геометрические паркеты
реклама
Муниципальное общеобразовательное учреждение Озёрская средняя общеобразовательная школа ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРКЕТЫ проект ВЫПОЛНИЛ: Косарев Алексей Борисович РУКОВОДИТЕЛЬ: Жмулюкина Надежда Николаевна Поселок им. 2-ой Пятилетки 2008 год СОДЕРЖАНИЕ Введение 3 Основная часть 4 1. История развития движений 4 2. Движения 7 2.1. Виды движений 9 2.2. Параллельный перенос 9 2.3. Осевая симметрия 10 2.4. Центральная симметрия 11 2.5. Поворот 12 3. Аналитическое выражение движения 13 4. Различные виды паркетов 14 4.1. Паркеты из правильных многоугольников 14 4.2. Паркеты из произвольных многоугольников 17 4.3. Паркеты из фигурок животных 18 5. Шевели мозгами 19 6. Графическое представление проекта 21 Заключение 22 23 Используемая литература 2 ВВЕДЕНИЕ Тема данного проекта возникла в результате изучения темы «Движения» в курсе геометрии 9 класса, когда рассматривался вопрос практического применения движений в повседневной жизни. Цели и задачи исследования Показать практическое применение темы: «Движение». Установить все возможные случаи покрытия плоскости многоугольниками. Рассмотреть нестандартные приёмы покрытия плоскости. Показать применение паркетов в дизайне помещений. Гипотеза исследования Существуют многоугольники, которыми можно покрыть плоскость без просветов и двойных покрытий. Ход исследования Паркет (или мозаика) - бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Некоторые определения паркета не ограничиваются многоугольниками; в этом случае паркетом называется покрытие плоскости без пропусков и перекрытий заданными фигурами (в частном случае - многоугольниками, правильными или неправильными, выпуклыми или невыпуклыми). В таком случае даже для паркетов из многоугольников может не соблюдаться требование "два многоугольника должны иметь общую вершину, общую сторону или совсем не иметь общих точек"; кроме того, появляется множество разнообразных паркетов, состоящих не из многоугольников, а из криволинейных фигур. 3 ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ДВИЖЕНИЙ Первым, кто начал доказывать некоторые геометрические предложения, считается древнегреческий математик Фалес Милетский (625-547г. до н.э.). Именно благодаря Фалесу геометрия начала превращаться из свода практических правил в подлинную науку. До Фалеса доказательств просто не существовало! Каким же образом проводил Фалес свои доказательства. Для этой цели он использовал движение. Движение это преобразования фигур, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры точно совместить друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны. Именно таким путем Фалес доказал ряд первых теорем геометрии. Если плоскость повернуть как твердое целое вокруг некоторой точки О на 1800, то луч ОА перейдет в его продолжение ОА1. При таком повороте (его еще называют центральной симметрией с центром О) каждая точка А перемещается в такую точку А1, что О является серединой отрезка АА1 Пусть О общая вершина вертикальных углов АОВ и А1ОВ1. Но тогда ясно, что при повороте на 1800 стороны одного из двух вертикальных углов как раз перейдут в стороны другого, т. е. эти два угла совместятся. Значит, вертикальные углы равны. Доказывая равенство углов при основании равнобедренного треугольника, Фалес воспользовался осевой симметрией: две половинки равнобедренного треугольника он совместил перегибанием чертежа по биссектрисе угла при вершине. Тем же способом Фалес доказал, что диаметр делит круг пополам. Применял Фалес и еще одно движение параллельный перенос, при котором все точки фигуры смещаются в определенном направлении на одно и тоже расстояние. С его помощью он доказал теорему, которая сейчас носит его имя: если на одной стороне угла отложить равные отрезки и провести через 4 концы этих отрезков параллельные прямые до пересечения со второй стороны угла, то на другой стороне угла также получатся равные отрезки. Во времена античной истории идеей движения пользовался знаменитый Евклид, автор Начал книги, переживший более двух тысячелетий. Евклид был современником Птолемея 1, правившего в Египте, Сирии и Македонии в 305283 до н.э. Движения в неявном виде присутствовали, например, в рассуждениях Евклид при доказательстве признаков равенства треугольников: наложим один треугольник на другой таким-то образом. По Евклиду, две фигуры называются равными, если они могут быть совмещены всеми своими точками, т.е. перемещая одну фигуру как твердое целое, можно точно наложить ее на вторую фигуру. Для Евклида движение не было еще математическим понятием. Впервые изложенная им в началах системах аксиом стала основой геометрической теории, получившей название евклидовой геометрии. В новое время продолжается развитие математических дисциплин. В 11 веке создается аналитическая геометрия. Профессор математики Болонского университета Бонавентура Кавальери (1598-1647) издает сочинение геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного. Согласно Кавальери, любую плоскую фигуру можно рассматривать как совокупность параллельных линий или следов, которые оставляет линия, передвигаясь параллельно самой себе. Аналогично дается представление о телах: они образуются при движении плоскостей. Дальнейшее развитие теории движений связывают с именем французского математика и историка науки Мишеля Шаля (1793-1880). В 1837г. он выпускает труд исторический обзор происхождение и развитие геометрических методов в процессе собственных геометрических исследований Шаль доказывает важнейшую теорему: Всякое меняющие ориентацию движение плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом. 5 Всякое меняющее ориентацию движение плоскости является либо осевой симметрией, либо скользящей симметрией. Важным обогащением, которым геометрия обязана 19 веку, является создание теории геометрических преобразований, в частности, математической теорией движений. (перемещений). К этому времени назрела необходимость дать классификаций всех существующих геометрических систем. Такую задачу решил немецкий математик Кристиан Феликс Клейн(1849 1925). В 1872 г., выступая в должность профессора эрлангенского университета, Клейн прочитал лекцию сравнительное обозрение новейших геометрических исследований. Выдвинутая им идея переосмысления всей геометрии на основе теории движений получила название эрлангенская программа. По Клейну, для построения той или иной геометрии нужно задать множество элементов и группу преобразований. Задача геометрии состоит в изучении тех отношений между элементами, которые остаются инвариантными при всех преобразованиях данной группы. Например, геометрия Евклида изучает те свойства фигур, которые остаются неизменными при движении. Иначе говоря, если одна фигура получается из другой движением, то у этих фигур одинаковые геометрические свойства. В этом смысле движения составляют основу геометрии, а пять аксиом конгруэнтности выделенные самостоятельной группой в системе аксиом современной геометрии. Эту полную и достаточно строгую систему аксиом, подытожив все предыдущие исследования, предложил немецкий математик Давид гильберт(1862-1943). Его система из двадцати аксиом, разделенный на пять групп, была впервые опубликована в 1899 в книге Основание геометрии. В 1909 г. немецкий математик Фридрих Шур (1856-1932), следуя идеям Фалкса и Клейна, разработал другую систему аксиом геометрии основанную на рассмотрении движений. В его системе, в частности, вместо группы аксиом конгруэнтности гильберта предлагается группа из трех аксиом движения. 6 ДВИЖЕНИЯ Движением называется отображение плоскости на себя при котором сохраняются все расстояния между точками. Движение имеет ряд важных свойств: Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой. Доказательство: пусть движение переводит точки А, В, С в токи А', В', С'. Тогда выполняются равенства А'В'=АВ , А'С'=АС , В'С'=ВС (1) Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то одна из ни, например точка В лежит между двумя другими. В этом случае АВ+ВС=АС, и из равенства(1) следует, что А'С'+В'С'=А'С'. А из этого следует, что точка В' лежит между точками А' и С'. Первое утверждение доказано. Второе утверждение докажем методом от противного: Предположим, что точки А', В', С' лежат на одной прямой даже в том случае, если точки А,В,С не лежат на одной прямой, то есть являются вершинами треугольника. Тогда должны выполнятся неравенства треугольника: АВ≤АС+ВС АС≤АВ+ВС ВС≤АВ+АС но из равенства (1) следует что те же неравенства должны выполнятся и для точек А', В', С' следовательно точки А', В', С' должны быть вершинами треугольника, следовательно точки А', В', С' не должны лежать на одной прямой. Отрезок движения переводится в отрезок. При движении луч переходит в луч, прямая в прямую. Треугольник движением переводится в треугольник. Движение сохраняет величину углов. При движении сохраняются площади многоугольных фигур. 7 Движение обратимо. Отображение, обратное движению является движением. Композиция двух движений также является движением. Используя определение можно дать такое определение равенства фигур: Две фигуры называются равными, если одну из них можно перевести в другую некоторым движением. 8 Виды движений На плоскости существует четыре типа движений: Параллельный перенос Осевая симметрия Поворот вокруг точки Центральная симметрия. Рассмотрим подробнее каждый вид. Параллельный перенос. Параллельны переносом называется такое движение , при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние. Подробнее: параллельный перенос произвольным точкам плоскости Х и У ставит в соответствие такие точки Х1 и У1, что ХХ1=УУ1 или еще можно сказать так: параллельный перенос это отображение, при котором все точки плоскости перемещаются на один и тот же вектор – вектор переноса. Параллельный перенос задается вектором переноса: зная этот вектор всегда можно сказать, в какую точку перейдет любая точка плоскости. Параллельный перенос является движением, сохраняющим направления. Действительно, пусть при параллельном переносе точки Х и У перешли в точки Х1 и У1 соответственно. Тогда выполняется равенство ХХ1=УУ1, откуда получаем, что во-первых ХУ=Х1У1, то есть параллельный перенос является движением, и во-вторых, ХУ=Х1У1, то есть при параллельном переносе сохраняются направления. Это свойство параллельного переноса – его характерное свойство, то есть справедливо утверждении: движение, сохраняющее направление является параллельным переносом. 9 Осевая симметрия Точки Х и Х1 называются симметричными относительно прямой а, и каждая из них симметрична другой, если а является серединным перпендикуляра отрезка ХХ1. Каждая точка прямой а считается симметрично самой себе( относительно прямой а) если дана прямая а, то каждой точке Х соответствует единственная точка Х1, симметричная Х относительно а. Симметрией плоскости относительно прямой а называется такое отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствии точка, симметричная ей относительно прямой а. Докажем, что осевая симметрия является движением используя метод координат: примем прямую а за ось х декартовых координат. Тогда при симметрии относительно нее точка, имеющая координаты (х;у) будет преобразована в точку с координатами (х ,-у). Возьмем любые две точки А(х1, -у1) и В(х2, -у2) и рассмотрим симметричные АВ и А1В1, получим АВ =А1В1. Таким образом, осевая симметрия сохраняет расстояние, следовательно она является движением. 10 Центральная симметрия Можно дать такое определение: Центральная симметрия с центром в точке О это такое отображение плоскости, при котором любой точке Х сопоставляется такая точка Х1, что точка О является серединой отрезка ХХ1. Однако можно заметить, что центральная симметрия является частным случаем поворота на 180 градусов. Действительно, пусть при центральной симметрии относительно точки О точка Х перешла в Х1. тогда угол ХОХ1= 180 градусов, как развернутый, и ХО = ОХ1, следовательно такое преобразование является поворотом на 180 градусов. Отсюда также следует, что центральная симметрия также является движением. Центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположные «движение, изменяющее противоположные, являются центральной симметрией.» 11 направление на Поворот Поворот плоскости относительно центра О на данный угол β в данном направлении определяется так: каждой точке Х плоскости ставится в соответствие такая точка Х1, что во-первых, ОХ=ОХ1, во-вторых угол ХОХ1 равен углу поворота β и, в-третьих ОХ1 откладывается от луча ОХ в заданном направлении. Точка О называется центром поворота, а угол β – углом поворота. Поворот является движением. 12 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ. На плоскости собственные движения выражаются аналитически в прямоугольной системе координат (х, у) при помощи следующих формул показывающих, Х=Х cos φ – Y sin φ + а, Y=X sin φ + cos φ + в, Что совокупность всех собственных движений на плоскости зависит от трех параметров а, b, φ. Первые два параметра характеризуют параллельный перенос плоскости на вектор (а, b), а параметр φ - вращение (поворот) плоскости вокруг начала координат. Собственные движения представляют собой произведение (композицию) вращения вокруг начала на угол φ и параллельного переноса на вектор (а , b). Всякое собственное движение может быть представлено либо как параллельный перенос, либо как вращение вокруг некоторой точки. Несобственные движения выражаются при помощи формул X=X cos φ + Y sin φ +а, Y= X sin φ -Y cos φ + в, показывающих, что несобственное движение есть произведение собственного движения на преобразование симметрии относительно некоторой Всякое несобственное параллельного переноса движение вдоль представляет некоторого направления относительно прямой, имеющей то же направление. 13 собой прямой. произведение и симметрии РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПАРКЕТОВ Паркеты из правильных многоугольников Самый простой, но и самый скучный паркет получается, если плоскость разбить на равные квадраты. (рис 1а) Здесь два квадрата имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек. Столь же просты паркеты из правильных шестиугольников. (рис 1б) Паркетом (рис 1в) будем называть такое покрытие плоскости правильным многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек. 14 Вероятно, вам случалось видеть паркет, составленный из правильных восьмиугольников и квадратов. (рис2а) Красивый паркет можно составить из правильных шестиугольников, квадратов и равносторонних треугольников. (рис 2б) Паркет производит приятное впечатление, если он достаточно симметричен. Фигура называется симметричной, если ее наложить на саму себя не «тривиальным» способом (т.е. не таким, когда все точки останутся на своем месте). 15 Например, на (рис. 2б,) повернув всю сетку вершин и сторон, образующих паркет из шестиугольников, а 60° вокруг центра одного из шестиугольников, мы получим туже самую сетку вершин и сторон. С точки зрения симметрии наше определение паркета не слишком удачно. Оно допускает паркеты, не обладающие никакой симметрией. Взяв обычный паркет из шестиугольников (рис1в), можно «испортить» его, подразделив некоторые из шестиугольников на шесть треугольников. Легко понять, что получится вновь паркет в смысле нашего определения. Но можно доказать, что, подразделив, например, три шестиугольника как показано на (рис3) и составив все остальное неподразделенными, мы получим паркет, совсем лишенный симметрии. Чтобы устранить некрасивые, недостаточно симметричные паркеты, мы введем такое определение: паркет называется правильным , если его можно наложить на самого себя так что любая заданная его вершина наложится любую другую заданную его вершину. Оказывается, что все многообразие правильных паркетов можно описать. Если длина h стороны многоугольников паркета задана, то существует только 11 различных (не накладывающихся друг на друга) правильных паркетов. Все они изображены на рис. 1, 2, 4. Сумма всех углов n-угольника равна 1800(n-2).Все углы правильного многоугольника равны; следовательно, каждый из них равен 180 0 (n-2)/n. В каждой вершине паркета сходится целое число углов; поэтому число 2·1800 должно быть целым кратным числа 1800(n-2)/n. Преобразуем отношение этих чисел: 2πn/π(n-2)=2n/ (n-2)=2+4/(n-2). 16 Паркеты из произвольных многоугольников 17 Паркеты из фигурок животных 18 ШЕВЕЛИ МОЗГАМИ Задание 1. На рис 1. показан паркет, т. е. заполнение всей плоскости одинаковыми (равными) фигурами. Как видно из рисунка, этот паркет может быть совмещен сам с собой разными параллельными переносами, например, на три клетки вправо и на одну клетку вверх. Этот параллельный перенос задается парой чисел (3; 1). Данный паркет также совмещается сам с собой параллельным переносом, который характеризуется парой чисел (- 6; - 2), или парой (- 2; 3). Проверьте! Напишите еще 8-10 пар чисел, задающих параллельные переносы, совмещающие этот паркет с самим собой. Проделайте это для паркетов, которые можно получить параллельным переносом каждой из фигур, представленных на рис. 2. Проанализируйте для каждого паркета полученные пары чисел. Введите для них операции сложения, вычитания и умножения на целое число. Укажите две пары чисел такие, что остальные будут получаться из них с помощью введенных операций. 19 рис.2. Задание 2. Укажите преобразования (одно или два), которые одну из фигур, представленных на рис. 3, переводят в другую. Введите систему координат и опишите в координатах одно из преобразований, совмещающее данный паркет с собой. Продолжите заполнение плоскости предложенной фигурой. Рис. 3. 20 21 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В результате проведенного исследования можно сделать следующие выводы: Движение широко применяется при покрытии плоскости паркетом. Плоскость можно покрыть без просветов двойных покрытий правильными многоугольниками. Плоскость покрывается (невыпуклыми, произвольными звездчатыми, выпуклыми многоугольниками неправильными многоугольниками. Для покрытия плоскости можно использовать комбинации различных многоугольников В качестве элемента покрытия плоскости можно использовать фигуры животных 22 ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Энциклопедия по математике. Издательство «Аванта +», 2006 Энциклопедия юного математика. М., «Посвящение», 2005 Математическая энциклопедия. М., «Советская энциклопедия», 1979 Л.С.Атанасян и др. учебник по геометрии 7-9 класс. Изд. «Просвещение», 2006 WWW.netnotes.ru WWW.peterlife.ru Www.log-in.ru Www.25parket.ru 23