Математический анализ (часть2)

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ
ПЕРМСКИЙ ФИЛИАЛ
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
(ЧАСТЬ 2)
Методическое пособие
Составил: ст. преподаватель
Морозова Алена Витальевна
Пермь, 2009
СОДЕРЖАНИЕ
ТЕМА 1. Неопределенный интеграл
ТЕМА 2. Определенный интеграл
ТЕМА 3. Несобственные интегралы
ТЕМА 4. Функция нескольких переменных
ТЕМА 5. Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум
ТЕМА 6. Числовые ряды
ТЕМА 7. Знакочередующиеся ряды
ТЕМА 8. Степенные ряды
ТЕМА 9. Ряды Тейлора и Маклорена
ТЕМА 10. Дифференциальные уравнения
2
ТЕМА 1. Неопределенный интеграл
1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х,
если в каждой точке х этого промежутка справедлива равенство F'(x)= f(x).
2. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется
неопределенным
интегралом
от
функции
f(x)
и
обозначается
 f ( x)dx :
 f ( x)dx  F ( x)  C , где С – произвольная постоянная.
3. Нахождение неопределенного интеграла от некоторой функции называется
интегрированием этой функции. Операции интегрирования и дифференцирования
взаимно обратны.
4. Основные свойства неопределенного интеграла:
1) (  f ( x)dx) '  f ( x) ,
2) d (  f ( x)dx)  f ( x)dx ,
3)  dF ( x)  F ( x)  C ,
4)   f ( x)dx    f ( x)dx , где α – некоторое число,
5)  ( f ( x)  g ( x)) dx   f ( x)dx   g ( x)dx .
5. Табличные интегралы:
1)  0dx  C ,
x n 1
 C , где n  1 ,
n 1
2)  x n dx 
3)
4)

dx
 ln | x | C ,
x
x
 a dx 
ax
 C , где a>0, a≠1,
ln a
5)  e x dx  e x  C ,
6)  sin xdx   cos x  C ,
7)  cos xdx  sin x  C ,
dx
8)
 cos
9)
 sin
2
x
dx
2
x
 tgx  C ,
 ctgx  C ,
3
dx
10)

11)
a
2
12)
x
2
13)

a x
2
2
 arcsin
x
 C , где -a<x<a, a>0,
a
dx
1
x
 arctg  C , a  0 ,
2
x
a
a
dx
1
xa

ln
 C, a  0 ,
2
a
2a x  a
dx
x a
2
 ln | x  x 2  a | C , a  0 .
6. Методы интегрирования:
1) Непосредственное интегрирование
Основное содержание различных методов нахождения интегралов состоит в
сведении искомого интеграла к табличному или сумме табличных. В простейших
случаях это удается сделать, используя лишь эквивалентные преобразования
подынтегральной функции.
2) Метод замены переменной
Пусть x=φ(t) - функция непрерывно дифференцируемая на рассматриваемом
промежутке.
Тогда
 f ( x)dx   f ( (t )) ' (t )dt
называется
формулой
замены
переменой в неопределенном интеграле.
3) Метод интегрирования по частям
Пусть u=u(x) и v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции. Тогда
справедлива
формула:
 udv  uv   vdu ,
которая
называется
формулой
интегрирования по частям.
4
ТЕМА 2. Определенный интеграл
1. Свойства определенного интеграла:
b
b
a
a
1)  f ( x)dx    f ( x)dx , где α – некоторое число,
b
b
b
a
a
a
2)  ( f ( x)  g ( x)) dx  f ( x)dx   g ( x)dx ,
3)
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx ,
a
4)
 f ( x)dx  0 ,
a
5)
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx .
2. Теорема о среднем. Если функция
y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то
b
найдется такое значение   [a, b] , что
 f ( x)dx  f ( )(b  a) .
a
a
3. Если функция y=f(x) – четная, то

a
a
f ( x)dx  2 f ( x)dx .
0
a
4. Если функция y=f(x) – нечетная, то
 f ( x)dx  0 .
a
5. Формула Ньютона-Лейбница. Определенный интеграл от непрерывной на
отрезке [a,b] функции f(x) равен приращению любой ее первообразной F(x) на этом
b
отрезке

f ( x)dx  F  x  a  F (b)  F (a ) .
b
a
6. Замена переменной в определенном интеграле
Если функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], a=φ(α),
b=φ(β) и функция f(x) непрерывна в каждой точке x= φ(t), где t  [ ,  ] , то

b
 f ( x)dx   f ( (t )) ' (t )dt .
a
7. Интегрирование по частям определенного интеграла
Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке
b
b
[a,b], то  udv  uv |  vdu .
b
a
a
a
5
8. Геометрические приложения определенного интеграла
1) Площади плоских фигур
Рис.1
Рис.2
а) Если функция f(x) неотрицательна на отрезке [a,b], то площадь S под кривой
y=f(x) на [a,b] (площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) и
прямыми x=a, x=b, y=0 (см. рис.1) численно равна определенному интегралу от f(x)
от на данном отрезке (геометрический смысл определенного интеграла):
b
S   f ( x)dx .
a
б) Если функция y=f(x) неположительна на отрезке[a,b], то площадь S над кривой
y=f(x) (см. рис.2) равна определенному интегралу от f(x) на [a,b], взятому со знаком
b
«минус»: S    f ( x)dx .
a
в) Если
f 2 ( x)  f1 ( x) на отрезке [a,b], то площадь S фигуры (см. рис.3),
заключенной между кривыми y= f 2 ( x) и y= f1 ( x) на этом отрезке, определяется
b
формулой: S   ( f 2 ( x)  f1 ( x)) dx .
a
Рис.3
.
г) Если верхняя ограничивающая линия фигуры задана параметрически: x=φ(t),
y=ψ(t), где t  [ ,  ] , φ(α)=a, φ(β)=b, то площадь S этой фигуры вычисляется по
b
формуле: S   (t ) ' (t )dt .
a
6
2) Длина дуги кривой
Длина s дуги кривой y=f(x), заключенной между точками с абсциссами x=a и
b
x=b, определяется по формуле s   1   f '  x   dx .
2
a
3) Площадь поверхности вращения
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох кривой y=f(x),
заключенной между точками с абсциссами x=a и x=b, определяется по формуле
b
S x  2  f 1   f '  x   dx .
2
a
4) Объемы тел вращения
Рис. 4
Рис.5
а) Если функция =f(x) знакопостоянна на отрезке [a,b], то объем V x тела,
образованного вращением вокруг оси Ох фигуры ограниченной линиями y=y(x),
b
2
x=a, x=b, y=0 (см. рис.4), вычисляется по формуле: Vx    y ( x)dx .
a
б) Если функция =f(x) знакопостоянна на отрезке [a,b], то объем V y тела,
образованного при вращении вокруг оси Оу плоской фигуры, ограниченной
d
линиями y=c, y=d, x=x(y), x=0 (см. рис.4), вычисляется по формуле Vy    x 2 ( y )dy .
c
7
ТЕМА 3. Несобственные интегралы
1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
Пусть функция y=f(x) интегрируема на произвольном отрезке [a,t].

 f ( x)dx
а) Несобственным интегралом первого рода
называется предел
a
t
функции


f ( x)dx при t   , т.е.
a

a
t
f ( x)dx  lim  f ( x)dx . Если предел, стоящий
t 
a
в правой части этого равенства, существует и конечен, то соответствующий
несобственный интеграл называется сходящимся; в противном случае –
расходящимся.
b

б) Несобственным интегралом первого рода
f ( x)dx называется предел

b
функции

b
f ( x)dx при t   , т.е.


t
b
f ( x)dx  lim  f ( x)dx . Если предел, стоящий
t 
t
в правой части этого равенства, существует и конечен, то соответствующий
несобственный интеграл называется сходящимся; в противном случае –
расходящимся.


в) Несобственным интегралом первого рода
f ( x)dx
называется сумма

t
пределов функций
b
 f ( x)dx
при



 f ( x)dx
при
t   ,
т.е.

a
f ( x)dx 
и
t
a

t  
f ( x)dx 


f ( x)dx , где а – некоторое число. При этом несобственный
a
интеграл называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла из
правой части этого равенства; в противном случае – расходящимся.
2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
а) Если функция y=f(x) – непрерывна, но не ограничена на полуинтервале [a,b). В
b
этом случае интеграл
 f ( x)dx
называется несобственным второго рода и, по
a
b 
b
определению,
 f ( x)dx  lim 
a
0 
f ( x)dx . Если предел, стоящий в правой части
a
8
последнего равенства, существует и конечен, то этот интеграл называется
сходящимся; в противном случае – расходящимся.
б) Если функция y=f(x) непрерывная, но неограниченная на полуинтервале (a,b], то
b
по определению,
b
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx .
0 
a
a
Геометрически несобственные интегралы второго рода от неотрицательных
функций
численно
равны
площадям
под
графиками
этих
функций
на
рассматриваемых промежутках.
9
ТЕМА 4. Функция нескольких переменных
1. Если каждому набору n переменных x1 ,..., xn из некоторого множества X
соответствует одно вполне определенное значение переменной z, то говорят, что на
множестве X задана функция нескольких переменных
z  f ( x1 ,..., xn ) , где
множество X называется областью определения функции.
2. График функции двух переменных z=f(x,y) есть множество точек трехмерного
пространства (x,y,z) и представляет собой, как правило, некоторую поверхность.
3. Линией уровня функции двух переменных z=f(x,y) называется множество точек
на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и
равно C. Число C в этом случае называется уровнем.
4. Частными производными z=f(x,y) по x и по y называются пределы вида:
z
f ( x  x, y )  f ( x, y ) z
f ( x, y  y )  f ( x, y )
 z 'x  lim
;
 z ' y  lim
.
x 0
y 0
x
x
y
y
5. Дифференциалом функции z=f(x,y) называется сумма произведений частных
производных
этой
функции
на
приращения
независимых
переменных
dz  z ' x x  z ' y y или dz  z ' x dx  z ' y dy , учитывая что dx  x, dy  y .
6. Производная z' l по направлению l функции z=f(x,y) может быть выражена через
частные производные по формуле z 'l  z ' x cos   z ' y cos  , где единичные вектор
e=(cosα, cosβ) задает направление l (с углами α и β, образуемыми с осями
координат).
7. Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор z  ( z ' x , z ' y ) .
Градиент функции в точке M(x,y), отличный от нуля, перпендикулярен линии
уровня, проходящей через эту точку.
ТЕМА 5. Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум
1. Точка M ( x0 , y0 ) называется точкой максимума (минимума) функции z=f(x,y),
если существует окрестность точки M, такая, что для всех точек (x,y) из этой
окрестности выполняется неравенство f ( x0 , y0 )  f ( x, y)
( f ( x0 , y0 )  f ( x, y)) .
2. Необходимое условие экстремума. Если в точке максимума или минимума обе
частные производные существуют и непрерывны, то они равны нулю в этой точке.
10
3. Достаточное условие экстремума. Если в точке ( x0 , y0 ) обе частные
производные обращаются в нуль, то характер этой точки определяется величиной
Δ=AC-B², где A  z ''xx , B  z ''xy , C  z '' yy .
а) При Δ>0 имеется экстремум (максимум при A<0 и минимум при A>0).
б) При Δ<0 функция в данной точке не имеет экстремума.
в) При Δ=0 вопрос о наличии экстремума остается открытым.
4. Наибольшее (наименьшее) значение функции (глобальный максимум
(минимум)) z=f(x,y) определяется как наибольшее (наименьшее) значение функции
в замкнутой области из ее значений в критических точках внутри области и на ее
границе.
5. Точка M ( x0 , y0 ) называется точкой условного максимума (минимума) функции
z=f(x,y), при условии g(x,y)=C, если существует такая окрестность этой точки, что
во всех точках (x,y) из этой окрестности, удовлетворяющих условию g(x,y)=C,
выполняется неравенство f ( x0 , y0 )  f ( x, y)
6.
Точка
условного
экстремума
( f ( x0 , y0 )  f ( x, y)) .
является
точкой
экстремума
функции
L  x, y,    f  x, y      g  x, y   C  , где функция L называется функцией
Лагранжа, а λ – множителем Лагранжа.
11
ТЕМА 6. Числовые ряды
1.
Бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения

a1  a2  a3  ...  an  ...   an
называется
n 1
числовым
рядом,
где
a1 , a2 , a3 ,... называют членами или элементами числового ряда, элемент
числа
an -
общим видом элементов числового ряда, n – номером элемента числового ряда.
n
2.
Сумма n первых элементов числового ряда S n   ak
называется n-й
k 1
частичной суммой ряда.
3.
Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел
S n , где S называется суммой
последовательности его частичных сумм, т.е. S  lim
n 
ряда.
4.
Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует,
то числовой ряд называется расходящимся.
5.
an  0 .
Необходимое условие сходимости числового ряда lim
n 


6.
Признак сравнения: если
a
n 1
n
b
и
n 1
n
- два числовых ряда с
положительными членами и an  bn для любого n, тогда а) если сходится ряд


b
n 1
n
, то сходится и ряд
a
n 1

n
, б) если расходится ряд
a
n 1
n
, то расходится и

ряд
b
n 1
n
.

7.
Предельный признак сравнения: если  an и
n 1

b
n 1
n
- два числовых ряда с
положительными членами и существует конечный предел отношения их общих
членов lim
n 
an
 k  0 , то ряды либо одновременно сходятся, либо одновременно
bn
расходятся.

8.
Числовой ряд
1
n
называется гармоническим (расходящийся).
n 1
12

9.
Числовой ряд
1
 n
n 1
называется обобщенным гармоническим (при   1 он
сходится, при   1 расходящийся).

10. Признак Коши: пусть для ряда
a
n 1
n
с положительными членами существует
предел lim n an  q , то при q  1 ряд сходится; при q  1 ряд расходится; при
n 
q  1 для ответа на вопрос о сходимости ряда требуется дополнительное
исследование.

11. Признак Даламбера: пусть для ряда
a
n 1
существует предел lim
n 
n
с положительными членами
an 1
 q , то при q  1 ряд сходится; при q  1 ряд
an
расходится; при q  1 для ответа на вопрос о сходимости ряда требуется
дополнительное исследование.

12. Интегральный признак: для того, чтобы ряд
a
n 1
n
с положительными
членами сходился необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный

интеграл
 a dn .
n
1
13
ТЕМА 7. Знакочередующиеся ряды
1.
его
Числовой ряд называется знакочередующимся или знакопеременным, если
члены
попеременно
a1  a2  a3  ...   1
2.
n 1
то

an  ...    1
n 1
положительны,
n 1
то
отрицательны:
an .
Знакочередующийся ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится
как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
3.
Знакочередующийся ряд называется условно сходящимся, если сам ряд
сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
4.
Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда: если ряд,
составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, то сходится
и данный ряд.
5.
Признак Лейбница: знакопеременный ряд сходится, если элементы его
стремятся к нулю, все время убывая по абсолютной величине, т.е.
lim an  0 и
n 
a1  a2  a3 ... .
14
ТЕМА 8. Степенные ряды
1.
Ряд a0  a1  x  a2  x  ...  an  x  ... 
2
n

a
n 0
n
 x n называется степенным,
где a0 , a1 , a2 ,... - коэффициенты степенного ряда.

2.
Совокупность тех значений x, при которых степенной ряд
a
n 0
n
 x n сходится,
называется областью сходимости степенного ряда.
3.
Число R – такое, что при x  R степенной ряд сходится, а при x  R -
расходится, называется радиусом сходимости степенного ряда.
4.
Интервал  R; R  называется интервалом сходимости степенного ряда. При
x  R степенной ряд может как сходится, так и расходится.
5.
Радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по формулам: 1)
R  lim
n  n
1
an
, 2) R  lim
n 
an
.
an 1

6. Для степенного ряда a0  a1   x  x0   ...  an   x  x0   ...   an   x  x0 
n
n
n 0
интервал
сходимости
 x0  R; x0  R  ,
R  lim
n  n
1
an
где
находится
радиус
или R  lim
n 
из
условия
сходимости
x  x0  R ,
можно
т.е.
вычислить
имеет
по
вид
формуле
an
.
an 1
ТЕМА 9. Ряды Тейлора и Маклорена
1.
Если функция f  x  имеет производные любого порядка в окрестности точки
x 0,
то для функции
f  x   f  0  f   0  x 
2.
Если функция
точки
f  x
может быть получен ряд Маклорена:
f   0  2
f  n  0  n
 x  ... 
 x  ... .
2!
n!
f  x  имеет производные любого порядка в окрестности
x  x0 , то для функции f  x 
может быть получен ряд Тейлора:
f   x0 
f  n  x0 
2
n
f  x   f  x0   f   x0    x  x0  
  x  x0   ... 
  x  x0   ... .
2!
n!
15
ТЕМА 10. Дифференциальные уравнения
1.
Уравнение называется дифференциальным относительно некоторой неполной
функции, если оно содержит хотя бы одну производную этой функции.
2.
Дифференциальным
F ( x, y, y, y,
уравнением
, y (n) )  0 ,
которое
связывает
неизвестную функцию y и ее производные
3.
называется
уравнение
независимый
y, y, y,
аргумент
x,
, y(n) .
Порядком дифференциального уравнения называется максимальная степень
производной, входящей в уравнение.
4.
Если искомая функция y является функцией одного аргумента x, то
дифференциальное уравнение называется обыкновенным.
5.
Если
же
искомая
функция
зависит
от
нескольких
аргументов,
то
дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.
6.
Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется
любая действительная функция y   ( x) , определенная на некотором множестве и
вместе со своими производными обращающая данное уравнение в тождество.
7.
График решения (или интеграла) дифференциального уравнения на плоскости
Oxy называется интегральной линией или интегральной кривой. Следовательно,
каждому решению или интегралу соответствует интегральная кривая. Все решения
уравнения образуют семейство кривых.
8.
Общее решение, полученное в неявном виде   x, y, C1, C2 , , Cn   0 , называется
общим интегралом дифференциального уравнения.
9.
Решение или интеграл, полученные из общего решения или общего интеграла
при фиксированных значениях произвольных постоянных C1 , C2 , , Cn , называется
соответственно
частным
решением
или
частным
интегралом
дифференциального уравнения.
10. Решить дифференциальное уравнение – значит найти его общее решение
или общий интеграл.
11. Дифференциальные уравнения первого порядка
1)
Уравнение
вида
P( x)dx  Q( y )dy  0
называется
дифференциальным
уравнением с разделенными переменными.
16
2)
Уравнение вида M ( x) P( y )dx  N ( x)Q( y )dy  0
или y 
dy
 f ( x) g ( y ) называются
dx
уравнениями с разделяющимися переменными.
3)
Функция f ( x, y ) называется однородной степени m (m  R) , если t  R
m
выполняется равенство f (tx, ty )  t f ( x, y ) .
4)
Уравнение
вида
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 ,
где
M(
x,
y)
,
N
2
непрерывные в некоторой области D  R и однородные функции одной и той же
степени, называется однородным.
5)
С
помощью
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0
переменными
6)
t ( x) 
замены
сводится
к
y
x
( y  tx, y  t x  t )
уравнению
с
уравнение
разделяющимися
x и t.
Уравнение y  p ( x) y  q ( x) линейное относительно неизвестной функции y
называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого
порядка.
7)
Общее решение уравнения y  p ( x) y  q ( x) можно записать в виде
 p ( x ) dx 
 p ( x ) dx dx  C 
ye 
  q( x)e
 , где С – произвольная постоянная.


dy
 a( x) y  b( x) y n называется уравнением Бернулли.
dx
8)
Уравнение
9)
Уравнение вида M  x, y  dx  N  x, y  dy  0 называется уравнением в полных
дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом
некоторой
функции
F  x, y  ,
т.е.
M  x, y  dx  N  x, y  dy  dF  x, y 
или
dF ( x, y )  Fxdx  Fydy .
10) Если функции M  x, y  , N  x, y  ,
D  R 2 , то условие
N M
,
непрерывны в некоторой области
x y
N M

является необходимым условием для того, чтобы
x
y
левая часть уравнения M  x, y  dx  N  x, y  dy  0 была полным дифференциалом
функции F ( x, y ) .
12. Дифференциальные уравнения n-го порядка
17
(x
,
1)
(n)
( n 1)

Дифференциальное уравнение вида a0 y  a1 y
где ai  const (i  0, n) ,
f ( x) -
 an 1 y  an y  f ( x) ,
известная функция, называется линейным
дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.
2)
Если
f ( x)  0 ,
то
 an 1 y  an y  f ( x)
a0 y ( n )  a1 y ( n 1) 
уравнение
называется однородным, в противном случае – неоднородным.
3)
Если f ( x ) непрерывная на сегменте функция, то общее решение уравнения
 an 1 y  an y  f ( x)
a0 y ( n )  a1 y ( n 1) 
состоит
из
суммы
общего
решения
соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного
уравнения.
4)
Для
нахождения
фундаментальной
a 0 y ( n )  a1 y ( n 1)    a n 1 y   a n y  0
a0  n  a1 n 1 
5)
системы
решений
уравнения
составляется алгебраическое уравнение
 an 1  an  0 , называемое характеристическим.
Если все корни характеристического уравнения различные действительные
числа
1 , 2 ,
, n , то фундаментальная система решений исходного уравнения
имеет вид e 1x , e 2 x , , e n x и соответствующая компонента общего решения
 x
x
 x
уравнения имеет вид y ( x )  C1e 1  C 2 e 2    C n e n , где C1 , C2 ,, Cn
- произвольные постоянные.
6)
Если среди различных корней характеристического уравнения есть пара
комплексно-сопряженных корней    i , то этой паре корней соответствует два
x
x
линейно независимых решения вида y1 ( x)  e cos  x, y2 ( x)  e sin  x , а
соответствующая
компонента
общего
решения
уравнения
имеет
вид
y ( x)  C1e x cos  x  C2 e x sin  x , где C1 , C2 - произвольные постоянные.
7)
Если
среди
корней
характеристического
действительные числа 1  2 
 k , то корню
уравнения
компонента
y ( x)  C1e1x  C2 xe1x 
8)
общего
Ck x k 1  e1x , где C1 ,
равные
1 кратности k соответствует k-
x
x
( x)
( x)
линейно независимых частных решений y1  e 1 , y2  xe 1 ,
соответствующая
есть
решения
yk( x )  x k 1  e1x , а
уравнения
имеет
вид
, Ck - произвольные постоянные.
Если среди корней характеристического уравнения есть комплексные корни
    i  кратности k, то этой паре корней соответствуют 2k – линейно
18
независимых
y1 ( x)  e x cos  x, y2 ( x)  e x x cos  x,
решений
yk 1 ( x)  e x sin  x,
yk  2 ( x)  e x x sin  x,
компонента
общего
y ( x)  e x (C1  C2 x 
9)
, y2 k ( x)  e x x k 1 sin  x
решения
, yk ( x)  e x x k 1 cos  x ,
и
уравнения
 Ck x k 1 ) cos  x  e x ( B1  B2 x 
соответствующая
имеет
вид
 Bk x k 1 ) sin  x .
Одним из методов нахождения частного решения линейного неоднородного
уравнения является метод подбора или, иначе, метод неопределенных
коэффициентов. Этот метод основан на том, что структура частного решения
линейного неоднородного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
может быть представлена в виде комбинации основных функций: многочленов,
показательной и тригонометрических функции.
10) Таблица видов частных решений для различных видов правых частей
x
x
s
а) e Pm ( x)  e  Pm ( x)  x , s  k (   ), s  0 (   ) ,
б)
e x ( Pm ( x) cos  x  Qn ( x)sin  x)  e x ( Pl ( x) cos  x  Ql ( x)sin  x)  x s
s  k (     i),
11) Уравнение
ai ( x),(i  1, n) ,
s  0 (     i).
вида
y ( n )  a1 ( x) y ( n 1)  a2 ( x) y ( n 2) 
 an 1 ( x) y  an ( x) y  f ( x)
где
f ( x) заданные функции, называется линейным неоднородным
дифференциальным уравнением n-го порядка с переменными коэффициентами.
13. Система дифференциальных уравнений
1)
 y   f ( x, y , y , , y ),
1
1
2
n
 1
 y   f ( x, y , y , , y ),
2
1
2
n
Система вида  2


 yn  f n ( x, y1 , y2 , , yn ),
некоторой
(n+1)-мерной
области
D
где функции fi ,(i  1, n) определены в
переменных
x, y1 , y2 ,
, yn
называется
нормальной системой n дифференциальных уравнений первого порядка с
неизвестными функциями y1 ( x), y2 ( x),
2)
, yn ( x) .
Число уравнений, входящих в систему дифференциальных уравнений,
называется ее порядком.
3)
Решением системы дифференциальных уравнений называется совокупность
непрерывных и дифференциальных функций y1 ( x), y2 ( x), , yn ( x) и обращающих
вместе со своими производными каждое уравнение системы в тождество.
19
4)
Метод исключения состоит в следующем: при выполнении некоторых
условий всегда можно исключить все неизвестные функции, кроме одной,
например, y и получить для него одно линейное неоднородное дифференциальное
уравнение с постоянными коэффициентами порядка n. Решив его, найти все
остальные неизвестные функции с помощью операции дифференцирования.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2
Из методического пособия «Математический анализ» необходимо
выполнить задания № 1-5.
Требования к выполнению контрольной работы:
1) Контрольная работа № 2 выполняется в отдельной тетради,
2) На обложке тетради указывается дисциплина, номер варианта, номер
зачетной
книжки,
фамилия
имя
отчество
студента,
ФИО
преподавателя (ст. преподаватель кафедры высшей математики
Морозова А.В.)
3) Номер варианта соответствует последней цифре номера зачетной
книжки,
4) В конце каждого задания записывать ответ,
5) Срок сдачи контрольной работы (последний) – день экзамена.
Внимание! Контрольная работа является допуском к экзамену.
Адрес кафедры: Пермь, ул. Техническая 22, каб. 315, тел. 217-90-61,
e-mail: [email protected]
20