Условие задачи: 

Условие задачи:
В сферических координатах две компоненты векторного потенциала равны нулю
aR3
Ar  A  0 , а третья имеет вид A  ar sin  при r  R , A  2 sin  при r  R , где
r
a и R – постоянные. Найти распределение объемной плотности j тока,
создавшего магнитное поле с данным векторным потенциалом.
*Смоделировать полученное распределение объемной плотности тока, сравнить
результаты численного решения с заданным значением для потенциала.
Аналитическое решение:
Магнитостатика:
rotA   H
,

rotH  j
где
0




 Ar 
(1)  
 ar sin 

 


A  A(r , , )   A     aR 3
  - данный нам векторный потенциал
sin

(2)

 2

A 

    r


0


**(1) : r  R
**(2): r  R
H - вектор напряженности магнитного поля
j - плотность (необходимо найти j  j (r ,  , ) )
 - магнитная проницаемость
Отсюда находим j :
j
1

rot (rotA)
Ротор вектора A в сферических координатах имеет вид:
* Моделирование не проводили. Вместо этого провели визуализацию векторного потенциала
** В дальнейшем пометка (1) или (2) ставиться не будет, но подразумеваться.
er
1
1
1

H  rotA 
2

 r sin  r
Ar
er
1
1


2
 r sin  r
e


r sin   A
e


 ar 2 sin 2  
 3

 aR

2
sin  

 r

0
e
er

1
1


2

 r sin  r
rA
0
e


e



 ar sin  


r sin    aR 3

 2 sin  
 r

0
  2 cos   


 2 R3



cos   
e
  r 3


a

 
0



  2sin   
  3
 
 
  R
0
  3 sin   
 
  r
Тогда искомый вектор j будет
er
j  rotH 
1

r sin  r
Hr
2
e


r sin   H 
e
er
e
e

a
1





2

 r sin 
r


rH
 2 cos  
 2sin  




 2 R3
 r sin   0 r  R 3

 3 cos  
 3 sin  
 r

 r

0



 0
0 (1)    
a
1


 
 0 .
 0 (2)    
 r 2 sin 

  0 

2
cos


2
r
sin

0



 



 3

3
 2R
 0 r R

 3 cos  
 2 sin  
 r

 r

0
 
Таким образом мы получили, что при любых r вектор j   0  . Но это противоречит здравому
0
 
смыслу – нулевой ток не может порождать какой-либо векторный потенциал отличный от нуля.
er

r
e


e


Тогда рассмотрим граничные условия на r  R :
Пусть аналогично, как и ранее внутренняя среда с номером (1): r  R , а внешняя среда с номером
(2): r  R .
Граничное условие для вектора H следующее:
 n  ( H(1)  H(2) )   i  jb ,


где
n - вектор-нормаль на границе («смотрит» из среды (1) в среду (2)),\
 - поверхностный вектор
b - вектор на поверхности такой, что b   n  
т.е. вектора n , , b составляют равую тройка векторов.
H(i ) - поверхностная составляющая вектора H
i - поверхностный ток
Наш вектор H есть
  2cos   


3
  2 R cos   

  r 3

a

H 
0


 2sin   
  3
 
 
  R
  3 sin   
 
  r
Очевидно, что наша граница – сфера с радиусом R . Тогда
 0 
 0 
 2sin  



  a 3
H  H e  H e   H   ( H  0)   0    R
 e


sin

 3

H 
H 
 r

 
 
Устремим r  R , тогда получаем:
 2sin  
(1)
a 3
a 2sin    H 

H   R
e





 

  3 sin    r  R    sin    H(2) 
 r

Т.к. у нас получается, что   e , H  H e , то b  e и можно написать
j  jb  j e  ( H(1)  H(2) )e 
a

a
(2sin   ( sin  ))  e  3 sin   e

Таким образом, ответ:
0


 3 a sin   e

j   

0


0



r  R


r  R


Рассмотрим полученный ответ. По определению, вектор плотности тока в точке:
j  nqv ,
где
n - концентрация частиц в точке
q - заряд частицы
v - скорость частицы в точке.
В нашем случае, как видно из полученного ответа, ток течет только по поверхности сферы,
радиуса R , причем имеет только  -ую составляющую. Поэтому последнее выражение можно
записать следующим образом
Q
j  nqv   v 
v,
4 R 2
где
Q
4 R 2
 - поверхностная плотность зарядов
Q - полный заряд сферы.
Приравняем модули токов и запишем скорость v , как v  r  R sin 
Q
a
 R sin   3 sin  ,
2
4 R

Q
a
 3
4 R

Откуда получаем
12 Ra

Q
Данное равенство можно интерпретировать как угловую скорость  , с которой вращается сфера,
радиуса R , с полным зарядом Q , для того, чтобы создать в пространстве данный нам в начале
nq   
векторный потенциал A .
Компьютерное моделирование
Для
визуализации
модуля
векторного
потенциала
A,
как
функции
от
локальных
координат X , Y на главной диагонали найдем аналитическое выражение для A  F ( X , Y )
(1) 
 ar sin 
 A  0 
 3

A  A(r , , )  Ar  A  A  
 A (r , , )   aR


 A  0 
 2 sin  (2) 
 r

Переходя от сферических координат к декартовым (r , , )  ( x, y, z ) , получим
2
2
2


a x2  y 2
 ar sin    x  r sin  cos  


 3
 


2
2

x y
A (r , , )   aR
   y  r sin  cos    A ( x, y, z ) aR 3

3 
 2 sin    z  r cos 

 r
 


 x2  y 2  z 2  2 
А теперь, перейдем в локальные на плоскости – главной диагонали
( x, y , z )  ( X , Y )

 x  x( X , Y )  X



 y  y ( X , Y )  Y cos   Y cos 
4



 z  z ( X , Y )  Y cos   Y cos 
4

Y
2
Y
2
F 
A ( r ,  , )   1 
 F2 
 Y 
F1 ( X , Y )  Fr  R ( X , Y )  a X  

 2
2
2
F2 ( X , Y )  Fr  R ( X , Y )  aR
X2 Y2
3
 2  Y   Y 
 X  
 

2

  2

2
2



3
2
.
М-файл сценарий в MATLAB:
[X,Y] = meshgrid(-10:.5:10);
F1 = sqrt(X.^2+(Y.^2)./2); %сечение плоскоскостью x-y=0
%F1 = sqrt(X.^2+Y.^2); %сечение плоскостью z=0
surf(X,Y,F1);
figure (2);
F2 = sqrt(X.^2+Y.^2)./((X.^2+(Y.^2)/2+(Y.^2)/2).^(3/2)); %сечение плоскоскостью x-y=0
%F2 = sqrt(X.^2+Y.^2)./((X.^2+Y.^2+10).^(3/2)); %сечение плоскостью z=0
surf(X,Y,F2);
figure (3);
contour (X,Y,F1);
figure (4);
contour (X,Y,F2);
В результате были получены следующие графики:
rR
График поверхности.
rR
Контурный график
rR
График поверхности.
rR
Контурный график