CH-3

Глава 3. Случайные величины.
3.1. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной
случайной величины.
Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате
испытания может принять одно из возможных своих значений, причем неизвестно
заранее, какое именно.
Существуют дискретные и непрерывные случайные величины.
Случайная величина называется дискретной, если множество ее возможных
значений – отдельные изолированные числа, причем это множество конечное или
бесконечное, но обязательно счетное.
Например, количество дождливых дней в июне или число произведенных
выстрелов до первого попадания.
Случайная величина называется непрерывной, если ее возможные значения
непрерывно заполняют некоторый промежуток (конечный или бесконечный) числовой
оси.
Например, ошибка взвешивания или дальность полета снаряда.
Случайные величины обычно обозначают прописными буквами латинского
алфавита X, Y, Z,…, а их значения строчными буквами x, y, z,….
Случайная величина описывается законом распределения.
Закон распределения случайной величины устанавливает связь между
возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины X может быть задан в
виде таблицы (см. рис. 3.1.1), первая строка которой содержит в порядке возрастания
возможные значения xi, а вторая – вероятности pi этих значений.
Такая таблица (рис. 3.1.1) называется рядом распределения.
X:
x1 x2 … xn
p1 p2 … pn
Рис. 3.1.1
n
Отметим, что  pi  1
i1
.

Если множество возможных значений X бесконечно, то  pi  1 .
i 1
Закон распределения дискретной случайной величины может быть также задан
аналитически
P(X = xi) = φ(xi)
(3.1.1)
или с помощью функции распределения (раздел 3.2).
Кроме того, закон распределения дискретной случайной величины можно
изобразить графически, а именно в прямоугольной системе координат строят точки
1
M1(x1,p1), M2(x2,p2), …, Mn(xn,pn) и соединяют их отрезками прямой. Полученную фигуру
называют многоугольником распределения.
Введем понятие независимых случайных величин.
Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения
одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина.
Определим математические операции над дискретными случайными
величинами.
Пусть даны две случайные величины:
X:
Y:
x1 x2 … xn
p1 p2 … pn
y1 y2 … ym
p1 p2 … pm
Рис. 3.1.2
Тогда случайная величина kX, где k – const, принимает значения kxi с теми же
вероятностями pi, i  1, n , а случайная величина Xm принимает значения xim с
вероятностями
p i , i  1, n .
3.1.1. Дана случайная величина
X:
-2 -1
0
1
2
0,2 0,1 0,3 0,3 0,1
Найти закон распределения случайных величин: 1) Y = -2X; 2) Z = X2.
Решение.
1) Значения Y будут: -2  (-2) = 4; (-2)  (-1) = 2; (-2)  0 = 0; (-2)  1 = -2; (-2)  2 = -4 с
теми же вероятностями 0,2; 0,1; 0,3; 0,3; 0,1, но записывать их надо в порядке
возрастания, т.е.
Y:
-4 -2
0
2
4
0,1 0,3 0,3 0,1 0,2
2) Значения Z будут: (-2)2 = 4; (-1)2 = 1; 02 = 0; 12 = 1; 22 = 4.
Одинаковые значения учитываются только один раз, при этом их вероятности
складываются. Так, P(Z = 4) = 0,2 + 0,1 = 0,3. Следовательно,
Z:
0
1
4
0,3 0,4 0,3
Суммой (разностью или произведением) случайных величин X и Y называется
случайная величина, принимающая все возможные значения вида xi + yj (xi – yj или xiyj)
с вероятностями Pij, где Pij = P[(X = xi, Y = yj)] – вероятность того, что X примет
значение xi, а Y – значение yj, i  1,n , j  1,m .
3.1.2. Даны законы распределения двух независимых случайных величин
-1
0
1
2
0,2
X:
0,3
0,5
Y:
1
2
3
0,3 0,5 0,2
Найти закон распределения случайной величины Z = X+Y.
Решение. Составим вспомогательную таблицу, в каждой внутренней клетке
которой в левом углу запишем значения суммы X+Y, а в правом углу – вероятности
этих значений (см. рис. 3.1.3).
yj
xi
pj
pi
1
0,3
2
0,5
3
0,2
-1
0
1
0,2
0,3
0,5
0
1
0,06
1
2
0,09
2
0,01
2
0,15
3
0,15
3
0,04
0,25
4
0,06
0,1
Рис. 3.1.3
Так как среди значений Z имеются одинаковые, то соответствующие
вероятности необходимо сложить. Например, Z = X + Y = 1 получено, если X = 2,
Y = -1 с вероятностью 0,1 и X = 1, Y = 0 с вероятностью 0,09. Поэтому P(Z=1) =
=0,1 + 0,09 = 0,19. В результате получим распределение Z:
0
1
2
3
4
0,06 0,19 0,34 0,31 0,1
3.2. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной
величины.
Характеристикой среднего значения случайной величины является
математическое ожидание.
Математическим ожиданием M(x) дискретной случайной величины X
называется сумма произведений всех ее значений на их вероятности.
n
M(X) = a = x1p1 + x2p2 + … + xnpn =  pi xi
i1
(3.2.1).
Математическое ожидание обладает следующими свойствами.
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
M(c) = c.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
M(kX) = kM(X).
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их
математических ожиданий:
M(X ± Y) = M(X) ± M(Y).
3
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин
равно произведению их математических ожиданий:
M(XY) = M(X)  M(Y).
5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее
математического ожидания (X – M(X)) равно нулю:
M(X – M(X)) = 0.
3.2.1. Найти математическое ожидание случайной величины Z = 2X – 3Y + 5,
если M(X) = 2, M(Y) = - 3.
Решение. Используя свойства математического ожидания, найдем:
M(Z) = 2M(X) – 3M(Y) + 5 = 2  2 – 3  (-3) + 5 = 18.
3.2.2. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
-2 1 x3
0,2 p2 0,4
А также известно, что M(X) = 2. Найти p2 и x3.
Решение. Очевидно, что p2 = 0,4, так как сумма вероятностей равна 1. По
определению M(X) = -2  0,2 + 1  0,4 + x3  0,4 = 2. Тогда x3 = 5.
Характеристикой рассеяния возможных значений случайной величины
относительно математического ожидания является дисперсия.
Дисперсией D(X) случайной величины X называется математическое ожидание
квадрата ее отклонения от математического ожидания:
D(X) = M[X – M(X)] 2
(3.2.2).
Дисперсию удобно вычислять по формуле
D(X) = M(X2) – [M(X)]2
(3.2.3).
Дисперсия обладает следующими свойствами.
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
D(c) = 0.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при
этом в квадрат:
D(kX) = k2D(X).
3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их
дисперсий:
D(X ± Y) = D(X) + D(Y).
Наряду с дисперсией в качестве показателя рассеяния случайной величины
используют среднее квадратическое отклонение  ( X ) , определяемое по формуле
 ( X )  D( X )
(3.2.4).
3.2.3. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной
величины Z = 5X – 2Y + 3, если X и Y – независимые случайные величины и D(X) = 4,
D(Y) = 11.
4
Решение. Используя свойства дисперсии, найдем D(Z) = 25D(X) + 4D(Y) + 0 = 25
  4 + 4  11 = 144 и  (Z )  D(Z )  12 .
3.2.4. Бросают 10 игральных костей. Найти математическое ожидание суммы
числа очков, которые выпадут на всех гранях.
Решение: пусть Xi – число очков, выпавших на i-той грани, i  1,10 . Очевидно,
что величины Xi одинаково распределены.
Xi:
1
2
3
4
5
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
1
1
1
1
1
7
1   2   3   4   5   6  .
6
6
6
6
6
6
2
Обозначим X – сумма числа очков. Тогда X = X1 + X2 + … + X10.
7
M(X) = M(X1) + M(X2) + … + M(X10) = 10 M(Xi) =  10  35 .
2
и M(Xi) =
3.3. Функция распределения случайной величины.
Для описания закона распределения случайной величины X можно
рассматривать не вероятность события X=x, а вероятность события X < x, где x –
переменная.
Тогда вероятность P(X < x) является некоторой функцией x. Подобное описание
случайной величины X применимо как для дискретных, так и для непрерывных
случайных величин.
Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x),
определяющая для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X
примет значение, меньшее x:
F(X) = P(X < x)
(3.3.1).
Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения.
3.3.1. Дан ряд распределения случайной величины X:
2
4
6
7
9
0,2 0,1 0,3 0,3 0,1
Найти и изобразить графически функцию F(x).
Решение. Если x  2, то F(x) = 0. Действительно, так как величина X не
принимает значений, меньших числа 2, то P(X < x) = 0.
Если 2<x≤4, то X может принять только значение 2 с вероятностью 0,2.
Следовательно, F(x) = 0,2.
Если 4<x≤6, то X может принять либо значение 2 с вероятностью 0,2, либо
значение 4 с вероятностью 0,1. Тогда одно из этих значений, неважно какое, X может
принять с вероятностью 0,2 + 0,1 = 0,3 и F(x) = 0,3.
Если 6<x≤7, то F(x) = 0,2 + 0,1 + 0,3 = 0,6. Действительно, X может принять
любое их трех значений: 2, 4, 6.
5
Если 7<x≤9, то F(x) = 0,2 + 0,1 + 0,3 + 0,3 = 0,9.
Если x>9, то F(x) = 1. Действительно, событие X ≤ 9 достоверно и вероятность
его равна единице.
Итак, искомая функция распределения имеет вид:
x2
0,
0, 2, 2 < x  4

0,3, 4 < x  6
F ( x)  
0, 6, 6 < x  7
0,9, 7 < x  9

x>9
1,
График F(x) приведен на рис. 3.3.1.
F(x)
1
0,9
0,6
0,3
0,2
2
4
6 7
9
Рис. 3.3.1
x
Этот пример позволяет сделать вывод о том, что функция распределения любой
дискретной величины является разрывной ступенчатой функцией, скачки которой
происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и
равны вероятностям этих значений.
Заметим, что для непрерывной случайной величины X функция распределения
F(x) является непрерывной.
Функция распределения обладает следующими свойствами.
1. Значения F(x) принадлежат отрезку [0;1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1.
2. Функция F(x) является неубывающей функцией: F(x2) ≥ F(x1), если x2 > x1.
3. Вероятность попадания случайной величины X в интервал [x1,x2) равна
приращению F(x) на этом интервале: P(x1 ≤ X < x2) = F(x2) – F(x1).
4. Если все возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу
(a,b), то F(x) = 0 при x ≤ a и F(x) = 1 при x ≥ b.
6
5. Справедливы следующие предельные соотношения:
lim x F(x) = 0,
lim x F(x) = 1.
3.3.2. Случайная величина X задана функцией распределения
при x  1
0

F ( x)   x-1 при 1 < x  2
1 при x > 2

Найти вероятность того, что случайная величина примет значения в интервале
[1; 1,5).
3
3
Решение. По свойству 3 для F(x) имеем P(1 ≤ X < ) = F( ) – F(1) = 0,5 – 0 =
2
2
= 0,5.
3.3.3. Случайная величина X задана функцией распределения
x  1
0,

F ( x)  a (x -1) 2 , 1 < x  3
1,
x>3

Найти вероятность того, что случайная величина X примет значения: 1) меньше
2; 2) не меньше 2,5.
Решение. Так как F(x) – непрерывная функция, то должно выполняться F(1) = 0
1
и F(3) = 1. Тогда, a  (3-1)2 = 1  a = .
4
1
1) Вычислим P(X < 2) = P(1 ≤ X < 2) = F(2) – F(1) = . Действительно, событие
4
(X < 2) равносильно событию (1 ≤ X < 2), так как все возможные значения X
сосредоточены на интервале [1,3].
9
7

2) Вычислим P(X ≥ 2,5) = P(2,5 ≤ X < 3) = F(3) – F(2,5) = 1 = 0,4375.
16 16
3.4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной
величины.
Как отмечалось в 3.3, функция распределения непрерывной случайной величины
является непрерывной функцией. Кроме того, эта функция дифференцируема, за
исключением, быть может, отдельных точек.
Тогда для непрерывной случайной величины вероятность любого отдельно
взятого значения x0 равна нулю, т.е. P(X = x0) = 0 и
P(x1 < X < x2) = F(x2) – F(x1)
(3.4.1)
Таким образом, для непрерывной случайной величины вероятность попадания
на интервал не зависит от того, является ли этот интервал открытым или закрытым.
Непрерывную случайную величину можно задать с помощью плотности
вероятности.
Плотностью распределения вероятностей φ(x) непрерывной случайной
величины X называют первую производную от функции F(x):
φ(x) = F ' (x)
(3.4.2).
7
Плотность φ(x) иногда называют дифференциальным законом распределения, а
его график – кривой распределения.
Плотность распределения вероятностей обладает следующими свойствами.
1. Это неотрицательная функция: φ(x) ≥ 0.
2. Вероятность попадания случайной величины на интервал (a;b) имеет вид
b
P(a < X < b) =   ( x)dx
a
(3.4.3)
3. Функция распределения непрерывной случайной величины связана с
плотностью вероятностей, а именно
x
F(x) =   (t )dt = 1

(3.4.4)
4. Несобственный интеграл от плотности распределения φ(x) в пределах от -  до
+  равен единице:

  ( x)dx  1

(3.4.5)
Из свойств плотности вероятностей следует, что ее график лежит не ниже оси
абсцисс, а площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна
единице.
3.4.1. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:


при x 
0
6




 ( x)  a sin 3x при
<x 
6
3



при x >
0
3

Найти: 1) коэффициент a; 2) функцию распределения F(x).
Решение. 1) Коэффициент a найдем из формулы (3.4.5), а именно



3
a cos 3 x 3 a
  ( x)dx   a sin 3xdx  
  3  1. Следовательно, a = 3.
3


6
6
2) Используя формулу (3.4.4) найдем F(x).

Если x ≤ , то φ(x) = 0 и F(x) = 0.
6
x


Если  x  , то F ( x)   3sin 3tdt   cos3 x .
6
3

6


x

6
3

Если x > , то F ( x)    (t )dt   0dx   3sin 3xdx   0dx  1 .
3




6
3
8
Итак, F(x) имеет вид


при x 
0
6




F ( x)   cos 3x при
x
6
3



при x >
1
3

3.5. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины X определяется
равенством

M(X) =  x ( x)dx
(3.5.1)

В частности, если все возможные значения X принадлежат интервалу (a,b), то
b
M ( X )    ( x)dx
a
(3.5.2)
Дисперсия непрерывной случайной величины X определяется равенством

D(X) =  ( x  M ( x))2  ( x)dx

(3.5.3)
Все свойства M(X) и D(X), рассмотренные в разделе 3.2 для дискретной
случайной величины, справедливы и для непрерывных случайных величин.
Для описания случайной величины применяется целый ряд числовых
характеристик (помимо M(X) и D(X)).
Модой M0(X) случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение
(для которого вероятность Pi или плотность вероятности φ(x) достигает максимума).
Медианой Me(X) непрерывной случайной величины X называется такое ее
значение, для которого
1
P(X < Me(X)) = P(X > Me(X)) = .
2
Геометрически медиану можно истолковать как точку, в которой ордината
графика φ(x) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения (см. рис.
3.5.1)
φ(x)
1
2
0
1
2
Me(X)
x
Рис. 3.5.1
9
Начальным моментом k-ого порядка случайной величины X называется
математическое ожидание k-ой степени этой величины:
  M (X k ) .
k
Если X – дискретная случайная величина, то
n
   xik pi
k i1
(3.5.4)
Если X – непрерывная случайная величина, то

   xk  ( x)dx
k

(3.5.5)
Центральным моментом k-ого порядка случайной величины X называется
величина
  M [ X  M ( X )]k и
k
Для дискретной величины
   ( xi  a)k pi
k
Для непрерывной величины
(3.5.6)

   ( x  a)k  ( x)dx
k

(3.5.7)
Напомним, что для обозначения математического ожидания используется буква
“a”.
3.5.1. Дана функция распределения случайной величины X:
0 при x  0
 2
x
F ( x)  
при 0 < x  4
16
1 при x > 4
1) Найти плотность распределения;
2) вычислить M(X), D(X), M0(X) и Me(X).
Решение:
0 при x  0
x

1) φ(x) = F ' (x) = 
при 0 < x  4
8
0 при x > 4
4 x
x3 4 8
2) По формуле (3.5.2): a = M(X) =  x  dx =
= .
24 0 3
0 8
Используя формулу (3.2.3), получим
4
x
8
D(X) = M(X2) – a2 =  x2  dx 
0
64 x4 4 64
64 8


 8
 .
9 32 0 9
9 9
Плотность φ(x) принимает максимальное значение при x = 4. Следовательно,
M0(X) = 4.
10
m2 1
1
Медиану Me(X) = m найдем из условия F(m)= или
  m  2 2 .
2
16 2
3.5.2. Случайная величина X задана дифференциальным законом распределения
0 при x  0
1

 ( x)   sin x при 0 < x  
2
0 при x > 
Найти M(X) и D(X).
Решение.

M(X) =  x   ( x)dx 

1
 x sin xdx  u  x, du  dx, dv  sin xdx, v   cos x 
20
 
 
1
   x cos x   cos xdx   .
 2
0 0
2 

Заметим, что если φ(x) симметрична относительно прямой x = a, то
математическое ожидание для такого распределения равно a. В нашем случае φ(x)


симметрична относительно прямой x = , а значит M(X) = .
2
2
Дисперсию вычислим по формуле

1
2
D( X )   x 2 ( x)dx  M 2 ( X )   x 2 sin xdx 
20
4

Дважды интегрируя по частям найдем
 2
2
 x sin xdx    4 и
0
D( X ) 
1 2
2 2
(  4) 

 2.
2
4
4
3.5.3. Случайная величина X задана плотностью распределения
0, x  2
 3
9

 ( x)    x 2   x  6, 2 < x  4
2
 4
0, x > 4
Найти: M(X), M0(X), Me(X).
Решение. Представим функцию φ(x) в виде:
3
27
3
3
 6   ( x  3) 2  .
φ(x) =  ( x 2  6 x  9) 
4
4
4
4
Это распределения симметрично относительно x = 3. Следовательно, M(X) = 3.
Очевидно, что при x = 3 плотность распределения достигает максимума; следовательно,
M0(X) = 3. В силу симметрии распределения
1
P(X < 3) = P(X > 3) =
и Me(X) = 3.
2
11
3.6. Задачи для самостоятельного решения.
3.6.1. Вероятности того, что студент сдает экзамен в сессию по математике и
физике равны соответственно 0,7 и 0,6. Составить ряд распределения случайной
величины X – число сданных экзаменов в сессию.
3.6.2. Случайные величины X1 и X2 независимы и имеют одинаковое
распределение
0
1
2
3
0,2 0,3 0,2 0,3
Найти вероятность события 1) X1+X2 < 3 2) X1+X2 > 4.
3.6.3. Найти F(x) случайной величины X, заданной рядом распределения
0
1
3
5
0,2 0,3 0,4 p4
3.6.4. Дана функция распределения случайной величины X
0 при x  1
0,3 при 1 < x  2

F ( x)  
0, 7 при 2 < x  3
1 при x > 3
Найти M(X).
3.6.5. Случайная величина X задана плотностью распределения
0, x  3
 3
45

 ( x)   x 2  6 x  , 3 < x  5
4
 4
0, x > 5
Найти: 1) F(x) 2) M(x).
ОТВЕТЫ:
3.6.1
0
1
2
0,12 0,46 0,42
3.6.2. 1) 0,33 2) 0,21
0, x  0
0, 2, 0 < x  1

3.6.3. F ( x)  0,5, 1 < x  3
0,9, 3 < x  5

1, x  5
3.6.4. 2.
12
0, x  3
 3
45 x 27
 x
 , 3 < x  5,
3.6.5. F ( x)    3x 2 
4
2
 4
1, x  5
M(X) = 4.
13