Отдел образования и науки Никопольского городского совета Коммунальное учреждение «Никопольская средняя

Отдел образования и науки Никопольского городского совета
Коммунальное учреждение «Никопольская средняя
общеобразовательная школа І-ІІІ ступеней №21»
Методические рекомендации по методике
преподавания комбинаторики и
элементов стохастики в курсе старшей
школы
Из опыта работы
учителя
математики КУ «НСОШ № 21»
Наследовой Л.В.
Никополь
2014
2
Содержание
ВВЕДЕНИЕ ............................................................ Error! Bookmark not defined.
РАЗДЕЛ 1. КОМБИНАТОРИКА И ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИКИ КАК ОДНА
ИЗ СОСТАВЛЯЮЩИХ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ: ИСТОРИЯ
И СОВРЕМЕННОСТЬ ............................................................................................ 5
1.1.
Ретроспективный
анализ
использования
комбинаторной
и
стохастической линий..................................................................................... 5
1.2. Комбинаторика и стохастика в контексте анализа современных
педагогических изданий. ...................................... Error! Bookmark not defined.
РАЗДЕЛ 2. ТЕХНОЛОГИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КОМБИНАТОРИКИ И
СТОХАСТИКИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ............................. 16
2.1. Психолого-педагогические основы использования комбинаторики и
схоластики.............................................................................................................. 16
2.2. Технология использования комбинаторики и стохастики на старшей
ступени обучения .................................................................................................. 17
2.3.
Обобщение
и
практическая
значимость
комбинаторики
и
стохастики. ............................................................................................................. 19
РАЗДЕЛ 3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ......................................... 29
3.1. Основные задачи. ................................................................................... 29
3.2. Методические рекомендации к изучению комбинаторики ............... 29
3.3. Методические рекомендации к изучению вероятности .................... 32
3.4. Методические рекомендации к изучению статистики ...................... 33
3.5. Связь с другими содержательными линиями школьного курса
математики ............................................................................................................ 34
3.6. Межпредметные связи новой содержательной линии ................. 36
ВЫВОДЫ ............................................................... Error! Bookmark not defined.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ............................................. 38
ПРИЛОЖЕНИЯ ..................................................................................................... 39
3
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время никто не подвергает сомнению необходимость
включения стохастической линии в школьный курс математики. Ведь именно
изучение и осмысление теории вероятностей и статистических проблем
особенно нужно в нашем перенасыщенном информацией мире.
Современная концепция школьного математического образования
ориентирована, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, его
интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания,
разработка и внедрение новых, интерактивных методик преподавания,
изменения в требованиях к математической подготовке ученика. И с этой
точки зрения, когда речь идет не только об обучении математике, но и
формировании личности с помощью математики, необходимость развития у
всех школьников вероятностной интуиции и статистического мышления
становится насущной задачей.
Актуальность исследования состоит в том, что стохастика и
комбинаторика , включенная в школьную программу в виде сквозной
содержательно-методической линии способна укрепить внутрипредметные
связи. Одним из принципов построения
комбинаторно- стохастической
содержательно-методической линии является принцип интегративности,
который выражает необходимость укрепления внутренней целостности курса
математики средствами стохастики.
Объект исследования: школьный курс математики.
Предмет исследования: элементы комбинаторики и стохастики как
средство
укрепления
внутрипредметных
связей
школьного
курсв
математики.
Цели изучения элементов комбинаторики, вероятности статистики
состоят во введении
содержательно-методической
предполагает формирование таких видов деятельности:
линии, которая
4
-
перебор
или
подсчет
количества
конфигураций
элементов,
удовлетворяющих заранее заданным свойствам;
- построение простейших вероятностных моделей реальных процессов и
явлений;
- анализ эмпирических данных, который включает их самостоятельный
сбор,
проведение
экспериментов,
первоначальную
обработку
статистического материала, статистические выводы.
Гипотеза исследования состоит в том что элементы стохастики и
комбинаторики
могут выступать в качестве эффективного средства
укрепления внутрипредметных связей школьного курса математики, если:
- усиление существующих и формирование новых внутрипредметных
связей будет осуществляться в процессе становления стохастической
содержательно-методической линии курса математики, направленной на
овладение учащимися средствами и методами анализа окружающего их мира
случайных явлений;
- реализация интегрирующего потенциала стохастической линии будет
основана на
последовательном применении
стохастических
понятий,
комбинаторных навыков для решения образовательных задач большинства
традиционных тем школьной математики.
5
РАЗДЕЛ 1. КОМБИНАТОРИКА И ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИКИ КАК
ОДНА ИЗ СОСТАВЛЯЮЩИХ ШКОЛЬНОГО КУРСА
МАТЕМАТИКИ: ИСТОРИЯ И СОВРЕМЕННОСТЬ
1.1.
Ретроспективный
анализ
использования
комбинаторной
и
стохастической линий
Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые
можно образовать из элементов конечного множества. Некоторые элементы
комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Индийцы умели
вычислять числа, которые сейчас называют "сочетания". В XII в. Бхаскара
вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что
индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике,
науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с
подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких)
слогов стопы из n слогов. Как научная дисциплина, комбинаторика
сформировалась в XVII в. В книге "Теория и практика арифметики" (1656 г.)
французский автор А. Также посвящает сочетаниям и перестановкам целую
главу. Б. Паскаль в "Трактате об арифметическом треугольнике" и в
"Трактате о числовых порядках" (1665 г.) изложил учение о биномиальных
коэффициентах. П. Ферма знал о связях математических квадратов и
фигурных чисел с теорией соединений.
Термин
употребляться
"комбинаторика"
после
стал
опубликования
Лейбницем в 1665 г. работы "Рассуждение о
комбинаторном искусстве", в которой впервые
дано научное обоснование теории сочетаний и
перестановок. Изучением размещений впервые
занимался Я. Бернулли во второй части своей
6
книги "Ars conjectandi" (искусство предугадывания) в 1713 г. Современная
символика сочетаний была предложена разными авторами учебных
руководств только в XIX в.
Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух
основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и
правило произведения.
Правило суммы
Если конечные множества не пересекаются, то число элементов X U Y
{или} равно сумме числа элементов множества X и числа элементов
множества Y.
То есть, если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать
книгу из первой или второй полки, можно X+Y способами.
Примеры задач
Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему
предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими
способами он может выбрать одну тему для практической работы?
Решение: X=17, Y=13
По правилу суммы X U Y=17+13=30 тем.
Имеется 5 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетов спортлото и 10
билетов автомотолотереи. Сколькими способами можно выбрать один билет
из спортлото или автомотолотереи?
Решение: Так как денежно-вещевая лотерея в выборе не участвует, то
всего 6+10=16 вариантов.
Правило произведения
Если элемент X можно выбрать k способами, а элемент Y-m способами
то пару (X,Y) можно выбрать k*m способами.
То есть, если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать
одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.
7
Примеры задач
Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый
и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?
Решение: Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения
возможно 12*3=36 вариантов переплета.
Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются
слева направо и справа налево?
Решение: В таких числах последняя цифра будет такая же, как и первая,
а предпоследняя - как и вторая. Третья цифра будет любой. Это можно
представить в виде XYZYX, где Y и Z -любые цифры, а X - не ноль. Значит
по правилу произведения количество цифр одинаково читающихся как слева
направо, так и справа налево равно 9*10*10=900 вариантов.
Пересекающиеся множества
Но бывает, что множества X и Y пересекаются, тогда пользуются
формулой            , где X и Y - множества, а    - область
пересечения.
Примеры задач
20 человек знают английский и 10 - немецкий, из них 5 знают и
английский, и немецкий. Сколько Человек всего?
Ответ: 10+20-5=25 человек.
Также часто для наглядного решения задачи применяются круги Эйлера.
Например:
8
Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие,
немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42.
Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и
французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3.
Сколько туристов не владеют ни одним языком?
По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов
знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из
данных языков.
Размещения без повторений
Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так
чтобы все цифры были различны?
Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь
10 цифр по 6. А варианты, при которых одинаковые цифры стоят в разном
порядке считаются разными.
Если X-множество, состоящие из n элементов, m≤n, то размещением без
повторений из n элементов множества X по m называется упорядоченное
множество
X,
содержащее
m
элементов
называется
упорядоченное
множество X, содержащее m элементов.
Количество всех размещений из n элементов по m обозначают
 mn 
n!
(n  m)!
9
n! - n-факториал (factorial анг. сомножитель) произведение чисел
натурального ряда от 1 до какого либо числа n
n!=1*2*3*...*n
0!=1
Значит, ответ на вышепоставленную задачу будет
10!
 151200
(10  6)!
6
10

Задача
Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести
девушек на танец?
Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же
девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными
юношами считаются, разными, поэтому:
 64 
6!
720

 360
(6  4)!
2
Возможно 360 вариантов.
Перестановки без повторений
В случае n=m (см. размещения без повторений) из n элементов по m
называется перестановкой множества x.
Количество всех перестановок из n элементов обозначают Pn.
Pn=n!
Действительно при n=m:
n   mn   nn 
n!
n!
  n!
(n  m)! 0!
Примеры задач
Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1,
2, 3, 4,5, если цифры в числе не повторяются?
Решение:
1)
Найдем количество всех перестановок из этих цифр: P6=6!=720
10
2)
0 не может стоять впереди числа, поэтому от этого числа
необходимо отнять количество перестановок, при котором 0 стоит впереди.
А это P5=5!=120.
P6-P5=720-120=600
Квартет
Проказница Мартышка
Осел,
Козел,
Да косолапый Мишка
Затеяли играть квартет
…
Стой, братцы стой! –
Кричит Мартышка, - погодите!
Как музыке идти?
Ведь вы не так сидите…
И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.
Тут пуще прежнего пошли у низ раздоры
И споры,
Кому и как сидеть…
Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех
возможных мест. Однако способов не так уж и много. Сколько?
Здесь идет перестановка из четырех, значит, возможно
P4=4!=24 варианта перестановок.
Сочетания без повторений
Сочетанием без повторений называется такое размещение, при котором
порядок следования элементов не имеет значения.
11
Всякое подмножество X состоящее из m элементов, называется
сочетанием из n элементов по m.
Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше
количества размещений.
Число сочетаний из n элементов по m обозначается C nm .
 mn
n!
C  m 
.
(n  m)! m!
n
m
n
Примеры задач
Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все
три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр.
Решение:
Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих трех кнопок –
сочетание. Отсюда возможно C103 
10!
8 * 9 *10

 120 вариантов.
(10  3)!*3!
6
У одного человека 7 книг по математике, а у второго – 9. Сколькими
способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги.
Решение:
Так как надо порядок следования книг не имеет значения, то выбор 2 ух
книг
-
сочетание.
Первый
человек
может
выбрать
2
книги
C72 
7!
6*7

 21 способами. Второй человек может выбрать 2 книги
(7  2)!*2!
2
C92 
9!
8*9

 36 . Значит всего по правилу произведения возможно
(9  2)!*2!
2
21*36=756 вариантов.
При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими
способами они могут это сделать?
12
Первый игрок делает выбор из 28 костей. Второй из 28-7=21 костей,
третий 14, а четвертый игрок забирает оставшиеся кости. Следовательно,
возможно C287 * C217 * C714 .
Размещения и сочетания с повторениями
Часто в задачах по комбинаторике встречаются множества, в которых
какие-либо компоненты повторяются. Например: в задачах на числа – цифры.
~ m
Для таких задач при размещениях используется формула  n  n m , а для
~ m
сочетаний C n 
m  n  1!  C n
m!(n  1)!
m  n 1
.
Примеры задач
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
Решение. Так как порядок цифр в числе существенен, цифры могут
повторяться, то это будут размещения с повторениями из пяти элементов по
~ 3
три, а их число равно  5  53  125 .
В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: эклеры,
песочные, наполеоны и слоеные. Сколькими способами можно купить 7
пирожных.
Решение: Покупка не зависит от того, в каком порядке укладывают
купленные пирожные в коробку. Покупки будут различными, если они
отличаются количеством купленных пирожных хотя бы одного сорта.
Следовательно, количество различных покупок равно числу сочетаний
~ 7
четырех видов пирожных по семь - C 4 
(7  4  1)! 10!

 120 .
7!(4  1)! 7!*3!
Обезьяну посадили за пишущую машинку с 45 клавишами, определить
число попыток, необходимых для того, чтобы она наверняка напечатала
13
первую строку романа Л.Н. Толстого «Анна Каренина», если строка
содержит 52 знака и повторений не будет?
Решение: порядок букв имеет значение. Буквы могут повторяться.
~ 52
Значит, всего есть  45  4552 вариантов.
Перестановки с повторениями
n (n1 , n 2 ,  , n r ) 
n!
, n  n1  n2    nr ,
n1!n 2 ! nr !
где
n-количество
всех
элементов, n1,n2,…,nr-количество одинаковых элементов.
Примеры задач
Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас»?
Решение: всего букв 6. Из них одинаковы n1«а»=3, n2«н»=2, n3«с»=1.
Следовательно, число различных перестановок равно 6 (3,2,1) 
6!
 60 .
3!*2!*1!
Комбинаторика и стохастика в контексте анализа современных
1.2.
педагогических изданий.
О необходимости изучения в школе элементов теории вероятностей и
статистики речь идет очень давно. И авторы многих статей говорят о
необходимости введения стохастической линии в основную школу.
1. Социально-экономическая ситуация.
«Нужно научить детей жить в вероятностной ситуации. То есть нужно
научить
их
принимать
извлекать,
анализировать
обоснованные
решения
в
и
обрабатывать
разнообразных
информацию,
ситуациях
со
случайными исходами. Ориентация на многовариантность возможного
развития реальных ситуаций и событий, на формирование личности,
способной жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с
неизбежностью требует развития вероятностно-статистического мышления у
подрастающего поколения» (Бунимович).
14
2. Универсальность вероятностных законов.
«Они стали основой описания научной картины мира. Современная
физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия,
весь комплекс социально-экономических наук построен и развивается на
вероятностно-статистической базе.
Подросток в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными
ситуациями. Игра и азарт составляют существенную часть жизни ребенка.
Круг вопросов, связанных с соотношениями понятий «вероятность» и
«достоверность», проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов
решения, оценка степени риска и шансов на успех, представление о
справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных
коллизиях – все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов
подростка».
3. Развивающая роль стохастики.
«Преподавание любого раздела математики благотворно сказывается на
умственном развитии учащихся, поскольку прививает им навыки ясного
логического мышления, оперирующего четко определенными понятиями.
Все сказанное в полной мере относится и к преподаванию теории
вероятностей, но обучение «законам случая» играет несколько большую роль
и выходит за рамки обычного. Слушая курс теории вероятностей, учащийся
познает, как применять приемы логического мышления в тех случаях, когда
приходится иметь дело с неопределенностью (а такие случаи возникают на
практике почти всегда)».
4. Прикладной характер законов теории вероятностей.
«Выводы теории вероятностей находят применение в повседневной
жизни, науке, технике и т.д. В повседневной жизни нам постоянно
приходится сталкиваться со случайностью, и теория вероятностей учит нас,
как действовать рационально с учетом риска, связанного с принятием
отдельных решений. Хорошим примером применения теории вероятностей в
повседневной жизни может служить выбор наиболее целесообразной формы
15
страхования. При планировании, например, семейного бюджета зачастую
приходится оценивать расходы, носящие в известной мере случайный
характер. Знакомство на том или ином уровне с законами случая необходимо
каждому. Применение теории вероятностей в науке, технике, экономике и
т.д. приобретает все возрастающее значение. Именно поэтому у все большего
числа людей в процессе работы возникает необходимость в изучении теории
вероятностей. Современный образованный человек независимо от профессии
и рода занятий должен быть знаком с простейшими понятиями теории
вероятностей. В наши дни, когда прогноз погоды содержит сообщение о
вероятности дождя на завтра, каждый должен знать что собственно это
означает».
16
РАЗДЕЛ 2. ТЕХНОЛОГИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
КОМБИНАТОРИКИ И СТОХАСТИКИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ
МАТЕМАТИКИ.
2.1. Психолого-педагогические основы использования комбинаторики и
схоластики.
Исследования психологов (Ж.Пиаже, Е.Фишбейн) показывают, что
человек изначально плохо приспособлен к вероятностной оценке, к
осознанию
и
верной
интерпретации
вероятностно-статистической
информации.
Экспериментальная работа в 6 классах по пропедевтике вероятностных
представлений, проведению экспериментов со случайными исходами и
обсуждению на качественном уровне их результатов показало, что этот не
закрепленный формальными «обязательными результатами» период дает
хорошее развитие вероятностной интуиции и статистических представлений
детей.
6 класс начинается с комбинаторики, где на конкретных задачах и
примерах рассматривается решение комбинаторных задач методом перебора
возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение
дерева
возможных
вариантов.
Примеры
и
задачи
очень
простые,
позволяющие на этапе знакомства с комбинаторными задачами, усвоить
принцип простого, упорядоченного перебора возможных вариантов.
В пункте «Случайные события» рассматривается понятие случайное
событие, достоверные, невозможные и равновероятные события. Тут же
приводятся реальные, понятные примеры, позволяющие учащимся лучше
усвоить эти понятия.
В пункте «Диаграммы» рассматриваются таблицы и диаграммы (как
способ представления информации). Учащихся учат пользоваться таблицей,
извлекать из нее и анализировать необходимую информацию, также учат
17
самих строить таблицы. В шестом классе рассматриваются столбчатые и
круговые диаграммы.
2.2. Технология использования комбинаторики и стохастики на старшей
ступени обучения.
9
класс
начинается
с
рассмотрения
основных
статистических
характеристик: среднее арифметическое, мода, размах, опять же с
множеством примеров из жизни. В одном из параграфов снова обращаемся к
решению комбинаторных задач, которые решаются с помощью рассуждений.
Рассматриваются перестановки. Начинают рассматривать вероятность и
частоту случайных событий.
В учебнике 11 класса рассматриваются статистические исследования,
вводится определение статистики. В главе рассматриваются доступные
учащимся
примеры
статистических
исследований,
в
ходе
которых
используются полученные ранее знания о случайных экспериментах,
способах представления данных и статистических характеристиках. Вводятся
новые понятия выборка, репрезентативность, генеральная совокупность,
ранжирование, объем выборки. Рассматривается новый способ графического
представления результатов – полигоны и гистограммы.
Наибольший объем материала приходится на 11 класс.
§4 «Элементы комбинаторики» содержит 4 пункта:
1. Примеры
демонстрируется
комбинаторных
решение
задач.
комбинаторных
На
простых
задач
методом
примерах
перебора
возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение
дерева возможных вариантов. Рассматривается правило умножения.
2. Перестановки.
Вводится
само
понятие
и
формула
подсчета
перестановок.
3. Размещения. Понятие вводится на конкретном примере. Выводится
формула числа размещений.
18
4. Сочетания. Понятие и формула числа сочетаний.
При этом предлагается ориентироваться на следующее содержание:
 Решение комбинаторных задач: перебор вариантов, подсчет числа
вариантов с помощью правила умножения.
 Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Диаграммы
Эйлера. Средние результаты измерений.
 Понятие и примеры случайных событий. Частота события,
вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности.
Представление о геометрической вероятности.
 Перечисленный круг вопросов представляет собой некоторый
минимум, доступный учащимся основной школы и достаточный для
формирования у них первоначальных вероятностно-статистических
представлений.
§4 «Начальные сведения из теории вероятностей».
Изложение материала начинается с рассмотрения эксперимента, после
чего вводят понятие «случайное событие» и «относительная частота
случайного события». Вводится статистическое и классическое определение
вероятности. Параграф завершается пунктом «сложение и умножение
вероятностей».
вероятностей,
Рассматриваются
вводятся
связанные
теоремы
с
сложения
ними
понятия
и
умножения
несовместные,
противоположные, независимые события. Этот материал рассчитан на
учащихся, проявляющих интерес и склонности к математике, и может быть
использован для индивидуальной работы или на внеклассных занятиях с
учащимися.
Важным элементом стохастической линии является работа с данными:
сбор данных, обработка, представление, анализ, практические выводы. Всем
этим занимается наука, которая называется статистика.
19
На первом (подготовительном) этапе обучения - это работа с таблицами
и диаграммами. Необходимо обучать учащихся не только работе с уже
готовыми данными, но и самостоятельно собирать информацию и
представлять ее в различных формах. Ежедневно нам необходима
разнообразная информация, которая может быть представлена в различной
форме, и одним из самых распространенных способов представления
информации являются таблицы. Учащиеся в своей жизни часто сталкиваются
с различного рода таблицами – это расписание уроков, страница классного
журнала, программа телепередач, турнирные таблицы и т.п.
2.3.
Обобщение
и
практическая
значимость
комбинаторики
и
стохастики.
Учащиеся должны уметь анализировать данные, используя таблицы и
диаграммы. Это позволяет в дальнейшем при изучении статистики не
останавливаться на обучении учащихся работе с табличными данными и
позволяет сконцентрировать внимание именно на обучении учащихся делать
статистические и практические выводы.
Формирование
первоначальных
стохастических
представлений
школьников? К таковым можно отнести: стохастические игры, эксперименты
со
случайными
исходами,
статистические
исследования,
мысленные
статистические эксперименты и моделирование.
Для
проведения
экспериментов
пока
возможно
использование
подручных средств: кубики, пуговицы, кнопки, самодельные вертушки и т.п.
С введением стохастической линии в основной курс средней школы, со
временем должны появиться и минимальные наборы математического
демонстрационного учебного оборудования.
Проводя эксперименты, учащиеся могут заметить, что те или иные
события происходят чаще или реже, относительно других. Таким образом,
20
можно перейти к понятию частоты, а затем и к статистическому
определению вероятности.
При классическом подходе определение понятия вероятности для
некоторых событий сводится к более простому понятию - равновозможности
элементарных
событий.
А
это
понятие
основано
на
интуитивном
воображении человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно
определяют эту равновозможность. Но не каждое испытание поддается
такому воображению. Например, не может быть и речи о равновозможных
исходах испытания, состоящего в подбрасывании неправильной игральной
кости, центр тяжести которой сознательно смещен с геометрического центра.
Из этого вытекает ограничение применения классической вероятности.
Классическое определение вероятности «работает» лишь тогда, когда
имеется конечное число равновозможных исходов. На практике мы часто
встречаемся
с
ситуациями,
где
нет
симметрии,
предопределяющей
равновозможность исходов. В таких случаях приходится определять
вероятность частотным путем
На первом этапе при изучении комбинаторики следует выработать у
учащихся умение составлять комбинаторные наборы и начать с самого
простого - составление комбинаторных наборов методом непосредственного
перебора
Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой
для формирования комбинаторных понятий и хорошей подготовкой к выводу
комбинаторных формул и закономерностей.
После того как учащиеся научаться составлять наборы из элементов
заданного множества по заданному свойству, на первый план выходит задача
по подсчету количества возможных наборов. Такие комбинаторные задачи
решаются с помощью рассуждений, раскрывая принцип умножения. Но
акцент нужно сделать не на формальном его
применении, а на
содержательных рассуждениях и понимании сути поставленного в задаче
21
вопроса. Принцип умножения в дальнейшем используется для выведения
формул.
Часто подсчет вариантов облегчают графы. Одним из видов графов
является дерево возможных вариантов, которое является хорошей наглядной
иллюстрацией правила умножения.
Таким образом, построение дерева возможных вариантов является
одним из способов решения комбинаторных задач. Такая наглядность
помогает лучше понять принципы составления наборов (помогает составлять
и упорядочивать наборы). Но такую наглядность возможно использовать в
задачах с небольшим количеством возможных вариантов, либо в задачах, для
которых дерево возможных вариантов является правильным.
Методом
перебора,
принципа
умножения
и
построение
дерева
возможных вариантов - это все методы, которые позволяют решать
комбинаторные задачи без использования формул. Отсутствие формул при
решении комбинаторных задач позволяет учащимся лучше понять суть
решения, лучше освоить способы составления и подсчета возможных
наборов. Уже после этого можно вывести или ввести некоторые формулы,
которые учащийся должен применять осознанно и понимать принцип их
действия
Можно показать практическую значимость таблиц, построенных по
результатам опроса общественного мнения (в классной жизни такие таблицы
могут быть использованы, например, для организации досуга).
Для представления различных данных также очень удобно использовать
диаграммы. Диаграмма является очень наглядным способом представления
информации и различных данных и позволяет легче анализировать
полученные результаты.
Одним
из
направлений
стохастической
линии
является
теория
вероятностей, где одной из важных задач на первом этапе является
формирование понятия - вероятность случайного события.
22
Сначала необходимо познакомить учащихся с понятием случайное
событие, сформировать у них представление о том, какое событие называется
достоверным,
какое
невозможным
и
какие
события
называются
равновероятными. Все эти понятия нужно вводить, опираясь на понятные
примеры, и просить детей самих приводить такие примеры. Учитель должен
все время фиксировать внимание учащихся на случайных явлениях в быту, в
природе и технике.
Необходимо развить у учащихся понимание степени случайности
различных явлений и событий. При этом учитель сам должен качественно
оценивать ответ, так как часто ответ является субъективным.
Перед введением самого понятия - вероятность случайного события
полезно провести эксперименты со случайными исходами. После проведения
экспериментов можно познакомить учащихся с результатами экспериментов,
которые неоднократно проводились на протяжении нескольких столетий и
сравнить c результатами, полученными учащимися. Сравнивая их, учащиеся
с удивлением замечают, что результаты очень похожи. Проведение
экспериментов должно возбудить у учащихся неподдельный интерес.
Эксперимент является эмпирическим методом обучения, используемый в
частности, в экспериментальных естественных науках, а математика не
является экспериментальной. Поэтому этот метод в математике применяется
редко, так как опыт не является достаточным основанием истинности того
или иного предложения. Но опыт, эксперимент дает учащимся возможность
извлечь из них очевидные закономерности, сделать какие то открытия, а
теория вероятностей опирается именно на результаты многочисленных
экспериментов.
Параллельно
с
вероятностной
линией
должна
изучаться
и
комбинаторика.
Начинать обучение комбинаторике целесообразно с решения простых
комбинаторных задач методом непосредственного перебора. Операция
перебора
раскрывает
идею
комбинирования,
служит
основой
для
23
формирования комбинаторных понятий и хорошей подготовкой к выводу
комбинаторных формул и закономерностей.
Основными
комбинаторными
понятиями
являются
сочетания,
перестановки и размещения. Но на первом этапе сами термины можно не
вводить, главное, чтоб учащийся осознавал, наборы какого типа требуется
составить в данной задаче (важен ли порядок и возможны ли повторения).
После того как учащиеся научаться составлять наборы из элементов
заданного множества по заданному свойству, на первый план выходит задача
по подсчету количества возможных наборов. Такие комбинаторные задачи
решаются с помощью рассуждений, раскрывая принцип умножения.
Хорошей наглядной иллюстрацией правила умножения является дерево
возможных вариантов. Очень важно показать его применение при решении
комбинаторных задач.
Одно из главных отличий школьного изучения стохастики состоит в
тесной связи отвлеченных понятий и структур с окружающим миром.
Поэтому
математическая
ограничиваться
изучением
деятельность
только
школьников
готовых
не
должна
вероятностных
моделей.
Напротив, процессы построения и истолкования моделей рассматриваются
как ведущие формы ученической деятельности. Учитель призван правильно
направлять такую деятельность, а для этого он сам должен владеть методами
формализации и интерпретации. Выполнение учащимися заданий, связанных
с принятием решений в реальных (в нематематических) ситуациях, играет
здесь очень важную роль и требует умелого управления со стороны учителя.
Преподаватель должен владеть особой методологией с использованием
специфических
стохастических
умозаключений.
Владение
искусством
стохастических рассуждений - непременное условие успешной деятельности
учителя математики. Нужен взгляд на стохастику не только как на систему
понятий, фактов и утверждений, а как на специфическую методологию,
охватывающую вероятностные и статистические умозаключения в их
24
взаимосвязи. Анализ тех ситуаций, где для решаемой проблемы не
оказывается однозначного или определенного ответа, не должен вызывать
растерянности учителя. Нужно быть гибко мыслящим человеком, лишенным
догматической веры в абсолютную истинность чужих выводов.
Особенность стохастических умозаключений проявляются, прежде
всего, в ходе интерпретаций результатов решения математической задачи,
возникшей на базе статистической информации. По этой причине во многих
случаях одну и ту же статистическую информацию разные люди могут
трактовать по-разному. Примером может служить следующая ситуация:
Владелец одного частного предприятия уволил большую часть рабочих,
а оставшимся снизил зарплату на 20% (табл. №1). После этого он заявил, что
средний заработок рабочих на его предприятии повысился. Так ли это?
Таблица №1.
Заработок до увольнения
Заработок после увольнения
1000 р.
400 р.
800 р.
320 р.
Число рабочих
200
800
200
120
25
Если вычислить средние характеристики: моду, медиану и среднее
арифметическое, то получим, что их значения после увольнения части
рабочих будут больше, чем до увольнения. Но в данном случае, если
внимательно посмотреть на таблицу, то можно заметить, что жизнь рабочих
не улучшилась, а только ухудшилась, не говоря уже о тех, кто вообще
потерял работу. Видимость повышения зарплаты создается из-за увольнения
значительной части низкооплачиваемых рабочих. Здесь итоги решения
математической задачи противоречат здравому смыслу. Математическая
модель, как видно из данного примера, не всегда адекватна практической
ситуации.
Выступая в качестве дирижера и помощника учащихся, учитель призван
прививать им критическое отношение к статистическим выводам и
обобщениям, умение правильно истолковать статистическую информацию,
самостоятельно разоблачать различного рода фальсификации, кажущиеся на
первый взгляд «правдоподобной» информацией.
Учитель должен глубоко понимать причины появления опасности
принятия неправильных решений в ходе анализа явлений, происходящих под
воздействием случая. Обманчивое впечатление, например, может возникать
из-за неполноты статистической информации. Например, рассматривая
сведения о числе женщин, занятых в промышленности и в системе
образования, можно прийти к выводу, что женский труд преобладает в
промышленности:
Где работают
В промышленности
В образовании
Число женщин
129 483
41 769
26
Однако мнение меняется, после того, как дополнительно становится
известным, что в образовании работает 57 218 человек, а в промышленности
- 264 251 человек. В результате получается, что число женщин составляет
примерно 73% от всех работников образования, и только примерно 49% от
всех работников занятых в промышленности.
К неправильным или противоречивым выводам может привести также
неадекватный
выбор
критериев,
по
которым
интерпретируются
статистические данные. Здесь примером может служить следующая
ситуация: каждая из двух фирм по изготовлению обуви послала в некоторую
африканскую страну своего агента для выяснения возможности продажи
своей продукции. Агент первой фирмы телеграфировал: «прекрасный рынок
для обуви - здесь 90% жителей не носят ботинок». Агент второй фирмы
сообщил: «Для обуви здесь нет рынка - 90% жителей не носят ботинок».
Специфика стохастической линии требует от учителя умений так
организовать математическую деятельность школьников, чтобы изучение
понятий и методов происходило в форме открытия новых инструментов
познания
окружающего
мира.
При
обучении
стохастике
создается
благоприятная почва для эвристической деятельности учащихся. У педагогов
появляется возможность использования новых, непривычных для уроков
математики, подходов к обучению. Учитель, определяя уровень усвоения
учениками тех или иных стохастических умений, может столкнуться со
следующей трудностью: при решении задач учащемуся чаще приходится
опираться на свой здравый смысл, а не действовать строго по алгоритму,
поэтому ответы разных учащихся на один и тот же вопрос могут звучать поразному. В данном случае задачей учителя является оценка «права на
ошибку» учащегося, поскольку сама такая оценка носит вероятностный
характер.
В продолжении вероятностной линии следующим шагом идет введение
классического определения вероятности. Необходимо, чтобы учащиеся
27
понимали разницу между статистическим и классическим определениями
вероятности. Чтобы они осознавали, что это не еще одно определение
вероятности, а один из способов вычисления вероятности.
Таким образом, сопоставляя определение классической вероятности и
относительной
частоты
(статистическая
вероятность),
заключаем:
определение классической вероятности не требует, чтобы испытания
производились
в
действительности;
определение
же
статистической
вероятности предполагает, что испытания были произведены фактически.
Другими
словами, классическую
вероятность
вычисляют
до
опыта,
относительную частоту - после опыта.
На последующих этапах переходим к изучению непосредственно
статистики, используя ранее полученные знания.
Появляется много новых терминов, и учителю можно посоветовать
следующее: во-первых, можно сделать таблицу аналогичную таблице
приведенной в учебнике Мордковича, Семенова [23], во-вторых, очень
полезно было бы завести всем учащимся словарики, куда бы они заносили
новые понятия, по мере потребности, могли бы туда заглядывать.
Статистические исследования являются завершающим фрагментом
вероятностно-статистической
линии
курса.
Здесь
рассматриваются
доступные учащимся примеры комплексных статистических исследований, в
ходе которых используются полученные ранее знания. Также вводятся
некоторые новые понятия. Изучение этого материала направлено на
формирование
умения
понимать
и
интерпретировать
статистические
результаты.
Одно из главных отл пр ичине во многих случаях одну и ту же
статистическую информацию разные люди могут трактовать по-разному.
Примером может служить следующая ситуация ичий школьного изучения
стохастики состоит в тесной связи отвлеченных понятий и структур с
окружающим миром. Поэтому математическая деятельность школьников не
должна ограничиваться изучением только готовых вероятностных моделей.
28
Напротив, процессы построения и истолкования моделей рассматриваются
как ведущие формы ученической деятельности. Учитель призван правильно
направлять такую деятельность, а для этого он сам должен владеть методами
формализации и интерпретации. Выполнение учащимися заданий, связанных
с принятием решений в реальных (в нематематических) ситуациях, играет
здесь очень важную роль и требует умелого управления со стороны учителя.
Преподаватель должен владеть особой методологией с использованием
специфических
стохастических
умозаключений.
Владение
искусством
стохастических рассуждений - непременное условие успешной деятельности
учителя математики. Нужен взгляд на стохастику не только как на систему
понятий, фактов и утверждений, а как на специфическую методологию,
охватывающую вероятностные и статистические умозаключения в их
взаимосвязи. Анализ тех ситуаций, где для решаемой проблемы не
оказывается однозначного или определенного ответа, не должен вызывать
растерянности учителя. Нужно быть гибко мыслящим человеком, лишенным
догматической веры в абсолютную истинность чужих выводов.
29
РАЗДЕЛ 3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
3.1. Основные задачи.
 Выработка умений и навыков работать с таблицей, извлекать из таблиц
информацию и анализировать ее.
 Выработка умений заполнять в таблице пустые графы (строки,
столбцы).
 Формирование умений читать диаграммы, извлекать необходимую
информацию.
 Формирование
умений
и
навыков
в
составлении,
выборе
и
упорядочении комбинаторных наборов.
 Формирование умений подсчета комбинаторных объектов, методом
непосредственного перебора.
 Показать, что такое дерево возможных вариантов, его использование
как один из методов решения КЗ.
 Формирование
представления
о
том,
какое
событие
является
достоверным, какое невозможным, и какое событие мы можем назвать
случайным.
 Формирование у учащихся понимания степени случайности в
различных событиях и явлениях и использование для ее оценки адекватных
вероятностных терминов («достоверно», «маловероятно» и т.д.).
3.2. Методические рекомендации к изучению комбинаторики.
Формирование комбинаторных навыков предлагается через простейшие
комбинаторные задачи, решая которые должна вестись либо работа по
перебору возможных вариантов, либо по упорядочиванию, либо их
объединение - перебор и упорядочивание вместе. В нашей жизни часто
30
возникают такие задачи, которые имеют несколько различных решений, и
перед нами встает проблема рассмотреть все возможные варианты решения.
Для этого нам нужно найти удобный способ перебора, при котором будут
рассмотрены всевозможные варианты, и они не повторялись бы.
На первом месте перед учителем стоит задача по формированию
навыков систематического перебора. Начинать нужно с простых задач, где не
так много элементов, важна сама суть перебора всех вариантов.
Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на
футбольный матч. Сколько существует различных вариантов похода на
футбол?
Здесь необходимо перебрать всевозможные пары мальчиков.
После этого можно добавить условие, при котором, решая задачу,
учитываем еще и место, на котором будет сидеть тот или иной мальчик, то
есть учитывается порядок элементов в наборе.
Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на
футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько
существует способов занять эти два места на стадионе? Записать все эти
варианты.
Здесь мы можем использовать результаты предыдущей задачи. В ней мы
не учитывали порядок, а теперь необходимо учитывать порядок, на каком
месте будет сидеть тот или иной мальчик. Рассмотрим тот вариант, когда на
матч пошли Антон и Борис, в этом случае возможно два варианта занять
места на матче: 1-ое место – Антон, 2-ое место - Борис и наоборот 1-ое место
Борис, а 2-ое Антон. То есть упорядочить два элемента мы можем двумя
способами. Таким образом, решение предыдущей задачи дало нам два
решения для этой задачи. Аналогично на каждый вариант предыдущей
задачи мы получаем еще один вариант решения, итого 6 вариантов.
Антону, Борису и Виктору повезло, они купили 3 билета на футбол на 1е, 2-е и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут
занять мальчики эти места?
31
В данной задаче, как и в предыдущей важно на каких местах сидят
мальчики, то есть нам нужно рассмотреть, сколько существует вариантов
рассадить трех мальчиков на три разных места. Пусть на первом месте сидит
Антон, тогда на оставшиеся два места двух оставшихся мальчиков мы можем
усадить двумя способами, аналогично для случаев, когда на первом месте
сидит Борис и Виктор. В результате получим 6 вариантов, то есть
упорядочить 3 элемента мы можем шестью способами.
В предыдущих задачах, не учитывая порядка перебора не сложно
перечислить все возможные варианты, так как их не так много, но часто при
переборе возможных вариантов их может быть столько, что сложно оценить
все ли возможные решения мы учли и не пропустили ли хотя бы одно из них.
В этом случае необходимо упорядочить процедуру перебора, то есть
перебирать возможные варианты в некотором порядке, определенном
заранее, который позволяет не допускать повторений решений и пропускать
возможные решения.
В алфавите племени УАУА имеются только две буквы – «а» и «у».
Сколько различных слов по три буквы в каждом можно составить,
используя алфавит этого племени?
В этой задаче одна и та же буква может встречаться в слове как один,
так два или три раза. И нужно рассмотреть все варианты.
Заметим, что очень удобно процесс перебора осуществлять путем
построения специальной схемы, которая называется дерево возможных
вариантов. Рассмотрим построение дерева возможных вариантов для данной
задачи: сначала нужно выбрать первую букву – это могут быть буквы «а» или
«у», поэтому в «дереве» из корня проведем две веточки с буквами «а» и «у»
на концах. Вторая буква может быть опять как «а» так и «у», поэтому из
каждой веточки выходит еще по две веточки и т.д.
32
Теперь, проходя по веточкам дерева, по порядку выписываем нужные
нам сочетания букв - «слова»:
ааа; аау; ауа; ауу; уаа; уау; ууа; ууу.
Дерево помогает увидеть путь решения, учесть все варианты и избежать
повторений. Нужно обратить внимание, что дерево возможных вариантов
позволяет нам подсчитывать упорядоченные наборы.
3.3. Методические рекомендации к изучению вероятности.
Уже в среднем возрасте стоит подвести детей к пониманию таких
понятий как «вероятнее», «менее вероятно», «равновозможно». Другими
словами можно научить детей качественно оценивать шансы наступления
случайного
события.
Фактически
в
примерах,
используемых
для
формирования этих понятий имеется ввиду применение классической
вероятности. А придти к осознанному применению формулы классической
вероятности школьники могут после экспериментирования с пуговицами,
шариками , монетами, бусинами, игральными костями и т.д. Через некоторое
время они смогут решать подобные задачи не прибегая к экспериментам. В 6
классе пока учащиеся еще не владеют свободно дробями целесообразно не
вычислять, а сравнивать шансы наступления различных событий, используя
интуицию, опыт, классический, статистический, геометрический подходы.
Здесь можно формировать понимание того, что вероятность события можно
измерять также, как длину, массу, время и другие величины.
Начиная с
9
класса стоит прейти к вычислению вероятности.
33
Целесообразно использовать готовые таблицы в бумажном варианте или
учить учащихся строить нужные таблицы случайных величин при помощи
компьютера.
Во время изучения элементов теории вероятностей в старшей школе
следует использовать статистическую интерпретацию основных понятий и
фактов для того, чтобы приобретенные знания и умения имели практическую
направленность.
Целесообразно в общеобразовательной школе, в гуманитарных классах
и классах технического, экономического и ….. профилей целесообразно
строить изложение материала на статистическом определении вероятности.
Этот подход более экономный по времени, более доступен ученикам, по
сравнению с другими, благодаря тому что в большей степени опирается на их
личный опыт, интуицию, здравый смысл.
Обращая
математической
внимание
моделью
на
то,
многих
что
случайная
реальных
величина
явлений
и
является
процессов,
необходимо акцентировать внимание на изучении случайных величин, их
числовые характеристики, их граничном поведении (закон больших чисел).
Необходимо сформировать у учеников понимание содержания средних
показателей. Умение ориентироваться в этих показателях помогает человеку
принимать правильные решения, адекватно воспринимать информацию,
которая поступает. Статистическое исследование окружающих явлений
нельзя реализовать без понимания меры изменчивости. Поэтому появляется
необходимость в количественном оценивании раскидывания статистических
данных.
3.4. Методические рекомендации к изучению статистики
Фактически с проведения экспериментов и осознания их результатов
начинается изучение статистики. Школьников помладше можно учить
34
интерпретировать таблицы, схемы, диаграммы, графики, привлекать к
проведению экспериментов, опросов.
В основной школе рассматривается описательная статистика (способы
изображения данных, числовые характеристики). Необходимо сформировать
у
учащихся
понимание
того,
что
статистика
дает
короткую,
концентрированную характеристику явления, которое исследуется, и научить
учащихся пользоваться ее методами и результатами. Здесь больше внимания
следует уделить процентным вычислениям, использованию линейных и
круговых диаграмм, как способам изображения статистических данных.
Важно не ограничиваться вычислениями статистических характеристик
(моды, медианы, ……..), а выяснять, когда целесообразно использовать ту
или иную характеристику. Можно рассмотреть разные средние показатели
(среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоничное,
среднее квадратичное) и привести примеры содержательных задач, решение
которых требует вычисления этих показателей.
Изучение элементов статистики в старшей школе не должно
дублировать то, которое изучалось в основной школе. При наличии времени,
готовности учащихся, в классах с углубленным изучением математики
можно познакомить учеников с некоторыми идеями математической
статистики,
не
опираясь
на
неравенство
Чебышева,
биномальное
распределение.
3.5. Связь с другими содержательными линиями школьного курса
математики.
Почти все содержательные линии школьного курса математики
находят
применение
вовремя
изучения
комбинаторики
и
теории
вероятностей. Это и вычисление, и преобразование выражений, и уравнения,
и функции, и элементы геометрии.
35
Но с использованием элементов стохастики в традиционных разделах
школьного курса математики дело обстоит значительно хуже. Важно, чтобы
новая
содержательная
линия
естественно
использовалась
в
курсе
математики. Во-первых, если новый материал будет изучаться не в пределах
одной темы, а на протяжении всего срока обучения, то с повестки дня
снимется вопрос об использовании материала, который уже изучался. Вовторых, три раздела новой содержательной линии – комбинаторику,
вероятность, статистику – надо изучать в тесном взаимодействии друг с
другом. Но все сказанное касается внутренних связей новой содержательной
линии. Этого слишком мало.
Перед
методистами
стоит
задача
естественно
связать
новую
содержательную линию курса математики с другими. Стержнем, который
связывает новую линию со школьным курсом математики, является метод
математического моделирования. Следует усилить внимание к анализу
данных, обработке статистического материала.
Хотя, общие подходы не исключают и установление отдельных, только
не
искусственных
связей.
Например,
если
в
начальной
школе
рассматривалось качественное оценивание вероятности событий, то можно
подвести учеников к выводу о количественном оценивании вероятности, и в
свое время это можно использовать, рядом с другими как мотив к изучению
дробных
чисел.
Основные
комбинаторные
схемы
целесообразно
использовать во время решения комбинаторных геометрических задач
(нахождение количества диагоналей многоугольника, количества точек
пересечения прямых, количества прямых пересечения плоскостей и т.п.).
Урновую схему для вычисления вероятности
можно с успехом
использовать для нахождения сумм бесконечных рядов. Хорошо известным
является применение вероятности к решению неравенств.
36
3.6. Межпредметные связи новой содержательной линии.
Успех введения новой содержательно - методической линии во многом
зависит от того будет ли материал этой линии применяться в таких
предметах, как физика, химия, биология, история, география. И , наоборот,
будет ли материал этих дисциплин использоваться на уроках математики как
мотивация для изучения новых понятий, фактов, методов, как иллюстрации к
изучаемому
материалу,
как
источник
построения
математических
(вероятностных ) моделей и т.д. Для осознанного усвоения материала других
дисциплин ученик
должен владеть соответствующими вероятностно-
статистическими понятиями и фактами. С другой стороны учитель
математики должен быть ознакомлен с применением элементов теории
вероятностей и математической статистики в школьных предметах,
использовать их на уроках математики.
37
ВЫВОДЫ
В данной работе была сделана попытка проанализировать возможность
реализации комбинаторно-стохастической линии в основной шкале её
предназначения
в
качестве
содержательно-методической
линии
для
внедрения внутрипредметных связей. Была проанализирована различная
учебно-методическая литература и на этом основании сделаны конкретные
выводы с краткими методическими рекомендациями. Этот материал может
использоваться как и на уроках, так и на факультативных и кружковых
занятия.
Практическое значимость работы состоит в возможности использования
её результатов учителями, что позволяет сделать курс математики более
логичным, компактным, внутренне целостным, в реализации корегентноинтегративного подхода путем разработки методики изучения элементов
комбинаторики и стохастики в органичном единстве с традиционным
математическим содержанием.
Укреплению внутрипредметных связей курса математики способствует
использование особого
вида задач, укрепляющих
внутрипредметную
взаимосвязь различных разделов математики, раскрывающих вероятностностатистическую
допускающих
природу
явлений
возможность
окружающей
математической
действительности
формулировки
и
моделей
проблемных статистических ситуаций, для решения которых требуется
комплексное
применение
математических
понятий
и
представлений,
изучаемых в школе.
Методика обучения элементам комбинаторики, статистики и теории
вероятностей, направленная на максимальное согласование стохастических и
традиционных понятий, обеспечивает укрепление внутрипредметных связей
школьного курса математики.
38
Список использованной литературы
1. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Математика: Учебн. для 5кл.
общеобразовательных учебных заведений. – Х.: Гимназия, 2009.
320с.:ил.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра: Учебн. для 9кл.
общеобразовательных учебных заведений. – Х.: Гимназия, 2009.
320с.:ил.
3. Бевз Г.П. Алгебра (Алгебра и начала анализа): учеб. для 11 кл.
общеобразоват. учебн. завед.: академ. уровень, профил. уровень / Г. П.
Бевз, В. Г. Бевз, Н. Г. Владимирова. — К.: Освіта, 2011. — 400 с.А.Н.
Руденко «Как научить мыслить и общаться»
4. Савина Л.Н., Попырев А.В. «КОМБИНАТОРИКА» издательство
Елабужский государственный педагогический институт 1999г
5. Халамайзер А. Я. Математика? — Забавно!: Для сред, классов. — М.:
Изд-во МПИ, 1989. — 115 с., 1989г.
6. Математическая газета, № 1, 2008г.
7. Бродский Я. Об изучении элементов комбинаторики, вероятности,
статистики в школе // Математика. - 2004. М. И. Глеман, Т.О. Варга
«Вероятность в играх и развлечениях»
8. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Изучаем элементы статистики. //
Математика в школе. - 2004.
39
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Задачи для самостоятельного решения
Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Миссисипи».
Ответ: 2520
Имеется пять различных стульев и семь рулонов обивочной ткани
различных цветов. Сколькими способами можно осуществить обивку
стульев.
Ответ: 16807
На памятные сувениры в «Поле Чудес» спонсоры предлагают
кофеварки, утюги, телефонные аппараты, духи. Сколькими способами 9
участников игры могут получить эти сувениры? Сколькими способами могут
быть выбраны 9 предметов для участников игры?
Ответ: 49, 220
Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей
так, чтобы на одна из них не могла бить другую?
Ответ: 40320
Сколько может быть случая выбора 2 карандашей и 3 ручек из пяти
различных карандашей и шести различных ручек?
Ответ:200
Сколько способов раздачи карт на 4 человека существует в игре
«Верю - не верю» (карты раздаются полностью, 36 карт).
Ответ: C369 * C 279 * C189 .
В течении 30 дней сентября было 12 дождливых дней, 8 ветреных, 4
холодных, 5 дождливых и ветреных, 3 дождливых и холодных, а один день
40
был и дождливым, и ветреным, и холодным. В течение скольких дней в
сентябре стояла хорошая погода.
Ответ: 15
На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно
выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими
способами можно сделать его еще раз?
Ответ: 480, 437
Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из
слова «здание»?
Ответ: 9
Сколько существует четных пятизначных чисел, начинающихся
нечетной цифрой?
Ответ: 25000
В книжный магазин поступили романы Ф. Купера «Прерия»,
«Зверобой», «Шпион», «Пионеры», «Следопыт» по одинаковой цене.
Сколькими способами библиотека может закупить 17 книг на выбранный
чек?
Ответ:: 2985
41
Приложение 2
Проект «Элементы комбинаторики»
Тема проекта: Элементы комбинаторики
Участники проекта: учащиеся 11 класса
Тип проекта: практически-ориентированный
Срок выполнения: 2 недели
Эпиграф урока: «Число, размещения и комбинация – три
взаимнопересекающихся, но разных сферы мысли, которыми можно описать
все математические идеи». (Д.Д. Сильвестр)
I. Актуальность проекта как учебной технологии.
Проектное обучение позволяет расширить круг заданий, решаемых
учеником на уроке, создает условия для творческого развития личности.
Формируется элемент заинтересованности в самом процессе обучения.
II. Цель и задания проекта.
Обобщить
и
систематизировать
знания
по
теме:
«Элементы
комбинаторики», научить решать задачи с соединениями, осуществлять
операции над множествами.
Развивать творческое мышление всесторонним анализом проблем,
запоминать информацию в виде логических структур, понимать причинноследственные связи.
III.
Механизм реализации проекта.
1. Постановка проблемы.
Начиная изучать тему «Элементы комбинаторики», важно отметить
причину возникновения данного раздела математики и ее роль в
современном обществе.
2. Определение тем и целей проектов.
Для защиты предлагаются проекты по следующим темам: «История
возникновения
и
развития
науки
комбинаторики»,
комбинаторика», «Применение комбинаторики».
«Увлекательная
42
Проекты можно подавать в форме презентаций или рефератов.
3. Защита проектов.
Защита проектов проходит в конце изучения темы.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
4. Оценивание проектов.
Оценивание проводит учитель, учитывая и качество самих проектов, и
ответы учащихся во время урока.
Ход урока
1. Организационные вопросы.
2. Просмотр проекта «История возникновения и развития науки
комбинаторики».
Ориентировочный опорный конспект проекта
Комбинаторика
-
ветвь
математики,
изучающая
комбинации
и
перестановки предметов - возникла в XVII в. С задачами, в которых
приходится выбирать те или иные предметы, размещать их в определенном
порядке и отыскивать среди различных размещений лучшие, люди
столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая лучшие размещения
охотников во время охоты, воинов во время битвы, инструментов во время
работы . Определенным образом располагались украшения на одежде, узоры
на керамике. С усложнением производственных и общественных отношений
шире приходилось пользоваться общими понятиями о порядке, иерархии,
группировке. В том же направлении действовало развитие ремесел торговли.
Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно
сказать, когда рядом с соревнованиями по бегу, метанию диска, прыжках
появились игры, которые нуждались в первую очередь в умении
рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника.
43
Комбинаторика в Египте
Среди предметов, положенных в пирамиду, где 35 веков назад был
похоронен египетский фараон Тутанхамон, нашли расчерченную дощечку с
тремя горизонталями и 10 вертикалями и фигурки для древней игры «сенет»,
о правилах которой мы, возможно, никогда не узнаем . Впоследствии
появились нарды, шашки и шахматы, а также их различные варианты
(китайские и японские шахматы, японские облавные шашки «го» и др.). В
каждой из этих игр приходилось рассматривать различные комбинации
фигур, имевших способность передвигаться, и выигрывал тот, кто их лучше
изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышей.
Конечно, в этот период никто и не догадывался о науке, которая
рассматривает решение комбинаторных задач.
Комбинаторика в Китае
Первое упоминание о вопросах, близких к комбинаторным, встречается
в китайских рукописях, относящихся к XII-XIII вв. до н. э. В этих книгах
44
написано, что все в мире является сочетанием двух начал - мужского и
женского, которые авторы обозначали символами «инь» и «янь». В рукописи
«Же-ким» («Книга перемен») показаны различные соединения этих знаков по
два и по три. Восемь рисунков из трех рядов символов отражали землю,
горы, воду, ветер, грозу, огонь, облака и небо. Сумма первых 8 натуральных
чисел (то есть число 36) воплощала в воображении древних китайцев весь
мир. Впоследствии возникла потребность выразить и другие элементы с
помощью знаков «инь» и «янь». Были составлены 64 фигуры, состоящие из
пяти рядов черточек.
В рукописи «Же-ким» есть и более сложные рисунки. Как утверждает
легенда, император Ию, живший примерно 4000 лет назад, увидел на берегу
реки священную черепаху, на панцире которой был изображен рисунок из
белых и черных кружков. Если заменить каждую фигуру соответствующим
числом, появляется такая таблица, где при добавлении чисел в каждой
строке, столбике и по диагонали получим одно и то же число 15.
Комбинаторика в Древней Греции
Конкретные комбинаторные задачи, которые касались пересчета
небольших групп предметов, греки решали без ошибок. Аристотель описал
без пропусков все виды правильных трехчленных силогизмов, а его ученик
Аристоксен из Тарента перечислил разнообразные комбинации долгих и
кратких слогов в стихотворных размерах. Математик Папп (IV в. Н.э.)
рассматривал число пар и троек, которые можно получить из трех элементов.
Наверное, у греческих ученых были какие-то неизвестные нам, правила
комбинаторных рассчетов, которые скорее всего были неверными. Схоласт
Раймонд Люлли создал в ХVIII ст. машину, которая состояла из нескольких
кругов, на которые были нанесены основные предикаты, субъекты, атрибуты
и другие понятия схоластической логики. Вращая эти круги, он получал
различные совмещения понятий и надеялся получить с их помощью истину.
45
Комбинаторика в странах Востока
В VIII в. н. э. начался расцвет арабской науки. Арабы перевели много
произведений греческих ученых, изучили их, а затем достигли успехов в
науке
о
решении
уравнений
(само
слово
«алгебра»
-
арабского
происхождения), теории и практике вычислений. Решая вопрос о нахождении
корней любой степени, арабские алгебраисты вывели формулу для степени
суммы
двух
чисел,
которая
известна
под
не
совсем
правильным
историческим названием «бином Ньютона». Наверное, именно эту формулу
знал поэт и математик Омар Хайям (XI-XII вв. Н.э.).
Работы Паскаля и Ферма дали толчок для рождения двух новых ветвей
математической науки - комбинаторики и теории вероятностей. Если до них
комбинаторные проблемы затрагивались в общих трудах по астрологии,
логике и математике, что в значительной мере считалось математическим
развлечением, то уже в 1666 г. Готтфрид Вильгельм Лейбниц публикует
«Диссертацию о комбинаторном искусстве», в которой впервые появился
термин «комбинаторика». Проекты Лейбница казались невыполнимыми
тогдашним математикам, но теперь, после создания ЭВМ, много планов
Лейбница начали воплощаться в жизнь, а дискретная математика выросла
настолько, что смогла вступить в спор с классическим математическим
анализом.
В 1713 г. была опубликована книга «Искусство предположений» Якоба
Бернулли, в которой указывались формулы для числа размещений из с n
элементов по k, выводились выражение для степенных сумм и т.п.
Замечательные достижения в области комбинаторики принадлежат одному
из крупнейших математиков XVIII в. Леонарду Эйлеру, швейцарцу,
проживший почти всю жизнь в России, где был членом Петербургской
академии наук. Основная часть научной работы Эйлера посвящена
математическому анализу, в котором он проложил новые пути, создал целый
ряд новых областей.
46
После работ Паскаля и Ферма, Лейбница и Эйлера можно было уже
говорить о комбинаторике как об отдельной, самостоятельную ветви
математики, тесно связанной с другими областями науки, такими, как теория
вероятностей, учение о рядах т.д. В конце XVII в. немецкий ученый
Гинденбург и его ученики сделали попытку построить общую теорию
комбинаторного анализа. Однако она не имела успеха - в то время еще не
было накоплено достаточного количества важных и интересных задач,
которые могли бы дать необходимый фундамент для такой теории.
III. Актуализация опорных знаний.
Технология« Продолжите предложение ».
На доске написано задание, учащиеся на выбор учителя подходят и
дописывают ответ.
Х={0, 2, 3, 4, 7.}
У={2, 4, 7, 9, 14.}
ХпУ = ........
їиУ = ........
Х\У = ...................
У\Х = ..................
Технология «Мозаика».
На доске изображена схема. Ученик получает выражения на листах, ему
нужно составить правило выбора формулы для решения задач по
комбинаторике
4. Просмотр проекта «Интересная комбинаторика».
47
Ориентировочный опорный конспект проекта
Профессор Отто Лиденброк - главный герой романа Жюля Верна
«Путешествие к центру земли», в букинистической лавке попал на
манускрипт XIII в., написанный руническим письмом. (Руны - письменные
знаки, употреблявшиеся в средневековье и, по легенде, были изобретены
самим Одином - верховным богом в исландской мифологии). Но
заинтересовала Отто записка, оставленная в этой книге ее бывшим
владельцем, знаменитым алхимиком XVII в. Анре Сакнуссемом. Сомнений
не было: в записке говорилось о каком-то великом открытии. И хотя запись
была сделана хорошо известным профессору руническим письмом, однако
прочитать его не удалось. Сообщение было зашифровано. Прочитать его
можно было лишь двумя способами: либо рассмотреть все варианты
размещения 20 рунических знаков, или найти ключ к шифру. Как вы думаете,
каким способом Отто Лиденброк прочитал записку?
Его ассистент Аксель подсчитал, что переставлять рунические знаки
профессору пришлось бы 2 32 902 008 176 640 000 раз. (В. А. Тадеев
«Неформальная математика» Тернополь, 2003).Комбинаторика позволила
прочитать и крито-микенское линейное письмо. Первые надежные основы
расшифровки этой письменности заложила Алиса Д. Кобер, которая
защитила в 1932 г. докторскую диссертацию по математике в Колумбийском
университете. Рядом с исследованиями по чистой математике, она много
усилий приложила к расшифровке древних письменностей. Изучив знаки
критского письма, Алиса установила, что это письмо состоит из складов.
Кобер получила координатную сетку, в которой вместо осей координат
стояли номера гласных и согласных букв. В этой сети был только один
недостаток - никто не знал, какие именно гласные и согласные формируют
эту
систему
координат.
Лишь
через
два
года
после
смерти
исследовательницы молодой английский архитектор Майкл Вентрис,
расширяя ее координатную сетку, попытался угадать значение некоторых
гласных (число гласных меньше числа согласных). Одна из попыток
48
закончилась удачно - текст заговорил на языке, напоминающем греческий.
Но это не был классический греческий язык «Илиады» и «Одиссеи», а
греческий язык более ранней эпохи. Вентрису помог завершить расшифровку
выдающийся знаток раннего греческого языка Чедвик. Используя имена
царей и списки географических названий, исследователи расшифровывали
один состав за другим. А потом началась быстрая расшифровка - три десятка
знаков получили свое значение. Это был полный триумф комбинаторного
подхода.
Не только азартные игры побудили математиков к комбинаторным
размышлениям. Еще с древних времен дипломаты, практиковали тайную
переписку, изобретали все более сложные шифры, а секретные службы
других государств пытались эти шифры разгадать. Одним из простейших
шифров была «тарабарская грамота», в которой буквы заменялись другими
по определенным правилам. Однако такие шифры легко разгадывались по
характерным
сочетаниям
букв.
Поэтому
стали
применять
шифры,
основанные на комбинаторных методах, например, на разных перестановках
букв, замена букв с использованием ключевых слов и т.д. Для кодирования и
расшифровки привлекались математики. Еще в конце XVI в. расшифровкой
переписки между врагами французского короля Генриха III с испанцами
занимался один из создателей современной алгебры Франсуа Виет. А в
Англии XVII в. монархические заговорщики удивлялись скорости, с которой
Кромвель разгадывал их задумы. Монархисты считали шифры, которыми
они пользовались в переписке, нерасшифрованными, и считали, что ключи к
ним были выданы кем-то из участников мятежа. И только после падения
республики и царствования Карла II они узнали, что все их шифры
разгадывал один из лучших английских математиков того времени,
профессор
Оксфордского
университета
Уоллис,
который
имел
исключительный комбинаторный талант. Он назвал себя основателем новой
науки «криптографии». Шифрами пользовались не только дипломаты и
мятежники, но и сами ученые. До 17 в. Почти не существовало научных
49
журналов. Ученые узнавали о достижениях своих коллег из книг или частных
писем. Это создавало большие трудности при опубликовании новых
результатов - ведь издание книг занимало годы, а написать о своих
открытиях в письме было рискованно – кто-нибудь мог присвоить
изобретение. Поэтому между учеными часто возникали споры на тему
преимуществ. Еще в конце XVII в. шли долгие споры.
В древности Архимеду приходилось хитрить. Когда некоторые
александрийские ученые присваивали себе его результаты, описанные в
письмах, он писал им еще одно письмо, состоящее из формул для
вычислений объемов и площадей различных фигур и тел. Ученые
утверждали, что эти формулы им давно известны и ничего нового Архимед
им не сообщил. Но тут выяснялось, что все эти формулы неверны. Для того,
чтобы обеспечить приоритет и не допустить преждевременной огласки
полученных результатов, ученые в краткой форме формулировали суть
открытия,
а
потом
переставляли
буквы
и
отправляли
письма
с
переставленными буквами своим коллегам. Такие тексты с переставленными
буквами назывались анаграммами. Навыки в разгадке сложных шифров
помогли ученым, когда археологи начали находить камни и черепа с
тайными знаками. Одним из крупнейших успехов в расшифровке было
прочтение французским филологом Жаном Франсуа Шамполем иероглифов,
которыми писали египтяне еще до того, как возникла наука у древних греков.
Технология «Лото».
На доске лист бумаги с ответами. Учащимся раздают на листах задачи с
операциями над, соединениями, которые написаны с одной стороны листа и с
элементами рисунка с другой стороны. Решив задачу, ученик наклеивает
свой элемент рисунка на место, где написан его ответ. В результате
школьники
получают
полный
правильном решении задачи.
рисунок,
который
свидетельствует
о
50
Задание
а)
б)
1
Р𝑛+1
−
1
Ответ:
Р𝑛+2
𝐴415 +𝐴54
𝑛!(𝑛+2)
Ответ: 100
𝐴315
3
2𝑛−1
в) ∙ 𝐶2𝑛
Ответ: 6
𝑛
г)
1
𝑃𝑛+1
Ответ: 5
𝑃𝑛−1
д) 𝐴4𝑥 = 90𝑥(𝑥 − 1)
Ответ: 12
е) 𝐶𝑥𝑥−2 = 45
Ответ: 10
Просмотр проекта «Применение комбинаторики».
Ориентировочный опорный конспект проекта
Комбинаторика
-
важный
раздел
математики,
знание
которого
необходимо работникам различных специальностей. С комбинаторными
задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам, лингвистам,
специалистам по кодам и т.п.. Комбинаторные методы лежат в основе
решения многих задач теории вероятностей и ее приложений.
Комбинаторика в биологии
Сложность строения биологических систем, их строгая иерархичность,
взаимосоединение отдельных процессов в целом организме делают биологию
пригодной для применения комбинаторных методов. Советский биолог А. А.
Любищев предполагал даже, что схожесть растений и морозных узоров на
окнах не случайна - в обоих случаях проявляются определенные законы
комбинирования частей в одно целое. Когда биологи начали изучать
передачу генетической информации у бактерий, то заметили, что в процессе
этой передачи хромосомы переходят от одной бактерии к другой не
полностью. Они надеялись, изучая части которые перешли из одной бактерии
к другой, определить порядок размещения генов в хромосоме. Но карты
хромосом, составленные в разных лабораториях, были непохожимы друг на
друга. Однако, детально сравнив полученные карты, французские ученые
51
Жакоб и Вальмон заметили их
комбинаторное
сходство.
Оказалось, что все эти карты были
частями
одного
кольца
-
хромосомы бактерий оказывались
свернутыми в кольца, которые
перед
переходом
в
другую
бактерию разрываются, после чего
к одному концу прикрепляется
фактор,
который
перетягивает
хромосому из одной бактерии к
другой. А так как разорваться
кольцо могло в любом месте, а фактор мог прикрепиться к любому концу, то
и возникало много разных карт, которые запутывали картину.
Одной из наиболее сложных загадок
в биологии XX в. было строение «нитей
жизни» - молекул белка и нуклеиновых
кислот. Оказалось, что молекулы белка это объединение нескольких длинных
цепей, состоявших из 20 аминокислот.
Сочетая комбинаторные разбирательства
с изучением рентгеновских снимков,
ученым
удалось
разгадать
строение
многих белков, в том числе гемоглобина,
инсулина
и
т.д.
Достижением
комбинаторного подхода к проявлениям
жизни
можно
считать
расшифровку
строения дезоксерибонуклеиновой кислоты (ДНК), сделанную в Кембридже
Ф. Криком и Дж. Уотсоном в 1953 г.
52
Комбинаторика в химии
17 февраля 1869 из хаоса химических элементов, каждый из которых
имел свои свойства, возникла таблица - был открыт периодический закон.
Это
открытие
было
сделано
Дмитрием
Ивановичем
Менделеевым,
профессором Петербургского университета. Готовя курс лекций по общей
химии, он задумался над порядком, в котором нужно было рассказывать об
элементах. Как писал впоследствии сам ученый, «искать что-то, хотя бы
грибы, или какую-то зависимость, можно, как смотря и пробуя». Для того,
чтобы «смотреть и пробовать», он начал подбирать, написав на отдельных
карточках, названия элементов с их атомными массами и свойствами данного
элемента, похожие элементы и атомные массы. Раскладывая свой
химический пасьянс, великий ученый после напряженных раздумий нашел
правильное размещение элементов. Говорят, что конечный вид таблицы
предстал перед ним во сне, когда, утомленный непрерывной работой над ней,
он прилег отдохнуть. Поражает, что открытие было сделано Менделеевым за
один день - утром 17 февраля 1869 он еще и не начинал раскладывать свой
пасьянс, а к вечеру того же дня таблица была готова.
В
физике
комбинаторика
является
необходимой
при
особенностей кристаллов, описания модели ферромагнетизма т.д..
изучении
53
Комбинаторика эпохи компьютеров
В нашу эпоху комбинаторика из области, которая интересовала прежде
всего лишь отдельных авторов задач и находила применение в кодировке и
расшифровке древних письменностей, превратилась в область, находящуюся
на магистральном пути развития науки. Шифрование, кодирование,
дешифрование письменной информации - важное, но не единственное
применение комбинаторики. Кодами являются также государственные
номерные знаки, штрих-коды. Целенаправленный выбор «разных возможных
вариантов» необходим для составления расписания движения транспорта,
расписания занятий в школе, а еще как аппарат для решения задач теории
вероятности.
Проверка умений и навыков решения решать задачи по данной теме.
Самостоятельная работа (5 мин).
Учитель раздает задачи на листах. 1 вариант - ученик выбирает и решает
только задачу на размещение, 2 вариант - ученик выбирает и решает только
задачу на комбинацию.
1 вариант
1. В группе есть 10 человек. Сколькими способами можно выбрать 5 из
них для экскурсии?
2. Сколькими способами можно выбрать старосту и заместителя, если в
классе 25 учеников?
3. Сколькими способами можно построить шеренгу из 5 человек.
2 вариант
1. Сколькими способами можно расставить 6 стульев вокруг стола?
54
2. Сколькими способами можно выбрать инструктора и старшего
инструктора из 30 человек?
3. Сколькими способами можно выбрать 2 дежурных из 25 человек