ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
« ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »
Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
«АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ»
Рассмотрены и утверждены на заседании
кафедры математических и естественнонаучных дисциплин
,
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
Зав. кафедрой___________/ М.В. Кузнецова /
УТВЕРЖДАЮ:
Заведующий кафедрой математических и естественнонаучных дисциплин
__________________ Т.Ю.Ходаковская
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ»
1. Комплексные числа: основные понятия, геометрическое изображение
комплексных чисел, формы записи комплексных чисел.(ОК-1,ОК-10)
2. Комплексные числа: основные понятия, действия над комплексными числами в
алгебраической форме. (ОК-1,ОК-10)
3. Комплексные числа: основные понятия, действия над комплексными числами в
тригонометрической форме. (ОК-1,ОК-10)
4. Матрицы: основные понятия, линейные операции над матрицами, нелинейные
операции над матрицами, линейная комбинация матриц. (ОК-1,ОК-10)
5. Определение детерминанта порядка n, определители второго и третьего порядка,
свойства определителей. Теорема Лапласа и ее следствие. Методы вычисления
определителей n-го порядка. (ОК-1,ОК-10)
6. Обратная матрица, методы нахождения обратных матриц, простейшие матричные
уравнения. (ОК-1,ОК-10)
7. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы Правило вычисления ранга матрицы (ОК1,ОК-10)
8. Системы линейных уравнений - определения СЛУ, однородной, неоднородной,
совместной, несовместной, определенной, неопределенной СЛУ, решений СЛУ,
равносильных СЛУ. Матричный метод решения систем линейных уравнений. (ОК1,ОК-10)
9. Решение невырожденных систем линейных уравнений, теорема Крамера. (ОК1,ОК-10)
10. Приведенная система уравнений, метод Гаусса. (ОК-1,ОК-10)
11. Критерий совместности системы линейных уравнений, способ решения
неопределенной системы. (ОК-1,ОК-10)
12. Фундаментальная система решений и общее решение однородной системы
уравнений. (ОК-1,ОК-10)
2
13. Определения вектора, длины вектора, коллинеарных и компланарных, равных
векторов. Линейные операции над векторами (геометрическая интерпретация) и
свойства этих операций, линейная зависимость (независимость) векторов. (ОК1,ОК-10)
14. Базис системы векторов, координаты вектора относительно базиса,
ортонормированный базис, направляющие косинусы вектора, длина вектора. (ОК1,ОК-10)
15. Скалярное произведение векторов и его свойства. Условие ортогональности. (ОК1,ОК-10)
16. Векторное произведение двух векторов и его свойства. Условие коллинеарности.
(ОК-1,ОК-10)
17. Смешанное произведение трех векторов и его свойства. Условие компланарности.
(ОК-1,ОК-10)
18. Виды систем координат: декартова прямоугольная система координат, полярная,
цилиндрическая и сферическая системы координат. (ОК-1,ОК-10)
19. Линии на плоскости: уравнение прямой с угловым коэффициентом, общее
уравнение прямой и его частные случаи. (ОК-1,ОК-10)
20. Линии на плоскости: каноническое, параметрические уравнения прямой, уравнение
прямой, проходящей через две точки. (ОК-1,ОК-10)
21. Взаимное расположение прямых на плоскости, расстояние от точки до прямой.
22. Кривые второго порядка: определение и классификация. (ОК-1,ОК-10)
23. Свойства эллипса, гиперболы и параболы. (ОК-1,ОК-10)
24. Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей в пространстве,
расстояние от точки до плоскости. (ОК-1,ОК-10)
25. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве. (ОК1,ОК-10)
26. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве, расстояние от точки
до прямой в пространстве. (ОК-1,ОК-10)
27. Цилиндрические поверхности в пространстве. (ОК-1,ОК-10)
28. Канонические уравнения эллипсоида и однополостного гиперболоида. Их
свойства. (ОК-1,ОК-10)
29. Канонические уравнения конуса второго порядка и эллиптического параболоида.
Их свойства. (ОК-1,ОК-10)
30. Канонические уравнения гиперболического и двуполостного гиперболоида. Их
свойства. (ОК-1,ОК-10)
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «АЛГЕБРА И
ГЕОМЕТРИЯ»
Комплексные числа. Сложение и вычитание комплексных чисел. (ОК-1,ОК-10)
Умножение и деление комплексных чисел. (ОК-1,ОК-10)
Комплексно-сопряженное число. Степень мнимой единицы. (ОК-1,ОК-10)
Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма
комплексного числа. (ОК-1,ОК-10)
5. Определение и виды матриц. Транспонированная матрица. (ОК-1,ОК-10)
6. Сложение матриц. Умножение матрицы на число. (ОК-1,ОК-10)
7. Линейная зависимость матриц. (ОК-1,ОК-10)
1.
2.
3.
4.
3
8. Символ  . Правило суммирования Эйнштейна. (ОК-1,ОК-10)
9. Умножение матриц. (ОК-1,ОК-10)
10. Элементарные преобразования. Элементарные матрицы. (ОК-1,ОК-10)
11. Вырожденные и невырожденные матрицы. (ОК-1,ОК-10)
12. Обратная матрица. (ОК-1,ОК-10)
13. Ранг матрицы. (ОК-1,ОК-10)
14. Основные теоремы о ранге матрицы. (ОК-1,ОК-10)
15. Определители II и III порядков. (ОК-1,ОК-10)
16. Определитель матрицы n-го порядка. (ОК-1,ОК-10)
17. Свойства определителей (1-4). Алгебраическое дополнение. (ОК-1,ОК-10)
18. Свойства определителей (5-10). (ОК-1,ОК-10)
19. Вычисление обратной матрицы с помощью определителя. (ОК-1,ОК-10)
20. Определение и виды систем линейных уравнений. (ОК-1,ОК-10)
21. Системы линейных уравнений с m=n. Правило Крамера. (ОК-1,ОК-10)
22. Теорема Кронекера-Капелли. Общее правило нахождения решений СЛУ. (ОК-1,ОК-10)
23. Приведенная система линейных уравнений. Общее решение СЛУ. (ОК-1,ОК-10)
24. Определение вектора и линейные операции над векторами. (ОК-1,ОК-10)
25. Линейная зависимость векторов. (ОК-1,ОК-10)
26. Базис. Системы координат. (ОК-1,ОК-10)
27. Деление отрезка в данном отношении. (ОК-1,ОК-10)
28. Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат. (ОК-1,ОК-10)
29. Преобразование координат. Параллельный перенос ПСК на плоскости. (ОК-1,ОК-10)
30. Преобразование координат. Поворот ПСК на плоскости. (ОК-1,ОК-10)
31. Скалярное произведение векторов. Законы скалярного произведения векторов. (ОК-
1,ОК-10)
32. Проекция вектора на произвольную прямую. (ОК-1,ОК-10)
33. Ориентация прямой, плоскости и Пространства. Площадь ориентированного
параллелограмма, объем ориентированного параллелепипеда. (ОК-1,ОК-10)
34. Векторное произведение двух векторов. (ОК-1,ОК-10)
35. Векторно-векторное произведение трех векторов. (ОК-1,ОК-10)
36. Смешанное произведение трех векторов и его свойства. (ОК-1,ОК-10)
37. Параметрическое уравнение прямой. Параметрическое уравнение плоскости. (ОК1,ОК-10)
38. Прямая линия на плоскости. (ОК-1,ОК-10)
39. Векторные уравнения прямой и плоскости. (ОК-1,ОК-10)
40. Условия параллельности плоскостей и прямых на плоскости. (ОК-1,ОК-10)
41. Уравнение прямой в пространстве. (ОК-1,ОК-10)
42. Парабола. Директориальное свойство параболы. (ОК-1,ОК-10)
43. Касательная к параболе. Оптическое свойство параболы. (ОК-1,ОК-10)
44. Эллипс. Фокальное свойство эллипса. (ОК-1,ОК-10)
45. Директориальное свойство эллипса. (ОК-1,ОК-10)
46. Касательная к эллипсу. Оптическое свойство эллипса. (ОК-1,ОК-10)
47. Гипербола. Фокальное свойство гиперболы. (ОК-1,ОК-10)
48. Директориальное свойство гиперболы. Уравнение касательной к гиперболе.
Оптическое свойство гиперболы. (ОК-1,ОК-10)
49. Уравнения гипербол, эллипсов и парабол отнесенные к вершине. (ОК-1,ОК-10)
50. Уравнения эллипсов, парабол и гипербол в полярных координатах. (ОК-1,ОК-10)
51. Общее понятие о линии второго порядка. Преобразование коэффициентов при
параллельном переносе и повороте ПСК. (ОК-1,ОК-10)
52. Понятие инварианта. Основные инварианты линии второго порядка. (ОК-1,ОК-10)
53. Центр линии второго порядка. Преобразование к центру. (ОК-1,ОК-10)
4
54. Стандартное
упрощение любого уравнения линии второго порядка путем поворота
ПСК. (ОК-1,ОК-10)
55. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка. (ОК-1,ОК-10)
56. Упрощение уравнения линии второго порядка без определенного центра. (ОК-1,ОК-10)
57. Цилиндрические поверхности. (ОК-1,ОК-10)
58. Конусы второго порядка. (ОК-1,ОК-10)
59. Эллипсоиды и гиперболоиды (тип 12 - тип 15). (ОК-1,ОК-10)
60. Параболоиды (тип 16 - тип 17). (ОК-1,ОК-10)
Образцы тестов для проведения текущего контроля и промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины, а также для контроля самостоятельной
работы обучающегося
1 2 2
1. Значение определителя  3 0  6 равно...
1 4  2
1) -12; 2) 1;
3) 0;
4) 2.
2  3
1


5  6  , то сумма a23  a32 равна…
2. Если матрица A   4
7  8
9 

1) 4; 2) 6; 3) 9; 4)  14 .
 2 3
 не имеет обратной, при  равном…


1


2
2
1) 1; 2) ; 3)  ;
4) 3.
3
3
3. Матрица A  
 3 2
 0 1
 и B  
 . Тогда определитель произведения
0 1
  2 2
4. Даны матрицы A  
матриц det AB  равен…
1) -12; 2) -6;
3) 6;
4) 12.
5. Укажите систему линейных алгебраических уравнений, подготовленную для обратного
хода Гаусса.
 x1  8 x2  3x3  0,
2 x1  x2  x3  7 ,


2) 
 x2  x3  1, ; 3)  x1  x3  3, ;
x
 x  x  x 1

x3  0
2
3
 1
 1
 x1  8 x2  3x3  4,

4) 
 x2  x3  2, .
5 x  10
 3
 x1  x2  3,
1) 
;
x

x

1
 1
2
5
2 x  4 y  1,
…
x  2 y  0
6. Система уравнений 
1) не имеет решений; 2) имеет единственное решение;
3) имеет бесконечное множество решений; 4) имеет два решения.
 x  y  2,
имеет бесконечное множество решений, при a
2
x

2
y

a

7.Система уравнений 
равном …
1) 4; 2) 0;
3) 1;
4) 2.
8. Даны векторы a  2i  j  4k , b  4i  2k . Тогда вектор c  a  2b равен…
1)  6i ;
2)  i  5 j  k ;
3)  i  5 j  k ;
4)  6i  j  8k .
9. Векторы a  4, 2,  2 и b   2,  ,  4 ортогональны, при
1) 2; 1) 1; 3) 0; 4) 3.
 равном…
10. Длина вектора a  2;  1; 3 равна…
10 ;
1)
14 ;
2)
3) 4;
4) 6.
11. Какие из векторов a  4, 2, 3, b  1, 2, 4, c  2, 4, 8, d  0, 2, 4 коллинеарны
между собой?
1) b , c ;
2) b , d ;
3) b ,a ;
4) a , d .
12. Найти скалярное произведение векторов a и b , если a  2,1,0, b  1,1,0
1) -3;
2) 1;
3) 2; 4) 3.
13. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a  1, 2, 0 , b  1, 0, 1,
c  0, 2, 0, равен…
1) 3; 2) 2; 3) 4; 4) 5.
14. Расстояние между точками A2, 0,1 и B1, 2, 4 
1) 4;
2)
6;
3) 8;
4) 14 .
15. Серединой M 1M 2 отрезка при условии M 1 4 , 2  , M 2  6 , 4  является точка:
1) M 1, 3 ;
2) M  1, 3 ;
3) M 1,  3 ; 4) M 0, 4  .
16. Полярные координаты точки A3, 4  имеют вид…


1)  5, arctg
3
;
4


2)  25 , arctg
3
4

 ; 3)  5, arctg  ;
4
3



4)  25 , arctg
4
.
3
17. Прямая, проходящая через точку M 0 1, 1 перпендикулярно вектору n 1, 2 имеет
вид
6
1) x  2 y  3  0 ;
x  2y  3  0.
2) x  2 y  3  0 ; 3) x  2 y  3  0 ;
18. Укажите, какие из прямых l1 : y  2 x  1, l2 : y  
l4 : y  2 x параллельны.
1) l1 , l2 ;
2) l 2 , l 4 ;
3) l1 , l3 ;
4)
1
x  2 , l3 : y  3 x  1,
2
4) l1 , l4 .
19. Укажите уравнение прямой, перпендикулярной прямой у  9 x  2
1) x  9 y  2  0 ; 2) x  y  2  0 ; 3) x  9 y  2  0 ;
4) у  9 x  2 .
20. Укажите тип кривой второго порядка, заданной уравнением х  9 у  18 .
1) гипербола; 2) парабола;
3) эллипс;
4) окружность.
2
21.Уравнение прямой, проходящей через точку M 1, 2, 3 перпендикулярно плоскости
2 x  y  4 z  10  0 , имеет вид ...
x 1 y  2 z  3
x 1 y  2 z  3
1)
2)




2
5
4
2
2
4
x 1 y  2 z  3
x 1 y  2 z  3
3)
4)




2
1
4
2
1
4
22. Расстояние от точки А(1,0,1) до плоскости х  y  z  10  0 равно:
1) 7;
2)
2 35
;
7
3)
8
;
3
4)
35
.
7
23. На плоскости введена полярная система координат (  ,  ) .Уравнение
на этой плоскости..
1) прямую линию; 2) луч;
3) окружность радиуса 6 с центром в полюсе;
4) окружность радиуса 16 с центром в полюсе.
 2  36 задает
24. Окружность x  y  2 x  2 y  2  0 имеет радиус равный…
1) 3;
2) 1;
3) 4;
4) 2.
2
2
25. Поверхность, определяемая уравнением
x2 y2 z 2


 1, является…
16
9
4
1) однополостным гиперболоидом;
2) эллипсоидом;
3) сферой;
4) двуполостным гиперболоидом.
26. Плоскости 2 х  y  4 z  10  0 и 4 х  8 y  2 z  5  0 перпендикулярны, при
равном…
1) – 2;
2) 2;
3) 4;
4) -4.
27. Норма вектора x  (1,1,0) равна…
7

1) 1;
2) 2 ;
3)
3;
4)
5.
28.Какие из плоскостей параллельны между собой?
1 : х  у  3 z  1  0 ;
 2 : 2х  2 у  6z  7  0 ;
 3 : х  y  3z  6  0 ;
1) 1 ,  3 ; 2) 1 ,  4 ;
 4 : 2х  2 у  6z  7  0 .
3)  3 ,  4 ;
4)  2 ,  4 .
29. Плоскость 2 y  z  1  0 …
1) параллельна оси OX ;
2) параллельна плоскости YOZ ;
3) проходит через начало координат;
4) является координатной плоскостью YOZ .
30. Пусть вектор x в базисе e1 , e2 имеет координаты 4, 0. Тогда координатами этого
вектора в базисе e1  e1  2e2 , e2  3e1  4e2 будут…
1) 2, 1;
2) 10, 7;
3)  8, 4 ;
31. Если операторы
4) 1, 2.
f и g в некотором базисе имеют соответственно матрицы
1 1 
 1 2
 , то оператор f  2 g в этом же базисе имеет матрицу…
 и B  
A  
2

1

1
0




  1 0  1 2
1 1 
  2  2
 ; 2) 
 ; 4) 
.
 ; 3) 
1) 
2 
  5 2   1 0
 2 1
 4
8