1366081167_EN.F.1.3_Diskretnaya_matematika

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Алтайский государственный университет»
Рубцовский институт (филиал)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Специальность - 230101.65 Вычислительные машины, комплексы,
системы и сети
Форма обучения – очная
Кафедра – Математики и прикладной информатики
Рубцовск - 2011
При разработке учебно-методического комплекса в основу положены:
1)ГОС ВПО по специальности 230101.65 Вычислительные машины,
комплексы, системы и сети, утвержденный Министерством образования
РФ «27» марта 2000 г., 224 ТЕХ/ДС
2) Учебный план по специальности 230101.65 Вычислительные машины,
комплексы, системы и сети, утвержденный Ученым советом РИ (филиал)
АлтГУ от «23» мая 2011г., протокол № 12
Учебно-методический
комплекс
одобрен
на
заседании
кафедры
математики и прикладной информатики от «27» июня 2011 г., протокол
№15
СОДЕРЖАНИЕ
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА .....................................................................4
2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ................................................................................5
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ..................................................................7
4.МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ .22
5. СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ,
ДРУГИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ ...........................................23
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Курс дискретной математики обеспечивает приобретение знаний в
соответствии с государственным образовательным стандартом, содействует
фундаментализации образования и развитию логического мышления.
Цели освоения дисциплины:
Основной целью дисциплины «Дискретная математика» является
изучение основных понятий и методов дискретной математики, наиболее
применяемых при проектировании вычислительных машин, комплексов, систем
и сетей, формирование практических навыков разработки и анализа алгоритмов
над объектами дискретной математики.
Задачи дисциплины:
– дать основы знаний по каждому разделу дискретной математики и
закрепить эти знания во взаимосвязи с другими дисциплинами и
курсами/спецкурсами, для которых она служит теоретическим «фундаментом»;
– способствовать формированию у студентов навыков логического
мышления и освоения принципов работы с формальными математическими
объектами;
– привить общие навыки решения задач по основным разделам
дискретной математики и их приложениям;
– получить общее представление о приложениях дискретной
математики, как теоретических так и технических.
Дисциплина «Дискретная математика» относится к циклу ЕН.Ф.01.03
Цикл общие математические и естественнонаучные дисциплины. Федеральный
компонент.
Перечень дисциплин, усвоение которых студентами необходимо для
изучения данного курса:
Базовый школьный курс, курс «Математический анализ», «Линейная
алгебра и геометрия», «Информатика». Знания и навыки, полученные при
изучении дисциплины «Дискретная математика», используются при изучении
общепрофессиональных и специальных дисциплин.
Программа предусматривает различные формы работы со студентами:
проведение лекционных и семинарских занятий, индивидуальных и зачетных
работ.
4
2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
(распределение часов курса по разделам и видам работ)
Очная форма обучения
Дидактические единицы
(ДЕ)
Наименование тем
Максимальная нагрузка
студентов, час.
Лекции
Семинары
Лабораторны
е работы
Самостоятельная работа
студентов, час.
Количество
аудиторных часов
при очной форме
обучения
1
2
3
4
5
6
7
Множества и их
спецификации. Операции
над множествами.
Диаграммы Венна.
Отношения, свойства
отношений. Разбиения и
отношение
эквивалентности.
Отношение порядка;
функции и отображения.
14
4
4
6
2. .Комбинаторика
14
4
4
6
3. Алгебраические
системы
4
4
8
16
ДЕ 1 Множества и отношения
(35 баллов)
1.
Контрольная работа
(35 баллов)
(30 баллов)
графов
ДЕ 2 Теория
Промежуточный контроль
4. Основные понятия
теории графов. Маршруты,
циклы.
5. Связные графы.
Связность.
6. Планарные и плоские
графы
5
10
2
2
6
6
1
1
4
1
1
4
7. Ориентированные
графы
14
4
6
Контрольная работа
(30 баллов)
Промежуточный контроль
ДЕ 2 Переключательные функции
(35 баллов)
4
8. Булевы
функции.
Переключательные
функции (ПФ) и способы
их задания.
9. Основные
законы
булевой
алгебры
и
преобразование ПФ.
10. Специальные
разложения ПФ.
Неполностью
определенные (частные)
ПФ. Минимазация ПФ и
неполностью
определенных ПФ.
11. Функциональная
полнота систем ПФ.
Примеры функциональнополных базисов.
12.Разрешимые
и
неразрешимые проблемы;
схемы алгоритмов; схемы
потоков данных.
10
2
2
6
14
4
4
6
16
4
4
8
14
2
6
6
6
2
4
Контрольная работа (35 баллов)
Промежуточный контроль
Итоговый контроль
Итого часов
140
6
Экзамен – 40 баллов
34
36
70
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
3.1 Обязательный минимум содержания образовательной
программы
Множества и их спецификации; диаграммы Венна; отношения;
свойства отношений; разбиения и отношение эквивалентности; отношение
порядка; функции и отображения; операции; основные понятия теории
графов; маршруты; циклы; связность; планарные графы; переключательные
функции (ПФ); способы задания ПФ; специальные разложения ПФ;
неполностью определенные (частные) ПФ; минимизация ПФ и неполностью
определенных ПФ; теорема о функциональной полноте; примеры
функционально-полных базисов; разрешимые и неразрешимые проблемы;
схемы алгоритмов; схемы потоков данных.
3.2 Содержание разделов учебной дисциплины
(дидактические единицы)
ДЕ 1 Множества и отношения
Тема 1. Множества и отношения
Аудиторное изучение: Понятие множества, подмножества. Задание
множеств. Сравнение множеств. Операции над множествами (объединение,
пересечение, дополнение, разность). Диаграммы Венна. Универсальное
множество. Разбиения и покрытия. Булеан. Свойства операций над
множествами. Мощность множества.
Прямое произведение. Бинарное отношение. Способы задания бинарных
отношений. Операции над бинарными отношениями. Обратные отношения.
Композиция бинарных отношений. Свойства бинарных отношений и их
распознавание. Свойства матриц бинарных отношений. Рефлексивные,
симметричные,
транзитивные
бинарные
отношения.
Отношение
эквивалентности и классы эквивалентности. Отношение порядка.
Самостоятельное изучение: Функции и отображения. Линейный
порядок и частичный порядок. Диаграммы Хассе. Лексикографический порядок.
Тема 2. Комбинаторика
Аудиторное изучение: Классификация комбинаторных задач и
характеристика их основных типов. Основные правила комбинаторики.
Основные
комбинаторные
конфигурации:
размещения,
сочетания,
перестановки. Метод включений и исключений. Бином Ньютон, биномиальные
коэффициенты, треугольник Паскаля. Основные биномиальные тождества.
7
Самостоятельное
изучение:
Рекуррентные
производящие функции. Числа Стирлинга и их свойства.
соотношения
и
Тема 3. Алгебраические системы
Аудиторное изучение: Алгебраические структуры. Фундаментальные
алгебры. Морфизмы.
Самостоятельное изучение: Решение задач.
ДЕ 2 Теория графов
Тема 4. Основные понятия теории графов
Аудиторное изучение: Понятие графа, простого графа, полного графа,
однородного графа, мультиграфа, псевдографа. Подграф, надграф, частичный
граф. Степень вершины. Операции над графами: дополнение, объединение,
пересечение, сумма по модулю два, произведение. Способы задания графов:
аналитический, графический, матричный. Матрица смежности. Матрица
инцидентности.
Самостоятельное изучение: Изоморфизм графов.
Тема 5. Связные графы
Аудиторное изучение: Понятия маршрута, цепи, простой цепи, цикла,
простого цикла. Связный граф. Степень связности. Матрица расстояний,
эксцентриситеты вершин, радиус, диаметр, центр графа. Переферийные и
центральные вершины. Обходы графов. Эйлеров цикл. Критерий Эйлера.
Алгоритм построения эйлерова цикла. Гамильтонов цикл.
Самостоятельное изучение: Двудольные графы.
Тема 6. Планарные и плоские графы
Аудиторное изучение: Плоский граф. Теорема Эйлера о плоских графах.
Гомеоморфизм. Подразбиение и надразбиение ребра. Критерий ПонтрягинаКуратовского. Двойственные графы. Дерево и лес. Остовы графа.
Цикломатическое число. Мост. Разделяющее множество. Разрез.
Самостоятельное изучение: Раскраска графа. Хроматическое число
графа.
Тема 7. Ориентированные графы
Аудиторное изучение: Понятие орграфа. Матрица смежности вершин и
дуг. Матрица инциденций. Степень вершин орграфа. Изоморфизм. Маршруты,
цепи, циклы в орграфах. Связность орграфа: сильно связный, слабосвязный и
несвяхный орграф. Эйлеровы цепи и циклы в орграфе. Полный орграф.
Операции в орграфе. Орграфы и бинарные отношения. Диаграммы Хассе.
Взвешенный граф
Самостоятельное изучение: Нахождение кратчайщих маршрутов.
8
ДЕ 3 Переключательные функции
Тема 8. Переключательные функции и способы их задания
Аудиторное изучение: Булевы функции. Понятие о переключательных
функциях. Двоичные переключательные функции и способы их задания.
Основные бинарные логические операции. Понятие о переключательных схемах
и технической реализации ПФ.
Самостоятельное изучение: Использование логических операций в
теории графов.
Тема 9. Основные законы булевой алгебры и преобразование ПФ
Аудиторное изучение: Основные законы булевой алгебры ПФ.
Равносильные
преобразования.
Упрощение
формул
алгебры
ПФ.
Преобразование форм представления ПФ. Дизъюнктивные и конъюнктивные
нормальные формы (ДНФ. КНФ). Совершенная дизъюнктивная и
конъюнктивная нормальные формы (СДНФ и СКНФ).
Самостоятельное изучение: Решение задач.
Тема 10. Минимазация ПФ
Аудиторное изучение: Цель минимазации переключательных функций.
Основные понятия и определения, используемые при минимизации.
Аналитические методы минимизации ПФ. Минимизация ПФ по картам Карно.
Самостоятельное изучение: Минимизация ПФ МНК. Метод Квайна —
Мак-Класки.
Тема 11. Функциональная полнота систем ПФ
Аудиторное изучение: Многочлены Жегалкина. Теорема Жегалкина.
Методики представления булевой функции в виде многочлена Жегалкина.
Замыкание множества функций. Понятие замкнутого класса функций.
Важнейшие замкнутые классы: Т0 (класс функций, сохраняющих константу 0),
Т1 (класс функций, сохраняющих константу 1), S (класс самодвойственных
функций), L (класс линейных функций), M (класс монотонных функций).
Понятие функциональной полноты. Полные системы булевых функций.
Теорема Поста. Базисы представлений ПФ.
Самостоятельное изучение: Базисы представления ПФ.
Содержание семинарских занятий
Тема 1. Множества и отношения
Семинарское занятие – 4 часа.
9
План.
1. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна.
2. Упрощение выражений над множествами с использованием основных
тождеств алгебры множеств.
3. Решение задач на подсчет количества элементов с использованием
формулы количества элементов в объединении нескольких конечных множеств.
4. Прямое произведение.
5. Бинарное отношение. Запись бинарных отношений с помощью
специальной математической символики.
6. Определение свойств бинарных отношений и их принадлежности к
специальным типам бинарных отношений.
7. Матрицы бинарных отношений.
8. Эквивалентность и порядок.
9. Функции и отображения.
Тема 2. Комбинаторика
Семинарское занятие – 4 часа.
План.
1. Правила суммы и произведения.
2. Размещения, перестановки, сочетания без повторений.
3. Размещения, перестановки, сочетания с повторениями.
4. Метод включений и исключений.
5. Решение комбинаторных уравнений
Тема 3. Алгебраические системы
Семинарское занятие – 4 часа.
План.
1. Операции и алгебры.
2. Морфизмы.
3. Алгебры с одной и двумя операциями.
4. Векторные пространства.
5. Решетки.
Тема 4. Основные понятия теории графов
Семинарское занятие – 2 часа.
План.
1. Виды и способы задания графов.
2. Матрица смежности. Матрица инцидентности. Степень вершины.
3. Однородный граф. Полный граф. Дополнение графа.
4. Операции над графами: дополнение, объединение, пересечение, сумма
по модулю два, произведение.
10
5. Изоморфизм.
Тема 5. Связные графы
Семинарское занятие – 1час.
План.
1. Маршруты, цепи, простые цепи, циклы, простые циклы. Длина цепи.
2. Связность графа.
3. Нахождение простых цепей.
4. Матрица расстояний, эксцентриситеты вершин, радиус, диаметр,
центр графа. Переферийные и центральные вершины.
5. Взвешенный граф. Нахождение кратчайщих маршрутов.
6. Эйлеров цикл. Критерий Эйлера. Алгоритм построения эйлерова
цикла.
7. Гамильтоновы графы. Задача о коммивояжере.
8. Двудольные графы.
Тема 6. Планарные и плоские графы
Семинарское занятие – 1 час.
План.
1. Гомеоморфизм.
2. Теорема Эйлера о плоских графах.
3. Критерий планарности Понтрягина-Куратовского.
4. Двойственные графы.
5. Деревья и лес.
6. Раскраска графа. Хроматическое число графа.
Тема 7. Ориентированные графы
Семинарское занятие – 4 часа.
План.
1. Орграф. Матрица смежности. Изоморфизм.
2. Степень вершины орграфа.
3. Маршруты, цепи, циклы в орграфах.
4. Связность орграфа.
5. Эйлеровы цепи и циклы в орграфе.
6. Полный орграф.
7. Нахождение максимальной пропускной способности транспортной
сети
Тема 8. Переключательные функции и способы их задания
Семинарское занятие – 2 часа.
План.
11
1. ПФ. Двоичные переключательные функции и способы их задания.
2. Основные бинарные логические операции.
3. Понятие о переключательных схемах и технической реализации ПФ.
4. Использование логических операций в теории графов.
Тема 9. Основные законы булевой алгебры и преобразование ПФ
Семинарское занятие – 4 часа.
План.
1. Основные законы булевой алгебры ПФ.
2. Равносильные преобразования.
3. Упрощение
формул
алгебры
ПФ.
Преобразование
форм
представления ПФ.
4. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы (ДНФ. КНФ).
5. Совершенная дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы
(СДНФ и СКНФ).
Тема 10. Минимазация ПФ
Семинарское занятие – 4 часа.
План.
1. Аналитические методы минимизации ПФ.
2. Минимизация ПФ по картам Карно.
3. Минимизация ПФ МНК.
4. Метод Квайна — Мак-Класки.
Тема 11. Функциональная полнота систем ПФ
Семинарское занятие – 6 часов.
План.
1. Представления булевой функции в виде многочлена Жегалкина двумя
способами.
2. Проверка булевой функции на линейность.
3. Важнейшие замкнутые классы: Т0 (класс функций, сохраняющих
константу 0), Т1 (класс функций, сохраняющих константу 1), S (класс
самодвойственных функций), L (класс линейных функций), M (класс
монотонных функций).
4. Полные системы булевых функций. Теорема Поста.
5. Базисы представлений ПФ.
6. Контрольная работа.
Материалы к промежуточному и итоговому контролю.
Примерный вариант контрольной работы
12
1. В студенческой группе 25 человек. Чтобы получить допуск на экзамен
по данному курсу необходимо защитить курсовую работу, выполнить
лабораторную работу и сдать зачет. 15 студентов защитили курсовую
работу, 20 — выполнили лабораторную работу, 17 — сдали зачет.
Защитили курсовую работу и выполнили лабораторную работу 12
человек. Защитили курсовую работу и сдали зачет 13 человек.
Выполнили лабора- торную работу и сдали зачет 16 человек. Сколько
студентов допущено к экзамену?
2. Сколько целых чисел между 1 и 401 делятся на 5 или на 7?
3. Нарисовать диаграммы Эйлера-Венна для следующих множеств:
 A \ B  C .
4. Имеет ли место равенство:  A \ B    A  B   A .
5. Даны множества:A={1, 2, 3}; B={2, 3, 4}; С={1,2,3,4, 5,6}. Найдите
элементы множеств:
а) A  B  C ; б) A  B  C ; c)  A \ B   C ; д)  A \ B   C ;


е) A \ B  C ; ж) A  B  C ; з)  A  B  \ A  C .
6. Докажите
тождества, используя определения
A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
множествами
(A  B)  C  (A  C)  (B  C)
7.
A  a, b, c, B  1,2,3,4, P1  A  B, P2  B 2 .


операций
Изобразите
Р1
над
и
Р2
графически. Найдите P1  P2  . Проверьте с помощью матрицы P2  ,
является
ли
отношение
Р2
рефлексивным,
симметричным,
антисимметричным, транзитивным?
P1  (a,2), (a,4), (a,3), (c,1), (c,2), (c,3),
1
P2  (1,1), (1,4), (2,3), (3,3), (4,1), (4,3), (4,4)
8. Построить бинарное отношение: рефлексивное, симметричное, не
транзитивное.
9. Найти область определения, область значений отношения Р. Является
ли отношение Р рефлексивным, симметричным, антисимметричным,
транзитивным?
13
10. Пусть
R1 , R2
Осуществить
отношения
на
операции
заданные
матрицами.
отношениями
R1 , R2 :
A={a,b,c,d},
над
R1  R2 , R1  R2 , R11, R21, R1 R2 , R2 R1 , R11 R21 .
свойства исходных и полученных отношей.
Определить
11. Пусть M 2 n – множество степеней двойки; M 2n – множества четных
чисел, n  N . Гомоморфны (изоморфны) ли алгебры А и В, если:
А=(N;+) и B=( M 2 n ;+) при отображении f : n  2 n
12. Гомоморфны (изоморфны) ли алгебры А и В при отображении
f : N  N5 , если: А=(N;+), B=( N 5 ;) при отображении f : n  2n (остаток от деления на 5 суммы чисел)
13. Номер автомашины состоит из трех букв русского алфавита (30 букв) и
трех цифр. Сколько существует различных номеров автомашин?
14. Из колоды в 36 карт наудачу берутся 6 карт.
1)Найти число различных способов взятия 6 карт.
2)Найти число различных способов взятия 6 карт, содержащих 3 тузов.
15. Местком состоит из 7 человек. Из своей среды он выбирает президиум в
составе трех человек: председателя месткома, заместителя председателя
месткома, секретаря месткома. Сколько существует различных способов
образования президиума месткома?
16. Семнадцать девушек водят хоровод. Сколькими различными способами
они могут встать в круг?
17. На 10-ти карточках написаны буквы так, что из этих карточек можно
составить слово МАТЕМАТИКА. Сколько существует различных 10буквенных слов, которые можно образовать при помощи этих десяти
карточек?
18. Сколькими способами можно выбрать 4 краски из имеющихся 7
различных?
19. По заданному десятичному числу получите номер логической функции
в двоичном, восьмеричном и шестнадцатеричном кодах. Составьте
14
таблицу истинности соответствующей логической (переключательной)
функции. Определите СДНФ, СКНФ, символическую форму функции в
десятичном и двоичном кодах. Минимизируйте функцию по кубу
соседних чисел. Определите свойства функции и представьте вектор
свойств в двоичном, восьмеричном и шестнадцатеричном кодах.
Реализуйте функцию переключательной схемой и функциональными
схемами в базисах И-НЕ, ИЛИ-НЕ. Получите булевы производные по
всем переменным. Представьте функцию в базисе Жегалкина.
№
Десятичное число
1.
241
2.
165
3.
55
4.
143
5.
253
6.
29
7.
183
8.
248
9.
234
10.
77
20. Для заданной булевой функции трех переменных
 x  y   z   y
а) построить таблицу истинности, найти двоичную форму булевой
функции и привести функцию к СДНФ и СКНФ;
15
б) найти двумя способами многочлен Жегалкина и ответить на вопрос,
является ли данная функция линейной;
с) с помощью эквивалентных преобразований приведите функцию к ДНФ,
КНФ, СДНФ и СКНФ.
21. Даны графы G1 и G2 . Найдите G1  G 2 , G1  G 2 , G1  G 2 , G1  G 2 . Для
графа G1  G 2 найдите матрицы смежности, инцидентности, сильных
компонент, маршрутов длины 2 и все маршруты длины 2, исходящие из
вершины 1.
22. Найдите матрицы фундаментальных циклов, фундаментальных
разрезов, радиус и диаметр, минимальное множество покрывающих
цепей графа G. Является ли изображенный граф эйлеровым? Является
ли изображенный граф планарным?
23. Задан неориентированный граф без петель из пяти вершин строками
полуматрицы смежности в виде шестнадцатиричного числа, где первая
цифра – первая строка, вторая цифра – вторая строка и т.д. Изобразите
по заданному шестнадцатиричному числу граф в виде рисунка и
определите степени всех вершин, цикломатическое и хроматическое
число. Получите матрицу всех путей в графе длиной 2 путем
возведения в квадрат соответствующей булевой матрицы (вместо
суммирования используйется операция дизъюнкции).
Шестнадцатиричное
число
№
1.
9221
2.
А321
16
3.
В331
4.
С421
5.
D431
6.
9431
7.
F631
8.
E631
9.
D521
10.
C431
Вопросы к экзамену:
1. Множество. Подмножество. Задание множеств. Сравнение множеств.
Булеан.
2. Универсальное множество. Операции над множествами (объединение,
пересечение, дополнение, разность, кольцевая сумма). Диаграммы
Венна.
3. Свойства операций над множествами.
4. Разбиения и покрытия. Мощность множества.
5. Кортеж. Прямое произведение. Унарное, бинарное, n-местное
отношения.
6. Бинарное отношение. Область определения, область значений
бинарного отношения. Обратное отношение. Образ. Прообраз.
7. Способы
задания
бинарных
отношений.
Тождественное
и
универсальное отношения. Диагональ. Полное отношение. Композиция
бинарных отношений.
8. Свойства бинарных отношений.
9. Матрица бинарного отношения. Свойства матриц бинарных отношений.
10. Рефлексивные, симметричные, антисимметричные, транзитивные
бинарные отношения.
11. Отношение эквивалентности и разбиения.
12. Отношения порядка. Линейный порядок и частичный порядок.
Диаграммы Хассе. Лексикографический порядок.
13. Функции и отображения. Сюръекция, биекция, инъекция. Сложная
функция. Обратная функция. Композиция функций.
17
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
Правила суммы и произведения.
Размещения, перестановки, сочетания без повторений.
Размещения, перестановки, сочетания с повторениями.
Метод включений и исключений.
Бином Ньютон, биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля.
Рекуррентные соотношения и производящие функции.
Числа Стирлинга и их свойства.
Операции и алгебры.
Морфизмы.
Алгебры с одной и двумя операциями.
Векторные пространства.
Решетки.
Основные понятия: граф, простой граф, полный граф, однородный граф,
мультиграф, псевдограф. Степень вершины. Виды вершин. Ребра графа.
Подграф, надграф, частичный граф. Изоморфизм.
Операции над графами: дополнение, объединение, пересечение, сумма
по модулю два, произведение.
Способы задания графов: аналитический, графический, матричный.
Матрица смежности. Матрица инцидентности.
Понятия маршрута, цепи, простой цепи, цикла, простого цикла.
Связный граф. Степень связности.
Матрица расстояний, эксцентриситеты вершин, радиус, диаметр, центр
графа. Переферийные и центральные вершины.
Эйлеров цикл. Критерий Эйлера. Алгоритм построения эйлерова цикла.
Гамильтоновы графы. Задача комивояжора. Двудольные графы.
Плоский граф. Изоморфизм. Планарный граф. Внутрення и внешняя
грани в двудольном графе. Теорема Эйлера о плоских графах.
Гомеоморфизм. Подразбиение и надразбиение ребра. Теорема о том, что
К5 и К3,3 не планарны. Критерий Понтрягина-Куратовского.
Дерево и лес. Теорема о характеризации деревьев. Остовы графа.
Цикломатическое число. Мост. Разделяющее множество. Разрез.
Раскраска графа. Хроматическое число графа.
Понятие орграфа. Матрица смежности вершин и дуг. Матрица
инциденций. Степень вершин орграфа. Изоморфизм.
Маршруты, цепи, циклы в орграфах.
Связность орграфа: сильно связный, слабосвязный и несвязный орграф.
Эйлеровы цепи и циклы в орграфе.
Полный орграф.
Операции в орграфе. Орграфы и бинарные отношения. Диаграммы
Хассе.
Взвешенный граф. Нахождение кратчайщих маршрутов.
18
46. Понятие о переключательных функциях.
47. Двоичные переключательные функции и способы их задания.
48. Основные бинарные логические операции (конъюнкция, дизъюнкция,
инверсия, импликация, эквиваленция, сумма по модулю два, стрелка
Пирсона, штрих Шеффера). Булева алгебра.
49. Понятие о переключательных схемах и технической реализации ПФ.
50. Использование логических операций в теории графов.
51. Основные законы булевой алгебры ПФ.
52. Равносильные преобразования. Упрощение формул алгебры ПФ.
53. Дизъюнкт. Конъюнкт. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные
формы (ДНФ и КНФ).
54. Алгоритм приведения формулы к ДНФ и КНФ.
55. Совершенная дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы
(СДНФ и СКНФ). Конституента единицы. Конституента нуля.
56. Алгоритмы нахождения СДНФ и СКНФ.
57. Цель минимазации переключательных функций. Основные понятия и
определения, используемые при минимизации.
58. Аналитические методы минимизации ПФ (метод Квайна, Метод Квайна
— Мак-Класки).
59. Минимизация ПФ по картам Карно.
60. Минимизация ПФ МНК.
61. Замкнутые классы. Классы T0 , T1 , S , M, L.
62. Понятие функциональной полноты. Полные системы булевых функций.
Теорема Поста.
63. Многочлены Жегалкина. Теорема Жегалкина. Методики представления
булевой функции в виде многочлена Жегалкина.
64. Базисы представлений ПФ.
Методические рекомендации преподавателю:
При проведении
рекомендуется:
практических занятий
по
дискретной
математике
 уделять внимание разбору теоретических задач, предлагаемых
на лекциях и на семинарских занятиях;
 уделять внимание краткому повторению теоретического
материала, который используется при решении упражнений и задач;
 осуществлять регулярную проверку домашних заданий;
 ставить проблемные вопросы, по возможности использовать
примеры и задачи с практическим содержанием;
 использовать при проведении практических занятий активные
методы обучения;
19

развивать математическую интуицию и логику у студентов.
Методические указания студентам:
Учиться преодолевать самый высокий уровень непонимания материала
(«непонятно, что непонятно»).
При разборе примеров в аудитории или при выполнении домашних заданий
целесообразно каждый шаг обосновывать теми или иными теоретическими
положениями.
При изучении теоретического материала не задерживать внимание на
трудных и непонятных местах, смело их пропускать и двигаться дальше, а затем
возвращаться к тому, что было пропущено (часто последующее проясняет
предыдущее).
При чтении учебников и лекционных материалов активно отмечать
карандашом непонятные места. Карандаш легко стирается, когда вопрос можно
снять.
С первых студенческих дней конструировать собственный стиль понимания
сути изучаемого материала. Математические дисциплины в этой ситуации
являются наиболее успешным полигоном.
Дисциплина «Дискретная математика» изучается в течение одного
семестра на первом курсе специальности «Вычислительные машины,
комплексы, системы и сети».
Методика изучения дисциплины строиться из следующих элементов:
- теоретическая часть (лекция);
- семинарские занятия;
- самостоятельная работа с дополнительной литературой и конспектами
лекций;
- домашние задание;
- промежуточный контроль;
- консультации;
- экзамен.
На лекционных занятиях даются основные понятия, постановки задач,
методы их решения и анализа полученных результатов, рассматриваются
примеры. Более углубленное изучение предмета выносится на самостоятельную
работу.
Самостоятельная работа студентов. Аудиторная самостоятельная
работа студентов по дисциплине выполняется на учебных занятиях под
непосредственным руководством преподавателя и по его заданию. Она
включает: текущие консультации; коллоквиум как форма контроля освоения
теоретического содержания дисциплины (в часы консультаций); прием и разбор
домашних заданий (в часы практических занятий).
20
Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется студентом по
заданию преподавателя, но без его непосредственного участия. Она включает:
формирование и усвоение содержания конспекта лекций, а также
самостоятельное изучение отдельных вопросов на базе рекомендованной
преподавателем
учебной
литературы,
включая
информационные
образовательные ресурсы (электронные учебники, электронные библиотеки);
написание рефератов; подготовка к выступлению на конференции; подготовка к
семинарам, их оформление; выполнение микроисследований; выполнение
домашних заданий в виде решения отдельных задач, проведения типовых
расчетов, расчетно-компьютерных и индивидуальных работ по отдельным
разделам содержания дисциплины; компьютерный текущий самоконтроль и
контроль успеваемости.
Для того, чтобы заработать то количество баллов, которое вы видите в
тематическом плане дисциплины «Дискретная математика» по каждой теме, вам
необходимо сделать задание по данной теме на оценку «отлично». В противном
случае преподаватель имеет право снять несколько баллов. Снять баллы
преподаватель может и за пропущенные семинарские или лекционные занятия.
Баллы, характеризующие успеваемость студента по дисциплине,
набираются им в течение всего периода обучения за изучение дидактических
единиц.
При выборе критериев оценки освоения студентом программы дисциплины
в обязательном порядке учитывается: выполнение программы в части
лекционных, практических занятий; выполнение предусмотренных программой
аудиторных и внеаудиторных контрольных и иных письменных работ.
Преподаватель осуществляет текущий контроль и выставляет рейтинговый балл
по каждой контрольной точке модуля.
Максимальная сумма баллов, набираемая студентом по дисциплине (за
один семестр), равна 100. Студент, набравший менее 60 баллов получает
итоговую оценку – неудовлетворительно, от 61 до 75 – удовлетворительно, от
76 до 90 - хорошо, 91 и выше баллов - отлично.
21
4.МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
В учебном процессе используются стандартно оборудованные
лекционные аудитории для проведения лекций и семинарских занятий,
компьютерный класс, мобильный класс на ноутбуках. Совместно с данным
оборудованием используются мультимедийный видеопроектор, интерактивная
доска и интерактивная панель. В компьютерном классе должны быть
установлены средства MS Office: Word, Excel и др.
Мобильные классы на ноутбуках используется в учебно-образовательной
деятельности, как для учебных занятий, так и для организации доступа к
ресурсам корпоративной сети и Internet на всей территории РИ АлтГУ. Все
компьютеры объединены в единую локальную вычислительную сеть и имеет
доступ в Интернет.
22
5. СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ,
ДРУГИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ
Основная литература
1. Кузнецов, О. П. Дискретная математика для инженера / О. П. Кузнецов. –
изд. 6-е, стер. – СПб. [и др.] : Лань, 2009. – 400 с. : ил.
2. Микони, С. В. Дискретная математика для бакалавра: множества,
отношения, функции, графы: учеб. пособие / С.В. Микони. - СПб. : Лань,
2012. – 192 с.
3. Судоплатов, С.В. Дискретная математика: учебник / С.В. Судоплатов,
Е.В. Овчинникова. - перераб.- М.-Новосибирск: Инфра-М-НГТУ, 2007. 256c.
Дополнительная литература
4. Акимов, О.Е. Дискретная математика: Логика, группы, графы / О.Е.
Акимов. - доп.- М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - 376c
5. Аляев, Ю.А. Дискретная математика и математическая логика: учебник/
Ю.А. Аляев, С.Ф. Тюрин.-М.: Финансы и статистика, 2006.-368с.
6. Асанов, М.О. Дискретная математика: графы, матрицы, алгоритмы / М.О.
Асанов, В.А. Баранский. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», 2001. - 288c.
7. Асеев, Г.Г. Дискретная математика: учебное пособие / Г.Г. Асеев. Ростов-н/Д: Феникс, 2003. - 144c.
8. Галиев, Ш.И. Математическая логика и теория алгоритмов: учебное
пособие / Ш.И. Галиев. -Казань: Издательство КГТУ им. А.Н. Туполева.
2002. -270 с.
9. Галкина, В.А. Дискретная математика : комбинаторная оптимизация на
графах: учеб. пособие / В.А. Галкина. - М.: Гелиос АРВ, 2003. - 232c
10. Галушкина, Ю.И. Конспект лекций по дискретной математике / Ю.И.
Галушкина, А.Н. Марьямов. – М.: Айрис-пресс, 2007. – 176 с.
11. Глухов, М. М. Математическая логика. Дискретные функции. Теория
алгоритмов / М.М. Глухов, А.Б. Шишов. – , СПб: Лань 2012. -416 с.
12. Гончарова, Г.А. Элементы дискретной математики / Г.А. Гончарова, А.А.
Мочалин. - М.: ФОРУМ-ИНФРА-М, 2003. - 128c
13. Джеймс А.А. Дискретная математика и комбинаторика.-М.: Издательский
дом Вильямс, 2004.-960с.
14. Игошин, В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории
алгоритмов: учебное пособие / В.И. Игошин. - М.: Изд. центр
«Академия», 2005. - 304c.
15. Игошин, В.И. Математическая логика и теория алгоритмов: учебное
пособие / В.И. Игошин. - М.: Издательский центр «Академия», 2004. 448c.
23
16. Москинова, Г.И Дискретная математика. Математика для менеджера в
примерах и упражнениях. : Учебное пособие / Г.И. Москинова. - Киев:
Логос, 2000. - 240c.
17. Редькин, Н.П. Дискретная математика: Курс лекций для студентовмехаников: Учеб. пособие / Н.П. Редькин. - СПб: Лань, 2003 - 96c.
18. Сачков, В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики /
В.Н. Сачков. - М.: Наука, 1982 - 384c
19. Татт, У. Теория графов : монография / У. Татт. - М.: Мир, 1988 - 424c.
20. Уилсон, Р. Введение в теорию графов : вводный курс / Р. Уилсон. - М.:
Мир, 1977. - 202c.
21. Фомичев, В.М. Дискретная математика и криптология : Курс лекций /
В.М. Фомичев. - М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2003. - 400c.
22. Харари, Ф. Теория графов / Ф. Харари. - М.: Мир, 1973. - 293c
23. Яблонский, С.В. Введение в дискретную математику : учеб. пособие /
С.В. Яблонский. - стер.- М.: Высшая школа, 2003. - 384c.
Базы данных, Интернет-ресурсы,
информационно-справочные и поисковые системы
24. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная
библиотека [Электронный ресурс]: инф. система. – М.: ФГАУ ГНИИ ИТТ
"Математика", 2005-2012. – Режим доступа: //www. http://window.edu.ru,
свободный. – Загл. с экрана (дата обращения 11.04.2012)
25. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная
библиотека [Электронный ресурс] Университетская библиотека on-line .
Режим доступа:// http://www.biblioclub.ru/collection.phpid=24– Загл. с
экрана (дата обращения 11.10.2012).
26. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная
библиотека [Электронный ресурс] Издательство Лань. Режим доступа://
http://e.lanbook.com/– Загл. с экрана (дата обращения 15.10.2012).
27. Поисковые системы: Google, Yandex, Rambler.
24