Энергия электрического поля в диэлектриках.

Российский Государственный Университет нефти и газа им. И.М.Губкина
Кафедра физики.
г. Москва, 2003 г.
_______________________________________
“Электростатика диэлектриков”.
Составил: И.А. Ушаков, гр. ГИ-015
Диэлектрики - тела, плохо проводящие ток. В диэлектриках в отличие от
проводников практически нет свободных зарядов, способных перемещаться на
значительные расстояния по всему объему тела.
Диэлектрики состоят либо из нейтральных молекул (к такому типу диэлектриков
относят все газовые диэлектрики, жидкие диэлектрики, а также часть твердых), либо из
заряженных ионов, размещенных в узлах кристаллической решетки в определенных
положениях равновесия. Ионные решетки могут быть разбиты на элементарные ячейки,
каждая из которых содержит равное количество положительных и отрицательных зарядов
и в целом нейтральна. Таким образом, в целом можно определить диэлектрик как
вещество, построенное из нейтральных молекул, причем в случае ионной решетки под
нейтральной молекулой следует понимать элементарную ячейку.
Под воздействием внешнего электрического поля заряды, входящие в состав
диэлектрика не срываются полем со своих мест, образуя электрический ток, а лишь
смещаются на незначительные расстояния в некоторые новые равновесные положения.
Поскольку равнодействующая электрических сил однородного электрического поля
на нейтральную молекулу равна нулю, центр тяжести молекулы в этом поле остается
неподвижным. Но в молекуле диэлектрика существуют частицы противоположных
знаков, на них по отдельности действует электрическое поле, и они смещаются в
противоположные стороны, вследствие этого молекула деформируется.
Т.о. для определения воздействия внешнего поля на диэлектрик требуется сначала
найти качественную характеристику распределения зарядов в нейтральной молекуле.
Вектор электрического момента нейтральной системы зарядов.
Этой
характеристикой
является
вектор
электрического момента системы, который обозначается p
и определяется как сумма всех элементарных зарядов ei,
входящих в систему, умноженных на соответствующие
радиус-векторы Ri , проведенные из некоторой
произвольной точки O:
p   ei R i
i
При этом предполагается, что система зарядов
e
i
0
электрически нейтральна, i
.
Лишь при этом условии значение вектора p не зависит от выбора начальной точки и
определяется однозначно распределением зарядов. Докажем это.
Переместив начало отсчета из т.O в т.О' на некоторый отрезок a мы получим новый
радиус-вектор заряда ei , который можно записать как разность R'i =Ri – a. Следовательно,
вектор p запишется в виде:
p   e i R i   e i R i  a  e i
i
Но т.к.
e
i
i
0
, то
i
p   ei R i
i
.
Если система состоит из двух равных и
противоположных по знаку зарядов e, радиусвекторы которых равны R+ и R- ,электрический
момент системы этих двух зарядов равен
соответственно:
p   ei R i  e(R   R  )  e l
i
где l – плечо диполя.
Важность понятия электрического момента системы зарядов обусловлена тем, что
потенциал поля , возбуждаемый произвольной, в целом нейтральной системой зарядов
момента p, на расстояниях, больших по сравнению с размерами самой системы, совпадает
с величиной потенциала диполя того же момента p. Т.е. при рассмотрении модели
диэлектрика как системы, состоящей из совокупности вцелом нейтральных подсистем
данное утверждение значительно облегчает подсчет потенциала, создаваемого
диэлектриком.
Вектор поляризации диэлектриков P.
Для характеристики диэлектрика в целом используют характеристику
макроскопического объема диэлектрика - поляризованность, или вектор поляризации
P.
Проведем опыт.
Поднесем к шарику заряженного электроскопа С
нейтральный диэлектрик АВ. Стрелка электроскопа отклонится.
Это произошло из-за того, что заряд шарика С возбудил на конце
диэлектрика А заряд, противоположный заряду С, а на конце
диэлектрика В – того же знака, что и заряд С. Эти заряды
оттягивают часть зарядов со стрелки и стержня электроскопа на
шарик, стрелка отклоняется.
Мысленно разделим заряды , индуцированные в
диэлектрике. Пусть диэлектрик состоит из двух половин А и
В, соприкасающихся между собой. Если вприсутствии
заряженного электроскопа их разъединить, а затем убрать
или разрядить электроскоп, то обе эти части окажутся
разряженными. Этот опыт свидетельствует о том, что заряды в диэлектрике могут
смещаться из своих положений равновесия лишь на малые расстояния, порядка атомных.
Допустим, диэлектрик состоит из электрически нейтральных молекул.
В присутствии внешнего электрического поля центры тяжести электронов
смещаются из положений равновесия относительно центра тяжести атомных ядер.
Молекулы становятся электрическими диполями, ориентированными по направлению
приложенного электрического поля, т.е. диэлектрик становится поляризован.
Под поляризованностью диэлектрика понимают электрический момент системы в
единице объема P   ei R i , причем сумма берется по всем зарядам: электронам и
атомным ядрам, находящимся в данном объеме V. Если диэлектрик состоит из множества
нейтральных молекул, просуммировать следует сначала заряды, входящие в отдельные
молекулы, что даст электрические моменты отдельных молекул pi, далее следует
просуммировать полученные моменты по всем этим молекулам, т.о. поляризованность
определяется векторной суммой электрических моментов молекул, находящихся в объеме
диэлектрика: P   p .
i
В случае ионного кристаллического диэлектрика эта формула применима с
незначительной поправкой: под моментами отдельных молекул здесь следует понимать
элементарные ячейки этой кристаллической решетки. Хотя разбиение кристалла на эти
ячейки и неоднозначно, результат имеет вполне определенное значение.
Если поляризация неравномерна, значение вектора P в данной точке нужно
определить как отношение электрического момента диэлектрика к величине этого
ei R i  p

dV
P
 dV
dV
dV , где суммирование ведется по всем зарядам,
элемента dV , т.е.
находящимся в объеме dV.
В отсутствие внешних полей поляризация P диэлектрика равна нулю, т.к.
электрические моменты отдельных молекул в этом случае расположены беспорядочно и в
сумме дают ноль. При наличии же электрического поля, как было доказано опытами,
поляризация прямопропорциональна напряженности E прилагаемого поля:
P=E
Коэффициент носит название поляризуемости диэлектрика и характеризует
свойства данного вещества.
В изотропных диэлектриках вектор P может быть направлен только по
единственному выделенному направлению поля E (т.к. положительрные заряды при
поляризации смещаются по направлению поля, и вектор электрического момента
направлен от отрицательных зарядов к положительным), т.е. вектор P  E .
Окончательно, в векторной форме получаем:
P=E
В анизотропных средах направление вектора P не совпадает с направлением вектора
E . Величина вектора P в этом случае зависит не только от абсолютной величины вектора
E , но и от его направления к кристаллографическим осям диэлектрика, однако связь
между векторами E и P все же остается линейной:
Px  ε0 11Ex  12 Ey  13 Ez 

Px  ε0  21Ex   22 Ey   23 Ez 
Px  ε  Ex   Ey   Ez 
0
31
32
33

значения  зависят от ориентации осей x, y, z по отношению к ориентации
кристаллографических осей. Следует отметить, что линейная связь между поляризацией и
напряженностью используется только в линейной электродинамике. Уже известно, что эта
связь может быть нелинейной, например при высокой поляризуемости у
сегнетоэлектриков, лазеров и плазмы.
Потенциал поля при наличии в нем диэлектрика.
Для начала рассмотрим потенциал системы зарядов в произвольной точке поля:
По определению потенциал системы зарядов в произвольной
точке поля P равен:
ei
1


4πε 0 i R i
где R'i – расстояние между точкой P и зарядом ei.
Возьмем внутри области расположения зарядов ei
произвольную точку O – условный центр системы и тогда R0
и Ri – расстояния соответственно до заряда и до точки P.
R'i = R0 - Ri
(R'i)2 = (R0)2 –2R0Ri+ (Ri)2
 2 R 0 R i R i 2
1
 R 01 1 
 2
R i
R 02
R0






1
2

1
R0
 R0 Ri

1 
 
2

R0


Если Ri << R0 то, ограничившись в разложении лишь первыми двумя членами ряда,
получим:
1  ei
1 R0


 ei R i
4 0 R0
4 0 R03
Но т.к.

e
1 R0
4 0 R03
0
i
(система электрически нейтральна) ,получаем, что
i
e R
i
i

1 pR 0
4 0 R03 , что совпадает с потенциалом поля диполя.
Потенциал электростатического поля при наличии в нем диэлектриков равен
сумме потенциала, возбуждаемого связанными , и свободными зарядами .
Потенциал свободных зарядов определяется интегрированием по объему и по
поверхности соответственно отношений объемной и поверхностной плотностей
свободных зарядов тела к расстоянию до точки, в которой измеряется потенциал:
1
dV
1
dS



40 V R
40 S R
Потенциал же поля связанных зарядов определяется вектором поляризации
диэлектрика. Если рассмотреть нейтральный dV диэлектрика, то его d согласно
предыдущим рассуждениям будет равен потенциалу поля диполя, т.е.
1 PR
d 
dV
40 R 3
1
PR
 
dV

40 V R 3
0 
Таким образом результирующий потенциал диэлектрика в электростатическом поле
запишется в виде:
1
PR
  0 
dV

40 V R 3
Преобразуем эти выражения по формулам векторного анализа:
 a dS   div adV
n
- теорема Гаусса
(ab)=ab+ba
V
1
1
1 R
 
 
 
q  R  =gradq  R  = - grada  R  = R 3 , где q значит, что при дифференцировании
радиус-вектора R он рассматривается как функция положения его начальной точки, в
данном случае эта точка совпадает с dV.
PR
1
P 1
 P grad q    div q    div P
3
R
R 
R  R
1
div P
1
P
  0 
dV 
div q  dV


40 V R
40
R
  0 
1
div P
1
dV 

40 V R
40
Pn
dS
R
S  S1

по
теореме
Гаусса
где второй интеграл берется по двум поверхностям : S и S1 где соответственно это
поверхность данного объема V и поверхности выделенные как поверхности разрыва
вектора P.
Т.о. вычисляя этот интеграл получим, что интеграл по поверхности S обратится в
нуль, а интеграл по поверхности S1! сведется к интегралу по поверхности S1 :
P1n  P2 n
S R dS
1
где P1n и P2n – проэкции на соответствующие нормали вектора поляризации.
Если ввести обозначения : -divP=связн и –(P2n-P1n)=связн , можно окончательно
записать выражение потенциала :
 связн
 связн
(   связн )
(   связн )
1
1
1
1
  0 
dV 
dS 
dV 
dS




40 V R
40 S R
40 V
R
40 S
R
Таким образом становится очевидным, что поле при
наличии в нем диэлектрика складывается из поля свободных
зарядов и связанных зарядов диэлектрика.
На рисунке изображен диэлектрик, помещенный во
внешнее
поле.
Молекулы
изображены
кружками.
Положительно заряженная часть молекулы закрашена в
черный цвет, отрицательная часть – в белый. Как видно из
рисунка, молекулы в целом нейтральны. На конце АВ
диэлектрика выступают нескомпенсированные отрицательные заряды, на СD –
положительные поверхностные заряды. На рисунке изображены нескомпенсированные
заряды только на краях диэлектрика, внутри диэлектрика нет таких зарядов. В общем
случае это не совсем верно,т.к. поляризация диэлектрика далеко не всегда однородна, т.е.
компенсация зарядов внутри диэлектрика не происходит,и в диэлектрике появляются
связанные заряды.
Вектор электрического смещения. Диэлектрическая проницаемость.
Система уравнений электростатического поля.
Если исходя из известных соотношений между напряженностью и потенциалом, и
помня уравнение Пуассона, провести аналогию между полученным потенциалом и
данными уравнениями векторного анализа, можно записать основные дифференциальные
уравнения электростатического поля в произвольной среде:
 2  
(   св язн )
0
div E   2 
 div P
div E  
0
0
Для удобства введем в рассмотрение вектор электрического смещения D , который
удобен не только для вычислений, но и для графического изображения электрического
поля, поскольку они не обрываются на границе с диэлектриком.Он определяется по
формуле и дополняет систему уравнений:
D=E+P
divD=
D=E+E=(1+)E,
где 1+коэффициент пропорциональности между электрическим смещением и
напряженностью называемый диэлектрической проницаемостью диэлектрика.
Записав теорему Гаусса, взяв поверхностную дивергенцию, в пределе получим:
Div D=D2n-D1n=
Таким образом мы получили полную систему уравнений электростатического
поля в произвольной среде в дифференциальной форме:
E   grad
D   E


div D  
 D2 n  D1n  
Это значит, что если заданы значения плотности свободных зарядов и то
системой этих уравнений однозначно определяются значения  , E и D, т.е. однозначно
определяется электрическое поле. И обратно, если заданы значения ,напряженности поля
E ( или потенциала или электрического смещения D), в каждой точке пространства
однозначно определяется распределение свободных зарядов и 
Однородная диэлектрическая среда. Обобщенный закон Кулона.
Рассмотрим простейший случай диэлектрической среды, где все поле заполнено
однородным диэлектриком. В этом случае const, const и могут быть вынесены за знак
производной:
divD=divE=divE=

divE=-  2= 0
Это значит, что при заданном распределении свободных зарядов потенциал и
напряженность в однородном диэлектрике в раз меньше напряженности и потенциала в
вакууме. Что часто бывает положено в основу всей теории диэлектриков.
Отсюда вытекают выражения для потенциала и напряженности поля в однородном
диэлектрике:

1 e
1
e
;E 
40  R
40  R 2 - обобщенный закон Кулона.
Анизотропная диэлектрическая среда.
В анизотропной диэлектрической среде (состоящей из отдельных кристаллов с
непрерывной кристаллической решеткой) линейная связь между электрическим
смещением D и напряженностью электрического поля имеет намного более сложный вид,
не сводящийся к простой пропорциональности. Наиболее просто его можно записать в
виде:
Di  D 0i   0  ik E k
где D0-постоянный вектор, а совокупность  ik - тензор второго ранга – тензор
диэлектрической
проницаемости,
который
характеризует
диэлектрическую
проницаемость в данной точке пространства. Величины, входящие в состав тензора
называются его компонентами.
Тензор  ik симметричен,т.е.  ik   ki .
Как и всякий симметричный тензор второго ранга может быть приведен к диагональному
виду путем особого выбора осей координат. В общем случае, следовательно, тензор  ik
1
2
3
определяется всего тремя значениями  ,  ,  . Все эти значения всегда больше единицы,
подобно тому как  >1 у изотропного тела.
Свободный член D0 существует далеко не во всех случаях, большинство типов
кристаллографической симметрии не допускает существования постоянного
вектора.Тогда D i   0  ik E k Наличие же его свидетельствует о том, что диэлектрик
спонтанно поляризован и в отсутствие внешнего электрического поля, но эта
поляризованность мала по сравнению с молекулярной. Такие тела называются
пироэлектрическими.
Энергия электрического поля в диэлектриках.
При перемещении как свободных зарядов в диэлектриках, так и самих диэлектриков,
силы поля совершают работу A, которая совершается за счет убыли электрической
энергии:
A=-dW
Предположим, что, например, заряд e2 остается неподвижным, а заряд e1
перемещается в поле заряда e2 из точки P1 в точку P1 .Если потенциал заряда e2 в точке P1
1 e2
40 R12 , а значение потенциала в точке P1 есть 1  d1 ,
определяется по формуле
тогда работа сил при этом перемещении равна:
A= -e1d1
A=-dW= -e1d1
1 e1e2
W=e11= 40 R12
1 
К этому же выражению для энергии прийдем, если рассматривать перемещение заряда e2 в
поле неподвижного заряда e1, или если рассматривать одновременное перемещение двух
зарядов.
1 e1
2 
40 R12 ),
Обозначая через потенциал заряда e1 в точке, занимаемой зарядом e2 (
можем записать равнозначно энергию:
1 e1e2
W=e22= 40 R12
Взаимная энергия двух зарядов запишется в симметричной форме:
1
W  (e11  e2  2 )
2
Соответственно взаимая энергия системы n зарядов равна:
1 k n
 ek  k
2 k 1
, где k – потенциал поля в точке, занимаемой зарядом ek.
Данные формулы применимы к точечным зарядам, т.е. к зарядам, размеры которых по
сравнению с расстояниями, которыми они отделены друг от друга малы. Чтобы
избавиться от этого ограничения перейдем к рассмотрению объемных и поверхностных
зарядов. Разлагая систему зарядов на совокупность элементарных зарядов dV и dS,
применяя формулу взаимной энергии системы из n зарядов, переходя к интегрированию,
получим универсальную формулу для определения энергии электрического поля как в
отсутствии диэлектриков, так и в присутствии диэлектриков:
1
1
W   dV   dS
2
2
, где в случае диэлектрика и плотности свободных зарядов.
Влияние диэлектрика сказывается в том, что при одном и том же распределении
свободных зарядов, значение потенциала в диэлектрике в раз меньше, чем в вакууме.
Т.о. значение энергии в диэлектрике в раз меньше, чем в вакууме. Следует отметить,что
выражение энергии является одним из постулатов макроскопической теории поля,
следствия из которого оправдываются на опытах.
W 
Считаясь с принципами теории близкодействия, энергию следует считать
распределенной по некоторому объему, в котором поле не равно нулю, с некоторой
объемной плотностью w.
Следовательно подинтегральное выражение одного из интегралов можно представить в
виде:
  div D  div ( D)  D grad  div ( D)  DE , откуда на основании теоремы Гаусса,
имеем:
1
1
1
1
1
dV   DE dV   div ( D)dV   DE dV   Dn dS

2
2
2
2
2 S1  S1
, где S1 и S 1 - поверхность
соответственно ограничивающая объем V и поверхность разрыва нормальной
составляющей вектора D.
Предположим, что хотя вектор D и остается
непрерывным, все же существуют отдельные поверхности
разрыва в объеме V диэлектрика, связанные с разрывом
потенциала, т.е. в некоторых частях этого объема
существуют разряженные поверхности. Пусть сначала в
диэлектрике существует одна лишь поверхность разрыва S1.
Обозначим направление нормали к ней как N. Проведем
вокруг поверхности S1 замкнутую поверхность S 1 . При этом
интеграл распадется на два интеграла: по поверхности S и S 1 .
Данные поверхности полностью учитывают неразрывность потенциала, т.к. мы не
рассматриваем двойных электрических слоев. Если условиться рассматривать полное
поле, то интеграл по поверхности S обратится в ноль. Стягивая же поверхность S 1 к
поверхности S1, получим уравнение:
1
1
1
lim  Dn dS   ( D1n  D2 n )dS    dS

S1 S1 2
2 S1
2S
S1
1
1
1
dV   DE dV   dS

2
2S
Таким образом, 2
Следовательно, энергия полного поля и объемная плотность этой энергии, при
условии обращения в ноль второго интеграла, равны:
1
DE dV
2
DE E 2
w

2
2
W
Список используемой литературы:
1. Тамм И.Е. “Основы теории электричества”, Москва, издательство “Наука”, главная
редакция физико-математической литературы, 1976 г.
2. Сивухин Д.В. “Общий курс физики. Том 3, электричество”, Москва, издательство
“Наука”, главная редакция физико-математической литературы, 1977 г.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. “Электродинамика сплошных сред”, Москва,
Государственное издательство физико-математической литературы, 1959 г.