А - Северо-Кавказский горно

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
"Северо-Кавказский горно-металлургический институт
(государственный технологический университет)"
Кафедра начертательной геометрии и черчения
Начертательная геометрия
Сборник задач и упражнений
по начертательной геометрии
для аудиторных и домашних занятий
(Рабочая тетрадь)
Студент гр.________________
________________
Преподаватель______________
Владикавказ 2014
1
УДК 514.18
ББК 22.151.3
Г 95
Авторы-составители:
проф. Гуриев Т.С., проф. Клыков Ю.Г., проф. Джанаев М.И.,
доц. Тогоев В.Д., доц. Кибизов Г.К., доц. Цаболова М.М.,
ст. преп. Абаева Н.К., ст. преп. Васькова А.С., ст.преп. Кудинова Е.Ю.
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Джигкаев Т.С.
Переиздание
Г95
Гуриев Т. С.
Рабочая тетрадь по начертательной геометрии / Т.С. Гуриев и др.;
Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет). – Владикавказ: Издательство
СКГМИ (ГТУ) «Терек», 2013. –92 с. илл.
Рабочая тетрадь содержит задачи по всем основным разделам
начертательной геометрии. Для каждой задачи, кроме текста, даны
условия в виде чертежей. Тетрадь может быть использована студентами всех форм обучения для всех инженерных специальностей.
Допущено редакционно-издательским советом
Северо-Кавказского горно-металлургического
института (государственного технологического
университета)
Протокол заседания РИСа № 26 от 17.12.2013 г.
© Т.С. Гуриев и др., 2014
© Издательство СКГМИ (ГТУ) «Терек», 2014
Подписано в печать 6.05.2014. Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс». Печать на ризографе.
Усл. п.л. 10,6. Уч.-изд.л.
. Тираж 2000 экз. Заказ №
.
Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический
университет). Издательство «Терек».
Отпечатано в отделе оперативной полиграфии СКГМИ (ГТУ).
362021, г. Владикавказ, ул. Николаева, 44.
2
ВВЕДЕНИЕ
Начертательная геометрия является одним из предметов, составляющих
основу инженерного образования. Она дает будущему инженеру необходимые для составления и чтения чертежей знания. Кроме того, начертательная
геометрия изучает способы решения на плоскости различных метрических и
позиционных задач.
Инженер в своей практической деятельности не может обойтись без знания и использования начертательной геометрии. Конструирование и проектирование новых машин и механизмов, аппаратов и приборов немыслимо
осуществить даже по самому подробному описанию; описание не может заменить чертежа, являющегося аккумулятором некоторого объема технической информации. Следовательно, инженер должен уметь составлять чертеж
и, что не менее важно, правильно понять заложенную в чертеже информацию
(т.е. уметь читать чертеж). Всему этому учит будущего инженера начертательная геометрия.
Задачи, содержащиеся в рабочей тетради, подготовленной коллективом
преподавателей кафедры начертательной геометрии и черчения СКГМИ (ГТУ), дают студентам нашего института необходимые практические
навыки в решении метрических и позиционных задач, что будет способствовать более глубокому усвоению теоретических основ начертательной геометрии.
Рабочая тетрадь может быть использована студентами всех форм обучения технических специальностей, так как охватывает все разделы начертательной геометрии (включая строительную часть), что соответствует Государственным образовательным стандартам высшего профессионального образования по начертательной геометрии и инженерной графике.
В структурном отношении каждый раздел включает в себя основные
теоретические положения изучаемой темы, примеры решения характерных
задач, блок задач для самостоятельной работы (включая и домашние задания).
Рекомендуется в работе пользоваться синим или зеленным карандашами
для вспомогательных построений, красным – для итоговых. Все построения
следует вести тщательно, аккуратно и только с использованием чертежных
инструментов.
Авторский коллектив выражает надежду, что подготовленная рабочая
тетрадь по начертательной геометрии окажет несомненную помощь студенту
в освоении трудного, интересного и нужного предмета – начертательной
геометрии.
Задачник составлен под общей редакцией профессора Гуриева Т.С.
3
Используемые обозначения
ОХ, ОУ, ОZ – оси проекций;
О – начало координат;
Н – горизонтальная плоскость проекций;
V – фронтальная плоскость проекций;
А,В,С,D… или 1,2,3… 9,10 – точки в пространстве;
а, в, с,d… или 1,2,3… 9,10 – проекции точек на плоскость Н (горизонтальные
проекции точек);
а′, в′, с′,d′… или 1′, 2′, 3′, 9′, 10′ – проекции точек на плоскость V (фронтальные проекции точек);
а′′, в′′, с′′,d′′ или 1′′, 2′′, 3′′… 9′′10′′ – проекции точек на плоскость W (профильные проекции точек);
(АВ) – прямая в пространстве;
[АВ] – отрезок прямой;
[АВ) – луч, имеющий начало в точке А;
ав, а′в′, а′′в′′ или l, l′, l′′ – проекции прямых линий;
h(h, h′,h′′) – горизонталь;
f(f, f′, f′′) – фронталь;
р(р, р′, р′′) – профильная прямая;
Р, Q, Т, R, S – плоскости, произвольно расположенные в пространстве;
Рн, Рv, Рw –горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости Р.
М(m, m′, m′′) – горизонтальный след прямой;
N(n, n′,n′′) – фронтальный след прямой;
L(l, l′,l′′) – профильный след прямой.
ОБОЗНАЧЕНИЯ УГЛОВ
Ι.<АВС – угол с вершиной в точке В, а также <α°, β°, φ°.
Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутриII. Угловая величина (градусная мера) обозначается знаком ^, который ставится над углом:
^
АВС – Величина угла АВС.
^
Φ – величина угла φ
СИМВОЛЫ
≡ – совпадение;
~ – подобие;
– касание;
║ – параллельность;
 – перпендикулярность;
. – скрещивание;
 – принадлежность (l  Р – прямая l принадлежит плоскости Р);
4
∩ – пересечение (например: РS ∩ MN);
– объединение;
 – включает, содержит (Р  А – плоскость Р содержит точку А);
– геометрическая фигура.
Определитель поверхности состоит из двух частей: геометрической и алгоритмической:
(Г); [А]
(Г) – геометрическая часть; [А] – алгоритмическая часть.
ЛИНИИ УРОВНЯ
h – горизонталь
f – фронталь
p – профильная прямая.
ТОЧКА
В основу построения изображаемого предмета на чертеже положен метод проекций. Проекции разделяются на центральные и параллельные.
Наибольшее практическое значение в технике имеет метод параллельного проецирования, научно разработанный французским ученым Г. Монже
(берутся прямоугольные проекции на две или три взаимно-перпендикулярные плоскости проекций).
На рис. 1 плоскость V, расположенная вертикально называется фронтальной плоскостью проекций, плоскость Н, расположенная горизонтально, называется горизонтальной плоскостью проекций, плоскость W – профильная плоскость проекций (вертикальная).
5
Чтобы получить все проекции точки в одной плоскости,
плоскость Н вращают вокруг и
оси ОХ до совмещения с нижней полой плоскости V, а W
вращают вокруг оси OZ. В результате совмещения получим
плоский чертеж – эпюр (рис. 2).
При этом линии а'а, а'а'', аа''
будут оставаться перпендикулярными к соответствующим
осям проекций.
Расстояния Аа'' = а'аz = оах =
= х; Аа' = аах = az a''= у; Аа =
= а'ах = z, выраженные в миллиметрах, показывают положение точки относительно трех
плоскостей (плоскостей координат) и называются прямоугольными координатами.
Плоскости проекций делят
все пространство на 4 четверти. Если точка находится в той или иной четверти пространства, то ее координаты у и z имеют знаки, указанные в таблице:
Четверти
пространства
I
II
III
IV
Знаки координат
Y
+
–
–
+
Х
+
+
+
+
Z
+
+
–
–
Если одна из координат равна нулю, то точка находится на одной из
плоскостей проекций (рис. 3). Если две координаты точки равны нулю, то
она лежит на оси проекций.
На рис. 4, 5 и 6 показано построение профильной проекции точки по
двум заданным (горизонтальной и фронтальной).
6
7
ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ
Задача 1. По данному аксонометрическому изображению построить
проекции точек А, В, С и указать четверти, в которых они находятся.
Задача 2. Построить проекции точек А, В, С, D, Е, М по заданным координатам.
A
B
C
D
E
M
Х
5
20
30
45
60
75
Y
-20
0
20
-25
0
10
Z
-30
-25
20
10
0
-15
Задача 3. Определить координаты точек по заданным проекциям и записать их в таблицу. Указать, в каких четвертях или плоскостях расположены
заданные точки. Какая точка равноудалена от плоскости V и Н, наиболее
удалена от плоскости V, ближайшая к плоскости W.
Х
Y
Z
A
B
C
D
E
M
K
8
Задача 4. Построить аксонометрическое изображение и проекции точек
А(5, 10, 15), B(10, -10, -20), С(20, -30, -20), D(25, 30, -20).
Задача 5. Построить профильные проекции и аксонометрическое изображение точек А, В, С.
Задача 6. Построить аксонометрическое изображение и проекции точки
А(25, 20, 15). Определить расстояние от точки А до осей проекций , мм.
9
Задача 7. Найти положение оси проекций ОХ.
Задача 8. Построить недостающую проекцию точки А.
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Прямая в пространстве задается двумя точками или точкой и направлением. Прямые в пространстве делятся на две группы: прямые общего и частного положения.
Прямая АВ не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения (рис. 7.). Проекции отрезка прямой АВ – (ав; а'в'; а''в'') всегда меньше самого отрезка АВ (рис. 7 и 8).
10
Прямая может занимать относительно плоскостей частное положение.
Если прямая параллельна какой-либо одной плоскости проекций, то она
носит ее название.
Горизонтальная прямая (прямая уровня), параллельна пл. Н (рис.9).
Рис. 9.
Фронтальная прямая – параллельна пл. V (рис. 10).
Рис. 10.
Профильная прямая – параллельна пл. W (рис. 11).
11
Если прямая перпендикулярна какой-либо плоскости проекций, то она
носит ее название с добавлением слова "проецирующая". Все проецирующие
прямые являются параллельными двум плоскостям проекций.
Горизонтально проецирующая прямая перпендикулярна пл. Н (рис.12).
Фронтально-проецирующая прямая – перпендикулярна пл.V (рис.13).
Профильно-проецирующая прямая перпендикулярна пл. W (рис.14).
12
13
Задача 9.
Построить проекции отрезка прямой АВ по заданным координатам его
концов. Записать названия прямых.
Х
30
25
20
15
30
А
Y
10
5
-10
20
5
Z
15
15
5
10
10
X
10
5
5
15
15
14
В
Y
15
20
-10
5
-20
Z
25
15
25
30
10
Задача 10.
Через точку в заданном направлении провести прямую L.
а
д
г
в
б
ж
е
15
Задача 11.
На прямой АВ найти точку С, равноудаленную от плоскостей проекций V и
Н, и точку D, делящую отрезок АВ в отношении АD/DВ = 2/3.
СЛЕДЫ ПРЯМОЙ
Следами прямой линии называются точки пересечения этой прямой с
плоскостями проекций Н, V и W. На рис. 15а показана точка пересечения
прямой АВ с плоскостью проекций Н, которая называется горизонтальным
следом прямой и обозначается буквой М. Горизонтальный след М совпадает
со своей горизонтальной проекцией, а также имеет фронтальную (m') и профильную (m'') проекции соответственно на осях ОХ и ОY.
По аналогии при пересечении прямой АВ с плоскостями проекций V и W
получаем соответственно фронтальный след N и его проекции (n, n', n'') и
профильный след L и его проекции (l, l', l'').
Следы делят прямую на отрезки и лучи, находящиеся в различных частях пространства.
Правило нахождения следов на эпюре (рис 15б).
Чтобы найти горизонтальный след М (m) прямой АВ, необходимо его
фронтальную проекцию (a'b') продлить до пересечения с осью ОХ, построить
перпендикуляр до пересечения с продолжением горизонтальной проекции
(ab).
Чтобы определить фронтальный след прямой N (n') необходимо продлить ее горизонтальную проекцию до пересечения с осью ОХ и восстановить (опустить) перпендикуляр до пересечения с ее фронтальной проекцией
или ее продолжением.
Аналогично определяются профильный след прямой, используя вертикальную и профильную проекции или горизонтальную и профильную проекции.
16
Задача 12.
Построить следы прямой и указать четверти, через которые она проходит.
17
Определение натуральной величины отрезка прямой общего
положения и угла между отрезком и плоскостью проекции. Способ
прямоугольного треугольника.
Натуральная величина отрезка прямой определяется из прямоугольного
треугольника, один катет которого – проекция отрезка ab (Аb0), а другой –
разность расстояний точек А и В (Bb0) до плоскости Н (рис. 16).
На эпюре гипотенуза ав0 выражает натуральную величину отрезка АВ, а
угол α (вав0) действительный угол наклона отрезка АВ к плоскости Н.
Задача 13. Определить натуральную величину и углы наклона прямой
АВ к горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций.
18
Задача 14. Отложить на прямой L отрезок AB длиной 30 мм
Задача 15. Определить длину отрезка L между ее горизонтальным и
фронтальным следами и углы наклона прямой к плоскостям проекций. Указать четверти, через которые она проходит.
19
ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ
Прямые относительно друг друга могут быть: пересекающимися, параллельными, скрещивающимися. Прямые также могут совпадать друг с другом.
Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку и лежат в одной
плоскости. Точки пересечения одноименных проекций должны находиться
на одной линии проекционной связи (рис. 17).
Когда из прямых частного порядка и на двух плоскостях проекций они
имеют общую точку, то в действительности прямые могут и не пересекаться
(рис. 18).
В случае, если две прямые не имеют общей точки, но лежат в одной
плоскости – они параллельны (рис.19).
Прямые параллельны в любом случае, если их проекции параллельны на
плоскостях проекций Н, V, W. Для прямых общего положения достаточно параллельности проекции на двух плоскостях проекции (рис. 19).
Для прямых частного положения параллельности проекции на двух
плоскостях проекции V, Н недостаточно (рис. 20).
20
В этом случае для определения положения прямых необходимо воспользоваться третьей плоскостью проекций W.
Две скрещивающиеся прямые не параллельны друг другу и не пересекаются. Такие прямые лежат в различных плоскостях и не имеют общей точки
(рис. 21).
21
Задача 16. Определить взаимное положение двух прямых.
22
Задача 17
Пересечь прямую L прямой, проходящей через точку А и параллельной
горизонтальной плоскости проекций.
Задача 18
Построить проекции прямой, параллельной прямой L и пересекающей
прямые B и D.
23
ПЛОСКОСТЬ
ПРЯМЫЕ И ТОЧКИ В ПЛОСКОСТИ.
ПРЯМЫЕ ОСОБОГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ
Положение плоскости на эпюре вполне определяется проекциями трех
точек, не лежащих на одной прямой. Эти три точки можно представить следующими геометрическими элементами:
1. проекциями прямой и точки не лежащей на этой прямой;
2. проекциями параллельных прямых;
3. проекциями пересекающихся прямых;
4. проекциями плоской фигуры;
5. следами плоскости.
Плоскости делятся на плоскости общего положения и плоскости частного положения. Плоскостью общего положения называется плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций. Плоскости частного положения могут быть перпендикулярными к одной из плоскостей проекций – проецирующие или к двум плоскостям проекций – плоскости уровня. Плоскости уровня всегда параллельны одной из плоскостей
проекций.
Прямая лежит в плоскости, если имеет с ней две общие точки (рис.22)
или имеет одну общую точку и параллельна какой-либо прямой плоскости
(рис. 23). Точка принадлежит плоскости, если находится на какой-либо линии (в частности на прямой), расположенной в плоскости – точка А (рис.23).
Среди множества прямых, которые могут находиться в плоскости, особое место занимают прямые уровня – т.е. прямые, параллельные плоскостям
проекций (горизонталь, фронталь и профильная прямая), и прямые, перпендикулярные линиям уровня плоскости и соответствующим им следам (линии
наибольшего наклона).
Горизонталью плоскости называется прямая, лежащая в ней и параллельная горизонтальной плоскости проекций. Фронталью плоскости называется прямая, лежащая в ней и параллельная фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция фронтали всегда параллельна оси ОХ, а фронтальная – фронтальному следу (рис. 23а). Профильная прямая плоскости характеризуется аналогичными проекционными свойствами, но используется
значительно реже.
Линии наибольшего наклона плоскости служат для определения углов
наклона заданной плоскости к плоскостям проекций. Определение угла
наклона заданной плоскости к плоскости проекций осуществляется способом
прямоугольного треугольника (на рис. 23б показано определение угла наклона данной плоскости к горизонтальной плоскости проекций).
24
25
Пример. Построить недостающую фронтальную проекцию точки А,
принадлежащей заданной плоскости
Алгоритм решения
1. f с а; f║ОХ;
2. f ∩(m, n) = (1,2);
3. f  (1',2'); а'  f';
А  f,
4. f  Р (m∩n) → А  Р.
Плоскость Р общего положения задана проекциями пересекающихся
прямых m и n. Для решения используем вспомогательную прямую, например,
фронталь f (рис. 24).
Через горизонтальную проекцию точки А проводим параллельно оси
проекций горизонтальную проекцию фронтали f. Она пересекает прямые m и
n в точках 1 и 2. На проекциях m' и n' находим точки 1' и 2'. Фронтальную
проекцию фронтали f ' проводим через проекции 1' и 2'. Находим точку а' на
проекции фронтали f '.
Задача 19. Записать, какими элементами задана каждая из плоскостей и
указать название плоскости
26
Задача 20. Построить отсутствующие проекции прямых L, M, N принадлежащих заданных плоскостям.
Задача 21. Провести в каждой плоскости горизонталь на расстоянии 10
мм от плоскости Н и фронталь на расстоянии 15 мм от плоскости V.
27
Задача 22.
Задача 23.
Задача 22.
Определить отсутствующие проекции точек А и М, принадлежащих заданной плоскости.
Задача 23.
Построить отсутствующую проекцию отрезка АВ, принадлежащего
плоскости Р.
Задача 24. Построить отсутствующие проекции треугольника АВС, принадлежащего плоскости Р.
28
Задача 25. Построить следы заданных плоскостей.
Задача 26. Определить угол наклона плоскости Р к плоскостям Н и V.
29
Задача 27. Определить угол наклона плоскости треугольника АВС к
плоскости Н.
30
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
1.
Две плоскости могут быть параллельными (рис. 26) и пересекающимися
(рис. 25), в частности под прямым углом.
2.
Параллельность двух плоскостей определяется по параллельности двух
пересекающихся прямых одной плоскости двум пересекающимся прямым второй плоскости.
У параллельных плоскостей одноименные следы (линия уровня) взаимнопараллельны.
Линия пересечения двух плоскостей определяется либо двумя точками,
одновременно принадлежащими заданным плоскостям, либо одной общей точкой и известным направлением этой линии.
Если одна из пересекающихся плоскостей горизонтальная или фронтальная, то линия пересечения плоскостей будет соответственно горизонталью и Фронталью.
Три плоскости пересекаются в точке.
Если пара одноименных следов пересекающихся плоскостей параллельна между собой, то эти плоскости пересекаются по соответствующей линии уровня, т.е. линия пересечения параллельна этим следам.
3.
4.
5.
6.
7.
31
Пример. Найти точку К пересечения трех плоскостей (рис. 27).
Алгоритм решения:
1. R∩Q = (n'h', nh);
2. R∩р (m║l) = (1'-2', 1-2);
3. (1-2)∩ nh = К; К '  Rv.
К  Р, Q, R.
Горизонтальная плоскость R
пересекает плоскость Q по горизонтали, фронтальная проекция
которой n'h' лежит на следе Rv.
Плоскость Р, заданная параллельными прямыми M и N, пересекается с плоскостью R по горизонтали
1-2, 1'-2'. Горизонтальные проекции горизонталей в пересечении
дают точку К. Фронтальная проекция К' лежит на следе Rv. Построенная точка К – общая для трех плоскостей.
Задача 28.
Построить фронтальную проекцию треугольника АВС, плоскость которого была бы параллельна плоскости Р.
Задача 29.
Построить недостающую проекцию треугольника АВС, плоскость которого параллельна заданной плоскости.
32
Задача 30. Через точку А провести плоскость, параллельную заданной
плоскости. Найти следы искомой плоскости.
Задача 31. Найти линию пересечения плоскостей Р и Q.
33
Задача 32. Построить линию пересечения двух плоскостей.
Задача 33. Найти линию пересечения плоскости Р и плоскости АВС.
34
ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
1. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой в
плоскости (рис. 28).
2. Если прямая и плоскость имеют общее положение и пересекаются, то
точка встречи находится в следующее последовательности (рис. 29):
– прямая заключается в проецирующую плоскость;
– строится линия пересечения вспомогательной и заданной плоскостей;
– находится точка встречи на пересечении построенной линии и заданной
прямой.
3. Плоскости считаются непрозрачными. Видимые и невидимые части
пересекающихся прямых и плоскостей относительно плоскостей проекций
определяются по положению проекций конкурирующих точек этих частей
(рис. 30).
35
Пример. Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью параллелограмма и определить ее видимость.
Алгоритм решения:
1. R  АВ;
R  V; R – ф. п.п.
Rv ≡ а'в';
2. R ∩ CDEF = (1'-2'; 1-2);
3. 1-2 ∩ ав = к;
к'  (R v ) а'в'.
Проводим через прямую АВ фронтально-проецирующую плоскость R,
фронтальный след Rv которой сольется с проекцией а'в'. Плоскость R пересекает плоскость параллелограмма по прямой 1-2. В пересечении прямых АВ и
1-2 лежит точка К, в которой АВ пересекает плоскость СDEF.
Исходная плоскость не задана следами, поэтому вспомогательная плоскость указана одним следом (Rv). Другой след Rн для построения линии пересечения не нужен.
Определим видимые и невидимые части прямой АВ относительно плоскостей Н, V.
Фронтальные проекции точек 1 и 11, принадлежащих соответственно
прямым АВ и CD, совмещаются. Из расположения горизонтальных проекций
1 и 11 следует, что прямая АВ на участке АК находится за параллелограммом
(ближе к оси ОХ, т.е. у > у'), следовательно, на фронтальной проекции отрезок 11'К' невидим, а отрезок к'в' – видим.
На плоскости Н проекции точек 3 и 31, принадлежащих соответственно
прямым АВ и CF, совмещаются. По расположению фронтальных проекций 3'
и 31' заключаем, что на участке АК прямая находится над параллелограммом
(дальше от оси ОХ) и, следовательно, на горизонтальной проекции отрезок ак
видимый, а отрезок кв – невидимый.
36
Задача 34.
Построить фронтальную проекцию прямой АВ, параллельной
плоскости Р.
Задача 35.
Достроить
горизонтальную
проекцию треугольника АВС, плоскость которого параллельна прямой
l.
Задача 36. Через точку А провести плоскость Q, параллельную
заданной плоскости Р.
37
Задача 37.
Через точку А провести
прямую, параллельную плоскостям Р и Q.
Задача 38.
Найти точку пересечения
прямой L с горизонтально –
проецирующей плоскостью Q.
Задача 39. Построить точку пересечения прямой с плоскостью Р.
38
Задача 40. Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью и определить ее видимость.
39
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
1. Прямая, перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к
любым двум пересекающимся прямым этой плоскости.
2. На эпюре проводятся перпендикулярные прямые и плоскости на основании следующего правила:
если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали (горизонтальному следу),
а фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (фронтальному следу) плоскости (рис. 31).
3. Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит
через перпендикуляр к другой или перпендикулярно к прямой, лежащей в
другой плоскости (рис. 32).
4. Две прямые взаимно перпендикулярны, если одна из них лежит в плоскости, перпендикулярной ко второй прямой (рис. 33), и проходит через
точку пересечения второй прямой с этой плоскостью.
Рис. 31.
ℓ  P (h∩ƒ)
Рис.32.
Рис.33.
1. Q  R;
2. m'  Rv
m  Rн;
1. Z  P
(l'  f' и l  h)
2. <ZКА = 90º
40
Пример. Определить расстояние от точки А до плоскости Р (рис. 34).
1) аk  Рн;
2) а'k'  Pv;
3) АК ∩ Р = К;
Н.в. АК = а0k.
1. Строим перпендикуляр к плоскости Р, для чего из точек а и а' проводим проекции прямой перпендикулярно к следам Рн и Рv.
2. Определим точку пересечения перпендикуляра с плоскостью Р:
– заключаем перпендикуляр в горизонтально-проецирующую плоскость Q;
– строим линию MN пересечения плоскостей Р и Q;
– в пересечении m'n' и фронтальной проекции перпендикуляра лежит
точка к', а другая проекция к точки К принадлежит горизонтальной проекции
перпендикуляра.
3. Принимаем проекцию ак за катет и строим на нем прямоугольный треугольник. Длина второго катета равна разности высот точек а' и к'. Гипотенуза а0к – искомое расстояние.
41
Пример. Определить расстояние от точки А до прямой общего положения ВС.
Графический алгоритм решения задачи.
Дано:
ВС ╫ V; ВС ╫ Н;
А  ВС.
Алгоритм решения:
1. А  hр (hp  вс ; h’р ║ ox)
2. N (n,n’)= hp∩V
3. n’ Pv; Pv  в’c’
4. Pv ∩ ax = Px
5. Pн  вс (Px  Pн)
Требуется:
Построить АК  ВС
Определить Нв АК
6. ВС  S; S  V
7. MN = S ∩P
8. K = ВС ∩ MN
9. Натур. вел. AK = a0k
42
Задача 41. Из точки А опустить перпендикуляр на заданную плоскость и
найти его основание.
Задача 42.
Определить расстояние от точки А до заданной плоскости.
Задача 43.
Из точки А опустить перпендикуляр на плоскость треугольника
DBC и определить его видимость.
43
Задача 44.
Через середину отрезка АВ провести плоскость, перпендикулярную к отрезку.
Задача 45.
На прямой L найти точку, равноудаленную от концов отрезка АВ.
Задача 46.
Определить расстояние от точки А до заданной прямой.
Задача 47.
Через прямую АВ провести
плоскость (построить ее следы),
перпендикулярную к заданной
плоскости.
44
Задача 48.
Достроить фронтальную проекцию треугольника АВС, плоскость
которого перпендикулярна к данной плоскости Р.
Задача 49.
Через точку А провести плоскость R, перпендикулярную к плоскостям Р и Q.
45
СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ
К способам преобразования относятся: способ вращения, способ совмещения (как частный случай вращения) и способ замены плоскостей проекций.
СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ
Способ вращения заключается в том, что данную фигуру вращают в пространстве около некоторой оси до требуемого положения относительно
плоскостей проекций. Каждая точка фигуры вращается в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Траекторией движения точки является окружность. Центр вращения находится в точке пересечения плоскости вращения с
осью.
В качестве оси вращения принимают прямые, перпендикулярные к плоскостям проекций, или линии уровня.
Частным случаем вращения плоскости, когда за ось вращения принимается горизонтальный или фронтальный ее след, является совмещение. При
этом плоскость совместится с плоскостью Н, если вращение происходит около горизонтального следа, или с плоскостью V, если вращение происходит
около фронтального следа.
Пример. Определить истинную величину отрезка АВ способом вращения (рис. 36).
Отрезок спроецируется в натуральную величину на плоскость в том
случае, если будет расположен параллельно этой плоскости. Проведем через конец А заданного отрезка ось I,
перпендикулярную к плоскости Н, и
будем вращать отрезок до положения,
параллельного плоскости V. Горизонтальная проекция точки будет двигаться по дуге, а фронтальная – по прямой,
параллельной ОХ. В результате такого
вращения отрезка горизонтальная его
проекция займет положение ав1, параллельное оси ОХ, а вертикальная
проекция а'в'1 в новом положении будет представлять истинную величину
отрезка АВ. При этом отрезок общего
положения АВ преобразован в отрезок
АВ1║V (т.е. в прямую уровня), что позволяет определить его натуральную
величину и угол α – угол наклона к плоскости Н.
46
Пример. Определить истинную фигуру треугольника АВС, лежащего в
плоскости Р, пользуясь способом совмещения.
Совместим плоскость Р и лежащий в ней треугольник с плоскостью Н.
Следовательно, осью вращения будет след Рн (рис. 37).
Вначале совмещаем плоскость Р, для чего берем на следе Рv произвольную точку N и совмещаем ее с плоскостью Н. Точка будет вращаться в
плоскости R, перпендикулярной к оси вращения (Rн  Рн). Так как при вращении расстояние Рхn' не меняется, то из центра Рх дугой этого радиуса делаем засечку на следе Rн. Получаем точку n0 – совмещенное положение точки
N. Проведя через Рх и n0 прямую, получим Рv0 – совмещенное положение
фронтального следа.
Совмещаем точку А:
– строим совмещенный след n01 горизонтали и проводим совмещенную
горизонталь n01А0 ║ Рн;
– строим горизонтальный след плоскости вращения точки аА0  Рн;
– в пересечении n01А0 и аА0 лежит А0 – совмещенное положение точки А.
Аналогично строим точки В0 и С0. Соединив полученные точки, получим истинную фигуру треугольника АВС.
47
Задача 50. Найти натуральную величину отрезка АВ и углы наклона к
плоскостям проекций.
Задача 51. Привести отрезок АВ в положение проецирующего
48
Задача 52. Определить натуральную величину треугольника АВС вращением вокруг осей, перпендикулярных к плоскостям проекций
.
Задача 53. Определить натуральную величину треугольника АВС вращением вокруг осей, перпендикулярных к плоскостям проекций.
49
Задача 54. Найти расстояние от точки А до плоскости Р.
Задача 55. Определить натуральную величину треугольника АВС вращением вокруг горизонтали.
50
Задача 56. Определить натуральную величину треугольника АВС вращением вокруг фронтали.
Задача 57. Найти расстояние от точки D до плоскости треугольника АВС.
51
Задача 58. Плоскость Р с лежащей на ней точкой А совместить с плоскостью Н.
Задача 59. Плоскость Р с лежащей на ней точкой А совместить с плоскостью V.
52
Задача 60. Дана горизонтальная проекция отрезка АВ – стороны правильного треугольника АВС. Построить проекции заданного треугольника.
Задача 61. Плоскость Р с лежащим в ней отрезком АВ совместить с
плоскостью Н.
53
Задача 62. Определить истинную фигуру треугольника АВС, принадлежащего плоскости общего положения Р.
Задача 63. Определить истинную фигуру треугольника АВС, принадлежащего профильно-проецирующей плоскости Р.
54
СПОСОБ ЗАМЕНЫ (ПЕРЕМЕНЫ) ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
Способ замены плоскостей проекций состоит в замене одной из плоскостей проекций новой плоскостью, перпендикулярной к оставляемой “старой” плоскости. Так, при замене плоскости V новой плоскостью V1, последняя должна быть перпендикулярна к оставляемой новой плоскости Н.
Если перемена одной плоскости недостаточна, то прибегают к последовательной замене обеих плоскостей проекций. Так, после замены плоскости V
новой плоскостью V1, переходят к замене плоскости Н новой плоскостью Н1
перпендикулярной V1 и Н1. При построении проекций на новую плоскость
следует помнить, что расстояние точек до плоскости, которая не заменялась,
остается неизменным.
Пример. Определить расстояние между двумя параллельными прямыми (рис. 38).
Расстояние между двумя параллельными прямыми определится, если
новая плоскость проекций в результате последовательной замены будет расположена перпендикулярно прямым, и прямые спроецируются на нее в виде
двух точек. Перейдем от системы V/H перейдем к системе V1/H1 причем, новую плоскость Н1 расположим перпендикулярно к отрезкам АВ и CD, которые спроецируются на плоскость H1 в виде точек а1≡b1 и с1≡d1. Расстояние
между ними будет искомым.
Обратным проецированием найдем на заданном эпюре проекции перпендикуляра. Возьмем на проекции а1’b1’ произвольную точку е1э и проведем е1'f1' параллельно оси х2. Затем найдем точки е и f, е' и f ' и проекции перпендикуляра ef и e'f '.
55
Алгоритм решения:
1) V1 – дополнительная плоскость проекций
V1  Н; V1 ║АВ и V1 ║CD (х1 ║ cd).
а’ах = а1'ах1; с'сх = с1'сх; b'bх = b1'bx1; d'dx = d1' = d1'dx1.
2) Н1  V1 ; Н1  АВ; Н1  CD (х2  а1'b1'; х2  с1'd1'); аах1 = а1ах2;
ссх = с1сх2.
3) e1'f1' ║ x2. Ход построения проекций перпендикуляра ЕF указан стрелками.
56
Задача 64. Определить натуральную величину отрезка АВ и углы
наклона к плоскостям проекций.
Задача 65. Определить расстояние от точки С до прямой АВ.
57
Задача 66. Отрезок общего положения АB привести в положение проецирующего, пользуясь способом замены плоскостей проекций.
Задача 67. Найти расстояние от точки А до плоскости Р.
58
Задача 68. Определить расстояние от точки А до плоскости треугольника ВCD.
Задача 69.
Найти кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
59
Задача 70. Определить истинную фигуру параллелограмма АВСD.
Задача 71. Определить угол между двумя пересекающимися прямыми
АВ и CD.
60
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ
ПЛОСКОСТЯМИ И ПРЯМЫМИ ЛИНИЯМИ
Многогранники пересекаются плоскостью по плоской ломанной линии,
а с прямой – по точкам.
Для построения линии пересечения многогранника плоскостью находят точки пересечения ребер многогранника с заданной секущей плоскостью,
соединяя их затем в логической последовательности; или строят поочередно
линии пересечения граней многогранника с секущей плоскостью. Таким образом решается несколько задач на пересечение плоскостей или пересечение
прямой с плоскостью, которые рассматривались в предыдущих разделах.
Точки пересечения прямой с многогранником определяются как точки
пересечения прямой с плоскостями – гранями.
Пример. Построить фигуру сечения пирамиды АВCD и секущей плоскости (рис. 39).
Построение фигуры сечения начинаем с обозначения очевидных точек
1 и 2, в которых плоскость (следом Рн) пересекает ребра основания пирамиды
АС и ВС. Затем находим точки 3 и 4 пересечение ребер SA и SB пирамиды с
61
плоскостью Р, заключая их во фронтально-проецирующие плоскости Q и R.
Ребро SC с плоскостью Р не пересекается. Проекции фигуры сечения строим,
соединяя в необходимой последовательности, с учетом видимости, одноименные проекции точек 1, 3, 4, 2. Ребра пирамиды и следы плоскости также
обводим с учетом видимости.
Пример. Найти точки пересечения прямой EF с пирамидой ABCS
(рис. 40). Задача сводится к нахождению точек пересечения прямой с плоскостями (гранями пирамиды), для чего заключаем прямую во фронтально –
проецирующую плоскость R, определяем точки пересечения боковых ребер
пирамиды с плоскостью R и проводим линии пересечения 1-2, 2-3, 3-1 плоскости R с плоскостями-гранями пирамиды. Там, где эти линии пересекают
прямую, и будут находиться точки пересечения прямой с пирамидой К1 и К2.
Эти точки называются точками проницания.
62
Задача 72. Построить проекции сечения призмы плоскостью.
Задача 73. Построить проекции сечения наклонной пирамиды плоскостью.
63
Задача 74. Построить проекции и истинную фигуру нормального сечения наклонной треугольной призмы.
64
Задача 75. Построить точки пересечения прямой ЕК с пирамидой АВС.
Составить алгоритм решения задачи.
Задача 76. Построить проекции линий пересечения треугольника с пирамидой.
65
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ
Многогранники пересекаются по донной или двум замкнутым ломанным линиям. Для построения линии пересечения многогранников находят
точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго, затем
точки пересечения ребер второго многогранника с гранями первого, полученные точки соединяются в определенной последовательности. Или строят
линии пересечения граней одного многогранника с гранями другого. Чаще
сочетают эти два способа.
Пример. Построить линии пересечения (в трех проекциях) пирамиды
АВCS и призматического отверстия, ограниченного гранями 1-2, 2-3 и 3-1
(рис. 41).
Для построения линий пересечения заданных многогранников находим
точки пересечения ребер 1, 2 и 3 призматического отверстия с гранями пирамиды, заключая их во вспомогательные плоскости R и S. Задняя грань пирамиды пересекается призмой по треугольнику, а две передние грани – по двум
ломанным линиям 1-2-4 и 1-3-4. Для показа сквозного отверстия на чертеже
сделан разрез.
66
Задача 77. Построить третью проекцию и линии пересечения пирамиды
с призмой.
67
Задача 78. Построить третью проекцию и линии пересечения пирамиды
с призмой.
68
Задача 79. Построить третью проекцию и линии пересечения пирамиды
с призмой.
69
Задача 80. Построить третью проекцию и линии пересечения усеченной
пирамиды с призмой.
70
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ
Для нахождения кривой линии, получаемой при пересечении поверхности вращения плоскостью, следует строить точки пересечения образующих
поверхностей с секущей плоскостью, т.е. находить точку пересечения прямой
с плоскостью.
Поверхности вращения разделяются на линейчатые (образованные
вращением прямой линией) и нелинейчатые (образованные вращением кривой линией).
К первым относятся цилиндрические и конические поверхности.
Ко вторым – поверхности сферы, тора и др.
В зависимости от положения секущей плоскости при пересечении прямого кругового цилиндра, могут образоваться различные фигуры сечения:
1) эллипс – если секущая плоскость составляет с осью вращения некоторый угол; отличный от прямого.
2) окружность – если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения цилиндра;
3) параллельные прямые линии – если секущая плоскость расположена
параллельно оси вращения цилиндра.
На рис. 42 изображены различные случаи пересечения прямого кругового конуса плоскостями. Если секущая плоскость располагается параллельно двум образующим конуса, то пересечение конуса происходит по гиперболе (рис. 42а). Если секущая плоскость параллельна одной образующей
(рис. 42в), то в сечении получится парабола.
Рис. 42 (начало).
71
Сечение в форме окружности получается, когда секущая плоскость
перпендикулярна оси вращения конуса (рис. 42 б). Если секущая плоскость
пересекает конус под углом, отличным от прямого, в сечении получается эллипс (рис. 42 г).
Рис. 42 (окончание).
72
Задача 81. Построить проекции и истинный вид сечения цилиндра
плоскостью общего положения.
73
Задача 82. Построить проекции и истинный вид сечения конуса плоскостью общего положения Р.
74
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Две поверхности вращения чаще всего пересекаются по пространственным кривым линиям, которые строятся с помощью вспомогательных
секущих плоскостей или концентрических секущих сфер.
Вспомогательные сферы применяются в тех случаях, когда оси пересекающихся поверхностей имеют общую точку О (рис. 43) и параллельны какой-либо из плоскостей проекций. Вспомогательные сферы от Rmin до Rmax
пересекают конус и цилиндр по окружностям, плоскости которых перпендикулярны к плоскости V и проецируются на нее в виде прямых, в пересечении
которых и лежат искомые точки 1 и 2.
Вспомогательные секущие плоскости (рис. 44) выбираются таким образом, чтобы они пересекали заданные поверхности по простым линиям
(прямым или окружностям), в данном примере горизонтальные плоскости
P1…P5 рассекают конус по окружностям, а цилиндр – по прямым линиям
(образующим). В пересечении горизонтальных проекций этих линий отмечаем промежуточные точки 2…6. Точки 2'…6' лежат на проекции окружности
цилиндра. Проекции 1 и 7 характерных точек находятся по точкам 1' и 7', положение которых очевидно.
Рис.43.
75
76
Задача 83. Построить фронтальную и профильную проекции линий пересечения открытого тора с цилиндром.
Задача 84. Построить три проекции пе6ресекающихся конуса и цилиндра.
77
Задача 85. Методом вспомогательных секущих сфер построить три проекции линии пересечения усеченного конуса с цилиндром.
Задача 86. Построить линии пересечения цилиндра со сферой.
78
Задача 87. На основании теоремы Монжа построить проекции линии
пересечения двух цилиндров, описанных вокруг одного шара.
Задача 88. Методом вспомогательных секущих сфер построить фронтальную и профильную проекции линии пересечения двух цилиндров.
79
ПЛОСКОСТИ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К КРИВЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ
Плоскостью, касательной к кривой поверхности, называют плоскость,
образованную двумя пересекающимися касательными прямыми, проведенными к двум плоским кривым линиям кривой поверхности, проходящим через заданную точку поверхности.
Для проведения касательных прямых в некоторой точке
кривой поверхности, через эту
точку необходимо построить два
произвольных сечения задать
касательные прямые (рис. 45).
Кривые поверхности могут быть линейчатыми (конус,
цилиндр и т.д.) и нелинейчатыми поверхностями вращения
(сфера, тор, эллипсоид и т.д.),
поверхностями других видов
(поверхности с плоскостью параллелизма,
геликоидальные,
случайной формы и т.д.).
Касательная плоскость к
линейчатым поверхностям имеет множество точек касания и
касание происходит по образующей. Во всех других случаях
касание происходит в одной
точке.
Пример. Построить касательную плоскость к поверхности сферы, проходящую через
заданную точку А (рис. 46).
80
Проекции точки А (а, а') находятся с помощью дополнительных секущих плоскостей уровня S и R. Касательная плоскость определяется двумя пересекающимися прямыми L1 и L2,
проведенными к точке А (а, а').
Для этого проводим радиус ОА (оа,
о'а'), строим плоскость, задавая ее
горизонталью l1 и Фронталью l2,
перпендикулярными к ОА. Эти
прямые и определят плоскость, касательную к сфере в ее точке А.
Пример. Построить касательную плоскость к поверхности
прямого круглого конуса, проходящую через точку А, лежащую на
поверхности конуса (рис. 47).
Касательную плоскость характеризуют две прямые l1 и SA.
Прямая l1 (ее горизонтальная проекция l1) построена перпендикулярно радиусу сечения, образованного плоскостью Q, а фронтальная
проекция совпадает с фронтальным следом плоскости QV. Прямая SA (Sa,
S'a') есть образующая конуса.
81
Задача 89. Построить касательную плоскость к поверхности сферы.
Проходящую через точку В, не лежащую на поверхности сферы (пояснение:
эта задача имеет бесчисленное множество решений. Совокупность пересекающихся касательных плоскостей. Проходящих через точку В формирует некоторую коническую поверхность, огибающую заданную сферу; вершина
конической поверхности лежит в точке В).
Задача 90. Построить касательную плоскость к поверхности прямого
кругового конуса, проходящую через точку N, не лежащую на поверхности
конуса. Эта задача имеет два решения.
82
Задача 91. Построить касательную плоскость к поверхности прямого
кругового цилиндра, проходящую через точку М, лежащую на поверхности
цилиндра.
83
КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОЕКЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
Задачи на построение третьей проекции по двум данным являются первым упражнением в чтении чертежа. Правильное построение третьей проекции требует мысленного воссоздания пространственного образа заданной
фигуры. По этому только после тщательного изучения чертежа фигуры,
изображенной на двух проекциях, можно построить третью проекцию.
Пример. Построить профильную проекцию цилиндра вращения, пересеченного треугольным призматическим отверстием.
Задачу можно рассматривать как задачу на пересечение кривой поверхности с плоскостью и с прямой линией.
Решение. Призматическое отверстие (рис. 48) представляет сочетание
трех плоскостей: R и R1 – фронтально-проецирующие плоскости, которые пересекают цилиндр по эллипсам; Р – горизонтальная плоскость, пересекающая
цилиндр по окружности.
84
При пересечении плоскостей R, R1 и Р образуются ребра призматического отверстия: 1-11; 2-21; 3-31.
Задача сводится к нахождению точек «входа» и «выхода» прямых 1-11;
2-21; 3-31. Проведем через ребра 1-11 и 2-21 горизонтальную плоскость Р (РV –
ее фронтальный след), которая пересечет цилиндр по окружности, горизонтальная проекция которой совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра.
В точках пересечения окружности и горизонтальных проекций ребер находятся точки «входа» и «выхода»: 1, 11; 2 и 21. Отрезок от оси симметрии до
точки l (y1) отложим от оси симметрии цилиндра на профильной проекции
(на следе РW). Получим профильную проекцию 1" точки 1. Аналогично строятся точки пересечения ребра 3-31 с цилиндром.
Две грани призматического отверстия (плоскости R и R1) пересекают цилиндр по эллипсам. Малая ось эллипса – отрезок 3-31, большая полуось –
01-8. Для построения профильной проекции эллипса выбираем произвольно
точки 4 и 5 (4' и 5' их фронтальные проекции). Точки 4 и 5 принадлежат поверхности цилиндра, поэтому их горизонтальные проекции находятся на горизонтальной проекции цилиндра, т.е. на окружности. Профильные проекции
точек 4 и 5 строятся аналогично профильной проекции точки 1. На рис. 48
цилиндр вращения пересечен двумя отверстиями: трехгранным призматическим и четырехгранным вертикальным призматическим. Находим линии пересечения двух многогранников. Верхняя грань трехгранного призматического отверстия пересекает вертикальное отверстие по четырехугольнику,
контур которого совпадает с основанием отверстия (см. четырехугольник на
горизонтальной проекции). Боковая грань отверстия (плоскость R) пересекает
грань вертикального четырехгранного отверстия по отрезку 6-7 (6"-7" – профильная проекция).
Алгоритм построений
1) Р  [1-11] и [2-21]; Р – горизонтальная плоскость;
РV≡1'-1'1 и 2'-2'1; P  Ц=О; 1-11  О=(. ) и (. )11;
2-21  О=(. ) и (. )21.
2) Q  [3-31]; Qv  3'-3'1;
Q  Ц=О; 3-31  О= (.)3 и (.)31. О – окружность.
3) R  Ц – эллипс; R – ф.п.п.
(.)1, 4, 5, 3  поверхности цилиндра (Ц), поэтому горизонтальные
проекции точек 1, 4, 5, 3  окружности.
85
Задача 92. Построить профильную проекцию цилиндра, пересеченного
призматической плоскостью.
86
Задача 93. Построить профильную проекцию цилиндра, пересеченного
призматическим отверстием.
87
Задача 94. Построить горизонтальную проекцию заданного призматического
отверстия, пересекающего усеченный конус. Построить профильную проекцию.
88
Задача 95. Достроить горизонтальную проекцию и построить профильную проекцию конуса, пересеченного призматическим отверстием.
89
Задача 96. Построить профильную проекцию конуса, пересеченного
призматическим отверстием. Достроить горизонтальную проекцию.
90
Задача 97.* По двум заданным проекциям цилиндра, пересеченного отверстиями, построить его профильную проекцию.
91
ЛИТЕРАТУРА
1. Короев Ю. И. Начертательная геометрия. М.: Стройиздат, 2007.
2. Гордон В. О., Семенцов-Огиевский М. А. Курс начертательной геометрии. М.: Наука, 2008.
3. Сорокин Н. П. Инженерная графика. М., 2008.
4. Федоренко В. А., Шошин А. И. Справочник по машиностроительному
черчению. М., 2009.
5. Единая система конструкторской документации. ГОСТ 2.301-68 …..
ГОСТ 2.317-69.
92