Найти период и частоту колебаний груза массой 0143 кг на

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ШАКАРИМА
г.Семей
Документ СМК 3 уровня
УМКД
УМКД Учебнометодические материалы по
дисциплине «Механика»
Редакция №1 от
12сентября 2013г.
УМКД 042-Х.1.ХХ/03-2013
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
« МЕХАНИКА»
для специальности 5В060400 «Физика»
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Семей
2013
1
Содержание
1. Глоссарий
2. Лекции
3. Практические и лабораторные занятия
4. Самостоятельная работа студента
3
6
147
197
2
1. ГЛОССАРИЙ
абсолютно твердое тело – тело (система материальных точек), расстояние между
любыми двумя точками которого всегда остается неизменным
абсолютно упругое тело – тело, деформации которого пропорциональны
вызывающим их силам, т.е. подчиняются закону Гука
абсолютно упругий удар - такой, в результате которого не происходит
превращения механической энергии системы соударяющихся тел в другие виды
энергии.
абсолютно неупругий удар - если после удара тела движутся как одно целое, т.е.
с одной и той же скоростью
амплитуд колебания - наибольшее (максимальное) смещение относительно
положения равновесия
вращательное движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных
к неподвижной прямой, называемой осью вращения
внутренние силы - силы взаимодействия между материальными точками
механической системы
внешние силы - силы, с которыми на материальные точки системы действуют
внешние тела
динамика- раздел механики, изучающий движение материальных тел под
действием приложенных к ним сил
длина волны  – расстояние между двумя ближайшими частицами,
колеблющимися в одинаковой фазе.
замкнутая (изолированная) система - механическая система, на которую не
действуют внешние силы
идеальная жидкость – жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего
трения (не учитывается вязкость)
инертность - свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного
прямолинейного движения при отсутствии или взаимном уравновешивании
внешних воздействий
инерциальная система отсчета - система, относительно которой свободная
материальная точка, не подверженная воздействию других тел, движется
равномерно и прямолинейно, или по инерции
интерференция волн – явление наложения двух или нескольких когерентных
волн, в результате которого в разных точках пространства наблюдается
устойчивое усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от
соотношения между фазами этих волн
кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это
движение обусловливают (т.е. движение тел без учета их масс и действующих на
них сил)
кинетическая энергия - механическая энергия всякого свободно движущегося
тела
когерентные волны - волны, разность фаз которых остается постоянной во
времени
материальная точка – тело, обладающее массой, размерами и формой которого
можно пренебречь в условиях данной задачи
3
механика – это часть физики, изучающая механическое движение материальных
тел и происходящие при этом взаимодействия между ними
мощность - численно равна работе, совершаемой силой за единицу времени
неинерциальная система отсчета -система отсчета, движущаяся по отношению
к инерциальной системе отсчета с ускорением, в ней не выполняются ни закон
инерции, ни второй закон Ньютона, ни закон сохранения импульса.
неравномерное движение – движение, при котором за произвольные равные
промежутки времени точка проходит пути разной длины, численное значение ее
скорости с течением времени изменяется
нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения
скорости по направлению
перемещение - вектор, проведенный из начального положения движущейся точки
в положение ее в данный момент времени
период вращения - время, за которое точка тела совершает один полный оборот,
т.е. поворачивается на угол 2π
потенциальная энергия –механическая энергия системы тел, определяемая их
взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними
сила - это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на
тело со стороны других тел или полей
сила консервативная (или потенциальная) -если работа, совершаемая силы при
перемещении точки из одного произвольного положения в другое произвольное
положение не зависит от траектории перемещения
сила неконсервативные (диссипативные) – если работа этих сил зависит от
траектории перемещения точки
система отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с телом,
по отношению к которому изучается движение каких-нибудь других
материальных точек с
скорость – это векторная физическая величина, введенная для определения
быстроты движения и его направления в данный момент времени
смещение колеблющейся точки – это отклонение колеблющейся точки от
положения равновесия
статика изучает условия равновесия материальных тел под действием сил
среднее ускорение неравномерного движения - векторная величина, равная
отношению изменения скорости v к интервалу времени t , за которое это
изменение произошло
тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения
скорости по величине
траекторией движения материальной точки называется линия, описываемая этой
точкой в пространстве
угловая скорость вращения - вектор, численно равный первой производной угла
поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу
правого винта
угловое ускорение – это векторная физическая величина, определяемая первой
производной угловой скорости по времени
фаза - угол поворота вращающейся точки А  относительно начала отсчета
4
физика – наука о наиболее простых и общих формах движения материи и их
взаимных превращениях, она относится к точным наукам и изучает
количественные закономерности явлений и процессов в окружающем нас мире.
физические законы – устойчивые повторяющиеся объективные закономерности,
существующие в природе
центр масс или центр инерции системы материальных точек - воображаемая
точка положение которой характеризует распределение массы этой системы
частота вращения – число полных оборотов, совершаемых телом при
равномерном его движении по окружности в единицу времени
энергия покоя - внутренняя энергия тела, которая складывается из
кинетических энергий всех частиц, потенциальной энергии их взаимодействия и
суммы энергий покоя всех частиц.
эффектом Доплера - изменение частоты колебаний, воспринимаемых
приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг
относительно друга
5
2. ЛЕКЦИИ
2.1 Кинематика материальной точки
Структура лекционного занятия
Введение. Свойства пространства и времени; модели материальной точки,
абсолютно твердого тела, сплошной среды; тело отсчета, система отсчета;
основные понятия кинематики; закон движения.
Физика – наука о наиболее простых и общих формах движения материи и
их взаимных превращениях. Физика и ее законы лежат в основе всего
естествознания. Она относится к точным наукам и изучает количественные
закономерности явлений и процессов в окружающем нас мире.
Физика – наука экспериментальная, ее законы базируются на фактах,
установленных опытным путем. Законы физики представляют собой
количественные соотношения и формулируются на математическом языке.
В соответствии с многообразием исследуемых объектов и форм движения
материи физика подразделяется на ряд дисциплин, связанных между собой. По
изучаемым материальным объектам физика делится на физику элементарных
частиц, физику ядра, физику атомов и молекул, физику газов и жидкостей, физику
твердого тела, физику плазмы. По изучаемым процессам или формам движения
материи в физике выделяют механику материальной точки и твердого тела,
механику сплошных сред, термодинамику, электродинамику, теорию тяготения,
квантовую механику и квантовую теорию поля, теорию колебаний и волн.
Основы физики заложены в VI в. до н.э. – II в. н.э., когда зародились идеи
об атомном строении вещества (Демокрит, Эпикур, Лукреций). В этот период
установлены простейшие законы статики (правило рычага), открыты законы
прямолинейного распространения и отражения света, сформулированы основы
гидростатики (закон Архимеда), наблюдались простейшие проявления
электричества и магнетизма.
Развитие физики как науки в современном смысле этого слова началось в
XVIIв. и связано прежде всего с именем Г. Галилея. Галилей открыл принцип
относительности в механике, доказал независимость ускорения свободного
падения тел от их плотности и массы, получил значительные результаты в
астрономии, в изучении оптических, тепловых и других явлений. Его ученик Э.
Торричелли установил существование атмосферного давления и создал первый
барометр.
Основное достижение физики XVII в. – создание классической механики.
Все основные законы этой науки сформулировал И. Ньютон. Фундаментальное
значение имело введенное Ньютоном понятие состояния, которое стало одним из
основных для всех физических теорий. Исходя из законов движения планет,
установленных И.Кеплером, Ньютон открыл закон всемирного тяготения, при
помощи которого удалось с большой точностью рассчитать движение Луны,
планет и комет, объяснить приливы и отливы в океане. В это же время Х. Гюйгенс
и Г. Лейбниц сформулировали закон сохранения количества движения. Гюйгенс
создал теорию физического маятника, построил первые часы с маятником.
Началось развитие физической акустики.
В работах Л. Эйлера и других ученых (XVIII в.) исследована динамика
абсолютно твердого тела. Параллельно шло развитие механики жидкости и газа.
6
Трудами Д. Бернулли, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и др. в первой половине XVIII в.
были заложены основы гидродинамики идеальной жидкости. В «Аналитической
механике» Лагранжа (1788г.) уравнения механики представлены в столь
обобщенной форме, что в дальнейшем их удалось применить и к немеханическим,
в частности, электромагнитным процессам.
В этот период была создана единая механическая картина мира, согласно
которой все богатство и многообразие мира – результат различия движения
частиц (атомов), слагающих тела, движения, подчиняющегося законам Ньютона.
Объяснение физического явления считалось научным и полным, если его
удавалось свести к действию законов механики.
В начале XXв. стало ясно, что электродинамика требует коренного
пересмотра представлений о пространстве и времени, лежащих в основе
классической механики Ньютона. В 1905г. А. Эйнштейн создал частную
(специальную) теорию относительности – новое учение о пространстве и
времени. Эта теория показала, что свести электромагнитные процессы к
механическим в гипотетической среде (эфире) невозможно. Стало ясно, что
электромагнитное поле представляет собой особую форму материи, поведение
которой не подчиняется законам механики. В 1916г. Эйнштейн построил общую
теорию относительности – физическую теорию пространства, времени и
тяготения.
Все здание классической и современной физики покоится на фундаменте
законов сохранения, согласно которым численные значения некоторых
физических величин не изменяются со временем в любых процессах или в
определенном классе процессов. Важнейшими законами сохранения,
справедливыми для любых изолированных систем, являются законы сохранения
энергии, импульса, момента импульса, электрического заряда.
Основным методом исследования в физике является опыт – основанное на
практике чувственно-эмпирическое познание объективной действительности, т.е.
наблюдение исследуемых явлений в точно учитываемых условиях, позволяющих
следить за ходом процессов и многократно воспроизводить их при повторении
этих условий.
Для объяснения экспериментальных фактов выдвигаются гипотезы.
Гипотеза – это научное предположение, выдвигаемое для объяснения какого-либо
явления и требующее проверки на опыте и теоретического обоснования для того,
чтобы стать достоверным научным фактом.
Физика тесно связана с естественными науками - астрономией, химией,
биологией, геологией и др. В результате образовался ряд новых научных
дисциплин, таких,
как астрофизика, физическая химия, биофизика,
радиоастрономия и др. Физика тесно связана и с техникой, причем эта связь
двусторонняя: физика развивается из потребностей техники (развитие механики
вызвано потребностями строительной и военной техники; задача создания
экономичных тепловых и электрических машин потребовало развития
термодинамики и электродинамики и т.д.). С другой стороны развитие техники
позволяет
совершенствовать
экспериментальные
методы
физических
исследований, применять новые, более совершенные приборы и установки
(электронные микроскопы, спектрографы, счетчики заряженных частиц и т.п.).
7
Механика – это часть физики, изучающая механическое движение
материальных тел и происходящие при этом взаимодействия между ними. Под
механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного
положения тел или их частиц в пространстве. В природе – это движение небесных
тел, колебания земной коры, воздушные и водные течения и т.п.; в технике –
движения различных летательных аппаратов и транспортных средств, частей
двигателей, машин и механизмов, деформации элементов различных конструкций
и сооружений, движения жидкостей и газов и многое другое.
В механике рассматриваемые взаимодействия представляют собой те
действия тел друг на друга, в результате которых изменяются скорости точек этих
тел или возникают деформации, например, притяжения тел по закону всемирного
тяготения, взаимные давления соприкасающихся тел, воздействия частиц
жидкости или газа друг на друга и на движущиеся в них тела. Под механикой
обычно понимают так называемую классическую механику Галилея-Ньютона,
предметом изучения которой являются движения любых материальных тел
(кроме элементарных частиц), совершаемые со скоростями, малыми по
сравнению со скоростью света. Движение макроскопических тел со скоростями
порядка скорости света рассматривается релятивистской механикой, основанной
на специальной теории относительности Эйнштейна. Для описания движения
элементарных частиц и внутриатомных явлений законы классической механики
неприменимы – они заменяются законами квантовой механики.
Классическая механика делится на три раздела: кинематику, динамику и
статику.
Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это
движение обусловливают (т.е. движение тел без учета их масс и действующих на
них сил). Методы и зависимости, устанавливаемые в кинематике, используются
при расчетах передач движения в различных механизмах и машинах, а также при
решении задач динамики.
Динамика изучает движение материальных тел под действием приложенных
к ним сил. В основе динамики лежат законы механики Ньютона, из которых
получаются все уравнения и теоремы, необходимые для решения задач динамики.
Статика изучает условия равновесия материальных тел под действием сил.
Если известны законы движения тел, то из них можно установить и законы
равновесия. Поэтому законы статики всегда рассматриваются в связи с законами
динамики.
Пространство и время - формы существования материи. Введенное
Ньютоном представление об абсолютном, неподвижном и пустом пространстве
лишено смысла. Понятия пространства, его геометрических элементов (точка,
линия, поверхность, объем) возникли как абстракции свойств материальных,
почти неизменных тел. В механике Ньютона считается, что пространство
однородно во всех своих частях и изотропно (т.е. свойства его не зависят от
направления); иначе говоря, предполагается, что физическое пространство такое
же, как его представляет геометрия Евклида. Для тех механических явлений,
которые рассматриваются в курсе механики, с огромной степенью точности
пространство можно полагать евклидовым. Допущение об
однородности и
изотропности пространства при анализе этих явлений вполне приемлемо. Но
8
предположение о существовании абсолютно неподвижного, ни с чем не
связанного пространства неверно: пространство
всегда представляется
связанным с определенными телами, телами отсчета.
По Ньютону, время – абсолютная длительность, существующая независимо
от тел. Это также трудно обосновать; длительность неотделима от материи,
поскольку время есть форма существования материи.
В рамках одной системы отсчета можно установить одну меру длительности
для всех процессов и явлений, утверждать, что существует одно единое время.
Однако, как показано в теории относительности, одновременные события,
происходящие в разных местах одной системы отсчета, будут происходить в
разные моменты времени, если рассматривать их относительно другой
движущейся системы отсчета. Следовательно, течение времени связано с
относительным движением систем отсчета; нет единого, абсолютного времени
для всех систем отсчета. Все эти положения являются следствием постоянства
скорости света во всех системах отсчета. Длительность процессов связана с
движением, понятие времени неотделимо от движений тел относительно друг
друга.
Но при медленных относительных движениях, когда скорость очень мала по
сравнению со скоростью света, зависимость времени от относительного движения
системы отсчета практически ничтожна и ею вполне можно пренебречь. Поэтому
почти для всех явлений и задач, рассматриваемых в классической механике,
можно считать вполне допустимым представление Ньютона об абсолютном и
едином времени.
Итак, основными понятиями в механике, физике и естествознании в целом
являются пространство и время. Всякое материальное тело имеет объем, т.е.
пространственную протяженность. Время выражает последовательность
состояний материи, составляющих любой процесс, любое движение. Таким
образом, пространство и время представляют собой наиболее общие формы
существования материи.
При исследовании явлений или процессов в зависимости от условий
конкретной задачи используются различные физические модели. Применение
моделей преследует единственную цель – рассмотреть определенную группу
физических явлений таким образом, чтобы можно было абстрагироваться от
целого ряда реальных факторов, второстепенных в данном случае, но учет
которых существенно усложнил бы изучение данного явления. Основными
физическими моделями являются:
материальная точка – тело, обладающее массой, размерами и формой которого
можно пренебречь в условиях данной задачи (например, изучая движение планет
по орбитам вокруг Солнца, можно принять их за материальные точки, так как
размеры планет пренебрежительно малы по сравнению с размерами их
траекторий движения);
абсолютно твердое тело – тело, расстояние между любыми двумя точками
которого всегда остается неизменным. Другими словами, данная модель пригодна
в случаях, когда в задаче деформации тела при его взаимодействии с другими
телами пренебрежительно малы;
9
абсолютно упругое тело – тело, деформации которого пропорциональны
вызывающим их силам, т.е. подчиняются закону Гука. После прекращения
внешнего механического воздействия на такое тело, оно полностью
восстанавливает свои размеры и форму;
абсолютно неупругое тело – тело, которое после прекращения внешнего
механического воздействия полностью сохраняет деформированное состояние,
вызванное этим воздействием;
идеальная жидкость – жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего
трения (не учитывается вязкость).
В результате обобщения экспериментальных фактов устанавливаются
физические законы – устойчивые повторяющиеся объективные закономерности,
существующие в природе. Наиболее важные законы устанавливают связь между
физическими величинами, для чего необходимо эти величины измерять.
Измерение физической величины – это действие, выполняемое с помощью
средств измерений для нахождения значения физической величины в принятых
единицах. В принципе единицы физических величин можно выбрать
произвольно, но тогда возникнут трудности при их сравнении. Поэтому вводятся
системы единиц, охватывающие единицы всех физических величин и
позволяющие оперировать с ними.
Для построения системы единиц произвольно выбирают единицы для нескольких
не зависящих друг от друга физических величин. Эти единицы называются
основными. Остальные величины и их единицы выводятся из законов,
связывающих эти величины с основными. Они называются производными
величинами. В физике согласно государственному стандарту обязательна к
применению Международная система единиц SI (система СИ). Она базируется на
семи основных единицах и двух дополнительных – радиан и стерадиан (табл. 1).
Таблица 1
Наименование величины
Длина
Масса
Время
Сила электрического тока
Термодинамическая температура
Количества вещества
Сила света
Плоский угол
Телесный угол
Единица измерения
метр
килограмм
секунда
ампер
кельвин
моль
кандела
радиан
стерадиан
Обозначение
м
кг
с
А
К
моль
кд
рад
ср
Положение материальной точки в пространстве в данный момент времени
определяется по отношению к какому-либо другому телу, которое называется
телом отсчета. С ним связывается система отсчета – совокупность системы
координат и часов, связанных с телом, по отношению к которому изучается
движение каких-нибудь других материальных точек. Выбор системы отсчета
зависит от задач исследования. При кинематических исследованиях все системы
отсчета равноправны (декартовая, полярная). В задачах динамики
преимущественную роль играют инерциальные системы отсчета, по отношению
к которым дифференциальные уравнения движения имеют более простой вид.
10
z
.
A
r
z
x
0
y
y
x
Рис. 1.1
В декартовой системе координат положение точки А в данный момент времени по
отношению к этой системе определяется тремя координатами х, у и z, или
радиусом-вектором r (рис.1.1).
При движении материальной точки ее координаты с течением времени
изменяются. В общем случае ее движение определяется уравнениями
 x  x(t );

 y  y (t );
 z  z (t )

(1.1)
или векторным уравнением
r = r (t).
(1.2)
движения
Эти уравнения называются кинематическими уравнениями
материальной точки.
Исключая время t в системе уравнений (1.1), получим уравнение траектории
движения материальной точки. Например, если кинематические уравнения
движения точки заданы в форме
 x  a cost ,

 y  b sin t ,
 z  0,  сonst ,

то, исключая t, получим:
x

cos

t

,

a

,
sin t  y

b
откуда
x2 y2

 1,
a2 b2
11
т.е. точка движется в плоскости z = 0 по эллиптической траектории с полуосями,
равными a и b.
Траекторией движения материальной точки называется линия,
описываемая этой точкой в пространстве. В зависимости от формы траектории
движение может быть прямолинейным и криволинейным.
Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории
АВ (рис. 1.2). Отсчет времени начнем с
момента, когда точка находилась в
z
положении А (t = 0). Длина участка
траектории АВ, пройденного материальной
Δs
A
точкой с момента t = 0, называется длиной
B
Δr
пути s и является скалярной функцией
r0
r
времени
Вектор
s  f (t ) .
r  r  r0 ,
проведенный из начального положения
x
0
движущейся точки в положение ее в данный
y
момент времени, называется вектором
перемещения. При прямолинейном движении
Рис. 1.2
вектор
перемещения
совпадает
с
соответствующим участком траектории и его модуль  r равен пройденному пути
.
.
s .
2.2 Основные кинематические характеристики
Структура лекции
Кинематические характеристики поступательного движения;
Кинематические характеристики вращательного движения;
скорость, ускорение.
Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию
поступательного и вращательного движений. Поступательным движением
называют движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом,
перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Примерами поступательного
движения являются движение поршня в цилиндре двигателя, движение кабин
«чертова колеса» и т.д. Вращательным движением абсолютно твердого тела
называют такое движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях,
перпендикулярных к неподвижной прямой, называемой осью вращения, и
описывают окружности, центры которых
v
лежат на этой оси (роторы турбин,
Δs
генераторов и двигателей).
А
Δr
В vср
Скорость – это векторная физическая
величина, введенная для определения
r0
r
быстроты движения и его направления в
данный момент времени.
0
Пусть материальная точка движется
Рис. 1.3
по криволинейной траектории и в момент
времени t ей соответствует радиус-вектор
r0 . (рис. 1.3). В течение малого интервала
12
времени t точка пройдет путь s и получит бесконечно малое перемещение r .
Различают среднюю и мгновенную скорости.
Вектором средней скорости vср называется отношение приращения r радиусавектора
точки к промежутку времени t :
r
(1.3)
vср 
t
Вектор vср направлен так же, как r . При неограниченном уменьшении t ,
средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется
мгновенной скоростью или просто скоростью:
v  lim
t 0
r d r
 .
t dt
(1.4)
Таким образом, скорость – это векторная величина, равная первой
производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в
пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной
к траектории в сторону движения.
По мере уменьшения t длина s дуги все более приближается к длине
стягивающей ее хорды, т.е. численное значение скорости материальной точки
равно первой производной длины ее пути по времени:
r
r
s ds
v  v  lim

lim

lim
 .
t 0
t t 0 t t 0 t dt
Таким образом,
ds
(1.5)
v .
dt
Из выражения (1.5) получаем ds  vdt. Интегрируя по времени от t до t  t ,
найдем длину пути, пройденного материальной точкой за время t :
s
t  t
 vdt
(1.6)
t
Если направление вектора мгновенной скорости v во время движения
материальной точки не изменяется, это означает, что точка движется по
траектории, касательные к которой во всех точках имеют одно и то же
направление. Таким свойством обладают только прямолинейные траектории.
Значит, рассматриваемое движение будет прямолинейным. Если
направление
вектора скорости v материальной точки изменяется с течением времени, точка
будет описывать криволинейную траекторию. Если численное значение
мгновенной скорости точки остается во время движения постоянным, то такое
движение называется равномерным. В этом случае
t  t
s  v  dt  vt.
(1.7)
t
Это означает, что за произвольные равные промежутки времени t материальная
точка проходит пути равной длины.
13
Если за произвольные равные промежутки времени точка проходит пути
разной длины, то численное значение ее скорости с течением времени изменяется.
Такое движение называется неравномерным. В этом случае пользуются скалярной
величиной, называемой средней скоростью неравномерного движения на данном
участке s траектории. Она равна численному значению скорости такого
равномерного движения, при котором на прохождение пути s затрачивается то
же время t , что и при заданном неравномерном движении:
vср 
s
t
(1.8)
Если материальная точка одновременно участвует в нескольких движениях,
то по закону независимости движений ее
результирующее перемещение равно
векторной
сумме
перемещений,
Δvτ
совершаемых ею за то же время в каждом
А
v
C
D
из движений в отдельности. Поэтому
Δs
скорость результирующего движения
В
Δv
находится как векторная сумма скоростей
Δvn
E
всех
тех
движений,
в
которых
v1
материальная точка участвует.
В природе чаще всего наблюдаются
движения,
в
которых
скорость
изменяется как по величине (модулю),
так и по направлению, т.е. приходится
0
Рис. 1.4
иметь
дело
с
неравномерными
движениями.
Для
характеристики
изменения скорости таких движений
вводится понятие ускорения.
Пусть за время t движущаяся точка перешла из положения А в положение В
(рис.1.4). Вектор v задает скорость точки в положении А. В положении В точка
приобрела скорость, отличную от v как по величине, так и по направлению и
стала равной v1  v  v . Перенесем вектор v1 в точку А и найдем v .
Средним ускорением неравномерного движения в интервале времени от t до t  t
называется векторная величина, равная отношению изменения скорости v к
интервалу времени t :
v
(1.9)
а ср 
t
Очевидно, что вектор а ср совпадает по направлению с вектором изменения
скорости v .
Мгновенным ускорением или ускорением материальной точки в момент
времени t будет предел среднего ускорения:
v d v
(1.10)
а  lim
a
 .
ср  lim
t 0
t 0
t dt
Таким образом, ускорение есть векторная величина, равная первой производной
скорости по времени.
.
14
.
Разложим вектор v на две составляющие. Для этого из точки А по
направлению скорости v отложим вектор AD , по модулю равный v1 . Тогда
вектор CD , равный v , определяет изменение скорости по модулю (величине) за
время t , т.е. v  v1  v . Вторая же составляющая вектора v характеризует
изменение скорости на время t по направлению - v n .
Составляющая ускорения, определяющая изменение скорости по величине,
называется тангенциальной составляющей а . Численно она равна первой
производной по времени от модуля скорости:
v
v dv
(1.11)
a  lim
 lim
 .
t 0
t 0
t
t dt
Найдем вторую составляющую ускорения, называемую нормальной
составляющей. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому путь
s можно считать дугой окружности некоторого радиуса r, мало отличающегося
от хорды АВ. Из подобия треугольников АОВ и ЕАD следует, что
vn v1
vn v1
( AB  s  vt ) ,
 , или

AB r
vt r
vn v  v1
откуда

. В пределе при t  0 v1  v, поэтому вторая составляющая
t
r
ускорения равна:
v n v 2
a n  lim
 .
(1.12)
t  0
t
r
Она характеризует быстроту изменения скорости по направлению и направлена к
центру
кривизны
траектории
по
нормали.
Ее
называют
также
центростремительным ускорением.
Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и
нормальной составляющих:
dv
v
(1.13)
a
 a  a n .
dt
aτ
Из рис. 1.5 следует, что модуль полного
ускорения равен:
φ
.
2
a
 dv   v 
a  a  a       . (1.14)
 dt   r 
an
Направление
полного
ускорения
определяется углом  между векторами
Рис. 1.5
a и a . Очевидно, что
a
(1.15)
  arctg n .
a
В зависимости от значений тангенциальной и нормальной составляющих
ускорения движение тела классифицируется по-разному. Если а  0 (величина
2
2
2
2
n
15
скорости не изменяется по величине), движение является равномерным. Если а >
0, движение называется ускоренным,
если а < 0 – замедленным. Если а = const  0, то движение называется
равнопеременным. Наконец, в любом прямолинейном движении а n  0 (нет
изменения направления скорости).
Таким образом, движение материальной точки может быть следующих видов:
1) a  0, a n  0 - прямолинейное равномерное движение ( s  vt );
2) a  const  0, an  0 - прямолинейное равнопеременное движение. При таком
v v2  v1
виде движения a  a 

.
t t 2  t1
Если начальный момент времени t  0 , а начальная скорость v1  v0 , то,
v  v0
обозначив t 2  t и v 2  v , получим: a 
,
t
v  v0  at .
откуда
(1.16)
Проинтегрировав это выражение в пределах от нуля до произвольного момента
времени, получим формулу для нахождения длины пути, пройденного точкой при
равнопеременном движении:
t
t
at 2
(1.17)
s   vdt   v0  at dt  v0t 
;
2
0
0
3) a  f (t ), a n  0 - прямолинейное движение с переменным ускорением;
2
4) a  0, a n  const - скорость по модулю не изменяется, an  v , откуда видно, что
r
радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, данное движение по
окружности является равномерным;
5) a  0, a n  0 - равномерное криволинейное движение;
a  const , a n  0
6)
криволинейное
равнопеременное движение;
7) a  f (t ), a n  0 - криволинейное движение с
ω
переменным ускорением.
Как
уже
отмечалось,
вращательным
движением абсолютно твердого тела вокруг
dφ
неподвижной оси называется такое его
Δφ
v
R
движение, при котором все точки тела
A
движутся в плоскостях, перпендикулярных к
неподвижной прямой, называемой осью
вращения, и описывают окружности, центры
Рис. 1.6
которых лежат на этой оси.
Рассмотрим твердое тело, которое вращается
вокруг неподвижной оси (рис.1.6).Тогда отдельные точки этого тела будут
описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения.
Пусть некоторая точка А движется по окружности радиуса R. Ее положение через
промежуток времени t зададим углом  .
.
16
Угловой скоростью вращения называется вектор, численно равный первой
производной угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения
по правилу правого винта:
 d 
(1.18)
  lim

.
t 0
t dt
Единица измерения угловой скорости радиан в секунду (рад/с).
Таким образом, вектор  определяет направление и быстроту вращения. Если
  const , то вращение называется равномерным.
Угловая скорость может быть связана с линейной скоростью v произвольной
точки А. Пусть за время t точка проходит по дуге окружности длину пути s .
Тогда линейная скорость точки будет равна:
s
R

(1.19)
v  lim

lim

R
lim
 R  .
t 0
t 0
t t 0 t
t
При равномерном вращении его можно охарактеризовать периодом вращения Т –
временем, за которое точка тела совершает один полный оборот, т.е.
поворачивается на угол 2π:
2
T
.

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном движении по
окружности, в единицу времени называется частотой вращения:
1 
  ,
T 2
откуда
  2 .
Для характеристики неравномерного вращения тела вводится понятие углового
ускорения. Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой
производной угловой скорости по времени:
d
(1.20)

.
dt
При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения
ω
ω0
ω0
ε
ω
0
0
ε
Рис. 1.7
направлен вдоль оси вращения в сторону вектора угловой скорости (рис.1.7); при
ускоренном движении вектор  направлен в ту же сторону, что и   d  0  , и в
противоположную сторону при замедленном вращении  d  0  .
 dt

17
 dt

Выразим тангенциальную и нормальную составляющие ускорения точки А
вращающегося тела через угловую скорость и угловое ускорение:
dv d (R)
d
(1.21)
a 

R
 R  ;
dt
dt
dt
v2  2R2
an 

  2 R..
(1.22)
R
R
В случае равнопеременного движения точки по окружности (   const ):
2
   0  t ,    0t  t ,
2
где  0  начальная угловая скорость.
Поступательное и вращательное движения твердого тела являются лишь
простейшими типами его движения. В общем случае движение твердого тела
может быть весьма сложным. Однако в теоретической механике доказывается,
что любое сложное движение твердого тела можно представить как совокупность
поступательного и вращательного движений.
Кинематические уравнения поступательного и вращательного движений сведены
в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Поступательное
Равномерное
s  vt
v  const
a0
Вращательное
   t
  const
 0
Равнопеременное
at 2
s  v0 t 
2
v  v0  a  t
a  const
Неравномерное
s  f (t )
ds
v
dt
dv d 2 s
a

dt dt 2
   0t 
 t2
2
  0    t
  const
  f (t )
d
dt
d d 2

 2
dt
dt

Краткие выводы
Часть физики, которая изучает закономерности механического движения и
причины, вызывающие или изменяющие это движение, называется механикой.
Классическая механика (механика Ньютона-Галилея) изучает законы движения
макроскопических тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света
в вакууме.
Кинематика – раздел механики, предметом изучения которого является
движение тел без рассмотрения причин, которыми это движение обусловлено.
В механике для описания движения тел в зависимости от условий конкретных
задач используются различные физические модели: материальная точка,
абсолютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело.
18
Движение тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому для описания
движения материальной точки надо знать, в каких местах пространства эта точка
находилась и в какие моменты времени она проходила то или иное положение.
Совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и
синхронизированных между собой часов называется системой отсчета.
Вектор r  r  r0 , проведенный из начального положения движущейся точки в
положение ее в данный момент времени называется вектором перемещения.
Линия, описываемая движущейся материальной точкой (телом) относительно
выбранной системы отсчета называется траекторией движения. В зависимости
от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение.
Длина участка траектории, пройденного материальной точкой за данный
промежуток времени, называется длиной пути.
Скорость – это векторная физическая величина, которая характеризует быстроту
движения и его направление в данный момент времени. Мгновенная скорость
определяется первой производной радиуса-вектора движущейся точки по
времени:
v
dr
.
dt
Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в
сторону движения. Модуль мгновенной скорости материальной точки равен
первой производной длины ее пути по времени:
ds
v .
dt
Ускорение
–
векторная
физическая
величина
для
характеристики
неравномерного движения. Она определяет быстроту изменения скорости по
модулю и направлению. Мгновенное ускорение - векторная величина, равная
первой производной скорости по времени:
dv
a
.
dt
Тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту
изменения скорости по величине (направлена по касательной к траектории
движения):
dv
a  .
dt
Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения
скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории):
v2
an  .
r
Полное ускорение при криволинейном движении – геометрическая сумма
тангенциальной и нормальной составляющих:
dv
a
 a  a n ,
dt
19
2
 dv   v 
a  a  a       .
 dt   r 
Векторная величина, определяемая первой производной угла поворота тела по
времени, называется угловой скоростью:
d

.
dt
Вектор  направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта.
При равномерном вращении время, за которое точка тела совершает один полный
оборот, т.е. поворачивается на угол 2π, называется периодом вращения:
2
T
.

Частота вращения – число полных оборотов, совершаемых телом при
равномерном его движении по окружности в единицу времени:
1 
 
.
T 2
Угловое ускорение – это векторная физическая величина, определяемая
первой производной угловой скорости по времени:
d

.
dt
При ускоренном вращении тела вокруг неподвижной оси вектор 
сонаправлен вектору  , при замедленном – противонаправлен ему.
Связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по окружности
радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение a  , нормальное
ускорение a n ) и угловыми характеристиками (угол поворота φ, угловая скорость
ω, угловое ускорение ε) выражается следующими формулами:
s  R , v  R, a  R , a n   2 R. .
Вопросы для самоконтроля и повторения
- Что является предметом изучения механики? Какова структура механики?
- Что такое физическая модель? Какие физические модели использует механика
для описания движения материальных объектов?
- Что представляет собой система отсчета? Что называется вектором
перемещения?
- Какое движение называется поступательным? Вращательным?
- Что характеризуют скорость и ускорение? Дайте определения средней скорости
и среднего ускорения, мгновенной скорости и мгновенного ускорения.
- Составьте уравнение траектории движения тела, брошенного горизонтально со
скоростью v0 с некоторой высоты. Сопротивление воздуха не учитывать.
- Что характеризуют тангенциальная и нормальная составляющие ускорения?
Каковы их модули?
- Как можно классифицировать движение в зависимости от тангенциальной и
нормальной составляющих ускорения?
- Что называется угловой скоростью и угловым ускорением? Как определяются их
направления?
2
2
2
n
20
2
- Какими формулами связаны между собой линейные и угловые характеристики
движения?
2. 3 Динамика материальной точки
план лекции
Сила, масса; законы Ньютона; импульс, закон сохранения импульса; принцип
относительности Галилея; момент импульса; момент инерции материальной
точки, момент силы; закон сохранения полной механической энергии.
Как уже отмечалось, динамика – это раздел классической механики,
изучающий движение материальных тел под действием приложенных к ним сил,
т.е. дающий связь между взаимодействиями тел и изменениями в их движении.
Она является основным разделом механики и базируется на трех законах Ньютона
(1687г.)
Первый закон Ньютона (закон инерции) формулируется следующим
образом: всякое тело (материальная точка) сохраняет состояние покоя или
равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со
стороны других тел не заставит его изменить это состояние.
Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного
прямолинейного движения при отсутствии или взаимном уравновешивании
внешних воздействий называется инертностью. Если на тело действует
неуравновешенная система сил, то инертность сказывается в том, что изменение
состояния покоя или движения тела происходит постепенно, а не мгновенно. При
этом движение изменяется тем медленнее, чем больше инертность тела. Мерой
инертности тела при поступательном движении является масса.
Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета.
Системы, в которых он выполняется, называются инерциальными системами
отсчета. Инерциальной системой отсчета является такая система, относительно
которой свободная материальная точка, не подверженная воздействию других тел,
движется равномерно и прямолинейно, или по инерции. Система отсчета,
движущаяся по отношению к инерциальной системе отсчета с ускорением,
является неинерциальной, и в ней не выполняются ни закон инерции, ни второй
закон Ньютона, ни закон сохранения импульса.
Понятие «инерциальная система отсчета» является научной абстракцией.
Реальная система отсчета всегда связывается с каким-нибудь конкретным телом
(Землей, корпусом корабля и т.п.), по отношению к которому и изучается
движение тех или иных объектов. Однако в природе нет неподвижных тел (тело,
неподвижное относительно Земли, будет двигаться вместе с нею ускоренно по
отношению к Солнцу и звездам), поэтому любая реальная система отсчета может
рассматриваться как инерциальная лишь с той или иной степенью приближения.
С очень высокой степенью точности инерциальной можно считать
гелиоцентрическую (звездную) систему с началом координат в центре Солнца и с
осями, направленными на три звезды. Для решения большинства технических
задач инерциальной системой можно считать систему отсчета, жестко связанную
с Землей (не учитывается вращение Земли вокруг собственной оси и вокруг
Солнца).
Как уже отмечалось, масса – это физическая величина, определяющая
инерционные свойства материи. Масса – это свойство самого тела и, в отличие от
21
веса, не зависит от места ее измерения (вес Р тела в разных точках земного шара
различен: он максимален на полюсах и минимален на экваторе). Ускорение
свободного падения g тел на Землю также зависит от географической широты
места наблюдения и от его высоты над уровнем моря. Однако отношение веса
тела Р к его ускорению g одинаково во всех точках земного шара. Это отношение
и принято для количественного измерения массы:
P
(2.1)
m .
g
За единицу массы принят килограмм массы, равный массе эталона, сделанного из
сплава иридия и платины. Следует отметить, что масса тела считается постоянной
величиной только в классической механике Ньютона, изучающей движение тел со
скоростями,
небольшими
по
сравнению
со
скоростью
света
(
c  300000 км  3  108 м ). В современной физике установлено, что масса тела
с
с
увеличивается с увеличением скорости его движения по закону:
m0
m
,
v2
1 2
c
где m – масса тела, движущегося со скоростью v ; с – скорость света; m0 – масса
покоящегося тела.
Из формулы (2.1) следует, что вес тела
P  mg ,
(2.2)
т.е. вес – это сила, с которой тело притягивается Землей, т.е. та сила, которая
сообщает телу ускорение g=9,81 м/с2:
Для описания воздействий тел (материальных точек) друг на друга вводится
понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость движения, т.е.
приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются,
т.е. изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил). Таким
образом, сила - это векторная величина, являющаяся мерой механического
воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело
приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры. В каждый момент
времени сила характеризуется числовым значением (модулем), направлением в
пространстве и точкой приложения.
Второй закон Ньютона – основной закон динамики поступательного
движения – отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение
материального объекта (точки, тела) под действием приложенных к нему сил.
В динамике рассматриваются два типа задач, решения которых находятся на
основе второго закона Ньютона. Задачи первого типа состоят в том, чтобы, зная
движение тела, определить действующие на него силы. Классическим примером
решения такой задачи является открытие Ньютоном закона всемирного тяготения:
зная установленные Кеплером на основании результатов наблюдений законы
движений планет, Ньютон доказал, что это движение происходит под действием
силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния между планетой и
Солнцем. Задачи второго типа являются в динамике основными и состоят в том,
чтобы по действующим на тело силам определить закон его движения (уравнение
22
движения). Для решения этих задач необходимо знать начальные условия, т.е.
положение и скорость тела в момент начала его движения под действием
заданных сил. Примерами таких задач являются следующие: а) по величине и
направлению скорости снаряда в момент его вылета из канала ствола и
действующим на снаряд при его движении силе тяжести и силе сопротивления
воздуха найти закон движения снаряда, в частности его траекторию,
горизонтальную дальность полета, время движения до цели; б) по известным
скорости автомобиля в момент начала торможения и силе торможения найти
время движения и путь до остановки.
Второй закон Ньютона формулируется следующим образом: ускорение,
приобретаемое материальной точкой (телом), прямо пропорционально
действующей силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально
массе материальной точки (тела):
F
(2.3)
ak ,
m
где k - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.
В Международной системе (СИ) k =1, поэтому
a
F
.
m
(2.4)
Второй закон Ньютона обычно записывается в следующей форме:
F  ma  m
или
F
dv
,
dt
 
d
mv .
dt
(2.5)
Вектор mv  p называется импульсом. В отличие от ускорения и скорости,
импульс является характеристикой движущегося тела, отражающей не только
кинематическую меру движения (скорость), но и его важнейшее динамическое
свойство – массу.
Таким образом, можно записать:
dp
(2.6)
F
.
dt
Выражение (2.6) является более общей формулировкой второго закона Ньютона:
скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее
силе.
Это уравнение называется уравнением движения материальной точки.
Единица силы в системе СИ – ньютон (Н):
1 Н – это сила, которая телу массой в 1 кг сообщает ускорение 1 м/с2 в
направлении действия силы: 1 Н = 1 кг·1 м/с2.
При действии на материальную точку нескольких сил справедлив принцип
независимости действия сил: если на материальную точку действуют
одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке
23
ускорение, определяемое вторым законом Ньютона так, как если бы других сил не
было:
1 n
F
a   Fi  ,
m i 1
m
n
где сила F   Fi называется равнодействующей сил или результирующей силой.
i 1
Таким образом, если на тело действует одновременно несколько сил, то,
согласно принципу независимости действия сил, под силой F во втором законе
Ньютона понимают результирующую силу.
Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах
отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго закона: в случае
равенства нулю равнодействующей силы ускорение также равно нулю, т.е. тело
находится в покое или движется равномерно.
Воздействие тел (материальных точек) друг на друга всегда является
взаимным и определяется третьим законом Ньютона (законом о равенстве
действия и противодействия): действия двух тел друг на друга всегда равны по
модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей
эти тела:
F 12  F 21 ,
(2.7)
где F 12 - сила, действующая на первое тело со стороны второго; F 21 - сила,
действующая на второе тело со стороны первого.
Необходимо помнить, что силы F 12 и F 21 приложены к разным телам
(материальным точкам) и поэтому не уравновешивают друг друга; они действуют
парами и являются силами одной природы.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие третий закон Ньютона и приводящие к
формулировке закона сохранения импульса взаимодействующих материальных
точек (тел):
1) Человек прыгает с лодки на берег. Он толкает лодку назад с силой F 12 , а сам
испытывает со стороны лодки силу F 21 , направленную в сторону,
противоположную направлению F 12 . Поэтому человек и лодка движутся в прямо
противоположных направлениях.
2) Камень массой m падает с обрыва на Землю с ускорением g. Он притягивается
к Земле с такой же по величине силой, что и Земля к камню. Просто мы не
замечаем движения Земли, т.к. ее масса М во много раз превышает массу m камня,
следовательно, ускорение а , с которым движется Земля, ничтожно мало по
сравнению с ускорением g. В самом деле, с учетом второго закона Ньютона
уравнение (2.7) запишется в виде:
mg   Ma,
откуда
a
m
g  0.
M
Заменим в уравнении (2.7) силы F 12 и F 21 согласно формуле (2.5):
24
F 12 
Тогда


d
d
m1 v1 ; F 21  m2 v2  .
dt
dt




d
d
m1 v 1  
m2 v 2 ,
dt
dt
или




d m1 v1  d m2 v 2 .
(2.8)
Следовательно, при механическом взаимодействии двух тел изменения их
импульсов численно равны и противоположны по направлению, т.е. суммарный
импульс тел сохраняется неизменным:
𝑚1 𝑣⃗ 1 + 𝑚2 𝑣⃗ 2 = 𝑚01 𝑣⃗01 + 𝑚02 𝑣⃗02
(2.8a)
Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики
отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это
следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится
к силам парного взаимодействия между материальными точками.
В отсутствии внешних полей пространство является однородным и
изотропным, время – однородным. Системы отсчета, в которых тела,
предоставленные самим себе, покоятся или движутся равномерно и
прямолинейно, называются инерциальными системами отсчета (ИСО). Так как
закон инерции является одним из законов механики Ньютона, то можно сказать,
что в ИСО выполняются законы Ньютона.
Если системы отсчета движутся относительно друг друга равномерно и
прямолинейно и в одной из них справедливы законы динамики Ньютона, то эти
системы являются инерциальными. Во всех инерциальных системах отсчета
законы классической динамики имеют одинаковую форму (инвариантны); в этом
состоит суть механического принципа относительности или принципа
относительности Галилея. Для доказательства этого принципа рассмотрим две
системы отсчета: инерциальную систему К (с координатами x, y, z), которую
условно будем считать неподвижной и подвижную систему K  (с координатами
x , y , z  ), движущуюся относительно К равномерно и прямолинейно со скоростью
u = const. Примем, что в начальный момент времени t = 0 начала О и O  обеих
систем координат совпадают. Расположение систем координат в произвольный
.
y
y΄
A
r΄
u
r0
r
x΄
O΄
z΄
x
O
z
25
Рис.2.1
момент времени t имеет вид, изображенный на рис.2.1. Скорость u направлена
вдоль прямой OO  , а радиус-вектор, проведенный из точки О в точку O  , равен
r0  u t.
Координаты произвольной материальной точки А в неподвижной и
подвижной системах отсчета определяются радиусами-векторами r и r  ,
причем:
(2.9)
r  r   r0  r   u t.
В проекциях на оси координат векторное уравнение (2.9) записывается в виде,
называемом преобразованиями Галилея:
x  x  u x t,

 y  y   u y t,
 z  z   u t.

z
(2.10)
В частном случае, когда система K  движется со скоростью v вдоль
положительного направления оси х системы К, преобразования координат
Галилея имеют следующий вид:
 x  x   vt ,

 y  y ,
 z  z .

В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от
относительного движения систем отсчета. Поэтому система уравнений (2.10)
дополняется еще одним соотношением:
t  t .
(2.11)
Соотношения (2.10) – (2.11) справедливы лишь в случае u  c . При скоростях,
сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея заменяются более
общими преобразованиями Лоренца.
Продифференцируем уравнение (2.9) по времени и учитывая, что u =const,
найдем соотношения между скоростями и ускорениями точки А относительно
обеих систем отсчета:
dr dr  dr0 dr 
dt



u ,
dt dt
dt
dt
dt
откуда
v  v  u ,
(2.12)
а также
dv d (v   u )
a

 a .
(2.13)
dt
dt
Если на точку А другие тела не действуют, то a  0 и согласно (5.5) a   0 , т.е.
подвижная система К΄ является инерциальной – изолированная материальная
точка либо движется относительно нее равномерно и прямолинейно, либо
покоится.
26
Из выражения (2.13) следует, что
F F
F F

, или

 m,
m m
a a
т.е. уравнения Ньютона (уравнения динамики) для материальной точки
одинаковы во всех инерциальных системах отсчета или инвариантны по
отношению к преобразованиям Галилея. Этот результат часто формулируют
следующим образом: равномерное и прямолинейное движение системы как
целого не влияет на ход протекающих в ней механических процессов.
Принцип относительности
Галилея утверждает: законы механики
одинаковы во всех ИСО, неизменность внешнего вида уравнений законов
механики относительно формул преобразования координат и времени Галилея.
Получим их, а также следствия из них, используя рисунок, где М - мгновенное
положение материальной точки, L и L -две инерциальные системы отсчета. Из
чертежа следует, что
      
r t r t  R t
М
L’
L О
Кроме того, исходим из принципа дальнодействия и абсолютности хода времени
во всех ИСО:
t t  .
(2.14)
Рассмотрим самый простой вариант движения одной ИСО относительно другой –
вдоль оси Ох (остальные оси перемещаются параллельно соответствующим в
другой ИСО) с относительной скоростью V . Пусть в моменты времени t 0  t 0  0
начала систем координат совпадали. Тогда формулы (2.13) и (2.14) запишутся так:
x  x  Vt ;
y  y ;
z  z;
t  t .
Эти формулы называют формулами преобразования Галилея.
Составим производную по времени
от обеих частей этого равенства:

 
u  u V ,
u x  u ,x  V , u y  u ,y
u z  u z, .
Получили классическую теорему сложения скоростей.
Запишем вторую производную:
wx  w,x .
Так как масса в классической физике является инвариантной величиной, а силы
зависят или от расстояния, или от относительной скорости, то получаем
ковариантность (неизменность внешнего вида) формулы, выражающей второй
закон Ньютона:


 F
w ;
m

F
w 
,
m
причем
 
 
w  w, F  F ; m  m.
Энергетические характеристики движения вводятся на основе понятия
механической работы или работы силы. Работой A, совершаемой постоянной
силой 𝐹⃗ называется физическая величина, равная произведению модулей силы и
27
перемещения, умноженному на косинус угла α между векторами силы 𝐹⃗
перемещения 𝑠⃗ (рис. 2.2):
и
A = Fs cos α
Работа является скалярной величиной. Она может быть как положительна
(0° ≤ α < 90°), так и отрицательна (90° < α ≤ 180°). При α = 90° работа,
совершаемая силой, равна нулю. В системе СИ работа измеряется в джоулях
(Дж). Джоуль равен работе, совершаемой силой в 1 Н на перемещении 1 м в
направлении действия силы.
Рис. 2.2
Работа силы 𝐹⃗ : 𝐴 = 𝐹𝑠𝑐𝑜𝑠 ∝= 𝐹𝑠 𝑠.
Если проекция 𝐹⃗𝑠 силы 𝐹⃗ на направление перемещения 𝑠⃗ не остается постоянной,
работу следует вычислять для малых перемещений ∆𝑠⃗ и суммировать результаты:
Эта сумма в пределе (Δsi → 0) переходит в интеграл.
Графически работа определяется по площади криволинейной фигуры под
графиком Fs(x) (рис. 2.3).
Рис. 2.3
Примером силы, модуль которой зависит от координаты, может служить
упругая сила пружины, подчиняющаяся закону Гука. Для того, чтобы растянуть
пружину, к ней нужно приложить внешнюю силу 𝐹⃗ модуль которой
пропорционален удлинению пружины (рис. 2.4).
28
Рис.2.4
Направление внешней силы 𝐹⃗ совпадает с направлением перемещения 𝑠⃗ . 𝐹 =
𝐹𝑠 = 𝑘𝑥 k – жесткость пружины. 𝐹⃗упр = -𝐹⃗
Зависимость модуля внешней силы от координаты x изображается на графике
прямой линией (рис.2.5).
Рис.2.5
По площади треугольника на рис.2.5 можно определить работу,
совершенную внешней силой, приложенной к правому свободному концу
пружины:
Этой же формулой выражается работа, совершенная внешней силой при сжатии
пружины. В обоих случаях работа упругой силы 𝐹⃗упр равна по модулю работе
внешней силы 𝐹⃗ и противоположна ей по знаку. Если к телу приложено несколько
сил, то общая работа всех сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых
отдельными силами, и равна работе равнодействующей приложенных сил.
Работа силы, совершаемая в единицу времени, называется мощностью.
Мощность N – физическая величина, равная отношению работы A к промежутку
времени t, в течение которого совершена эта работа:
29
В Международной системе (СИ) единица мощности называется ватт (Вт).
1Ватт равен мощности силы, совершающей работу в 1 Дж за время 1 с.
Кинетическая и потенциальная энергии
Если тело некоторой массы m двигалось под действием приложенных сил и его
скорость изменилась от 𝑣⃗1 до 𝑣⃗2 то силы совершили определенную работу A.
Работа всех приложенных сил равна работе равнодействующей силы (см.рис. 2.6).
Рис.2.6
здесь обозначено: ⃗⃗⃗⃗
𝐹𝑝 = 𝐹⃗1 + 𝐹⃗2 ,
тогда для работы получится:
A = F1s cos α1 + F2s cos α2 = F1ss + F2ss = Fрss = Fрs cos α.
Между изменением скорости тела и работой, совершенной приложенными к телу
силами, существует связь. Эту связь проще всего установить, рассматривая
движение тела вдоль прямой линии под действием постоянной силы 𝐹⃗ . В этом
случае векторы силы 𝐹⃗ , перемещения 𝑠⃗, скорости 𝑣⃗ и ускорения 𝑎⃗ направлены
вдоль одной прямой, и тело совершает прямолинейное равноускоренное
движение. Направив координатную ось вдоль прямой движения, можно
рассматривать F, s, υ и a как алгебраические величины (положительные или
отрицательные в зависимости от направления соответствующего вектора). Тогда
работу силы можно записать как A = Fs. При равноускоренном движении
перемещение s выражается формулой:
Отсюда следует, что
Это выражение показывает, что работа, совершенная силой (или
равнодействующей всех сил), связана с изменением квадрата скорости (а не самой
скорости).
30
Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его
скорости, называется кинетической энергией тела:
Работа приложенной к телу равнодействующей силы равна изменению его
кинетической энергии:
A = Ek2 – Еk1.
Это утверждение называют теоремой о кинетической энергии. Она справедлива и
в общем случае, когда тело движется под действием изменяющейся силы,
направление которой не совпадает с направлением перемещения.
Кинетическая энергия – это энергия движения. Кинетическая энергия тела массой
m, движущегося со скоростью 𝑣⃗, равна работе, которую должна совершить сила,
приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту скорость:
Если тело движется со скоростью 𝑣⃗, то для его полной остановки необходимо
совершить работу:
Наряду с кинетической энергией или энергией движения в физике важную роль
играет понятие потенциальной энергии или энергии взаимодействия тел.
Потенциальная энергия определяется взаимным положением тел (например,
положением тела относительно поверхности Земли). Понятие потенциальной
энергии можно ввести только для сил, работа которых не зависит от траектории
движения тела и определяется только начальным и конечным положениями.
Такие силы называются консервативными.
Работа консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю. Это
утверждение поясняет рис. 2.7
Свойством консервативности обладают сила тяжести и сила упругости. Для этих
сил можно ввести понятие потенциальной энергии.
Рис.2.7
Работа консервативной силы A1a2 = A1b2. Работа на замкнутой траектории равна:
31
A = A1a2 + A2b1 = A1a2 – A1b2 = 0.
Если тело перемещается вблизи поверхности Земли, то на него действует
постоянная по величине и направлению сила тяжести 𝐹⃗ = 𝑚𝑔⃗. Работа этой силы
зависит только от вертикального перемещения тела. На любом участке пути
работу силы тяжести можно записать в проекциях вектора перемещения ∆𝑠⃗ на ось
OY, направленную вертикально вверх: ΔA = FтΔs cos α = –mgΔsy, где Fт = Fтy = –
mg – проекция силы тяжести, Δsy – проекция вектора перемещения. При подъеме
тела вверх сила тяжести совершает отрицательную работу, так как Δs y > 0. Если
тело переместилось из точки, расположенной на высоте h 1, в точку,
расположенную на высоте h2 от начала координатной оси OY (рис. 2.8), то сила
тяжести совершила работу:
A = –mg(h2 – h1) = –(mgh2 – mgh1).
Рис.2.8
Эта работа равна изменению некоторой физической величины mgh, взятому с
противоположным знаком. Эту физическую величину называют потенциальной
энергией тела в поле силы тяжести: Ep = mgh.
Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на
нулевой уровень.
Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с
противоположным знаком: A = –(Ep2 – Ep1).
Потенциальная энергия Ep зависит от выбора нулевого уровня, то есть от
выбора начала координат оси OY. Физический смысл имеет не сама
потенциальная энергия, а ее изменение ΔEp = Ep2 – Ep1 при перемещении тела из
одного положения в другое. Это изменение не зависит от выбора нулевого
уровня.
Если рассматривать движение тел в поле тяготения Земли на значительных
расстояниях от нее, то при определении потенциальной энергии необходимо
принимать во внимание зависимость силы тяготения от расстояния до центра
Земли (закон всемирного тяготения). Для сил всемирного тяготения
потенциальную энергию удобно отсчитывать от бесконечно удаленной точки, то
есть полагать потенциальную энергию тела в бесконечно удаленной точке равной
32
нулю. Формула, выражающая потенциальную энергию тела массой m на
расстоянии r от центра Земли, имеет вид:
где M – масса Земли, G – гравитационная постоянная.
Понятие потенциальной энергии можно ввести и для упругой силы. Эта
сила также обладает свойством консервативности. Растягивая (или сжимая)
пружину, мы можем делать это различными способами.
Можно просто удлинить пружину на величину x, или сначала удлинить ее
на 2x, а затем уменьшить удлинение до значения x и т. д. Во всех этих случаях
упругая сила совершает одну и ту же работу, которая зависит только от
удлинения пружины x в конечном состоянии, если первоначально пружина была
недеформирована. Эта работа равна работе внешней силы A, взятой с
противоположным знаком:
где k – жесткость пружины. Растянутая (или сжатая) пружина способна привести
в движение прикрепленное к ней тело, то есть сообщить этому телу кинетическую
энергию. Следовательно, такая пружина обладает запасом энергии.
Потенциальной энергией пружины (или любого упруго деформированного тела)
называют величину:
Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы
упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой
деформацией.
Если в начальном состоянии пружина уже была деформирована, а ее удлинение
было равно x1, тогда при переходе в новое состояние с удлинением x2 сила
упругости совершит работу, равную изменению потенциальной энергии, взятому
с противоположным знаком:
Потенциальная энергия при упругой деформации – это энергия взаимодействия
отдельных частей тела между собой силами упругости.
Свойством консервативности обладают наряду с силой тяжести и силой
упругости некоторые другие виды сил, например, сила электростатического
взаимодействия между заряженными телами. Сила трения не обладает этим
свойством. Работа силы трения зависит от пройденного пути. Понятие
потенциальной энергии для силы трения вводить нельзя.
Закон сохранения механической энергии. Если тела, составляющие замкнутую
механическую систему, взаимодействуют между собой только силами тяготения и
33
упругости, то работа этих сил равна изменению потенциальной энергии тел,
взятому с противоположным знаком:
A = –(Ep2 – Ep1).
По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической
энергии тел:
A = Ek2 – Ek1.
Следовательно:
Ek2 – Ek1 = –(Ep2 – Ep1)
или
Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2.
Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую
систему и взаимодействующих между собой силами тяготения и силами
упругости, остается неизменной.
Это утверждение выражает закон сохранения энергии в механических процессах.
Он является следствием законов Ньютона. Сумму E = Ek + Ep называют полной
механической энергией. Закон сохранения механической энергии выполняется
только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой
консервативными силами, то есть силами, для которых можно ввести понятие
потенциальной энергии.
Пример применения закона сохранения энергии – нахождение минимальной
прочности легкой нерастяжимой нити, удерживающей тело массой m при его
вращении в вертикальной плоскости (задача Х. Гюйгенса). Рис. 2.9 поясняет
решение этой задачи.
Рис.2.9
К задаче Х.Гюйгенса. 𝐹⃗ – сила натяжения нити в нижней точке траектории.
Закон сохранения энергии для тела в верхней и нижней точках траектории
записывается в виде:
Обратим внимание на то, что сила 𝐹⃗ натяжения нити всегда перпендикулярна
скорости тела; поэтому она не совершает работы. При минимальной скорости
вращения натяжение нити в верхней точке равно нулю и, следовательно,
центростремительное ускорение телу в верхней точке сообщается только силой
тяжести:
34
Из этих соотношений следует:
Центростремительное ускорение в нижней точке создается силами 𝐹⃗ и 𝑚𝑔⃗,
направленными в противоположные стороны:
Отсюда следует, что при минимальной скорости тела в верхней точке натяжение
нити в нижней точке будет по модулю равно: F = 6mg.
Прочность нити должна, очевидно, превышать это значение.
Очень важно отметить, что закон сохранения механической энергии позволил
получить связь между координатами и скоростями тела в двух разных точках
траектории без анализа закона движения тела во всех промежуточных точках.
Применение закона сохранения механической энергии может в значительной
степени упростить решение многих задач.
В реальных условиях практически всегда на движущиеся тела наряду с
силами тяготения, силами упругости и другими консервативными силами
действуют силы трения или силы сопротивления среды. Сила трения не является
консервативной. Работа силы трения зависит от длины пути. Если между телами,
составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, то механическая
энергия не сохраняется. Часть механической энергии превращается во
внутреннюю энергию тел (нагревание).
При любых физических взаимодействиях энергия не возникает и не
исчезает. Она лишь превращается из одной формы в другую.
Этот
экспериментально установленный факт выражает фундаментальный закон
природы – закон сохранения и превращения энергии.
Одним из следствий закона сохранения и превращения энергии является
утверждение о невозможности создания «вечного двигателя» (perpetuum mobile) –
машины, которая могла бы неопределенно долго совершать работу, не расходуя
при этом энергии (рис. 2.10).
Рис.2.10
35
Почему эта машина не будет работать? История хранит немалое число проектов
«вечного двигателя». В некоторых из них ошибки «изобретателя» очевидны, в
других эти ошибки замаскированы сложной конструкцией прибора, и бывает
очень непросто понять, почему эта машина не будет работать. Бесплодные
попытки создания «вечного двигателя» продолжаются. Все эти попытки обречены
на неудачу, так как закон сохранения и превращения энергии «запрещает»
совершение работы без затраты энергии.
Момент импульса, момент инерции,
mivi
момент
силы.
Сохранение
момента
Li
импульса материальной точки при действии
центральной силы.
mi
Положение в пространстве i-точки
ri
тела определяется радиусом-вектором ri ,
0
проведенным из центра О в эту точку
Рис. 2.11
(рис.2.11). Обозначим через Fik силу,
действующую на i-ю точку тела со стороны
k-ой его точки, и через Fi – равнодействующую всех внешних сил, приложенных
к i-й точке. По второму закону Ньютона уравнение движения этой материальной
точки имеет следующий вид:
n
d
(mi vi )   Fik  Fi ;
dt
k 1
k i
(k≠i, т.к. i-я точка сама на себя не действует).
Умножим обе части этого уравнения векторно на ri :
n
d
[ri , mi vi ]  [ri ,  Fik ]  [ri , Fi ].
dt
k 1
(2.15)
k i
Векторное произведение радиуса-вектора ri материальной точки на ее импульс
mi vi называется моментом импульса Li этой материальной точки относительно
точки О:
(2.16)
Li  [ri , mi vi ] .
Вектор Li называют также моментом
количества движения материальной точки.
Он
направлен
перпендикулярно
к
Fi
плоскости, проведенной через векторы ri и
Mi
mi vi , и образует с ними правую тройку
αi
векторов: при наблюдении из конца Li
mi
ri
видно, что вращение от ri к mi vi по
0
кратчайшему
расстоянию
происходит
li
против часовой стрелки.
Векторное произведение радиусаРис.2.12
вектора ri , проведенного из центра О в
точку приложения внешней силы Fi
36
(рис. 2.12), на эту силу, называется моментом M i силы Fi относительно точки О:
(2.17)
M i  ri , Fi .
Векторы ri , Fi и M i также образуют правую тройку. Модуль момента силы, как
следует из рисунка, равен:
M i  Fi li  Fi ri sin  i ,
где li – плечо силы Fi , т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки О на
линию действия силы.
Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения
называется физическая величина, равная произведению массы mi материальной
точки на квадрат расстояния до рассматриваемой оси:
J z  mi ri 2
Проведя несложные преобразования, можно получить формулу, связывающую
⃗⃗⃗, момент инерции J материальной точки относительно центра
момент силы ⃗М
вращения и угловое ускорение 𝜀⃗ вращения:
⃗⃗⃗ = 𝐽𝜀⃗,
𝑀
(2.18)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∆𝜔
где 𝜀⃗⃗⃗ = .
∆𝑡
если силы, действующие на материальную точку, являются центральными, то
⃗⃗⃗ = 0, т.е. 𝐽𝜀⃗ =0. И если 𝑗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, то:
𝑀
𝑗𝑧 𝜔𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
(2.19)
Таким образом, момент импульса импульса материальной точки сохраняется
неизменным, если к ней приложены центральные силы (закон сохранения
момента импульса).
2.4 Динамика системы материальных точек. Законы сохранения
план лекции
Движение системы; центр масс системы; движение центра масс системы.
Закон сохранения импульса, его следствия. Консервативные и неконсервативные
системы; Закон сохранения механической энергии в консервативной системе.
Упругое и неупругое взаимодействия.
Из второго и третьего законов Ньютона вытекает закон сохранения
импульса замкнутой системы.
Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое
целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между
материальными точками механической системы называются внутренними. Силы,
с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются
внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы
(они взаимно уравновешиваются), называется замкнутой или изолированной. В
такой системе необходимо учитывать только силы взаимодействия между
входящими в нее телами (внутренние силы). Строго говоря, изолированных
механических систем в природе не существует.
Рассмотрим изолированную механическую систему, состоящую из n тел с
массами m1, m2,…, mn. Обозначим скорости этих тел через v1 , v2 ,, vn , а
внутреннюю силу, действующую на i-е тело со стороны k-го, - через F ik .
37
На основании второго закона Ньютона можно составить следующую систему
уравнений движения всех тел системы:
d
 dt (m1v1 )  F12  F13  ...  F1n ;

 d (m v )  F  F  ...  F ;
2 2
21
23
2n
 dt
..........................................

 d (m v )  F  F  ...  F
n1
n2
n ( n 1) .
 dt n n
Складывая почленно эти уравнения и группируя силы F ik и F ki , получим:
 dt m v   F
 
i
i 1
i

 F21  F13  F31    F( n1) n  Fn ( n1) .
d
n
12
Согласно третьему закону Ньютона Fik =- Fki , поэтому все скобки в правой части
этого уравнения равны нулю, т.е.
d n
d
mi vi   0, или  mi vi  0 .

dt i 1
i 1 dt
n
n
Векторная сумма
m v
i 1
образом,
i
i
 p представляет собой импульс всей системы. Таким
dp
 0, или
dt
p   mi vi   const.
n
(3.1)
i 1
Выражение (3.1) представляет собой закон сохранения импульса: импульс
замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.
Закон сохранения импульса справедлив не только в классической механике;
он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц, т.е. действует и в
квантовой механике. Другими словами, этот закон носит универсальный характер
и является фундаментальным законом природы.
Закон сохранения импульса является следствием однородности
пространства: при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы
тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, т.е. не
зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.
В классической механике из-за независимости массы от скорости импульс
системы можно выразить через скорость ее центра масс.
Скорость i-й материальной точки связана с ее радиусом-вектором ri
соотношением:
vi 
d ri
.
dt
Следовательно,
38
n
d ri d n
  mi ri .
dt
dt i 1
i 1
Центром масс или центром инерции системы материальных точек называется
воображаемая тоска С, положение которой характеризует распределение массы
этой системы. Ее радиус-вектор равен:
p   mi
n
rc 
m r
i i
i 1
m
,
n
где m   mi  масса системы.
i 1
Скорость центра масс определяется выражением:
n
n
d ri
m
mi vi

i
d rc 
p
dt
i 1
i 1
vc 


 ,
dt
m
m
m
т.е.
(3.2)
p  mvc .
Другими словами, импульс системы равен произведению массы системы на
скорость ее центра инерции.
Подставив выражение (3.1) в (3.2), получим:
dv
dp
 m c  0,
dt
dt
т.е. в изолированной механической системе центр масс находится в покое или
движется равномерно и прямолинейно.
Если система незамкнутая (на нее действуют помимо внутренних и внешние
силы), то выражение (3.1) с учетом (3.2) запишется следующим образом:
dv
dp
m c F,
dt
dt
или
m ac  F ,
(3.3)
где ac  d vc  ускорение центра масс.
dt
Из (3.3) вытекает закон (теорема) движения центра масс: центр масс системы
движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и
на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил,
приложенных к системе.
Энергия, работа, мощность
Единая мера различных форм движения материи называется энергией.
Энергия системы материальных тел характеризует эту систему с точки зрения
возможных в ней количественных и качественных превращений движения. Эти
превращения обусловлены как взаимодействием тел системы между собой, так и с
внешними по отношению с системе телами.
39
Движение является неотъемлемым свойством материи. Поэтому всякое тело
обладает энергией, являющейся мерой его движения. Для количественной
характеристики качественно различных форм движения, изучаемых в физике,
вводятся соответствующие им виды или формы энергии – механическая,
внутренняя, электромагнитная и другие.
Причиной изменения состояния механического движения тела, а,
следовательно, и его энергии, является взаимодействие тела с другими телами.
Для характеристики воздействия этих тел на рассматриваемое тело в механике
введено понятие силы. Поэтому можно говорить, что изменение движения и
энергии вызывается силами. Процесс изменения энергии тела под действием силы
называется процессом свершения работы, а приращение энергии тела в этом
процессе
называется
работой,
совершенной силой. Опыт показывает, что
сила, приложенная к телу, совершает
F
работу только тогда, если тело при этом
Fn
перемещается.
Из курса физики средней школы известно,
α
что при прямолинейном поступательном
v
Fτ
движении тела работа, совершаемая
постоянной силой F , тем больше, чем
F ,
больше
составляющая
силы
Рис. 3.1
касательная к траектории и чем больше
путь s, пройденный телом за время
действия силы:
.
A  F s  Fs  cos 
(3.4)
F
v
В общем случае сила может изменяться как
по величине, так и по направлению, поэтому
формула (3.4) является лишь одним из
частных случаев. Однако если рассматривать
достаточно малое перемещение, то движение
материальной
точки
можно
считать
прямолинейным, а силу – постоянной.
Поэтому элементарная работа, совершаемая
силой F на перемещении d r равна:
dA  F d r  F cos   ds  F ds.
(3.4')
.
.
Fτ
dr
1
.
2
Рис. 3.2
Работа, совершаемая силой F на конечном пути s (путь 1-2 на рис. 3.2), равна
алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых
участках:
S
S
0
0
A   F cos  ds   F ds.
40
(3.5)
Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость Fs  f (s) . Очевидно, что
работа, совершаемая силой F на пути 0-s, численно измеряется площадью,
заштрихованной на рис. 3.3. Если сила F  не зависит от s ( F  const), то A  FS s .
Из выражения (3.4') следует, что сила, действующая на тело, не совершает
работы, если:
а) тело покоится (ds=0);
Fτ
б) сила перпендикулярна к направлению
dA
Fs=f(s)
0
перемещения тела (   90 , F  0 ).
Если угол   90 0 , то работа силы F
F
положительна
(составляющая
совпадает по направлению с вектором
скорости v ), поэтому в данном случае
A
s
силу F называют движущей силой. Если
0
ds
угол   90 0 , то работа силы F
отрицательна ( F  и v противоположны
по направлению) и силу F называют
Рис. 3.3
силой сопротивления (например, сила
трения).
Единица работы – джоуль (Дж): 1 Дж – это работа, совершаемая силой в 1 Н на
пути в 1 м: 1 Дж = 1 Н·м.
Если на тело, движущееся поступательно, одновременно действует несколько сил
(рис. 3.4), то работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ
составляющих сил:
F cos  F1 cos 1  F2 cos 2 ;
dA  F cos  ds  F1 cos 1 ds  F2 cos 2 ds  dA1  dA2 .
F
Если работа, совершаемая силой F при
перемещении
точки
из
одного
F2
произвольного положения 1 в другое
произвольное положение 2 (рис. 3.5), не
зависит от траектории перемещения, т.е.
выполняется условие:
F1
α
А1-2 = А1-а-2 = А1-b-2 ,
α2
v
α1
то такая сила называется консервативной
(или потенциальной).
Из уравнения (3.4) следует, что
Рис. 3.4
изменение направления движения вдоль
траектории
на
противоположное
вызывает изменение знака работы (cos  меняет свой знак). Поэтому при
перемещении материальной точки вдоль замкнутой траектории L, например, 1-a2-b-1, работа консервативной силы тождественно равна нулю:
.
41
 F , d r   A
1 a  2
 A2  b 1  0.
(3.6)
L
Примерами консервативных сил являются силы
а
всемирного
тяготения,
силы
упругости,
силы
электростатического взаимодействия.
Все силы, не удовлетворяющие условию (3.6) (т.е.
работа этих сил зависит от траектории перемещения
1
2
точки),
называются
неконсервативными
или
диссипативными. Примером таких сил являются силы
трения, которые всегда направлены в сторону,
противоположную направлению движения ( cos  1 ).
b
Поэтому работа сил трения при перемещении
материальной точки вдоль замкнутой траектории всегда
Рис. 3.5
отрицательна и никогда не равна нулю.
Для характеристики скорости совершения работы
силой F , вводится понятие мощности, численно равной работе, совершаемой
силой за единицу времени:
dA
(3.7)
P
.
dt
Подставляя в (3.4) выражение (3.4′) для элементарной работы, получим:
ds
(3.8)
P  F cos   F cos  v  F v  F  v.
dt
Следовательно, мощность (мгновенная мощность) силы равна
произведению касательной составляющей силы и скорости движения, т.е.
скалярному произведению векторов силы и скорости. Если P≠const, то
пользуются понятием средней мощности за некоторый промежуток времени t, в
течение которого сила совершила работу А:
A
(3.9)
Pcp  .
t
Виды механической энергии
В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную.
Кинетической энергией называют механическую энергию всякого свободно
движущегося тела и измеряют ее той работой, которую могло бы совершить тело
при его торможении до полной остановки.
Пусть тело В, движущееся со скоростью v , начинает взаимодействовать с другим
телом С и при этом тормозится. Следовательно, тело В действует на тело С с
некоторой силой F и на элементарном участке пути ds совершает работу:
dA  F ds.
По третьему закону Ньютона на тело В одновременно действует сила  F ,
касательная составляющая которой  F вызывает изменение численного
значения скорости тела. Согласно второму закону Ньютона:
 F  m
dv
.
dt
42
Следовательно,
dA  m
dv
ds
 ds  m dv  mvdv.
dt
dt
Работа, совершаемая телом до полной его остановки равна:
0
mv 2
A    mvdv
2
v
Итак, кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна половине
произведения массы этого тела на квадрат его скорости:
mv 2
Ek  A 
.
2
(3.10)
Из формулы (3.10) видно, что кинетическая энергия тела не может быть
отрицательной ( E k  0 ).
Если система состоит из n поступательно движущихся тел, то для ее остановки
необходимо затормозить каждое из этих тел. Поэтому полная кинетическая
энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех входящих
в нее тел:
mi vi2
Ek   Eki  
.
2
i 1
i 1
n
n
(3.11)
Из формулы (3.11) видно, что Еk зависит только от величины масс и скоростей
движения, входящих в нее тел. При этом неважно, каким образом тело массой mi
приобрело скорость v i . Другими словами, кинетическая энергия системы есть
функция состояния ее движения.
Скорости v i существенно зависят от выбора системы отсчета. При выводе
формул (3.10) и (3.11) предполагалось, что движение рассматривается в
инерциальной системе отсчета, т.к. иначе нельзя было бы использовать законы
Ньютона. Однако, в разных инерциальных системах отсчета, движущихся
относительно друг друга, скорость v i i-го тела системы, а, следовательно, его E ki
и кинетическая энергия всей системы будут неодинаковы. Таким образом,
кинетическая энергия системы зависит от выбора системы отсчета, т.е. является
величиной относительной.
Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел,
определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия
между ними. Численно потенциальная энергия системы в данном ее положении
равна работе, которую произведут действующие на систему силы при
перемещении системы из этого положения в то, где потенциальная энергия
условно принимается равной нулю (Еп = 0). Понятие «потенциальная энергия»
имеет место только для консервативных систем, т.е. систем, у которых работа
действующих сил зависит только от начального и конечного положения системы.
Так, для груза весом P, поднятого на высоту h, потенциальная энергия будет
равна:
E n  P  h (Еп = 0 при h = 0);
43
для груза, прикрепленного к пружине:
En  kl 2 / 2 ,
где l - удлинение (сжатие) пружины, k – ее коэффициент жесткости (Еп = 0 при l
= 0); для двух частиц с массами m1 и m2 , притягивающимися по закону
всемирного тяготения:
mm
E n    1 2 ,
r
где γ – гравитационная постоянная, r – расстояние между частицами (Еп= 0 при
r   ).
Рассмотрим потенциальную энергию системы Земля – тело массой m,
поднятого на высоту h над поверхностью Земли. Уменьшение потенциальной
энергии такой системы измеряется работой сил тяготения, совершаемой при
свободном падении тела на Землю. Если тело падает по вертикали, то:
 E n  E n  E no  P  h  mgh ,
где Еno – потенциальная энергия системы при h = 0 (знак «-» показывает, что
работа совершается за счет убыли потенциальной энергии).
Если это же тело падает по наклонной плоскости длиной l и с углом наклона
 к вертикали ( l  cos   h) , то работа сил тяготения равна прежней величине:
A  P  l cos  mgh.
Если, наконец, тело движется по произвольной криволинейной траектории,
то можно представить себе эту кривую состоящей из n малых прямолинейных
участков l i . Работа силы тяготения на каждом из таких участков равна:
Ai  P  l i cos  i  P  hi .
На всем криволинейном пути работа сил тяготения, очевидно, равна:
n
n
i 1
i 1
A   Ai   Phi  P  h  mgh.
Итак, работа сил тяготения зависит только от разности высот начальной и
конечной точек пути.
Таким образом, тело в потенциальном (консервативном) поле сил обладает
потенциальной энергией. При бесконечно малом изменении конфигурации
системы работа консервативных сил равна приращению потенциальной энергии,
взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли
потенциальной энергии:
dA  dE п .
В свою очередь работа dA выражается как скалярное произведение силы F на
перемещение dr , поэтому последнее выражение можно записать следующим
образом:
(3.12)
Fdr  dEп .
Следовательно, если известна функция Еп(r), то из выражения (3.12) можно найти
силу F по модулю и направлению.
Для консервативных сил:
П
П
П
Fx  
, Fy  
, Fz  
,
x
z
y
или в векторном виде
44
F   grad П,
где
П
П
П
(3.13)
i
j
k.
x
y
z
Вектор, определяемый выражением (3.13), называется градиентом скалярной
функции П; i , j, k - единичные векторы координатных осей (орты).
Конкретный вид функции П (в нашем случае Еп) зависит от характера
силового поля (гравитационное, электростатическое и т.п.), что и было показано
выше.
Полная механическая энергия W системы равна сумме ее кинетической и
потенциальной энергий:
W  Ek  En .
Из определения потенциальной энергии системы и рассмотренных
примеров видно, что эта энергия, подобно кинетической энергии, является
функцией состояния системы: она зависит только от конфигурации системы и ее
положения по отношению к внешним телам. Следовательно, полная механическая
энергия системы также является функцией состояния системы, т.е. зависит только
от положения и скоростей всех тел системы.
Закон сохранения энергии в механике
Путь к правильному пониманию переходов движения из одной формы в
другую был намечен М.В. Ломоносовым, который сформулировал закон
сохранения массы вещества при химических превращениях и закон сохранения
материи и движения. Количественную формулировку закона сохранения и
превращения энергии дали немецкие ученые Ю. Майер и Г. Гельмгольц (XIX в.):
в замкнутой системе энергия может переходить из одних видов в другие и
передаваться от одного тела к другому, но ее общее количество остается
неизменным.
Закон сохранения и превращения энергии является одним из
фундаментальных законов природы, справедливым как для систем
макроскопических тел, так и для систем элементарных частиц. Он является
выражением вечности и неуничтожимости движения в природе, которое лишь
переходит из одной формы в другую.
В замкнутой системе тел, силы взаимодействия между которыми
консервативны (потенциальны), отсутствуют
взаимные превращения
механической энергии в другие виды энергии. Такие системы называются
замкнутыми консервативными и для них справедлив закон сохранения энергии в
механике: механическая энергия замкнутой консервативной системы не
изменяется в процессе ее движения:
W  E k  E n  const.
(3.14)
Для записи этого закона рассмотрим систему материальных точек максами m1, m2,



. mn, движущихся со скоростями v 1 , v 2 ,..., v n . Пусть F 1 , F 2 ,  , F n равнодействующие внутренних консервативных сил, действующие на каждую из
этих точек, а F1 , F2 ,..., Fn - равнодействующие внешних сил, которые также будем
считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки
gradП 
45
действует еще и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил,
действующих на каждую из материальных точек, обозначим f 1 , f 2 ,  , f n . При
v  c массы материальных точек постоянны и уравнения движения этих точек по
второму закону Ньютона имеют следующий вид:
 dv 1
m1 dt  F1  F1  f 1 ;

m dv 2  F   F  f ;
 2
2
2
2
(3.15)
dt

...............................

 dv n

m n dt  Fn  Fn  f n .
Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают
перемещения d r1 , d r 2 ,  , d r n . Умножим каждое уравнение системы (3.15) на
соответствующее перемещение:
 dv1
m1 dt dr1  ( F1  F1 )dr1  f 1 dr1 ;

m dv 2 dr  ( F   F )dr  f dr ;
 2
2
2
2
2
2
2
dt

................................................

 dv n

m n dt drn  ( Fn  Fn )drn  f n drn .
dri
Учитывая, что v i 
, d r i  v i dt , получим:
dt
m1 (v1 dv1 )  ( F1  F1 )dr1  f 1 dr1 ;

m 2 (v 2 dv 2 )  ( F2  F2 )dr2  f 2 dr2 ;

................................................
m (v dv )  ( F   F )dr  f dr .
 n n n
n
n
n
n
n
Складывая эти уравнения, получим:
n
 m (v d v
i 1
i
i

n
i
n
)  ( F i  F i ) d r i   f i d r i .
i 1
(3.16)
i 1
Первый член левой части (3.16) представляет собой приращение кинетической
энергии системы:
2
m vi
mi (v i d v i )   d ( i )  dEk .

i 1
i 1
2
n
Второй член

n
 (F
i
n
 F i )d r i равен элементарной работе внутренних и внешних
i 1
консервативных сил, т.е. равен элементарному приращению потенциальной
энергии dEк.
46
Правая часть уравнения (3.16) задает работу внешних неконсервативных сил,
действующих на систему. Таким образом, имеем:
d ( E k  E n )  dA
(3.17)
При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2
2
 d (E
k
 E n )  A12 ,
1
т.е изменение полной механической энергии системы при переходе из одного
состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними
неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют,
E k  E n  W  const, что и
то из (3.17) следует, что d ( E k  E n )  0,
откуда
требовалось доказать.
Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени,
т.е. инвариантностью физических законов относительно выбора начала отсчета
времени.
Механические системы, на тела которых действуют только
консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными
системами. Системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается
за счет преобразования в другие виды энергии, называются диссипативными
(диссипация – рассеяние энергии).
Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными и в них
закон сохранения механической энергии нарушается. Однако при изменении
механической энергии всегда
Eп
возникает
эквивалентное
количество энергии другого
вида. Таким образом, энергия
никогда не исчезает и не
появляется вновь, она лишь
превращается из одного вида
D
в другой. В этом состоит
физическая сущность закона
W
G
A
C
W
сохранения и превращения
B
энергии
–
сущность
неуничтожимости материи и
I
II
III
ее движения.
Во
многих
задачах
xA xO xC
x*
x
рассматривается одномерное
движение тела, потенциальная
Рис. 3.6
энергия которого является
функцией
лишь
одной
переменной (например, координаты х), т.е. Еп = f(х). График зависимости
потенциальной энергии от некоторого аргумента называется потенциальной
кривой, анализ которой позволяет определить характер движения тела.
В общем случае потенциальная кривая может иметь достаточно сложный вид,
например, с несколькими максимумами и минимумами (рис. 3.9).
Проанализируем эту потенциальную кривую в предположении, что система
47
консервативна и в ней выполняется закон сохранения энергии в форме (3.14).
Если W- заданная полная энергия тела, то тело может находиться только там, где
Еп(х) ≤W, т.е. в областях I и III. Переходить из области I в область III и обратно
тело не может, так как ему препятствует потенциальный барьер CDG, ширина
которого равна интервалу значений х, при которых Еп >W, а его высота
определяется разностью Епmax-W. Для того чтобы тело смогло преодолеть
потенциальный барьер, ему необходимо сообщить дополнительную энергию,
равную высоте барьера или превышающую ее. В области I тело с полной энергией
W оказывается «запертым» в потенциальной яме ABC и совершает колебания
между точками с координатами хА и хС.
В точке В с координатой хО потенциальная энергия тела минимальна. Так как
Е
действующая на тело сила Fx   п , а условие минимума потенциальной
x
Е п
 0 , то в точке В Fx=0. При смещении тела из положения хО в
энергии
x
результате малых возмущений в системе оно испытывает действие возвращающей
силы, поэтому положение хО является положением устойчивого равновесия.
Указанные условия выполняются и для точки х * (для Епmax). Однако эта точка
соответствует положению неустойчивого равновесия, так как при малых
возмущениях в системе появляется сила, стремящаяся удалить тело от этого
положения. Таким образом, в состоянии устойчивого равновесия замкнутой
консервативной системы ее потенциальная энергия имеет минимальное значение,
а в состоянии неустойчивого равновесия – максимальное значение.
Рассмотрим применение закона сохранения полной механической энергии
к расчету абсолютно упругого прямого центрального удара двух шаров.
Абсолютно упругим называется такой удар, в результате которого не происходит
превращения механической энергии системы соударяющихся тел в другие виды
энергии.
m2
m1
v2
v1
m2
m1
u1
a
u2
б
Рис. 3.7
Пусть два абсолютно упругих шара массами m1 и m2 до удара движутся
поступательно со скоростями v1 и v 2 , направленными в одну сторону вдоль линии
их центров, причем v 1  v 2 (рис. 3.7, а). Требуется найти скорости шаров u 1 и u 2
после их соударения (рис. 3.7, б).
По закону сохранения энергии в механике имеем:
48
2
m1 v12
m 2 v 22
m1 u12
 m2 u 2

 E n1 
 En2 
 E n1 
 En2 .
2
2
2
2
(3.18)
Шары движутся в горизонтальной плоскости, поэтому их потенциальная энергия
в поле тяготения Земли при ударе не изменяется, т.е.


E n1  E n 2  E n1  E n 2 .
Тогда из уравнения (3.18) получаем:
m1 v12  m2 v 22  m1u12  m2 u 22 .
(3.19)
С другой стороны, по закону сохранения импульса:
m1 v 1  m 2 v 2  m1 u 1  m 2 u 2 .
(3.20)
При центральном ударе векторы скоростей u 1 , u 2 , v 1 и v 2 направлены вдоль
одной прямой. Поэтому в уравнении (3.20) можно перейти от векторов к их
модулям:
m1 v1  m 2 v 2  m1 u1  m 2 u 2 .
(3.21)
Решая совместно уравнения (3.19) и (3.20), получим:
v1 (m1  m 2 )  2m 2 v 2

;
u1 
m1  m 2

(3.22)

v
(
m

m
)

2
m
v
1
1 1
u  2 2
.
2

m1  m 2
Анализ уравнений (3.22) позволяет сделать следующие выводы:
1) Если массы шаров одинаковы (m1=m2=m), то u 1  v 2 и u 2  v1 , т.е. при ударе
шары обмениваются скоростями;
2) если масса второго шара m2>>m1, то
 v1 m 2  2 m 2 v 2
u1 
 2v 2  v1 ; u 2  v 2 .
m2
Если при этом второй шар был до удара неподвижен ( v 2  0 ), то u1  v1 ; u 2  0 ,
т.е. первый шар отскакивает от неподвижного массивного шара и движется в
обратную сторону со скоростью u 1  v 1 .
Как отмечалось, система тел называется диссипативной, если ее
механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие
(немеханические) формы энергии. В качестве примера рассмотрим диссипацию
энергии при абсолютно неупругом прямом центральном ударе двух
поступательно движущихся шаров (удар называется абсолютно неупругим, если
после удара тела движутся как одно целое, т.е. с одной и той же скоростью).
Общая скорость обоих шаров после удара по закону сохранения импульса
равна:
m1 v1  m 2 v 2  u (m1  m 2 );
49
u
m1 v1  m 2 v 2
.
m1  m 2
(3.23)
Если шары движутся в горизонтальной плоскости, то их потенциальная энергия
Еn остается неизменной. Полная механическая энергия системы до удара:
m1 v12 m 2 v 22
W1 

 En .
2
2
После удара она будет равна:
(m1  m 2 )u 2
W2 
 En ,
2
или, с учетом (3.23):
m1 v1  m2 v 2 2
(m1  m 2 )(m1 v1  m 2 v 2 ) 2
W2 
 En 
 En .
2(m1  m 2 ) 2
2(m1  m 2 )
Найдем изменение полной механической энергии системы в результате
неупругого удара:
m1 v1  m 2 v 2 2 m1 v12 m 2 v 22
W  W 2  W1 



2(m1  m 2 )
2
2
m12 v12  2m1 m 2 v1 v 2  m 22 v 22  (m1  m 2 )m1 v12  (m1  m 2 )m 2 v 22


2(m1  m 2 )
m12 v12  2m1 m 2 v1 v 2  m 22 v 22  m12 v12  m1 m 2 v12  m1 m 2 v 22  m 22 v 22


2(m1  m 2 )
m1 m 2 (v1  v 2 ) 2

 0.
2(m1  m 2 )
Таким образом, при неупругом ударе полная механическая энергия системы
уменьшается, т.е. часть ее рассеивается на деформацию соударяющихся тел. На
деформацию тел затрачивается работа, равная убыли полной механической
энергии системы:
m1 m 2
A
( v1  v 2 ) 2 .
2(m1  m 2 )
Если второе тело до удара было неподвижно ( v 2  0 ), то
m1 m 2
m2
A
v12 
 E k1 .
(3.24)
2(m1  m 2 )
m1  m 2
Неупругий удар на практике применяется для целей двоякого рода. Во-первых,
для изменения формы тела – ковки и штамповки металла, раздробления тел. В
этом случае важно, чтобы возможно большая часть кинетической энергии первого
тела затрачивалась на работу деформации (формула (3.24)), т.е. чтобы масса
неподвижного тела m2 (например, наковальни вместе с куском металла) была во
50
много раз больше массы ударяющего тела m1 (например, молота). Вторая цель
состоит в перемещении тел после удара и преодолении при этом сопротивлений
(забивка свай в землю, вбивание клиньев и т.п.). В этом случае выгодно, чтобы
работа, затрачиваемая на деформацию, была как можно меньше и чтобы общая
m1  m 2 u 2
кинетическая энергия обоих тел после удара (
) была наибольшей.
2
Для этого необходимо, чтобы масса ударяющего тела m1 (молота) была во много
раз больше массы второго тела m2 (сваи, гвоздя).
Краткие выводы
Динамика – раздел механики, предметом изучения которого являются законы
движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение.
В основе динамики материальной точки и поступательного движения твердого
тела лежат законы Ньютона. Первый закон Ньютона утверждает существование
инерциальных систем отсчета и формулируется следующим образом: существуют
такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущиеся тела
сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела или
действие других тел компенсируется.
Инерциальной называется система отсчета, относительно которой свободная
материальная точка, на которую не действуют другие тела, движется равномерно
и прямолинейно, или по инерции. Система отсчета, движущаяся относительно
инерциальной системы отсчета с ускорением, называется неинерциальной.
Свойство любого тела оказывать сопротивление изменению его скорости
называется инертностью. Мерой инертности тела при его поступательном
движении является масса.
Сила – это векторная физическая величина, являющаяся мерой механического
воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело
приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.
Второй закон Ньютона формулируется следующим образом: ускорение,
приобретаемое
телом
(материальной
точкой),
пропорционально
равнодействующей приложенных сил, совпадает с ней по направлению и обратно
пропорционально массе тела:
F
dv
a  , или F  ma  m .
m
dt
Более общая формулировка второго закона Ньютона гласит: скорость
изменения импульса тела (материальной точки) равна равнодействующей
приложенных сил:
F
dp
,
dt
где p  mv - импульс тела. Второй закон Ньютона справедлив только в
инерциальных системах отсчета.
Всякое действие материальных точек (тел) друг на друга взаимно. Силы, с
которыми действуют друг на друга материальные точки, равны по модулю,
противоположно направлены и действуют вдоль соединяющей точки прямой
(третий закон Ньютона):
51
F12   F21 .
Эти силы приложены к разным точкам, действуют парами и являются
силами одной природы.
В замкнутой механической системе выполняется фундаментальный закон
природы – закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы
материальных точек (тел) с течением времени не изменяется:
n
m v
i 1
i
i
 const,
где n – число материальных точек в системе. Замкнутой (изолированной)
называется механическая система, на которую не действуют внешние силы.
Закон сохранения импульса является следствием однородности
пространства: при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел
как целого ее физические свойства не изменяются.
Энергия – универсальная мера различных форм движения материальных объектов
и их взаимодействия. Количественной характеристикой процесса обмена энергией
между взаимодействующими телами является физическая скалярная величина –
работа сил.
Элементарная работа силы: dA  F d r  F cos   ds  F ds.
2
2
1
1
Работа силы на произвольном участке траектории 1-2: A   F cos  ds   F ds.
Мощность – физическая скалярная величина, характеризующая скорость
dA
совершения работы: P 
.
dt
Мощность, развиваемая силой F в данный момент времени, равна скалярному
произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка
F dr
 Fv.
приложения этой силы: P 
dt
Консервативная сила – сила, работа которой при перемещении из одного
положения в другое не зависит от траектории перемещения, а зависит только от
начального и конечного положений тела. Силовое поле, в котором
консервативные силы совершают работу, называется потенциальным полем.
Кинетическая энергия - механическая энергия всякого свободно движущегося
тела, численно равная работе, которую совершают действующие на тело силы при
mv 2
.
его торможении до полной остановки: E k  A 
2
Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их
взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Связь между консервативной силой F
и потенциальной энергией
устанавливается выражением: F   gradЕп,
Е
Е
Е
где gradЕп =  п i  п j  п k .
x
y
z
52
Отсюда, как частные случаи, определяются: а) потенциальная энергия тела массой
m на высоте h: Е п  mgh ; б) потенциальная энергия упругодеформированного
kx 2
тела: Е п 
, где k – коэффициент упругости (для пружины – жесткость).
2
Полная энергия механической системы – равна сумме кинетической и
потенциальной энергий: W  E k  E n .
Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы
(внутренние и внешние) называются консервативными системами. В таких
системах выполняется закон сохранения механической энергии: E k  E n  W 
const,
т.е. полная механическая энергия консервативной системы со
временем не изменяется. Это фундаментальный закон природы, который
является следствием однородности времени.
Система, в которой механическая энергия постепенно уменьшается за счет
преобразования в другие формы энергии, называется диссипативной. Строго
говоря, все системы в природе являются диссипативными. Однако при
уменьшении механической энергии всегда возникает эквивалентное количество
энергии другого вида. Другими словами, энергия никогда не исчезает и не
появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом
заключается физическая сущность всеобщего закона сохранения и превращения
энергии – неуничтожимость материи и ее движения.
Вопросы для самоконтроля и повторения
- Какие системы отсчета называются инерциальными? Почему система отсчета,
связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна?
- Какое свойство тела называется инертностью? Что является мерой инертности
тела при его поступательном движении?
- Что такое сила, чем она характеризуется?
- Какие основные задачи решает ньютоновская динамика?
- Сформулируйте законы Ньютона. Является ли первый закон Ньютона
следствием второго закона?
- В чем заключается принцип независимости действия сил?
- Что называется механической системой? Какие системы являются замкнутыми
(изолированными)?
- Сформулируйте закон сохранения импульса. В каких системах он выполняется?
- Каким свойством пространства обусловлена справедливость закона сохранения
импульса?
- Что такое энергия, работа, мощность?
- Как определяется работа переменной силы?
- Какие силы называются консервативными? Приведите примеры консервативных
сил.
- Какие силы называются диссипативными? Приведите примеры таких сил.
- Дайте определения кинетической и потенциальной энергии.
- В чем заключается закон сохранения механической энергии? Для каких систем
он выполняется?
- Каким свойством времени обусловлена справедливость закона сохранения
механической энергии?
53
- В чем физическая сущность закона сохранения и превращения энергии? Почему
он является фундаментальным законом природы?
- Как на основе закона сохранения механической энергии охарактеризовать
положения устойчивого и неустойчивого равновесия консервативной системы?
- Что такое потенциальная яма? потенциальный барьер?
2.5 Механика твердого тела
План лекции
Момент импульса; закон сохранения момента импульса замкнутой системы.
Роль законов сохранения в физике. Реактивное движение, уравнения Мещерского
и Циолковского.


m
w

F
Уравнение движения каждой материальной точки системы
i i
i
умножим слева векторно на радиус- вектор этой точки ri . Учитывая определения


 



M

r
m
v
момента импульса
и момента силы r F  L , получаем:
i
 



M i  Lii   Lie  ,
i 
e 
здесь Li - момент импульса внутренних сил; Li - момент импульса внешних
сил

Li  

 
  







r
F

r
F

r

  r F .
N
N
i
j i
j ij
i
j
ji
i 1 j 1
i 
Учитывая третий закон Ньютона, имеем: L  0. Таким образом, получаем:


M  Le  .
Закон изменения кинетического момента системы читается так:
Производная по времени кинетического момента системы равна сумме моментов
всех внешних сил, действующих на систему.
e 
Если Lz  0, то M z  Const.
 e 
e 

F

0

L

0

M
В случае замкнутой системы
0  Const. Мы получили
закон сохранения момента импульса замкнутой системы. Под действием
внутренних сил кинетический момент замкнутой системы не изменяется.
Движение тел переменной массы. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского
В природе и современной технике мы нередко сталкиваемся с движением
тел, масса которых меняется со временем. Масса земли возрастет вследствие
падения на нее метеоритов, масса метеорита при полете в атмосфере уменьшается
в результате отрыва или сгорания его частиц, масса дрейфующей льдины
возрастет при намерзании и убывает при таянии и т. д. Движение якоря с якорной
цепью, когда все большее число звеньев цепи сходит с лебедки, -пример
движения тела переменной массы. Ракеты всех систем, реактивные самолеты,
реактивные снаряды и мины также являются телами, масса которых изменяется во
время движения.
Общие законы динамики тел с переменной массой были открыты и
исследованы И. В. Мещерским и К. Э. Циолковским. Циолковским были
разработаны фундаментальные проблемы реактивной техники, которые в наши
дни служат основной для штурма человеком межпланетных пространств.
54
Для вывода основного уравнения движения тела переменной массы
рассмотрим конкретный случай движения простейшей ракеты (рис.3.8).
Рис.3.8
Будем рассматривать ракету как достаточно малое тело, положение центра
тяжести которого не меняется по мере сгорания пороха. В этом случае можно
считать ракету материальной точкой переменной массы, совпадающей с центром
тяжести ракеты.
Не рассматривая физико-химическую природу сил, возникающих при
отбрасывании от ракеты газов, образованных при сгорании пороха, сделаем такое
упрощающее вывод предположение. Будем считать, что отбрасываемая от ракеты
частица газа dM взаимодействует с ракетой M только в момент их
непосредственного контакта. Как только частица dM приобретает скорость
относительно точки M, ее воздействие на нее прекращается. Предположим далее,
что изменение массы ракеты M происходит непрерывно, без скачков. (Это значит,
что мы не рассматриваем многоступенчатые ракеты, масса которых меняется
скачкообразно). Это предположение позволяет считать, что существует
производная от массы по времени.
Пусть в момент t масса ракеты M, а ее скорость относительно неподвижной
системы координат v (рис. 5). Положим, за время dt от ракеты отделилась частица
массы (-dM) со скоростью (относительно той же неподвижной системы
координат), равной u . Знак «минус» перед приращением массы указывает на то,
что приращение это отрицательное, масса ракеты убывает.
Положим, равнодействующая внешних сил, действующих на ракету (силы
тяжести и сопротивления среды), F. Как условились, в момент отделения частицы
массы (-dM) между ней и ракетой действует неизвестная нам реактивная сила F p .
Сила F p для системы ракета – частица является внутренней. Чтобы исключить ее
из рассмотрения, воспользуемся законом изменения импульса. Импульс системы
ракета – частица а момент t, т. е. перед отделением частицы:
P 0  M v.
Импульс системы в момент t  dt (после отделения частицы) складывается из
импульса частицы массой M   dM  , получившей скорость v  dv , и импульса
частицы массы – dM, летящей со скоростью u :
P  M   dM  v  dv   dM u
(3.25)


-dm
55
F p  v*
dm

v

Рис.3.9
Изменение импульса системы за время dt запишется:


d P  M  dM  v  dv  dM u  M v  vdM  udM  M dv
(мы отбросили член второго порядка малости dM  dv ). Величина d P должна быть
приравнена импульсу равнодействующей внешних сил:
(3.26)
M dv  udM  Fdt.
Отсюда, перегруппировав члены и разделив на dt, получим основное уравнение
движения точки переменной массы:
M
 
dv
dM
F  uv
.
dt
dt
Это уравнение называют уравнением Мещерского. Для ракеты
(3.27)
dM
 0 , так как при
dt
полете масса ее убывает. Если масса тела во время движения увеличивается, то
dM
0 .
dt
dM
 0 уравнение (3.25) переходит в уравнение второго закона
dt
для случая постоянной массы. Величина (u  v) есть скорость
При
Ньютона
выбрасываемых ракетой частиц относительно системы координат, движущейся с
ракетой. Эту скорость называют обычно относительной скоростью V. Тогда
равенство (3.25) запишется в виде
M
dv
dM
 F V
dt
dt
(3.28)
Второй член правой части равенства (3.28) представляет собой реактивную
силу, действующую на массу M со стороны вылетевшей частицы dM.
Для любого момента времени произведение массы тела на его ускорение
равно векторной сумме равнодействующей приложенных к телу внешних сил и
реактивной силы. При движении ракеты вблизи Земли равнодействующая
внешних сил представляет собой сумму силы тяжести и силы сопротивления
воздуха. Ускорение ракеты зависит еще и от реактивной силы, изменяя величину
и направление которой, можно управлять полетом ракеты. Если относительная
скорость отбрасываемых частиц равна нулю:
V  u v  0,
то из формулы(3.27) следует:
M
dv
F
dt
(3.29)
56
т. е. если относительная скорость отбрасываемых частиц равна нулю, то
уравнение движения точки переменной массы имеет формально тот же вид, что и
для точки постоянной массы, но в этом случае масса M- функция времени t.
Важный вклад в механику тел переменной массы применительно к
конкретным задачам реактивной техники внесен знаменитым русским ученым
Константином Эдуардовичем Циолковским. В 1903 г. была издана его работа
«Исследование мировых пространств реактивными приборами», в которой К. Э.
Циолковский исследовал ряд случаев прямолинейных движений ракет. К. Э.
Циолковским обоснована и доказана возможность практического использования
реактивного движения. Им найдены условия, при которых можно получить
скорости, достаточные для осуществления космического полета. Полученная им
формула, связывающая скорость ракеты с ее начальной массой, до сих пор
используется для предварительных расчетов. В работах 1911-1914 гг. он изучил
вопрос о величине запасов топлива, необходимых для преодоления сил тяготения
Земли, и предложил высококалорийное топливо, позволяющее получить большие
скорости истечения газовых струй. К. Э. Циолковского по праву считают
изобретателем жидкостных ракет дальнего действия и основоположником теории
межпланетных полетов. Ему принадлежит идея разработки теории так
называемых многоступенчатых ракет, когда на некоторых интервалах времени
масса ракеты меняется непрерывно, а в некоторые моменты – скачком. Им
проведены большие исследования по оценке сил сопротивления при движении
тел переменной массы. К. Э. Циолковским поставлен целый ряд оригинальных
проблем, имеющих решающее значение для развития реактивной техники.
Для того чтобы выяснить основные факторы, создающие возможность
реактивного движения с большими скоростями, рассмотрим движение точки
переменной массы в безвоздушном пространстве (отсутствует сопротивление
движению тела), без действия внешних сил (силы тяготения). Предположим, что
скорость истечения частиц направлена прямо противоположно вектору скорости
тела v . Эти условия соответствуют так называемой первой задаче Циолковского.
В результате получаем формулу Циолковского и следствие из нее. Найдем при
сделанных предположениях скорость движения тела (точки) и закон ее движения.
При сформулированных условиях уравнение движения приобретает вид:
M
dv
dM
 V
dt
dt
(3.30)
или
dv  V
dM
M
(3.31)
Положим, M  M 0 f t  , где f t  - функция, определяющая закон изменения массы.
Очевидно, так как начальная масса M  M 0 , то функция f t  при t  0 должна быть
f 0  1 . Подставив в (3.31) значение M и проинтегрировав, получим:
v  V ln f t   C.
Для определения постоянной С учтем, что при t  0 f 0  1 и v  v0 , тогда C  v0
и
57
v  v0  V ln f t   v0  V ln
M0
M
(3.32)
Эта формула носит название формулы Циолковского. Из формулы следует, что
скорость, приобретенная точкой переменной массы, зависит от относительной
скорости V и отношения начальной массы к остающейся к концу процесса
горения. Если масса точки в конце процесса горения M p , отброшенная масса
(масса топлива) – m, то при нулевой начальной скорости ( v0  0 ) получаем для
расчета скорости v1 в конце процесса горения выражение:
v1  V ln
Отношение
m
Z
Mp
Mp m
Mp

m 
 2,3V lg 1 
.
 M 
p 

называют число Циолковского. Для современных ракет
можно положить V  2000 м / сек. Тогда при числе Циолковского Z=0,250; 9,000;
32,333; 999,000 получим соответственно скорости v1  446;46,05; 70,13; 13,815м / сек .
Из формулы Циолковского (1.27) следует, что:
- скорость точки переменной массы в конце активного участка (в конце процесса
отбрасывания частиц) тем больше, чем больше скорость отбрасывания частиц;
- скорость в конце активного участка тем больше, чем больше число
Циолковского;
- скорость точки переменной массы в конце активного участка не зависит от
закона изменения массы (режима горения). Заданному числу Циолковского
соответствует определенная скорость точки в конце процесса горения независимо
от того, быстро или медленно шло горения. Это следствие является проявлением
закона сохранения импульса;
- для получения возможно больших скоростей точки переменной массы в конце
активного участка выгоднее идти по пути увеличения относительной скорости
отбрасывания частиц, чем по пути увеличения запасов топлива.
2.6 Поступательное и вращательное движение твердого тела
План лекции
Абсолютно твердое тело; поступательное и вращательное движения твердого
тела; мгновенные оси вращения; понятие о степенях свободы. Вращение
относительно неподвижной оси, момент силы относительно оси. Пара сил,
момент пары. Момент инерции и момент импульса твердого тела.
Всякое твердое тело можно рассматривать как систему из n материальных
точек и масса m тела есть сумма масс всех этих точек:
n
m   mi .
i 1
Будем считать, что тело абсолютно твердое, т.е. расстояния между любыми
двумя его материальными точками не изменяются в процессе движения.
Для кинематического описания вращательного движения абсолютно
твердого тела вокруг какой-то неподвижной оси используются те же величины (и
уравнения связи между ними), что и для описания движения точки по
окружности. При вращательном движении абсолютно твердого тела вокруг
неподвижной оси за промежуток времени ∆t углы поворота радиус-векторов
58
различных точек тела одинаковы. Угол поворота ∆φ, средняя ωcp и мгновенная ω
угловые скорости характеризуют вращательное движение всего абсолютно
твердого тела в целом.
Линейная скорость υ какой-либо точки абсолютно твердого тела
пропорционально расстоянию R точки от оси вращения:
При равномерном вращательном движении абсолютно твердого тела углы
поворота тела за любые равные промежутки времени одинаковы (∆φ = const) и
мгновенная угловая скорость тела равна средней угловой скорости (ω = ωcp).
Тангенциальные ускорения aτ у различных точек абсолютно твердого тела
отсутствуют (aτ = 0), а нормальное (центростремительное ) ускорение an какойлибо точки тела зависит от ее расстояния R до оси вращения:
Вектор an направлен в каждый момент времени по радиусу траектории точки к
оси вращения.
При неравномерном вращательном движении абсолютно твердого тела углы
поворота тела за любые равные промежутки времени неодинаковы. Угловая
скорость тела ω с течением времени изменяется.
Средним угловым ускорением εср в промежутке времени ∆t = t2 - t1 называется
физическая величина, равная отношению изменения угловой скорости ∆ω = ω2 ω1 вращающегося тела за промежуток времени ∆t к длительности этого
промежутка:
Если угловая скорость за произвольные одинаковые промежутки времени
изменяется одинаково ( ∆ω12 = ∆ω34 и т.д.), то εср = const (равнопеременное
вращение).
Угловым ускорением (мгновенным угловым ускорением) вращающегося тела в
момент времени t называется величина ε, равная пределу, к которому стремится
среднее угловое ускорение за промежуток времени от t до t + ∆t при бесконечном
уменьшении ∆t, или, угловое ускорение - это первая производная от угловой
скорости по времени или вторая производная от угла поворота по времени:
Изменение ∆ω угловой скорости абсолютно твердого тела за промежуток
времени ∆t = t - t0 при равнопеременном вращательном движении с угловым
ускорением ε: ∆ω = ε·∆t = ε(t - t0). Если при t0 = 0 начальная угловая скорость тела
равна ω0, то в произвольный момент времени t угловая скорость тела будет ω = ω 0
+ ε·t.
Угол поворота ∆φ тела вокруг оси за промежуток времени ∆t = t - t0 при
равнопеременном движении:
59
Тангенциальная составляющая ускорения: 𝑎𝜏 =
поэтому:
𝑎𝜏 =
𝑑(𝜔𝑅)
𝑑𝑡
𝑑𝑣
𝑑𝑡
-; υ = ω·R,
=𝑅
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑅𝜀
Нормальная составляющая ускорения:
Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается
следующими формулами:
S = R·φ, υ = ω·R, aτ = R·ε, an = ω2·R.
Твердое - значит практически недеформируемое. Опыт показывает, что если
на какой-либо достаточно твердый предмет подействовать силой и заставить его
двигаться, то расстояния между любыми его точками останутся неизменными.
Хотя, конечно, под действием приложенных сил в теле возникнут внутренние
напряжения, причина которых - деформации отдельных его частей. Но если мы
говорим о твердом теле, то эти деформации оказываются настолько малыми, что
незаметны для глаза, и от них можно отвлечься. В итоге мы приходим к
идеализированной модели абсолютно твердого тела (в дальнейшем - просто
твердого тела), которое совершенно не способно деформироваться, хотя под
действием внешних сил в нем могут возникать определенные внутренние усилия.
Таким образом, твердое тело можно рассматривать как систему
материальных точек, относительные положения которых остаются неизменными.
Другими словами, все макроскопические элементы такого тела неподвижны в
системе координат, жестко связанной с телом. Именно это обстоятельство
позволяет значительно упростить решение кинематических задач и
конкретизировать многие общие понятия (импульс, момент импульса, энергия),
введенные ранее при рассмотрении системы материальных точек.
Степени свободы. Углы Эйлера.
Двигаясь в пространстве, твердое тело обладает определенными степенями
свободы.
Число степеней свободы - это число независимых величин, которые
необходимо задать для того, чтобы однозначно определить положение тела в
пространстве. В разных ситуациях число степеней свободы твердого тела может
быть различным. Если диск, не вращаясь, может скользить вдоль неподвижное в
данной системе отсчета оси (рис. 4.1а), то в данной системе отсчета он, очевидно,
обладает только одной степенью свободы - положение диска однозначно
определяется, скажем, координатой x его центра, отсчитываемой вдоль оси. Но
если диск, кроме того, может еще и вращаться (рис.4.1б), то он приобретает еще
одну степень свободы - к координате x добавляется угол 𝜑 поворота диска вокруг
оси. Если ось с диском зажата в рамке, которая может поворачиваться вокруг
вертикальной оси (рис. 4.1в), то число степеней свободы становится равным трем
- к x и 𝜑 добавляется угол поворота рамки.
60
Рис.4.1
Коробка, которая может перемещаться по поверхности стола (рис.4.2),
также обладает тремя степенями свободы - для однозначного определения ее
положения можно задать, например, координаты x, y ее центра и угол между
одним из ребер коробки и краем стола.
Рис.4.2.
Для того, чтобы однозначно задать положение твердого тела в
пространстве, надо зафиксировать три его точки, не лежащие на одной прямой.
Одна материальная точка имеет три степени свободы (три декартовы координаты
x, y, z). Две материальные точки, жестко связанные между собой, имеют 3 + 3 - 1
= 5 степеней свободы. В этом случае координаты точек x 1, y1, z1 и x2, y2, z2 не
являются независимыми величинами, так как имеется уравнение связи
где - расстояние между точками.
Таким образом, в общем случае для твердого тела получаем 3+3+3-3= 6
степеней свободы. При этом имеются три уравнения связи, выражающие
постоянство расстояний между каждой парой точек. Шесть параметров,
соответствующих шести степеням свободы твердого тела, можно задавать поразному.
Рис. 4.3.
Шести степеням свободы тела могут соответствовать, во-первых, три
координаты точки О (в лабораторной системе XYZ), а во-вторых, - три угла
𝜑, 𝜓, 𝜃 однозначно определяющие положение системы xyz относительно x0y0z0.
Эти углы называются углами Эйлера. Их смысл ясен из рис. 4.3, где ОА - линия
61
пересечения плоскостей Ox0y0 и Oxy, при этом нижнее основание твердого тела
(прямоугольного параллелепипеда) лежит в плоскости Oxy. Обычно их называют
так: 𝜑- угол собственного вращения (с изменением этого угла связан поворот
твердого тела вокруг оси z), 𝜓 - угол прецессии (поворот вокруг z0 с сохранением
угла между осями z0 и z),
- угол нутации (отклонение тела от оси z0).
Примеры с диском на оси и коробков (рис. 4.1, 4.2) показывают, что сложное
движение того или иного тела может быть представлено как суперпозиция
достаточно простых движений: поступательного перемещения и поворота
(вращения) вокруг оси.
Поступательное движение.
Поступательное движение - это такое движение, при котором любой
выделенный в теле отрезок остается параллельным самому себе.
Классическим примером на эту тему является движение кабинок колеса
обозрения (рис.4.4). Этот пример наглядно показывает, что поступательное
движение - совсем не обязательно прямолинейное. Очевидно, что число степеней
свободы тела в этом случае равно трем, так как достаточно описать движение
какой-нибудь одной точки тела (например, точки А на рис.4.5). Траектории всех
остальных точек (например, точки В на рис.4.5) могут быть получены путем
"параллельного" переноса.
Рис.4.4.
Допустим, закон движения точки А задан в виде
𝑟⃗𝐴 = 𝑟⃗𝐴 (𝑡)
Тогда закон движения точки В будет иметь вид
Рис.4.5.
(4.1)
(4.2)
где
- вектор, проведенный от точки А к точке В.
Скорость точки А
-
(4.3)
скорость точки В
(4.4)
так как
- вектор, постоянный по величине (абсолютно твердое тело) и
направлению (поступательное движение).
Ускорения точек А и В также равны между собой:
(4.5)
62
Таким образом, кинематика поступательного движения твердого тела в принципе
ничем не отличается от кинематики материальной точки.
Вращение вокруг неподвижной оси.
Если при движении твердого тела какие-либо две его точки все время
остаются неподвижными, то через эти точки можно провести прямую,
являющуюся неподвижной осью вращения. С таким движением мы сталкиваемся,
например, открывая и закрывая дверь в комнату. Очевидно, что в этом случае
тело обладает лишь одной степенью свободы, связанной с углом его поворота
вокруг оси. При этом все точки тела движутся по окружностям, лежащим в
плоскостях, которые перпендикулярны оси вращения; центры окружностей лежат
на этой оси.
Существенно, что линейные скорости точек, находящихся на разном
расстоянии от оси вращения, разные. В этом можно убедиться, касаясь стальной
проволокой вращающегося диска точила (рис.4.6): чем дальше от оси, тем
длиннее сноп искр - тем больше скорость соответствующей точки диска. При
этом также видно, что искры летят по касательной к окружности, описываемой
данной точкой диска.
Рис.4.6.
Ясно, что угловое перемещение всех точек твердого тела за одно и то же время
будет одинаковым. Это обстоятельство позволяет ввести общую кинематическую
характеристику - угловую скорость
(4.6)
где △ 𝜑 - угол поворота тела за время
Можно ввести вектор элементарного углового перемещения △ 𝑗⃗
направленный вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого буравчика:
если рукоятку буравчика поворачивать в направлении вращения тела, то
поступательное перемещение буравчика даст направление △ 𝑗⃗. Устремляя
интервал времени △ 𝑡, за которое произошло угловое перемещение △ 𝑗⃗к нулю, мы
получим вектор угловой скорости:
(4.7)
который определяет, во-первых, модуль угловой скорости тела, во-вторых, ориентацию оси вращения в пространстве, а в-третьих, - направление вращения
тела. Следует подчеркнуть, что 𝜔
⃗⃗ - вектор «скользящий» в том смысле, что его
начало можно совместить с любой точкой, принадлежащей оси вращения.
63
Например, для Земли, вращающейся вокруг своей оси с запада на восток, вектор
имеет направление от южного полюса к северному.
Величина угловой скорости Земли:𝜔земли ≈ 7,3 ∙ 10−5 с−1
Для сравнения: угловая скорость орбитального движения Земли составляет:
Заметим, что период орбитального вращения не кратен продолжительности суток,
что создает известные трудности в построении календаря (необходимо вводить
високосные годы и проч.). Зная 𝜔 легко определить линейную скорость любой
точки твердого тела. Введем радиус-вектор 𝑟⃗А некоторой точки А твердого тела,
поместив его начало в точку О на оси вращения (рис.4.7). 𝜌⃗- вектор, проведенный
в точку А от оси вращения, то есть перпендикулярно оси.
Рис.4.7.
Плоское движение - это такое движение твердого тела, при котором
траектории всех его точек лежат в параллельных плоскостях. Если в теле
провести некоторую прямую O1O2, перпендикулярную этим плоскостям (рис. 1.9),
то все точки этой прямой будут двигаться по одинаковым траекториям с
одинаковыми скоростями и ускорениями; сама прямая будет, естественно,
сохранять свою ориентацию в пространстве. Таким образом, при плоском, или,
как его иногда называют, плоско-параллельном, движении твердого тела
достаточно рассмотреть движение одного из сечений тела.
64
Рис. 4.8
Обратимся к классическому простому примеру плоского движения - качению
цилиндра по плоскости без проскальзывания. Рассматривая одно из сечений
цилиндра плоскостью, перпендикулярной его оси, мы придем к известное задаче о
катящемся колесе (рис. 1.10). Центр колеса движется прямолинейно, траектории
других точек представляют собой кривые, называемые циклоидами.
Рис. 4.9
При отсутствии проскальзывания мгновенная скорость самой нижней точки
колеса (точки M) равна нулю. Это позволяет рассматривать качение колеса как
суперпозицию двух движений: поступательного со скоростью оси 𝑣0 и
𝑣
вращательного с угловой скоростью 𝜔 = 0 , где - радиус колеса. Ясно, что в
𝑅
этом случае 𝑣𝑀 = 𝑣0 − 𝜔𝑅 = 0
Попробуем обобщить этот прием на произвольное плоское движение.
Выделим отрезок АB в рассматриваемом сечении твердого тела (рис.4.10).
Перевод сечения из положения 1 в положение 2 можно рассматривать как
суперпозицию двух движений: поступательного из 1 в 1' и вращательного из 1' в 2
вокруг точки A', называемой обычно полюсом (рис. 4.10а). Существенно, что в
качестве полюса можно выбрать любую точку, принадлежащую сечению или
даже лежащую в плоскости сечение вне его. На рис.4.10б, к примеру, в качестве
полюса выбрана точка В. Обратите внимание: длина пути при поступательном
перемещении изменилась (в данном случае увеличилась), но угол поворота
остался прежним!
65
Рис.4.10
Приближая конечное положение тела к начальному (сокращая рассматриваемый
промежуток времени), приходим к выводу: плоское движение твердого тела в
любой момент времени можно представить как суперпозицию поступательного
движения со скоростью некоторой точки, выбранной в качестве полюса, и
вращения вокруг оси, проходящей через полюс. В реальной ситуации оба эти
движения, естественно, происходят одновременно. Существенно, что разложение
на поступательное и вращательное движения оказывается неоднозначным,
причем в зависимости от выбора полюса скорость поступательного движения
будет изменяться, а угловая скорость вращения останется неизменной.
По аналогии с мгновенной осью вращения можно ввести мгновенную ось,
ускорения всех точек которой в данный момент времени равны нулю. При этом
следует иметь в виду, что эта ось, вообще говоря, не совпадает с мгновенной осью
вращения. Так, в примере с колесом, катящимся по плоскости с постоянной
скоростью, она проходит через центр колеса.
Пара сил, момент пары
Если на тело действует несколько сил, равнодействующая которых равна нулю, а
результирующий момент относительно какой-либо оси не равен нулю, то тело не
останется в равновесии. Так будет, например, если на тело действуют две равные
и противоположные силы, не лежащие на одной прямой. Такие
две силы, совместно действующие на тело, называют парой сил. Если тело
закреплено на оси, то при действии на него пары сил оно начнет вращаться
вокруг этой оси. При этом, вообще говоря, со стороны оси на тело будет
действовать сила. Можно показать, что если ось проходит через определенную
точку тела, то сила со стороны оси отсутствует. Поэтому, если пара сил будет
действовать на свободное тело, то оно начнет вращаться вокруг оси, проходящей
через эту точку. Можно доказать, что эта точка — центр тяжести тела.
66
Рис. 4.11
Момент пары сил одинаков относительно любой оси, перпендикулярной к
плоскости пары. Действительно, пусть О — произвольная ось, перпендикулярная
к плоскости, в которой лежит пара (рис. 4.11). Суммарный момент М равен:
M = F•OA + F•OB = F(OA + OB) = F•l,
где l — расстояние между силами, составляющими пару.
Этот же результат получится и при любом другом положении оси. Можно
показать также, что момент нескольких сил, равнодействующая которых равна
нулю, будет один и тот же относительно всех осей, параллельных друг другу, и
поэтому действие всех этих сил на тело можно заменить действием одной пары
сил с тем же моментом.
Пара сил представляет собой неуравновешенную систему, которая не может
быть заменена одной силой. Пара сил не имеет равнодействующей.
Момент инерции и момент импульса твердого тела
Рассмотрим движение твердого тела, закрепленного о одной неподвижной
точке О, вокруг которой тело может свободно
вращаться. Эта точка называется центром
mivi
вращения тела. Совместим с этой точкой
начало неподвижной системы координат.
Li
Тогда положение в пространстве i-точки тела
ri ,
определяется
радиусом-вектором
mi
ri
проведенным из центра О в эту точку
0
(рис.4.12).
Обозначим
через
силу,
Fik
Рис. 4.12
действующую на i-ю точку тела со стороны kой
его
точки,
и
через
–
Fi
равнодействующую всех внешних сил, приложенных к i-й точке. По второму
закону Ньютона уравнение движения этой материальной точки имеет следующий
вид:
n
d
(mi vi )   Fik  Fi ;
dt
k 1
k i
(k≠i, т.к. i-я точка сама на себя не действует).
Умножим обе части этого уравнения векторно на ri :
n
d
[ri , mi vi ]  [ri ,  Fik ]  [ri , Fi ].
dt
k 1
(4.8)
k i
Векторное произведение радиуса-вектора ri материальной точки на ее импульс
mi vi называется моментом импульса Li этой материальной точки относительно
точки О:
(4.9)
Li  [ri , mi vi ] .
67
Вектор Li называют также моментом количества движения материальной точки.
Он направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через векторы ri и mi vi ,
и образует с ними правую тройку векторов: при наблюдении из конца Li видно,
что вращение от ri к mi vi по кратчайшему расстоянию происходит против
часовой стрелки.
Векторное произведение радиуса-вектора ri ,
проведенного из центра О в точку
Fi
приложения внешней силы Fi (рис. 4.13), на
Mi
эту силу, называется моментом M i силы Fi
αi
относительно точки О:
mi
ri
(4.10)
M i  ri , Fi .
0
Векторы ri , Fi и M i также образуют правую
тройку. Модуль момента силы, как следует
из рисунка, равен:
M i  Fi li  Fi ri sin  i ,
где li – плечо силы Fi , т.е. длина перпендикуляра,
опущенного из точки О на линию действия силы.
Моментом инерции тела относительно оси вращения
называется физическая величина, равная сумме
произведений масс n материальных точек тела на
квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:
li
Рис. 4.13
z
0
.
С
n
J z   mi ri 2 .
(4.11)
a
i 1
01
В случае непрерывного распределения масс эта сумма
сводится к интегралу
Рис. 4.14
J z   r 2 dm,
где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в данном
случае есть функция положения точки с координатами x, y, z.
Неподвижная ось вращения z может проходить как через центр инерции тела (ось
вращения маховика, ротора турбины и т.п.), так и вне его (например, ось
вращения самолета, выполняющего мертвую петлю).
При вращательном движении существенно распределение массы
относительно оси вращения.
2.7 Основной закон динамики твердого тела
68
План лекции
Второй закон Ньютона для твердого тела (уравнение моментов). Теорема
Штейнера. Кинетическая энергия вращения твердого тела. Закон сохранения
момента импульса твердого тела и его следствия.
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через
его центр масс (инерции), то момент инерции относительно любой другой
параллельной оси определяется теоремой Штейнера (теоремой о переносе осей
инерции): момент инерции тела Jz относительно произвольной оси вращения z
равен сумме момента инерции тела относительно оси ОО1, проведенной через
центр инерции С тела параллельно оси z и произведения массы тела на квадрат
расстояния между этими осями (рис. 4.14):
(4.12)
J z  J c  ma2 .
Таким образом, с удалением центра инерции тела от его оси вращения момент
инерции тела относительно этой оси возрастает. Из формул (4.11) и (4.12) видно,
что момент инерции тела зависит не только от его массы, но и от ее
распределения относительно оси вращения.
Ниже в таблице 4.1 приведены значения моментов инерции для некоторых
однородных тел.
Таблица 4.1
Тело
Положение оси вращения
Момент инерции
Полый тонкостенный Ось симметрии
mR 2
цилиндр радиуса R
Сплошной цилиндр То же
1
2
mR
или диск радиуса R
2
Прямой
тонкий Ось перпендикулярна стержню и
1
2
ml
стержень длиной l
проходит через его середину
12
Прямой
тонкий Ось перпендикулярна стержню и
1 2
ml
стержень длиной l
проходит через его конец
3
Шар радиусом R
Ось проходит через центр шара
2
mR 2
5
Уравнение динамики вращательного движения твердого тела
Выведем уравнение динамики вращательного движения тела. Из выражений (4.8),
(4.9) и (4.10) следует, что скорость изменения момента импульса i-й материальной
точки определяется следующим образом:

dLi  n
(4.13)
 ri ,  Fik   M i .
dt  k 1 
 k i 
Сложим почленно уравнения (4.13), записанные для каждой из материальных
точек тела:
 n
n
n 
n
dLi

  Mi.
(4.14)

r
,
F


i  ik
i 1 dt
i 1 
k 1
i

1

 k i 
69
Векторная сумма моментов M i всех внешних сил, приложенных к телу,
называется результирующим, или главным, моментом M внешних сил
относительно точки О:
n
M  Mi.
i 1
Векторная сумма моментов импульса Li всех материальных точек тела
называется моментом импульса L тела относительно точки О:
n
L   Li .
i 1
Так как производная от суммы равна сумме производных от всех слагаемых, то
dL n dLi

.
dt i 1 dt
Наконец, векторная сумма моментов относительно точки О всех внутренних
сил Fik взаимодействия между точками тела
равна нулю, т.е.

n 
n

ri ,  Fik   0,

Mik
i 1 
k 1

mk
 k i 
rk
Fki
так как по третьему закону Ньютона силы Fik и
Fki численно равны, имеют общую линию действия, но
Fik
0
направлены в противоположные стороны (рис. 4.15). Поэтому
ri
mi
их моменты M ik  ri , Fik и M ki  rk , Fki  относительно
Mki
точки О численно равны и противоположны по направлению
(на рис. 4.4 точки mi, mk и О лежат в горизонтальной
Рис. 4.15
плоскости, а векторы M ik и M ki перпендикулярны этой
плоскости). Действительно, rk  ri  rki , где rki - вектор, проведенный из точки mi в
точку mk. Поэтому M ki  ri , Fki   rki , Fki   ri , Fik   M ik , так как векторное
произведение векторов rki и Fki , направленных вдоль одной прямой, равно нулю.
На основании изложенного уравнение (4.14) можно записать в следующем виде:
dL
 M.
(4.15)
dt
Таким образом, скорость изменения момента импульса тела, вращающегося
вокруг неподвижной точки, равна результирующему моменту относительно этой
точки всех внешних сил, приложенных к телу.
Полученный результат называется основным законом динамики
вращательного движения тела, закрепленного в одной неподвижной точке.
Момент импульса является основной динамической характеристикой твердого
тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.
Получим выражение для L в случае твердого тела произвольной формы,
закрепленного в некоторой точке О.


70
Пусть - радиус-вектор элементарной массы
скорость. Тогда
твердого тела, а
- угловая
(4.15)
Векторы
и L можно проектировать как на оси лабораторной системы XYZ,
так и на оси системы xyz, жестко связанной с твердым телом (поскольку точка О
неподвижна, начала обеих систем можно совместить). Преимущество системы
xyz заключается в том, что в ней проекции являются постоянными величинами
(в системе XYZ они зависят от времени), и выражения для компонент L,
оказываются проще.
Итак, в системе xyz
(4.16)
Тогда, продолжая (4.16), можно записать:
(4.17)
Выражения для проекций момента импульса на оси системы xyz запишем в
следующем виде:
(4.18)
(4.19)
(4.20)
Или
(4.21)
(4.22)
(4.23)
где
- 9 компонент так называемого тензора инерции
относительно точки О:
твердого тела
(4.24)
71
Диагональные элементы тензора
инерции,
недиагональные
центробежными
моментами
называются осевыми моментами
элементы
инерции.
Обратим
называются
внимание,
что
Такой тензор называют симметричным.
Если координатам x, y и z присвоить номера 1, 2 и 3 соответственно, то (4.21-4.24)
можно представить в виде
(4.25)
В символическом виде можно записать так:
(4.26)
Самое главное, что стоит за приведенными выше формулами, заключается в
следующем. Девять величин
(из них шесть независимых) определяют
однозначную связь между L и причем оказывается, что L, вообще говоря, не
совпадает по направлению с (рис. 2.5)
Рис. 4.15.
Итак, мы столкнулись с новым типом величин, имеющим важное значение в
физике - тензором. Если для задания скалярной величины необходимо одно число
(значение скалярной величины), векторной - три числа (три проекции вектора на
оси декартовой системы координат), то для задания тензора необходимы в общем
случае 9 чисел. На языке математики тензор - это многокомпонентная величина,
характеризующаяся определенным поведением при преобразованиях системы
координат (в данном случае компоненты тензора инерции преобразуются как
произведения соответствующих координат).
Необходимость введения тензорных величин связана с различного рода
анизотропией свойств физических макроскопических объектов. Тензор связывает
две векторные величины, которые пропорциональны друг другу по модулю, но в
силу анизотропии свойств объекта не совпадают друг с другом по направлению. В
случае L и решающую роль играет "анизотропия" формы тела (отсутствие
определенной симметрии относительно осей xyz). В других случаях это может
быть анизотропия, например, электрических или магнитных свойств вещества.
Кинетическая энергия и работа при вращении тела
Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной
оси. Если мысленно разбить это тело на n точек массами m1, m2, …, mn ,
находящихся на расстояниях r1, r2, …, rn от оси вращения, то при вращении они
72
будут описывать окружности и двигаться с различными линейными скоростями
v1, v2, …, vn. Так как тело абсолютно твердое, то угловая скорость вращения точек
будет одинакова:

v1 v2
v
  ...  n .
r1 r2
rn
Кинетическая энергия вращающегося тела есть сумма кинетических энергий его
точек, т.е.
n
mn vn2
mi vi2
m1v12 m2 v22
Ek 

 ... 

.
2
2
2
2
i 1
Учитывая связь между угловой и линейной скоростями, получим:
n
mi 2 2  2 n
J z 2
2
Ek  
ri 
(4.27)
 mi ri  2 .
2
2 i 1
i 1
Сопоставление формулы (4.16) с выражением для кинетической энергии тела,
движущегося поступательно со скоростью v, показывает, что момент инерции
является мерой инертности тела во вращательном движении.
Если твердое тело движется поступательно со скоростью v и одновременно
вращается с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через его центр
инерции, то его кинетическая энергия определяется как сумма двух
составляющих:
mvc2 J c 2
z
Ek 

,
(4.28)
2
2
где vc – скорость центра масс тела; Jc - момент
инерции тела относительно оси, проходящей через
его центр масс.
Моментом силы относительно неподвижной оси z
называется скалярная величина Mz, равная проекции
на эту ось вектора M момента силы, определенного
относительно произвольной точки 0 данной оси.
Значение момента Mz не зависит от выбора
положения точки 0 на оси z.
Если ось z совпадает с направлением вектора M , то
момент силы представляется в виде вектора,
совпадающего с осью:
M z  r F z .
Найдем выражение для работы при вращении тела.
Пусть сила F приложена к точке В, находящейся от
оси вращения на расстоянии r (рис. 4.17); α – угол
между направлением силы и радиусом-вектором r .
Так как тело абсолютно твердое, то работа этой
силы равна работе, затраченной на поворот всего
тела.
При повороте тела на бесконечно малый угол d
73
M
F
.
Mz
.
A
r
0
Рис. 4.16
0
.
.
B
r
dφ
α
l
F
α
Рис. 4.17
ds
точка приложения В проходит путь ds  rd , и работа равна произведению
проекции силы на направление смещения на величину смещения:
dA  F sin   rd .
Учитывая, что Fr sin   M z , можно записать
dA  M z d ,
где Mz - момент силы относительно оси вращения. Таким образом, работа при
вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол
поворота.
Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:
dA  dE k ,
 J z 2 
где dE k  d 
  J zd .
 2 
Тогда
M z d  J zd , или M z
Учитывая, что
d
  , получим
dt
d
d
 J z
.
dt
dt
d
(4.29)
 J z .
dt
Уравнение (4.29) представляет собой уравнение динамики вращательного
движения твердого тела относительно неподвижной оси.
Закон сохранения момента импульса
Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется
скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса,
определенного относительно произвольной точки 0 данной оси. Значение
момента импульса Lz не зависит от положения точки 0 на оси z. При вращении
абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая отдельная точка тела
движется по окружности постоянного радиуса ri с некоторой скоростью vi .
Скорость vi и импульс mi vi перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является
плечом вектора mi vi . Поэтому можно записать, что момент импульса отдельной
точки относительно оси z равен:
Liz  mi vi ri .
Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса
отдельных его точек:
Mz  Jz
n
Lz   mi vi ri .
i 1
Учитывая связь между линейной и угловой скоростями ( vi  ri ), получим
следующее выражение для момента импульса тела относительно неподвижной
оси:
n
n
i 1
i 1
Lz   mi ri 2    mi ri 2  J z ,
(4.30)
т.е. момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению
момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.
74
Продифференцировав выражение (4.30) по времени, получим:
dLz
d
(4.31)
 Jz
 M z.
dt
dt
Это еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела
относительно неподвижной оси: скорость изменения момента импульса тела
относительно неподвижной оси вращения равна результирующему моменту
относительно этой оси всех внешних сил, действующих на тело.
Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики
вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке (уравнение
4.26), и состоит в следующем: если результирующий момент внешних сил
относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент
импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.
dL
 0 , откуда
Действительно, если M  0 , то
dt
(4.32)
L  const.
Другими словами, момент импульса замкнутой системы с течением времени не
изменяется.
Из основного закона динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z
(уравнение 4.31), следует закон сохранения момента импульса тела
относительно оси: если момент внешних сил относительно неподвижной оси
вращения тела тождественно равен нулю, то момент импульса тела
относительно этой оси не изменяется в процессе движения, т.е.
dLz
если Mz=0, то
 0 , откуда
dt
Lz  const , или J z  const .
(4.33)
Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом
природы. Справедливость этого закона обусловливается свойством симметрии
пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов
относительно выбора направления осей координат системы отсчета.
Справедливость закона сохранения момента импульса относительно
неподвижной оси вращения можно продемонстрировать на опыте со скамьей
Жуковского. Скамьей Жуковского называется горизонтальная площадка,
свободно вращающаяся без трения вокруг неподвижной вертикальной оси ОО1.
Человек, стоящий или сидящий на скамье, держит в вытянутых руках
гимнастические гантели и приводится во вращение вместе со скамьей вокруг оси
ОО1 с угловой скоростью 1 . Приближая гантели к себе, человек уменьшает
момент инерции системы, а так как момент внешних сил равен нулю, момент
импульса системы сохраняется и угловая скорость ее вращения  2 возрастает.
Тогда по закону сохранения момента импульса относительно оси ОО 1 можно
записать:
( J 0  2mr12 )1  ( J 0  2mr22 ) 2 ,
(4.34)
где J 0 - момент инерции человека и скамьи; 2mr12 и 2mr22 - моменты инерции
гантелей в первом и втором положениях; m – масса одной гантели; r1, r2 –
расстояния от гантелей до оси ОО1.
75
Изменение момента
кинетической энергии:
инерции
системы
связано
с
изменением
ее
( J 0  2mr22 ) 22 ( J 0  2mr12 )12

.
2
2
Используя выражение для  2 , полученное из (4.23)
J 0  2mr12
2 
1 ,
J 0  2mr22
после преобразований получим:
J 0  2mr12
Ek 
1 ( 2  1 )  0.
2
Ek  Ek 2  Ek 1 
Это изменение кинетической энергии системы численно равно работе,
совершенной человеком при перемещении гантелей.
В табл. 4.2 сопоставлены основные физические величины и уравнения,
определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное
движение.
Таблица 4.2
Поступательное движение
Вращательное движение
Масса
Момент инерции
m
Jz
Скорость
Угловая скорость
dr
d
v


dt
dt
Ускорение
a
Угловое ускорение
d

dv
dt
dt
Сила
F
Импульс
p  mv
Основное уравнение динамики:
F  ma , или F 
dp
dt
Работа
dA  F ds
Кинетическая энергия
Ek 
mv 2
2
Момент силы
Mz
Момент импульса
Lz  J z
Основное уравнение динамики:
M z  J z  , или M 
dL
dt
Работа вращения
dA  M z d
Кинетическая энергия вращения
J z 2
Ekвв 
2
Краткие выводы
Вращательным называется движение, при котором все точки тела движутся по
окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью
вращения.
76
Момент инерции тела относительно оси вращения – это физическая величина,
равная сумме произведений масс n материальных точек тела на квадраты их
расстояний до рассматриваемой оси:
n
J z   mi ri 2 .
i 1
Момент инерции тела Jz относительно любой оси вращения равен моменту его
инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела,
сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями:
J z  J c  ma2 .
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z его
кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции
относительно оси вращения на квадрат угловой скорости:
J 2
Ek в р  z .
2
J 2
mv 2
Из сравнения формул Ek 
и Ek вр  z
следует, что момент инерции –
2
2
мера инертности тела при вращательном движении.
Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии и
определяется выражением dA  M z d , где Mz – момент сил относительно оси
вращения z.
Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно
неподвижной оси z (аналог второго закона Ньютона) имеет вид:
dL
M z  J z  z ,
dt
где Lz – момент импульса твердого тела относительно оси z.
В замкнутой механической системе момент внешних сил относительно
dLz
неподвижной оси Mz=0 и
 0 , откуда Lz=const – закон сохранения момента
dt
импульса. Он является следствием изотропности пространства: инвариантность
физических законов относительно выбора направления осей координат системы
отсчета.
Свободные оси вращения. Гироскоп. Условия равновесия твердого тела. Виды
равновесия. Центр тяжести.
Гироскоп - это массивное аксиально-симметричное тело, вращающееся с
большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии.
Свободный гироскоп.
В этом случае моменты всех внешних сил, включая и силу тяжести,
относительно центра масс гироскопа равны нулю. При этом
и момент импульса сохраняется:
77
Гироскоп ведет себя так же, как и свободнее тело вращения. В зависимости от
начальных условий возможны два варианта поведения гироскопа:
1. Если гироскоп раскручен вокруг оси симметрии, то направления момента
импульса и угловой скорости совпадают:
и направление оси симметрии гироскопа остается неизменным. В этом можно
убедиться, поворачивая подставку, на которой расположен карданов подвес - при
произвольных поворотах подставки ось гироскопа сохраняет неизменное
направление в пространстве. По этой же причине волчок, "запущенный" на листе
картона и подброшенный вверх (рис.4.18), сохраняет направление своей оси во
время полета, и, падая острием на картон, продолжает устойчиво вращаться, пока
не израсходуется запас его кинетической энергии.
Рис. 4.18
Свободный гироскоп, раскрученный вокруг оси симметрии, обладает весьма
значительной устойчивостью. Из основного уравнения моментов следует, что
изменение момента импульса:
Если интервал времени
мал, то и
мало, то есть
при кратковременных воздействиях даже очень больших сил
движение гироскопа изменяется незначительно. Гироскоп
как бы сопротивляется попыткам изменить его момент
импульса и кажется "затвердевшим".
Возьмем
гироскоп
конусообразной
формы,
опирающийся на стержень подставки в своем центре масс О
(рис. 4.19). Если тело гироскопа не вращается, то оно
находится в состоянии безразличного равновесия, и
Рис. 4.19
малейший толчок сдвигает его с места.. Если же это тело привести в быстрое
вращение вокруг своей оси, то даже сильные удары деревянным молотком не
смогут сколько-нибудь значительно изменить направление оси гироскопа в
пространстве. Устойчивость свободного гироскопа используется в различных
технических устройствах, например, в автопилоте.
78
2. Если свободный гироскоп раскручен так, что вектор мгновенной угловой
скорости и ось симметрии гироскопа не совпадают (как правило, это
несовпадение при быстром вращении бывает незначительным), то наблюдается
движение, называемое "свободная регулярная прецессия". Применительно же к
гироскопу его называют нутацией. При этом ось симметрии гироскопа, векторы L
и лежат в одной плоскости, которая вращается вокруг направления
с
𝐿
угловой скоростью, равной
где 𝑗𝑥 - момент инерции гироскопа относительно
𝑗𝑥
главной центральной оси, перпендикулярной оси симметрии. Эта угловая
скорость (назовем ее скоростью нутации) при быстром собственном вращении
гироскопа оказывается достаточно большой, и нутация воспринимается глазом
как мелкое дрожание оси симметрии гироскопа.
Нутационное движение легко продемонстрировать с помощью гироскопа,
показанного на рис. 4.19 - оно возникает при ударах молотком по стержню
вращающегося вокруг своей оси гироскопа. При этом, чем сильнее раскручен
гироскоп, тем больше его момент импульса L - тем больше скорость нутации и
тем "мельче" дрожания оси фигуры. Этот опыт демонстрирует еще одну
характерную особенность нутации - с течением времени она постепенно
уменьшается и исчезает. Это - следствие неизбежного трения в опоре гироскопа.
Наша Земля - своего рода гироскоп, и ей тоже свойственно нутационное
движение. Это связано с тем, что Земля несколько приплюснута с полюсов, в силу
чего моменты инерции относительно оси симметрии (𝑗𝑧 ) и относительно оси,
лежащей в экваториальной
плоскости (𝑗𝑥 , 𝑗𝑦 ) различаются. При этом 𝑗𝑥 = 𝑗𝑦 , а
𝑗𝑧−𝑗𝑥
𝑗𝑥
≈
1
300
.
В системе
отсчета, связанной с Землей, ось вращения движется по поверхности конуса
вокруг оси симметрии Земли с угловой скоростью 𝜔0 , совершая один оборот
примерно за 300 дней. На самом деле, в силу, как предполагается, неабсолютной
жесткости Земли, это время оказывается больше - оно составляет около 440 суток.
При этом расстояние точки земной поверхности, через которую проходит ось
вращении, от точки, через которую проходит ось симметрии (Северный полюс),
равно всего нескольким метрам. Нутационное движение Земли не затухает - повидимому, его поддерживают сезонные изменения, происходящие на поверхности
Прецессия гироскопа под действием внешних сил.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда к оси гироскопа приложена сила, линия
действия которой не проходит через точку закрепления. Опыты показывают, что в
этом случае гироскоп ведет себя весьма необычным образом. Если к оси
шарнирно закрепленного в точке О гироскопа (рис. 4.20) прикрепить пружину и
тянуть за нее вверх с силой F , то ось гироскопа будет перемещаться не в
направлении силы, а перпендикулярно к ней, вбок. Это движение называется
прецессией гироскопа под действием внешней силы.
Опытным путем можно установить, что
угловая скорость прецессии зависит не только от
величины силы (рис. 4.20), но и от того, к какой
точке оси гироскопа эта сила приложена: с
увеличением
и ее плеча
относительно точки
79
закрепления О скорость прецессии увеличивается. При этом оказывается, что чем
сильнее раскручен гироскоп, тем меньше угловая скорость прецессии
Рис. 4.20
при данных и
В качестве силы F, вызывающей прецессию, может выступать сила тяжести, если
точка закрепления гироскопа не совпадает с центром масс. Так, если стержень с
быстро вращающимся диском подвесить на нитке (рис. 4.21), то он не опускается
вниз, как это можно было бы предположить, а совершает прецессионное
движение вокруг нитки. Наблюдение прецессии гироскопа под действием силы
тяжести в некотором смысле даже удобнее - линия действия силы
"автоматически" смещается вместе с осью гироскопа, сохраняя свою ориентацию
в пространстве.
Рис. 4.21
Можно привести и другие примеры прецессии - например, движение оси
хорошо известной детской игрушки - юлы с заостренным концом (рис. 4.22).
Юла, раскрученная вокруг своей оси и поставленная на горизонтальную
плоскость слегка наклонно, начинает прецессировать вокруг вертикальной оси
под действием силы тяжести (рис. 4.22).
Рис. 4.22
Точное решение задачи о движении гироскопа в поле внешних сил можно
получить в рамках так называемой элементарной теории гироскопа. В этой теории
делается допущение, что мгновенная угловая скорость вращения гироскопа и его
момент импульса направлены вдоль оси симметрии гироскопа. Другими словами,
предполагается, что угловая скорость вращения гироскопа вокруг своей оси
значительно больше угловой скорости прецессии: 𝜔 ≫ Ω. Так что вкладом в L,
обусловленным прецессионным движением гироскопа, можно пренебречь. В этом
приближении момент импульса гироскопа, равен
80
где 𝑗𝑧 - момент инерции относительно оси симметрии.
Итак, рассмотрим тяжелый симметричный гироскоп, у которого неподвижная
точка S (точка опоры о подставку) не совпадает с центром масс О (рис. 4.23).
Рис. 4.23
Момент силы тяжести относительно точки S:
где - угол между вертикалью и осью симметрии гироскопа. Вектор M направлен
по нормали к плоскости, в которой лежат ось симметрии гироскопа и вертикаль,
проведенная через точку S (рис. 4.23). Сила реакции опоры проходит через S , и ее
момент относительно этой точки равен нулю.
Изменение момента импульса L определяется выражением:
При этом и L, и ось волчка прецессируют вокруг вертикального направления с
угловой скоростью
Из рис. 4.23 следует, что
В векторном виде:
Сравнивая приведенные выше формулы, получаем следующую связь между
моментом силы M, моментом импульса L и угловой скоростью прецессии :
Это соотношение позволяет определить направление прецессии при заданном
направлении вращения волчка вокруг своей оси.
Следует заметить, что M определяет угловую скорость прецессии, а не
угловое ускорение, поэтому мгновенное "выключение" M приводит к
мгновенному же исчезновению прецессии, то есть прецессионное движение
является безынерционным.
Сила, вызывающая прецессионное движение, может иметь любую природу.
Для поддержания этого движения важно, чтобы вектор момента силы M
поворачивался вместе с осью гироскопа. Как уже было отмечено, в случае силы
тяжести это достигается автоматически. При этом из записанных уравнений
можно получить:
81
Если учесть, принятые
получим:
приближения, то для угловой скорости прецессии
Следует отметить, что не зависит от угла наклона оси гироскопа и обратно
пропорциональна 𝜔, что хорошо согласуется с опытными данными.
Прецессия гироскопа пол действием внешних сил. Нутации.
Опыт показывает, что прецессионное движение гироскопа под действием
внешних сил в общем случае сложнее, чем то, которое было описано выше в
рамках элементарной теории. Если сообщить гироскопу толчок, изменяющий
угол (см.рис. 4.23), то прецессия перестанет быть равномерной (часто говорят:
регулярной), а будет сопровождаться мелкими вращениями и дрожаниями
вершины гироскопа - нутациями. Для их описания необходимо учесть
несовпадение вектора полного момента импульса L, мгновенной угловой
скорости вращения и оси симметрии гироскопа.
Точная теория гироскопа выходит за рамки курса общей физики. Из соотношения
следует, что конец вектора L движется в направлении M, то есть
перпендикулярно к вертикали и к оси гироскопа. Это значит, что проекции
вектора L на вертикаль 𝐿𝐵 и на ось гироскопа 𝐿0 остаются постоянными. Еще
одной постоянной является энергия^
где - кинетическая энергия гироскопа. Выражая 𝐿𝐵 , 𝐿0 и через углы Эйлера и
их производные, можно с помощью уравнений Эйлера описать движение тела
аналитически. Результат такого описания оказывается следующим: вектор
момента импульса L описывает неподвижный в пространстве конус прецессии, и
при этом ось симметрии гироскопа движется вокруг вектора L по поверхности
конуса нутаций. Вершина конуса нутаций, как и вершина конуса прецессии,
находится в точке закрепления гироскопа, а ось конуса нутаций совпадает по
направлению с L и движется вместе с ним. Угловая скорость нутаций
определяется выражением^
где 𝑗𝑧 и 𝑗𝑠 - моменты инерции тела гироскопа относительно оси симметрии и
относительно оси, проходящей через точку опоры и перпендикулярной оси
симметрии, - угловая скорость вращения вокруг оси симметрии.
Таким образом, ось гироскопа участвует в двух движениях: нутационном и
прецессионном. Траектории абсолютного движения вершины гироскопа
представляют собой замысловатые линии, примеры которых представлены на
рис.4.24:
82
Рис. 4.24
Характер траектории, по которой движется вершина гироскопа, зависит от
начальных условий. В случае рис. 4.24а гироскоп был раскручен вокруг оси
симметрии, установлен на подставке под некоторым углом к вертикали и
осторожно отпущен. В случае рис. 4.24б ему, кроме того, был сообщен некоторый
толчок вперед, а в случае рис. 4.24в - толчок назад по ходу прецессии. Кривые на
рис. 4.24 вполне аналогичны циклоидам, описываемым точкой на ободе колеса,
катящегося по плоскости без проскальзывания или с проскальзыванием в ту или
иную сторону. И лишь сообщив гироскопу начальный толчок вполне
определенной величины и направления, можно добиться того, что ось гироскопа
будет прецессировать без нутаций. Чем быстрее вращается гироскоп, тем больше
угловая скорость нутаций и тем меньше их амплитуда. При очень быстром
вращении нутации делаются практически незаметными для глаза.
Может показаться странным: почему гироскоп, будучи раскручен,
установлен под углом к вертикали и отпущен, не падает под действием силы
тяжести, а движется вбок? Откуда берется кинетическая энергия прецессионного
движения? Ответы на эти вопросы можно получить только в рамках точной
теории гироскопам. На самом деле гироскоп действительно начинает падать, а
прецессионное движение появляется как следствие закона сохранения момента
импульса. Отклонение оси гироскопа вниз приводит к уменьшению проекции
момента импульса на вертикальное направление. Это уменьшение должно быть
скомпенсировано моментом импульса, связанным с прецессионным движением
оси гироскопа. С энергетической точки зрения - кинетическая энергия прецессии
появляется за счет изменения потенциальной энергии гироскопам
Если за счет трения в опоре нутации гасятся быстрее, чем вращение
гироскопа вокруг оси симметрии (как правило, так и бывает), то вскоре после
"запуска" гироскопа нутации исчезают и остается чистая прецессия (рис.4.25).
При этом угол наклона оси гироскопа к вертикали (𝜃2 ) оказывается больше, чем
он был вначале (𝜃1 ), то есть потенциальная энергия гироскопа уменьшается.
Таким образом, ось гироскопа должна немного опуститься, чтобы иметь
возможность прецессировать вокруг вертикальной оси.
83
Рис. 4.25
Гироскопические силы.
Обратимся к простому опыту: возьмем в руки вал АВ с насаженным на него
колесом С (рис. 4.26). Пока колесо не раскручено, не представляет никакого труда
поворачивать вал в пространстве произвольным образом. Но если колесо
раскручено, то попытки повернуть вал, например, в горизонтальной плоскости с
небольшой угловой скоростью приводят к интересному эффекту: вал стремится
вырваться из рук и повернуться в вертикальной плоскости; он действует на кисти
рук с определенными силами
𝑅⃗⃗𝐴 и 𝑅⃗⃗𝐵 (рис. 4.26). Требуется приложить
ощутимое физическое усилие, чтобы удержать вал с вращающимся колесом в
горизонтальной плоскости.
Рис. 4.26
Рассмотрим эффекты, возникающие при вынужденном вращении оси гироскопа,
более подробно. Пусть ось гироскопа будет укреплена в U-образной раме, которая
может поворачиваться вокруг вертикальной оси OO' (рис. 4.27). Такой гироскоп
обычно называют несвободным - его ось лежит в горизонтальной плоскости и
выйти из нее не может.
84
Рис. 4.27
Раскрутим гироскоп вокруг его вокруг его оси симметрии до большой угловой
скорости (момент импульса L) и станем поворачивать раму с укрепленным в ней
гироскопом вокруг вертикальной оси OO' с некоторой угловой скоростью как
показано на рис. 4.27. Момент импульса L, получит при этом приращение ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐿,
которое должно быть обеспечено моментом сил M, приложенным к оси
гироскопа. Момент M, в свою очередь, создан парой сил (𝐹⃗ ÷ 𝐹⃗ ′ ), возникающих
при вынужденном повороте оси гироскопа и действующих на ось со стороны
рамы. По третьему закону Ньютона ось действует на раму с силами (𝐹⃗ ÷ 𝐹⃗ ′ ) (рис.
4.10). Эти силы называются гироскопическими; они создают гироскопический
момент
Появление гироскопических сил называют гироскопическим
эффектом. Именно эти гироскопические силы мы и чувствуем, пытаясь повернуть
ось вращающегося колеса (рис. 4.26).
Гироскопический момент нетрудно рассчитать. Положим, согласно
элементарной теории, что:
-
где - момент инерции гироскопа относительно его оси симметрии, а - угловая
скорость собственного вращения. Тогда момент внешних сил, действующих на
ось, будет равен
где - угловая скорость вынужденного поворота (иногда говорят: вынужденной
прецессии). Со стороны оси на подшипники действует противоположный момент
Таким образом, вал гироскопа, изображенного на рис. 4.10, будет прижиматься
кверху в подшипнике В и оказывать давление на нижнюю часть подшипника А.
Направление гироскопических сил можно легко найти с помощью правила,
сформулированного Н.Е. Жуковским: гироскопические силы стремятся
совместить момент импульса L гироскопа с направлением угловой скорости
вынужденного поворота. Это правило можно наглядно продемонстрировать с
помощью устройства, представленного на рис. 4.28.
85
Рис. 4.28
Ось гироскопа закреплена в кольце, которое может свободно поворачиваться в
обойме. Приведем обойму во вращение вокруг вертикальной оси с угловой
скоростью
(вынужденный поворот), и кольцо с гироскопом будет
поворачиваться в обойме до тех пор, пока направления L и не совпадут. Такой
эффект лежит в основе известного магнитомеханического явления намагничивания железного стержня при его вращении вокруг собственной оси при этом спины электронов выстраиваются вдоль оси стержня (опыт Барнетта).
Гироскопические усилия испытывают подшипники осей быстро
вращающихся частей машины при повороте самой машины (турбины на корабле,
винта на самолете и т.д.). При значительных величинах угловой скорости
вынужденной прецессии и собственного вращения 𝜔, а также больших размерах
маховика эти силы могут даже разрушить подшипники.
Условия равновесия тел. Виды равновесия. Центр тяжести
Раздел механики, изучающий условия равновесия тел, называется
статикой.
Из второго закона Ньютона следует, что если геометрическая сумма всех
внешних сил, приложенных к невращающемуся телу, равна нулю, то тело
находится в состоянии покоя или совершает равномерное прямолинейное
движение. В этом случае принято говорить, что силы, приложенные к телу,
уравновешивают друг друга. При вычислении равнодействующей все силы,
действующие на тело, можно прикладывать к центру масс. Чтобы невращающееся
тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил,
приложенных к телу, была равна нулю:
Рис.4.29
86
На рис.4.29 дан пример равновесия твердого тела под действием трех сил.
Точка пересечения O линий действия сил 𝐹⃗1 и 𝐹⃗2 не совпадает с точкой
приложения силы тяжести (центр масс C), но при равновесии эти точки
обязательно находятся на одной вертикали. При вычислении равнодействующей
все силы приводятся к одной точке.
Если тело может вращаться относительно некоторой оси, то для его равновесия
недостаточно равенства нулю равнодействующей всех сил.
Вращающее действие силы зависит не только от ее величины, но и от
расстояния между линией действия силы и осью вращения. Длина
перпендикуляра, проведенного от оси вращения до линии действия силы,
называется плечом силы. Произведение модуля силы 𝐹⃗ на плечо d называется
моментом силы M. Положительными считаются моменты тех сил, которые
стремятся повернуть тело против часовой стрелки (рис.4.30).
Правило моментов: тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в
равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил
относительно этой оси равна нулю:
M1 + M2 + ... = 0.
В Международной системе единиц (СИ) моменты сил измеряются в ньютонметрах (Н∙м).
Рис. 4.30
Силы, действующие на рычаг, и их моменты:
M1 = F1 · d1 > 0; M2 = – F2 · d2 < 0.
При равновесии:
M1 + M2 = 0.
В общем случае, когда тело может двигаться поступательно и вращаться, для
равновесия необходимо выполнение обоих условий: равенство нулю
равнодействующей силы и равенство нулю суммы всех моментов.
Оба эти условия не являются достаточными для покоя.
87
Рис.4.31
При качении колеса по горизонтальной поверхности равнодействующая сила и
момент сил равны нулю. Катящееся по горизонтальной поверхности колесо –
пример безразличного равновесия (рис. 4.31). Если колесо остановить в любой
точке, оно окажется в равновесном состоянии. Наряду с безразличным
равновесием в механике различают устойчивые и неустойчивые состояния
равновесия.
Состояние равновесия называется устойчивым, если при малых отклонениях
тела от этого состояния возникают силы или моменты сил, стремящиеся
возвратить тело в равновесное состояние.
При малом отклонении тела из состояния неустойчивого равновесия
возникают силы или моменты сил, стремящиеся удалить тело от положения
равновесия.
Шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в
безразличном состоянии равновесия. Шар, находящийся в верхней точке
сферического выступа, – пример неустойчивого равновесия. Наконец, шар на дне
сферического углубления находится в состоянии устойчивого равновесия
(рис.4.32).
Рис. 4.32
На рис.4.32 изображены различные типы равновесия шара на опоре. (1) –
безразличное равновесие, (2) – неустойчивое равновесие, (3) – устойчивое
равновесие.
Для тела, имеющего неподвижную ось вращения, возможны все три вида
равновесия. Безразличное равновесие возникает, когда ось вращения проходит
через центр масс. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр масс
88
находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения. При этом,
если центр масс находится ниже оси вращения, состояние равновесия оказывается
устойчивым. Если же центр масс расположен выше оси – состояние равновесия
неустойчиво (рис.4.33).
Рис. 4.33
Устойчивое (1) и неустойчивое (2) равновесие однородного круглого диска,
закрепленного на оси O; точка C – центр масс диска; ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹т – сила тяжести; 𝐹⃗𝑦 –
упругая сила оси; d – плечо.
Особым случаем равновесия является равновесие тела на опоре. В этом
случае упругая сила опоры приложена не к одной точке, а распределена по
основанию тела. Тело находится в равновесии, если вертикальная
линия, проведенная через центр масс тела, проходит через
площадь опоры, то есть внутри контура, образованного линиями,
соединяющими точки опоры. Если же эта линия не пересекает
площадь опоры, то тело опрокидывается. Интересным примером
равновесия тела на опоре является падающая башня в
итальянском городе Пиза (рис.4.34), которую по преданию
использовал Галилей при изучении законов свободного падения
тел. Башня имеет форму цилиндра высотой 55 м и радиусом 7 м.
Вершина башни отклонена от вертикали на 4,5 м.
Рис. 4.34
Вертикальная линия, проведенная через центр масс башни, пересекает основание
приблизительно в 2,3 м от его центра. На рисунке обозначены: точка C – центр
масс, точка O – центр основания башни, CC' – вертикаль, проходящая через центр
масс. Таким образом, башня находится в состоянии равновесия. Равновесие
нарушится и башня упадет, когда отклонение ее вершины от вертикали достигнет
14 м.
Вопросы для самоконтроля и повторения
- Что называется моментом инерции тела? Какова роль момента инерции во
вращательном движении?
- Сформулируйте теорему Штейнера. От чего зависит момент инерции тела?
- Что называется моментом силы относительно неподвижной точки?
Относительно неподвижной оси? Как определяется направление момента силы?
- Что такое момент импульса твердого тела? Как определяется направление
момента импульса?
89
- Какова формула для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси? Как определяется работа при вращении тела?
- Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного движения
твердого тела.
- Сформулируйте закон сохранения момента импульса. В каких системах он
выполняется?
- Сопоставьте основные величины и уравнения динамики поступательного и
вращательного движений.
2.8 Движение в неинерциальных системах отсчета
План лекции
Неинерциальные системы отсчета (НИСО);
Силы инерции.
Силы инерции в прямолинейно движущихся НИСО.
Прежде всего, сравним движения относительно двух разных инерциальных
систем. Характер движения в разных системах может быть различным. Примем,
например, за одну из инерциальных систем Землю, а за другую — вагон поезда,
равномерно движущегося по прямому участку пути. Пусть в вагоне на нити
подвешено какое-либо тело. При отвесном положении нити тело будет
находиться в равновесии: сумма сил, на него действующих (сил притяжения
Земли и натяжения нити), будет равна нулю. Перережем нить; тело начнет падать
с ускорением g, и его траектория относительно вагона окажется вертикальной
прямой, что можно установить, например, фотографируя падение кинокамерой,
установленной в самом вагоне. Если же движение тела рассматривать
относительно Земли, например, фотографируя его с полотна железной дороги, то
траектория тела окажется параболой (рис.5.1).
Наоборот, подвешивая тело на Земле и фотографируя
его падение после пережигания нити, получим
траекторию в виде вертикальной прямой на снимке,
сделанном с земной поверхности, и параболу - на
снимке, сделанном из вагона. Все это легко объяснить.
Различие в движениях относительно разных систем
вызвано только разными начальными скоростями тела Рис.5.1
относительно одной и другой инерциальных систем.
В первом примере тело первоначально покоилось относительно поезда, а
относительно Земли двигалось в горизонтальном направлении со скоростью
поезда. Значит, после пережигания нити относительно вагона происходило
свободное падение тела без начальной скорости, а относительно Земли – так же
свободное падение, но с начальной скоростью. Во втором примере падение без
начальной скорости происходило относительно Земли, а с начальной скоростью относительно вагона. Однако в обеих системах ускорение тела одно и то же.
Первоначально сумма сил, действующих на тело, равна нулю и выполняется
закон инерции: тело в каждой системе либо покоится, либо движется с
постоянной скоростью прямолинейно, т. е. не имеет ускорения. После
пережигания нити на тело действует только сила тяжести и для обеих систем
справедлив второй закон Ньютона, по отношению к каждой системе отсчета тело
падает с ускорением g, вызванным тяготением Земли.
90
Аналогичная картина будет наблюдаться и во всех других случаях
движений тел относительно разных инерциальных систем отсчета.
Движение относительно инерциальной и неинерциальной систем отсчета.
Иная картина получается при сравнении данного движения относительно
какой-либо инерциальной и какой-либо неинерциальной систем отсчета. Силы,
действующие на тело со стороны других тел: силы упругости, трения, тяготения и
т. д., не зависят от того, по отношению к какой системе отсчета изучается
движение тела. Но ускорения тел относительно инерциальной и неинерциальной
систем различны. Поэтому по отношению к неинерциальным системам отсчета
нельзя будет объяснить данное движение тела силами, действующими на него со
стороны каких-то определенных других тел.
Проиллюстрируем это снова на примере подвешенного груза, считая теперь,
что вагон, принимаемый за систему отсчета, движется по горизонтальному
прямому участку пути ускоренно. Ускорение поезда
обозначим через 𝑤
⃗⃗⃗. В этом случае нить, на которой
подвешено тело, установится при равновесии не по отвесу,
как в равномерно движущемся вагоне, а под некоторым
углом к вертикали, отклоняясь в сторону, противоположную
ускорению вагона (рис.5.2). Отклонение тем больше, чем
больше ускорение. Таким образом, тело относительно
вагона находится в равновесии,, в то время как силы, действующие Рис.5.2
на тело (сила тяжести mg и сила натяжения нити Т), направлены под углом друг
к другу и поэтому уравновешивать друг друга не могут: тело покоится
относительно системы отсчета, в то время как результирующая действующих на
него сил не равна нулю. Эту результирующую силу легко найти, рассмотрев
движение тела относительно Земли. Так как тело относительно вагона
неподвижно, то его ускорение а относительно Земли равно ускорению вагона w
(т.е. a=w). Следовательно, результирующая сила равна mw и направлена
горизонтально (рис.5.2)
Если нить, на которой висит тело, пережечь, то оно начнет ускоренно
падать, причем, как показывает опыт, его траектория относительно вагона
окажется наклонной прямой, лежащей на продолжении нити до того, как она была
пережжена (рис.5.2). Но после пережигания нити на тело действует только одна
сила - сила притяжения Земли, направленная вертикально вниз. Ускорение же
относительно вагона направлено под углом к вертикали.
Что же касается движения тела относительно Земли, то оно легко
объясняется действующими силами: до пережигания нити результирующая сил,
действующих на тело, равнялась та, поэтому тело двигалось с тем же
ускорением, что и поезд; после пережигания нити тело падает по параболе с
начальной скоростью, равной скорости поезда в момент пережигания нити;
действительно, после того как нить пережжена, движение поезда уже никак не
влияет
на
движение
не
связанного
с
ним
тела.
Поступательно движущиеся неинерциальные системы.
Различие в закономерностях движения в неинерциальных и инерциальных
системах отсчета заключается в том, что при учете всех сил, действующих со
стороны других тел на данное тело (сил тяготения, упругости, трения и т. д.),
91
второй закон Ньютона выполняется для инерциальных систем и не выполняется
для неинерциальных. Проще всего это различие выражается для неинерциальных
систем, движущихся относительно инерциальных поступательно. Выберем,
например, в качестве неинерциальной системы ускоренно движущийся по
прямому участку пути вагон, а в качестве инерциальной системы - Землю.
Если тело относительно вагона покоится, то, как мы видели ранее, сила,
действующая на тело, равна:
⃗⃗⃗⃗
𝐹 = 𝑚𝑤
⃗⃗⃗
где m - масса тела, 𝑤
⃗⃗⃗ - ускорение неинерциальной системы отсчета. Если тело
движется вдоль вагона с ускорением а', а сам вагон по-прежнему движется с
ускорением w, то результирующее ускорение тела относительно Земли
𝑤
⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗
𝑎′
Значит, согласно второму закону Ньютона, результирующая сила 𝐹⃗ , действующая
на данное тело со стороны других тел, должна равняться:
𝑚𝑎⃗ = 𝑚𝑤
⃗⃗⃗ + 𝑚𝑎⃗′
Таким образом, и тогда, когда тело покоится, и тогда, когда оно имеет ускорение
относительно вагона, равнодействующая сил, приложенных к нему на него со
стороны других тел, не равна массе тела, умноженной на его ускорение
относительно вагона, т. е. для неинерциальной системы второй закон Ньютона
нарушается.
Силы инерции.
Естественно возникает вопрос: как должны отличаться друг от друга силы,
действующие на данное тело в инерциальной и неинерциальной системах отсчета,
чтобы второй закон Ньютона был справедлив для этого тела в обеих системах?
Полученные ранее формулы дают на это ответ: необходимо, чтобы, кроме сил,
действующих на данное тело со стороны других тел, результирующую которых
обозначили через F, действовала еще добавочная сила 𝑓𝑘 = −𝑚𝑤, равная массе
тела, умноженной на ускорение неинерциальной системы, взятое с обратным
знаком.
В самом деле, тогда в случае тела, покоящегося относительно вагона,
найдем, что результирующая всех сил вместе с этой добавочной силой будет
равна нулю, так что окажется выполненным закон инерции относительно
неинерциальной системы. Для тела, движущегося ускоренно, получается, что
результирующая всех сил вместе с этой добавочной силой будет равна:
𝐹⃗ + 𝑓⃗𝑘 = 𝑚𝑎⃗ − 𝑚𝑤
⃗⃗⃗ = 𝑚𝑎⃗′ ,
так что окажется выполненным второй закон Ньютона относительно
неинерциальной системы. Такие добавочные силы называют силами инерции.
Если учитывать силы инерции, то для неинерциальной системы отсчета первый и
второй законы Ньютона выполняются так же, как и для инерциальных систем:
масса тела, умноженная на его ускорение относительно неинерциальной системы
отсчета, будет равна по модулю и направлению равнодействующей всех сил,
приложенных к телу, включая и силы инерции.
Мы получили этот результат для движения тела, вдоль прямолинейно
движущегося вагона. Однако, можно показать, что всякий раз, учитывая силу
инерции, равную массе тела, умноженной на ускорение системы отсчета, взятое с
92
обратным знаком, мы сможем применять первый и второй законы Ньютона при
любом поступательном движении неинерциальной системы отсчета (как
прямолинейном, так и криволинейном) и при произвольном движении тела
(например, поперек вагона или по произвольной траектории).
Силы инерции принципиально отличаются от всех сил, с которыми мы
имели дело раньше. Эти силы обусловлены не действием каких-либо тел на
данное тело, а наличием ускорения неинерциальной системы отсчета
относительно любой инерциальной, в частности, относительно системы «Солнце звезды».
Для сил, действующих со стороны одного тела на другое, всегда можно
указать тело, со стороны которого действует данная сила. Для сил инерции
можно указать тело, на которое сила действует, но нельзя указать никакого тела,
со стороны которого эта сила действует. Поэтому третьим законом Ньютона в
неинерциальных системах нельзя пользоваться даже при учете сил инерции.
Действительно, эти силы появляются «в одиночку», а не «парой». Нет никаких
сил противодействия, приложенных к другому телу со стороны данного, да нет и
«другого» тела, Нельзя, конечно, пользоваться и следствиями из третьего закона
Ньютона. Так, закон сохранения импульса для движений, рассматриваемых
относительно неинерциальных систем отсчета, несправедлив.
Итак, до сих пор первый и второй законы Ньютона позволяли нам находить
движения только относительно инерциальных систем отсчета, так что найти
движение относительно неинерциальной системы мы могли только путем
пересчета. Учитывая же силы инерции, мы можем пользоваться теми же законами
движения, как для инерциальных, так и для неинерциальных систем. Законы
оказываются одинаковыми, но в неинерциальных системах, помимо обычных сил,
появляются силы инерции. В частности, для тела, покоящегося относительно
неинерциальной системы, сила инерции уравновешивает все остальные силы,
действующие на тело.
Задачу о положении отвеса в ускоренно движущемся
вагоне теперь можно рассмотреть с точки зрения
неинерциального наблюдателя, Учитывая силы инерции,
приходим к задаче о равновесии по отношению к вагону
подвешенного на нити груза под действием силы тяжести,
силы натяжения нити и силы инерции. На рис. 5.3 показаны
Рис. 5.3
все эти силы.
Точно так же, при резком торможении вагона, т. е. при сообщении вагону
ускорения, направленного назад, на тело стоящего человека подействует сила
инерции, направленная вперед: под действием силы инерции человек наклонится
вперед и может упасть. При увеличении скорости вагона, наоборот, сила инерции
будет направлена назад и отклонит тело человека в сторону, обратную движению.
Эквивалентность сил инерции и сил тяготения.
Силы инерции и силы тяготения схожи друг с другом: и те и другие
пропорциональны массе тела, на которое они действуют, и поэтому ускорения,
сообщаемые данному телу как силами тяготения, так и силами инерции, не
зависят от массы данного тела. Поэтому, наблюдая в данной системе отсчета за
движением тела под действием сил и не зная, является ли данная система
93
инерциальной, нельзя различить, имеем ли мы дело с силой тяготения или с силой
инерции.
Будем, например, наблюдать подвешенный или падающий груз в вагоне. Без
наблюдений за какими-либо телами, расположенными вне вагона, мы не сможем
определить, чем вызвано отклонение отвеса или траектории падающего груза от
перпендикуляра к полу вагона. В самом деле, представим себе, что окна вагона
закрыты шторами, и мы не можем определить направление вертикали, например,
глядя на стены домов. Как в этом случае мы можем объяснить наблюдающееся
отклонение отвеса от перпендикуляра, восстановленного из некоторой точки пола
вагона? Отвес отклонится, если вагон неподвижен, но стоит на наклонном пути
(рис.5.4,а). Тогда отклонение нити объяснится действием силы тяготения: отвес
перпендикулярен к поверхности Земли, а пол вагона к ней наклонен. Но такое же
отклонение может возникнуть и на горизонтальном пути, если вагон движется с
ускорением в сторону, противоположную отклонению отвеса от перпендикуляра
к полу (рис. 5.4,б). В этом случае отклонение объяснится тем, что вагон движется
ускоренно.
То же относится и к наблюдению траектории падения груза при
пережигании нити. Если принять, что направление отвеса или направление
свободного падения дает направление силы тяготения, то в первом случае это
направление будет определено правильно, а во втором - неправильно. Однако, в
закрытом вагоне нет никакого способа выяснить направление именно силы
тяготения. Опыты, производимые внутри вагона, всегда дают результирующую
силы тяготения и силы инерции, а так как обе силы одинаковым образом зависят
от массы ускоряемых тел, то мы и не можем их разделить.
Рис.5.4
Рассмотрим еще пример одновременного действия силы тяготения и силы
инерции. Представим себе кабину лифта, движущегося по вертикали с
ускорением, которое может быть направлено как вверх, так и вниз (направление
вниз будем считать положительным). Будем считать, что мы не можем выглянуть
наружу, чтобы установить, как движется кабина относительно Земли. Отвес с
грузом в таком лифте всегда расположится по перпендикуляру к полу кабины, так
как и сила тяготения, и сила инерции направлены по перпендикуляру к полу. Но
сила натяжения нити отвеса (ее можно измерять, например, подвешивая нить к
динамометру) будет зависеть от ускорения лифта.
Действительно, пусть ускорение лифта направлено вверх и равно - w. Тогда
сила инерции направлена вниз и равна mw. Так как подвешенный груз находится
в покое под действием силы тяготения, силы инерции и силы натяжения нити, то
сила натяжения нити запишется в виде:
94
𝑇 = 𝑚𝑔 + 𝑚𝑤 = 𝑚(𝑔 + 𝑤),
это значение и покажет динамометр. Но, оставаясь внутри лифта, мы не можем
выяснить, вызвано ли это растяжение ускоренным движением лифта или
повышенной силой тяготения, равной m(g+w). Ведь на планете с большей силой
тяготения, чем на Земле, данная гиря в покоящемся лифте также растягивала бы
динамометр с силой, превышающей mg.
Если теперь представим себе, что лифт движется с ускорением,
направленным вниз, то сила инерции будет направлена вверх и сила натяжения
нити будет равна:
𝑇 = 𝑚(𝑔 − 𝑤)
Эта сила также могла бы наблюдаться в неподвижном лифте, если бы
опыты делались на меньшей планете, - различить эти два случая по описанному
опыту снова нельзя. Если ускорение лифта направлено вниз и по модулю
превосходит g (это можно получить, например, располагая лебедку под лифтом
так, чтобы трос тянул кабину лифта вниз), то результирующая силы тяготения и
силы инерции окажется направленной вверх и по модулю будет равна m(w-g). Под
действием этой силы груз, прикрепленный нитью к полу, поднимется к потолку:
«верх» и «низ» поменяются местами. При пережигании нити груз упадет на
потолок. Находясь внутри лифта и не имея представления о том, что происходит
снаружи лифта, мы сможем истолковать такие опыты либо как появление сил
инерции вследствие ускоренного движения лифта, либо как изменения модуля (и
направления относительно кабины) силы тяготения, либо как наличие обеих
причин вместе. Наконец, наблюдая деформации покоящихся тел, также нельзя
различить, действует ли на тело сила тяжести или движется ускоренно система
отсчета: в обоих случаях картина деформации тела будет одинаковой
Из всего сказанного следует, что при поступательном ускоренном движении
системы отсчета относительно инерциальных систем силы инерции в ускоренной
системе таковы, как если бы все тела притягивались в сторону, противоположную
ускорению системы, с силами, пропорциональными массе тел. «Ускорение
свободного падения», вызванное этой «силой тяготения», равно ускорению
системы отсчета относительно инерциальных систем, взятому с обратным знаком.
Ускоренное поступательное движение системы отсчета по своему действию на
движение тел эквивалентно появлению соответственных сил тяготения. Это
положение называют эквивалентностью сил тяготения и сил инерции. Так как
силы тяготения зависят от расстояния до притягивающего тела, то
эквивалентность будет иметь место только в ограниченных областях, в пределах
которых различием в расстояниях можно пренебречь.
Невесомость и перегрузки.
Рассмотрим системы отсчета, связанные с телами, на которые действуют
только силы тяготения. Такой системой является, например, корпус
искусственного спутника. Вначале, однако, рассмотрим более простой пример.
Представим себе, что трос, на котором висит кабина лифта, оборвался, и кабина
начала падать с ускорением g, направленным вниз. Сила инерции, действующая
на тело массы m, находящееся в кабине, будет равна (-mg). Знак минус
показывает, что сила направлена вверх, противоположно силе тяжести. Но сила
тяжести, действующая на данное тело, равна mg и направлена вниз. Значит,
95
вместе с силой инерции эти силы взаимно уравновесятся. Если тело висело на
нити, то сила натяжения нити исчезнет; если пережечь нить, то тело останется на
месте относительно кабины. Если сообщить незакрепленному телу некоторую
скорость, то оно будет двигаться прямолинейно и равномерно, пока не ударится о
стенку кабины. Отвес не будет иметь никакого определенного положения
равновесия: если толкнуть грузик отвеса вбок, то, вместо того чтобы начать
колебаться вблизи начального положения, он будет равномерно вращаться вокруг
точки подвеса. Чтобы тело покоилось относительно падающего лифта, не нужно
ни опоры, ни подвеса, а покоящиеся тела не будут деформированы. Вместе с этим
исчезнет сила, с которой покоящееся тело, находящееся под действием силы
тяготения, давит на подставку или растягивает подвес; словом, исчезнет вес.
Поэтому условия, имеющие место в падающем лифте, называют состоянием
невесомости.
Такая же картина невесомости будет наблюдаться и в искусственном
спутнике, движущемся по орбите. Ведь движение спутника представляет так же
свободное падение с ускорением, создаваемым силой тяжести; поэтому для
любого тела в спутнике, с точки зрения находящегося в нем наблюдателя, сумма
сил тяготения и сил инерции будет равна нулю. Внутри кабины нельзя
определить, где «верх» и где «низ»; тела не падают на пол, а «плавают» в воздухе.
Для того, чтобы удерживать в руке тело даже большой массы, не требуется
никаких усилий, и т.д. С точки же зрения наблюдателя, находящегося в
инерциальной системе отсчета, космонавт не обнаруживает ускорений тел,
находящихся в кабине, в том числе и своего тела, относительно стенок кабины,
потому что как кабина, так и все тела в ней, и он сам в том числе, «падают», т.е.
имеют одинаковое ускорение g. Как видно из сказанного, состояние невесомости
наступает не потому, что сила земного притяжения «перестает действовать», но
именно потому, что она «делает свое дело» - сообщает всем телам одинаковое
ускорение.
Если космонавт попытается массивному телу, которое «плавает» в воздухе,
сообщить толчком большую скорость, то он убедится, что для этого нужно
приложить вполне ощутимую силу. Эту силу можно вычислить по второму
закону Ньютона как произведение массы тела на его ускорение относительно
кабины. В состоянии невесомости массивное тело перестает давить на руку,
которая удерживает его в определенном положении, но вовсе не перестает давить
на руку, сообщающую ему ускорение. Если массивному телу сообщена
значительная начальная скорость, то оно будет продолжать двигаться с той же
скоростью прямолинейно, пока не наткнется на стенку кабины, и если стенка
выдержит этот удар, то тело отразится от стенки и начнет двигаться в обратном
направлении с той же скоростью. Словом, космонавт не обнаружит никаких
отклонений от законов механики, но обнаружит отсутствие тех явлений, которые
обусловлены действием сил земного тяготения. Поэтому в состоянии невесомости
у космонавта отсутствуют привычные явления, вызываемые силой тяжести
(например, постоянное напряжение некоторых мышц, деформации внутренних
органов и т. п.), к которым организм приспособился в процессе эволюции.
Все сказанное о состоянии невесомости относится к тому случаю, когда на
космический корабль действуют только силы тяготения. Если же на него
96
действует еще и сила тяги реактивных двигателей, то состояние невесомости
нарушается. Например, на «активном участке» траектории, когда двигатели
работают, разгоняя ракету до требуемой скорости, поднимая ее вертикально
вверх, сила инерции направлена вертикально вниз и для тела массы m равна mа,
где а - ускорение ракеты. Таким образом, космонавт, рассматривающий движение
окружающих его тел относительно стенок кабины, обнаружит, что, кроме силы
тяжести mg, на тела действует еще в том же направлении сила инерции та.
Точнее говоря, так как он не сможет различить эти силы, он обнаружит, что на
тело действует сила т(g+a) - результирующая силы тяготения и силы инерции.
Картина будет такова, как если бы сила тяготения Земли увеличилась в (g+а)/g
раз. Ускорение при взлете ракеты может значительно превышать ускорение
свободного падения, так что результирующие силы, действующие на покоящиеся
тела в кабине, могут в несколько раз превышать силу тяжести для этих тел.
Соответственно увеличатся и деформации, вызванные этой возросшей силой, и
силы, с которыми действуют друг на друга деформированные тела и части
деформированных тел. Это явление называют перегрузкой. Говорят о двукратной,
трехкратной и т. д. перегрузке, когда результирующая сил тяжести и сил инерции
превышает в два, три и т. д. раза силу тяжести, действующую на тело.
Состояние перегрузки действует на организм космонавта значительно
сильнее, чем состояние невесомости, но при полетах в космосе оно длится
гораздо меньшее время - время работы двигателей. Для того, чтобы космонавт
легче переносил перегрузки, принимают специальные меры: космонавт
располагается лежа в специальном кресле так, чтобы его возросший вес
распределялся по возможно большей площади и не изменял условий
кровообращения.
Перегрузки легко объяснить и с точки зрения «инерциального
наблюдателя». С этой точки зрения силы инерции отсутствуют, но, помимо сил
тяготения, к космическому кораблю и к каждому из тел, в нем находящихся,
приложены силы, действующие при непосредственном соприкосновении и
сообщающие всем этим телам данное ускорение. В этом случае ускоряемые тела
оказываются деформированными, и, значит, между их частями действуют силы
упругости такие же, какие действовали бы между ними, если бы тела покоились и
на них действовала бы увеличенная сила тяготения.
2.9 Равномерно вращающиеся НИСО
План лекции
Центробежная сила инерции; сила Кориолиса. Проявление сил инерции на Земле.
Маятник Фуко.
До сих пор мы пользовались в качестве инерциальных систем как Землей,
так и системой отсчета Солнце - звезды (гелиоцентрической системой). Однако,
обе они инерциальными быть не могут: если рассматривать движение
относительно Солнца и звезд, то Земля вращается вокруг своей оси и движется
вокруг Солнца по криволинейной траектории, т.е. с ускорением относительно
Солнца и звезд.
Центростремительное ускорение точек Земли относительно Солнца и звезд,
вызванное ее вращением вокруг своей оси, будет наибольшим на экваторе. Для
точек на экваторе это ускорение можно найти по формуле:
97
𝑎 = 𝜔2 𝑟,
подставляя вместо 𝜔 угловую скорость вращения Земли, равную 2𝜋 рад/сут, или
примерно 7,5•10-5 рад/с, а вместо r — радиус Земли, равный 6,4•106 м. Расчет
дает а≫0,034 м/с2. Ускорение точек Земли при ее годовом обращении вокруг
Солнца получим из той же формулы, подставляя в нее вместо 𝜔 величину 2𝜋
рад/год, или примерно 2х10-7 рад/с, и вместо r - радиус земной орбиты равный
1,5•1013 м. Ускорение оказывается более 0,0006 м/с2. Как видим, ускорения Земли
в ее космических движениях очень малы по сравнению с теми, с которыми
приходится практически встречаться при движениях у поверхности Земли,
например, с ускорением свободного падения g≫10м/с2. Поэтому во всех
сравнительно грубых опытах, которые рассматривались до сих пор, эти ускорения
не играли никакой роли, так что, если одна из применявшихся систем отсчета
(Земля и Солнце - звезды) инерциальна, то практически инерциальной для грубых
опытов оказывалась и вторая система отсчета. Однако более точные опыты
должны обнаружить различие между этими двумя системами отсчета и
установить, какая из этих систем является инерциальной.
В действительности удалось установить, что инерциальной системой
отсчета является система Солнце - звезды, а Земля - неинерциальная система. Но
отличие Земли от инерциальной системы невелико, и им обычно можно
пренебрегать. Случаи, когда неинерциальность Земли нужно учитывать, будем
разбирать отдельно.
Рассмотрим движение тел по отношению к системам отсчета, вращающимся
относительно инерциальных систем. Выясним, какие силы инерции действуют в
этом случае. Ясно, что это будет более сложно, так как разные точки таких систем
имеют разные ускорения относительно инерциальных систем отсчета.
Начнём со случая, когда тело покоится относительно вращающейся
системы отсчета. В этом случае сила инерции должна уравновешивать все силы,
действующие на тело со стороны других тел. Пусть система вращается с угловой
скоростью 𝜔, а тело расположено на расстоянии r от оси вращения и находится в
равновесии в этой точке. Для того, чтобы найти результирующую сил,
действующих на тело со стороны других тел, можно рассмотреть движение тела
относительно инерциальной системы. Это движение есть вращение с угловой
скоростью 𝜔 по окружности радиуса r. Результирующая сила будет направлена к
оси по радиусу и равна m𝜔2 𝑟, где m - масса тела. Эта сила может быть вызвана
натяжением нити (вращение грузика на нити), силой тяготения (движение планет
вокруг Солнца), упругостью других тел (упругость рельсов при движении вагона
по закруглению) и т.п.
Результирующая сила не зависит от того, в какой системе отсчета
рассматривается данное движение. Но относительно нашей неинерциальной
системы тело покоится. Значит, сила инерции уравновешивает эту
результирующую, т. е. равна массе тела, умноженной на ускорение той точки
системы, где находится тело, и направлена противоположно этому ускорению.
Таким образом, сила инерции также равна m𝜔2 𝑟, но направлена по радиусу от
оси вращения. Эту силу называют центробежной силой инерции. Силы,
действующие со стороны других тел на тело, покоящееся относительно
вращающейся системы отсчета, уравновешиваются центробежной силой инерции.
98
В отличие от сил инерции в поступательно движущихся системах,
центробежная сила инерции для тела данной массы зависит от точки, в которой
расположено тело, и по модулю и по направлению: центробежная сила инерции
направлена по радиусу, проходящему через тело, и для заданной угловой
скорости пропорциональна расстоянию от тела до оси вращения.
Вследствие вращения Земли на ней также
должна наблюдаться центробежная сила инерции
(которой мы до сих пор пренебрегали). Ранее нашли,
что центростремительное ускорение на экваторе равно
0,034 м/с2. Это составляет примерно 1/300 часть
ускорения свободного падения g. Значит, на тело
массы m, находящееся на экваторе, действует
центробежная сила инерции, равная mg/300 и
направленная от центра, т. е. по вертикали вверх. Эта сила
рис.5.5
уменьшает вес тела по сравнению с силой притяжения Земли на 1/300 часть.
Так как на полюсе центробежная сила инерции равна нулю, то при перенесении
тела с полюса на экватор оно «потеряет» вследствие вращения Земли 1/300 часть
своего веса. На других широтах центробежная сила инерции будет меньше,
изменяясь пропорционально радиусу параллели, на которой расположено тело
(рис.5.5). Из рисунка видно, что всюду, кроме экватора и полюсов, центробежная
сила инерции направлена под углом к направлению на центр Земли, отклоняясь от
него в сторону экватора. В результате сила тяжести mg, представляющая собой
результирующую силы притяжения к Земле и центробежной силы инерции,
оказывается отклоненной от направления на центр Земли в сторону экватора.
В действительности, как показал опыт, потеря веса тела при перенесении
его с полюса на экватор составляет не 1/300 часть его веса, а больше: около 1/190
части. Это объясняется тем, что Земля не шар, а слегка сплюснутое тело, и
поэтому сила тяжести на полюсе оказывается несколько больше, чем на экваторе.
Влияние силы инерции и различия в силе притяжения к Земле на разных широтах
приводит к зависимости ускорения свободного падения от широты местности и к
различию в ускорении свободного падения в разных точках земного шара.
Итак, мы видим, что существует эквивалентность центробежной силы
инерции и сил тяготения. Если бы Земля не вращалась, та же потеря в весе
вызывалась бы немного большей «сплюснутостью» Земли, а если бы Земля не
была сплюснута, та же потеря в весе вызывалась бы несколько большей
скоростью вращения Земли. Отклонение отвеса также вызывалось бы не
вращением Земли, а неравномерным распределением масс внутри Земли.
Таким образом, различие в весе тел и отклонения отвеса в разных точках
земного шара еще нельзя считать доказательством вращения Земли относительно
инерциальной системы отсчета. Сама «сплюснутость» Земли объясняется ее
вращением: с точки зрения земного наблюдателя она вызвана центробежными
силами инерции, направленными от оси и имеющими наибольшее значение на
экваторе. С точки зрения «инерциального наблюдателя» деформация Земли
возникает так же, как деформация всякого вращающегося тела
Подобным же образом сплюснуты и другие вращающиеся небесные тела.
Юпитер, например, сплюснут очень сильно вследствие большой скорости его
99
вращения (один оборот за 10 часов). Напротив, Луна, совершающая один оборот
вокруг своей оси за один месяц, практически не сплюснута и имеет форму шара.
Силы инерции при движении тела относительно вращающейся системы
отсчета
Если тело движется относительно вращающейся системы отсчета, то, даже
учитывая помимо сил, действующих со стороны других тел, центробежную силу
инерции, мы не достигнем того, чтобы законы Ньютона соблюдались
относительно вращающейся системы. В этом случае имеется еще некоторая
добавочная сила инерции, зависящая от скорости тела.
Чтобы показать это, рассмотрим такой пример. Будем двигать
кусок мела вдоль неподвижной линейки. Если под линейкой
расположена
неподвижная доска, то мел прочертит на ней прямую линию.
Если же доска под линейкой вращается, то мел прочертит на
ней некоторую кривую (рис.5.6). Значит, траектория мела
относительно вращающейся системы отсчета окажется
криволинейной, а потому мел будет иметь ускорение,
нормальное к траектории. Но по отношению к инерциальной
Рис.5.6
системе (неподвижной линейке) мел двигался прямолинейно.
Значит, никаких сил, действующих со стороны других тел и перпендикулярных и
к траектории; нет. Следовательно, во вращающейся системе действует еще сила
инерции, перпендикулярная к траектории, описываемой телом во вращающейся
системе отсчета. Эту добавочную силу инерции называют кориолисовой силой по
имени французского механика Густава Гаспара Кориолиса (1792—1843), который
дал расчет этой силы. Расчет показывает, что для движений тела, происходящих в
плоскости, перпендикулярной к оси вращения, кориолисова сила инерции 𝑓𝑘
равна удвоенному произведению угловой скорости 𝜔 вращающейся системы
отсчета на скорость v тела относительно этой системы и на массу тела: 𝑓𝑘 =2mwv.
Направление силы перпендикулярно к скорости и обращено в такую сторону, что
для совмещения с направлением скорости тела, ее нужно было бы повернуть на
прямой угол в сторону вращения системы отсчета. Следовательно, при перемене
направления движения тела на обратное или при перемене направления вращения
системы на обратное (например, по часовой стрелке и против часовой стрелки)
направление кориолисовой силы инерции меняется на обратное.
Сила Кориолиса отличается от всех встречавшихся нам до сих пор сил
инерции тем, что она зависит от скорости движения тела относительно
неинерциальной системы отсчета.
Кроме кориолисовой силы, во вращающейся системе отсчета на
движущееся тело действует и центробежная сила инерции, так же, как она
действовала бы на тело, если бы оно покоилось относительно вращающейся
системы отсчета.
Вернемся теперь к вопросу о том, является ли Земля
инерциальной системой отсчета или нет. Для того, чтобы
выяснить является ли та или иная система отсчета
инерциальной, достаточно сопоставить ускорения тел
относительно этой системы отсчета с силами,
100
действующими на эти тела со стороны других тел. Если эти силы объясняют
наблюдаемые движения тел, т.е. силы и ускорения во всех случаях удовлетворяют
второму закону Ньютона, то система инерциальна. Если же оказывается, что
имеются ускорения, которые нельзя объяснить действием других тел, это значит,
что система неинерциальна, а ускорения вызываются соответственными силами
инерции. Опыт, доказывающий таким способом, неинерциальность Земли (а
именно - ее вращение относительно инерциальных систем отсчета), произвел в
1851г. в Париже французский физик Жан Бернар Леон Фуко (1819-1868). В опыте
Фуко производились наблюдения за качаниями маятника, запущенного в
определенной плоскости (маятник Фуко). Для того чтобы можно было в течение
достаточно долгого времени наблюдать качания, Фуко применил в качестве
маятника груз, подвешенный на очень длинной (67м) тонкой проволоке. Период
колебаний маятника составил 16с. Чтобы проволока не закручивалась, ее верхний
конец был укреплен в подшипнике, который мог свободно вращаться вокруг
вертикальной оси. На груз маятника действовали только две силы: сила тяжести,
направленная вертикально вниз, и сила натяжения проволоки, направленная вдоль
проволоки вверх. Таким образом, результирующая сил, действующих на маятник,
лежала в вертикальной плоскости, проходящей через проволоку, т.е. в плоскости
качаний маятника. При запуске маятника принимались
Рис.5.7
меры для устранения толчков в направлении, перпендикулярном
к начальной плоскости качаний: для запуска груз оттягивался в сторону от
положения равновесия нитью, которая затем пережигалась. В результате маятник
начинал двигаться в той вертикальной плоскости, в которой лежала проволока до
пережигания нити. Если бы Земля была инерциальной системой отсчета, то при
таком способе запуска маятник и при
последующих колебаниях оставался бы в той же самой вертикальной
плоскости. Оказалось, однако, что плоскость качаний маятника не оставалась
неподвижной по отношению к Земле, а поворачивалась по часовой стрелке (если
смотреть на маятник сверху). Траектория движения груза маятника относительно
Земли показана на рис.5.7. На рисунке для наглядности сильно преувеличен угол
поворота плоскости качаний при каждом колебании маятника.
Опыт Фуко производился и в других местах земного шара (в том числе и в
южном полушарии, где плоскость качаний поворачивалась против часовой
стрелки). Выяснилось, что при приближении к полюсу - северному или южному угловая скорость поворота плоскости качаний увеличивается и на самом полюсе
достигает 2𝜋рад/сут. Значит, плоскость качаний маятника на полюсе
поворачивается относительно Земли с той же скоростью, что и Земля
относительно системы отсчета Солнце - звезды, но в обратном направлении.
Следовательно, плоскость качаний маятника неизменна в системе отсчета Солнце
- звезды. Таким образом, в системе отсчета Солнце - звезды мы наблюдаем только
такие ускорения груза маятника, которые сообщают ему другие тела. Это
доказывает, что система отсчета Солнце - звезды является инерциальной.
Одновременно это доказывает, что Земля не является инерциальной системой
отсчета, она - система, вращающаяся относительно инерциальной с угловой
скоростью 2𝜋 рад/сут.
101
Теперь, исходя из того, что Земля - вращающаяся система отсчета, можно
объяснить движение маятника Фуко и с точки зрения земного наблюдателя. Так
как траектория груза маятника криволинейна, то на него должны действовать
силы, перпендикулярные к траектории. Кривизна траектории направлена то в
одну, то в другую сторону в зависимости от того, куда движется маятник, вперед
или назад. Значит, сила должна менять направление на противоположное при
перемене направления движения груза. Эта сила - сила инерции Кориолиса.
Действительно, она направлена перпендикулярно к скорости движущегося тела и
при перемене направления движения (качание вперед и назад) направление ее
меняется на обратное. Под действием силы Кориолиса траектория груза и
оказывается «звездочкой», показанной на рисунке.
Кроме опыта с маятником Фуко, на Земле наблюдаются еще и другие
явления, также связанные с силой Кориолиса. На тела, движущиеся в северном
полушарии с юга на север, действует сила Кориолиса, направленная на восток,
т.е. вправо от направления движения, а на тела, движущиеся с севера на юг,- сила
Кориолиса, направленная на запад, т.е. снова вправо от направления движения.
Такая сила действует, например, на воду в реках, текущих в северном полушарии.
Под действием этой силы вода в реках подмывает правый берег, который поэтому
бывает более крутым и обрывистым, чем левый берег. Эту закономерность
называют законом Бэра, по имени обратившего на нее внимание русского ученого
Карла Максимовича Бэра (1792-1876). По той же причине правые рельсы
двухпутных железных дорог на каждой колее изнашиваются немного сильнее
левых. В южном полушарии, наоборот, более круты левые берега и быстрее
изнашиваются левые рельсы.
Силой Кориолиса объясняется также то, что ветры на Земле образуют
огромные вихри - циклоны и антициклоны.
До сих пор рассматривалось движение тел только относительно
инерциальных систем отсчета. Установлено, что каждый раз, когда тело получает
ускорение относительно такой системы, можно указать другие тела, действия
которых на данное тело вызывают это ускорение. Эти действия - силы;
закономерности, связывающие ускорение тела относительно инерциальных
систем отсчета с силами, действующими на тело,- это закон инерции и второй
закон Ньютона. Показано, что силы носят взаимный характер, что они являются
взаимодействиями тел. Это свойство сил выражается третьим законом Ньютона.
Далее будем рассматривать движения тел относительно неинерциальных
систем отсчета. Относительно таких систем тела могут получать ускорения,
которые нельзя объяснить действием каких-либо определенных тел. Например,
когда в резко затормозившем поезде чемодан слетает с полки, т.е. получает
ускорение относительно поезда, нельзя указать никакого определенного тела,
которое это ускорение вызвало. Если же чемодан был бы привязан, то в
затормозившем поезде он остался бы в покое на полке и не получил бы ускорения
относительно вагона, хотя веревка, которой он привязан, оказалась бы натянутой
и действовала бы на него с определенной силой. Рассматривая движения
относительно инерциальной системы отсчета (например, Земли), можно
объяснить наблюдаемые движения силами, действующими со стороны других
тел. В самом деле, натянувшаяся веревка сообщает чемодану ускорение, равное
102
ускорению затормозившего поезда; поэтому он и остается в покое относительно
вагона. Если же веревки нет, то никакие силы со стороны вагона на чемодан не
действуют, он продолжает двигаться по инерции с прежней скоростью, а вагон, на
который подействовала сила трения заторможенных колес о рельсы, уменьшает
свою скорость, и вагонная полка выскальзывает из-под чемодана.
Итак, движение относительно неинерциальных систем отсчета подчиняется
другим закономерностям, нежели движение относительно инерциальных систем.
С точки зрения наблюдателя, находящегося в неинерциальной системе отсчета,
причины движения не те, что с точки зрения наблюдателя, находящегося в
инерциальной системе.
Если наблюдатель находится в неинерциальной системе отсчета, например,
внутри ускоренно движущегося автомобиля, самолета, спутника, то ему гораздо
проще относить наблюдаемые движения к самим неинерциально движущимся
системам отсчета, чем каждый раз выяснять, как движется тело относительно
какой-либо инерциальной системы отсчета. Но тогда необходимо разобраться в
различиях между закономерностями движений относительно инерциальных и
неинерциальных систем отсчета. Для этого прежде всего рассмотрим подробнее
сами движения относительно разных систем отсчета.
Выражение «с точки зрения наблюдателя, находящегося в той или иной
системе отсчета», подчеркивает, что все измерения положения, скорости и
ускорения тела выполняются относительно именно данной системы отсчета, как
бы она ни двигалась относительно привычных нам систем (Земля, Солнце и
звезды), т.е. так, как их пришлось бы выполнять жителю Земли (относительно
Земли), пассажиру автомашины (относительно автомашины), космонавту
(относительно космического корабля) и т. д.
Если бы Земля была удалена от всех других небесных тел на расстояния во
много раз большие, чем теперь, так, чтобы притяжение других небесных тел
совсем не сказывалось, то отличие Земли от инерциальной системы отсчета
заключалось бы только в том, что она вращается вокруг своей оси. Но фактически
небесные тела Солнечной системы действуют на Землю, сообщая ей некоторое
ускорение относительно Солнца и звезд; поэтому, помимо сил инерции,
обусловленных вращением Земли
вокруг своей оси, нужно учитывать
силы
инерции,
соответствующие
ускоренному движению Земли в
целом. Важнейшее проявление этих
сил в системе отсчета «Земля» — это
морские приливы.
Рис.5.8
На рисунке обозначено: fи - сила
инерции, fА и fВ - силы притяжения частиц воды Луной, w - ускорение Земли,
вызванное притяжением Луны.
Главную роль в морских приливах играют Луна (как ближайшее небесное
тело) и Солнце (как самое массивное небесное тело Солнечной системы).
Рассмотрим сначала приливы, вызываемые Луной. Сила тяготения,
действующая со стороны Луны на Землю, вызывает ускорение w в направлении
прямой, соединяющей центры Земли и Луны (рис.5.8). Следовательно, на все тела
103
на Земле действует сила инерции, равная произведению массы тела на это
ускорение, взятое с обратным знаком. Для Земли в целом эта сила инерции в
точности равна силе притяжения Земли Луной и направлена противоположно.
Вследствие шарообразности этих небесных тел Луна притягивает Землю так, как
если бы вся масса Земли была сосредоточена в ее центре. Но сила тяготения
убывает с расстоянием. Значит, тела, находящиеся на поверхности Земли со
стороны Луны, т.е. ближе к Луне, чем центр Земли, будут притягиваться Луной с
силой, превышающей силу инерции, и разность этих сил направлена от центра
Земли. Поэтому в точках «под Луной» тела «теряют в весе».
В диаметрально противоположных точках сила тяготения Луны снова не
уравновешивает силу инерции, так как тело расположено от Луны дальше, чем
центр Земли. Разность силы инерции и силы притяжения Луной направлена снова
от центра Земли. Значит, в этих местах земной поверхности тела тоже «теряют в
весе». Сила инерции равна силе притяжения Луной и уравновешивается ею
только для точек, лежащих посередине между точками прямо «под Луной» и
диаметрально противоположными точками. Итак, и «под Луной», и с
противоположной стороны тела немного «теряют в весе» вследствие того, что
сила тяготения убывает с расстоянием. Благодаря этому действию Луны с двух
сторон Земли возникает плавное поднятие уровня океана на несколько десятков
сантиметров. Между местами поднятия происходит соответственное опускание
уровня океана. Вследствие вращения Земли эти места поднятия и опускания
перемещаются по поверхности Земли. Посреди моря это небольшое поднятие
практически незаметно, но вблизи берегов оно выражается в том, что вода
заливает берег (прилив), а примерно через 6 часов - отступает от берега (отлив).
Подобно Луне, Солнце также вызывает на Земле приливы и отливы.
Вследствие огромной массы Солнца и сила притяжения Солнца, и
соответственные силы инерции гораздо больше, чем эти же величины для Луны.
Но было показано, что приливы вызывает не одна сила притяжения или сила
инерции, а разность между силой инерции и силой тяготения для одной и другой
сторон Земли. Сила инерции для всей Земли одна и та же: она равна силе
притяжения Земли Солнцем. Сила же притяжения, как и в случае притяжения
Луной, уменьшается при переходе от стороны, освещенной Солнцем, к теневой
стороне. Но чем дальше находится притягиваемое тело (Земля) от
притягивающего (Луна и Солнце), тем медленнее меняется сила тяготения при
удалении. Так как Солнце во много раз дальше от Земли, чем Луна, то
оказывается, что приливное действие, т.е. разность между силой инерции и силой
тяготения, для Солнца меньше, чем для Луны (почти в три раза). Все же действие
приливов, вызванных Солнцем, заметно: когда Луна, Земля и Солнце находятся
на одной прямой (новолуние и полнолуние), приливы усиливаются, а когда
направления на Солнце и на Луну образуют прямой угол (первая четверть или
третья четверть Луны), то приливы ослабевают. Как ясно из рассмотрения
происхождения приливов, они вызываются нарушением эквивалентности сил
инерции и сил тяготения.
становится ясной и причина нарушения
эквивалентности: в то время как сила инерции, возникающая в системе отсчета
«Земля» вследствие ускорения, сообщаемого Земле Луной, не зависит от
104
положения тела на Земле, сила притяжения тела Луной от этого положения
зависит.
В качестве примера рассмотрим следующее. Пусть сосуд с жидкостью
движется ускоренно. Будем рассматривать движение жидкости относительно
сосуда как неинерциальной системы отсчета и введем силы инерции. Жидкость
будет находиться в равновесии под действием всех сил, приложенных к ней,
включая и силы инерции.
Рассмотрим сначала случай поступательно движущейся неинерциальной
системы отсчета. Пусть, например, железнодорожная цистерна с
жидкостью движется с ускорением а по горизонтальному
прямолинейному участку пути. В системе отсчета, связанной с
цистерной, на каждую частицу жидкости будет действовать сила
тяжести mg (где m - масса частицы), направленная вертикально вниз, и
сила инерции -mа, направленная горизонтально в сторону,
противоположную ускорению цистерны (рис.5.9). Сумма этих сил F
отклонена от вертикали в сторону, обратную ускорению.
Рис.5.9
Известно, что свободная поверхность жидкости всегда располагается
перпендикулярно к силе, действующей на частицы жидкости. Значит,
поверхность жидкости наклонится по отношению к горизонту (рис.5.10): в
состоянии равновесия относительно поступательно движущейся неинерциальной
системы отсчета свободная поверхность жидкости оказывается наклоненной к
горизонту. Это легко проверить, например, быстро приводя в движение стакан с
водой или быстро останавливая его. Если
ускорение
достаточно
велико,
вода
выплескивается: нести полный доверху стакан
«осторожно» - значит нести его с малым
ускорением.
Рис.5.10
Если ускорение направлено не по горизонтали, а по вертикали, то действие
сил инерции сводится к тому, что вес жидкости увеличивается (если ускорение
направлено вверх, как при взлете ракеты) или уменьшается (если ускорение
направлено вниз). Соответственно увеличивается или уменьшается давление
жидкости на дно сосуда. Например, при взлете ракеты или при выводе самолета
из пикирования давление горючего на дно баков возрастает (перегрузка).
Возрастает и вес крови в сосудах летчика или космонавта: если тело
летчика расположено вертикально, это вызовет отлив крови от
головы и может привести к обмороку. Поэтому сидения летчиков
устраивают так, чтобы ускорение было направлено от спины к груди,
а не от ног к голове. Напротив, в условиях невесомости вес жидкости
исчезает; жидкость не вытекает из наклоненного или опрокинутого
сосуда, выталкивающая сила исчезает: тяжелый предмет в воде не
тонет, а легкий не всплывает.
Далее рассмотрим случай жидкости, покоящейся относительно
вращающейся системы отсчета. Подвесим ведерко на длинной
Рис.5.11
105
нити и, закрутив нить, дадим ей раскручиваться. Стенки вращающегося ведерка
увлекут за собой жидкость, и она будет вращаться вместе с ведерком, т.е.
окажется в покое относительно ведерка. В этом случае возникает центробежная
сила инерции, которая растет
при удалении от оси вращения. Значит,
результирующая силы тяжести и центробежной силы инерции будет все более
отклоняться от вертикали при удалении от оси вращения. В результате свободная
поверхность жидкости не только отклонится от горизонтали, но и искривится:
наклон к горизонтали будет увеличиваться от оси к стенке ведерка (рис.5.11).
Свободная поверхность жидкости в сечении вертикальной плоскостью
оказывается параболой.
2.10 Элементы специальной теории относительности (СТО)
План лекции
Постулаты
Эйнштейна.
Преобразования
Лоренца.
Относительность
одновременности. Длина и промежутки времени в СТО. Релятивистский закон
преобразования скоростей.
Во второй половине XIX века Д. Максвеллом были сформулированы
основные законы электродинамики. При этом возникли сомнения в
справедливости
механического
принципа
относительности
Галилея
применительно к электромагнитным явлениям. Вспомним суть механического
принципа относительности.
Классическая механика Ньютона достоверно описывает движение
макроскопических тел, движущихся со скоростями, намного меньшими скорости
света. В конце XIX в. было установлено, что выводы классической механики
противоречат некоторым опытным данным. В частности при изучении движения
быстрых заряженных частиц оказалось, что их движение не подчиняется законам
Ньютона. Далее возникли затруднения при попытках применить классическую
механику для объяснения распространения света. Согласно законам
электродинамики скорость распространения электромагнитных волн в вакууме
одинакова по всем направлениям и приблизительно равна с = 3·108 м/с. Но в
соответствии с законами классической физики скорость света может равняться с
только в одной избранной системе отсчета. В любой другой системе отсчета,
движущейся относительно избранной системы со скоростью v, она должна уже
равняться c-v, или c+v. Это означает, что если справедлив закон сложения
скоростей классической механики (формула (5.4)), то при переходе от одной
инерциальной системы к другой законы электродинамики должны меняться, так
как должна меняться скорость света. Таким образом, обнаружились противоречия
между электродинамикой и механикой Ньютона, законы которой согласуются с
принципом относительности Галилея. Для преодоления возникших трудностей
предлагались различные способы:
1. Принять несостоятельность принципа относительности применительно к
электромагнитным явлениям. Еще со времен Фарадея электромагнитные явления
рассматривались как процессы в особой, всепроникающей среде, заполняющей
все пространство, - эфире. Согласно Х. Лоренцу инерциальная система отсчета,
покоящаяся относительно эфира, - это особая система, в которой законы
электродинамики Максвелла справедливы. Лишь в этой системе отсчета скорость
света в вакууме одинакова по всем направлениям.
106
2. Считать ошибочными уравнения электродинамики Максвелла и попытаться
изменить их таким образом, чтобы они при переходе от одной инерциальной
системы к другой (в соответствии с классическими представлениями о
пространстве и времени) не менялись. Такая попытка, в частности, была
предпринята Г. Герцем, который считал, что эфир полностью увлекается
движущимися телами, поэтому электромагнитные явления протекают одинаково,
независимо от того, покоится тело или движется. Принцип относительности
справедлив.
3. Отказаться от классических представлений о пространстве и времени, с тем,
чтобы сохранить и принцип относительности, и законы Максвелла. С этой точки
зрения оказываются неточными не уравнения электромагнитного поля, а законы
механики Ньютона, согласующиеся со старыми представлениями о пространстве
и времени. Таким образом, изменять нужно законы классической механики, а не
законы электродинамики Максвелла.
Вспомним, как трактовались пространство и время в классической физике.
Пространство рассматривалось как бесконечная пустая протяженность,
вмещающая в себе все тела и не зависящая от материи. Время рассматривалось
как абсолютный фактор равномерного потока длительности, в котором все
возникает и исчезает. При этом время не зависит ни от каких процессов в мире.
Развитие естествознания опровергло эти представления. Никакого абсолютного
пространства и времени не существует. Вселенная заполнена материей в форме
вещества и поля, а пространство выступает как всеобщее свойство материи.
Время всегда связано с движением и развитием материи. Таким образом,
пространство – это форма бытия материи, которая выражает ее протяженность и
структурность; время – это форма бытия материи, характеризующая длительность
существования всех объектов, полей и последовательность смены событий.
Основными свойствами пространства и времени являются: а) единство и
неразрывная связь материи, пространства и времени; б) абсолютная
непрерывность и относительная прерывность пространства и времени.
Непрерывность проявляется в распространении материальных полей в
пространстве всех тел и систем, в бесконечном следовании элементов длины при
движении тела между двумя точками. Прерывность пространства относительна и
проявляется в раздельном существовании материальных объектов и систем,
каждая из которых имеет определенные размеры и границы. Прерывность
времени характеризуется лишь временем существования качественных состояний
материи, каждое из которых возникает и исчезает, переходя в другие формы; в)
время обладает длительностью, однонаправленностью, необратимостью.
Последовательно развивая новые, отличные от классических, представления о
пространстве и времени, А. Эйнштейн в начале XX в. создал специальную теорию
относительности (СТО). В рамках этой теории удалось согласовать принцип
относительности с электродинамикой Максвелла. При этом новая теория не
отменяла старую (ньютоновскую механику), а включала ее в себя как частный,
предельный случай.
Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца
Специальная теория относительности представляет собой современную
физическую теорию пространства и времени. В СТО, как и в классической
107
механике, предполагается, что время однородно (инвариантность физических
законов относительно выбора начала отсчета времени), а пространство однородно
и изотропно (симметрично). Специальная теория относительности называется
также релятивистской теорией, а явления, описываемые этой теорией –
релятивистскими эффектами.
В основу СТО легло положение, согласно которому никакая энергия, никакой
сигнал не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света в
вакууме, а скорость света в вакууме постоянна и не зависит от направления
распространения.
Это положение формулируется в виде двух постулатов А. Эйнштейна: принципа
относительности и принципа постоянства скорости света.
Первый
постулат
является
обобщением
механического
принципа
относительности Галилея на любые физические процессы и утверждает, что
законы физики имеют одинаковую форму (инвариантны) во всех инерциальных
системах отсчета: любой процесс протекает одинаково в изолированной
материальной системе, находящейся в состоянии покоя, и в такой же системе,
находящейся в состоянии равномерного прямолинейного движения. Состояние
покоя или движения определяется здесь относительно произвольно выбранной
инерциальной системы отсчета; физически эти состояния равноправны.
Второй постулат утверждает: скорость света в вакууме не зависит от скорости
движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных
системах отсчета.
Анализ явлений в инерциальных
системах отсчета, проведенный А.
y
y΄
Эйнштейном
на
базе
сформулированных им постулатов,
K
K΄
показал,
что
преобразования
Галилея несовместимы с ними и,
следовательно,
должны
быть
A
v
0
0΄
заменены
преобразованиями,
x
x΄
удовлетворяющими
постулатам
z
z΄
СТО.
Рассмотрим две инерциальные
системы
отсчета:
К
(с
Рис. 6.1
координатами x, y, z) и К΄ (с
координатами
x΄,
y΄,
z΄),
движущуюся относительно К вдоль оси х со скоростью v =const. Пусть в
начальный момент времени (t = t΄ = 0), когда начала систем координат совпадают
(0 = 0΄), излучается световой импульс. Согласно второму постулату Эйнштейна
скорость света в обеих системах одна и та же и равна с. Поэтому если за время t в
системе К сигнал дойдет до некоторой точки А, пройдя расстояние
(6.1)
x  ct ,
то в системе К΄ координата светового импульса в момент достижения точки А
будет равна
x   ct ,
(6.2)
.
108
где t΄ - время прохождения светового импульса от начала координат до точки А в
системе К΄. Вычитая (6.1) из (6.2), получим:
x   x  c(t   t ).
Так как x  x  (система К΄ перемещается относительно К), то получается, что
t  t  , т.е. отсчет времени в системах К΄ и К различен или имеет относительный
характер (в классической механике считается, что время во всех инерциальных
системах отсчета протекает одинаково, т.е. t = t΄).
А. Эйнштейн показал, что в СТО классические преобразования Галилея при
переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой заменяются
преобразованиями Лоренца (1904 г.), удовлетворяющими первому и второму
постулатам (табл.6.1).
Таблица 6.1
Прямые
преобразования
Обратные
преобразования
Галилея
Лоренца
Галилея
Лоренца
x   x  vt
x  x   vt 
x  vt
x   vt 
x 
x

v2
v2
1 2
1 2
c
c
y  y
y  y
y  y
y  y
z  z
z  z
z  z
z  z
2
t  t
t  t
t  (v / c ) x
t   (v / c 2 ) x 
t 
t
v2
v2
1 2
1 2
c
c
Из преобразований Лоренца вытекает, что при малых скоростях (по сравнению со
скоростью света) они переходят в преобразования Галилея. При v>c выражения
для x, t, x΄ и t΄ теряют физический смысл, т.е. движение со скоростью, большей
скорости света в вакууме, невозможно. Кроме того, из табл. 5.1 следует, что как
пространственные, так и временные преобразования Лоренца не являются
независимыми: в закон преобразования координат входит время, а в закон
преобразования времени - пространственные координаты, т.е. устанавливается
взаимосвязь пространства и времени. Таким образом, релятивистская теория
Эйнштейна оперирует не трехмерным пространством, к которому присоединяется
понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и
временные координаты, образующие четырехмерное пространство-время.
Следствия из преобразований Лоренца
1. Относительность одновременности.
Пусть в системе К в точках с координатами х1 и х2 в моменты времени t1 и t2
происходят два события. В системе К΄ им соответствуют координаты x1 и x 2 и
моменты времени t 1 и t 2 . Если события в системе К происходят в одной точке
(х1=х2) и являются одновременными (t1=t2), то, согласно преобразованиям
Лоренца,
x1  x 2 , t1  t 2 ,
т.е. эти события являются одновременными и пространственно совпадающими
для любой инерциальной системы отсчета.
109
Если события в системе К пространственно разобщены (х1 ≠ х2), но одновременны
(t1=t2), то в системе К΄, согласно преобразованиям Лоренца,
x  vt
x  vt
2  2
x
,
x1  1
,
2
2
v
v
1 2
1 2
c
c
2
t 1  ( v / c ) x1
t 2  (v / c 2 ) x 2


t1 
, t2 
,
v2
v2
1 2
1 2
c
c
x1  x 2 , t1  t 2 .
Таким образом, в системе К΄ эти события, оставаясь пространственно
разобщенными, оказываются и неодновременными.
2. Длительность событий в разных системах отсчета. Пусть в некоторой точке
А с координатой х, покоящейся относительно системы К, происходит событие,
длительность которого (разность показаний часов в конце и начале события)
равна:
  t 2  t1
где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность этого же
события в системе К:΄
   t 2  t1 ,
t 1  (v / c 2 ) x
t 2  (v / c 2 ) x
, t 2 
.
где t1 
v2
v2
1 2
1 2
c
c
Таким образом,   
t 2  t1


,    ,
v2
v2
1 2
1 2
c
c
т.е. длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в
той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка
неподвижна. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной
системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов, т.е. ход часов замедляется
в системе отсчета, относительно которой часы движутся.
3. Длина тел в разных системах отсчета. Рассмотрим стержень, расположенный
вдоль оси x΄ и покоящийся относительно системы К΄. Длина стержня в системе К΄
равна l 0  x 2  x1 , где x1 , x 2 - не изменяющиеся со временем t΄ координаты
начала и конца стержня; индекс 0 показывает, что в системе К΄ стержень
покоится. Определим длину стержня в системе К, относительно которой он
движется со скоростью v. Для этого необходимо измерить координаты концов
стержня х1 и х2 в системе К в один и тот же момент времени t. Их разность
l  x 2  x1 и даст длину стержня в системе К:
x  vt x1  vt
x 2  x1
l 0  x 2  x1  2

,
v2
v2
v2
1 2
1 2
1 2
c
c
c
,
или
110
т.е.
l 0 
l
.
v2
1 2
c
Таким образом, размер тела, движущегося относительно инерциальной системы
v2
отсчета, уменьшается в направлении движения в 1  2 раз, т.е. лоренцево
c
сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения.
4. Релятивистский закон сложения скоростей. Пусть материальная точка
движется в системе К΄ вдоль оси x΄, а система К΄ движется относительно К со
скоростью v (оси х и x΄ совпадают). Тогда:
dx
dx 
dx   vdt 
dt   vdx  / c 2
u x  , u x 
, dx 
, dt 
.
2
2
dt
dt 
v
v
1 2
1 2
c
c
Произведя вычисления, получим релятивистский закон сложения скоростей:
K  K
K  K
u x  v
ux  v

ux 
,
u

.
x
1  vu x / c 2
1  vu x / c 2
Если скорости v, u x , u x малы по сравнению со скоростью света, то эти формулы
переходят в привычный закон сложения скоростей в классической механике.
Релятивистский закон сложения скоростей не противоречит второму постулату
Эйнштейна: если u x  c, то u x  c , т.е. скорость с – предельная скорость, которую
невозможно превысить.
2.11 Релятивистская форма второго закона Ньютона
План лекции
Релятивистский импульс. Релятивистская запись второго закона Ньютона
Связь массы и энергии. Полная энергия в СТО. Законы сохранения энергии и
импульса в СТО.
Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина
постоянная. Однако в конце XIX в. на опытах с электронами было установлено,
что масса тела зависит от скорости его движения, а именно возрастает с
увеличением v по закону
m0
(6.3)
m
,
2
v
1 2
c
где m 0 - масса покоя, т.е. масса материальной точки, измеренная в той
инерциальной системе отсчета, относительно которой точка покоится; m – масса
точки в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v.
Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность
всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к
другой, следует, что основной закон динамики Ньютона:
111
dp d
 (mv )
dt dt
оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в
нем справа стоит производная от релятивистского импульса:




d  m0
,
(6.4)
F 
v
dt
v2 
 1  2 
c 

или
dp
F
,
dt
(6.5)
где
m0
p  mv 
v.
(6.6)
2
v
1 2
c
Из приведенных формул следует, что при скоростях, значительно меньших
скорости света в вакууме, они переходят в формулы классической механики.
Следовательно, условием применимости законов классической механики является
условие v  c . Законы Ньютона получаются как следствие СТО для предельного
случая v  c . Таким образом, классическая механика – это механика макротел,
движущихся с малыми (по сравнению со скоростью света в вакууме) скоростями.
Вследствие однородности пространства в релятивистской механике выполняется
закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой
системы тел сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.
Изменение скорости тела в релятивистской механике влечет за собой изменение
массы, а, следовательно, и полной энергии, т.е. между массой и энергией
существует взаимосвязь. Эту универсальную зависимость – закон взаимосвязи
массы и энергии – установил А. Эйнштейн:
m0 c 2
2
E  mc 
.
(6.7)
v2
1 2
c
Из (6.7) следует, что любой массе (движущейся m или покоящейся m 0 )
соответствует определенное значение энергии. Если тело находится в состоянии
покоя, то его энергия покоя:
E0  m0 c 2 .
Энергия покоя является внутренней энергией тела, которая складывается из
кинетических энергий всех частиц, потенциальной энергии их взаимодействия и
суммы энергий покоя всех частиц.
В релятивистской механике не справедлив закон сохранения массы покоя.
Именно на этом представлении основано объяснение дефекта массы ядра и
ядерных реакций.
F
112
В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии:
изменение полной энергии тела (или системы) сопровождается эквивалентным
изменением его массы:
m  E / c 2 , E  mc 2 .
(6.8)
Таким образом, масса тела, которая в классической механике является мерой
инертности или гравитации, в релятивистской механике является еще и мерой
энергосодержания тела.
Физический смысл выражения (6.8) состоит в том, что существует
принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу
покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом
выполняется закон сохранения энергии.
Классическим примером этого является аннигиляция электрон-позитронной
пары и, наоборот, образование пары электрон-позитрон из квантов
электромагнитного излучения:
e   e  2h .
В релятивистской динамике значение кинетической энергии Ек определяется как
разность энергий движущегося Е и покоящегося Е0 тела:




1
(6.9)
E k  E  E 0  mc 2  m0 c 2  m0 c 2 
 1.
2
v
 1  2

c


При v  c уравнение (6.9) переходит в классическое выражение
m0 v 2
Ek 
.
2
Из формул (6.9) и (6.7) найдем релятивистское соотношение между полной
энергией и импульсом тела:
E 2  m 2 c 4  m02 c 4  p 2 c 2 ,
E  m02 c 4  p 2 c 2 .
(6.10)
Закон взаимосвязи массы и энергии полностью подтвержден экспериментами по
выделению энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется
для расчета энергического эффекта при ядерных реакциях и превращениях
элементарных частиц.
Краткие выводы
Специальная теория относительности – это новое учение о пространстве и
времени, пришедшее на смену классическим представлениям. В основе СТО
лежит положение, согласно которому никакая энергия, никакой сигнал не может
распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. При
этом скорость света в вакууме постоянна и не зависит от направления
распространения. Это положение принято формулировать в виде двух постулатов
Эйнштейна – принципа относительности и принципа постоянства скорости света.
Область применения законов классической механики ограничена скоростью
движения материального объекта: если скорость тела соизмерима со скоростью
света, то необходимо использовать релятивистские формулы. Таким образом,
скорость света в вакууме является критерием, определяющим границу
113
применимости классических законов, т.к. она является максимальной скоростью
передачи сигналов.
Зависимость массы движущегося тела от скорости движения определяется
соотношением:
m
m0
2
.
v
c2
Релятивистский импульс тела и соответственно уравнение динамики его
движения
1
p  mv 
m0
v2
1 2
c
v,




d  m0
.
F 
v
dt
v2 
 1  2 
c


Изменение скорости в релятивистской механике влечет за собой изменение
массы, а, следовательно, и полной энергии:
E  mc 
2
m0 c 2
.
v2
1 2
c
В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии:
изменение полной энергии тела сопровождается эквивалентным изменением ее
массы:
E  mc 2 .
Физический смысл этого соотношения заключается в следующем:
существует принципиальная возможность перехода материальных объектов,
имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя;
при этом выполняется закон сохранения энергии. Это соотношение является
важнейшим для ядерной физики и физики элементарных частиц.
Вопросы для самоконтроля и повторения
- В чем заключается физическая сущность механического принципа
относительности? - Чем отличается принцип относительности Галилея от
принципа относительности Эйнштейна?
- Каковы причины создания специальной теории относительности?
- Сформулируйте постулаты специальной теории относительности.
- Запишите преобразования Лоренца. При каких условиях они переходят в
преобразования Галилея?
- В чем заключается релятивистский закон сложения скоростей?
- Как в релятивистской механике масса движущегося тела зависит от скорости?
114
- Запишите основное уравнение релятивистской динамики. Чем оно отличается от
основного закона ньютоновской механики?
- В чем заключается закон сохранения релятивистского импульса?
- Как выражается кинетическая энергия в релятивистской механике?
- Сформулируйте закон взаимосвязи массы и энергии. В чем его физическая
сущность?
2.12 Гармонические колебания
План лекции
Гармонические колебания, основные характеристики колебательного движения.
Векторные диаграммы. Сложение колебаний. Фигуры Лиссажу.
Колебаниями называют движения или процессы, которые характеризуются
определенной повторяемостью во времени. Примерами таких процессов являются
колебания груза на пружине, движение поршня в цилиндре двигателя внутреннего
сгорания, переменный электрический ток, качания ротора электрической машины
в переходном режиме электроэнергетической системы и т.п. Физическая природа
колебаний может быть различной, поэтому различают колебания механические,
электромагнитные, электромеханические и другие. Однако различные по
природе колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и
уравнениями. Знание свойств и законов колебательных движений необходимо для
правильного понимания и использования этих явлений в практической
деятельности человека.
Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания – движения,
при которых колеблющийся параметр s изменяется во времени по закону синуса
или косинуса:
s  A cos(  0 t   ),
(7.1)
где А – максимальное отклонение колеблющейся величины (амплитуда
колебаний);  0 - собственная циклическая частота; (  0 t   ) - фаза колебаний в
произвольный момент времени t;  - начальная фаза колебаний (в момент
времени t  0 ).
Фаза колебаний – это величина, которая при заданной амплитуде колебаний
определяет состояние колебательной системы в любой момент времени. Она
представляет собой угловую меру времени, прошедшего от начала колебаний.
Состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через
промежуток времени Т, называемый периодом колебаний. Периодом
незатухающих колебаний называют наименьший промежуток времени, по
истечении которого повторяются значения всех физических величин,
характеризующих процесс. За это время фаза колебаний изменяется на величину
2 , то есть
 0 t  T       0 t   ,
откуда
2
.
(7.2)
T
0
Величина, обратная периоду колебаний,
1
 ,
T
115
(7.3)
то есть число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется
частотой колебаний.
Единица частоты колебаний – герц: 1 Гц – частота периодического процесса, при
которой за 1 с совершается один его цикл.
Из выражений (7.2) и (7.3) следует, что
 0  2 ,
(7.4)
то есть циклическая частота равна числу полных колебаний, совершаемых за 2
единиц времени. В электротехнике величину   2 называют угловой
частотой.
Найдем первую и вторую производные по времени от гармонически
колеблющейся величины s, то е получим выражения для ее скорости и ускорения:
ds


  A 0 sin  0 t     A 0 cos   0 t    ;
(7.5)
dt
2


2
d s
  A 02 cos  0 t     A 02 cos  0 t     .
(7.6)
2
dt
Из выражения (7.6) с учетом (7.1) следует, что дифференциальное уравнение
гармонического колебания имеет вид
d 2s
  02 s  0.
(7.7)
2
dt
Решением этого дифференциального уравнения является функция (7.1).
Гармонические
колебания
изображаются
графически
методом
вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм. Для этого
из произвольной точки О на оси абсцисс под углом  , равным начальной фазе
колебаний, откладывается вектор A , модуль которого равен амплитуде А данного
колебания (рис. 7.1). Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью
 0 , то проекция конца вектора A будет перемещаться по оси абсцисс и
принимать значения от –А до +А, а колеблющаяся величина s будет изменяться со
временем по закону s  A cos(  0 t   ) .
В физике и электротехнике часто
колеблющуюся
величину
представляют комплексным числом. По
s формуле Эйлера
O
e j  cos   j sin ,
(7.8)
где j   1 - мнимая единица.
В теории колебаний принимается, что
колеблющаяся величина s равна
вещественной части комплексного
выражения (7.8), поэтому уравнение
гармонического колебания (7.1) можно
записать в экспоненциальной форме:
s  Ae j (  t  ) .
0
116
t
Рис. 7.1
Пусть материальная точка массой m совершает прямолинейные гармонические
колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, которое принято
за начало координат. Тогда зависимость координаты х от времени будет
описываться уравнением
x  A cos(  0 t   ).
Согласно формулам (7.5) и (7.6) скорость и ускорение колеблющейся точки
соответственно равны:
dx
v
  A 0 sin  0 t   ,
dt
d2x
a  2   A 02 cos  0 t   .
dt
Тогда сила, действующая на колеблющуюся материальную точку, по второму
закону Ньютона будет равна:
F  ma  m 02 x ,
то есть сила пропорциональна смещению х материальной точки из положения
равновесия и направлена в противоположную сторону (к положению равновесия).
Сложение гармонических колебаний
Колеблющийся параметр может одновременно участвовать в нескольких
колебательных
процессах,
поэтому
возникает
задача
нахождения
результирующего колебания.
1. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты
 x 1  A1 cos(  0 t   1 ),

 x 2  A2 cos(  0 t   2 ),
применяя метод вращающегося вектора амплитуды. Для этого построим
векторные диаграммы этих колебаний (рис.
6.6).
Так как векторы A1 и A2 вращаются с
одинаковой угловой скоростью  0 , то
разность фаз (  2  1 ) между ними остается
постоянной. Уравнение результирующего
колебания будет иметь вид
x  x1  x2  A cos( 0t   ),
где
амплитуда
и
начальная
фаза O
определяются из векторной диаграммы
соответственно как
A 2  A12  A22  2 A1 A2 cos(  2   1 );
Рис. 7.2
A1 sin 1  A2 sin  2
tg 
.
A1 cos 1  A2 cos  2
Таким образом, тело (параметр), участвуя в двух гармонических колебаниях
одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое
колебание в том же направлении и с той же частотой. При этом амплитуда
117
результирующего колебания зависит от разности фаз (  2  1 ) складываемых
колебаний:
1) если  2   1  2m (m=0, 1, 2, …),
то cos(  2   1 )  1 и A  A12  A22  2 A1 A2  A1  A2 , то есть амплитуда
результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний
(колебания синфазны);
2) если  2   1  ( 2m  1 ) (m=0, 1, 2, …), то cos(  2   1 )  1 и A  A1  A2 ,
то есть амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд
складываемых колебаний (колебания происходят в противофазе).
На практике представляет интерес случай, когда два складываемых
гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте.
В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически
изменяющейся амплитудой. Такие колебания называются биениями.
Пусть амплитуды складываемых колебаний A 1  A 2  A , а их частоты равны 
и    , причем    .
Примем, что начальные фазы этих колебаний равны нулю. Тогда:
 x 1  A cos t ,

 x 2  A cos(    )t .
Складывая эти выражения, найдем:
x  A рез cos t ,
где
2
Aрез
 A 2  A 2  2 AA cos( t  t  t )  2 A 2 ( 1  cos t )  4 A 2 cos 2
A рез  2 A cos
Таким образом,
x  ( 2 A cos

2

2
118

2
t;
t.
t ) cos t  Aб cos t .
(7.9)
2A
t
О
-2A
Рис. 7.3
Выражение (7.9) есть произведение двух колебаний. Так как    , то
сомножитель в скобках практически не изменяется, когда другой сомножитель
cos t совершит несколько полных колебаний. Поэтому результирующее
колебание x можно рассматривать как гармоническое с циклической частотой  ,
амплитуда которого A( t )  Aб изменяется в пределах от A1  A2 до A1  A2 с
циклической частотой    2   1 , называемой циклической частотой биений.
Период и частота биений определяются следующим образом:
TT
2
2
Tб 

 1 2 ,
  2   1 T1  T2
1 T1  T2

  2  1 .
Tб
T1T2
Характер зависимости x( t ) при биениях в случае равенства амплитуд
складываемых колебаний приведен на рис. 7.3.
2. Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой
частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х
и у. Начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была
равна нулю:
 x  A cos t ,
(7.10)

 y  B cos( t   ),
где А, В – амплитуды складываемых колебаний;  - разность фаз колебаний.
Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из
системы (7.10) параметра t; в результате получим:
y2
x 2 2 xy

cos   2  sin 2  .
(7.11)
2
A
AB
B
Уравнение (7.11) есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы
относительно координатных осей произвольно. Так как траектория
б 
119
результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называют
эллиптически поляризованными.
Ориентация осей эллипса и его размеры зависят от амплитуд складываемых
колебаний и разности фаз    2   1 :
1) если   m ( m  0 ,1,2 ,...) , то эллипс вырождается в отрезок прямой
B
(7.12)
y   x,
A
где знак «+» соответствует нулю и четным значениям m (рис.7.3,а), а знак «-» –
нечетным значениям m (рис.7.3,б). Результирующее колебание является
гармоническим колебанием с частотой  и амплитудой A 2  B 2 , которое
B
совершается вдоль прямой (7.12), составляющей с осью х угол   arctg . В
A
данном случае колебания называют линейно поляризованными;
  ( 2m  1 )

( m  0 ,1,2 , ., . то. )уравнение траектории
2
результирующего колебания примет вид
y2
x2

 1.
(7.13)
A2 B 2
Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси
равны соответствующим амплитудам (рис.7.5). Кроме того, если A  B , то эллипс
(7.13) вырождается в окружность. Такие колебания называют циркулярно
поляризованными.
2)
если
y
y
B
B
-A
x
A
x
-A
-B
-B
A
a
Рис. 7.4
y
B
A
O
Рис.7.5
9
x
б
Если
частоты
складываемых
взаимно
перпендикулярных колебаний различны, то траектория
результирующего колебания имеет сложный вид. Такие
замкнутые траектории называются фигурами Лиссажу
(фр. физик, XIX в.). Форма этих кривых зависит от
соотношения амплитуд, частот и разности фаз
складываемых колебаний.
120
2.13 Уравнения движения колебательных систем
План лекции
Движение под действием упругих и квазиупругих сил. Уравнения движения
простейших колебательных систем. Математический и физический маятники.
Кинетическая, потенциальная и полная энергия колеблющегося тела.
Колебания называют свободными или собственными, если они
совершаются за счет первоначально сообщенной системе энергии без
последующих внешних воздействий.
Затухающие колебания – колебания, амплитуда которых с течением
времени уменьшается из-за диссипации энергии в реальной колебательной
системе. В механических колебательных системах потери энергии обусловлены
трением, сопротивлением среды, в электрических системах – омическими
потерями и излучением электромагнитных волн.
Будем рассматривать линейные колебательные системы – некоторые
идеализированные системы, в которых основные параметры в процессе
колебаний не изменяются. Примерами линейных систем являются: а) пружинный
маятник при малых деформациях пружины (в пределах, когда выполняется закон
Гука);
б) колебательный контур, индуктивность, емкость и омическое
сопротивление которого не зависят от силы тока и величины напряжения.
Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными
дифференциальными уравнениями.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной
системы имеет следующий вид:
d 2s
ds
 2
  02 s  0 ,
(7.14)
2
dt
dt
где s – колеблющаяся величина;   const – коэффициент затухания колебаний,
зависящий от параметров системы;  0 – собственная циклическая частота
колебаний (циклическая частота незатухающих колебаний, то есть при   0 ).
В математике решение уравнения (7.14) рассматривается в виде:
s  e t  u ,
(7.15)
где u  u( t ) .
Найдем первую и вторую производные от функции (1.30) по времени:
ds
du
 e t u  e t
;
dt
dt
2
d 2s
2  t
t du
t du
 t d u


e
u


e


e

e
.
dt 2
dt
dt
dt 2
Подставив найденные производные в уравнение (7.14), получим:
d 2u
 (  02   2 )u  0.
2
dt
(7.16)
Решение этого уравнения зависит от знака коэффициента перед искомой
функцией. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен:
121
 2   02   2 .
(7.17)
Тогда получаем дифференциальное уравнение
d 2u
  2u  0 ,
2
dt
решением которого является функция:
u  A0 cos( t   ).
Таким образом, с учетом выражения (7.15), решение дифференциального
уравнения свободных затухающих колебаний (в случае малых затуханий, то есть
при  2   02 ) будет иметь вид:
(7.18)
s  e t u  A0 e t cos( t   ),
t
где
амплитуда
A  A0 e –
s
A0
затухающих
колебаний;
–
начальная амплитуда. Зависимость
s( t ) при свободных затухающих
колебаниях приведена на рис. 7.5.
1
Промежуток времени   , в

O
течение
которого
амплитуда
затухающих колебаний уменьшается
T
в е раз, называется временем
релаксации.
В
целом
затухание
нарушает
периодичность процесса, поэтому,
Рис.7.5
строго
говоря,
к
затухающим
колебаниям неприменимо понятие
периода или частоты. Однако если затухание мало, то понятием периода можно
условно пользоваться для характеристики колебательного процесса. В этом
случае период свободных затухающий колебаний с учетом выражения (7.17)
будет равен:
2
2
T

,

 02   2
где  – циклическая частота затухающих колебаний.
Если A( t ) и A( t  T ) – амплитуды двух последовательных колебаний,
соответствующих моментам времени, отличающихся на период, то отношение:
A0 e t
A( t )

 e T ,
t T
A( t  T ) A0 e e
называется декрементом затухания, а его натуральный логарифм:
t
  ln
A( t )
T
1
 T  
A( t  T )
 Ne
122
(7.19)
называется логарифмическим декрементом затухания, где N e – число колебаний,
совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический
декремент затухания – постоянная для данной колебательной системы величина.
Для характеристики колебательной системы пользуются также понятием
добротности Q. Добротность колебательной системы – это безразмерная
величина, равная произведению 2 на отношение энергии W(t) колебаний в
произвольный момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени от
t до t+T, то есть за один условный период затухающих колебаний:
W( t )
Q  2
.
W( t )  W( t  T )
Так как энергия W(t) пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, то
A2 ( t )

Q  2 2
 .
(7.20)
2
A (t )  A (t  T ) 
2
При малых затуханиях T  T0 
, тогда
0


Q
 0 .
T0 2
(7.21)
Вынужденные колебания. Явление резонанса
Для того чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие
колебания, необходимо компенсировать в ней потери энергии. Такая компенсация
возможна с помощью какого-либо периодически действующего внешнего
фактора x( t ) , изменяющегося, например, по гармоническому закону:
x( t )  X m cos t .
Если рассматривать механические колебания, то роль x( t ) играет внешняя
вынуждающая сила
F ( t )  Fm cos t ,
(7.22)
Таким образом, с учетом (7.22) уравнение движения пружинного маятника
запишется в виде
d 2x
dx
m 2  kx  r
 Fm cos t ,
dt
dt
или
Fm
d 2 x r dx k


x

cos t .
(7.23)
dt 2 m dt m
m
Уравнение электромагнитных колебаний в колебательном контуре с учетом (6.40)
будет иметь вид
Um
d 2 q R dq
1


q

cos t .
(7.24)
dt 2
L dt LC
L
Обобщая (7.23) и (7.24), получаем линейное неоднородное дифференциальное
уравнение
d 2s
ds
 2
  02 s  X 0 cos t ,
(7.25)
2
dt
dt
123
где  – циклическая частота внешнего вынуждающего воздействия. Уравнение
(7.25) называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний.
Решение уравнения (7.25) находится в виде суммы общего решения:
s  A0 e t cos(  1 t   1 )
однородного уравнения:
d 2s
ds
 2
  02 s  0
2
dt
dt
и частного решения неоднородного дифференциального уравнения. Частное
решение (7.25) имеет вид (без вывода):
(7.26)
s  A cos( t   ),
где
X0
(7.27)
A
,
2
2 2
2
2
(  0   )  4 
2
  arctg 2
.
(7.28)
0   2
Таким образом, решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний
записывается в виде
s  A0 e t cos(  1 t   1 )  A cos( t   ).
(7.29)
Первое слагаемое (7.29) играет
s
существенную роль только в
начальной стадии процесса, то есть
при установлении колебаний, до тех
пор, пока амплитуда вынужденных
колебаний не достигнет значения,
определяемого выражением (7.27).
В
установившемся
режиме
t
O
вынужденные
колебания
происходят с частотой  и
являются гармоническими (рис.7.6).
Рассмотрим зависимость амплитуды
А вынужденных колебаний от
частоты  . Из формулы (7.27)
Рис.7.6
следует, что амплитуда колебаний
имеет максимум, который зависит от значения  . Чтобы 7.66.13
определить частоту, при
которой амплитуда А достигает максимума, нужно найти максимум функции
(7.27), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения этой функции.
Для этого продифференцируем подкоренное выражение по 
и приравняем его нулю:
2(  02   2 )( 2 )  8 2  0 ,
или
 4  02   2   2 2   0.
124
Это условие выполняется при   0 и  2   02  2 2 , или     02  2 2
(физический смысл имеет только положительное значение). Следовательно,
резонансная циклическая частота – частота, при которой амплитуда
вынужденных колебаний достигает максимального значения:
 рез   02  2 2 .
(7.30)
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при
приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного
напряжения) к собственной частоте колебательной системы  0 , называется
резонансом. Из выражения (7.30) следует, что при  2   02 значение резонансной
частоты практически совпадает с  0 .
Подставляя (7.30) в формулу (7.27), найдем резонансную амплитуду:
X0
(7.31)
A рез 
.
2  02   2
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от циклической частоты при
различных значениях коэффициента затуханий  приведена на рис. 6.14. Чем
меньше  , тем выше и правее находится максимум функции A  f (  ) . Если
  0 , то все кривые (см. (7.27)) приходят к одному предельному значению
x0 / 02 , которое называется
статическим
отклонением.
A
Если    , то кривые
асимптотически стремятся к
нулю.
Приведенная
совокупность
кривых
называется
резонансными
кривыми.
Из выражения (7.31) следует,
что при малом затухании
резонансная амплитуда
X0
 X
X
A рез 
 0 20  Q 20 ,
2 0 2  0
0
где
Q
–
добротность
колебательной
системы.
Рис. 7.7
Таким образом, добротность
характеризует
резонансные
свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше Арез.
Большой интерес для практики представляют незатухающие колебания в
диссипативной системе, поддерживаемые за счет внешнего источника, когда
система сама обеспечивает согласованность поступления энергии в такт с ее
колебаниями. Системы, генерирующие такие незатухающие колебания,
называются автоколебательными.
Основными элементами автоколебательной системы являются (рис. 7.8):
1. Источник энергии, за счет которого поддерживаются незатухающие колебания
(источник ЭДС или напряжения, потенциальная энергия сжатой пружины и т.п.).
125
2. Колебательная система, то есть та часть автоколебательной системы, в которой
собственно происходят колебания (колебательный контур, маятник или балансир
часов и т.п.).
3. Устройство, регулирующее поступление энергии от источника в колебательную
систему (клапан).
4. Обратная связь – устройство, с помощью которого колебательная система
управляет клапаном.
Обратная связь
Источник
энергии
Колебательная
Клапан
система
Рис. 7.8
m
Примером
автоколебательной
системы
является генератор на транзисторе, широко
l
применяемый в передающих радиостанциях,
радиопередатчиках,
усилителях,
вычислительной технике.
Если
в
такт
с
колебаниями
a
периодически
изменяется
какой-либо
б
параметр
системы,
то
возможен
Рис. 7.9
параметрический резонанс. Таким образом,
параметрический резонанс – это явление
раскачки колебаний при периодическом изменении параметров тех элементов
системы, в которых сосредоточивается энергия колебаний (реактивные или
энергоемкие параметры). Этот вид резонанса возможен в колебательных системах
различной физической природы.
Пример механической системы, в которой возможен параметрический резонанс, –
маятник в виде груза массой m, подвешенного на нити, длину l которой можно
изменять (рис. 6.17). На рис. 7.9, а показано устройство маятника с переменной
длиной подвеса, на рис. 7.9, б – схема движения тела маятника за один период.
Маятник с неподвижной точкой подвеса совершает собственные колебания с
циклической частотой 0  g / l , причем сила натяжения нити максимальна в
нижнем положении груза и минимальна в крайних. Поэтому если уменьшать l в
нижнем и увеличивать в крайних положениях, то работа внешней силы,
совершаемая в среднем за период, оказывается положительной и колебания будут
продолжаться за счет работы по изменению параметра l системы.
На параметрическом резонансе основано самораскачивание на качелях, когда
эффективная длина маятника периодически изменяется при приседаниях и
вставаниях качающегося.
126
Применим полученные соотношения и характеристики к колебательным
системам различной природы.
1. Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно
упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием
силы упругости F  kx , где k – жесткость пружины. По второму закону
Ньютона уравнение движения маятника имеет вид:
ma  kx ,
или
d2x k
 x  0.
dt 2 m
Из уравнения (7.7) следует, что пружинный маятник совершает гармонические
колебания с циклической частотой:
k
0 
m
и периодом колебаний
2
m
(7.32)
T
 2
.
0
k
Формула (7.22) справедлива в пределах, в которых выполняется закон Гука, то
есть когда масса пружины мала по сравнению с массой тела.
Потенциальная энергия пружинного маятника может быть рассчитана по
формуле:
m 02 x 2 m k 2 kx 2
(7.33)
Eп 

x 
.
2
2 m
2
Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из
материальной точки массой m, подвешенной на
невесомой
нерастяжимой
нити,
и
колеблющаяся в вертикальной плоскости под
l
действием
силы
тяжести.
Хорошим
приближением математического маятника
x
является
небольшой
тяжелый
шарик,
подвешенный на длинной нити.
В положении равновесия маятника сила
тяжести
и
сила
натяжения
нити
уравновешивают друг друга (рис. 7.10, а).
a
б
Если отклонить маятник из положения
Рис. 7.10
равновесия на небольшой угол  , то силы
тяжести и натяжения нити окажутся под углом
друг к другу и равновесие нарушится (рис.7.10,б). Возвращающей силой для
маятника будет составляющая силы тяжести F1 , равная
x
F1  mg sin   mg  mg .
l
127
Так как направления смещения x и возвращающей силы противоположны, то
x
F1  mg . По второму закону Ньютона уравнение движения маятника имеет
l
вид:
d2x
x
m 2  mg ,
dt
l
откуда
d2x g
 x  0.
dt 2
l
Сравнивая записанные уравнения, можно сделать вывод, что колебания
математического маятника происходят с циклической частотой:
g
0 
,
l
а период его гармонических колебаний:
2
l
T
 2
.
(7.34)
0
g
Таким образом, период колебаний математического
маятника не зависит от его массы.
Физический маятник – это твердое тело, совершающее
под действием силы тяжести колебания вокруг
O
неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей
l
через центр масс С тела.
L
.
Если отклонить маятник из положения равновесия на
C
небольшой угол  (рис. 7.7), то по уравнению динамики
вращательного движения твердого тела момент
возвращающей силы можно записать в виде
d 2
M  J  J 2  F l  mgl sin   mgl ,
dt
(7.35)
где l – расстояние между точкой подвеса и центром масс
маятника (плечо возвращающей
силы F ); знак «минус» обусловлен тем, что направления
Рис.7.11
силы F и изменения угла  всегда противоположны.
Уравнение (7.35) можно переписать в виде:
d 2
J 2  mgl  0 ,
dt
или
d 2 mgl

 0
(7.36)
J
dt 2
Из него следует, что при малых отклонениях физический маятник совершает
гармонические колебания с циклической частотой
.
128
0 
mgl
J
и периодом
T  2
J
L
 2
,
mgl
g
(7.37)
J
- приведенная длина физического маятника.
ml
Точка O  на продолжении оси ОС, отстоящая от оси подвеса на расстоянии
приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника.
Применяя теорему Штейнера, получим:
J
J  ml 2 J c
L
 c

 l  l,
ml
ml
ml
то есть OO всегда больше ОС. Точка подвеса О и центр качаний O  обладают
свойством взаимозаменяемости (взаимности): если ось подвеса перенести в центр
качаний, то точка О прежней оси подвеса станет новым центром качаний и
период колебаний физического маятника не изменится.
Сравнивая формулы (7.34) и (7.37), можно сделать вывод, что если приведенная
длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то их
периоды колебаний одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического
маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний
которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.
Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные
гармонические колебания, можно записать, используя полученные ранее
формулы для скорости. Тогда получим:
mv 2 mA 2 02
Ek 

sin 2 (  0 t   ).
(7.38)
2
2
Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические
колебания под действием упругой силы F, равна:
где L 
m 02 x 2 mA2 02
E п    Fdx   m xdx 

cos 2 (  0 t   ).
(7.39)
2
2
0
0
Сложив формулы (7.38) и (7.39), получим выражение для полной энергии
материальной точки, совершающей гармонические колебания:
mA 2  02
W  Ek  Eп 
,
(7.40)
2
то есть полная энергия точки со временем остается постоянной, так как при
гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии
(упругая сила консервативна).
Краткие выводы
Колебаниями называют движения или процессы, которые характеризуются
определенной повторяемостью во времени. Колебания различной природы
описываются одинаковыми уравнениями и количественными характеристиками.
Различают свободные, вынужденные и автоколебания.
x
x
2
0
129
Колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по
закону синуса или косинуса, называют гармоническими:
s  A cos(  0 t   ).
Гармоническим
осциллятором
называют
систему,
описываемую
дифференциальным уравнением
d 2s
  02 s  0.
2
dt
Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и
математический маятники (при малых отклонениях от положения равновесия),
идеальный колебательный контур (при R  0 ).
Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические
колебания,
ds


  A 0 sin  0 t     A 0 cos   0 t    ;
dt
2

d 2s
  A 02 cos  0 t     A 02 cos  0 t        02 s .
2
dt
Кинетическая, потенциальная и полная энергия гармонически колеблющейся
точки массой m
mv 2 mA2 02
Ek 

sin 2 (  0 t   );
2
2
x
mA2 02
Eп   Fdx 
cos 2 (  0 t   );
2
0
mA2 02
W  Ek  Eп 
.
2
Период гармонических колебаний пружинного маятника
m
T  2
.
k
Период гармонических колебаний физического маятника:
J
L
T  2
 2
.
mgl
g
Период гармонических колебаний математического маятника:
l
T  2
.
g
В реальной колебательной системе из-за наличия трения, омического
сопротивления свободные колебания со временем будут затухать.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной
системы и его решение имеют вид:
d 2s
ds

2

  02 s  0 ; s  A0 e t cos( t   ),
2
dt
dt
130
r
в случае механических колебаний (r –
2m
R
коэффициент сопротивления) и  
в случае электромагнитных колебаний);
2L
   00   2 – циклическая частота затухающих колебаний; A0 e t – амплитуда
затухающих колебаний.
Логарифмический декремент затухания:
A( t )
  ln
 T .
A( t  T )
Добротность колебательной системы:
W( t )
 
Q  2
  0.
W ( t )  W ( t  T )  2
Системы, в которых генерируются незатухающие колебания за счет поступления
энергии от источника внутри системы, называют автоколебательными.
Незатухающие колебания, поддерживаемые внутри системы без воздействия на
нее внешних периодических сил, называют автоколебаниями. Примером
автоколебательной системы является генератор на транзисторе.
Колебания, возникающие под действием внешнего периодически изменяющегося
фактора
x(t), называют вынужденными колебаниями. Дифференциальное
уравнение вынужденных гармонических колебаний и его решение для
установившегося режима
d 2s
ds
 2
  02 s  X 0 cos t ; s  A cos( t   ),
2
dt
dt
U
F
где X 0  0 в случае механических колебаний и X 0  m в случае
m
L
электромагнитных колебаний;
2
X0


arctg
.
A
;
2
2
2
2 2
2
2



(  0   )  4 
0
где  – коэффициент затухания (  
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при
приближении частоты внешнего переменного фактора к собственной частоте
системы называют резонансом. Резонансная циклическая частота и резонансная
амплитуда
X0
 рез   02  2 2 ; A рез 
.
2  02   2
Академик АН СССР Л.И. Мандельштам (1879-1944) отмечал: «Теория
колебаний объединяет, обобщает различные области физики... Каждая из
областей физики – оптика, механика, акустика – говорит на своем
«национальном» языке. Но есть «интернациональный» язык, и это – язык теории
колебаний…Изучая одну область, вы получите тем самым интуицию и знания
совсем в другой области». В этом высказывании обоснована полезность аналогии
между механическими и электромагнитными колебаниями. Знание такой
аналогии позволяет решать ряд задач механики и электродинамики.
Вопросы для самоконтроля и повторения
131
- Какое движение называется колебательным? Какие колебания называются
свободными, гармоническими, вынужденными?
- Дайте определение параметров колебательного процесса (амплитуда, фаза,
период, частота, циклическая частота).
- Что называется гармоническим осциллятором? Приведите примеры
гармонического осциллятора.
- Выведите дифференциальное уравнение свободных колебаний пружинного
маятника. По каким формулам определяются периоды гармонических колебаний
пружинного, физического и математического маятников?
- Выведите дифференциальное уравнение свободных электромагнитных
колебаний в контуре. По какой формуле определяется период колебаний в
контуре с малыми омическими потерями?
- Какие колебания называются затухающим? Запишите дифференциальное
уравнение затухающих колебаний и его решение.
- Что такое логарифмический декремент затухания, добротность системы? В чем
заключается физический смысл этих величин?
- Какие колебания называются вынужденными? Запишите дифференциальное
уравнение вынужденных колебаний и его решение.
- Что называется автоколебаниями? В чем их отличие от вынужденных
колебаний? Приведите примеры автоколебательных систем.
- Что называется резонансом? Запишите выражения для циклической частоты и
амплитуды колебаний при резонансе.
- Что называется переменным электрическим током? Выведите закон Ома для
цепи переменного тока. От чего зависят индуктивное и емкостное сопротивления?
- Каковы характерные признаки резонанса напряжений, резонанса токов?
- Нарисуйте векторные диаграммы цепей переменного тока в режимах
последовательного и параллельного резонанса.
2.14 Механические волны
План лекции
Распространение колебаний в однородной упругой среде. Продольные и
поперечные волны. Уравнение плоской волны. Энергия бегущей волны. Поток
энергии. Вектор Умова. Интенсивность волны.
Общая характеристика волновых процессов
Пусть точка, совершающая колебательное движение, находится в среде, все
частицы которой связаны между собой. Тогда энергия колебаний точки будет
передаваться окружающим частицам, вызывая их колебания. Такой процесс
распространения колебаний в сплошной среде (жидкой, твердой, газообразной)
называется волновым процессом или волной. Пример образования волн можно
получить, если бросить камень на поверхность воды: область водной
поверхности, которая возмущена падением камня, начнет колебаться, причем это
колебание распространяется от этой области к следующим, и на поверхности
воды образуется волна. Другой пример образования волны можно получить, если
одному из концов шнура придать рукой колебательное движение. В этом случае
колебания также будут распространяться вдоль шнура – по нему побежит волна.
Характерной особенностью волнового процесса является то, что частицы среды
не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия;
132
вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние
колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством волн,
независимо от их физической природы, является перенос энергии без переноса
вещества.
Среди волн, встречающихся в природе и технике, выделяются следующие
их
типы:
а) волны на поверхности жидкости;
б) упругие волны;
в)электромагнитные волны.
Упругими (механическими) волнами называют механические возмущения,
распространяющиеся в упругой среде. В зависимости от упругих свойств среды
такие волны могут быть продольными и поперечными. Если частицы среды
колеблются в направлении распространения колебаний (при деформациях сжатия
и растяжения), то волна называется продольной. Если колебания частиц среды
перпендикулярны к направлению распространения колебаний (при деформации
сдвига), то волна называется поперечной. Очевидно, что в жидкостях и газах
могут возникать только продольные волны, а в твердых телах – как продольные,
так и поперечные волны.
На рис. 7.1 приведена схема распространения поперечной волны на интервале
времени, равном одному периоду. В начальный момент времени t=0 все частицы
занимают положения равновесия и лишь крайняя частица О получила ускорение
a , направленное вверх.
Через четверть периода
после начала возмущения
О
точка О достигла своего
крайнего смещения вверх, а
частица
А
приобрела
А
О
1
А
ускорение a . При t  T
2
после
начала
движения
В
О
точка
О
проходит
В
положение
равновесия,
смещаясь вниз; частица А
достигла крайнего удаления
А
С
О
вверх, частица В только
получила
ускорение,
С
направленное вверх. Через
три четверти периода после
В
D
начала процесса частица О
О
достигла
крайнего
отклонения вниз, частица А
А
проходит
положение
Рис. 7.1
равновесия, двигаясь вниз,
частица
В
достигла
крайнего смещения вверх, возмущение охватило точку С, которая приобретает
ускорение a . Наконец, при t  T положения частиц будут следующими: частица
О вновь проходит положение равновесия, двигаясь вверх; частица А достигла
максимального отклонения вниз; частица В идет через положение равновесия
133
вниз; частица С достигла крайнего смещения вверх; в процесс вовлекается
частица D, получающая ускорение, направленное вверх. Таким образом, можно
проследить дальнейшее распространение колебаний.
Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей
колебания частиц среды происходят по гармоническому закону. На рис. 7.2
приведена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью v
вдоль оси x; другими словами показана зависимость между смещением  частиц
среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием х этих частиц
(например, частицы В) от источника возмущений для какого-то фиксированного
момента времени t.
Расстояние между ближайшими
частицами,
колеблющимися
в
одинаковых
фазах,
называется
длиной волны  , то есть длина
волны – это расстояние, на которое
В
определенная
фаза
колебаний
распространяется за один период О
колебания:
.
  vT ,
(7.1)
где v – фазовая скорость волны, то
есть скорость распространения
данной фазы колебания. Учитывая,
1
что T  ,
где  – частота
Рис. 7.2

колебаний, получим:
v   .
(7.2)
Упругая волна, распространяясь от источника колебаний, вовлекает в
колебательный процесс все новые частицы среды, то есть приобретает
пространственный характер. Геометрическое место точек, до которых к
некоторому моменту времени t дошло возмущение, называется волновым
фронтом. В среде можно также выделить геометрическое место точек,
колеблющихся в одинаковых фазах; эта совокупность точек образует волновую
поверхность. Очевидно, что фронт волны является частным случаем волновой
поверхности. В принципе волновые поверхности могут быть любой формы. Если
среда изотропна, то колебания от источника распространяются одинаково во все
стороны; в этом случае и фронт волны и волновые поверхности представляют
собой сферы, центр которых находится в центре колебаний. Такая волна
называется сферической. Если волновые поверхности представляют собой
совокупностей плоскостей, параллельных друг другу, то волна называется
плоской.
Волны, которые переносят в пространстве энергию, называют бегущими волнами.
Уравнение бегущей волны
Рассмотрим бегущую плоскую волну, предполагая, что колебания частиц среды
являются гармоническими, а ось х совпадает с направлением распространения
134
волны (рис. 7.2). Волновой процесс будет известен, если знать значение смещения
 в каждый момент времени для каждой точки прямой, вдоль которой
распространяется волна. Другими словами, необходимо знать смещение точки 
как функцию времени и координат, то есть  ( x , t ) .
Пусть точка В среды находится на расстоянии х от источника колебаний О. Если
колебания точек среды, лежащих в плоскости х=0, описываются функцией
 ( 0 , t )  A cos t , то частица В колеблется по тому же закону, но ее колебания
отстают по времени от колебаний источника на величину  , так как для
x
прохождения волной расстояния х требуется время   . Тогда уравнение
v
колебаний частиц, лежащих в плоскости х, будет иметь вид:
x

 ( x , t )  A cos   t  ,
(7.3)
 v
откуда следует, что волновой процесс – процесс двоякопериодический: функция
 ( x , t ) является не только периодической функцией времени, но и периодической
функцией координаты. Уравнение (7.3) представляет собой уравнение бегущей
волны.
Если плоская волна распространяется в направлении, противоположном тому, в
котором отсчитывается расстояние х, то уравнение такой волны примет вид:
x

 ( x , t )  A cos   t  .
v

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль
положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию (А=const),
имеет вид:
x
 

(7.4)
 ( x , t )  A cos   t      ,
v
 

где  – циклическая частота волны;  – начальная фаза колебаний, определяемая
выбором начала отсчета х и t; аргумент косинуса (выражение в квадратных
скобках) – фаза плоской волны.
Учитывая, что   2 / T и vT   , получим
 2 2


 k,
v vT

где k – волновое число. Волновое число показывает, сколько длин волн
укладывается на расстоянии, равном 2 , аналогично тому, как циклическая
частота  показывает, сколько периодов колебаний укладывается в промежутке
времени, равном 2 . Введение понятия волнового числа позволяет записать
уравнение (7.4) в более симметричной форме:
 ( x , t )  A cos( t  kx   ).
(7.5)
Найдем вторые производные от  по переменным t и х:
 ( t )   2 A cos( t  kx   )   2 ,
или
135
 2
  2  ;
2
t
 ( x )  k 2 A cos( t  kx   )  k 2 ,
или
откуда следует
 2
2


,
x 2
v2
 2
1  2

.
x 2 v 2 t 2
(7.6)
Уравнение (7.6) получено для частного случая – для плоской волны,
распространяющейся вдоль оси х. Распространение волнового процесса в
однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением
– дифференциальным уравнением в частных производных
 2  2  2
1  2



,
(7.7)
x 2 y 2 z 2 v 2 t 2
решением которого является уравнение любой волны.
В случае сферической волны амплитуда убывает обратно пропорционально
расстоянию r от источника колебаний. Зависимость смещения  частиц среды от
координат и времени (решение уравнения (7.7)) в данном случае будет иметь
следующий вид:
A
 ( r , t )  cos( t  kr   ),
r
где r – расстояние от центра возмущения до рассматриваемой точки среды
(радиус сферической поверхности в момент времени t).
Интерференция волн. Стоячие волны
В упругой среде могут одновременно распространяться колебания,
возбуждаемые несколькими источниками. Если эта среда линейна, то при
распространении в ней нескольких волн каждая из них распространяется так, как
будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в
любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые она
получает, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов. Этот принцип
независимости распространения волн известен под названием принципа
суперпозиции.
Принцип суперпозиции можно проверить, бросив в воду два камня. После того
как кольцевые волны, возникшие около мест падения камней, проникнув друг
через друга, снова разойдутся, они будут по-прежнему представлять собой
правильные круги с центрами в местах падения камней. Этот факт был замечен
еще Леонардо да Винчи (1452-1519).
В области перекрытия волн колебания налагаются друг на друга, происходит
наложение волн, в результате чего колебания в одних местах усиливаются, а в
других – ослабляются. В каждой точке среды результирующее колебание будет
суммой всех колебаний, дошедших до данной точки.
136
Особый интерес представляет случай, когда источники колебаний колеблются с
одинаковой частотой, имеют одинаковые направления колебаний и постоянную
во времени разность фаз. Такие источники называются когерентными. При
наложении в пространстве двух или нескольких когерентных волн в разных его
точках происходит устойчивое во времени их взаимное усиление или ослабление
в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называют
интерференцией волн от когерентных источников.
Рассмотрим наложение двух гармонических волн, возбуждаемых точечными
источниками s 1 и s 2 , циклические частоты колебаний которых равны  1 и  2 , а
начальные фазы – соответственно  1 и  2 . Пусть возбуждаемые волнами
колебания в произвольной точке В (рис. 2.3) одинаково
направлены и описываются уравнениями
В
 1  A1 cos(  1 t  k 1 r1   1 );
.
.
.
 2  A2 cos(  2 t  k 2 r2   2 ).
По принципу суперпозиции результирующие колебания в
точке В описываются выражением
  1   2  A cos Ф ,
где А, Ф – соответственно амплитуда и фаза
Рис. 7.3
результирующих колебаний, определяемые из векторной
диаграммы (см. параграф 1.3):
A 2  A12  A22  2 A1 A2 cos( Ф 2  Ф1 );
tgФ 
A1 sin Ф1  А2 sin Ф2
.
А1 cos Ф1  А2 cos Ф 2
Учитывая, что волновое число k 

v
, разность фаз складываемых колебаний в
точке В будет равна:

 
Ф2  Ф1  (  2   1 )t   2 r2  1 r1   (  2   1 ).
v1 
 v2
Если накладываются волны от когерентных источников ( 1   2   ),
распространяющиеся в однородной и изотропной среде ( v 1  v 2  v ), то

Ф2  Ф1   ( r2  r1 )  (  2  1 )  k  (  2  1 ),
v
где   r2  r1 - геометрическая разность хода волн от их источников до
рассматриваемой точки В. Так как  2   1  const и k  const , то амплитуда А
результирующих колебаний не зависит от времени, а определяется лишь
разностью фаз складываемых колебаний:
(7.8)
A2  A12  A22  2 A1 A2 cosk  ( 2  1 ).
Анализ (2.8) показывает, что амплитуда результирующего колебания А  А1  А2
будет максимальной во всех точках В, для которых аргумент косинуса равен
четному числу  :
k  (  2  1 )  2m ,
где m  0 ,1,2 ,...
137
Если заменить k 
2

и принять, что  1   2 , то
  m .
(7.9)
Соотношение (7.9) выражает условие интерференционного максимума: максимум
амплитуды колебаний получается в точках пространства, для которых разность
хода волн равна нулю или целому числу длин волн. Целое число m называется
порядком интерференционного максимума.
Очевидно, что амплитуда результирующего колебания А  А1  А2 будет
минимальной во всех точках В, для которых
k  (  2  1 )  ( 2m  1 ) ,
где m  0 ,1,2 ,..., откуда (при  1   2 ) получаем условие интерференционного
минимума:

  ( 2m  1 ) ,
(7.10)
2
то есть минимум амплитуды колебаний получается в точках пространства, для
которых разность хода волн равна нечетному числу длин полуволн. Число m в
данном случае называется порядком интерференционного минимума.
Особым случаем результата интерференции двух волн являются стоячие волны,
образующиеся в результате наложения двух встречных плоских волн с
одинаковыми
амплитудами
и
частотами.
Пусть две плоские бегущие волны с
одинаковыми
амплитудами
и
частотами
распространяются
навстречу друг другу вдоль оси х:
 1  A cos( t  kx ),
 2  A cos( t  kx ).
х
Сложив эти уравнения, учитывая, что
2
волновое
число
и
k

cos(    )  cos  cos   sin  sin  ,
получим уравнение стоячей волны:
Рис. 7.4
   1   2  2 A cos kx cos t  2 A cos
В точках среды, где
2x

  m
(m  0,1,2,...)
138
2x

cos t .
(7.11)
амплитуда стоячей волны достигает максимального значения Aст  2 A . Такие
точки называются пучностями стоячей волны. Координаты пучностей
xп   m

2
( m  0 ,1,2 ,...).
В точках среды, где
2x
1
 ( m  ) (m  0,1,2,...)

2
амплитуда стоячей волны обращается в нуль ( Aст  0 ). Такие точки называются
узлами стоячей волны. Координаты узлов
1 
( m  0 ,1,2 ,...).
x у  ( m  )
2 2
Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседними
пучностями одинаковы и равны половине длины волны  бегущих волн. Эту
величину называют длиной стоячей волны ст 

(рис. 7.4).
2
Образование стоячих волн происходит обычно при интерференции бегущей
вперед и отраженной волн. Например, если один конец шнура укрепить
неподвижно, то отраженная в месте закрепления шнура волна будет
интерферировать с бегущей вперед и образовывать стоячую волну. При этом на
границе отражения может образовываться или узел, или пучность – это зависит от
соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение,
более плотная, чем среда, в которой распространяется волна, то на границе
получается узел. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная,
чем та, в которой распространяется волна, то на границе получается пучность
(рис. 7.4).
Образование узла на границе отражения от более плотной среды объясняется тем,
что волна, отражаясь от более плотной среды, в месте отражения меняет свою
фазу на прямо противоположную. Тогда на границе складываются колебания
противоположных направлений, что и ведет к образованию узла. Отражаясь от
менее плотной среды, волна не меняет фазы в месте отражения, поэтому фазы
падающей и отраженной волн у границы одинаковы, и в этом месте образуется
пучность как результат сложения колебаний одинаковых фаз.
В отличие от бегущей волны, в которой энергия колебательного движения
переносится в направлении ее распространения, в стоячей волне переноса энергии
нет; лишь в пределах

происходят взаимные превращения кинетической
2
энергии в потенциальную и обратно.
2.15 Звуковые волны
План лекции
Характеристика звуковых волн; интерференция волн; эффект Доплера
Колебания, происходящие в диапазоне частот от 16 до 20000 Гц, обладают
свойством вызывать у человека ощущение звука и выделяются по этому признаку
в группу звуковых или акустических колебаний. В физике под словами «звуковые
139
колебания» подразумевают упругие колебания, распространяющиеся в виде
волнового процесса в газах, жидкостях и твердых телах или образующие в
ограниченных областях этих тел стоячие волны. Упругие колебания с частотами,
превышающими 20000 Гц, называют ультразвуками, колебания с частотами
менее 16 Гц – инфразвуками, колебания с частотами 105-107 кГц – гиперзвуками.
Источником звука может быть всякое тело, колеблющееся в упругой среде со
звуковой частотой (камертон, музыкальный инструмент, голосовые связки
человека и др.). Колебания тела вызывают колебания прилегающих к нему частиц
среды с той же частотой и последовательно передаются ко все более удаленным
от источника частицам среды. Скорость такой волны зависит от плотности и
упругих свойств среды. Скорость распространения звуковых волн в газах
(адиабатический процесс) определяется по формуле
RT
v
,
M
C
где   P – отношение молярных теплоемкостей газа при постоянных давлении
CV
и объеме, R – молярная газовая постоянная, Т – термодинамическая температура,
М – молярная масса.
Таким образом, для данного газа скорость распространения звуковых волн прямо
пропорциональна термодинамической температуре, обратно пропорциональна
молярной массе и не зависит от давления газа. При распространении звука в
атмосфере на волновой процесс влияют различные факторы: скорость и
направление ветра, влажность воздуха, явления отражения и преломления на
границе двух сред, затухание колебаний, обусловленное необратимым переходом
звуковой энергии в другие формы энергии.
Величиной, объективно характеризующей звуковую волну, является
интенсивность звука (сила звука) – средняя по времени энергия, переносимая
акустической волной в единицу времени через единичную площадку,
перпендикулярную направлению распространения волны:
W
I .
St
Единица интенсивности звука в СИ – ватт на метр в квадрате (Вт/м2).
Естественным приемником звука у человека является ухо. Оно преобразует
механическую энергию звуковой волны в возбуждение слухового нерва, которое
доходит до коры головного мозга и вызывает звуковое ощущение. Для того чтобы
вызвать звуковое ощущение, волна при данной частоте должна обладать
некоторой минимальной интенсивностью, но если эта интенсивность превышает
определенный предел, то колебания перестают восприниматься как звуковые: они
вызывают в ухе осязательное чувство давления, переходящее в болевое
ощущение. Таким образом, для каждой частоты колебаний существует
наименьшая (порог слышимости) и наибольшая (порог болевого ощущения)
интенсивность звука, которая способна вызвать звуковое восприятие. Между
порогом слышимости и болевым порогом лежит область слышимости.
В субъективном звуковом восприятии человек различает три характеристики
звука: а) громкость; б) высоту; в) тембр.
140
Громкость звука L – это субъективная характеристика, зависящая от
интенсивности звука и его частоты. По физиологическому закону ВебераФехнера, с ростом интенсивности звука громкость возрастает по
логарифмическому закону
I
L  lg ,
I0
где I 0 – интенсивность звука на пороге слышимости, принимаемая для всех
звуков равной 10-12 Вт/м2. Величину L обычно называют уровнем интенсивности
звука и измеряют в белах. Чаще пользуются единицами, в 10 раз меньшими, –
децибелами (дБ).
Высота звука – качество звука, определяемое человеком субъективно на слух и
зависящее от частоты колебаний. С ростом частоты высота звука увеличивается.
Тембр звука определяется характером колебаний. Лишь в редких случаях звуковое
колебание представляет собой чистое гармоническое колебание, чаще оно носит
более сложный характер. Состав этого колебания и распределение энергии между
определенными частотами определяет своеобразие звукового ощущения (тембр).
Эффект Доплера
Эффектом Доплера (Х. Доплер, австрийский физик и математик, XIX в.)
называют изменение частоты колебаний, воспринимаемых приемником, при
движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. В
акустике эффект Доплера проявляется как повышение тона при приближении
источника звука к приемнику и понижение тока звука при удалении источника от
приемника.
Пусть источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой; vi , v p
– скорости движения источника и приемника (положительны при сближении и
отрицательны при удалении источника и приемника);  0 – частота колебаний
источника; v – скорость распространения звука в данной среде.
1. Источник и приемник покоятся относительно среды ( v i  v p  0 ). Длина волны
  vT 
v
0
. Распространяясь в среде, волна достигнет приемника и вызовет его
колебания с частотой
v
 0 .
 vT
2. Приемник приближается к источнику, источник покоится ( v p  0 , v i  0 ).
Скорость распространения волны относительно приемника станет равной v  v p .
Длина волны при этом не меняется, следовательно
v  vp v  vp v  vp



0 .

vT
v
Таким
образом,
частота
колебаний,
воспринимаемых приемником, увеличится.
3. Источник приближается к приемнику,
приемник покоится ( v p  0 , v i  0 ). Скорость
распространения колебаний v зависит только от

v

..
141
Рис. 7.5
свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника,
излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние   vT .
Источник же за это время пройдет в направлении волны расстояние v i T . Поэтому
длина волны в направлении движения сократится и станет равна      v i T (рис.
7.5). При этом частота колебаний, которые воспринимает приемник, увеличится:
v
v
v
 

0 .
  ( v  v i )T v  v i
4. Источник и приемник движутся друг относительно друга. Этот случай
обобщает два предыдущих случая. Частота колебаний, воспринимаемых
приемником в этом случае
v  vp
(7.12)

0 .
v  vi
Верхний знак берется, если при движении источника или приемника происходит
их сближение, нижний знак – в случае их взаимного удаления.
Если направления скоростей не совпадают с проходящей через источник и
приемник прямой, то вместо скоростей v p и v i в формуле (7.12) надо
использовать их проекции на направление этой прямой.
Эффект Доплера можно наблюдать и для волн другой физической природы,
например для волн оптического диапазона.
Краткие выводы
Механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде, называются
упругими (механическими) волнами. Вместе с волной от частицы к частице среды
передаются состояния колебательного движения и энергия. Поэтому основным
свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без
переноса вещества.
Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания
частиц среды являются гармоническими.
Длина волны  – расстояние между двумя ближайшими частицами,
колеблющимися в одинаковой фазе. Длина волны равна расстоянию, на которое
распространяется определенная фаза колебаний за период:
v
  vT  .

Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют
совокупность параллельных плоскостей, перпендикулярных направлению
распространения волны. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль
положительного направления оси х, имеет вид
 ( x , t )  A cos( t  kx   ),
2 
где k 
 – волновое число.

v
Дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее
распространение волн в однородной изотропной среде, называется волновым
уравнением:
142
 2  2  2
1  2



.
x 2 y 2 z 2 v 2 t 2
Волновое уравнение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет
вид
 2
1  2

.
x 2 v 2 t 2
Волны, разность фаз которых остается постоянной во времени, называются
когерентными. Когерентными могут быть лишь волны одинаковой частоты.
Интерференция волн – явление наложения двух или нескольких когерентных
волн, в результате которого в разных точках пространства наблюдается
устойчивое усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от
соотношения между фазами этих волн.
Выражение
  m
определяет условие интерференционного максимума: максимум амплитуды
колебаний получается в точках пространства, для которых разность хода волн
равна нулю или целому числу длин волн. Целое число m называется порядком
интерференционного максимума.
Условие интерференционного минимума

  ( 2m  1 ) ,
2
то есть минимум амплитуды колебаний получается в точках пространства, для
которых разность хода волн равна нечетному числу длин полуволн. Число m в
данном случае называется порядком интерференционного минимума.
Волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся
навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами, называются
стоячими. Уравнение стоячей волны имеет вид
2x
  2 A cos
cos t .

Точки, в которых амплитуда максимальна ( Aст  2 A ), называются пучностями
стоячей волны. Координаты пучностей

( m  0 ,1,2 ,...).
xп   m
2
Точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю ( Aст  0 ), называются узлами
стоячей волны. Координаты узлов
1 
( m  0 ,1,2 ,...).
x у  ( m  )
2 2
Упругие волны, обладающие частотами в диапазоне 16-20000 Гц, называются
звуковыми или акустическими волнами. Волны с  <16 Гц (инфразвуковые) и 
>20 кГц (ультразвуковые) органами слуха человека не воспринимаются.
Изменение частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении
источника этих колебаний и приемника друг относительно друга называется
эффектом Доплера:
143

v  vp
0 ,
v  vi
где  0 – частота колебаний источника, v – скорость распространения звуковой
волны в рассматриваемой среде, vi , v p – соответственно скорости движения
источника и приемника. Верхний знак берется, если при движении источника или
приемника происходит их сближение, нижний знак – в случае их взаимного
удаления.
Энергия волны
При распространении волны в пространстве от какого-либо источника
происходит и распространение энергии; частицы среды, вовлекаемые в
колебательное движение, получают энергию от волны. Проследим, как энергия от
источника распространяется в пространстве.
Предположим, что наш источник - плоская металлическая мембрана,
колеблющаяся с определённой частотой. Колебаться мембрану заставляет
вынуждающая сила, например, переменное (синусоидальное) магнитное поле.
Мембрана, в свою очередь, заставляет колебаться частицы воздуха, и в
пространстве за мембраной распространяется плоская продольная упругая волна.
Энергия мембраны есть энергия её движения, то есть чисто кинетическая
энергия. (Будем считать мембрану безинерционной и неупругой, её колебания в
точности соответствуют колебаниям магнитного поля.) Среду, в которой
распространяется волна (воздух) будем считать идеальной, не поглощающей
волну (реально это справедливо для небольших участков пространства, в
пределах которых диссипацией энергии можно пренебречь).
Поскольку мембрана колеблется по синусоидальному закону, её энергия
(кинетическая) также будет периодически меняться со временем, но с удвоенной
частотой (энергия пропорциональна квадрату скорости и не зависит от её знака).
Следовательно, энергия источника будет поступать в среду циклически, с
частотой, в два раза большей частоты колебаний источника.
Какие формы принимает энергия в среде за мембраной? Во-первых, это
кинетическая энергия частиц воздуха, пришедших в движение; во-вторых,
поскольку среда упругая, это потенциальная энергия деформации воздуха.
Причём и кинетическая, и потенциальная энергия в любой точке пространства
изменяются абсолютно синхронно во времени: когда кинетическая энергия
достигает максимума, то и потенциальная энергия максимальна, и наоборот.
Действительно, проследим за слоем воздуха непосредственно за мембраной: когда
скорость мембраны максимальна, максимальна и скорость частиц воздуха, но при
этом мы имеем и максимальное сжатие воздуха за мембраной. Когда скорость
мембраны равна нулю (два раза за период), энергия мембраны равна нулю, в
волну в эти моменты энергия не поступает.
Пусть v* - скорость частиц среды в какой-то момент времени в какой-то
точке пространства (или, точнее, в физически малом объёме dV). Объёмная
плотность кинетической энергии Wk запишется (r - плотность среды):
Wk 
1 2
v*
2
Объёмная плотность потенциальной энергии упруго деформируемой среды равна:
144
Wn 
1 2 2
v 
2
n - фазовая скорость волны, e - относительная деформация среды.
Учитывая, что:
ds
dt
v
ds

 *
dx
v
v* 
имеем:
W  Wk  Wn  v*2   (
ds 2
1
)  A 2 2 cos 2 (t  kx   0 )  A 2 2 [1  cos 2(t  kx   )]
dt
2
Причём в каждой точке пространства объёмные плотности кинетической и
потенциальной энергий равны. Этот вывод справедлив для любых волн в упругих
средах: полная механическая энергия волны в каждой точке есть сумма двух
равных слагаемых, потенциальной и кинетической энергий.
Из приведённой формулы следует, что среднее за период значение объёмной
плотности энергии равно:
 W 
1 2 2
A 
2
Скорость переноса энергии волной есть скорость перемещения в
пространстве фиксированной амплитуды волны; для простой синусоидальной
волны эта скорость совпадает с фазовой скоростью.
Введём новые понятия, характеризующие перенос энергии в пространстве.
Поток энергии через площадку ds - энергия, прошедшая через эту площадку в
единицу времени. Если скорость переноса энергии n, то поток энергии dФ через
площадку dS запишется:
dФ  wvdS
Если площадка расположена не перпендикулярно направлению распространения
энергии, следует писать в более общемвиде:

dФ  wv dS
Если площадка расположена параллельно вектору скорости, то, разумеется, поток
энергии через неё равен нулю. При этом под направлением ориентации площадки
понимается направление нормали к её поверхности.
Плотность потока энергии U есть поток энергии через единичную
площадку, то есть:


U  wv
В отличие от потока плотность потока - величина векторная. Вектор плотности
потока энергии волны носит ещё название вектора Умова
Среднее значение модуля вектора плотности потока энергии (вектора Умова) есть
интенсивность волны:

1
I   U   w  v  v 2 A 2 2
2
При этом интенсивность упругой (то есть механической, звуковой) волны
зависит как от амплитуды, так и от частоты, - в отличие от интенсивности
электромагнитной волны, которая зависит только от амплитуды и не зависит от
частоты.
145
Вопросы для самоконтроля и повторения
- Что называется волновым процессом? Как объяснить распространение
колебаний в упругой среде?
- Какая волна называется продольной, поперечной?
- Что такое волновой фронт, волновая поверхность?
- Что называется длиной волны? Какова связь между длиной волны, фазовой
скоростью и периодом?
- Какая волна называется гармонической, плоской, сферической?
- Запишите дифференциальное уравнение плоской бегущей волны. Каково его
решение?
- При каких условиях возникает интерференция волн? Запишите условия
интерференционных максимума и минимума.
- При каких условиях возникают стоячие волны? Чем стоячая волна отличается
от бегущей волны?
- Чему равно расстояние между двумя соседними узлами стоячей волны? Двумя
соседними пучностями? Соседними пучностью и узлом?
- Что такое звуковые волны? От чего зависит скорость звука в газе?
- От чего зависят громкость, высота и тембр звука?
- Что называется эффектом Доплера? Изменится ли частота колебаний,
воспринимаемых покоящимся приемником, если источник колебаний от него
удаляется?
ПРАКТИЧЕСКИЕ И ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ
Практические занятия
Целью проведения практических занятий является помощь в освоении
теоретического материала и приобретение определенных навыков в решении
задач.
При решении задач рекомендуется определенная последовательность.
Необходимо:
- изучить теоретический материал по теме;
146
- ознакомиться и проанализировать примеры решения по изучаемой теме;
- начиная решать задачу, вникнуть в ее смысл. Представить себе не только
физическое явление, о котором идет речь, но и те упрощающие предположения,
которые надо сделать, проводя решение; - если позволяет характер задачи,
обязательно сделать рисунки, поясняющие содержание и решение задачи.
Рисунок должен быть достоверным (например, равные по модулю силы
изображать векторами-отрезками одинаковой длины и т.д.);
- условие задачи записывать кратко, все, входящие в неё величины, выразить в
единицах СИ;
- недостающие в условии данные при необходимости выписать из таблиц;
- решение задачи сопровождать пояснительным текстом;
- решив задачу в общем виде, проверить ответ по равенству размерности
отдельных членов формулы;
- выполнить числовые расчеты;
- получив числовой ответ, оценить его правдоподобность.
Темы практических занятий
1. Кинематика материальной точки
1.1 Кинематические характеристики поступательного движения
материальной точки.
Цель занятия: познакомить с общим подходом к решению задач
кинематики; выработать общий алгоритм решения. Выработать навыки
определения скорости и ускорения дифференцированием уравнения движения.
Рассмотреть примеры расчета кинематических характеристик движения.
Примеры решения задач
Задача 1.1
Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону, выражаемому формулой
  10  20t  2t 2 . Найти величину полного ускорения точки, находящейся на
расстоянии 0,1 м от оси вращения для момента времени t  4 с
Дано:   10  20t  2t 2 ; R  0,1 м; t  4 с.
Найти: a.
аτ
Решение
a  a2  an2 ,
an
a
2
o
v
dv
2
где a 
 R , an    R;
R
dt
d
d

 20  4t ;  
 4 рад/с2=const.
dt
dt
В момент времени t  4 с   20  4  4  4 рад/с;
a  R 2 2   4 R 2  R  2   4  0,1 16  256  1,65 м/с2.
Ответ: а=1,65 м/с2.
Задача 1.2
Уравнение движения тела дано в виде х = 4 - 3t. Определить начальную
координату тела, скорость движения и перемещения тела за 2 секунды.
Дано:
147
х = 4 - 3t,
t1 = 2с;
х0 - ? vx - ? S - ?
Решение:
Сравним данное уравнение движения тела с уравнением движения в общем виде:
х = х0 + vx t и х = 4 - 3t.
Очевидно, что х0 = 4м, vx = - 3м/с (знак "-" означает, что направление скорости не
совпадает с направлением оси ОХ, т.е. они противоположно направлены).
Перемещение тела найдем по формуле: S = х - х0. Конечную координату х можно
определить, подставляя в уравнение движения время t1: х = 4 - 3t1. В общем виде
формула перемещения: S = 4 - 3t1 - х0 = 4 - 3t1 - 4 = - 3t1 = -3 · 2 = - 6 м (Тело
движется в отрицательном направлении оси ОХ).
Ответ: х0 = 4м; vx = -3м/с; S = -6м.
Задача 1.3
Лодочник перевозит пассажиров с одного берега на другой за время t =10 мин. по
траектории АВ. Скорость течения реки vр = 0,3 м/с, ширина реки 240 м. С какой
скоростью v относительно воды и под каким углом α к берегу должна двигаться
лодка, чтобы достичь другого берега за указанное время?
Дано:
vр = 0,3 м/с,
L = 240 м,
t = 10 мин = 660 с
v' - ? α - ?
Решение:
Примем берег за неподвижную систему отсчета. Тогда относительно берега
𝐿
скорость лодки равна: 𝑣 =
𝑡
Эта скорость является суммой двух скоростей: скорости лодки относительно
воды v' (скорости относительно подвижной системы отсчета) и скорости реки vр
(скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной). По
закону сложения скоростей: v =vр + v'. Так как по условию задачи скорость лодки
относительно берега направлена вдоль АВ, а скорость реки перпендикулярно АВ,
то скорость лодки относительно воды(по теореме Пифагора):
148
Искомый угол можно найти из выражения:
Ответ: v' = 0.5 м /с, α = arctg ≈ 530.
Задача 1.4
Пусть х возрастает пропорционально квадрату времени, т.е. х = А·t2. Чему
равна мгновенная скорость в момент времени t1 - ?
Дано:
х = А·t2;
v-?
Решение:
В общем случае производная от степенной функции tn записывается в виде:
Мгновенная скорость определяется:
Ответ: В момент времени t1 имеем v = 2·а·t1.
Задача 1.5
Зависимость пройденного телом пути S от времени t задается уравнением S
= At - Bt2 + Ct3, где А = 2 м/с, В = 3 м/с2, С = 4 м/с3. Найти: а) зависимость
скорости v и ускорения a тела от времени t; б) расстояние S, скорость v и
ускорение а тела через время t =2 с после начала движения.
Дано:
S = At - Bt2 + Ct3, А = 2 м/с, В = 3 м/с2, С = 4 м/с3;
а) v(t) -?, a(t) -?
б) S -? , V -? , a-? при t = 2 c.
Решение:
а) Скорость тела: v = ds /dt ; v = A - 2Bt + 3Ct2; v = 2 - 6t + 12t2 м/с. Ускорение
тела: а = dv /dt; а= - 2B + 6Сt; a = - 6 + 24t м/с2.
б) Расстояние, пройденное телом, S = 2t - 3t2 + 4t3. Тогда через время t = 2c
имеем: S = 24 м; v = 38 м/с; а = 42 м/с2.
Ответ: v = 2 - 6t + 12t2; a = - 6 + 24 t м/с2; S = 24 м; v = 38 м/с; а = 42 м/с2.
Задача 1.6
149
Ускорение автомобиля равно а = - 4 м/с2. Что это означает?
Решение:
Ускорение автомобиля отрицательно, следовательно, скорость его
уменьшается, т.е. автомобиль тормозит. Его скорость уменьшается на 4 м/с за
каждую секунду.
Задача 1.7
Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Один, имея скорость 18 км/ч,
движется равнозамедленно, с ускорением -20 см/с2, другой, имея скорость
5,4км/ч, движется равноускоренно с ускорением 0,2 м/с2. Через какое время
велосипедисты встретятся, и какое перемещение совершит каждый из них до
встречи, если расстояние между ними в начальный момент времени 130 м?
Дано:
v01 = 18 км/ч = 5 м/с,
a1 = 20 см/с2 = 0,2 м/с2,
v02 = 5,4 км/ч = 1,5 м/с
a2 = 0,2 м/с2,
x02 = 130 м
S1 - ? S2 - ? t1 - ?
Решение: Пусть ось ОХ совпадает с направлением движения первого
велосипедиста, а начало координат с точкой O, в которой он находился в момент
времени t = 0 (рисунок 1.4). Тогда уравнения движения велосипедиста таковы :
(т.к. а1х= - а1; х01 = 0);
(т.к. v2x = - v02 и a2x = - a2).
В момент встречи в точке А: t = t1; x1 = x2. Тогда получим равенство:
,
откуда v01·t1 + v02·t1 = х02, т.к. а1 = а2,
Определим перемещение каждого до встречи.
150
Ответ: S1 = 60 м; S2 = 70 м; t1 = 20 c.
Задача 1.8
Тело падает вертикально вниз с высоты 20 м без начальной скорости.
Определить: путь h, пройденный телом за последнюю секунду падения; среднюю
скорость падения vср; среднюю скорость на второй половине пути vср2.
Дано:
h0 = 0м,
∆t = 1c,
h ? vср? vср2?
Решение:
Направим ось у вертикально вниз, и пусть начало координат совпадает с
начальным положением тела
1) Согласно формуле:
уравнение движения запишется в виде:
в момент падения на землю у = h0.
Отсюда время движения тела:
За время ( t - ∆t) тело прошло путь:
151
Путь за последнюю секунду равен:
2) Тело прошло путь h0. Время движения
падения
или
. Тогда средняя скорость
,
3) Для определения средней скорости на второй половине пути, необходимо
узнать время, за которое эта часть пути пройдена. Время движения на второй
половине пути равно полному времени полета t минус время t 1, затраченное на
прохождение первой половины пути. Время t1 находится из уравнения:
,
т.е.
Таким образом,
Следовательно,
Ответ: h = 15м; vср = 10м/с; vср2 = 17м/с.
Задача 1.9
В выбранной системе отсчета указаны положение материальной точки А и ее
скорость V=10 м/с при t=0. На точку действует только сила тяжести,
направленная вдоль оси оу. Написать уравнение движения вдоль оси оу и ох, если
ОА=6 м. Найти положение движущейся точки через 1 с.
152
Как видно из рисунка, в момент времени t=0 скорость точки направлена
горизонтально. В этом случае можно записать составляющие начальной скорости
по оси ох в виде:
Vox= V0
По оси оу в виде:
Voy=0
Поскольку вдоль оси ох движение равномерное, то зависимость координаты от
времени, т.е. х=х(t) имеет следующий вид:
x=x0 + V0t
В момент временим t=0 х=0, поэтому:
х=V0t = 10t
Поскольку вдоль оси оу имеет место свободное падение, то зависимость
координаты от времени, т.е. у=у(t) запишется следующим образом:
y  y 0  V0 y t 
gt 2
2
В момент времени t=0 у0=ОА= 6 м, V0у=0, ускорение свободного падения
направлено в сторону, противоположную оси оу. С учетом всего этого можем
записать:
10t 2
y  6
 6  5t 2
2
Здесь приняли ускорение свободного падения g=10 м/с2.
Найдем теперь уравнение траектории, т.е. зависимость у=у(х). Для этого надо
исключить время t из системы двух уравнений х=х(t) и у=у(t).
х=10t
у=6-5t2
Окончательно получаем:
у= -0,05х2 +6
Это и есть уравнение траектории. Уравнение траектории представляет собой
квадратное уравнение относительно х, график такой зависимости изображается
параболой с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы имеет
координаты:
х=0, у= 6
Изобразим график этой зависимости.
Найдем положение движущейся точки через1 с. Для этого вычислим ее
координаты:
х= 10 м/с 1 с= 10 м
у=6 м – 5 м/с2 1 с = 1 м
153
Найдем дополнительно место пересечения точки с осью ох:
у=0
0= - 0,05 х2 + 6
Отсюда имеем:
x   120  11 м
Из двух корней нас интересует только один х= 11 м.
Задача 1.10
С башни высотой Н = 25 м горизонтально брошен камень со скоростью
υ0=15 м/с. Найти: сколько времени камень будет в движении; на каком
расстоянии Sx от основании башни он упадет на землю; с какой скоростью υ он
упадет на землю; какой угол φ составит траектория камня с горизонтом в точке
его падения на землю.
Дано:
h = 25 м,
υ0 = υх = 15 м/с;
t -?, L -?, υ -?, φ -?
Решение:
Перемещение брошенного горизонтально камня можно разложить на два:
горизонтальное Sx и вертикальное Sy.
Применяя закон независимости движения, имеем:
,
,
отсюда,
Sx = L = v0·t = 15 · 2,26 = 33,9 м;
vу = g · t = 9,81 · 2,26 = 22,1 м/с,
154
Задача 1.11.
Тело брошено под углом α к горизонту с начальной скоростью υ0.
Определить время полета t, максимальную высоту Н подъема и дальность L
полета.
Дано:
α, υ0
t -?, Н -?, L -?
Решение:
Как обычно задача начинается с выявления сил, действующих на тело. На
тело действует только сила тяжести, поэтому в горизонтальном направлении оно
перемещается равномерно, а в вертикальном - равнопеременно с ускорением g.
Будем рассматривать вертикальную и горизонтальную составляющие движения
тела по отдельности, для этого разложим вектор начальной скорости на
вертикальную ( υ0·sinα ) и горизонтальную ( υ0·cosα ) составляющие.
Начнем рассматривать вертикальную составляющую движения. Время полета t =
t1 + t2, где t1 - время подъема (тело движется по вертикали равнозамедленно), t 2 время спуска (тело движется по вертикали равноускоренно).
Вертикальная скорость тела в наивысшей точке траектории (при t = t1) равна
очевидно нулю. С другой стороны, эта скорость может быть выражена при
помощи формулы зависимости скорости равнозамедленного движения от
времени.
Отсюда, получаем: 0 = υ0Sinα - g·t1 или
Зная t1, находим Н:
155
Подставим t1 в выражение для H, тогда получим:
Время спуска t2 можно вычислить, рассмотрев падение тела с известной высоты
Н без начальной вертикальной скорости:
отсюда следует, что t1 = t2.
Полное время полета:
Для нахождения дальности полета L необходимо обратиться к горизонтальной
составляющей движения тела, по горизонтали тело перемещается равномерно.
Задача 1.12
Самолет пролетает над наблюдателем на постоянной высоте h с постоянной
скоростью , большей скорости звука c. Какой угол с вертикалью составляет
направление на самолет, определяемое по звуку в тот момент, когда истинное
видимое направление от наблюдателя на самолет составляет с вертикалью угол ?
Решение.
C
Когда звук придет из точки B в точку D, самолет
C'' B'' B B'C'A
t
уже окажется в точке C, причем BC   t, BD  ct,
Введем
число
Тогда
имеем
M  / c .
h
ct

AB  htg   t  htg
BD  ct  hI  tg 2 2
1

D
I  M tg   2tg tg  tg   M  0 .


Отсюда tg  tg  M tg   1  M  1  M 
2
2
2
2
2
1, 2

1
2 2
2 1

.
Нами учтены некоторые особенности восприятия
на слух движения сверхзвукового самолета. Человек с помощью своих органов
слуха довольно хорошо определяет направление на точечный источник звука. В
тот момент времени, когда он, находясь в точке D, услышит звук пришедший из
точки B со скоростью C, самолет окажется далеко от нее, в точке C. В точку B
придет фронт ударной волны, рожденной сверхзвуковым движением самолета.
Будет слышен характерный "хлопок", так как почти одновременно придут
сферические волны из некоторой окрестности B'B'' точки B.
Задача 1.13
156
Аэростат поднимается вверх с постоянной скоростью u . В определенный
момент времени с аэростата сброшен камень, падавший на землю в течение 10 с.
Как высоко находился аэростат, когда камень упал на землю?
Решение.
Выберем подвижную систему координат, и совместим ее
начало с аэростатом, ось Y направим вниз. Тогда изменение
1
2
координаты y  g t 2 определяет расстояние от аэростата до
x
y
камня в любой момент времени. Так как камень падал 10 с, то
1
2
в момент падения y = H, t = tn = 10 c. Т.е. H  g t n2 . Подставив
значения, получим: H = 490 м.
Задача 1.14
Аэростат поднимается с Земли вертикально вверх с ускорением a = 2 м/с2.
Через  = 5 с от начала его движения из него выпал предмет. Через сколько
времени t этот предмет упадет на Землю?
Решение
Возьмем ось координат, направленную вертикально вверх, с началом
отсчета на поверхности Земли. Тогда кинематическое уравнение движения
предмета имеет вид y  y 0   0 t 
gt 2
, где y 0  a 2 / 2 и  0  a . Подставив в это
2
уравнение значение координаты предмета в момент падения y=0, найдем: t  3,4c.
Задача 1.15
По прямолинейно дороге в одном направлении движутся велосипедист со
скоростью 36 км/ч и мотоциклист со скоростью 72 км/ч. В момент начала
наблюдения расстояние между ними было 250 м. Через сколько времени
мотоциклист догонит велосипедиста?
I способ решения задачи (аналитический)
Дано:
V1=36 км/ч
V2=72 км/ч
Х=250 м
t=?
Перед тем, как начинать решать задачу, необходимо перевести числовые
данные в систему СИ:
36  1000
3600
72  1000
V2 
3600
V1 
= 10 (м/с)
= 20 (м/с)
Запишем алгоритм (метод) решения задачи:
совместим начало системы отсчета с мотоциклистом в начальный момент
времени:
157
на оси ох изобразим векторы скорости мотоциклиста и велосипедиста;
запишем уравнение движения ( зависимость координаты тела от времени)
велосипедиста и мотоциклиста:

 
x  xo  Vt
или в проекциях на ось ох:
х1 = 250 + 10t, т.к. х01 = 250 м
х2 = 20t ,
т.к. х02 = 0
Место встречи означает, что:
х1 = х2,
т.е.
250 + 10t = 20t
t=25 с
II способ решения задачи ( графический )
Запишем уравнение движения велосипедиста и мотоциклиста:
Х1=250 + 10t
Х2 = 20t
Построим графики этих зависимостей в одних и тех же координатах. Точка
пересечения графиков и означает место их встречи. Из чертежа видно, что t=25 с.
Задача 1.16
Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями 36 и 54 км/ч.
Пассажир, находящийся в первом поезде, замечает, что второй поезд проходит
мимо него в течение 6 с. Какова длина второго поезда?
Решение
Рассмотрим два способа решения этой задачи.
I-ый способ.
Решим задачу в неподвижной системе отсчета, связанной с землей. По условию
задачи известны скорость первого поезда относительно земли V1 и скорость
второго поезда относительно земли V2. Обратимся к рисунку:
158
Пусть для определенности пассажир находится в головном вагоне первого поезда.
Можно сообразить, что длина второго поезда будет складываться из двух частей:
L2=S1 + S2, где S1 – путь, который прошел первый поезд за 6 с и S2 – путь, который
прошел поезд за то же время.
Дано:
V1=36 км/ч
V2=54 км/ч
36  1000
= 10 м/с
3600
54  1000
V2 =54 км/ч =
= 15 м/с
3600
V1= 36 км/ч =
L2=?При равномерном прямолинейном движении путь определится по формуле:
S=Vt
S1=V1t=10 м/с 6 с= 10 м; S2=V2t=15 м/с 6 с= 90 м
Тогда длина второго поезда равна: L2=60 м + 90 м= 150 м
2-ой способ.
Решим задачу в подвижной системе движущегося поезда. Для этого
воспользуемся законом сложения
скоростей:
  
V  V1  V2
Свяжем подвижную систему отсчета с первым поездом, тогда пассажир в этом
поезде видит, что мимо него проходит поезд длиной L2 со скоростью Vотн за время
t. Так как движение прямолинейное и равномерное, то:
L2=Vотнt
Скорость Vотн движения второго поезда относительно первого найдем из закона
сложения скоростей:


 
Vотн  V  V2
Здесь Vотн - скорость второго поезда относительно подвижной системы отсчета

(первого поезда), V 2 - скорость второго поезда относительно неподвижной

системы отсчета (земли), V - скорость подвижной системы отсчета (первого
поезда) относительно неподвижной системы отсчета.
Выбираем положительное направление оси ох вдоль направления движения
второго поезда, тогда, проектируя закон сложения скоростей на эту ось, получим:
Vотн= V- (-V2) = V + V2
Теперь ищем длину второго поезда:
L2=(V + V2)t =(15 м/с + 10 м/с) = 150 м
1.2 Кинематические характеристики вращательного движения материальной
точки.
Задача 1.17
По краю равномерно вращающейся с угловой скоростью ω=1 рад/с
платформы идет человек и обходит платформу за время t = 9,9 с. Каково
159
наибольшее ускорение а движения человека относительно Земли? Принять
радиус платформы R = 2м.
Дано:
ω=1 рад/с
t = 9,9 с
R = 2м
Решение
a
V2
R . Так как человек
По определению центростремительное ускорение равно
обходит платформу по краю, то его скорость относительно платформы равна
V1 
2R
. Если человек обходит платформу по направлению вращения, скорость
t
человека относительно земли будет максимальна: V=V1+V2, где V2=ω×R –
скорость вращения края платформы.
2
 2R

 R 

2
2R
t
   2    R .
 R . Подставляем a  
Поэтому V 


t
R
 t

2
 2  3.14рад

Подставляем числа. a  
 1рад / с  2м  5,32м / с 2 .
9,9с


Задача 18
Определить модуль скорости и центростремительного ускорения точек
земной поверхности на экваторе. Радиус Земли принять равным 6400 км.
Дано:
R = 6400 км = 6,4·106 м;
Т = 24 ч = 8,64·104 с;
υ - ? ацс - ?
Решение:
Точки земной поверхности на экваторе движутся по окружности радиуса R,
поэтому модуль их скорости:
Центростремительное ускорение:
Ответ: υ = 465 м/с, ацс = 0,034 м /с2.
Задачи для самостоятельного решения
1. Движения двух материальных точек описываются следующими
уравнениями: x1  20  2t  4t 2 и x2  2  2t  0,5t 2 . В какой момент времени
скорости этих точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и
ускорения точек в этот момент?
160
2. С высоты 1000 м падает тело без начальной скорости. Одновременно с
высоты 1100 м падает другое тело с некоторой начальной скоростью. Оба
тела достигают земли в один и тот же момент времени. Пренебрегая
сопротивлением воздуха, найти начальную скорость второго тела.
3. Велосипедист проехал первую треть пути со скоростью 10 м/с, затем
половину пути со скоростью 6 м/с и оставшуюся часть пути со скоростью 2
м/с. Чему равна средняя скорость велосипедиста?
4. Мяч бросили со скоростью 10 м/с по углом 40 0 к горизонту. Не учитывая
сопротивления воздуха, найти: а) на какую высоту поднимется мяч? б) на
каком расстоянии от места бросания мяч упадет на землю? в) сколько
времени мяч будет в движении?
2. Динамика материальной точки
Цель занятия: выработать умение применять усвоенные знания о законах
динамики к конкретным ситуациям задачи, определяемым типом взаимодействия
и видом сил. В процессе решения задач показать реализацию единого подхода:
выделение взаимодействующих тел и запись для каждого из движущихся тел
соответствующего уравнения движения.
Примеры решения задач
2.1 Применение законов динамики к расчету характеристик движения
материальной точки.
Задача 2.1
Грузы одинаковой массы (m1=m2=0,5 кг) соединены нитью и перекинуты
через невесомый блок, укрепленный на конце стола. Коэффициент трения груза
m2 о стол µ =0,15. Пренебрегая трением в блоке, определить: а) ускорение, с
которым движутся грузы; б) силу натяжения нити.
Дано: m1=m2=0,5 кг; µ =0,15.
Найти: а, Т.
Решение
По второму закону Ньютона уравнения
N
движения грузов имеют вид:
m1 a  m1 g  T ,
T
Fтр

m
a

T


m
g
;
 2
2
T
m1a  m2 a  m1 g  m2 g , откуда
m2g
a
(m1  m2 ) g (0,5  0,15  0,5)9,8

 4,17 м/с2;
m1  m2
0,5  0,5
T  m1 ( g  a)  0,5(9,8  4,17)  2,82 Н.
Ответ: а=4,17 м/с2, Т=2,82 Н.
Задача 2.2
161
m1g
Снаряд массой 5кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории
имеет скорость 300м/с. В этой точке он разорвался на два осколка, причем
больший осколок массой 3кг полетел в обратном направлении со скоростью
100м/с. Определить скорость второго, меньшего, осколка.
Дано: m=5 кг; v=300 м/с; m1=3 кг; v1=100 м/с.
Найти: v2.
Решение
По закону сохранения импульса для замкнутой системы?
mv  m1v1  m2 v2 ;
mv  m1v1  m2 v2 ,
где m2  m  m1 ;
mv  m1v1 5  300  3  100
v2 

 900 м/с.
m2
2
Ответ: v2=900 м/с.
Задача 2.3
Невесомый блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей,
составляющих с горизонтом углы  = 30О и  = 45О. Грузы A и B равной массы 1
кг соединены невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Найти
ускорение, с которым движутся грузы, и натяжение нити. Трением о плоскости
пренебречь.
Решение.


NA
и N B - силы упругого
взаимодействия тел A и B с

F
наклонной
плоскостью,
- сила
A
H
B


натяжения нити, PA и PB - силы веса
(см. рис.)


Составим
уравнения
движения
каждого тела в отдельности. Силы
спроектированы на направления движения в предположении, что грузы
перемещаются слева на право
FH  PA sin   m A a, m A  m B  m;
PB sin   FH  m B a, PA  PB  P;
Складывая уравнения почленно, получим:
Psin   Psin   2ma.
P  sin   sin   g  sin   sin  

.
2m
2
mg  sin   sin  
FH  Psin   ma 
.
2
a
Задача 2.4
С каким максимальным ускорением может двигаться вверх по наклонной
дороге автомобиль, если угол наклона дороги к горизонту равен , а коэффициент
трения между колесами автомобиля и дорогой
равен k?
Решение.
162

Движение вверх обеспечивает сила трения (покоя) между ведущими колесами и
поверхностью дороги. Максимальное ускорение достигается при отсутствии
проскальзывания. Сила трения покоя имеет верхний предел: Fтр = kN, где N - сила
давления, равная вертикальной составляющей силы веса P. Следовательно, в
соответствии со вторым законом Ньютона напишем уравнение движения
автомобиля в виде
ma МАКС  kmgcos   mgsin  ,
откуда
a
макс
 g cos  ( k  tg )
Задача 2.5
С наклонной плоскости, угол наклона которой равен , соскальзывает без
трения клин. Верхняя грань клина горизонтальна. На клине покоится тело массы
m. Найти силу трения, действующую на тело.
Решение
Относительно наклонной плоскости тело вместе с

клином движется с ускорением a , определяемым
составляющей Psin. В системе отсчета,
связанной с клином, на тело действуют: сила веса



P , сила инерции - ma и сила давления N .
Горизонтальная составляющая силы инерции

уравновешивается силой трения покоя. Таким
образом, имеем: Fтр  ma cos , где a  g sin  . Подставляя ускорение, получим:
Fтр  mg sin  cos 
1
mg sin 2 .
2
Задача 2.6
Опирающаяся на доску однородная балка может поворачиваться
в шарнире

A вокруг горизонтальной оси. Какую горизонтальную силу F нужно приложить к
доске, чтобы сдвинуть ее влево? Известны все величины, указанные на рисунке, a.
Решение
a
б
A

N

к
FTP
N1
FTP1
к1
N


На балку действуют сила тяжести mg , нормальная сила реакции доски N ,

сила трения со стороны доски Fтр , направленная в сторону движения доски, и
сила реакции шарнира. Направление последней силы заранее неизвестно, но оно и
не понадобится, так как мы будем рассматривать моменты сил, действующих на
163
балку, относительно оси вращения. Тогда условие равновесия моментов,
действующих на балку сил, имеет вид
mg
sin   N sin   Fтр cos   0 .
2
(1)


Силы, действующие на доску, изображены на рис. б, где m1 g - сила тяжести, Fтр1

- сила трения доски о пол, F - внешняя сила, с которой мы тянем (эта сила будет
наименьшей, если доска движется равномерно). На основании второго закона
Ньютона в этом случае имеем
F  Fтр  Fтр1  0,
(2)
(3)
N 1  m1 g  N  0.
Вид последних уравнений не зависит от того, в какую сторону движется доска.
На основании закона Кулона-Амонтона
Fтр  kN , Fтр1  k1 N 1 .
(4)
С помощью первого из соотношений (4) и уравнения моментов (1) определяем
Fтр и N. Теперь становится понятным, почему можно было ограничиться только
уравнением моментов сил, действующих на балку: по условию задачи нас
интересует только движение доски, а ее взаимодействие с балкой описывается
двумя силами Fтр и N, которые удается определить из написанных соотношений.
Итак,
N
sin 
mg
.
sin   k cos  2
Для нахождения силы F нужно подставить в уравнение (2) вместо Fтр и Fтр1 их
выражения (4). При этом N1 выражается из соотношения (3) через силу N, которая
найдена. Проделав все это, получаем
F  k1 m1 g 
k1  k mg
.
1  mctg 2
Задача 2.7
На горизонтальной плоскости лежит доска массы M2 = 2 кг, которой
помещен груз массы M1 = 1 кг. Горизонтальная сила F = 20 Н приложена к грузу.
Коэффициент трения между плоскостью и доской K1 = 0,1, между доской и
грузом K2 = 0,5. Найти ускорение обоих тел и необходимое условие сдвига груза с
доски.
Решение
На груз действует внешняя сила F и сила трения Fтр12 со стороны доски. На
доску действуют сила трения Fтр21 со стороны груза и сила трения между доской
и плоскостью Fтр. Запишем уравнение движения
тел:
F  Fтр12  m1 a1 ; Fтр21  Fтр  m 2 a 2 ,
где
Fтр21  Fтр12  K 2 N 1  K 2 m1 g.
Fтр  K 1 N 2  K 1 g M 1  M 2  ,
отсюда
a1 
K  K1
F
M 1  K1 g  1 м/с2.
 K 2 g  15 м/с2; a 2  2
M1
M2
164
Чтобы сдвинуть груз с доски, необходимо выполнить условие:
a 2  a1 ,
или F  K 2  K1 
M 2  M1
M 1 g  6 Н.
M2
Задача 2.8
На горизонтально вращающемся столике
укреплен вертикальный стержень, к вершине
которого привязана нить. К концу нити
прикреплен шарик массы m. С какой угловой
скоростью  вращается столик, если нить
составляет с вертикалью угол . Длина нити l,
расстояние стержня от оси вращения b.
y

b
x
Решение.
Уравнение вращательного движения в проекции на ось X:
FH sin   ma Ц ,
aЦ 
2
R

2
b  l sin 
   R  b  l sin   .
Проекция сил на ось Y дает:
FH cos  mg.
В результате получим
m 2 b  l sin    mgtg ,

g tg
.
b  l sin 
Задача 2.9
Кубик стоит у стены так, что одна из его граней образует угол  с полом.
При каком значении коэффициента трения кубика о пол это возможно, если
трение о стену пренебрежительно мало?
Решение
Запишем условие равновесия кубика  M i  0
a
относительно точки 0, где  M i - сумма моментов
сил.

a 2
cos   Fтр a sin   0
2
  45 0   ; N  mg; Fтр  kmg
Na cos  m g
0

165
a 2
cos45 0     kmgasin   0.
2
2 cos  cos45 0   
mgacos  m g
k
2 sin 
Задача 2.10
Лестница стоит у гладкой стены. Коэффициент трения между лестницей и
полом равен 0,5. Вычислить наибольший угол  между стеной и лестницей, при
котором лестница еще не будет скользить.
Решение.
y
Запишем проекции сил на оси координат:
Ось X: N 2  Fтр  0 (1);
ось Y: N1  mg  0 (2).
Максимальная сила трения покоя Fтр  kN1 (3).

Уравнение моментов сил относительно точки 0 будет:
l
mg sin   N 2 l cos  0  tg  2 N 2 / mg (4).
2
0
FTP
x
Подставив (1), (2), (3) в (4), получим: tg  2k . После
подстановки численных значений  макс  45 0 .
Задача 2.11
Брусок массой 6 кг зажат горизонтальными силами по 200 Н каждая двумя
вертикальнами стенками. Какая вертикальная сила потребуется для того, чтобы
равномерно перемещать брусок вниз, если коэффициент трения k = 0,25?
Решение.
Движение равномерно, если равнодействующая равна нулю.
Поэтому mg  FB  2 Fтр  0 , т.к. F1  F2 по условию, то Fтр1  F1 и
Fтр 2  F2
равны.
Тогда
FB  2kF1  mg или
FB  2  0,25  200 Н  6 кг 10 м/с 2  40 Н.
2.2 Энергия, работа. Закон сохранения полной механической энергии
материальной точки.
Задача 2.12
Два одинаковых шарика соединены невесомым стержнем длины l0. Система
расположена на горизонтальной плоскости и приведена во вращение так, что ее
центр покоится. Сколько оборотов сделает система? Начальная скорость каждого
из шариков равна 0, коэффициент трения о плоскость равен k.
Решение.
Пусть каждый шарик прошел до остановки путь l, тогда закон сохранения энергии
дает:
2
m 02
 2k m g l .
2
166
Число оборотов :
Окончательно:
n
l
,
 l0
n
 02
.
2 k g l 0
Задача 2.13
Цилиндрическая труба высотой H и толщиной стенок В построена из материалов
с плотностью . Считая, что сечение трубы есть кольцо с внутренним радиусом R,
найти работу силы тяжести при постройке трубы.
Решение
Н, В, R
Работа силы тяжести равна убили потенциальной энергии
А-?
Атяж= -Wп или Aтяж= - (mgh – mgh0),
где h0 и h – высота центра тяжести материалов до и после постройки
т.к. h0=0, h=H/2, m=V, то Атяж= - gVH/2,
V=SH = H (R22 - R12) = H[(R+B)2- R2].
Подставив, получим: Атяж= - gBH2(2R+B)/2,
Знак минус означает, что работа силы тяжести .отрицательна, т.е. при
перемещении материалов вверх сила тяжести действовала навстречу, т.е. вниз.
Задача 2.14
Тело массой m поднимают медленно по желобу высотой h и длиной
основания b . Считая коэффициент трения равным к , найти работу внешней силы
(силы тяги), работу силы тяжести, работу силы трения и силы нормальной
реакции.
Решение
m
h
Fi
Qi
b
F
Q
k
Si
AT -?
h
hi 
FTP i
Amg -?
FTP

Ac -?

mg
AQ -?
mg
S
bi
b
Силы, действующие на тело, очевидны.
Т.к. тело движется под действием переменных сил (движение криволинейное), то
путь S надо разбить на столь малые участки Si, которые были бы неотличимы от
отрезков прямых. Тогда:
Aсопр.i= FTр.i Si (-1)= -kQiSi= - kmg cosi Si= -kmgbi
Aсопр = Асопр.1+…+Асопр.n= -kmg (b1+b2+…+bn)= -kmgb
Ag i = mgSi cosi = -mghi
Ag= -mg (h1+h2+…+hn)= -mgh
Или т.к. W0 n=0 (на высоте, равной 0), то -mgh= -(W-W0)= Wg и Ag= -Wg
Сила Q работы не совершает, т.к. она составляет угол 900 с направлением
движения.
167
Для работы силы F имеем:
Ai = FiSi (+1) = (Fi +mgsini) Si =
= (kmgcosi + mgsini) Si = kmgbi + mghi=
= mg(kbi +hi),
A = kmgb + mgh
V=const W=0 A= - A +W=kmgb +mgh.
Надо обратить внимание на то, что если работа силы F на участке ΔS равна ΔA1 ,
то работа ΔA2 против этой силы, т.е. силы равной и противоположной силе F
будет отличаться от ΔA1 лишь по знаку.
Действительно, поскольку F1 = -F2 и ΔS1 =ΔS2 ,то F1 ΔS1 = -F2 ΔS2 или ΔA1 = ΔA2. Поэтому работа силы тяжести равна: A = - mgh
Задача 2.15
Какую минимальную работу надо совершить, чтобы однородный
свинцовый кубик с ребром l, находящийся на горизонтальной плоскости,
повернуть с одной грани на другую (соседнюю)?
Решение

l
A -
l
0
k
h
l /2
d
0
k
а)
б)
При поворачивании кубика центр тяжести его (точка 0) должен выть поднят на
высоту h=d-l/2 . Следовательно, наименьшая работа, необходимая для такого
поворота будет равна изменению (увеличению) только потенциальной энергии
кубика при подъеме его центра тяжести на эту высоту h:
A = W2 -W1
где W1 - потенциальная энергия кубика в положении, изображенном на рис. a; W2 потенциальная энергия кубика в положении, изображенном на рис. б.
За уровень начала отсчета потенциальной энергии выберем уровень kk1 ,
проходящей через центр тяжести кубика в исходном положении. Тогда W1=0;
W2 =mgh, где m - масса кубика: m =V=l3 (— плотность).
Следовательно,
A = W2 -W1= gl3( d- l/2 )
d=(2/2 )l
Задачи для самостоятельного решения
a. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону s  A  Bt  Ct 2  Dt 3 , где
С=2 м/с2, D=0,4 м/с3. Определить силу, действующую на тело в конце первой
секунды движения.
168
b. К нити подвешен груз массой 500 г. Определить силу натяжения нити, если
нить с грузом: а) поднимать с ускорением 2 м/с2; б) опускать с тем же
ускорением.
c. На тело массой 10 кг, лежащее на наклонной плоскости (угол α равен 20 0),
действует горизонтально направленная сила 8 Н. Пренебрегая трением,
определить: а) ускорение тела; б) силу, с которой тело давит на плоскость.
d. С вершины клина, длина которого 2 м и высота 1 м, начинает скользить
небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином μ=0,15.
Определить: а) ускорение, с которым движется тело; б) время прохождения
тела вдоль клина; в) скорость тела у основания клина.
3. Динамика системы материальных точек. Законы сохранения
Цель занятия: выработать убеждение, что законы сохранения справедливы
только для замкнутых систем тел. Добиться понимания, что внутренние силы не
изменят импульс, момент импульса, полную энергию системы тел.
Примеры решения задач
3.1 Центр масс системы. Закон сохранения импульса, его применение к расчету
характеристик движения системы.
Задача 3.1
С башни высотой 20м горизонтально со
скоростью 10 м/с брошен камень массой
400г.
Пренебрегая
сопротивлением
x
воздуха, определить кинетическую и
0
v0
потенциальную энергию камня через 1 с
после начала движения.
y
h1
A
vx
Дано:
H = 20 м;
H
vy
v0 = 10 м/с;
v
m = 0,4кг;
h
t = 1c.
Найти: Ek, Eп.
Решение
mv 2
, E п  m g ,h где
В точке А E k 
2
.
v  v x2  v y2  v02  ( gt) 2 ,
gt 2
gt 2
m 2
2 2
h  H  h1 , h1 
; E k  (v 0  g t ), E п  mg ( H 
).
2
2
2
Подставляя числовые данные, получим Ek = 39,2 Дж, Eп = 59,2 Дж.
Ответ: Ek = 39,2 Дж, Eп = 59,2 Дж.
Задача 3.2
169
.
Автомобиль массой 1,8 т движется в гору, уклон которой составляет 3 м на
каждые 100 м пути (рис.2). Определить: а) работу, совершаемую двигателем
автомобиля на пути 5 км, если коэффициент трения равен 0,1; б) развиваемую
двигателем
мощность,
если
N
известно, что этот путь был
F
преодолен за 5 мин.
Дано: m = 1800 кг; sinα = 0,03;
s = 5000 м; μ = 0,1; t = 300 с.
F1
Fтр
Найти: А, Р.
Решение
F2
A  F1 s  Fтр s, где F1  mg sin  ,
mg
F тр  mg cos ;
α
cos   1  sin 2  ;
A  mgs(sin    cos ); P 
A
.
t
Подставляя числовые данные, получим:
А = 11,5·106 Дж, Р = 38,3·103 Вт.
Ответ: А = 11,5 МДж, Р = 38,3·кВт.
Задача 3.3
Человек весом 800 Н переходит с носа на корму в лодке длиной 5 м.
Сколько весит лодка, если она за время этого перехода переместилась
в стоячей воде в обратном направлении на 2 м Начальная скорость лодки
относительно воды равна нулю.
Решение
L= 5 м.
P=800 H.
1-й Способ.
V1=V2=0
Запишем закон сохранения импульса:
S=2 м.
m1V1+ m2V2 = m1V1’ + m2V2’
P=?
т.к. V1=V2=0, то m1V1’ + m2V2’=0
или m1/m2 =V2’/V1 ,где m1 - масса человека, m2— масса лодки,
V2’- скорость лодки относительно воды, V1’ скорость человека относительно воды,
равная сумме скорости человека относительно лодки и скорости лодки
относительно воды V2’,т.е. V1’=V’+V2’.Следовательно,
m1 /m2 = -V2 ’/(V+V2’)
Т.к. время взаимодействия для обоих тел одинаково, можно записать
m1/m2 = -V2’ t /(V+V2’)t
или
P1/P2= - S/ L+S ,
где P1 - вес человека, P2 - вес ложки.
Отсюда
170
P2 = - P1 (L+S)/S; P1= - 800(5-2)/ -2 =1200(H).
2-ой Способ. Т.к. импульс изолированной системы постоянен, то ее центр масс
Y
Х
0
Xc =( M L/2 +mL) / (M +m) = (M (L/2 +S) + mS) / ( M + m).
Отсюда находим:
P = Mg = mg(L+S)/ S .
Задача 3.4
Два глиняных комка массами m1 и m2 , летящие со скоростями V1 и V2 навстречу
друг другу, неупруго соударяются. Найти количество выделившегося тепла Q.
Решение
⃗⃗
𝑉
m1 m2
до удара
V1
V2
⃗⃗1
𝑚1 𝑉
⃗⃗2
𝑚2 𝑉
Q-?
⃗⃗
(𝑚1 + 𝑚2 )𝑉
после удара
Очевидно,
m1V1 + m2V2 = (m1+m2)u
m1V12 /2 + m2V2 2 /2= (m1+m2)u2 /2 +Q
Считая направление вправо положительным, имеем
m1V1 - m2V2 = (m1+m2)u
m1V12 /2 + m2V2 2 /2= (m1+m2)u2 /2 +Q
Исключая u, получим
m1V12 /2 + m2V2 2 /2= (m1+m2) (m1V1 - m2V2 )2/ [2(m1+m2)2] +Q
Откуда
Q= m1V12 /2 + m2V2 2 /2 - (m1+m2) (m1V1 - m2V2 )2/ [2(m1+m2)]
раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим,
Q= m1 m2(V1 + V2 )2/ [2(m1+m2)]
171
3.2 Закон сохранения момента импульса системы материальных точек, его
применение к расчету характеристик движения системы.
Задача 3.5
По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром D = 75 см и массой m =
40 кг приложена сила F = 1 кН. Определить угловое ускорение ε и частоту
вращения ν маховика через время t= 10 с после начала действия силы, если радиус
R шкива равен 12 см. Силой трения пренебречь.
D = 75 см
m = 40 кг
F = 1 кН
t= 10 с
R = 12 см
ν=?
ε=?
Решение
Из второго закона Ньютона, применяемого к вращающимся телам, находим
M    J , где M – вращающий момент, ε – угловое ускорение, J – момент инерции
диска. Момент инерции однородного диска массой m и диаметром D равен
m  D2
J
. Так как сила приложена к краю шкива, то вращающий момент этой
8
M 8 F R
силы равен M=F×R. Откуда угловое ускорение   
.
2
J
mD
Подставляем числа (переводя одновременно все величины в систему СИ).

8  1000Н  0,12м
 42,67рад / с 2 .
2
40кг  (0,75м)
Если диск вращается равноускоренно, то уравнение вращения
 t2
. Примем начальные условия 0  0 и 0  0 - так как
2
 t2
начальная частота вращения равна нулю. Тогда  
.
2
   0  0  t 
По определению угловая скорость это производная угла поворота от времени
  t2 

d
 2 
d
    t . Поэтому через время t=T угловая скорость равна     T .

 
dt
dt
M 8 F R
8 F R  T
Подставляем сюда   
и получаем  
. Частота вращения
2
2
J
mD
mD
8 F R  T

, поэтому  
2
2  m  D 2
8  1000Н  0.12м  10с
 68с 1 .
Подставляем числа.  
2  3.14  40кг  (0,75м) 2
равна по определению  
Задача 3.6
172
В известной демонстрации на законы сохранения импульса и энергии при
ударе всегда отскакивает столько шаров, сколько налетает; объяснить это:
Решение
Пусть налетает k1 шаров, двигающихся совместно (слитно) со скоростью V1,
отскочат k2 шаров со скоростьюV2. По закону сохранения импульса и энергии
k1mV1 =k2mV2
k1mV12 / 2=k2mV22/ 2
Сократив массу, получим
k1V1 =k2V2
(1)
2
2
k1V1 =k2V2
(2)
Возводя равенство (1) в квадрат и поделив полученное выражение на (2),
получим k1=k2 , что и требовалось доказать. Деля (2) на (1), получим
V1 =V2
Задачи для самостоятельного решения
1. Тело массой 5 кг поднимают с ускорением 2 м/с2. Определить работу силы в
течение первых пяти секунд.
2. Определить работу, совершаемую при подъеме груза массой 50 кг по
наклонной плоскости с углом наклона 300 к горизонту на расстояние 4 м, если
время подъема составляет 2 с, а коэффициент трения 0,06.
3. С башни высотой 35 м горизонтально брошен камень массой 0,3 кг.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: а) скорость, с которой
брошен камень, если через 1 с после начала движения его кинетическая энергия
равна 60 Дж; б) потенциальную энергию камня через 1 с после начала
движения.
4. Пуля массой 10 г, летевшая горизонтально со скоростью 500 м/с, попадает в
баллистический маятник длиной 1 м и массой 5 кг и застревает в нем.
Определить угол отклонения маятника.
4.Механика твердого тела
Цель занятия: усвоить характеристики динамики вращательного движения
твердого тела: момент инерции твердого тела, момент силы, освоить методику их
расчета.
4.1Момент силы. Пара сил, момент пары. Момент инерции, момент
импульса твердого тела относительно оси.
Примеры решения задач
Задача 4.1
Из теории известно, прямой расчет момента инерции тела относительно оси
сводится к вычислению интеграла
где 𝜌- расстояние элементарной массы
до оси вращения. При этом,
естественно, необходимо учитывать симметрию системы.
173
Вычислим, к примеру, момент инерции шара (в сферических координатах
𝑟, 𝜃, 𝜑) относительно произвольной оси, проходящей через его центр (в данном
случае относительно оси Oz):
- масса шара, - его объем.
поэтому
Если считать, что наша Земля - шар с постоянной плотностью массы, то момент
инерции Земли относительно центральной оси будет равен
Для сравнения рассчитаем момент инерции молекулы CO2
относительно оси, проходящей через атом углерода
перпендикулярно линии, вдоль которой расположены все
три атома.
Основная масса атомов сосредоточена в их ядрах; размеры ядер (~10-14 м)
значительно меньше межядерного расстояния (~10-10 м), поэтому атомы
кислорода можно считать материальными точками, а моментом инерции атома
углерода можно пренебречь. При этих условиях
где
- молярная
масса кислорода, 𝑁А - число Авогадро, - межядерное расстояние. Подставляя
числовые значения этих величин, получим:
Задача 4.2
Маховик в виде колеса массой m = 30 кг и диаметром 60 см вращается с
угловой скоростью , изменяющейся по закону  = Аt10 , где А = 2 рад/с11. Найти
закон движения (t), угловое ускорение  (t), момент сил М(t) и момент
количества движения L(t). Вычислить эти величины через 2 с после начала
движения. Считать начальный угол (t =0) = 0 = 0 .
Дано:
m = 30 кг
D = 0,6 м
 = Аt10 = 2 t10рад/с
174
t=2c
Определить: (t),  (t), М(t), L(t).
Решение.
Если известен закон движения, то угловая скорость определяется как первая
производная от (t) по времени:
𝑑𝜑
𝜔(𝑡) =
𝑑𝑡
Закон движения (t) находится решением обратной задачи, т.е. интегрированием
угловой скорости по времени:
t
(t) =  () d  + 0
0
10
При (t) = 2 t ,с учетом 0 = 0:
t
2t11
(t) =  210 d  + 0 = 
0
11
2211
В момент времени t= 2 с маховик повернулся на угол (t =2 с) = 
11
= 372,3  372 рад.
Угловое ускорение определяется как первая производная от угловой скорости по
времени:
d
d
 =  =  ( 2 t10) = 10  2 t9
dt
dt
В момент времени t = 2 c угловое ускорение равно:
 ( t = 2c) = 10  2  29 = 10240  1,02 104 рад/с2
Момент сил можно определить из основного закона динамики для вращательного
движения твердого тела:
М=I 
где I - момент инерции тела.
В нашем случае момент инерции колеса равен:
I = mR2 = mD2/4
C учетом записанного получим:
𝑀=
При t = 2 c
𝑚𝐷2
4
∙ 20𝑡 9
M = 27648  2,77  104 Нм
Момент количества движения равен:
L=I
Подставляя выражения для , получим:
𝐿=
𝑚𝐷2
4
∙ 20𝑡 10
175
При t = 2 c
L = = 5529,6 = 5,53 103 кг м2/с
Проверим размерность полученных выражений.
рад с11
[] = [А] [t11] =  = рад;
с11
рад с9
[] = [А] [t9] =  = рад/с2
с11
mD2  A t9
кг м2 с9
кг м м
[M] = [ ] =  =  = Н м
4
11
с11
с2
кг м2 c10
[L] = [ m D2 A t10 ] =  = кг м2 с-1
c11
Ответ: (t=2) =372рад, (t=2с)= 1,02 104 рад/с2, М(t) =2,77  104 Н м
L(t) = 5,53 103 кг м2/с
Задача 4.3
Шар радиусом 10 см и массой 5 кг вращается вокруг оси симметрии по
закону   A  Bt 2  Ct 3 , где В=2 рад/с2, С=-0,5 рад/с3. Определить момент сил
относительно оси вращения для момента времени t=3 c.
Дано: R=0,1 м; m=5 кг;   A  Bt 2  Ct 3 рад; В=2 рад/с2; С=-0,5 рад/с3; t=3 c.
Найти: Mz.
Решение
Согласно уравнению динамики вращательного движения твердого тела
относительно неподвижной оси:
2
M z  J z  , где J z  mR 2 - момент инерции шара;
5
d
d

,
 2 Bt  3Ct 2 ,   2 B  6Ct;
dt
dt
2
M z  mR 2 (2 B  6Ct ).
5
2
Для t=3 c M z   5  10 2 (2  2  6  0,5  3)  0,1 H  м.
5
Ответ: Mz=-0,1 Н·м.
4.2 Закон сохранения момента импульса твердого тела. Энергия вращения
твердого тела.
Задача 4.4
На скамье Жуковского стоит человек и держит в руке за ось велосипедное
колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью ω = 25 рад/с. Ось
колеса расположена вертикально и совпадает с осью скамьи Жуковского.
С какой скоростью ω1 станет вращаться скамья, если повернуть колесо
176
вокруг горизонтальной оси на угол φ=90°? Момент инерции человека и скамьи J
равен 2,5 кг×м2, момент инерции колеса J0=0,5кг×м2.
Дано:
ω = 25 рад/с
J = 2,5 кг×м2
J0 =0,5кг×м2
Из закона сохранения момента импульса имеем: в изолированной системе
сумма моментов импульса всех тел – величина постоянная. Так как диск
повернули на угол 90º, то проекция его момента импульса на ось OO’ равна нулю,
поэтому J 0    J  1 , где J0 - момент инерции диска, J – момент инерции скамьи
с человеком относительно оси OO’.
J 0   0.5кг  м 2  25 рад / с

 5 рад / с .
Поэтому искомая величина 1 
J
2.5кг  м 2
Задача 4.5
На краю платформы в виде диска, вращающейся по инерции вокруг
вертикальной оси с частотой ν2 = 8 мин-1, стоит человек массой m = 70 кг.
Когда человек перешел в центр платформы, она стала вращаться с частотой ν1=10
мин-1. Определить массу M платформы. Момент инерции человека рассчитывать
как для материальной точки.
Дано:
ν2 = 8 мин-1
m = 70 кг
ν1=10 мин-1
Воспользуемся законом сохранения момента импульса: ( J1  J 2 )  2  J1  1 ,
где J 1 
M  R2
- момент инерции сплошного диска радиусом R и массой M, ν2 –
2
начальная частота вращения человека с диском, J1+J2 – суммарный момент
177
инерции диска и человека, находящегося на краю диска, ν1 – частота вращения
после перехода человека в центр. Момент инерции человека J2=m×R2, так как он
стоял на расстоянии R от оси вращения.
 M  R2

M  R2
 m  R 2   2 
 1 ,
2
 2

Тогда 
откуда M 
2  m  2
.
 1  2
Подставляем числа. M 
2  70кг  8мин 1
 560кг .
10мин 1  8мин 1
Задача 4.6
На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом 20см, момент
инерции которого 0,15 кг·м2, намотана легкая нить, к концу которой прикреплен
груз массой 0,5кг. До начала вращения барабана высота груза над полом
составляла 2,3м. Определить: а) время опускания груза до пола; б) силу
натяжения нити; в) кинетическую энергию груза в момент удара о пол.
Дано: R=0,2 м; Jz=0,15 кг·м2; m=0,5 кг; h=2,3 м.
Найти: t, T, Eк.
Решение
По закону сохранения энергии
mv 2 J z 2
v
at 2
mgh 

, где   , h 
, v  at;
2
2
R
2
2
mg
Jz
R
a
T
2 2
J
at
at

(m  z2 ),
2
2
R
m
mg
.
откуда a 
Jz
m 2
R
mg
2h
.
a
Уравнение динамики вращательного движения вала :
Время опускания груза до пола:
t
T  R  J z ,
откуда сила натяжения нити:
T
тогда
T
J z
a
, где   ;
R
R
Jza
.
R2
Кинетическая энергия груза в момент удара о пол:
mv 2 ma 2 t 2
Eк 

.
2
2
178
h
Рис. 1
Ответ: t=2 с; Т=4,31 Н; Ек=1,32 Дж.
Задачи для самостоятельного решения
1. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала,
одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью.
Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше
кинетической энергии сплошного цилиндра.
2. Полый тонкостенный цилиндр массой 0,5 кг, катящийся без скольжения,
ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о
стену 1,4 м/с, после удара 1 м/с. Определить выделившееся при ударе
количество теплоты.
3. К ободу однородного сплошного диска массой 10 кг, насаженного на ось,
приложена постоянная касательная сила 30 Н. Определить кинетическую
энергию через 4 с после начала действия силы.
4. Вентилятор вращается с частотой 600 об/мин. После выключения он начал
вращаться равнозамедленно и, сделав 50 оборотов, остановился. Работа сил
торможения равна 31,4 Дж. Определить: а) момент сил торможения; б)
момент инерции вентилятора.
5. К ободу однородного сплошного диска радиусом 0,5 м приложена
постоянная касательная сила 100 Н. При вращении диска на него действует
момент сил трения 2 Н·м. Определить массу диска, если известно, что его
угловое ускорение постоянно и равно 16 рад/с2.
6. С наклонной плоскости, составляющей угол 300 с горизонтом, скатывается
без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определить время движения
шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при
скатывании понизился на 30 см.
5. Движение в неинерциальных системах отсчета
Цель занятия: на конкретных примерах решения задач показать, что
существуют системы отсчета (неинерциальные системы отсчета), относительно
которых законы Ньютона не выполняются. Ввести понятие–сила инерции,
которая не является результатом воздействия на данное тело других тел.
Рассмотреть действие сил инерции во вращающихся НИСО, примеры проявления
сил на практике, в технических задачах.
Примеры решения задач
5.1 Неинерциальные системы отсчета, движущиеся прямолинейно. Силы
инерции.
Задача 5.1
Определим силу F, стремящуюся растянуть, а потом и разорвать круговой обруч
радиуса R массы M, равномерно вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью w .
179
Рассмотрение проведем в неинерциальной системе отсчета, вращающейся
вместе с обручем с угловой скоростью w, в которой обруч покоится. В этой
системе любая малая часть обруча тоже покоится. Рассмотрим бесконечно малый
элемент обруча, стягиваемый центральным углом da. Кроме реальных физических
сил, действующих на этот элемент обруча (к которым относятся силы F,
действующие со стороны примыкающих к обоим концам элемента остальных
частей обруча и стремящиеся растянуть этот элемент обруча),
Надо рассмотреть теперь также и центробежную
силу инерции Fцб., действующую на элемент обруча.
При этом согласно определению величины
центробежной силы, на бесконечно малый элемент
обруча, стягиваемый центральным углом da,
действует сила:
,
где k- масса в расчете на единицу длины обруча, или линейная плотность массы,
т.е. k=M/2pR .
Сумма трех векторов сил, действующих на рассматриваемый бесконечно
малый элемент, должна равняться нулю, так как этот элемент обруча в
рассматриваемой неинерциальной системе отсчета покоится. Другими словами,
или
и окончательно получаем:
Задача 5.2
Найти угол наклона к горизонтали свободной поверхности жидкости,
налитой в сосуд прямоугольной формы, скатывающийся с наклонной плоскости,
имеющей угол наклона к горизонту 𝛼.
Решение
Рассмотрение удобно вести в неинерциальной системе отсчета, жестко
связанной с сосудом с жидкостью, в которой жидкость покоится. Эта
неинерциальная система равномерно ускоренно движется вниз вдоль
наклонной плоскости с ускорением a=g∙ sin 𝛼.
180
Таким образом, на каждую малую жидкую частицу массы m в этой
инерциальной системе действует не только сила тяжести F=mg, направленная
вертикально вниз, но и сила инерции Fин.=ma, направленная в противоположную
сторону движения, т.е. вверх вдоль наклонной плоскости.
Жидкость в прямоугольном сосуде как бы находится в однородном поле
новых сил тяжести, имеющих ускорение g’, которое составляет некоторый угол 𝛽с
вертикалью. Следовательно, свободная поверхность жидкости в скатывающемся
сосуде, перпендикулярная направлению нового ускорения g’, будет составлять
такой же угол 𝛽 с горизонтальной плоскостью. Найдем угол 𝛽. Имеем
косоугольный треугольник:
Применим к нему теорему синусов:
,
,
2
sin 𝛽 (1 − 𝑠𝑖𝑛 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼
sin 𝛽 cos 𝛼 = cos 𝛽 sin 𝛼
tg 𝛽=tg 𝛼
Следовательно, искомый угол 𝛽 равен углу 𝛼, т.е. свободная по верхность
жидкости в скатывающемся по наклонной плоскости сосуде будет параллельна
наклонной плоскости.
5.2 Равномерно вращающиеся неинерциальные системы отсчета. Силы
инерции. Сила Кориолиса.
Задача 5.3
При килевой качке корабля (с носа на корму и обратно) ротор
быстроходной турбины участвует в двух движениях: во вращении вокруг своей
оси с угловой скоростью
и в повороте вокруг горизонтальной оси,
перпендикулярной валу турбины, с угловой скоростью . При этом вал турбины
будет давить на подшипники с силами Ф ÷ Ф′, лежащими в горизонтальной
плоскости. При качке эти силы, как и гироскопический момент, периодически
меняют свое направление на противоположное и
могут вызвать "рыскание" корабля, если он не
слишком велик (например, буксира).
Допустим, что масса турбины m=3000ru ее радиус
инерции Rин=0,5м, скорость вращения турбины
n=3000об/мин, максимальная угловая скорость
корпуса судна при килевой качке Ω =
181
град⁄
5
Максимальное значение
с расстояние между подшипниками
гироскопической силы, действующей на каждый из подшипников, составляет
После подстановки числовых данных получим Ф ≈ 104 Н то есть около 1 тонны.
Задача 5.4
Гироскопические силы могут вызвать так называемые колебания "шимми"
колес автомобиля. Колесу, вращающемуся вокруг оси AA' с угловой скоростью 𝜔,
в момент наезда на препятствие сообщается дополнительная скорость
вынужденного поворота вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка. При
этом возникает момент гироскопических сил, и колесо начнет поворачиваться
вокруг оси BB'. Приобретая угловую скорость поворота вокруг оси BB', колесо
снова
начнет
поворачиваться
вокруг
оси,
перпендикулярной плоскости рисунка, деформируя
упругие элементы подвески и вызывая силы,
стремящиеся вернуть колесо в прежнее вертикальное
положение. Далее ситуация повторяется. Если в
конструкции автомобиля не принять специальных
мер, возникшие колебания "шимми" могут привести к
срыву покрышки с обода колеса и к поломке деталей
его крепления.
Задача 5.5
С гироскопическим эффектом мы сталкиваемся и при езде на велосипеде.
Совершая, например, поворот направо, велосипедист инстинктивно смещает
центр тяжести своего тела вправо, как бы заваливая велосипед. Возникшее
принудительное вращение велосипеда с угловой скоростью приводит к
появлению гироскопических сил с моментом
На заднем колесе этот момент
будет погашен в подшипниках, жестко связанных с рамой. Переднее же колесо,
имеющее по отношению к раме свободу вращения в рулевой колонке, под
действием гироскопического момента начнет поворачиваться как раз в том
направлении, которое было необходимо для правого поворота велосипеда.
Опытные велосипедисты совершают подобные повороты, что называется, "без
рук".
Вопрос о возникновении гироскопических сил можно рассматривать и с другой
точки зрения. Можно считать, что гироскоп участвует в двух одновременных
движениях: относительном вращении вокруг собственной оси с угловой
скоростью 𝜔 и переносном, вынужденном повороте вокруг вертикальной оси с
угловой скоростью
Таким образом, элементарные массы △ 𝑚𝑖 , на которые
182
можно разбить диск гироскопа (маленькие кружки на рисунке), должны
испытывать кориолисовы ускорения
6.Элементы специальной теории относительности
Цель занятия: закрепить теоретические знания по теме примерами решения
задач. Отметить, что в специальной теории относительности рассматриваются
только инерциальные системы отсчета. Обратить внимание на особенности
записи законов сохранения, выражения для полной энергии, физический смысл
понятия «масса покоя», «энергия покоя» частицы
6.1 Преобразования Лоренца. Релятивистский закон преобразования
скоростей и ускорений.
Задача 6.1
Стержень движется вдоль линейки с некоторой постоянной скоростью. Если
зафиксировать положение обоих концов стержня одновременно в системе
отсчета, связанной с линейкой, то длина стержня l1  4,0 м. Если же положение
обоих концов зафиксировать одновременно в системе отсчета, связанной со
стержнем, то разность отсчета по линейке l2  9,0 м. Найти собственную длину
стержня и скорость стержня относительно линейки.
Решение.
При наблюдении из лабораторной системы отсчета К (где линейка
неподвижна) стержень испытывает лоренцево сокращение длины, следовательно,
l1  l 0 1   2 . Если же перейти в систему отсчета К  , где стержень неподвижен, а

линейка движется со скоростью - , то линейка испытывает лоренцево
сокращение, и, следовательно,
l0  l 2 1   2
.
Решая полученную систему уравнений относительно l 0 и  , найдем:
l0  l 2 l1l 2  6 м м ;
𝛽 = √1 −
𝑙1
𝑙2
=
√5
3
≈0,75 м/с
  0,75 м/с.
Задача 6.2
С Земли стартует со скоростью  космический корабль. Друзья
космонавтов, оставшиеся на Земле, хотят поздравить путешественника с днем
рождения, который должен наступить спустя время Т после старта корабля по
календарю Земли. Когда нужно послать радиосигнал с поздравлением, чтобы он
пришел на космический корабль вовремя?
Решение.
День рождения космонавта наступит после старта корабля спустя промежуток
собственного времени космонавта, равный  0  Т . Момент времени,
соответствующий наступлению этого события в системе Земли, будет:
183
0
1 
2
Т

1  2
.
Космический корабль удалится за это время на расстояние
Т
1  2
. Если
обозначить t промежуток времени, спустя который (после старта) надо
отправить радиопоздравление (скорость радиосигнала равна с), то для момента
его прихода на космический корабль (по расчету в системе Земли), справедливо
равенство:
t 
T
c 1  2
T

,
1  2
откуда определяется искомая величина:
t  T
1 
.
1 
Задача 6.3
Фотон летит поперек ракеты, которая сама движется с околосветовой скоростью
 p . Определить полную скорость фотона в системе «Звезда».
Решение.
В системе «Звезда» скорость фотона имеет две составляющие: вдоль
движения ракеты  х   р и поперечную  у  с 1   2 / с 2 .
Квадрат полной скорости фотона в системе «Звезда» равен:
  {c 1   / c }    c
2
р
2
2
2
2
p
2
c 2   p2
c
2
 c2
.
Как и следовало ожидать, в любой инерциальной системе отсчета фотон имеет
одинаковую по модулю скорость, равную скорости света.
Задача 6.4
Тридцатилетний космонавт улетел на расстояние 40 световых лет. По часам
космонавта его возраст 40 лет. Каков возраст космонавта по часам Земли?
Решение. Применяя инвариантность пространственно-временного интервала
(сt ) 2  (x) 2  (ct ) 2  (x) 2 и, учитывая, что для космонавта х  0 , получим
результат о том, что на Земле прошло: t  (t ) 2  (x / c) 2  100  1600  42 года.
Возраст космонавта 30+42=72 года по часам Земли.
Задача 6.5
Ионизированный атом, вылетев из ускорителя со скоростью 0,8с , испустил
фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона
относительно ускорителя.
Дано: u   0,8c.
Найти: u.
Решение
По релятивистскому закону сложения скоростей:
u  v
u
,
1  u v / c 2
184
где v  c - скорость фотона.
С учетом того, что u   0,8c , получим:
0,8c  c
u
 c.
1  0,8c  c / c 2
Ответ: скорость фотона в собственной системе координат и относительно
ускорителя одинакова и равна скорости света.
6.2 Законы сохранения энергии и импульса в специальной теории
относительности.
Задача 6.6.
Выразить импульс р релятивистской частицы через ее кинетическую
энергию Т.
Решение.
откуда


1 1  2
1
Т  E0 
 1  E0
,
2
 1  2

1




E0
;
1  2 
T  E0
 E0 
2 E0  T T
 
;
  1  
 E 0  T 2
 E0  T 
2
2

2E0  T T
E0  T
.
Подставляя полученные значения  и 1   2 в выражение для р, получим:
p  m0 c

1 
2

1
c
2 E0  T T (учтено, что E 0
 m0 c 2 ).
Задача 6.7
Протон движется со скоростью 0,75с. Определить его релятивистский
импульс и кинетическую энергию.
Дано: m0  1,67  10 27 кг; v=0,7c; с=3· 108 м/с.
Найти: р, Ek.
Решение
Релятивистский импульс протона вычислим по формуле:
m0 v
m0  0,75c
p

.
1 v2 / c2
1  0,75 2
Кинетическая энергия частицы:
m0 c 2

1
2
2

,
Ek  E  E0 

m
c

m
c

1
0
0
2
2
1 v2 / c2
1

v
/
c


где Е – полная энергия движущегося протона;
Е0 – энергия покоя.
Ответ: р = 5,68·10-19 Н·с; Ek = 7,69·10-11 Дж.
Задачи для самостоятельного решения
1.С какой скоростью должен двигаться стержень, чтобы размеры его в
направлении движения сократились в три раза?
185
2.Частица движется со скоростью v=8c. Определить отношение полной энергии
релятивистской частицы к ее энергии покоя.
3.Определить скорость, при которой релятивистский импульс частицы превышает
ее ньютоновский импульс в три раза.
4.Определить релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого
Ek = 1 ГэВ. На сколько процентов увеличится масса электрона после прохождения
им в ускоряющем электрическом поле разности потенциалов 1,5 МВ?
7. Механика жидкостей и газов
Цель занятия: обратить внимание на используемые модели жидкостей.
Обсудить особенности движения вязкой жидкости, условия ламинарного и
турбулентного течения. Рассмотреть примеры применения уравнения Бернулли к
решению задач.
Распределение давления в жидкостях и газах. Уравнение неразрывности
струи. Уравнение Бернулли. Формула Торичелли.
8.Колебания и волны
Цель занятия: отметить особое место гармонических колебаний, которые
могут быть описаны с кинематической и динамической точек зрения. Показать
возможный сложение двух гармонических колебаний, рассмотреть частные
случаи.
Примеры решения задач
8.1 Основные характеристики гармонических колебаний. Сложение
колебаний.
Задача 8.1
Шарик массой m=60 г колеблется с периодом T=2с. В начальный момент
времени смещение шарика х0=4,0 см и он обладает энергией E=0,02 Дж. Записать
уравнение простого гармонического колебания шарика и закон изменения
возвращающей силы с течением времени.
Дано:
m=60 г
х0=4 см
Т=2 с
E=0,02 Дж
Уравнение гармонических колебаний:
x  A sin( t  0 ) ,
где x – смещение колеблющейся величины,
A – амплитуда колебаний,
t  0 - фаза колебаний,
 - циклическая частота,
φ0 – начальная фаза.
Скорость равна:
V
dx d(A  sin   t  0 )

 A  cos  t  0  .
dt
dt
В начальный момент t=0 имеем:
x 0  A sin( 0 )
186
и
V0  A  cos0  .
Тогда начальная энергия равна:
E
m  V0 2 m  A  cos 0 2
.

2
2
Отношение:
x 0  2

2  (A  sin(  0 )) 2
 2
tg 2  0
.
m
m  A  cos 0 2
2
Циклическая частота равна по определению   , где T – период.
T
E
Поэтому
2
tg ( 0 ) 
2 

m   x0  
T

.
2 E
Начальная фаза равна:

m
2  

 0  arctg 
  x 0    . П
T 
 2 E 
Подставляем численные значения:

0.06кг
2  

 0  arctg 
  0,04м     8,7 .
2с  
 2  0,02Дж 
Теперь найдем амплитуду. Умножим x 0  A sin( 0 ) на
квадрат и сложим с E 
m  2
, возведем все в
2
m  A  cos 0 2
.
2
Получим следующее:
m  2  ( x 0 ) 2
m  (A  ) 2
m  (A  ) 2
E 
sin 2 ( 0 ) 
cos 2 (0 )
2
2
2
2

E
Так как sin2φ+cos2φ=1, то x 0 2 
 A2 .
2
m  
Откуда амплитуда равна:
A
x 0 2 
2 E
m
2

x 0 2 
2 E
m  ( 2 / T ) 2
.
Подставляем численные значения:
A
0.04м 2 
2  0,02Дж
0,06кг  (2 / 2с) 2
 0,26м .
Поэтому уравнение гармонических колебаний запишется:
x  0,26м  sin(( 2 / 2сек) t  8,7) .
Ускорение равно:
a
dV
  A 2 sin( t   0 ) .
dt
Тогда сила равна:
F  ma  mA 2 sin( t   0 )  0.06кг  0.04 м  (2 / 2c) 2  sin( t   0 ) 
187
 0.06кг  0.04м  (2 / 2c) 2  sin( t   0 )  0.024Н  sin( t  8.7) .
Задача 8.2
Тело массой 600г, подвешенное к спиральной пружине жесткостью 30 Н/м,
совершает упругие колебания. Логарифмический декремент затухания составляет
0,01. Определить: а) время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в 3 раза;
б) число полных колебаний, которые совершит тело за это время.
Дано: m  0 ,6 кг ; k  30 Н / м ;   0 ,01 ; A0 / A  3.
Найти: t 1 , N 1 .
Решение
Уравнение свободных затуханий тела:
x  A0et cos( t   );
A0
 e t ,
A
ln 3
t1 
.
1
где
откуда
При малых затуханиях:
где

  T0 ,
T0  2

m
;   ,
k
T0
ln 3  2 m 1,099  2 0 ,6

 97 ,6 c.
 k
0 ,01  30
t
T 1 ,
N1
t
ln 3 1,099
N1  1 

 110.
откуда
T

0 ,01
Ответ: t1  97 ,6 c , N 1  110 .
Задача 8.3
Частота колебаний крыльев комара 660 Гц, а период колебаний крыльев шмеля
6 мс. Какое из насекомых и на сколько больше сделает при полете взмахов
крыльями за 1 мин?
Дано:
 =600 Гц
Тш=5 мс
t=1 мин
Nк=? Nш=?Решение
В условии задана частота колебаний крыльев комара (число колебаний в
1с). Найдем число колебаний его крыльев не за 1 с, а за 1 мин (60 с):
𝑁 =𝜈∙𝑡
тогда
t1 
188
Nк=600 с-160 с=36000
Задан период колебаний крыльев шмеля( время, за которое совершается одно
полное колебание). Как известно:
 
Тогда:
1
T
ш 
1
1

 200c 1
Tш 5  10 3 c
Найдем число колебаний крыльев шмеля за 60 с:
Nш= шt=200 с-160 с=12000
Подсчитаем теперь, насколько больше колебаний за 1 мин сделают крылья
комара, чем шмеля:
Nк – Nш = 36000 – 12000 = 24000
Задача 8.4
Найти период и частоту колебаний груза массой 0,143 кг на пружине,
жесткость которой равна 9,22 Н/м.
Дано:
m= 0,143 кг
k= 9,22 Н/м
Т=?  =?Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле:
T  2
m
k
T  2  3,14
0,143
 0,782
9,22
Частота колебаний определится как:
 
1
= 1,28 с-1
T
Задача 8.4
Во сколько раз изменится частота колебаний математического маятника при
увеличении длины нити в 3 раза?
Дано:
l2
3
l3
2
=?
1
Период
колебаний
математического
T  2
маятник
определяется
по
формуле:
l
g
Частота
колебаний:
1
 
T
189
Найдем отношение частоты колебаний
увеличении
его
длины
к
2

1
1
2
g
l2
=
1
2
g
l1
математического маятника при
первоначальной
частоте:
1
3
Задача 8.5
Определить период гармонических колебаний диска радиусом 40 см около
горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.
Дано:
R = 40 см
Решение
Известно, что период колебаний физического
маятника (физический маятник - это твердое тело,
совершающее колебания под действием силы тяжести
относительно горизонтальной оси) равно T  2
J
,
mgL
где J – момент инерции тела относительно точки
подвеса, m – масса физического маятника, L –
расстояние от точки подвеса до центра тяжести тела (в
нашем случае L=AO=R).
Для нашего случая нужно найти момент инерции
диска J относительно точки подвеса A. Для того чтобы вычислить J
воспользуемся теоремой Штейнера: если ось вращения тела параллельна оси
симметрии, но смещена от нее на расстояние x, то момент инерции J
относительно параллельно смещенной оси выражается соотношением J=J’+mx2,
где J’ – момент инерции тела относительно его оси симметрии. По условию
1
2
задачи x=R, а J’= m×R2 – момент инерции диска относительно его оси
симметрии, поэтому
J
1
mR 2  mx 2  m(0,5R 2  R 2 )  1,5mR 2 .
2
Тогда
T  2
1,5mR 2
1,5  R
 2
.
mgR
g
Подставляем числовые значения: T  2  3.14
1.5  0,4м
 4,9с .
2
9.81м / с
Задача 8.6
На стержне длиной l=30 см укреплены два одинаковых грузика: один - в
середине стержня, другой - на одном из его концов. Стержень с грузами
колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец
190
стержня. Определить приведенную длину L0 и период Т простых гармонических
колебаний данного физического маятника. Массой стержня
пренебречь.L = 30 см
Решение
Известно, что период колебаний физического маятника
равен:
J
,
MgR
T  2
где J – момент инерции тела относительно точки подвеса,
M – масса физического маятника,
R – расстояние от точки подвеса до центра тяжести тела (в
нашем случае R 
m
L
 mL
3
2
  L ).
2m
4
Требуется найти момент инерции двух грузов J=J1+J2 относительно точки
подвеса A.
Момент инерции первого груза, находящегося на конце стержня, равен: J 1  m  L2 ,
m  L2
L
а второго: J 2  m    
.
4
2
m  L2 5
Поэтому J  J 1  J 2  m  L2 
 m  L2 .
4
4
2
Так как масса обоих грузов равна 2m, то масса физического маятника равна
M=2m.
Тогда
5
m  L2
5L
4
.
T  2
 2
3
6g
2m  g  L
4
Подставляем числа.
T  2  3.14
5  0.3м
6  9,81м / с 2
 1с .
Приведенная длинна – это длина математического маятника, колеблющегося с
тем же периодом. Его период равен T  2
L0

g
J

MgR
L0
. Так как периоды равны, то
g
5L
,
6g
откуда приведенная длина равна:
L0 
5
5
 L   0.3м  0,25м .
6
6
8.2 Уравнение волны, основные характеристики плоской волны. Энергия
бегущей волны
Задача 8.7
Рыболов заметил, что за 10 с поплавок его удочки совершил на волнах 20
колебаний, а расстояние между соседними гребнями волн 1,2 м. Какова скорость
распространения волн в озере?
Дано:
t=10 с
191
N=20
 =1,2 м
V=?
По определению расстояние между соседними горбами волн (максимумами)
есть длина волны. Длина волны связана со скоростью ее распространения
следующим образом:
 =VT
Т- период колебаний в волне. Найдем период колебаний по формуле:
Т=t/N
Скорость
распространения
волны
найдется
по
формуле:
V 

T

N
t
 2 м/с
Задача 8.8
Длина звуковой волны в воздухе для самого низкого мужского голоса
достигает 4,3 м, а для самого высокого женского голоса -–25 см. Найти частоту
колебаний этих голосов.
Дано:
 м  4,3 м
ж  25см
м  ?
ж  ?
Решение
Скорость звука в воздухе считается равной:
Vзв =340 м/с
Тогда
по
  VзвT 
определению:
Vзв

Отсюда
можно
 
записать:
V зв

 м  79 Гц
 ж  1360 Гц
Задачи для самостоятельного решения
1. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой
  2 Гц , в момент времени t  0 проходит положение равновесия, определяемое
координатой x 0  6 см, со скоростью v 0  14 см/с. Определить амплитуду
колебаний.
(Ответ: А = 6,1 см).
2. Материальная точка массой 50 г совершает гармонические колебания,
3
описываемые уравнением x  0 ,1 cos(
t ) м. Определить: 1) возвращающую
2
силу для момента времени t  0 ,5 с; 2) полную энергию точки.
(Ответ: F  78 ,5 мН, W  5 ,6 мДж).
3. К горизонтальной пружине прикреплено тело
массой М = 10 кг, лежащее
М
192
Рис. 1
на гладком столе. В тело попадает и застревает в нем пуля массой m = 10 г,
летящая со скоростью v = 500 м/с, направленной вдоль оси пружины (рис.1).
Амплитуда возникших при этом колебаний
А= 0,1 м. Найти период колебаний.
(Ответ: Т = 1,26 с).
4. Период затухающих колебаний материальной точки равен 1 с,
логарифмический декремент затухания   0 ,3 , начальная фаза   0 . В момент
времени t = 2T смещение точки от положения равновесия составляет 5 см.
Записать уравнение колебаний.
(Ответ: x( t )  9 ,1e 0 ,3t cos 2t , см ).
5. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного в
результате сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями




x1  2 sin 5t   см и x2  3 sin 5t   см .
2
4


(Ответ: А = 4,6 см,   62,75o )
Лабораторные занятия
«Изучение кинематики равнопеременного движения на машине Атвуда»
Цель работы: изучение и проверка законов равнопеременного движения на
машине Атвуда.
Выполнив измерения в соответствии с методическими указаниями к
лабораторной работе, ответьте на следующие вопросы:
- подсчитайте силу натяжения нити при равноускоренном движении грузов; при
равномерном движении грузов;
- как создается равномерное движение двух грузов на машине Атвуда?
- каков метод измерения ускорений на машине Атвуда?
- что такое мгновенная скорость?
- выведите формулу для ускорения, учитывая силу трения.
«Определение ускорения свободного падения с помощью математического
маятника»
Цель работы: освоить метод определения ускорения свободного падения при
помощи математического маятника, проверить зависимость периода колебаний
маятника от длины нити, массы подвешенного груза, угла отклонения.
Выполнив измерения в соответствии с методическими указаниями к
лабораторной работе, ответьте на следующие вопросы:
- какую систему называют математическим маятником?
193
- что называют периодом колебаний системы?
- как зависит период колебаний математического маятника от длины нити
маятника, массы подвешенного груза, широты местности, угла отклонения
маятника при его колебаниях?
- как связаны период колебаний и частота колебаний?
«Определение плотности твердых тел и жидкостей»
Цель работы: освоить метод экспериментального определения плотности
веществ в разных агрегатных состояниях
Выполнив измерения в соответствии с методическими указаниями к
лабораторной работе, ответьте на следующие вопросы:
- каков физический смысл плотности вещества?
- зависит ли плотность вещества от его агрегатного состояния?
- какова точность метода определения плотности, использованного вами?
- какие еще методы определения плотности вещества вам известны?
- как рассчитать погрешность, допущенную вами при проведении эксперимента?
- в каких единицах измеряется плотность?
«Изучение законов вращательного движения твердого тела»
Цель работы: проверить выполнение законов кинематики и динамики
вращательного движения
Выполнив измерения в соответствии с методическими указаниями к
лабораторной работе, ответьте на следующие вопросы
- Как направлен вектор момента силы натяжения нити
относительно оси вращения маятника (см. рис.)?
- Как направлен вектор углового ускорения маятника Обербека
(см. рис.)?
- Как в работе оценивают случайную погрешность измерения
высоты падения груза?
- Дайте определение вектора момента силы относительно начала.
- Запишите математическую связь между тангенциальным и угловым ускорением
материальной точки.
«Определение момента инерции велосипедного колеса»
Цель работы: экспериментальное определение момента инерции методом
вращения и методом колебаний.
Выполнив измерения в соответствии с методическими указаниями к
лабораторной работе, ответьте на следующие вопросы:
- предложите какой-нибудь другой метод экспериментального определения сил
трения в оси велосипедного колеса (применительно к данной работе);
- с какой точностью необходимо взять из таблицы значения  , g при определении
момента инерции методом колебаний и методом вращения?
- какой из двух используемых методов дает меньшую погрешность при
определении момента инерции колеса?
- случайная или систематическая ошибка определяет точность измерения момента
инерции колеса в выполненных вами экспериментах
«Опытная проверка теоремы Штейнера»
194
Цель работы: освоить метод экспериментального определения момента инерции
образцов твердого тела методом трифилярного подвеса и проверки теоремы
Штейнера.
Выполнив измерения в соответствии с методическими указаниями к
лабораторной работе, ответьте на следующие вопросы:
-Как изменится момент инерции крутильного маятника, если массу m цилиндра
уменьшить в 2 раза, а расстояние до оси a – увеличить в 2 раза?
- Для чего в работе исследуемое тело (цилиндр) разрезан на две части?
- Как в данной работе оценивается систематическая погрешность измерений
времени колебаний?
- На сколько изменится момент инерции маятника, если расстояние до одного из
полуцилиндров уменьшить от a до a 2 ?
«Определение приведенной длины физического маятника»
Цель работы: определить приведенную длину физического маятника, проверить
справедливость формулы определения приведенной длины физического маятника
Выполнив измерения в соответствии с методическими указаниями к
лабораторной работе, ответьте на следующие вопросы:
- что называют физическим маятником?
- как определить положение центра масс физического маятника, если известно
положение сопряженных точек подвеса при наименьшем периоде колебаний?
-почему амплитуда колебаний маятника при измерениях его периода должна быть
небольшой?
«Определение ускорения свободного падения с помощью физического
маятника»
Цель работы: ознакомиться с методом экспериментального определения
ускорения свободного падения с помощью физического маятника, сравнить
результаты измерений с полученными ранее для ускорения свободного падения в
лабораторной работе № 2.
Выполнив измерения в соответствии с методическими указаниями к
лабораторной работе, ответьте на следующие вопросы:
- Что представляет собой переворотный маятник?
- Как измениться момент инерции физического маятника, если его
изготовить из более плотного материала?
- Изменится ли период колебаний оборотного маятника, а если
изменится то как, если увеличить расстояние x (см. рис.) от опорной
призмы до груза?
- Как можно оценить случайную погрешность измерения расстояния
между призмами?
- Как изменится период T  2
J C  ml 2
mgl
качания физического маятника,
если увеличить l ?
«Определение модуля сдвига»
Цель работы: экспериментальное определение модуля сдвига
материала
проволоки методом крутильных колебаний
Выполнив измерения в соответствии с методическими указаниями к
лабораторной работе, ответьте на следующие вопросы:
195
- как распределены упругие деформации сдвига по длине проволоки в
статическом и динамическом случаях?
-какие измерения вносят максимальную погрешность при определении модуля
сдвига? Систематическая или случайная ошибка определяет точность
эксперимента?
-как должны быть расположены грузы на стержне при двух измерениях, чтобы
погрешность эксперимента была минимальной?
-какие деформации называются упругими?
Методические рекомендации к СРСП
При подготовке к СРОП рекомендуется изучить предварительно вопрос,
используя учебную литературу по дисциплине. Составить краткий конспект
прочитанного, отметив вопросы, вызывающие сомнение, либо не до конца
понятые при изучении теоретического материала.
тема: Кинематические характеристики движения материальной точки
изучить теоретический материал по теме, рассмотреть примеры расчета
кинематических характеристик, их графическое представление
тема:Тангенциальное и нормальное ускорения
рассмотреть математический вывод расчетной формулы тангенциальной и
нормальной составляющих ускорения, векторного изображения ускорений в
разных случаях движения материальной точки.
тема:Реактивное движение. Уравнения Мещерского и Циолковского
рассмотреть математический вывод и запись уравнения Мещерского,
уравнения Циолковского, физический смысл полученных уравнений.
тема:Упругое и неупругое взаимодействия
проанализировать процесс упругого и неупругого соударения тел,
рассмотреть конкретные случаи решения задач и определения характеристик
движения соударяющихся тел.
196
тема: Закон сохранения и превращения полной механической энергии системы
материальных точек
изучить условия применения закона сохранения и превращения полной
механической энергии, рассмотреть конкретные примеры применения закона
тема: Роль законов сохранения в физике
обобщить теоретический материал, содержащий информацию о законах
сохранения в механике, условиях их выполнения, примеры совместного
применения законов сохранения при решении практических задач
тема: Гироскоп
изучить физические явления, имеющие место при вращении волчков и
гироскопов, и возможность их объяснения на основе закона изменения момента
импульса. Обратить внимание на примеры практического применения
гироскопов. Изучить природу гироскопических сил
тема:Движение планет. Законы Кеплера
рассмотреть суть законов движения небесных тел; законы Кеплера, их
формулировку и математическую запись. Рассмотреть условия вывода и
численные значения космических скоростей
тема:Эффект Магнуса. Подъемная сила крыла самолета
рассмотреть механизм обтекания тел (крыла самолета) вязкой жидкостью,
условия возникновения подъемной силы. Выяснить суть эффекта Магнуса.
тема: Затухающие колебания, уравнение колебаний
рассмотреть природу затухающих, вынужденных колебаний, запись
уравнений и соответствующих решений этих уравнений, обратить внимание на
графическое представление свободных, затухающих, вынужденных колебаний
тема: Вынужденные колебания, уравнение колебаний
рассмотреть природу вынужденных колебаний, запись уравнений и
соответствующих решений этих уравнений, обратить внимание на графическое
представление свободных, вынужденных колебаний
тема: Волны, уравнение плоской и сферической волн, энергия волны
изучить теоретический материал по теме, основные характеристики волн,
энергию волны волны.
тема:Стоячие волны
изучить теоретический материал, рассмотреть условия возникновения
стоячих волн, примеры возникновения стоячих волн
тема: Эффект Доплера в акустике
рассмотреть суть эффекта Доплера, возможность применения полученного
уравнения и выводов в других разделах физики, например, в оптике
тема: Ультразвук, его применения. Понятие об инфразвуке
рассмотреть природу и особенности ультразвука и инфразвука, привести
примеры применения
Методические рекомендации к СРС
Приступая к выполнению заданий СРС необходимо:
- изучить теоретический материал по теме;
- начиная решать задачу, вникнуть в ее смысл. Представить себе не только
физическое явление, о котором идет речь, но и те упрощающие предположения,
197
которые надо сделать, проводя решение; - если позволяет характер задачи,
рекомендуется сделать рисунки, поясняющие содержание и решение задачи.
- условие задачи записывать кратко, все, входящие в неё величины, выразить в
единицах СИ;
- недостающие в условии данные при необходимости выписать из таблиц;
- решение задачи сопровождать пояснительным текстом;
- решив задачу в общем виде, проверить ответ по равенству размерности
отдельных членов формулы;
-выполнить числовые расчеты;
- получив числовой ответ, оценить его правдоподобность.
В соответствии с графиком отчета о выполнении заданий СРС решить и
представить на проверку следующие задания:
- Кинематика № 1.2, 1.5, 1.14, 1.20, 1.22, 1.28, 1.32, 1.45, 1.53, 1.57, 1.59
- Динамика материальной точки и системы материальных точек № 2.5, 2.6, 2.10,
2.20, 2.24, 2.27, 2.34, 2.36, 2.38, 2.40
- Законы сохранения энергии, импульса, момента импульса № 3.6, 3.7, 3.11, 3.16,
3.20, 3.23, 3.26, 3.35, 3.38, 3.41, 3.46
- Механика твердого тела № 4.2, 4.4, 4.6, 4.8, 4.9, 4.11, 4.13, 4.18, 4.19, 4.21, 4.27,
4.29, 4.31, 4.34, 4.35
- Упругие свойства тел № 8.2, 8.10, 8.13, 8.18
- Закон всемирного тяготения № 10.2, 10.4, 10.8, 10.16
- Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции № 6.2, 6.4, 6.6, 6.14
- Элементы специальной теории относительности
№ 7.3, 7.5, 7.9, 7.11
- Механика жидкостей и газов № 5.1, 5.4, 5.9
- Механические колебания и волны№1.62,1.65,1.68,9.7, 9.14, 9.18, 9.30, 9.34, 9.45,
- Акустика №329,332, 335,336
Контрольно-измерительные средства
Кинематика поступательного и вращательного движения
1 Поезд движется со скоростью 36 км/ч. Если включить ток, то поезд, двигаясь
равно замедленно, останавливается через 20 с. Найти ускорение поезда.
A. а = -0,5 м/с2 B. а = -2 м/с2 C. а = 4 м/с2
D. а = 1 м/с2
E. а = -3 м/с2
2Зависимость пройденного телом пути S от времени t дается уравнением
S  At  Bt 2  Ct 3 , где А= 2м/с, В=3 м/с2, С=4м/с2. Найти расстояние, пройденное
телом за 2 с от начала движения.
A. S  24 м B. S  10 м C. S  25м D. S  30 м E. S  40 м
3
5
4
S
3
2
1
t
198
Которая из отмеченных линий является графиком пути равноускоренного
движения.
A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 E.5

4 Какое соотношение справедливо для равномерного движения? ( r -вектор
перемещения)


dr
A.  0
dt


dr
dr
 f (t ) C.
 const
B.
dt
dt

dr
 const
D.
dt
E.
dS
0
dt
5
1
2
3
4
5
t
Какая из выделенных точек на графике скорости соответствует движению с
наименьшим ускорением?
A. 1 B. 3
C. 5
D. 4
E.2
6. При каких из указанных значений тангенциального a и нормального a n
ускорений тело будет совершать неравномерное прямолинейное движение?
A. a  0; an  0
B. a  0; a n  0
C. a  0; a n  0
D. a  0; a n  0
E. a  const ; an  const
7. Тело брошено горизонтально. Как изменяется нормальная составляющая
скорости в процессе движения? (сопротивлением воздуха пренебрегаем).
A. увеличивается B. Уменьшается C. не изменяется
D. проходит экстремальное значение
E.увеличивается
в
2
раза
8
Уравнение движения точки задано выражением: х  (t 2  2) м . Определите
среднюю скорость в промежутке времени 0  1сек .
A. 2,5 м/с B. 3 м/с
C. 1 м/с
D. 1,5 м/с E.2,33м/с
9 Уравнение движения точки задано выражением х 
t3
. Определите ускорение
3
в момент времени t=5 c.
A. 10 м/с2 B. 5,4 м/с2
C. 5 м/с2
D. 3 м/с2 E. правильного ответа
нет.
10 Укажите величину угла между векторами угловой и линейной скоростей
какой-либо точки твердого тела, вращающегося вокруг закрепленной оси.
A. 0
B. 900
C. 1800
D. 700
E. Может быть любым
11Тело
вращается
вокруг
неподвижной
оси
по
закону
2
2
  A  Bt  Ct , B  20 рад / с, с  2 рад / с . Найти угловую скорость точки для
момента времени t  4c .
199
A.   2 рад / с
B.   4 рад / с C.   1 рад / с D.   2,5 рад / с E.   5 рад / с
12Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости   20 рад / с через
N  10об после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.
A.   4 рад / с 2
B.   3 м / с 2
C.   6,4 рад / c 2 D.   5 рад / с 2
E.   1м / с 2
13 Найти угловую скорость минутной стрелки на часах.
A. 1,74 *103 рад / с B. 3м/ с
C. 4 м/ с
D. 5 рад / с E. 2 рад / с
14 Какое движение совершает точка, если ее уравнение движения задано в
параметрической форме и имеет вид: x  a., y  Bt 3 . a и B -постоянные числа.
A. прямолинейное, равномерное B. прямолинейное равноускоренное
C. прямолинейное ускоренное
D. Криволинейное
E.прямолинейное
15 Уравнение движения материальной точки имеет вид x  A  Bt  Ct 3 , где
A  4 м, В  2 м / с, С  0,5 м / с3 . Определить мгновенную скорость для момента
времени t  2c .
A.  4 м/ с B. 2 *103 м / с
C. 4 *10 2 м / с
D. 5м/ с
E. 4,5 м / с
16
S
Е
Б
В
Д
N
t
На графике пути укажите участок, соответствующий состоянию покоя.
A. АБ
B. БВ
C. ВЕ
D. ЕД
E. ДN
17 По какому из указанных соотношений можно вычислить мгновенное
ускорение переменного
движения?


A.
2  1
t 2  t1

B.
t
d
C.
dt

dr
E.
dt

D.
t
t4
4
18 Уравнение движения точки имеет вид: x  (  1) м . Вычислить скорость точки
в момент времени t = 2 c.
A. 2,5 м / с B. 8м/ с
C. 3м/ с
D. 4 м/ с
E. 2 * 10 2 м / с
19 Тело брошено горизонтально. Как изменяется нормальная составляющая
ускорения тела в процессе движения?
A. увеличивается
B. Уменьшается C. не изменяется
D. проходит экстремальное значение
E. уменьшается в 2 раза
20 Каков характер вращения твердого тела вокруг закрепленной оси, если угол
между вектором угловой скорости и вектором углового ускорения равен нулю?
A. равномерное B. Ускоренное C. Замедленное D. равноускоренное
E. на вопрос ответить нельзя
21 Тело брошено горизонтально. Как изменяется тангенциальная составляющая
ускорения тела в процессе движения?
A.Увеличивается B.Уменьшается С.Остается неизменной
200
D. Проходит экстремальное значение. E. Уменьшается в 2 раза
22 Тело брошено горизонтально. Как изменится горизонтальная составляющая
скорости в процессе движения? (сопротивлением воздуха пренебрегаем)
A. Увеличивается.
В. Уменьшается С. Остается неизменной
D. Проходит экстремальное значение. E. Уменьшается в 2 раза
23 Какое движение совершает точка, если ее уравнение движения имеет вид: х
=(а*t3+b)?.
А. Прямолинейное равномерное В. Прямолинейное равноускоренное
С. Прямолинейное ускоренное D. Криволинейное E.Криволинейное ускорение
24 При каком из указанных движений все точки абсолютно твердого тела имеют
одинаковые линейные скорости?
А. Поступательное
В. Вращательное
С. Любое сложное движение
D. Нет правильного ответа E. Криволинейное
25 Какая из перечисленных кинематических величин одинакова для всех точек
абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси ?
А. Линейная скорость. В. Линейное перемещение С. Угловая скорость
D. Нет правильного ответа. E. Криволинейное
26 С какой скоростью двигается тело через 4 сек после падения?
A. 2,5 м/с B. 160 м/с C. 40 м/с D. 80 м/с E. 120 м/с
27 Начальная скорость тела при свободном падении равна нулю, ускорение
свободного падения принять g=10м/с2 . Какой путь будет пройден телом за 6с?
A.0,6м
B.60м
С.360м
D.180м
E.120м
28 Пловец плывет по течению реки. Скорость течения реки 0,5м/с, относительная
скорость пловца равна 1,5м/с. Какова его скорость по отношению к берегу?
A. 0.5м/с B. 1м/с
C. 1,5 м/с D. 2м/с
E.
2,5м/с
29 Тело, брошенное вертикально вверх, упало через 5 сек. На какую высоту оно
было брошено?
A.122,5м B. 49м
C. 30,6м D. 70м
E. 112м
2
30 Две машины двигаются согласно уравнениям: x1=t +2t; x2=7t+6. Когда и на
каком расстоянии они встречаются?
A. x=48м,
t= 6с
B. x= 4м,
t= 4с
C. x= 148м,
t= 16с
D. x= 1м,
t= 1с
E. x= 24м, t= 8с
31 Тело двигается в плоскости XY . Каково уравнение его траектории?
A. S=5t+at2/2
B. x=x+6t+8t2/2 C. Sx=3t, Sy=gt2/2 D. y=2x+5 E.
S=3t+t2/4
32 Каков характер движения материальной точки, если сумма сил, приложенных
к ней, равна нулю ?
А. Равномерное В. Ускоренное С.Замедленное D. Равноускоренное. E. Любое
33 Укажите характер движения материальной точки, если на нее действует сила,
изменяющаяся со временем по закону: F=к*t2
А. Равномерное В. Ускоренное С. Равнозамедленное D. Переменное.
E. Нет правильного ответа.
34
При каком из указанных значений силы F, действующей на тело, его
ускорение будет изменяться по закону: а=5*t3
А. F= const 0 В. F0
С. F=0
D. F=(t) E. нет правильного ответа
35 Как изменится центростремительное ускорение, если (R=const) тело двигается
по окружности со скоростью
 , и она увеличивается в 2 раза?
201
A.в 4 раза увеличится
B. в 2 раза увеличится C.не
D.в 2 раза уменьшится
E.в 4 раза уменьшится
36 Какое из этих выражений соответствует определению ускорения?
A. a 

2
2S

 
2
a

B.
C. a 
D.
t
R
a  R
2
E.
изменится
4 2
a 2 R
T
37 Каково центростремительное ускорение движения машины, двигающейся по
кривой радиуса 100м со скоростью 54км/час?
A.2.25м/с2
B.0,15м/с2 C.0,54м/с2 D.2м/с2
E.нет правильного ответа
38 Автомобиль двигался по выпуклому мосту со скоростью 72км/час. В верхней
точке моста его давление на мост уменьшилось в 2 раза по сравнению с тем, как
он давит на плоский мост. Определить кривизну моста?
A.80м
B.90м
C.100м
D. 110м
E.
70м
2
39 Движение материальной точки задано уравнением х  2t  6 С каким
ускорением движется точка ?
A.0
B.2 м/с2
C.8 м/с2
D.-2 м/с2 E.4 м/с2
40 Укажите уравнение, соответствующее равноускоренному движению тела?
A. х  2t  4 B. х  3t
C. х  3t 3  8 D. х  2t 2  4
E. х  3t  2
2
41 Движение задано уравнением х  10t  0,4t Найти зависимость V x (t ) ?
A. V x  10t  0.4
B. Vх  10  0,4t
C. Vх  0.8t  8
D.Vx =10 + 0,8t
E.Vx = 3t + 2
42 С какой скоростью двигается тело через 8 сек после начала падения?
A. 2,5 м/с B. 160 м/с C. 40 м/с D. 80 м/с E. 120 м/с
43 Какой путь пройдет тело после падения через 5 сек?
A.125м
B.250м
C.50м
D.2м
E.180м
44
Пловец плывет против течения реки. Скорость течения реки 0,5м/с,
относительная скорость пловца равна 1,5м/с. Каково его скорость по отношению
к берегу?
A. 0.5м/с B. 1м/с
C. 1,5 м/с D. 2м/с
E.
2,5м/с
45 Тело,брошенное вертикально вверх, упало через 6 сек. На какую высоту оно
было подброшено?
A.122,5м
B. 44м
C. 30,6м D. 70м
E. 112м
46 По какой формуле определяется путь, пройденный телом при прямолинейном
равномерном движении?
A. S=V*t B.S=V0t+at2/2
C.S=V0+at D.S=gt
E.Правильного ответа нет
47 Тело массой 0,2кг свободно падает с высоты 1м. Чему равно изменение
импульса этого тела?
кг * м
с
кг * м
D. Р  8,80
с
A. Р  0,886
кг * м
с
кг * м
E. Р  4,43
с
B. Р  0,443
C. Р  0,663
кг * м
с
48 Машина массой 1 тонна, двигаясь с места равноускоренно, за 2 сек проходит
путь S=20м, чему равна мощность машины?
A. 20кВТ
B. 50кВТ
C. 100кВТ D. 150кВТ E. 200кВТ
49 Диск радиусом R вращается с угловой скоростью  . Как изменится линейная
скорость диска, если увеличить угловую скорость 4 раза?
202
A.в 8 раз увеличится B.в 4 раза увеличится C.
D.в 4 раза уменьшится
E.в 8 раз уменьшится
50 Напишите теорему Штейнера?
A. I  I c  a 2 m
B. I  I c  al 2
C. I  ma 2
не
1
2
изменится
1
2
D. I  al 2 E. I  aR 2
51 В какой формуле для угловой скорости сделана ошибка?
2

A.  
B.   2
C.   t D.  
E.Правильного ответа нет
t
t
52 Укажите размерность единицы измерения угловой скорости в системе СИ?
A.рад/с
B.рад
C.м/с
D.м/с
E.Правильного ответа нет
53 Укажите формулу, определяющую угловую скорость точки:
d
a
d
2
A.  
B.  
C. a   R D.  
dt
R
dt
54 Уравнения движения материальной точки: x=t3+2t2+3t+5 . Найти координату и
скорость в моменте времени t=3c.
A.65м, 40 м/с
B.50м, 35м/с C.59м,42м/с D.35м,50м/с
E.40м,60м/с
55 Точка движется по окружности радиусом R=4м согласно уравнению:S=102t+t2. Найдите нормальное ускорение в момент времени t=2c
A.1м/c2
B.3м/с2
C.2м/с2
D.0.5м/с2 E.5м/с2
56 Тело Р вращается равноускоренно относительно оси OZ . Как направлено
угловое ускорение?
A. Вектор угловой скорости лежит в плоскости перпендикулярной оси /OZ/
B.Вектор угловой скорости направлен по оси /OZ/
C.Вектор угловой скорости направлен перпендикулярно оси /OZ/
D.Вектор угловой скорости направлен под углом оси /OZ/
E. Правильного ответа нет
57 В каких из формул для равноускоренного движения допущена ошибка?
at 2
A. S  V0 t 
2
B. V1  Vt  V0  at C. V0  Vt  2as
2
2
V V
D. S  0 t * t
2
gt 2
E. S 
2
Динамика материальной точки и поступательного движения
58 Нормальное ускорение характеризует:
A.Линейную скорость тела B.Первую производную радиуса- вектора по времени
C.Быстроту изменения направления скорости D.Быстроту изменения модуля
скорости
59 За какое время автомобиль, двигаясь из состояния покоя с ускорением 0,6 м/с2,
проходит путь 30м?
A.20с
B.15с
C.5с
D.10с
E.2с
60
Радиус диски 0,1 м, масса 0,8 кг как определяется момент инерции диски
относительность оси проходящей через середину радиуса диски?
A. 6*103 кг м2 B.12*103 кг м2 C.6*10-3 кг м2 D.12*10-3 кг м2 E.0.1*10-3 кг м2
61 Согласно второму закону Ньютона ускорение тела:
1-не зависит от величины силы; 2-прямопропорционально силе; 3-не зависит от
массы тела;
4-обратно пропорционально массе тела;5-будет постоянной
величиной для любого тела.
A.1,2,3,4,5.
B.2,3,4,5. C.3,4,5.
D.4,5.
E.2,4.
203
63 Чему равно центростремительное ускорение поезда, движущегося по кривой
дороге радиусом 8 м со скоростью 20 см/сек?
A.0.005м/с2
B.0.01м/с2 C.0.5м/с2 D.0.1м/с2 E.5м/с2
65. Центробежную силу инерции можно рассчитать по формуле:





А. F  2m sinα B. F  ma С. Fин  ma0 D. F  m 2 R Е. Правильного ответа нет
66 Напишите выражение II- закона Ньютона. 


B. F  mgh
A. F  mg


C. F  kx D. a 
F
m
Е. Правильного ответа нет
67 Укажите
уравнение моментов

dP 
F
A.
dt


dN
M
B. M  F  l С. M  F  r  cos D.
dt
Е. Правильного ответа нет
68. Укажите формулу расчета полной энергий колебательного движения тела.
2
m 2
m 0 A2
A. E 
B. E  mgh С. E 
2
2
D. E 
m1m2
1  2 2
2m1  m2 
Е. Правильного ответа нет
69. Укажите формулу плоской волны

B. f  a cos   t  
A. f  F0 cost


a
r
C. f  cos   t  
r


D. f  r
Е. Правильного ответа нет
70. Дифференциальное уравнение гармонического колебания:
a
 r
cos   t  
A.
B.
r
 
  A sin  0t   
  A cos0t   
f  F0 cos t
f 
g
 0
C.
l
   02   0
 
Е. Правильного ответа нет
71. Укажите уравнение сферической волны
a
r
A. f  cos   t  

D.      0
r

B. f  F0 cost
D.
  A cos 0   
  A sin  0t   

C. f  a cos   t  


Е. Правильного ответа нет
72. Поезд массой 500 т после прекращения тяги паровоза под действием силы
трения 9,8*104 Н останавливается через 1 мин. С какой скоростью шел поезд?
A. 20м/ с B. 11,75 м / с C. 1,5 м / с D. 2м/ с
E. 40м/ с
73. Тело массой 0,5 кг движется прямолинейно, причем зависимость проиденного
телом
пути
S
от
времени
t
дается
уравнением
2
3
2
3
S  A  Bt  Ct  Dt , гдеС  5 м / с , Д  1м / с . Найти силу, действующую на тело в
конце первой секунды движения.
A. 2000 Н B. 4 Н
C. 4,3 Н
D. 2 Н
E. 7 Н
74. Автомобиль массой 1 тонна двигался со скоростью 36 км/ч, максимальное
значение коэффициента трения шин о дорожное покрытие равно 0,7. Каков
минимальный тормозной путь автомобиля?
A.~ 4 м
B.~ 7 м
С.~ 9 м
D.~ 15 м Е.~ 90 м
75. Найти работу, которую надо совершить чтобы сжать пружину на 20 см, если
известно, что сила пропорциональна деформации и под действием силы 29,4 Н
пружина сжимается на 1 см.
A. 58,8 Дж B. 46,3 Дж C. 4 *103 Дж
D. 2 *102 Дж
E. 49,3 Дж
2
0
204
76. Какая из приведенных векторных величин при любых обстоятельствах
совпадает по направлению с вектором силы для нерелятивистского случая
движения?
A. скорость B. Импульс C. Ускорение
D. Перемещение E. сила
77. Автомобиль массой m  1020кг , двигаясь равнозамедленно, останавливается
через время t  5c , пройдя путь S=25м. Найти силу торможения F.
A. 1.5 * 103 H B. 2,04 *103 H
C. 3,4 H
D. 500 H
E. 200H
78. Какова величина изменения скорости в единицу времени для случая, когда на
тело действует постоянная сила, совпадающая по направлению с вектором
скорости тела?
A.
d
 const
dt
B.
d
 f (t )
dt
C.
d
 const
dt
D.
d
0
dt
E.
d
0
dt
79. Тело, подвешенное на канате, движется вниз с ускорением “а”. При каком
соотношении между ускорением свободного падения “g» и «а» сила натяжения
каната будет равна нулю?
A. a  g
B. a  g
C. a  g
D. a  g
E. правильного ответа нет.
80. К нити подвешен груз массой m  1кг . Найти силу натяжения нити Т, если нить
с грузом, поднимающийся вверх, с ускорением а  5 м / с 2 .
A. 1,2 *103 Н B. 1 4,8 Н
C. 2,3Н
D. 10Н
E. 1,1 *103 Н
81. Поезд массой m  500т , двигаясь равнозамедленно, в течение времени t  1мин
уменьшает свою скорость   40км / ч1 до 28 км/ч. Найти силу торможения F.
A. 27,7 *103 Н
B. 1,7 *103 Н
C. 2 Н
D. 3,4 *103 Н
E. 7,1*103 Н
82. Под действием силы F  10 Н тело движется прямолинейно, так что
зависимость пройденного телом пути S от времени t дается уравнением
S  A  Bt  Ct 2 , где c  1м / с 2 . Найти массу m тела.
A. 4кг
B. 4,1*103 кг
C. 3,2кг
D. 5 кг
E. 6кг
83. Тело перемещается с экватора на полюс. Какая из указанных физических
характеристик тела остается при этом неизменной?
A. Вес
B. Масса C. потенциальная энергия
D. сила притяжения к Земле E. правильного ответа нет
Закон сохранения. Работа. Энергия.
84. По какой из формул можно вычислить величину работы переменной силы?

 
A. A  FS B. A  FS C. A  FS cos  D. A   FdS E. правильного ответа нет.
S
85. Из ружья массой 5 кг вылетает пуля массой m2= 5 г со скоростью 2  600 м/ с .
Найти скорость 1 отдачи ружья.
A. 4,5 м / с B. 2,5 м / с C. 0,8 м / с D. 1,2 *103 м / с
E. 0,6 м / с
86. Укажите правильное соотношение между импульсом (количеством движения)
системы 2-х шаров, если P1 - импульс шаров до соударения, P2 -после их
соударения (неупругого)
A. P1  P2 B. P1  P2 C. P1  P2 D. P1  P2 E. правильного ответа нет.
87. Каково соотношение между полной механической энергией Е свободно
падающего тела и кинетической энергией к в самой нижней точке падения.
A. К  0
B. E  K
C. E  K
D. E  K
E. E  0
205
88. Какую работу А надо совершить, чтобы заставить движущееся тело массой m
= 2т увеличить скорость от 1  2 м/ с до 2  5м/ с
A. 21 Дж
B. 2 *105 Дж
C. 3,2 *103 Дж
D. 4 Дж
E. 250 Дж
89. Тело массой m1  1кг движущееся горизонтально со скоростью 1  1м/ с ,
догоняет второе тело массой m2  0,5кг и неупруго соударяется с ним. Какую
скорость и получает тела, если второе тело стояло неподвижно.
A. 1,5 м / с
B. 2м/ с
C. 0,67 м / с D. 0,81м / с E. 0,93 м / с
90. Из орудия массой m1= 5 т вылетает снаряд массой m2  100кг . Кинетическая
энергия снаряда при вылета к2  7,5 *106 Дж. Какую кинетическую энергию к1
получает орудие вследствие отдачи?
A. 1,5 *105 Дж
B. 300 Дж C. 2,4 *103 Дж
D. 3,5 *104 Дж
E. 2,5 2,5 *104 Дж
Динамика вращательного движения твердого тела
91.
F
0
А
Б
В
Г
S
График на рисунке выражает зависимость величины силы F1 действующей не
тело, от перемещения в направлении силы. На каком участке пути S работа силы
равна нулю.
A. ОА
B. АБ
C. БВ
D. ВГ
E. БГ
92. По какой формуле можно вычислить момент инерции стержня массой m и
длиной l1 вращающегося вокруг оси, перпендикулярной к его длине и
проходящей через его конец?
A. ml 2
B.
1 2
ml
12
1
3
C. ml 2
D.
2 2
ml
5
E. иная формула
93. Маховик, момент инерции которого I  63,6кгм 2 , вращается с угловой
скоростью   31,4 рад / с. Найти момент сил торможения М, под действием
которого маховик останавливается через время
t  20c . Маховик считать
однородным диском.
A. 40Нм
B. 200Нм C. 100Нм D. 1,5 *103 Нм
E. 500Нм
94. Укажите математическое выражение основного закона динамики
вращательного движения.

n

A. М   М i


B. L  I




C. M  I   D. М  r F


E. М  Fa
i 1
95. К ободу диска массой m  5кг
кинетическую энергию
действия силы?
Eк
приложена касательная сила F  19,6 H . Какую
будет иметь диск через время t  5с после начала
206
A. 1,92 *103 Дж
B. 2,53 *104 Дж
C. 2,4 *103 Дж
D. 200 Дж E. 400 Дж
96. Какое из соотношений следует использовать для вычисления работы,
совершаемой внешними силами при вращении тела, если момент этих сил
относительно оси вращения не остается постоянным?
2
A.  Md
B. FS cos 
D. 
C. M
E. FS
1
97. Определить момент инерции I материальной точки массой m  0.3кг
относительно оси, отстоящей от точки на r  20см .
A. 0,3 *103 кгм 2
B. 400кгм 2 C. 0,024кгм 2 D. 0,012кгм 2
E. 5,1*103 кгм 2
98. Как изменяется момент импульса (количества движения) тела, относительно
некоторой закрепленной оси, если момент внешних сил относительно этой оси
равен нулю?
A. увеличивается
B. Уменьшается C. остается неизменной
D. увеличивается в 2 раза
E. правильного ответа нет
99. Найти момент инерции земного шара относительно оси вращения. Если
радиус Земли 6,4 *106 м , масса 5,96 *1024 кг
A. 8,5 *1024 кгм 2
B. 4 *105 кг C. 5,5 *104 кгм
D. 9,7 *1037 кгм 2
E. 8,5 *1040 кг
100. Укажите момент инерции однородного круглого прямого цилиндра массы m
и радиуса R относительно оси цилиндра.
1
2
A. mR 2
1
3
B. mR2
C.
2
mR 2
5
D. mR2
E.
1
mR 2
12
101. Тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью    (t ) . На тело действует
момент сил M z  M z (t ) . Какое из выражений определяет величину работы,
совершенной приложенными к телу силами за промежуток времени от t1 до t 2 .
t2
t2
t1
t1
A. A   FdS B. A   FdS C. A   M z dt
t2
D. A   M z (t ) (t )dt
t1
t2
E. A   M zdt
t1
102. Укажите математическое выражение моментf инерции однородного шара
радиуса R и массой m относительно оси, проходящей через центр шара.
1
2
mR 2
D. mR 2
E. правильного ответа нет.
5
5
103. Найти момент инерции I тонкого однородного кольца радиусом R  20см и
A.
1
mR 2
2
B.
2
mR 2
3
C.
массой m  100г относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей
через его центр.
A. 0,2 *104 кгм 2
B. 0,4 *103 кгм 2
C. 1 * 10 4 кгм 2
D. 500кгм 2 E. 4 *102 кгм 2
104. Тело падает с высоты ускорением 9м/с2 , масса которая равна 1кг . Найти
сопротивление воздуха.
A.9,0 Н
B.1,0 Н
C.0,8 Н
D.9,8 Н
E.18,8 Н
105. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением   A  Bt  Ct 2 , где
A  2 рад, В  16 рад / с, С  2 рад / с 2 . Момент инерции I колеса равен 50кгм 2 . Найти
вращающий момент М.
A. 2,5 *103 Нм
B. 400Нм C. 300Нм D. 200Нм E. 50Нм
207
106. Определить момент инерции I тонкого однородного стержнz длиной l  30см
и массой m  100г относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей
через его середину.
A. 9,5 *104 кгм 2
B. 7,5 *104 кгм 2
C. 1,5 *103 кгм 2
D. 100кгм 2 E. 200кгм 2
107. Якорь мотора вращается с частотой n  1500 мин 1 . Определить вращающий
момент М, если мотор развивает мощность N  500Вт .
A. 4,5 Нм B. 3,18Нм C. 4,1Нм
D. 8 * 103 Нм
E. 2 *103 Нм
108. Какое из утверждений справедливо?
Момент количество движения (импульса) вращающегося тела совпадает по
направлению с вектором:
А. линейной скорости любой точки тела B. Силы
C. момент силы
D.угловой скорости
E. правильного ответа нет

109. При каком значении суммарного момента внешних сил M вращение тела
вокруг
закрепленной оси будет равномерным?



A. M  const
B. M  const C. M  0 D. M  0 E. правильного ответа нет
110. Шар массой m  10кг и радиусом R  20см вращается вокруг оси, проходящей
через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид   A  Bt 2  Ct 3 , где
В  4 рад / с 2 , С  1 рад / с3 . Определить момент сил М в момент времени t=2c.
A.  0,32 Нм
B.  0,64 Нм C. 0,72 Нм D. 51Нм
E. 72Нм
111. Какое из выражений определяет величину кинетической энергии тела,
катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью  , если I момент инерции относительно центра масс?
A.
m 2
2
B.
I 2
2
C.
I 2 m 2

2
2
D. mgh
E. mgh 
I 2 m 2

2
2
112. Два цилиндра, одинаковые по размерам и массам, но первый сплошной, а
второй- полый, скатываются по наклонной плоскости с одинаковой высоты.
Каково соотношение между 1 и 2 скоростями, соответственно первого
цилиндра у основания наклонной плоскости?
A. 1  2 B. 1  2 C. 1  2 D. 1  2 E. Правильного ответа нет
113. Какое из соотношений следует использовать для вычисления работы,
совершаемой внешними силами при вращении тела, если момент этих сил
относительно оси вращения не остается постоянным?
2
A.
 Md
B. FS cos 
C. M
D. I
Е. Правильного ответа нет
1
114. Какой из перечисленных ответов можно дать на вопрос о том, чем
обусловлена сила инерции?
A.Упругими взаимодействиями
B.Гравитационными взаимодействиями
C.Свойствами системы отсчета, в которой рассматриваются механические
явления
D.Каким-либо воздействием одного тела на другое
115. Скорость т.М в системе отсчета x1y1z1 вдоль оси Х1 равна U1 . по какой из
формул можно вычислить скорость U этой точки в системе отсчета xyz ,
движущейся прямолинейно и равномерно вдоль оси x со скоростью v  c , сскорость света.
208
u1  v
u

C.
uv
1 2
c
A. u  u  v B. u  u  v
1
1
u1  v
D. u 
uv
1 2
c
Е. Правильного ответа нет
116. Тело, весом Р, подвешенное на канате, движется вниз с ускорением. Какое
соотношение между величиной веса Р и силой натяжения каната Т?
A.P>T
B.P<T
C.P=T
D.P=const Е.Правильного ответа нет
117. При каком движении груза, подвешенного на канате, возникает наибольшая
опасность обрыва
A.Равномерный подъем
B.Ускоренный подъем C.Равномерный
спуск
D.Ускоренный спуск Е.Правильного ответа нет
118. Какая из формулировок наиболее полно отражает современное содержание
понятия “масса ” ?
A.Коэффициент пропорциональности между силой и ускорением
B.Выражение и мера динамических свойств тела
C.Выражение и мера одновременно и инерциальных и гравитационных свойств
материи
D.Мера количества материи
Е.Правильного ответа нет
119. Какое соотношение между инертной и гравитационной масс соответствует
выводу современной физической науки?
A.mu=mg B.mu<mg C.mu>mg D. mu  mg Е. Правильного ответа нет
120. Груз массой 200 кг поднимают вертикально вверх с ускорением 2,5 м/с 2.
Определите силу натяжения каната.
A.1,5 кН B.2 кН
C.2,5 кН D.3 кН
E.3,5 кН
121. В каких единицах измеряется модуль Юнга Е?
A.Н/м
B.Н*м
C.Па D.Па*м
E.Па*м2
122. Определить тормозной путь машины, если он двигался 108км/час.
Коэффициент трения его о дорогу принять равным 0,2.
A.100м
B.200м
C.225м
D.300м
E.320м
123. Напишите выражение для импульса силы
A. F* t
B.F*V
C.F*S
D.F/m
E.F/S
124. Какое из этих
соотношений
правильно
для равномерного движения?



A.
dr
=0
dt
B.
dr
=f(t)
dt
C.
dr
dr
=const D.
 const
dt
dt
Е. Правильного ответа нет
125. Какое соотношение определяет
мгновенную
скорость?


A.
S
t
B. S2-S1/t2-t1 C.
dr
dt
D.
dr
 constЕ. Правильного ответа нет
dt
126. Какое соотношение определяет мгновенное ускорение переменного
движения?


V
dV
A.V2-V1/t2-t1
B.
C.
D. V/t Е. Правильного ответа нет
t
dt
127. При каких значениях тангенциального и нормального ускорений тело
движется неравномерно прямолинейно?
А. аt=0 аn=0
В. аt  0 аn=0
С. аt  0 аn  0
D. аt=0 аn  0
Е. Правильного ответа нет
209
128. Как движется материальная точка , если тангенциальное и нормальное
ускорения не равны нулю?
A. прямолинейное равномерное
B. криволинейное переменное
C. прямолинейное переменное
D.равномерное вращение
Е. Правильного ответа нет
129. Шар, привязанный к нерастяжимой нити, вращается в вертикальной
плоскости по окружности. Найти минимальную силу, при которой нить не
разорвется?
A.mg
B.2mg
C.4mg
D.5mg
E.6mg
130. Момент силы – это физическая величина, равная:
А. Произведению массы тела на его скорость.
В. Произведению силы на плечо.
С. Произведению силы на время действия этой силы.
D. Произведению силы на скорость тела.
Е. Произведению силы на ускорение тела.
131. Что называется коэффициентом жесткости пружины?
А. Отношение упругой силы к длине пружины.
В. Отношение упругой силы к весу пружины.
С. Отношение упругой силы к начальной длине пружины.
D. Отношение упругой силы к величине абсолютной деформации.
Е. Отношение упругой силы к диаметру пружины.
Найти импульс системы тел, если: m1  2m2  4кг ,2V1  V2  8м / с
А. Рх =0
В. Рх =32 кг м/с. С. Рх =16 кг м/с. D. Рх =-16 кг м Е. Рх =-32 кг м/с.
На тело массы 5кг, действует сила F=10H в течении 2 секунд. Найдите импульс
тела после действия силы. Начальная скорость тела 3м/с:
А. 20 Н с. В. 25 Н с. С. 30 Н с. D. 35 Н с. Е. 40 Н с.
134.Человек массой 60 кг, бегущий со скоростью 7 кг догоняет тележку массой 40
кг, движущуюся со скоростью 2 м/с и вскакивает на нее. С какой скоростью
станет двигаться тележка после этого?
А.V=3 м/с. В. V=4 м/с. С. V=5 м/с. D. V=6 м/с. Е. V=8 м/с.
135. Находившееся в покое тело взорвалось и разлетелось на два осколка массами
m1 и m2. Отношение масс осколков
v1
:
v2
2
А.
3
В. 1
С. 6
D.
m1 2
 . Определите отношение их скоростей
m2 3
3
2
Е. 5
136. Человек с грузом поднимается на высоту 10 м. Масса человека 80 кг, масса
груза 20 кг. Какова величина работы, которую совершает при этом человек?
А. 8000 Дж. В. 10000 Дж. С. 2000 Дж.
D. 6000 Дж.
Е. 4000 Дж.
137. Что называется потенциальной энергией тела?
A. Энергия покоя тела.
B. Внутренняя энергия тела.
C. Энергия движения тела. D. Энергия взаимодействия с другими телами.
E. Произведения половины массы тела на скорость тела.
138. Как изменится потенциальная энергия тела, поднятого над Землей на 6 м,
при уменьшении высоты на 4 м?
210
A. Не уменьшится.
B. Уменьшится в 1,5 раза.
С. Уменьшится в 2 раза.
D. Уменьшится в 3 раза.
E. Уменьшится в 4 раза.
139. Как изменится центростремительное ускорение, если (R=const) тело
двигается по окружности со скоростью  , и она увеличивается в 2 раза?
A.в 4 раза увеличится B.в 2 раза увеличится C.
не
изменится
D.в 2 раза уменьшится
E.в 4 раза уменьшится
140. Тело с массой 3кг движется со скоростью 4 м/с. Найти кинетическую
энергию тела.
A. 6Дж
B. 12 Дж C. 24 Дж D. 48 Дж E. 60Дж
141. Тело массой 2кг находится на высоте 3м . Найти потенциальную энергию
тела.
A.0.67 Дж
B.6 Дж
C.6.7 Дж D.15 Дж E.60 Дж
142. Тело массой 1кг под действием силы 30Н поднимается вверх на высоту 5м.
Найти работу этой силы.
A. 0 B. 50 Дж C. 100 Дж D. 150 Дж E.
200
Дж
2
143. Груз массой 200кг был поднят с ускорением 2,5м/с вертикально вверх с
помощью веревки. Определить силу натяжения веревки.
A.1,5кН
B.2кН
C.2,5кН
D.3кН
E. 3,5кН
144. Тело массой 2кг движется со скоростью 3м/с. Найти кинетическую энергию.
A.3Дж
B.6Дж
C.9Дж
D.18Дж
E.12Дж
144 Тело с массой 3кг поднимается на высоту 2м от поверхности земли . Найти
потенциальную энергию.
A.1.5Дж B.6Дж
C.15Дж
D.60Дж
E.45Дж
Элементы теории относительности
145. На какой географической широте Земли вес тела равен силе его притяжения
к Земле?
A. 0 0
B. 450
C. 900 D. на любой широте E. 600
147. Какова траектория дождевой капли по отношению к равномерно
движущемуся вагону?
A.прямая B.парабола C.гипербола D. иная кривая E.правильного ответа нет
148. Скорость светового сигнала в системе отсчета x, y, z вдоль оси х равна С.
Какова скорость этого же сигнала в системе отсчета x1 , y1 , z1 движущегося
прямолинейно и равномерно со скоростью  вдоль оси х?
A. (c   )
B. (c   ) C. c D. c 2   2 E. c 2   2
149. Длина стержня в системе отсчета, относительно которой он покоится равна l .
Каково соотношение между l и l1 -длиной того же стержня в инерциальных
системах отсчета, движущихся параллельно ему со скоростью, сравнимой со
скоростью света в вакууме?
A. l  l1
B. l  l1
C. l  l1
D. l  l1
E. правильного ответа нет.
150. Какое из указанных выражений позволяет вычислить время жизни мезона,
движущегося в атмосфере Земли со скоростью 1 сравнимой со скоростью света с,
если  -время жизни заторможенного мезона?
211

A.  B.
2
1
C.  1 
2
с
2
D.
1

1
E.
2
1
с2
с2
151. Масса электрона в системе отсчета, относительн которой он покоится, m0.
Какое соотношение определяет массу электрона в ускорителе заряженных частиц,
где скорость электрона V достигает величины, сравнимой со скоростью света С?
A.m0
B.m0/(1-(v/c)2)-1/2 C.m0/(1-(v/c)2)3 D.Иное соотношение
E.Нет правильного ответа
152. Как определяется в теории относительности соотношение между массой
и энергией?
m 2
2
A.   m0 c 2 
B.   h
C. m 
m0
D.  
2
V
c2
1
mc 2
2
E.   mc 2
153. Как определяется релятивистская масса частицы?
A .m 
h
. B. m 
 c
m0
1
2
.
C. m 
V
c2
h
h
D. m  m0 
c
 c
E. m 
h
c
154. Как определяется релятивистский импульс тела, имеющего массу m0


A. P  mV

mV

B. P 

 P
D. F 
t

m0V

C. P 

 V
E. F 
t
V2
c2
155. Длина стержня в системе отсчета К равна  0 . Какова будет его длина  в

системе К1 , движущейся со скоростью  , сравнимой со скоростью света с?
1
A.  
0
V2
c2
B.    0 1 
V2
1 2
c
E.Правильного ответа нет.
156. Как
запишется
в
релятивистского импульса ?


A. P  mV

B. P 

mV
V2
1 2
c
1
V2
c2
1
C.  
V2
c2
D.    0  
0
релятивистской


С. P  mV
динамике
выражение
для

 P
E. F 
t


V
D. F  m
t
Колебания и волны
157.Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой
А=0,1м, периодом Т=4с и начальной фазой 0  0
A. x  A cos(t  0 )

D. x  0,1sin t
2
B. x  A sin( t   0 )
E. x  0,1sin t
212

C. x  0,1sin t
2
158.Амплитуда гармонического колебания А=5см, период Т=4с. Найти
максимальную скорость max колеблющейся точки.
A. 7,85 м/с
B. 7,1 м/с C. 7,85*10-2 м/с D. 9 м/с
E. 11 м/с
159. Какое выражении определяет величину кинетической энергии колеблющейся
точки?
m 2
mA202
sin( 0t   0 )
A. K 
B. K 
2
2
A2 02
cos( 0t   0 )
E. K 
2
m 2
sin(  0t   0 )
C. K 
2
D. K 
mA2 2
2
160.Амплитуда гармонического колебания А=5 см, период Т=4с. Найти
максимальное ускорение колеблющейся точки.
A. 13,1 *102 м / с 2 B. 1,4 *104 м / с 2
C. 12,3 *102 м / с 2 D. 4 м / с 2 E. 2 *103 м / с 2
161.К пружине подвешен груз массой m  10кг . Зная, что пружина под влиянием
силы F  9,8 H . растягивается на l  1,5см . Найти период Т вертикальных колебаний
груза.
A. 80 с
B. 0,78 с C. 0,61 с D. 0,81 с E. 0,59 с
162.Найти длину волны  основного тона (частота   435 Гц ). Скорость
распространения звука в воздухе с=340 м/с.
A. 0,78 м B. 0,55 м C. 0,88 м D. 0,9м
E. 0,61м
163.Найти
скорость
распространения
звука
в
стали,
если

E  118  1010 Па,   8,6  10 3 кг / м 3
A. 2,4 *103 м / с
B. 2700м/ с C. 11700 м / c D. 7000 м/ с E. 6000 м/ с
164.Звуковые колебания, имеющие частоту   0,5 *103 Гц , распространяются в
упругой среде. Длина волны   70см . Найти скорость распространения волн.
A. 350 м/ с B. 440м/ с C. 4 *103 м / с
D. 2,5 *103 м / с
E. 500 м/ с
165. Чему равен период колебаний Т математического маятника длины l  1м.
A. 2с B. 1с C. 3с D. 4с E. 1,1с
166. Шарик массы m  50г подвешен на пружине с коэффициентом жесткости
k  49Н / м. Шарик поднимают до такого положения, при котором пружина не
напряжена и отпускают без толчка. Пренебрегая трением и массой пружины
найти период Т возникающих колебаний.
A. 0,1с
B. 0,3с
C. 0,2с
D. 0,5с
E. 2с
167. Тело, массой 9 кг закреплено на пружине жесткости к=100 Н/м. Найти
частоту собственных колебаний.
А.   0,3с 1
В.   0,9с 1
С.   3,3с 1
Д.   1,1с 1
Е.   1,9с 1
168. Выражение для собственной частоты колебаний математического маятника
имеет вид:
k
Е. 0  km
m

169. Колебание точки описывается уравнением: х  2  3 sin  4t   . Определите
3

А.  0 
g
l
В.  0 
k
m
С. 0 
g
l
D. 0 
расстояние между двумя крайними положениями точки.
А. 4
В. 6
С. 8
D. 8
213
Е.
2
3
170. Математический маятник имел период колебаний Т0. Его длину увеличили в
n раз. Определите период колебаний:
А. nT0.
B. n2T0.
C. nT0 .
D.
T0
.
n
Е.
T0
.
n
171. Пруженный маятник имел период колебаний Т0. Жесткость пружены
уменьшили в n раз. Определите период колебаний?
А. nT0.
B. n2T0.
C. nT0 .
D.
T0
.
n
Е.
T0
.
n
172. Зная длину математического маятника и период колебаний найти ускорение
свободного падения.
А. g  2l / T .
В. g  4l / T .
С. g  4 2l / T 2 .
D. g  4 2l / T . Е. g  2l / T 2 .
173. Высота звука определяется ….
А. Длиной волны.
В. Скоростью распространения волны.
С. Частотой волны.
D. Амплитудой колебаний.
Е. Среди предложенных ответов нет правильного.
Гидростатика
174. По какой формуле не определяется число Рейнольдса?
vP
mP
P
D
D
A. R е
B. R е 
C. Rе 
D. Rе 
E. Re 


n

2
175. Укажите математическое выражение уравнение Бернулли
A. P  gh  0 B. P  gh  const
 2
 gh  0
D. P 
2
C.
 2
P
 gh  const
2
Е. Правильного ответа нет
176. Какое из соотношений дает возможность вычислить сила сопротивление
жидкости
d
A. F  r
B. F  6r
C. F  m
D. F  kmg
dt
E.Правильного ответа нет
177. Укажите математическое выражение уравнение Пуазейля
r 4 t
r 4 t
r 4 tP
tP
A. V 
B. V 
C. V 
D. V 

8 l
8l
l
E. Правильного ответа нет
178. Какое давление P создает компрессор в краскопульте, если струя жидкой
  25 м / с ? Плотность краски
краски вытекает из него со скоростью
3
3
  0 ,8 * 10 кг / м
A. 250 Па B. 2,5*108 Па
C. 25*104 Па D. 25 Па Е. Правильного ответа нет
179. Тело погружено в жидкость. Как изменится выталкивающая сила в условиях
невесомости?
А. Выталкивающая сила возрастет. В. Уменьшится. С. Равна нулю.
D. Нет определенности.
Е. Уменьшится, затем увеличится
180. Чему равна выталкивающая сила Архимеда для тела, плавающего на
поверхности жидкости?
214
A.Равная весу тела.
B.Равная весу вытесненой жидкости
C.Равная произведению его плотности на объем.
D.Равна давлению жидкости
E.Равная произведению плотности жидкости на ее вес.
181. Человек находится в воде. Как изменится сила Архимеда, действующая на
человека при выдохе?
A.Уменьшится B.Увеличится
C.в соленой воде уменьшится
D.в соленой воде увеличится E.Не изменится
182. Ширина шлюза 10 м. Шлюз наполнен водой на глубину 5 м. С какой силой
давит вода на ворота шлюза?(ρ=1000 кг/м3 )
A.2500 кН
B. 1250 кН
C. 1500 кН
D. 2000 кН
E. 1000 кН
183 Первый в мире выход из космического кораблья в космическое пространство
совершил А. Леонов . Давление в скафандре космонавта составляло 0,4 (40%) от
нормального атмосферного давления, Определите числовое значение этого
давления (нормальное атмосферное давление принять равным 101300 Па).
A.40.5 кПа B.40.8 кПа C.41.5 кПа D. 41.8 кПа
E.
42
кПа
184. Какой максимальной подъемной силой обладает плот, сделанный из 10
бревен объемом по 0,6 м3 каждое, если плотность дерева 700 кг/м3 ,
 вода  1000кг / м 3
A.17 кН
B.17.5 кН C.18 кН
D.18.5 кН E.
19
кН
185. Тело весом 8 Н полностью погружено в жидкость. Вес вытесненной
жидкости 6 Н. Каково значение силы Архимеда?
A.2 Н
B.6 Н
C.8 Н
D.14 Н
E.16 Н
186. Если считать, что крышка сосуда открыта, то какой формулой выражается
сила давления на стены сосуда со стороны жидкости?
A. ( gh  Pатм )* S
B. Pатм * S
C. ( Pатм  gh / 2 )* S
D. ( gh / 2 ) * S
E. gh* S
187. Судно, погруженное в воду до ватерлинии, вытесняет воду объемом 15000 м 3
Вес судна с машинами 5*107 Н . Чему равен вес груза?
A. 105 кН B. 107 кН C. 109 кН D. 106 кН E. 104 кН
188. Малый поршень гидравлического пресса под действием силы 500 Н
опустился на 15 см. При этом большой поршень поднялся на5 см. Какая сила
действует на большой поршень?
A.1 кН
B.1.5 кН C. 2 кН
D. 2.5 кН E.
3
кН
189. В цистерне, запалненной нефтью, на глубине 4 м поставлен кран, площадь
которого 30 см2. С какой силой давит нефть на кран? Полтность нефти
  800кг / м3
g  10 H / кг
A.94 Н
B. 95 Н
C. 96 Н
D. 97 Н
E. 98 Н
190. Укажите формулировку закона Паскаля
A. Внешнее давление внутри жидкости и газа передаются равномерно во всех
направлениях B.Тело, погруженное в жидкость, выталкивает объем жидкости,
равный его объему C.На тело, погруженное в жидкость, действует
выталкивающая сила, равная весу вытесненной им жидкости.D.Скорость течения
жидкости обратно пропорциональна площади поперечного сечения трубы.
Е. нет правильного ответа
215
194. Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует сила
A.Равная весу тела.
B. Равная весу вытесненной жидкости
C. Равная произведению его плотности на объем. D.Равна давлению жидкости
E. Равная произведению плотности жидкости на ее вес.
195. Тепло плотностью  плавает в жидкости плотностью  0 . На какую часть
V
погружено тело?
V
B. 2  /  0
C.  / 2  0
D.  / 3 0
своего объема
A.  /  0
E. 3 /  0
196. Укажите выражение для давления жидкости на дно сосуда.
A. P 
F
S
1
2
C. gh D. P  mg E.  c /  д gh
B. P  gh
197. Жидкость течет по трубе с переменным сечением. В каком сечении трубы
давление в жидкости минимально?
3
1
4
2
V
A.В 1 сечении
B.В 2 сечении
C.В3 сечении
D.Во всех сечениях одинакова
E.В 4 сечении
198. Ртутный барометр показывает давление 750 мм. Какова была бы высота
столба жидкости в барометре, содержащегося вместо ртути воду?
A.0,75м
B.1,5м
C.7,5м
D.10,2м
E.5,5м
199. От чего зависит гидростатическое давление на дно сосуда?
A.от площади дна сосуда
B.от формы сосуда C.от веса жидкости в сосуде
D.от высоты столбика жидкости E.от состава жидкости в сосуде
200. В трубе с переменным сечением течет жидкость. Отношение площадей
некоторых двух сечений равно
S1 5
 . Определите отношение скоростей
S2 6
жидкости в этих сечениях:
A.
6
5
B.
5
6
C.
1
6
D.
1
5
E.
216
25
36
217
218