работыx

Р1. Рациональные дроби и их свойства.
Разминка.
1. Продолжите узор.
5
11
2
2
5
18
3
2. Вычислите: ((4 − 1 ) ∙ 4 + (3 − 1 ) ∙ ) : 2 .
7
14
3
9
6
25
7
Контроль
Выражение
3.
4. Выражение, состоящее из чисел, переменных и действий сложение,
_______________________________, а также _____________________
___________________________ называется дробным.
5. Примеры:
6. Выражение, состоящее из чисел, переменных и действий сложение, вычитание,
умножение и _______________ на выражение с __________
называется дробным.
7. Выражения_________________ и _______________ называются рациональными
выражениями.
8. Примеры:
𝑏(3𝑏+𝑐)
9. Подчеркните целые выражения: 7a2b; -
7𝑎
;
𝑎+5
8
𝑛
1
; 𝑘𝑥: 𝑏 ; 3 − 2 𝑏.
10. Целое выражение не имеет смысла, если______________________
11. Дробное выражение не имеет смысла, если_______________________
12. Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют
______________________________ значениями переменной.
13. Найдите допустимые значения переменной:
5
А) 𝑎
a≠ ____________
б)
𝑏−3
10
b≠ ____________
в)
5
𝑎−9
a≠ ____________
5
г) 𝑎(𝑎−9)
b≠ ____________
𝑎
14.выражения вида 𝑏 называется _____________________________________
𝑎
15. если ά и b – многочлены, то 𝑏- __________________
16. Равенство
𝑎
𝑏
𝑎с
= 𝑏с называют ____________________________ дроби.
17. Для рациональной дроби это свойство звучит так: « Если числитель и знаменатель
дроби умножить на одно и тоже __________, то получится ______________ ей дробь.
18. Равенство верное при всех ____________________ значениях переменной
называется______________________________
19. Преобразование, выполненное с использованием известных свойств чисел и законов ,
называется_________________________________________
𝑎с
𝑎
20.Равенство 𝑏с = 𝑏 называется _________________________________
Повторение и закрепление
3𝑎−2𝑏
21. Найдите значение выражения а) 2𝑎+3𝑏 , если a= -1, а b=1
𝑚2 −𝑛
Б) 2𝑚𝑛+1 , если m= -2, а n= - 1
36𝑚6 𝑛
22. Сократите дробь: а) 12𝑚2 𝑛3 ;
В)
𝑎2 −9𝑐 2
г)
;
3𝑎−9𝑐
7𝑎2 𝑐 5
б)
(х−5)2
10−2х
35𝑎8 𝑐
;
;
𝑏+4
23. Представьте дробь 𝑏−2 в виде дроби со знаменателем b(b-2).
𝑎
24. Представьте дробь 𝑎−4 в виде дроби со знаменателем 𝑎2 − 16.
х
25. При каких значениях переменной выражение х+4 +
х−8
х
не имеет смысла?
𝑦2
26. При каких значениях переменной выражение 𝑦(𝑦−2) не имеет смысла?
Понимание и развитие
1010 +1
27. Сравните: 1011 +1 и
𝑎
1011 +1
1012 +1
𝑏
𝑐
28Докажите, что если 𝑏 = 𝑐 = 𝑎, то a=b=c.
29. Вычислите:
дроби).
𝑥𝑦−𝑦 2 +𝑦−𝑥
𝑦−1
, если x-y=5( разложите на множители числитель и знаменатель
Р2. Сумма и разность дробей.
Разминка
1. Продолжите узор
2. Выполните действия:
3. (
0,3∙(3,6−2,8)
0,25∙(0,94+1,06)
+
(0,2−0,15):0,001
(4,7−3,9)∙10
):26,92
Контроль
4. Чтобы выполнить сложение( вычитание ) дробей с одинаковыми
знаменателями, надо _____________________________________,
а знаменатель оставить тем же.
5. Приведите дроби к новому знаменателю:
5
А) =
6
г)
5
𝑎+𝑏
18
=
=
30
𝑎2 +𝑎𝑏
б)
д)
30
42
=
𝑥−1
𝑥+1
=
7
=
11
𝑥 2 −1
в)
e)
𝑥
64𝑎𝑏
3𝑎
𝑎+2
=
=
4𝑎3 𝑏
𝑎2 +4𝑎+4
6. Чтобы выполнить вычитание ( сложение ) дробей с разными
знаменателями, надо: 1)
на множители;
2) найти______________________________________;
3) найти _______________________ множители;
4) записать числитель и знаменатель;
5) упростить;
6) ________________ , если можно;
7) записать _______________________ .
7. слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, но разные
________________________, называется____________________________.
8. Допишите формулы сокращенного умножения:
( 𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + _____ + ______ ;
( 𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − _____ + ______
𝑎2 − 𝑏 2 =(_____+____) (____-____)
𝑎3 − 𝑏 3 =(__-_) (a2 +ab +b2)
𝑎3 + 𝑏 3 =_____________________________________
Понимание и закрепление
9.Выполните вычитание:
а)
8х
3𝑥−3𝑦
10.Выполните сложение дробей: а)
𝑎+9
𝑎−5
−
+
2𝑥+6𝑦
3(𝑥−𝑦)
𝑎−3
х2 +4
х+2
в)
+ х − 2,
𝑚
𝑚2 −4
+
Б)
5−𝑎
11. Преобразуйте данное выражение в дробь: а)
б)
Б)
.
2
2
с2 −3с
−
𝑚+𝑛
2𝑚𝑛
𝑥+5
𝑥−7
2
7𝑥
Б) (𝑥−3)(𝑥+4) =
𝑥−3
+
4𝑥 2
=
𝑥+4
13. Про каких значениях ά дробь
𝑎2 −4𝑎+1
𝑎−2
целые значения.
Найдите эти целые значения.
14. Зная, что
𝑎+2𝑏
𝑎
= 11, найдите значение дроби:
(𝑎+3𝑏)2
𝑏2
.
𝑚−𝑛
2𝑚𝑛
7𝑥−5
7−𝑥
.
,
г) 𝑎 + 𝑏 −
,
2
(𝑚−2)
4𝑥 2 −16𝑥+1
+
с2 +3с
Повторение и развитие
12. Представьте в виде суммы: а)
−
𝑎2 +𝑏2
𝑎−𝑏
Р3. Умножение и деление дробей
Разминка
1. Продолжите узор:
2. Выполните действия:
(
5
7
2
3
(3,4+1 )∙11
2
9
1
18
1 −1
−
5
6
(10,75−1 )∙6
1
9
(5,15−4,25)∙1
):43,5
Контроль
Чтобы выполнить умножение дробей нужно:
__________________ числители и знаменатели;
Разложить на ____________________ числитель и знаменатель;
Сократить;
___________________ ответ.
Чтобы выполнить деление дробей, нужно:
Числитель ______________________________________________ на
____________________________ второй и записать в _______________
2) Знаменатель первой дроби ____________________ на _______________
3.
1)
2)
3)
4)
4.
1)
________________________________ и записать в _______________________
3) _____________________________ и записать ответ.
5. Чтобы возвести дробь в степень, надо воспользоваться свойствами:
𝑎
( )𝑛 = ___ и (ab)n=_________ /
𝑏
Понимание и закрепление
6. Выполните действие:
А)
12х3
25
∙
5
;
4
б) (2х-6)∙
4х
х2
х−3
;
в) (−
3𝑎 2
) ;
𝑏2
7. Представьте в виде дроби :
А)−
в)
4𝑎
5𝑐
:
2 (
2𝑥−1
𝑎
);
10𝑐 4
:
1−2𝑥
𝑥 2 −6𝑥+9 𝑥 2 −3𝑥
б)
;
𝑚2 −4𝑛2
𝑚2
г)
: (4𝑚 − 8𝑛)
2𝑎−4 𝑎2 −4𝑎+4
𝑎2 +4
:
𝑎4 −16
.
𝑦 2 −𝑦
2𝑥𝑦
∙
2𝑥
.
𝑦 2 −1
Повторение и развитие
1
1
1
8. Упростите выражение: а) (𝑥−𝑦)(𝑥−3) + (𝑦−3)(𝑦−𝑥) + (3−𝑥)(3−𝑦),
Б)
1
𝑎(𝑎+2)
1
1
1
+ (𝑎+2)(𝑎+4) + (𝑎+4)(𝑎+6) + (𝑎+6)(𝑎+8).
9. Вычислите:
𝑎2 −𝑎𝑏+𝑏2
𝑎2 +𝑏2
, если b:a=1:2.
10.Представьте выражение в виде ax+b+
2х2 +5х−3
х−1
𝑐
, где a,b и c – целые числа:
𝑥−1
.
11. найдите все пары чисел, удовлетворяющих уравнению:
А)5x+2y-xy=2
Б) xy-x+y=8.
Р4. Функции
Разминка
1. Продолжите узор.
3
2 1
5
1
4
3 8
6
2
2. Вычислите: 2a: 3b, если a=( )2 + 1,5 ∙ : , 𝑏 = ∙ 1,2 − ( )3 : 0,75.
Ответ:_______________
Контроль
3. Выразите y из уравнения: xy=k. Y=___________
4. Функция вида y=
называется______________________________
X - _____________________________ переменная; k- не равное 0 число.
5.
6.
7.
8.
Область определения функции:___________________
Множество значений функции_____________________
График обратной пропорциональности _________________________
Она состоит из двух ветвей, которые расположены в _____________
и ______________ четвертях, если k>0, и во ________________ и _______
_______________,если k<0.
6
9. Построим график функции: y= .
𝑥
Заполним таблицу:
X -6 -4 -3 -2 -1 1 2
y
2) Построим систему координат:
3
4
6
3)Поставим точки в системе координат
4) Соединим точки плавной линией.
Понимание и закрепление
10.Функция задана формулой y=−
6
𝑥
;
А) найдите значение y, если х=-2 ; х=3.
Б) найдите значение х, при которых y= 1 y= -6.
В) Принадлежат ли графику функции точки А( 0;6) и В( -6;0)?
Г) Постройте график данной функции.
𝑘
11. Функция задана формулой y= .
𝑥
Найдите число kесли известно, что график проходит через точку
А) С(0,25; -16)
б) М( -0,2; 15).
Повторение и развитие
12. Постройте график функции:
11.А) y=2x-3
y=-x+4
y=5x
y=-3/
13. Найдите область определения функции и постройте ее график:
А) 𝑦 =
в) 𝑦 =
36
б) 𝑦 =
(𝑥+1)2 −(𝑥−1)2
16
г) 𝑦 =
(2−х)2 −(2+𝑥)2
18−12𝑥
𝑥 2 −3𝑥
−
6
3−𝑥
3х(х+1)−3х2 +15
х(х+5)
14. Постройте ее график
4
А) y=|𝑥|
2.4
б) y= |𝑥|
1
в) y=|𝑥|
−1
г) y= |𝑥|
6
д) y=− |𝑥|
е) y=
15. Определите, при каких натуральных значениях n значения данных
выражений являются целыми числами: а)
𝑛2 +3𝑛−2
𝑛+2
; б)
𝑛2 −3𝑛+5
𝑛−1
−3,6
|𝑥|
Р8. Свойства арифметического квадратного корня
Разминка
1. Продолжите узор.
2. Вычислите:
5
36
7
7
11
11
(6 − 3 12 ∙ 4 41 + 2 12 ∙ 31) : 12 − 12 .
Контроль
3. Допиши свойство: √𝑎𝑏 = √ √
4. Вычисли: а) √64 ∙ 0,04 = _________________________________
Б) √32 ∙ 98=__________________________________
В) √20√5=___________________________
5. Допиши свойство:
6. Вычисли: а) √
Б)
7.
36
169
√𝑎
√𝑏
= _______
=______________________
√80
=_______________________
√5
Допиши свойство:√х2 =
х, если х___ 0
-х, если х__ 0.
8. Вычислите: а)√𝑎16 =_________________
Б) √х10 =________,если х<0.
В) √х20 = ______, если х≥ 0.
Г) √893025= ______
Понимание и закрепление
9. Вычислите:
7
А)√25 ∙ 40 = ___________________, б) √2 = ______________,
9
в) √(−16)2 =
г)√1,44 ∙ 36 = ___________________, д) √5
1
16
= ______________,
е) 2√(−81)2 =
10. Используя свойства корня, найдите значение выражения:
√300
√3
√15
А) √32√2
б)
Г) √19,6√0,4
д)
в) √52 ∙ 24
е) √54 ∙ 26
√240
11. Упростите выражение:
А) √4х2 , если х≥ 0
Б) √𝑦 8
в) √0,64х2 , если х≥ 0
Б)- √𝑦 6 , если y<0
Повторение и развитие
12.. Решите уравнение: а)
√х+2
√х−8
=
√х−7
√х+1
б)
√(2х + 1)2 =6
13.Докажите, что значение выражения √11 + 6√2+ √11 − 6√2 есть
натуральное число.
3𝑎+3
14. Упростите выражение: (
𝑎2 −1
−
𝑎
𝑎−3
) : 1−𝑎.
𝑎−1
15. Вычислите : √32 − 10√7 ∙ (√7 + 5)
16. Площадь прямоугольника равна 250см2 . одна из его сторон в 2,5
раза больше другой. Найдите большую сторону прямоугольника.
17. Вычислите: √(6 − √20)2 + √(4 − 2√5)2 .
Р9. Применение свойств арифметического корня
Разминка
1.Продолжи узор
2. Вычислите :
4
15
4
4 3
3
4 4
∙ 11 ∙ (8 ∙ − 9 ) + 4 : .
9
5 8
8
7 7
Контроль
3. Вынесите множитель из-под знака корня:
А)√28 = √__ ∙ __ = √
∙√
= ____√
Б) √𝑎7 =
Образец: а) √50 = √25 ∙ 2 = √25√2 = 5√2,
Б) √𝑎9 = √𝑎8 ∙ 𝑎 = √𝑎8 √𝑎 = 𝑎4 √𝑎.
4. Внесите множитель под знак корня:
А)4√х =
Б)𝑎√2 =
a≤ 0
1
1
1
Образец: а) − √24 = −√ √24 = −√ ∙ 24 = −√6,
2
4
4
Б) 𝑥√7 = √𝑥 2 √7 = √7𝑥 2 .
5. Упростите выражение:
А)3√5х − √20х + 4√45х=
Б)(3√5 − 6√2)(√5 + 2√2)=
6. Сократите дробь:
х2 −3
=
х−√3
с
7. Избавьтесь от корня в знаменателе: =
√2
Понимание и закрепление
8. Вынесите множитель из-под знака корня: а) √𝟐𝟕 =
б) 𝟎, 𝟐√𝟕𝟓=
𝟏
в)𝟓 √𝟓𝟎=
г)√𝒚𝟑 =
д)√𝟕𝒚𝟖 =
9. Внесите положительный множитель под знак корня:
А) 4√5 =
б) − 3√х =
10. Сравните значения выражений:
А)√27
4√3
Б)3√2
2√3.
11. Упростите выражение: а)√36𝑏 − √16𝑏 + 2√𝑏=
Б)√81𝑥 − √25𝑥 + 3√𝑥=
12. Выполните действия:
А) (3√8 + √18) ∙ √2=
Б) (2х − √𝑦)(2𝑥 + √𝑦)=
В) (√3 + √2)2 − √24=
13. Сократите дробь: а)
Б)
х−4
√х+√3
=
х−3
=
√х−2
Повторение и развитие
14. Решите уравнение: а)
√х−5
√х+1
=
√х+4
√х−8
б) √(2х − 4)2 =6
15. Докажите, что значение выражения √11 + 6√2+ √11 − 6√2 есть натуральное
число.
16. Постройте графики функций: а)y=√𝑥 2 + 𝑥; б) 𝑦 = √𝑥 2 − 𝑥,
В) Y=|𝑥 + 2|, г) Y=|𝑥 − 1|
Р10. Неполные квадратные уравнения
Разминка
1. Продолжи узор
•
4
2. Вычисли: (9 : 2,3 − 4
5
6
1
3
2
+ 6 ) : ((−3 − 7 ) : (−1)).
23
2
5
3
Контроль
3. Квадратным называется уравнение вида _______________________
, где a, b,c – некоторые числа, причем a≠ 0, а х - переменная.
4. а,b,c - ____________________________квадратного уравнения.
5. а = 0, то уравнение примет вид:
b = 0, то уравнение примет вид:
с = 0, то уравнение примет вид:
6. Если один из _______________ = 0,то квадратное уравнение
называется _________________________________________.
7. Решите уравнение:−3𝑥 2 + 15 = 0
8. Решите уравнение: 4𝑥 2 + 3 = 0
9. Решите уравнение: 4𝑥 2 + 9х = 0
10.Квадратное уравнение, в котором, а = 1 называется
___________________________________________.
11.Решите уравнение с использованием ФСУ: 𝑥 2 + 10х + 25 = 0.
12.Решите уравнение с использованием ФСУ: 𝑥 2 + 10х + 25 = 0.
13.Решите уравнение: 3𝑥 2 − 5х − 2 = 0
14.Решите уравнение: 𝑥 2 − 4х + 10 = 0
Понимание и закрепление
15.Решите уравнение: а) 2𝑥 2 − 18 = 0
б) 𝑥 2 + 2х = 0
в) 4𝑥 2 = 0
г) 4𝑥 2 − 11 = 𝑥 2 − 11 + 9х
д) 9𝑥 2 − 4 = 0
е) 2𝑥 2 = 3х
ж) 2 = 7𝑥 2 + 2
з) (2х + 1)(х − 4) = (х − 2)(х + 2)
16. Найдите корень уравнения:
а) 𝑥 2 − 2х + 1 = 0
б) 𝑥 2 − 4х + 4 = 0
Повторение и развитие:
17. Решите уравнение выделением квадрата двучлена:
А) х2+4х+16=0
б) х2+5х+6=0
В) х2-4х+3=0
г) 2х2-9х+10=0.
18. Площадь прямоугольника равна 48см2 . одна из его сторон
3
составляет от другой. Найдите наименьшую сторону прямоугольника.
4
19. Определите , при каком значении α корни данного уравнения
являются противоположными числами: х2 +(α-2)х +α-6=0.
Формула корней квадратного уравнение
P11 .
Контроль
Разминка :
1. Продолжите узор:
2 34
Вычислите :5 ∙
9
2
1
2
: (−3 ) + (−25 + 25,5) ∙ 3 .
47
5
2
3
Контроль
1. Уравнение вида ___________________________ называется
квадратным.
2. Определите коэффициент a, b. c в уравнениях:
а) 2𝑥 2 + 3х + 1 = 0
б) −9𝑥 2 + 𝑏х + 1 = 0
в) −сх2 + х − 2 = 0
г) −𝑥 2 − 14х − 16 = 0
3. Выражение ____________________________ называется
дискриминантом квадратного уравнения и
обозначается________________________________________
4. Вычислите дискриминант квадратного уравнения :
а) 2𝑥 2 + 3х + 1 = 0
б) 8х2-9х+4=0
в) х2+6х+9=0.
5. Если Д >0, то уравнение имеет :
Д <0, уравнение ______________________________
Д =0, уравнение _______________________________________
6. Определите число корней уравнения:
а) 5х2-11х+2=0
б) 3х2+х+7=0
в)х2-10х+25=0
г) х2-6х=5х-18.
7. Принята следующая
а) 12𝑥 2 + 7х + 1 = 0
б) 𝑥 2 − 12х + 36 = 0
в) 7𝑥 2 − 25х + 23 = 0
8. Если коэффициент частное число, то квадратное уравнение имеет
вид а𝑥 2 + ___х + с = 0
Найден его дискриминант :Д = ____________________________
И тогда при Д ≥ 0 формула корней имеет вид :
х=
±√Д
а
Понимание и закрепление
9. Решите уравнение:
а) 𝑥 2 − 5х + 6 = 0
б) у2 + 8у + 16 = 0
в) −𝑡 2 − 3𝑡 + 1 = 0
г) 3а2 + а = 7
д) 𝑥 2 + 7х − 44 = 0
е) 9у2 + 6у + 1 = 0
ж) −2𝑡 2 + 8𝑡 + 2 = 0
з) а + 3а2 = −11
10. При каких значениях х равны значения многочленов:
а)(х + 1)2 и 7х − 3𝑥 2
б) (2 − х)(2х + 1)и(х − 2)(х + 2)
Повторение и развитие
11. Решите уравнение: (х + 4)2 = 3х + 40
12.Найдите корни уравнения: 3(х + 4)2 = 10х + 32
13.Решите уравнение:
𝑥 2 −1
2
− 11х = 11
14.Найдите корни уравнения и укажите их приближенные значения
в виде десятичных дробей с точностью д 0,01:
а) 5𝑥 2 − х − 1 = 0
б) 5𝑥 2 + 7х + 4 = 0
Р12
Теорема Виета
Разминка
1. Продолжи узор:
•
2. Выполни действия:
2
1
(−14 + 17,3) : 23,7 − (4 − 6,12) ∙ (−7,015 + 7,14)
3
5
Контроль
3. Уравнение вида ______________________________=0 называется
квадратным, а, b и с – некоторые ______________________________.
4. Если в квадратном уравнении коэффициент а = _________________, то
уравнение называется ________________________________________.
5. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна
___________________________ коэффициенту, взятому с
_________________________________________________________.
6. Произведение корней приведенного квадратного уравнения равна
______________________________________________________.
7. В уравнении 𝑥 2 + х + у = 0
Д=________________________________________________
х1 + х2 =
х1 ∙ х2 =
8. Если Д = 0, то уравнение 𝑥 2 + рх + у = 0 имеет
_______________________________________________________.
9. Если квадратное уравнение, а𝑥 2 + 𝑏х + 𝑐 = 0 имеет корни
х1 и х2 , то х1 + х2 =
х1 ∙ х2 =
10.Найдите сумму и произведение корней уравнения: 3𝑥 2 − 5х + 2 = 0.
11.По теореме, обратной теореме Виета найдите корни уравнения и
выполните проверку, решите уравнение: 𝑥 2 + 3х − 40 = 0.
12.Найдите корни уравнения подбором: 𝑥 2 − х − 12 = 0.
Понимание и закрепление
13.Решите уравнение и выполните проверку по теореме , обратной
теореме Виета:
а) 𝑥 2 + 3х − 18 = 0.
б) 𝑥 2 − 2х − 24 = 0.
14.Запишите обратную теорему Виета для уравнения и найдите подбором
его сборки:
а) 𝑥 2 − 12х + 20 = 0
б) 𝑥 2 − 7х + 12 = 0
15.Решите задачу.
Одно из двух натуральных чисел больше другого на 5. Найдите эти
числа, ели их произведение = 24.
16.Найдите корни квадратного уравнения, а𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 если:
а) а + b + с = 0
б) а - b + с = 0
Повторение и развитие
17. Решите уравнение:
а) 𝑥 2 − 5√𝑥 2 + 4 = 0
б) х|х| + 5х − 6 = 0
в) |𝑥 2 2 + 𝑥 − 5| = −2𝑥
г) |х − 5| + (𝑥 2 − 7х + 10)2 = 0
18. Не вычисляя корней уравнения
а) х13 + х32 ;
х
х
б) 13 + 23
х2
𝑥 2 − 3х − 2 = 0, найдите:
х1
в) х1 х42 + х14 х2
19.Сумма квадратов корней уравнения 𝑥 2 + рх − 2 = 0 равна а) 5 б) 8.
найдите р.
20.Найдите сумму квадратов всех корней уравнения: 𝑥 2 − 5|х| + 1 = 0 .
21.Определите, при каком значении, а оба корня уравнения равны 0.
а) 𝑥 2 − (а2 − 2|а|)х − 2а + а2 = 0
б) 𝑥 2 − (а2 3а)х + 3|а| − а2 = 0
22.Определите, при каких значениях, а уравнение имеет более двух
корней: (а2 + 4а − 21)𝑥 2 − (а2 − 3а)х − 3 + 4а − а2 = 0
Р 13
Дробные рациональные уравнения
Разминка
1.Продолжи узор :
2.Вычислите((2
8
51
−
8
51
∙ 15,3):
16
51
− 38,4): (−0,03).
Контроль
5
1. Уравнение: 2х + 5 = 3(8 − х) и
х − = −3х + 19
5
х−4
х
2х+1
2х
5х
2. Уравнение: х − = −3х + 19 и
3. Решите целое уравнение:
х−1
2
+
3
=
6
2
х−9
=
х
называется?
называется?
х = __________________
4. Чтобы решить дробно – рациональное уравнение надо:
1) Найти дополнительное значение переменной.
2) Найти общий ___________________________________________.
3) Умножить обе части уравнения на ____________________________.
4) Решить получившееся________________________ уравнение.
5) Исключить числа не входящие в ОДЗ.
6) Записать ответ.
5. Решите по схеме уравнение:
2
𝑥 2 −4
−
1
𝑥 2 −2х
=
4−х
.
𝑥 2 +2х
6. Числитель общей дроби на 2 меньше знаменателя. Ели числитель
увеличить на 1, а знаменатель увеличить на 3, то получится дробь
равная данной. Найдите эту дробь?
Анализ: Пусть числитель = х, тогда знаменатель ________, тогда
дробь имеет вид:
Если числитель увеличен на 1, то он будет иметь вид
____________________
Знаменатель увеличен на 3 и он будет иметь вид __________________
Получившаяся дробь имеет вид _______________________________
Эти дроби равны, т.е
_____________________________________________________________
____________________________________________________________.
Решите уравнение:
Ответ:
Понимание и закрепление
7. Решите уравнение:
𝑥 2 −6
а)
б)
в)
х−3
20
х
х−4
х
=
х
х−3
=9−х
=
2х+10
х+4
8. Моторная лодка прошла 60км по течению реки и 36км по озеру,
затратила на весь путь 5 ч. Найдите собственную скорость лодки, если
течение равно 2 км/ч.
Анализ: пусть х км/ч – собственная скорость лодки.
Тогда скорость лодки по течению ___________________________,
А против течения _______________________________
По течению реки 36 км лодка прошла __________________________, а
против течения 36 км – за __________________________. Значит время,
затраченное на весь путь, равно _____________________________. По
условию задачи на весь лодка затратила 5ч,
следовательно________________________________
Решаем уравнение:
Ответ:
9. Знаменатель общей дроби на 1 больше ее числителя. Ели к числителю
дроби прибавить 2, а к знаменателю прибавить 3, то получится дробь
равная данной. Найдите данную дробь.
10.При каком значении у сумма дробей
1
и
у
у
у−1
равна их произведению?
11.При каком значении х значение функции
а) у =
3х+2
х−1
равно 8;
б) у =
2х+4
х−2
.
Повторение и развитие
12.Докажите, что
1
11+2√30
+
1
11−2√30
= 22.
13.Составьте квадратное уравнение, зная его корни.
а)
√3−1
2
и
√3+1
2
б) 2 − √3 и
1
.
2−√3
14.Найдите значение у, при котором разность корней уравнения 𝑥 2 −
10х + у = 0 равна 6.
15.Решите уравнение 𝑏𝑥 − 3 = 𝑏 − 3𝑏 3 + 4𝑏 − 12 c параметром b.
16.Решите уравнение относительно х:
а) 𝑥 2 + 5ах + 4а2 = 0
б) 3𝑥 2 − 10ах + 3а2 = 0
17.Вычислите, при каких значениях параметра t уравнение имеет один
корень.
а) 3𝑥 2 + 𝑡𝑥 + 3 = 0
б) 𝑡𝑥 2 − 6𝑥 + 1 = 0
18.Вычислите, при каких значениях параметра a сумма квадратных корней
уравнения 𝑥 2 − а𝑥 + а − 3 = 0 принимает наименьшее значение,
найдите это значение.
Р14. Числовые неравенства.
Разминка
1. Продолжи узор:
3 18
2. Вычислите : -7,99-7,285:2,35-(3 :
5 35
− 12,5: 125).
Контроль
3. Сравните: а)
5
4
8
7
Б) 3,6748
3,675
В)
9
20
Г)-15
α
0,45
-23
2. Чтобы сравнить два числа, надо:1) составить их разность;
2) Сравнить ее с ___ ;
3) записать результат.
3. Число α больше числа b , если разность α-b – число _________________,
Число α меньше b, если разность
Число α=b, если разность
α-b – число _________________,
α-b – число _________________.
4. Если α__b, то b<α; если α__b, то b>α.
5. Если α<b и b<с; то α__с
6. Если α<b и с- любое число, то α+с<b+c.
7. Если a<b и c- положительное число, то ac__bc;a<b и c- отрицательное
число, то ac__bc.
8. Если обе части верного неравенства умножить или ___________________
На одно и тоже положительное число, то получится _____________________
9. Если обе части верного неравенства умножить или ___________________
На одно и тоже отрицательное число и _______________________________
____________________________, то получится _____________________
_____________________.
1
1
𝑎
𝑏
10.Если a и b- положительные числа и a__b, то __ .
11. Если α<b и c<d, то α+c__b+d.
12. Если сложить поочленно верные неравенства одного знака, то __________
____________________________ .
13. Если α<b и c<d,где α,b, cи d – положительные числа, то αc __ bd.
14. Если перемножить поочленно верные неравенства одного знака, левые и
правые части которых – положительные числа, то ____________________
________________________ .
15. Если числа α и b положительны и α<b , то 𝑎𝑛
𝑏𝑛 .
Понимание и закрепление
16. Докажите, что при всех значениях α верно неравенство:
(α-3)(α-5)< (𝑎 − 4)2
17. Сравните числа α и b, если: а) α- b =0,04
Б) α- b =-0,01.
18. Докажите, что при всех значениях х верно неравенство:
(х − 3)2 > х(х − 6).
19. Зная, что 5<c<6, оцените значения выражений : а) с-4
Б) -2с.
20. Дан прямоугольник со сторонами x см и y см. Известно, что 1,2<x<1,3 и
4<y<5. Оцените периметр и площадь прямоугольника.
21. Пусть 15<x<16 и 2<y<3 . Оцените сумму x+y, разность x-y,
𝑥
произведение xy и частное .
𝑦
Повторение и развитие
22. Решите уравнение:
3х
х−4
+
10
х2 −3х−4
=−
2
.
х+1
23. Вычислите: √(6 − √20)2 + √(4 − 2√5)2 .
х2 + 𝑦 = 5,
24. Решите систему уравнений: {
5𝑥 + 𝑦 = 5.
25. При каких значениях α уравнение х2 +4х+α-3=0 имеет ровно один корень?
Р.15. Неравенства с одной переменной и их системы
Разминка
1.Продолжи узор:
2. . Вычислите и округлите до сотых: 607,5 – (13
5
99
1
∙ 0,21+308):5 .
8
Контроль
3. Множество чисел, удовлетворяющих условию -3<х<2, называют числовым
_______________________ или просто _________________ от -3 до 2 и
обозначают (__;__) и изображают:
4. Множество чисел, удовлетворяющих условию -3≤х≤2, называют
числовым _______________________ или просто _________________ от -3 до
2 и обозначают [__; __] и изображают:
5. Множество чисел, удовлетворяющих условию -3≤х<2, называют
числовым _______________________ или просто _________________ от -3 до
2 и обозначают [__; __) и изображают:
6. Множество чисел, удовлетворяющих условию -3<х≤2, называют
числовым _______________________ или просто _________________ от -3 до
2 и обозначают (__; __] и изображают:
7. Множество чисел, удовлетворяющих условию x>6, называют числовой
_______________________ или просто _________________ от 6 до ∞ и
обозначают (__;__) и изображают:
8. Множество чисел, удовлетворяющих условию х≤ 6, называют числовой
_______________________ или просто _________________ от -∞ до 6 и
обозначают(__;__] и изображают:
9. Множество чисел, удовлетворяющих условию х≥ 6, называют числовой
_______________________ или просто _________________ от 6 до ∞ и
обозначают [__;__) и изображают:
10. Множество чисел, удовлетворяющих условию х< 6, называют числовой
_______________________ или просто _________________ от -∞ до 6 и
обозначают(__;__)и изображают:
11. Множество действительных чисел изображается всей ________________
Т.е
и обозначают так: (-∞; ∞).
12. Множество, составляющее общую часть некоторых множеств А и В,
называют ______________ множеств и обозначают А∩В, изображают
13.Множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из
множеств А и В, называют ______________ множеств и обозначают А∪В ,
изображают
14. Решением неравенства с одной переменной называется значение
переменной, которое обращает его в _______________числовое
________________________.
15. Решить неравенство – значит найти все его ___________________ или
доказать, что ____________________________________________.
16. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются
____________________.
17. При решении неравенств используются свойства:
1)если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое
противоположным знаком, то получится ____________________
________________________
2) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и
то же положительное число, то получится _________________
__________________________________
3) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и
то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства
на противоположный, то получится ___________________________________
__________________________________
18. решением системы неравенств с одной переменной называется значение
переменной, при котором верно каждое из _____________________________
19. Решить систему - значит найти все ее_____________________ или
доказать, что _____________________________________
Понимание и закрепление
20. Изобразите на координатной прямой промежуток:
А) ( - 3;2)
б) ( - 1;4]
в) [−0,5;5)
г) ( - 1,25;1]
д) ( - ∞;2)
е) ( - ∞;4]
ж) ( 8; ∞)
з) [−1,5; +∞)
21. Решите неравенство: а) 16х>13x+45;
𝑥
𝑥
3
2
б) 15x-23x-23>2x+11
В) − < 2.
г) 2(х+8)-5х<4-3x
2х − 1 > 6,
д){
5 − 3х > −13.
е) {
3х − 2 > 25,
1 − х < 0.
Ж){
2 − х > 0,
0,2х − 1 < 0.
з) {
1 − 5х > 11,
6х − 18 > 0.
И) -1< 3 + 2х < 3.
22. При каких значениях α двучлен 21-7α принимает положительные
значения?
23. При каких значениях α двучлен 15-3α принимает отрицательные
значения?
24. Решите неравенство и найдите наибольшее целое число,
удовлетворяющее неравенству: 3(2х-1)< 5,4 − х.
25. Решите неравенство: а) 7х-3> 11, б) 2𝑦 − 4,8 ≤ 4𝑦 + 1,2.
26. При каких значениях y имеет смысл выражение √
27. Решите системы неравенств: а)
3𝑥 + 9 > 0,
{
𝑥 − 5 < 1.
1+2𝑦
5
.
2 − 𝑦 ≥ 3,
б){
3𝑦 − 1 ≤ 2.
28. Решите двойное неравенство: а) -2< 𝛼 + 1 < 7 .
29. При каких значениях х значение дроби
х−1
2
принадлежат промежутку
[−1; 1].
Повторение и развитие
30.Решите уравнение
8
𝑦 2 −4
+
7
𝑦+2
=
31.Вычислите: √7 + 4√3 ∙ (2 − √3).
𝑦
.
𝑦−2
𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 𝑥𝑦 − 1,
32. Решите систему уравнений :{
𝑥 − 𝑦 = 1.
33. При каком положительном значении α функция y=-2𝑥 2 + 4𝛼𝑥 + 7 имеет
наибольшее значение , равное 15?
Р 16. Степень с целым показателем и ее свойства.
Разминка
1. Продолжите узор:
2. Вычислите: 1
7
20
3
1
17
: 2,75 + 1,35: 2 + (0,49: 2 ) ∙ (4,89 − 1 ).
4
3
19
Контроль
3. Запись 1033 означает произведение 33 множителей, каждый из которых
равен__.
4. Если α≠ 0 и 𝑛 − целое отрицательное число, то 𝛼 𝑛 =
1
.
1
5. Вычислите: 5-2 =___ ; (-3)-4 = .
6. Выражение 0n при целом отрицательном n ____________________________
7.Допишите свойства:
𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎 , 𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 = 𝑎 , (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎 ,
𝑎
(𝑎𝑏)𝑛 =
( )𝑛 =
𝑎
𝑏
8 . Преобразуйте произведение х-17∙ х21
9. Преобразуйте частное: х2 : х5
10. Упростите выражение: (2𝑎3 𝑏−5 )−2
11. Стандартным видом числа х называют его запись в виде х∙ 10𝑛 , где 1 ≤
х < 10 и 𝑛 − целое число. Число 𝑛 называется _______________________________
12.Представьте в стандартном виде число: а) 4 350 000; б) 0,000508;
В) (1,701∙ 103 ): (3,78 ∙ 10−2 ).
Понимание и закрепление
13. Представьте в виде степени с отрицательным показателем: а)
1
1
2
𝑎7
Б) =; в)
=
1
;
г) = __.
6
1
х5
= __;
14. Найдите значения выражений: а) 2−7 ∙ 26 = _____________;
1
б) 5:5−2 =_____________; в) (( )−1 )2 =__________.
4
15. Упростите выражения: а) 2𝑥 −3 𝑦 2 ∙ (3𝑥 −2 𝑦 −4 )=_____________________
1
25𝑥 −3
2
𝑦 −2
Б) ( 𝑥𝑦 −3 )−2 =________________________; в)
∙
𝑦2
5𝑥 −5
=
_________________________
16. Представьте число в стандартном виде: а) 210000000=________;
Б) 0,00016=________________ .
Повторение и развитие
17. Решите уравнение: 2(
7х+5 2
)
х
− 11 ∙
7х+5
х
+ 15 = 0.
18. Вычислите: √83 + 18√2 − √2.
(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4,
19. Решите систему уравнений: {
7𝑦 + 𝑥 = 23.
20. Найдите при каком значении α график функции y=x2 –αx+3 имеет
единственную общую точку с прямой y=2x-1.
Р 5. Рациональные и иррациональные числа.
Разминка
1. Продолжите узор:
6,25−2,25
2. Вычислите: 8+
1
2
1
2
1 −2
.
Контроль
3. Числа 1,2,3…., которые используют при
_______________________
Называют______________________ и обозначают_________________
4. Натуральные числа, противоположные им числа и число __ образуют
множество _____________________________ и обозначают_______________
5. Целые, дробные числа вместе образуют _________________________
Чисел и обозначают _________________________
6. Число 2 - ______________________, а число -2 - _____________________
7. Всякое рациональное число можно представить в виде дроби_____, где m –
целое число, а n- ___________________________
1
8. Представьте в виде дроби с новым показателем: =
2
4
;
3
3
= =
9
.
81
9. Любое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби:
1
8
2
= 0,125;
8
37
5
11
5
7
=
=
12
1
3
=
=
=
−1
3
20
=
1
5 =
6
2
1
14
=
Таким образом , дроби бывают: 1_________________________________
2.________________________________
3.________________________________
4._______________________________
10. 12 =
7 2
8
(4) = _________, (3)2 =
22 =
Среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен_______
Используемая литература: