МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет
имени Н.Г. Чернышевского»
Балашовский институт (филиал)
УТВЕРЖДАЮ:
Директор БИ СГУ
доцент А.В. Шатилова
___________________________
"__" __________________20__ г.
Рабочая программа дисциплины
Теория вероятностей и математическая статистика
Направление подготовки
050100 «Педагогическое образование»
Профиль подготовки
«Информатика»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Балашов
2011
СОДЕРЖАНИЕ
1. Цель освоения дисциплины ____________________________________________3
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата _____________________3
3. Компетенции обучающегося, формируемые в процессе освоения дисциплины
____________________________________________________________________________3
Планируемые результаты обучения по дисциплине ____________________________ 4
4.1. Объем дисциплины _____________________________________________________ 4
4.2. Содержание дисциплины ________________________________________________ 5
4.3. Структура дисциплины _________________________________________________ 6
Информационные технологии, используемые при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине __________________________________________ 7
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины ___________________________________7
Самостоятельная работа студентов по дисциплине _____________________________ 7
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации по дисциплине _________________________________________________________ 8
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины _______16
Литература по курсу_______________________________________________________16
Основная литература ______________________________________________________________ 16
Дополнительная литература ________________________________________________________ 17
Интернет-ресурсы _________________________________________________________17
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины ____________________17
2
1. Цель освоения дисциплины
Цель освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»–
формирование у студентов понятий, знаний и компетенций, позволяющих строить и
анализировать модели систем реального мира с помощью вероятностно-статистических
методов.
2. Место дисциплины
в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» относиться к
базовой части математического цикла (Б3.В.5), изучается во 2 и в 3 семестрах.
Для освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»
используются знания, умения, навыки, способы деятельности и установки, полученные и
сформированные в ходе изучения следующих дисциплин: «Алгебра и геометрия»,
«Математический анализ».
Освоение данной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»
является необходимой основой для последующего изучения дисциплин вариативной
части профессионального цикла, а также дисциплин по выбору студентов.
3. Компетенции обучающегося,
формируемые в процессе освоения дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
компетенций:
 Процесс изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая
статистика» направлен на формирование следующих компетенций:
 владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);
 способен использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в
образовательной и профессиональной деятельности, применять методы
математической обработки информации, теоретического и экспериментального
исследования (ОК-4);
 способен логически верно устную и письменную речь (ОК-6);
 готов использовать основные методы, способы и средства получения, хранения,
переработки информации, готов работать с компьютером как средством
управления информацией (ОК-8);
 осознает социальную значимость своей будущей профессии, обладает мотивацией
к осуществлению профессиональной деятельности (ОПК- 1);
 владеет основами речевой профессиональной культуры (ОПК-3);
 способен к подготовке и редактированию текстов профессионального и социально
значимого содержания (ОПК-6);
 владеет основными фактами, идеями и методами математики, аксиоматическим
методом (СК-1);
 владеет математическим языком (СК-2).
 способен доказывать теоремы (СК-3);
3








способен создавать математические модели для решения задач из различных
областей (СК-4);
способен создавать и исследовать математические объекты аналитическими
методами и с использованием компьютера (СК-5);
знает место данной дисциплины в системе математических знаний (СК-6);
владеет фактами и методами данной дисциплины (СК-7);
способен применять знания и методы других дисциплин в данной дисциплине (СК8);
умеет использовать знания данной дисциплины в других научных областях (СК-9);
знает основные этапы развития математики (СК-10);
владеет содержанием и методами элементарной математики, знает связь разделов
элементарной математики с высшей математикой и методикой обучения
математике (СК-11).
Планируемые результаты обучения по дисциплине
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
знать:
 правила вычисления вероятностей случайных событий;
 способы определения и построения законов распределения вероятностей
случайных величин и вычисления их числовых характеристик;
 основные понятия, связанные со статистической зависимостью между
случайными величинами;
 способы оценки неизвестных параметров по экспериментальным данным;
 способы проверки гипотез по экспериментальным данным;
 основные понятия и теоремы теории вероятностей.
уметь:
 вычислять вероятности простых и сложных событий;
 находить необходимые характеристики случайных величин по известным
законам распределения вероятностей или оценки этих характеристик по
экспериментальным данным;
 практически применять известные критерии проверки статистических
гипотез.
владеть:
навыками применения полученных знаний для решения задач, связанных с
анализом технических систем.
4. Содержание и структура учебной дисциплины
4.1. Объем дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц, 180 часов, из них:
2 семестр: 2 зачетные единицы, 54 часа аудиторной работы (18 часов лекций и 36
часов практических занятий), 18 часов самостоятельной работы, освоение дисциплины
заканчивается зачетом.
3 семестр: 3 зачетные единицы, 36 часов аудиторной работы (18 часов лекций и 18
часов практических занятий), 36 часов самостоятельной работы, освоение дисциплины
заканчивается экзаменом (36 часов).
4
4.2. Содержание дисциплины
1. Случайные события
Испытания и события. Виды случайных событий. Классическое определение
вероятности. Основные формулы комбинаторики. Непосредственный подсчет
вероятностей. Геометрические вероятности.
Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность. Теорема умножения
вероятностей. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.
Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формула Байеса.
Вычисление вероятностей появления событий при повторных независимых
испытаниях. Полиномиальное распределение. Формула Бернулли. Производящие
функции.
2. Случайные величины
Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон
распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальное
распределение. Распределение Пуассона.
Функция распределения вероятностей случайной величины. Плотность
распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Вероятность попадания
непрерывной случайной величины в заданный интервал.
Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание,
дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Начальные и центральные теоретические
моменты.
Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин.
3. Предельные теоремы теории вероятностей
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Теорема
Бернулли. Характеристические функции случайных величин. Центральная предельная
теорема.
4. Случайные процессы
Понятие о случайном процессе. Цепи Маркова. Уравнение Колмогорова.
Пуассоновские процессы. Процесс гибели и размножения.
5. Первичная обработка статистических данных. Точечные оценки числовых
характеристик
Задачи математической статистики. Основные понятия математической статистики.
Простейшие статистические преобразования. Статистические оценки и их свойства:
состоятельные оценки, смещение и несмещенные оценки, эффективные оценки.
6. Интервальные оценки числовых характеристик
Доверительный интервал. Специальные распределения. Распределения некоторых
статистик. Примеры построения доверительных интервалов для числовых характеристик
случайных величин.
7. Статистическая проверка гипотез
Гипотезы основная и альтернативная. Критерий проверки гипотезы. Распределения
вероятностей критерия проверки гипотезы. Области возможных значений критерия при
справедливости основной гипотезы. Ошибки I и II рода при проверке гипотез.
Оптимальный критерий. Примеры построения критериев для статистической проверки
гипотез.
8. Корреляционный и регрессионный анализ. Статистическая обработка
экспериментальных данных
Корреляция и регрессия случайных величин. Коэффициент линейной корреляции и
его статистическая оценка. Проверка гипотезы о значимости коэффициента линейной
корреляции. Условное математическое ожидание. Функция регрессии. Функция регрессии
двумерного нормального закона. Определение статистических оценок коэффициентов
функции регрессии. Остаточная дисперсия. Корреляционное отношение.
5
4.3. Структура дисциплины
Раздел
Дисциплины
Неделя семестра
№
п/п
Семестр
Очная форма обучения
Виды учебной
работы, включая
самостоятельную
работу студентов и
трудоемкость
(в часах)
Л
ПЗ
СРС
Формы
текущего контроля
успеваемости (по
неделям семестра)
Форма
промежуточной
аттестации (по
семестрам)
1
Случайные события
2
1-5
6
10
6
КР№1(5н)
2
3
4
Случайные величины
Предельные теоремы
Случайные процессы
Итого 2 семестр
Промежуточная
аттестация
2
5-8
9-10
11
4
4
4
18
10
8
8
36
4
4
4
18
КР№2(8н)
СР(10н)
СР(11н)
3
5
Первичная обработка
статистических данных.
Точечные оценки числовых
характеристик
Интервальные оценки
числовых характеристик
3
6
7
Статистическая проверка
гипотез
3
8
Корреляционный и
регрессионный анализ
3
Итого 3 семестр
Промежуточная
аттестация
2
2
Зачет во 2 семестре
1-5
6
6
10
СР(5н)
5-8
4
4
10
СР(7н) КР№3(8н)
9-10
4
4
8
СР(10н)
11
4
4
8
КР№4(11н)
18
18
36
Экзамен в 3
семестре (36 часов)
5. Образовательные технологии, применяемые при освоении
дисциплины
Специфика дисциплины и объем учебного материала предполагают как
традиционную лекционную форму изложения материала, так и использование различных
активных и интерактивных форм обучения. В процессе чтения лекций рекомендуется
использовать мультимедийное оборудование для иллюстрации понятий и фактов и
проведения компьютерного эксперимента. Для контроля и сопровождения
самостоятельной работы студентов рекомендуется использование виртуальной
обучающей среды Moodle.
6
Информационные технологии, используемые
при осуществлении образовательного процесса по дисциплине


Использование информационных ресурсов, доступных в информационнотелекоммуникационной сети Интернет (см. перечень ресурсов в п. 8 настоящей
программы).
Использование электронных таблиц для расчетов и анализа данных.
Для обеспечения доступности обучения инвалидам и лицам с ограниченными
возможностями здоровья учебные материалы могут быть адаптированы с учетом особых
потребностей: в печатных материалах укрупнен шрифт, произведена замена текста
аудиозаписью, использованы звуковые средства воспроизведения информации.
6. Учебно-методическое обеспечение
самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Самостоятельная работа студентов по дисциплине
1. Подготовка рефератов:
Методические рекомендации: реферат, как форма самостоятельной научной работы
студентов, — это краткий обзор максимального количества доступных публикаций по
заданной теме, с элементами сопоставительного анализа данных материалов и с
последующими выводами. При проведении обзора проводится исследовательская работа
ограниченного объема, так как анализируются уже сделанные предыдущими
исследователями выводы. Студент должен ориентировать на следующие критерии:
полнота раскрытия выбранной темы, четкость структуры ее изложения,
самостоятельность, логичность изложения, наличие выводов, сделанных самостоятельно.
Преподаватель рекомендует литературу, которая может быть использована для
написания реферата.
Формы отчетности
1. План – конспект реферата.
2. Защита реферата.
3. Словарь терминов.
2. Подготовка к зачету:
Методические рекомендации: этот вид самостоятельной работы наиболее сложный и
ответственный. Начинать подготовку к зачету нужно заблаговременно, до начала сессии.
Одно из главных правил – представлять себе общую логику предмета, что достигается
проработкой планов лекций, составлении опорных конспектов, схем, таблиц. В конце
семестра повторять пройденный материал в строгом соответствии с учебной программой,
примерным перечнем учебных вопросов, выносящихся на зачет и содержащихся в данной
программе. Использовать конспект лекций и литературу, рекомендованную
преподавателем. Обратить особое внимание на темы учебных занятий, пропущенных
студентом по разным причинам. При необходимости обратиться за консультацией и
методической помощью к преподавателю.
7
Оценочные средства
для текущего контроля успеваемости
и промежуточной аттестации по дисциплине
Тематика рефератов:
1. История зарождения и развития науки «Теория вероятностей и математическая
статистика».
2. Ученые, сделавшие вклад в развитие теории вероятностей.
3. Ученые, сделавшие вклад в развитие математической статистики.
4. Использование электронных таблиц при изучении теории вероятностей.
5. Использование электронных таблиц при изучении математической статистики.
6. Интернет – в помощь изучающему теорию вероятностей
7. Интернет – в помощь изучающему математическую статистику.
8. Программные средства для изучения теории вероятностей.
9. Программные средства для изучения математической статистики.
Контрольная работа №1
1. На девяти карточках написаны цифры 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Из них наудачу
выбираются две карточки и кладутся на стол в порядке появления. Найти вероятность
того, что полученное число делится на семь.
2. Имеются три станка. Каждый из них может работать в данный момент с
вероятностью 0,7, 0,8 и 0,9 соответственно. Найти вероятность того, что в данный момент
будут работать только два станка.
3. В первой урне имеются три белых и семь чёрных шаров, а во второй – семь
белых и три чёрных шара. Из первой урны во вторую наудачу переложен шар, а затем,
также наудачу, переложен шар из второй урны в первую. Определить вероятность того,
что составы урн после этих перекладываний не изменятся.
4. Станок автомат, выпускающий детали, даёт 5% брака. Существующая система
контроля качества 90% процентов бракованных деталей называет бракованными, но, в
силу своего несовершенства, 5% доброкачественных деталей объявляет бракованными.
Деталь, прошедшая контроль, названа бракованной. Какова вероятность того, что
контроль не ошибся?
Контрольная работа №2
1. Из колоды карт (52 шт.) наудачу без возвращения извлекаются восемь карт.
Постройте ряд распределения и определите мат. ожидание случайного числа появившихся
красных картинок. Чему равна вероятность того, что число этих картинок - чётное?
2. При каком значении параметраа функция:
x   2 ;0,
 0,
будет плотностью вероятности случайной величины
p x   
x


a

e
,
x


2
;
0

Х. Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание М. Чему равна
вероятность случайного события  2  X  1? Сделать чертёж.
Контрольная работа №3
1.
На одной из сторон правильного треугольника, длина стороны которого равна
а, наудачу ставится точка. Через эту точку, параллельно двум другим сторонам
треугольника, проводятся две прямые. Определите математическое ожидание и
дисперсию величины площади получившегося параллелограмма.
2.
В урне находятся один белый, два красных и три чёрных шара. Наудачу без
возвращения извлекаются три шара. Для случайных чисел появившихся шаров белого и
красного цвета постройте таблицу распределения вероятностей. Найти частные
распределения компонент получившегося вектора.
8
3.
Случайная величина  является средней арифметической 3600 независимых
одинаково распределённых случайных величин, у каждой из которых математическое
ожидание равно трём, а дисперсия – двум. Каким должно быть  , чтобы суверенностью
не менее, чем 0,95 можно было утверждать, что значения  отклонятся от M меньше,
чем на  ?
Контрольная работа №4
1. Построить вариационный ряд по данным. Построить гистограммы. Определить
значения точечных оценок числовых характеристик случайных величин.
2. Построить доверительные интервалы для математических ожиданий и
дисперсий.
3. Проверить гипотезы о равенстве значений числовых характеристик некоторому
фиксированному числу, о совпадении значений одноимённых числовых характеристик
двух случайных величин.
4. Определить методом наименьших квадратов статистические оценки
коэффициентов функции регрессии.
5. Построить соответствующую геометрическую иллюстрацию.
Тестовые задания для оценки остаточных знаний
1. Формулой Бернулли называется формула:
2. Указать формулу, которая используется для вычисления дисперсии случайной
величины Х.
3. К случайной величине Х прибавили число а. Как от этого изменится ее дисперсия?
1) Прибавится слагаемое а,
2) Прибавится слагаемое a2,
3) Не изменится,
4) Умножится на а.
4. Какое из перечисленных выражений означает появление ровно одного из трех
событий А, В, С:
5. Потребитель может увидеть рекламу определенного товара по телевидению
(событие А), на рекламном стенде (событие В) и прочесть в газете (событие С). Что
означает событие
а) потребитель увидел ровно два вида рекламы;
б) потребитель увидел рекламу по телевидению и на рекламном стенде;
в) потребитель не прочитал рекламу в газете, но увидел хотя бы одну из двух других;
9
г) потребитель увидел рекламу по телевидению и на рекламно стенде, но не читал ее в
газете;
д) потребитель увидел только один из видов рекламы.
6. Условная вероятность P(A/ B) это:
а) вероятность одновременного наступления событий А и В;
б) вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже
произошло;
в) вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В уже
произошло;
г) вероятность наступления по крайней мере одного из событий А и В;
д) ) вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В не может
произойти.
7. Чему равна условная вероятность P(A/ B), если A и B - независимые события:
8. Студент знает 14 вопросов программы из 20. В билете содержится 3 вопроса. Чему
равна вероятность того, что студент ответит не менее чем на два вопроса из трех?
9. Если вероятность наступления события A в каждом испытании равна 0,002, то для
нахождения вероятности того, что событие A наступит 3 раза в 1000 испытаниях, вы
воспользуетесь:
1) формулой Бернулли;
2) формулой Пуассона;
3) локальной теоремой Муавра-Лапласа;
4) интегральной теоремой Муавра-Лапласа;
5) формулой Байеса.
10. Случайная величина Х задана законом распределения:
Х
2
-
2
p
,2
0
,8
0
Найти среднее квадратическое отклонение заданной случайной величины Х.
1) 0,0
2) 1,2
3) 1,6
4) 2,56
5) 2,0
11. Случайная величина Х задана своей плотностью распределения вероятностей:
0,125 х при 0 < х  4
f(x) =
0 при х  0; х > 4.
Вычислить математическое ожидание случайной величины Х.
1) 2,667
2) 0,500
3) 1,536
4) 1,333
5) 8,250
12. Сколькими способами можно составить список из пяти студентов?
10
13. Математическое ожидание и дисперсия независимых случайных величин Х и Y
соответственно равны M (X) =5, D(X) =2, M (Y) = 4, D (Y) =1. Найти дисперсию D (Z)
случайной величины Z = X +2Y−3.
14. Подбросили 2 игральных кубика. Найти вероятность р того, что сумма выпавших
очков не меньше 3.
15. В инструментальном ящике находятся 15 стандартных и 5 бракованных деталей.
Из ящика наугад вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что эта деталь
стандартна
1) 3/4.
2) 7/8.
3) 1/4.
4) 1/3.
16. Выборка задана распределением частот:
Значение признака
Х
1
Частота проявлений значения
10
20
Выборочное среднее равно
1) 4,5
2) 4
3) 3,5
4) 5
3
20
4
50
6
17. Все значения непрерывной случайной величины Х попадают в промежуток [1; 5].
Вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, большее 6, равна
1) 1
2) 0
3) 0,5
4) 0,7
18. Событие А называется невозможным, если в результате данного испытания ...1) оно
не наступает никогда
2) оно наступает всегда
3) оно может наступить, а может и не наступить
4) оно может наступить только 2 раза подряд
19. Бросается игральная кость. Рассматриваются события:
А — выпало менее 2 очков,
В — выпало менее 3 очков,
С — выпало четное число очков,
D — выпало более 4 очков,
Е — выпало 5 очков.
Совместными являются события
1) А, С
2) А, D
3) В, D
4) С, D
20. В классе 23 человека. Каждый день по классу дежурят трое. Назначить дежурных
можно
1) 10626 способами
2) 23 способами
3) 12167 способами 4)
1771
способом
21. Если события А и В являются независимыми, а событие С есть пресечение А и В, то
Р(С) =
1) 0 %
2) 100 %
3) Р(А)·Р(В)
4) Р(А)+Р(В)
5) 50
%
21. В таблице
n
10
100
200
1000
k
3
29
59
291
указано количество испытаний n и количество k наступления при этом события А.
Статистическая вероятность наступления события А при одном испытании
приблизительно равна
11
1) 0,12
2) 0,29 3) 0,39
4) 0,41
5) 0,19
22. В квадрат с вершинами в точках (0; 0), (2; 0), (0; 2), (2; 2) наудачу бросается точка.
Вероятность того, что она попадет при этом и в квадрат с вершинами в точках (0; 0), (1; 0),
(0; 1), (1; 1) равна
1) 0
2) 0,5
3) 0,75
4) 0,25
5) 0,8
23. Вероятность наступления событияА при одном испытании равна 0,7. Было
проведено 10 независимых повторных испытаний. Вероятность того, что событие А
наступило при этом ровно 4 раза рассчитывается по формуле
1) 210  0,7 4  0,36 2) 210  0,7 6  0,34
3) 0,7 4  0,36
4) 210  0,7 4
5) 5040  0,74  0,36
24. Дан закон распределения дискретной случайное величины Х.
Возможные значения Х
2
4
5
7
Вероятности Р(Х)
0,2
0
0,1
,5
Вероятность того, что данная случайная величина примет значение 5, равна
1) 0
2) 1
3) 0,1
4) 0,2
5) 0,3
25. Даны случайные величины
1) время решения анаграмм (анаграмма — буквы некоторого слова, написанные в
произвольном порядке, например, решением анаграммы КРУА является слово РУКА)
2) количество решенных анаграмм
3) количество баллов при тестировании
4) время выполнения теста
5) количество попаданий по мишени при 10 выстрелах
6) расстояние от центра мишени до точки попадания при одном выстреле
7) номер желтого цвета при расположении семи цветов по убыванию предпочтения.
Непрерывными случайными величинами являются
1) только 4 и 6
2) 1, 2, 3
3) только 6
4) 1, 4, 6
5) 4, 5, 6
26. Даны случайные величины
1) количество вопросов в тесте
2) количество ошибок при выполнении теста
3) длина прыжка с трамплина
4) длина стопы
5) количество студентов в группе, успешно сдавших тест
6) расстояние от центра мишени до точки попадания при одном выстреле
7) время удержания волевого мышечного усилия на динамометре
Дискретными случайными величинами являются
1) 1, 2, 5
2) только 1 и 2
3) только 1 и 5
4) только 2, 5 и 6
5) 3, 4, 6, 7
12
27. Дана непрерывная случайная величина Х, распределенная по нормальному закону,
с математическим ожиданием 3 и среднеквадратическим отклонением 0,5. При очередном
испытании Х с вероятностью не менее 99 % попадет в промежуток
1) [1,5; 4,5]
2) [2; 4]
3) [1,9; 4,1]
4) [17; 40]
5) [3; 3,5]
28. Выборка задана распределением частот:
Значение признака Х
1
3
4
6
Частота проявлений значения
12
16
14
8
Статистическая частота проявления значения 4 равна
1) 4
2) 14 3) 50 4) 0,28
5) 0,39
29. Противоположным событием случайному событию A B будет событие: а)
событие A  B ; б) событие A  B ; в) событие A  B .
30. Вероятности наступления случайных событий A и B равны P A  0,35 и PB   0,75 .
Эти случайные события: а) совместные; б) несовместные; в) взаимно противоположные.
31. Гипотезы, формулируемые при применении формулы полной вероятности, должны
быть: а) попарно независимыми; б) попарно несовместными; в) взаимно
противоположными.
32. Случайная величина это: а) случайный результат любого опыта;
б) измеримое отображение множества элементарных исходов во множество чисел;
в) вероятность наступления случайного события при однократном проведении
опыта.
33. Плотность вероятности px  это:
b
а) функция, для которой при любых неотрицательных a и b интеграл
 px dx
a
принимает конечные значения;

б) любая функция, для которой справедливо
 px dx  1 ;

в) любая функция, которая удовлетворяет двум условиям: px   0 для любого x,
xR , и

 px dx  1 .

34. Математическое ожидание случайной величины это:
а) наиболее вероятное значение случайной величины;
б) среднее значение случайной величины;
в) ожидаемое значение случайной величины.
35. Дисперсия случайной величины это:
а) разброс возможных значений случайной величины около её математического
ожидания;
б) мера разброса возможных значений случайной величины около её математического
ожидания;
в) мера связи возможных значений случайной величины и её математического
ожидания.
36. Дисперсия суммы случайных величин  и  равна:
а) D     D  D , если случайные величины – независимые;
б) D     D  D , если случайные величины – несовместные;
в) D     D  D  D  , если случайные величины – произвольные;
37. Функция Лапласа используется при:
13
а) определении величины разброса значений случайной величины при проведении
большого числа наблюдений;
б) определении вероятностей событий, которые могут наступить при проведении
больших серий повторных независимых испытаний;
в) при вычислении значений статистических оценок коэффициентов функции
регрессии.
38. Функция Лапласа применяется при:
а) определении математического ожидания нормально распределённой случайной
величины;
б) проверке статистической гипотезы о виде закона распределения случайной
величины;
в) вычислении вероятностей наступления случайных событий, определяемых
нормально распределённой случайной величиной.
39. Коэффициент линейной корреляции используется для определения:
а) величины разброса значений одной из случайных величин около математического
ожидания другой случайной величины;
б) силы статистической связи между значениями случайных величин;
в) меры зависимости условного распределения одной из компонент случайного
вектора от частного распределения другой компоненты.
40. Функция регрессии это:
а) функция, описывающая изменение значений одной из случайных величин в
зависимости от изменения закона распределения вероятностей другой;
б) функция, описывающая изменение значений условного математического ожидания
одной из случайных величин в зависимости от изменения значений другой случайной
величины;
в) функция, описывающая зависимость условных математических ожиданий
компонент двумерной случайной величины.
41. Закон больших чисел – это:
а) совокупность теорем, в которых на последовательность случайных величин
накладываются условия, при которых их центрированная и нормированная сумма с
вероятностью близкой к единице принимает значения, мало отличающиеся от нуля;
б) закон, определяющий распределение вероятностей больших отклонений от нуля;
в) закон, оценивающий большие отклонения значений случайных величин от их
математического ожидания.
42. Для определения точечных оценок числовых характеристик случайной величины
необходимо:
а) иметь выборку из генеральной совокупности;
б) построить гистограмму распределения относительных частот;
в) применить метод наименьших квадратов.
43. «Рассматривается последовательность независимых, как угодно распределённых
случайных величин, дисперсии которых ограничены одной общей константой,…». Эти
требования к случайным величинам формулируются:
а) в теореме Леви;
б) в теореме Ляпунова;
в) в теореме Чебышева.
44. «Состоятельность» это:
а) одно из требований, предъявляемое к точечным оценкам числовых характеристик
случайных величин;
б) требование к статистикам, необходимым при определении границ доверительного
интервала;
в) требование, выполнение которого позволяет минимизировать вероятность ошибки
первого рода при статистической проверке гипотез.
14
45. Статической оценкой математического ожидания случайной величины является:
а) нормированная сумма наблюдаемых значений случайной величины;
б) среднее арифметическое элементов выборки наблюдаемых значений случайной
величины;
в) среднее арифметическое максимального и минимального значений элементов
выборки.
22. Доверительный интервал это:
а) интервал наиболее вероятных значений случайной величины;
б) интервал значений вероятностей практически достоверных событий;
в) интервал, в котором с доверительной вероятностью находится числовая
характеристика случайной величины.
46. Центральная предельная теорема это:
а) терема о предельном распределении последовательности центрированных
случайных величин;
б) совокупность теорем, в которых на последовательность случайных величин
накладываются условия, при которых их центрированная и нормированная сумма
подчиняются распределению мало отличающемуся от нормального.
в) общая теорема о существовании центрированного распределения вероятностей для
предельных значений случайных величин.
47. Критерий статистической проверки гипотез является:
а) случайной величиной, значения которой зависят от элементов генеральной
совокупности, попавших в выборку;
б) числовой характеристикой эмпирической случайной величины;
в) областью возможных значений проверяемой гипотезы.
48. Критерий статистической проверки гипотез это:
а) случайная величина, значения которой позволяют подтвердить или опровергнуть
основную гипотезу;
б) случайная величина, распределение которой зависит от формулировки проверяемых
гипотез;
в) случайная величина, по распределению вероятностей которой проверяется гипотеза
о независимости основной и альтернативной гипотез.
49. Теорема Чебышёва является предельной теоремой:
а) для последовательности дискретных случайных величин;
б) для последовательности непрерывных случайных величин;
в) для последовательности случайных величин, независимо от типа законов
распределения их вероятностей.
50. По результатам проверки по элементам одной и той же выборки значений  двух
гипотез
H 0 :  имеет функцию распределения F1 ( x) ,
H 0 :  имеет функцию распределения F2 ( x) ,
где F1 ( x) и F2 ( x) - разные функции распределения, приято решение о том, что нет
оснований отклонять и первую, и вторую гипотезу.
а) При применении критерия Пирсона такого решения не может быть.
б) При применении критерия Пирсона такое решение может быть.
в) Такое решение может быть только в том случае, если случайная величина 
принимает только положительные значения.
Вопросы к экзамену
1.
2.
Испытания и события. Виды случайных событий.
Классическое определение вероятности.
15
3.
Основные
формулы
комбинаторики.
Непосредственный
подсчет
вероятностей.
4.
Геометрические вероятности.
5.
Теорема сложения вероятностей.
6.
Условная вероятность. Вероятность произведения событий. Зависимые и
независимые события.
7.
Формула полной вероятности.
8.
Формула Байеса.
9.
Случайная величина. Типы случайных величин. Функция распределения
случайной величины.
10.
Функция распределения. Свойства. Примеры функций распределения
дискретного типа.
11.
Функция распределения. Свойства. Примеры функций распределения
непрерывного типа.
12.
Математическое ожидание случайной величины. Определение. Свойства.
13.
Дисперсия случайной величины. Определение. Свойства.
14.
Функции случайных величин. Определение закона распределения функции
случайной величины. Примеры.
15.
Закон больших чисел. Неравенство и теорема П.Л. Чебышёва.
16.
Центральная предельная теорема. Теорема Муавра-Лапласа.
17.
Выборка. Первичная обработка статистических данных. Точечные оценки
числовых характеристик случайных величин. Требования к точечным оценкам.
18.
Метод моментов получения точечных оценок числовых характеристик
случайных величин.
19.
Метод максимального правдоподобия получения точечных оценок числовых
характеристик случайных величин.
20.
Интервальные оценки числовых характеристик случайных величин.
Доверительный интервал для математического ожидания.
21.
Интервальные оценки числовых характеристик случайных величин.
Доверительный интервал для дисперсии.
22.
Статистическая проверка гипотез. Ошибки первого и второго рода.
23.
Статистическая проверка гипотез. Понятия о критериях.
24.
Статистическая проверка гипотезы о виде закона распределения случайной
величины. Критерий согласия Пирсона.
25.
Элементы корреляционного и дисперсионного анализов. Статистическая
оценка коэффициента линейной корреляции.
26.
Условные распределения и условные математические ожидания.
Определение функции регрессии.
27.
Статистическая оценка коэффициентов линейной функции регрессии
методом наименьших квадратов.
28.
Корреляционное отношение – мера силы статистической связи при
нелинейной регрессии.
7. Учебно-методическое и информационное
обеспечение дисциплины
Литература по курсу
Основная литература
1. Туганбаев, А. А.Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный
ресурс] / А. А. Туганбаев, В. Г. Крупин. - Электрон.дан. - М. : Лань, 2011. - 320 с.
16
2. Гмурман В.Е.Теория вероятностей и математическая статистика 12-е изд. Учебное
пособие для вузов. [Электронный ресурс] / Гмурман В.Е. - М. : Издательство Юрайт,
2010. - 479 с.
3. Павлов, С. В.Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие /
С.В. Павлов. - (Карманное учебное пособие). [Текст] / С. В. Павлов. - [Б. м.] : ИЦ
РИОР, ИНФРА-М, 2010. - 186 с
Дополнительная литература
1. Болотюк, В.А. Практикум и индивидуальные задания по курсу теории вероятностей
(типовые расчеты) [Текст]/ В.А. Болотюк, Л.А. Болотюк, А.Г. Гринь А.Г., И.П. Гринь
И.П.
и
др.
–
«Лань»,
2010
–
288
с.
–
Режим
доступа:
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=186&pl1_id=534
2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике [Текст]/ В. Е. Гмурман. М.: Высш.шк., 2004.- 404 с.
Интернет-ресурсы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
http://www.mathcs.carleton.edu/probweb/probweb.
http://www.ruf.rice.edu/~lane/rvls.html
http://www.math.uah.edu/stat
http://www.statsoft.ru/home/textbook/default.htm
http://teorver-online.narod.ru/tvms-i.html
http://distance.ru/4stud/umk/stat/stat.html
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Стандартно оборудованные лекционные аудитории.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и примерной ООП ВПО по направлению «Педагогическое образование» и
профилю подготовки «Информатика».
Программа одобрена на заседании кафедры физики и информационных технологий
от «29» августа 2011 года, протокол № 7.
Подписи:
Автор программы ___________________ст.преподаватель Ерофеев А.Н.
Зав. кафедрой физики
и информационных технологий ___________ к.п.н., доцент
Сухорукова Е.В.
Декан факультета математики,
экономики и информатики _______________ к.п.н., доцент Кертанова В.В.
17