Сложность порядковых правил коллективного выбора

Сложность порядковых правил коллективного выбора
Веселова Ю.А.1
Правила коллективного выбора – процедуры принятия решений, учитывающие
мнение множества агентов. В связи с развитием компьютерных технологий область
коллективного выбора приобретает все большее значение в задачах автоматического
агрегирования большого количества предпочтений, таких как электронные голосования,
построения рейтингов, упорядочение ссылок в поисковых и рекомендательных системах и
т.д. При этом как число альтернатив, так и число агентов может быть очень большим, что
может быть значительным препятствием для применения того или иного правила
ранжирования в силу большой вычислительной сложности. Поэтому аналитическое
исследование свойств правил коллективного выбора, а также оценка сложности процедур
имеет сегодня большую актуальность.
В работе мы рассматриваем алгебраические свойства правил коллективного
выбора, основанных сумме взвешенных рангов и лексикографическом сравнении. К числу
процедур, основанных на ранге, или порядковых, относятся правила простого
большинства, правило одобряющего голосования, правило Борда. Все перечисленные
процедуры упорядочивают альтернативы согласно сумме взвешенных рангов от
максимальной до минимальной. Отличие их друг от друга заключается лишь в векторе
весов различных рангов. Лексикографическое сравнение используется в процедуре
порогового агрегирования. В работе дан теоретический анализ свойств как уже известных,
так и новых правил. На основе математической модели порядковых правил коллективного
выбора мы исследуем вычислительную сложность процедур, манипулируемость и долю
однозначного и многозначного выбора процедуры.
Пусть X - множество альтернатив, | X | 2 , N  {1, 2,..., n} - множество избирателей.
Каждый избиратель каждой альтернативе дает некоторую оценку из множества
M  {1, 2,..., m} оценок, такую функцию оценивания мы обозначим за E : X  N  M .
Считаем, что чем выше оценка, данная альтернативе, тем больше избиратель ее ценит.
Теперь для каждой альтернативы x  X определим вектор v ( x ) , j -ый элемент которого,
v j ( x) , будет равен количеству избирателей, давших альтернативе x оценку j . Множество
всех возможных векторов оценок может быть упорядочено лексикографически
следующим образом. Если существует номер i такой, что для каждого 1  j  i  1
НИУ ВШЭ, Кафедра высшей математики на факультете экономики, Международная лаборатория анализа
и выбора решений.
E-mail: yul-r@mail.ru
1
выполнено v j ( x)  v j ( y ) и vi ( x)  vi ( y ) , то v( x)Lv( y ) , то есть v ( x ) лексикографически
доминирует v( y ) . Такое отношение задает на множестве всех возможных векторов оценок
линейный порядок, т.е. сравнимы все неодинаковые векторы. Согласно правилу
порогового агрегирования (Aleskerov et al, 2010), альтернатива
x
доминирует
альтернативу y , если v( x)Lv( y ) . В то же время, если две альтернативы имеют одинаковые
позиции в предпочтениях с точностью до перестановки избирателей, то они будут иметь и
одинаковые векторы оценок. Следовательно, на множестве альтернатив заданное таким
образом отношение задает слабый порядок. Классы эквивалентности в данном случае –
множества альтернатив с одинаковыми векторными оценками.
Теперь
рассмотрим
формальное
описание
правил
коллективного
выбора,
основанных на сумме взвешенных рангов, рассмотренное в (Saari, 2000) Для этого нам
остается определить способ задания вектора весов рангов. В правиле простого
большинства
учитываются
только
альтернативы,
стоящие
на
первом
месте
в
предпочтениях избирателей, т.е. те их них, которые получают максимальные оценки.
Следовательно, вес всех оценок, кроме наивысшей, будет нулевым. Нормируя сумму
весов к единице, получим следующий вектор wPL  (0, 0,...,1) . Для правила одобряющего
голосования с квотой q важны только альтернативы, которые находятся среди q лучших
альтернатив в предпочтениях избирателей, при этом вес всех q наилучших оценок
одинаков, поэтому нормированным вектором весов для данного правила будет
wAV  (0,..., 0,1/ q,...,1/ q) .
q
По правилу Борда за каждую оценку m альтернатива получает m 1 баллов, за
каждую оценку m 1 получает m  2 баллов, и т.д. вес j -ой оценки равен j  1 .
Следовательно, нормированный вектор весов рангов будет

2
4
2
wB   0,
,
,...,  .
m
 m(m  1) m(m  1)
Далее вектор оценок альтернативы скалярно умножается на вектор весов оценок
для соответствующего правила W ( x)  v( x), w . Альтернативы упорядочиваются согласно
полученным значениям W ( x ) , т.е. варианты с большим значением W ( x ) доминируют
варианты с меньшим значением.
Для
таких
несравнимости
правил
вариантов.
коллективного
Так,
по
выбора
правилу
также
простого
существует
проблема
большинства
окажутся
несравнимыми альтернативы, имеющие одинаковое количество наивысших оценок. Если
рассматривать множество всех возможных векторов оценок, то эквивалентными будет
считать те их них, которые дают одно и то же значение W ( x ) . Таким образом, мы
получаем разбиение множества векторов оценок на непересекающиеся подмножества –
классы эквивалентности. Количество таких классов для правила Борда, например,
n( m  1) .
Несравнимые по правилу порогового агрегирования альтернативы остаются
несравнимыми по правилу Борда, но не наоборот. Поэтому мы можем применить
процедуру лексикографического сравнения векторов оценок для несравнимых по Борда
вариантов. Мы находим количество и мощность классов эквивалентности по взвешенной
сумме для семейства порядковых правил коллективного выбора, количество классов
эквивалентности по лексикографическому сравнению. На основании результатов
исследуется проблема агрегирования большого количества информации, с m  100 и
n  100 , дается оценка вычислительной сложности процедуры. Обсуждается вопрос
влияния изменения индивидуальных предпочтений на результат агрегирования и
связанная с ним задача оценки манипулируемости правила.
Литература
1. Биркгоф Г., Барти Т.К. (2005), “Современная прикладная алгебра”, перевод с
английского Ю.И.Манина, издательство “Лань”, Санкт-Петербург.
2. Кофман А. (1975), «Введение в прикладную комбинаторику», Главная редакция
физико-математической литературы изд-ва “Наука”.
3. Aleskerov F, Chistyakov V, Kalyagin V. (2010), “Social threshold aggregations”, Social
Choice Welfare Vol. 35: 627–646.
4. Gehrlein W.V., Lepelley D., (2011), “Voting Paradoxes and Group Coherence”, SpringerVerlag Berlin Heidelberg.
5. Saari, D.G. (2000), “Mathematical structure of voting paradoxes II: positional voting”,
Journal of Economic Theory Vol. 15: 55-101.
6. Young, H.P. (1974), “Axiomatization of Borda’s rule”, Journal of Economic Theory, Vol. 9:
43-52.