда: х+20-х=(х2+20х)/400; х2+20х-8000=0
х1=-100 х2=80 По смыслу задачи х>0, значит искомое значение скорости автобуса равно
80 км/ч. Ответ: 80.
9.Велосипедист ехал из А в В со скоростью 15 км/ч, а возвращался назад со скоростью 10
км/ч. Какова средняя скорость велосипедиста на всём участке?
Решение: Решим задачу с помощью «лишнего» неизвестного. Пусть – х км – расстояние
от А до В, тогда х/15+х/10=х/6 ч затрачено на путь туда и обратно. Вычислим среднюю
скорость, поделив пройденный путь на время движения: 2х:х/6=2х*6/х=12 (км/ч)
Ответ: 12
32
10.Из пункта А и В навстречу друг другу в 11:00 вышли два поезда. Двигаясь с
постоянными скоростями, они встретились в 12:00, после чего продолжили движение. В
13:15 первый поезд прибыл в пункт В. Сколько минут был в пути второй поезд? (Ответ
11.Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 15 км/ч, проходит по течению
реки до пункта назначения и после стоянки возвращается в исходный пункт. Найдите
расстояние, пройденное теплоходом за весь рейс, если скорость течения равна 3 км/ч,
стоянка длится 2 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 12 часов после
отплытия из него. Ответ дайте в километрах. (Ответ: 144)
12.Катер в 10:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. пробыв в
пункте В 4 часа, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18:00 того же дня.
Определите (в км/ч) собственную скорость катера, если известно, что скорость течения
реки равна 2 км/ч.
13.Моторная лодка прошла путь от пункта А до пункта В и обратно без остановок за 9
часов. Найдите расстояние между пунктами А и В, если скорость лодки в неподвижной
воде равна 18 км/ч, а скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в километрах. (Ответ; 80)
14.Товарный поезд, идущий со скоростью 30 км/ч, проезжает мимо придорожного столба
за 36 секунд. Определите длину поезда (в метрах) (Ответ:300)
15.Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 90 км/ч, а вторую – со
скоростью – 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Ответ дайте в км/ч. (Ответ: 72)
16.Велосипедист проехал с постоянной скоростью из города А в город В , расстояние до
которого равно 120 км. Возвращался из пункта А на следующий день он со скоростью, на
2 км/ч большей прежней. По дороге он сделал остановку на 2 ч. В результате на обратный
путь он затратил столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость
велосипедиста на пути из А в В, Ответ дайте в км/ч. (Ответ: 10)
17.Два велосипедиста одновременно отправились в 96- километровый пробег. Первый
ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4
часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
Ответ дайте в км/ч. (Ответ:)
18.Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки
возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если
скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 ч, а в пункт отправления теплоход
возвращается через 34 ч после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч. (Ответ: 16)
19.Катер в 11:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в
пункте В 2 ч 40 мин, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 19:00. Определите (в
км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 12
км/ч. (Ответ: 3)
33
20.Моторная лодка прошла против течения 24 км и вернулась обратно, затратив на
обратный путь на 20 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость (в
км/ч) лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. (Ответ: 21)
21.Два автомобиля отправляются в 420 – километровый пробег. Первый едет со
скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 час раньше
второго. Найдите скорость автомобиля, пришедшего к финишу первым. (Ответ: 60)
22.Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а
вторую половину времени – со скоростью 46 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля
на протяжении всего пути. (Ответ: 57 )
23.Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 20 км/ч, проходит по течению
реки до пункта назначения и после стоянки возвращается в исходный пункт. Найдите
расстояние, пройденное теплоходом за весь рейс, если скорость течения равна 4 км/ч,
стоянка длится 3 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 13 часов после
отплытия из него. Ответ дайте в километрах. (Ответ: 192.)
24.Города А, В и С соединены прямолинейным шоссе, причём город В расположен между
городами А и С. Из города А в сторону города С выехал легковой автомобиль, и
одновременно с ним из города В в сторону города С выехал грузовик. Через сколько часов
после выезда легковой автомобиль догонит грузовик, если скорость легкового
автомобиля на 28 км/ч больше скорости грузовика, а расстояние между городами А и В
равно 112 км? (Ответ: 4 )
25.Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, а
вторую половину времени – со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля
на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч (Ответ: 75)
26.Велосипедист отправился на дорогу и должен вернуться не позднее чем через 7 часов
после выезда. На какое наибольшее от места старта он может удалиться, если его скорость
15 км/ч, а обратно его подвезут на машине, скорость которой равна 90 км/ч? Ответ дайте в
километрах. (Ответ: 90)
27.Из пункта А круговой трассы, длина которой равна 30 км, одновременно в одном
направлении стартовали два автомобилиста. Скорость первого равна 92 км/ч, скорость
второго – 77 км/ч. Через сколько минут первый автомобилист будет опережать второго
ровно на 1 круг? (Ответ: 120)
28.Из пункта А в пункт В вниз по течению реки отправились одновременно моторная
лодка и байдарка. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Последнюю 1/7 часть пути
моторная лодка шла с выключенным мотором, и её скорость относительно была равна
скорости течения. На той части пути, где моторная лодка с выключенным мотором, её
скорость была на 2 км/ч больше скорости байдарки. Найдите скорость байдарки в
неподвижной воде, если в пункт В байдарка и моторная лодка прибыли одновременно.
(Ответ: 4)
34
Зачётные карточки по темам.
Движение по суше
5 класс
1 вариант
1.Из двух городов навстречу друг другу одновременно вышли два поезда, причем
скорость одного из них 102,5 км/ч, а скорость другого на 8,2 км/ч меньше, чем скорость
первого. Через сколько часов после начала движения поезда встретятся, если расстояние
между городами 492 км?
2.Из одного поселка одновременно в противоположных направлениях выехали «Волга» и
«Москвич». Скорость «Москвича» 65 км/ч. А «Волга» проезжает на 17 километров в час
больше. На каком расстоянии друг от друга будут машины через 3 часа?
3.Один мальчик пробегает на коньках 9,1 м/с, а другой 6,4 м/с. Через сколько секунд
первый мальчик опередит второго на 27 м, если они одновременно побегут из одного
места в одном и том же направлении?
2 вариант
1.Из двух городов навстречу друг другу одновременно вышли два поезда. Скорость
одного из них 83,5 км/ч, а скорость другого на 8,6 км/ч больше. Через сколько часов
после начала движения поезда встретились, если расстояние между городами 439 км?
2.Из деревни одновременно выехали два мотоциклиста в противоположных направлениях.
Скорость одного мотоциклиста 55 км/ч, а второй проезжает в час на 8километров больше.
На каком расстоянии друг от друга будут мотоциклисты через 4 часа?
3.Одна девочка плывет со скоростью 1,75 м/с, а другая - со скоростью 1,5 м/с. Через
сколько секунд первая девочка обгонит вторую на 7 м, если они одновременно поплывут
из одного пункта в одном направлении?
Ответы
1.
2.
3.
1 вариант
Через 2,5 ч.
444
Через 10 с
2 вариант
Через 2,5 ч.
472
Через 28 сек.
6 класс
1 вариант
1.Из двух городов, расстояние между которыми 162 км, одновременно навстречу друг
другу выехали два велосипедиста. Скорость одного на 3 км/ч больше скорости другого.
Встреча произошла через 6ч после их выезда. С какой скоростью ехал каждый
велосипедист?
35
2.Из Саратова в Москву вышел пассажирский поезд со скоростью 55 км/ч, а через 2 ч
вслед за ним отправился скорый поезд со скоростью 66 км/ч. Через сколько часов после
своего выхода скорый поезд догонит пассажирский?
3.Из пункта А в противоположных направлениях выехали два велосипедиста, скорость
одного из них в 1,2 раза больше cкорости другого. С какой скоростью ехал каждый
велосипедист, если через 2 часа расстояние между ними было 66 км.
2 вариант
1.Из города А и В, расстояние между которыми 240 км, одновременно навстречу друг
другу выехали два поезда. Встретились они через 2,4 ч. Скорость одного поезда больше
скорости другого на 10 км/ч. Найдите скорость каждого поезда.
2.Из Харькова в Москву вышла машина со скоростью 50 км/ч. Через 2 ч вслед за ней
выехал мотоциклист со скоростью 75 км/ч. Через сколько часов после своего выезда
мотоциклист догонит машину?
3.Из пуикта А в противоположных направлениях выехали велосипедист и мотоциклист.
Скорость мотоциклиста в 3 раза больше скорости велосипедиста. С какой скоростью ехал
велосипедист, если через 1,5 ч между ними было 69 км.
Ответы
1.
2.
3.
1 вариант
15 км/ч.; 12 км/ч.
Через 10 ч
15 км/ч.;18 км/ч.
2 вариант
45 км/ч.;55 км/ч.
Через 4ч
15 км/ч.; 45 км/ч.
7 класс
1 вариант
1.Пассажирский поезд за 4 часа прошёл такое же расстояние, какое товарный за 6 часов.
Найдите скорость пассажирского поезда, если известно, что скорость товарного на 20
км/ч. меньше.
2.Путь от А до В автомобиль проезжает проезжает с определённой скоростью за 2ч 30
мин. Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 ч.проедет путь на 15 км больший, чем
расстояние от А до В. Найдите расстояние от А до В.
3.Почтальон дошёл от почты до дома и вернулся обратно, затратив на весь путь 54
минуты. От почты до дома он шёл со скоростью 4 км/ч, а обратно со скоростью 5 км/ч.
Чему равно расстояние от почты до дома?
36
2 вариант
1.Велосипедист ехал 2 часа по лесной дороге и 1 час по шоссе, всего он проехал 40 км.
Скорость его на шоссе была на 4 км/ч больше, чем скорость на лесной дороге. С какой
скоростью велосипедист ехал по шоссе и с какой по лесной дороге?
2.Из села на железнодорожную станцию велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч.
Возвращался он со скоростью 15 км/ч и затратил на боратный путь на полчаса меньше.
Сколько километров от села до станции?
3.Из двух пунктов, расстояние между которыми 245 км, одновременно навстречу друг
другу выехали автобус и автомобиль. Они встретились через 2 часа 20 минут. С какой
скоростью ехал каждый из них, если известно, что скорость автомобиля на 15 км/ч больше
скорости автобуса?
Ответы
1.
2.
3.
1 вариант
60 км/ч
125 км
2 км
2 вариант
13 км/ч;9 км/ч
30 км
45 км/ч;60 км/ч
8 класс
1 вариант
1.Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км, а обратно
вернулся по другой, которая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути
велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он всё же на обратный путь затратил времени
на 10 мин меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?
2.Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, находящийся на
расстоянии 560 км. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому
первый автомобиль приезжает на место на 1 час раньше второго. Определите скорость
каждого автомобиля.
3.Пассажирский поезд был задержан на станции М на 6 мин. Чтобы прибыть в К без
опоздания, машинист увеличил скорость поезда на перегоне МК на 5 км/ч. Сколько
времени затрачивает поезд на прохождение перегона МК по расписанию, если длина
перегона 120 км?
2 вариант
1.Расстояние из А в В длиной 60 км мотоциклист проехал по шоссе, а обратно возвратился
по просёлочной дороге, которая короче первой на 5 км, уменьшив скорость на 10 км/ч. С
какой скоростью ехал мотоциклист из А в В, если известно, что на путь по просёлочной
дороге он затратил на 6 мин больше, чем на путь по шоссе?
37
2.Расстояние в 60 км Петя проехал на велосипеде на 1 час быстрее Васи. Найдите их
скорости, если скорость Пети на 3 км/ч больше.
3.Товарный поезд был задержан в пути на 18 мин, а затем на расстоянии в 60 км наверстал
это время, увеличив скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.
Ответы
1.
2.
3.
1 вариант
18 км/ч
80 км/ч; 70 км/ч
1,6 ч
2 вариант
60 км/ч
15 км/ч; 12км/ч
40 км/ч
9 класс
1 вариант
1.Расстояние между двумя городами 90 км. Два велосипедиста одновременно выезжают из
одного города и направляются в другой. Найдите скорости велосипедистов, если первый
делает в час на 1 км больше другого и прибывает в конечный пункт на 1 час раньше.
2.Из города А в город В, расстояние между которым 120 км, выехали одновременно два
велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл
в город В на 2 часа раньше. Определите скорости велосипедистов.
3.Велосипедист должен был проехать 48 км, чтобы успеть к поезду. Однако он задержался
с выходом на 48 минут. Чтобы приехать на станцию вовремя, он ехал со скоростью. На 3
км/ч большей, чем планировал первоначально. С какой скоростью ехал велосипедист?
2 вариант
1.Два велосипедиста отправляются навстречу друг другу одновременно из двух пунктов,
расстояние между которыми равно 54 км, и встречаются через 2 часа. Определите
скорость каждого велосипедиста, если скорость у одного из них на 3 км/ч больше, чем у
другого.
2.Из пунктов А и В одновременно навстречу друг друга вышли два пешехода. Скорость
первого на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в пункт В на 1 час
раньше, чем второй в пункт А. Найдите скорости пешеходов, если расстояние между
пунктами А иВ равно 20 км.
3.Поезд был задержан у семафора на 16 мин и ликвидировал опоздание на перегоне в 80
км, увеличив скорость на 10 км/ч. С какой скоростью должен был ехать поезд по
расписанию?
Ответы
1.
2.
3..
1 вариант
9 ч; 10 ч
15 км/ч; 12 км/ч
15 км/ч
2 вариант
12 км/ч
15 км/ч
5 км/ч; 4 км/ч
38
Движение по водному пути.
5 класс
1 вариант
1.Скорость теплохода в стоячей воде (собственная скорость) 207/8 км/ч. Скорость течения
реки 11/8 км/ч. Определите скорость теплохода по течению реки и против течения.
2.Скорость катера по течению 40,2 км/ч. Собственная скорость катера 37,4 км/ч. Найдите
скорость течения и скорость катера против течения.
3.Катер, двигаясь против течения, за 6 ч прошёл 177,6 км. Найдите собственную скорость
катера, если скорость течения 2,8 км/ч.
2 вариант
1.Скорость теплохода в стоячей воде (собственная скорость) 235/6 км/ч, скорость течения
реки 11/6 км/ч. Определите скорость теплохода по течению реки и против течения.
2.Скорость лодки против течения 0,8 км/ч. Собственная скорость лодки 3,5 км/ч. Найдите
скорость течения и скорость лодки по течению.
3.Теплоход, двигаясь против течения за 4 ч прошёл 104,8 км. Найдите собственную
скорость катера, если скорость течения 2,7 км/ч.
Ответы
1.
2.
3.
1 вариант
22 км/ч; 196/8 км/ч
3 км/ч;34,4 км/ч
32,4 км/ч
2 вариант
25 км/ч; 224/6км/ч
2,7 км/ч;6,2 км/ч
28,9 км/ч
6-7 классы
1 вариант
1.Моторная лодка шла 0,4 ч по озеру, и 0,3 ч по течению реки, скорость течения которой 2
км/ч. Всего моторная лодка прошла 9 км. Найдите её собственную скорость.
2.Катер проходит по течению реки за 5 ч такое же расстояние, как за 6 ч 15 мин против
течения. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2,4
км/ч.
3.Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошёл по реке расстояние, равное 15 км,
по течению и такое же расстояние против течения. Найдите скорость течения реки, если
время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.
39
2 вариант
1.Катер шёл 0,6 ч против течения реки, скорость течения которой 2,5 км/ч и 0,4 ч по озеру.
Всего катер прошёл 17 км. Найдите собственную скорость катера.
2.Бакенщик может проплыть по течению на лодке за 3 ч такое же расстояние, как за 3 ч 40
мин против течения. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде
равна 5 км/ч.
3.Моторная лодка прошла 7 ч по течению реки и 6 ч против течения. Определите скорость
течения реки, если скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч и за все путешествие лодка
прошла 132 км.
Ответы
1.
2.
3.
1 вариант
12 км/ч
21,6 км/ч
2 км/ч
2 вариант
18,5 км/ч
0,5 км/ч
2 км/ч
8 класс
1 вариант
1.Скорость моторной лодки в стоячей воде 10 км/ч. Время, затраченное на движение
лодки на 24 км по течению и на 24 км против течения, равно 5ч. Найдите скорость
течения реки.
2.Катер прошёл 30 км по течению реки и 13 км против течения, затратив на весь путь 1 ч
30 мин. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч?
3.Моторная лодка, двигаясь по течению реки, проходит от пристани А до пристани В
расстояние, равное 24 км, на полчаса быстрее, чем то же расстояние против течения.
какую скорость развивает лодка в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч?
2 вариант
1.Скорость моторной лодки в стоячей воде 15 км/ч. Время, затраченное на движение
лодки на 36 км по течению и на 36 км против течения, равно 5 ч. Найдите скорость
течения реки.
2.Туристы проплыли на байдарке против течения реки 6км и вернулись обратно. На все
путешествие они затратили 4 ч 30 мин. Какова собственная скорость байдарки. Если
скорость течения реки 1 км/ч?
3.Лодка прошла 7км по течению реки и вернулась обратно, затратив на обратный путь на
24 мин больше, чем на путь по течению реки. Зная, что скорость течения реки равна 1
км/ч, найдите скорость лодки в стоячей воде.
40
Ответы
1.
2.
3.
1 вариант
2 км/ч
28 км/ч
14 км/ч
2 вариант
3 км/ч
3 км/ч
3 км/ч
9 класс
1 вариант
1.Моторная лодка прошла 10 км по озеру и 4 км по против течения реки, затратив
на весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки
равна 4 км/ч.
2.Группа туристов отправляется на лодке от лагеря по течению реки с намерением
вернуться обратно через 5 ч. Скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость
лодки 8 км/ч. На какое наибольшее расстояние по реке они могут отплыть, если
перед возвращением они планируют пробыть на берегу 3 ч?
3.Моторная лодка отправилась по реке от одной пристани к другой и через 2,5 часа
вернулась обратно, затратив на стоянку 20 км/ч., а расстояние между пристанями
20 км.
2 вариант
1.Катер прошёл 15 км по течению реки и 4 км по озеру, затратив на весь путь 1 ч.
Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
2.Рыболов отправляется на лодке от пристани против течения реки с намерением
вернуться назад через 5 ч. Перед возвращением он хочет побыть на берегу 2 ч. на
какое наибольшее расстояние он может отплыть, если скорость течения реки 2
км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?
3.Расстояние между двумя пристанями по реке равно 21 км. Моторная лодка
отправилась от одной пристани к другой и через 4 ч вернулась назад, затратив 24
мин на стоянку. Найдите собственную скорость моторной лодки, если скорость
течения реки равна 2 км/ч.
Ответы
1.
2.
3.
1 вариант
15 км/ч
7,5 км
4 км/ч
2 вариант
16 км/ч
8 км
12 км/ч
41
Заключение.
1.Мною внимательно изучена литература, методические пособия, положительный
опыт по использованию методов решения текстовых задач на движение на уроках
математики в начальном и в среднем звене.
2.В разработке определена роль решения задачи в обучении и воспитании
учащихся в средней общеобразовательной школе. Эта методика оказывает весьма
положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку она требует
выполнения умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации и абстрагирования,
сравнения, обобщения.
Решение задач развивает мышление. Мало того, решение задач способствует
воспитанию терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению интереса к
самому процессу поиска решения, даёт возможность испытать глубокое удовлетворение,
связанное с удачным решением.
3.Изучена методика работы над задачей на движение с помощью уравнений





Через х обозначаем меньшую величину или то, о чём спрашивается в вопросе
задачи.
Краткую запись оформляем в виде таблицы, схемы.
По условию задачи заполняем 2 столбика задачи, третий столбик заполняем,
третий столбик нам даёт уравнение.
Смотрим, к какому типу относится задача (на сложение величин, на сравнение и
т.п.) в зависимости от этого составляем уравнение.
Найдя х, смотрим, ответили мы на вопрос задачи, или нет, если нет, то решаем и
находим ответ.
4.Разработаны зачётные карточки для проверки умений решать задачи на движение
по классам.
5.Разработаны тренировочные тестовые задания по решению задач на движение для
9 класса и текстовые задачи для 11 класса.
В результате изученной темы было выяснено, что существует множество
различных задач. Естественно, все их виды рассмотреть невозможно. Также мы научились
правильно анализировать условия задачи и решать их разными методами (путём
составления уравнений и систем уравнений, путём составления таблиц и т. д.) и разными
способами: алгебраическим и арифметическим (старинным). Арифметические способы
решения текстовых задач имеют больший развивающий потенциал, чем универсальный алгебраический способ решения. В наше время предпочтение отдаётся алгебраическому
способу.
Данная проблема до конца не решена, необходимо искать новые формы, подходы,
направления, новые методические обоснования для более успешного формирования
умения решать текстовых задач.
42
Использованная литература.
1. Программа общеобразовательных учреждений. «Алгебра 7 – 9 классы.» М. ;
«Просвещение» - 2008.
2. А.С.Чесноков «Дидактические материалы по математике. 5 класс» / А.С.Чесноков,
К.И.Нешков - М. ; «Классикс Стиль», 2008
1. А.С. Чесноков «Дидактические материалы по математике для 6 класса» / А.С.
Чесноков, К.И. Нешков. - М. ; «Академкнига/учебник», 2010
2. В.И.Жохов «Дидактические материалы по алгебре для 8 класса» / В.И.Жохов,
Ю.Н.Макарычев - М. ;«Просвещение», 2008
3. Бантова М.А. «Методика обучения математике в 1-3 классах.» / Бантова М.А. М. ;«Просвещение», 2004
4. Ф.Ф.Лысенко « Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2010» / Ф.Ф.Лысенко,
С.Ю.Кулабухова - Ростов – на – Дону. ; « Легион – М», 2009
5. И.Р.Высоцкий «Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ
2010. Математика» / И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин и др. – М. ; «АСТ Астрель»,2010
6. И.В.Ященко «Математика ЕГЭ Тематическая рабочая тетрадь» / Э И.В.Ященко,
С.А.Шестаков, П.И.Захаров – М. ; «Экзамен», 2010
7. Истомина Н.В. «Методика обучения математике в начальных классах» /
Н.В.Истомина - Ярославль ; «Линка – пресс»,2004
8. Л.В.Кузнецова «Сборник задач для письменного экзамена к итоговой аттестации в
9 кл.» / Л.В.Кузнецова и др. – М. ; «Дрофа»,2002
9. Л.В.Кузнецова «Алгебра: сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в
9кл.» / Л.В.Кузнецова и др. - М. ; «Просвещение»,2007
10. Издательский дом «Первое сентября»
Учебно – методическая газета
«Математика» №23 - 2005
11. О.В.Узорова «Познавательный задачник по математике для начальной школы» /
О.В.Узорова, Н.Е.Нефедова – М. ; «АСТ Астрель»,2005 г.
12. М.И.Моро «Учебник математики для 4 класса часть 2» / М.И.Моро, М.А. Бантова М. ; «Просвещение»,2009
13. Тесты по математике для 9 класса. 2008 – 2010 годы.
14. Ф.А.Орехов «Тешение задач методом составления уравнений» / Ф.А.Орехов - М. ;
«Просвещение»,1971
15. Л.И.Звавич «Контрольные и проверочные работы по алгебре 7-9 классы» /
Л.И.Звавич, Л.Я.Шляпочник - М. ; «Дрофа»,1996
16. М.Н.Кочагина «Математика 9 класс. Подготовка к итоговой аттестации» /
М.Н.Кочагина, В.В.Кочагин - М. ; «Эскимо»,2008 г.
17. М. Е. Козина «Нетрадиционные уроки. Математика 5-11 кл.» / М. Е. Козина,
М.Е.Фадеева - Волгоград,2008 г.