1.

1. Цели автоматизации
Основными целями автоматизации являются:
Повышение эффективности производственного процесса.
Повышение безремонтного пробега оборудования
Повышение безопасности.
Облегчение работы персоналу;
Повышение экологии производства.
Повышение экономичности (в том числе сокращение численности).
Цели достигаются посредством решения следующих задач автоматизации технологического процесса:
Регулированием с оптимальным качеством
Обеспечения согласованного взаимодействия подсистем управления
Обеспечения гарантированного срабатывания технологических защит и блокировок
Обеспечение достоверности информации о технологическом процессе
Перенос пультов управления в места с нормальными условиями работы
Повышение времени безотказной работы оборудования
Улучшение эргономики труда операторов процесса
Организацией длительного хранения и обработке информации о процессах и аварийных ситуациях
Типовые функции Разработчика систем автоматического регулирования:
1.Постановка задачи.
2.Комплексное проектирование.
3.Заказ оборудования.
4.Шеф-монтаж оборудования на объекте.
5.Наладка и введение оборудования в эксплуатацию.
Цель подсказывает Средства.
Разные специалисты ставят высшие приоритеты разным целям и решают их разными средствами. Это субъективная
составляющая. Степень опасности и ущерба в аварийных ситуациях и требования к качеству объективно определяют
выбор средств автоматики и способы решения задач. Поэтому на практике работают сильно отличающиеся друг от
друга системы контроля и управления. Разное число работников, различная степень технологических защит и
блокировок, различный уровень автоматизации.
1.2 Основные понятия теории автоматического управления.
Любая система управления (ручного, автоматического или автоматизированного) в обязательном порядке
содержит четыре элемента (или четыре множества элементов), объединенных в замкнутый контур передачи
воздействий (см. рисунок 1.2):
- объект управления,
- датчик (датчики),
- регулирующие и исполнительные устройства,
- управляющая часть.
Значение величины технологического параметра, полученное в данный момент времени на основании измерений
датчика, называется ее измеренным значением.
Объект управления (объект регулирования) – система, выходные параметры которой должны поддерживаться
или изменяться по заданым правилам с помощью управляющих воздействий.
Физические величины, определяющие состояние технологического процесса, называются параметрами
технологического процесса. Например, температура, давление, расход, напряжение, состав и т.д. Параметры,
поведение которых контролируются датчиками, являются измеряемыми параметрами.
Параметр технологического процесса, который поддерживается нашими устройствами на заданом значении
или меняется по определенному нами закону, называется регулируемым параметром (переменной). Значение
контролируемой или регулируемой величины в данный момент времени называется мгновенным значением.
Входное воздействие (U) оно же регулирующая переменная – материальный поток, изменение которого вызывает
изменение параметра технологического процесса. Например, количество пара.
Управляемые переменные (параметры) - параметры технологического процесса, которые нужно поддерживать в
заданных границах.
Возмущающее воздействие (v) – ненаблюдаемое или неизменяемое случайное воздействие, которое изменяет
состояние объекта управления и приводит к изменению выходных параметров. Например, температура окружающей
среды или внутренние возмущения в объекте управления .
Наблюдаемые переменные (параметры) (Y)
- Измеряемые и непрерывно рассчитываемые технологические
параметры в потоках или аппаратах, которые однозначно характеризуют состояние объекта управления. Шумы
измерений (Возмущение Vm) – дополнительное воздействие внешних сигналов на систему измерений,
преобразований и расчётов. Она искажают оценку протекания процессов.
Более детальное представление объекта управления:
Переменные состояния - в настоящее время процессы моделируют набором связанных между собой
дифференциальных и обычных уравнений (баланс энергии, массы, компонентов масс, сил и моментов). Состоянием
объекта называется набор всех переменных, производные которых входят в систему дифференциальных уравнений.
Представим систему контроя и управления в упрощенном виде:
Управляющая
часть
Д
ИУ
ОУ
Датчик (Д) – устройство или комплекс устройств, преобразующих измеряемый параметр технологического процесса в
вид, удобный для дальнейшей передачи и использования. Технологические параметры невозможно контролировать
(наблюдать, выводить на пульт оператора, вводить в приборы и т.д.) без промежуточных технических средств.
Например, для получения температуру
используют преобразователи, которые преобразуют сигнал
непосредсвенного измерителя в стандартные сигналы (для других приборов) или движение стрелки.
БД-сенсор Производство Чехия.
Управляющая часть содержит устройства взаимодействия с человеком, а также преобразователи выхода регулятора
в сигнал понятный исполнительному механизму (ИУ, ИМ). В регулирующих контурах используется регулятор,
управляющий исполнительным механизмом в автоматическом режиме.
Предназначение исполнительного
механизма - воздействовать на технологический процесс и изменять состояние объекта управления. На вход
исполнительного механизма обычно подается управляющий стандартный сигнал. Он превращается в движение
штока клапана или поворот заслонки. Исполнительные механизмы устанавливаются на трубопроводах сырья,
материалов или энергоносителей. Изменение этих потоков вызывает изменение состояния технологического
объекта, что используется при регулирование.
Конкретный пример контура регулирования- регулирование температуры в ходильном аппарате.
Датчик температуры установлен на выходном трубопроводе из холодильника. Регулятор, показывающий прибор,
устройство задания регулятору и преобразователь выходного сигнала регулятора (все это управляющая часть)
смонтированы на щите оператора, а исполнительный механизм (ИМ –клапан) установлен на трубопроводе холодной
воды в этот аппарат. Таков пространственное распределение этой несложной системы.
Важные дополнительные определения:
Управление – формирование управляющих воздействий (чаще всего –энергетических потоков), обеспечивающих
требуемый режим работы объекта управления (ОУ).
Регулирование – частный вид управления, когда задачей является обеспечение постоянства какой-либо выходной
величины ОУ.
Регулятор (Р) - устройство или программа, осуществляющее расчёт управляющего воздействия с целью обеспечения
требуемого режима работы.
Автоматическое управление – управление, осуществляемое без непосредственного участия человека.
Задание - Значение параметра (воздействия) указывающее его желаемую величину или закон изменения этой
регулируемой величины. Задается человеком или вышестоящей программой.
Исполнительные механизмы:
Исполнительные устройства представляют собой преобразователи. На вход механизма обычно подается стандартный
сигнал, и он превращает входной сигнал (электрический, оптический, механический, пневматический и др.) в
движение штока клапана или поворот заслонки. Исполнительные механизмы устанавливаются на трубопроводах
сырья, материалов или энергоносителей.
Заслонки регулирующие и запорно-регулирующие. Заслонка представляет собой корпус цилиндрической формы
(редко - квадратной), по внешнему виду напоминающий короткий отрезок трубы. Внутри корпуса расположена ось,
на которой закреплен затвор. Затвор движется вращательно, поворачиваясь на 90 градусов. Управление затвором
обычно осуществляется при помощи привода. При передаче движения от привода, затвор поворачивается вокруг оси,
открывая, таким образом, проход корпуса, через который проходит рабочая среда. См. рисунок Zaslоnka.
Клапана односедельные и двухседельные, в которых используется система затвор – седло. Затвор (шток)
перекрывает седло(выемка), меняя диаметр прохода для среды. См. рисунок klapan.
Управляющая часть зависит от того какую роль предусмотрена оператору процесса. Состолит из аппаратной и
програмой части. Это часть человеко машинного интерфейса (HMI). В любом случае имеет устройство (прибор) для
визуализации ( показаний значения) сигнала датчика и устройстава ввода задания.
Классы систем управления
Укажем несколько вариантов:
Вариант 1ый. Оператор анализирует ситуацию на процессе и с ручного задатчика на пульте или штурвалом на
вентиле («мартышка» в помощь) меняет положение исполнительного устройства. Например, увеличивая расход пара
на объект. Это – ручное управление. Оператор самостоятельно поддерживает нужное значение параметра. За
процессом он следит по прибору для показаний величины измеряемого параметра. Часто успользуется задатчик, то
есть устройство для дистанционного воздействия на ИУ. Обычно исполнителый механизм содержит штурвал,
встроенный в ИМ на случай отказа устройств для дистанционного управления. Такой штурвал виден на фото,
приведенном ниже. Часто выглядят грязнее, хуже и меньше по диаметру.
Вариант 2. Сигнал от датчика приходит на регулирующий прибор. Обычно такой прибор содержит устройство
показаний значения параметра. Главная часть прибора– вычислительный комплекс, аналоговый или числовой,
который по разности между требуемым значением параметра и реальным текущим значением (схема сравнения)
изменяет положения исполнительного механизма. Очень часто таким устройством является электропривод (actuator).
Это режим автоматического регулирования параметра. Оператор следит за параметром и меняет задание.
Это контур управления
Такая система –это контур автоматическое регулирование параметра. Оператор следит за поведением параметра
(по устройству для показаний значения параметра) и меняет регулятору (при необходимости) заданное значение.
Вариант 3. Система такая же, как в варианте 2, но задание задает не оператор, а другие устройства, координирующие
взаимодействие различных контуров регулирования, так называемый вышестоящий уровень. Систем втоматического
регулирования нижнего уровня может быть большое количество. Все они связаны с задающими подсистемами. Таким
образом сплетается большая сеть взхамосвязанных контуров. Получается автоматизированная система управления
технологического процесса (АСУТП). В АСУТП обычно присутствует вычислительная техника – программируемые
контроллеры и компъютеры.
Протоколы и интерфейсы в АСУТП
Мы встречали человеко машинный интерфейс. Но имеются интерфейсы взаимодействия приборов между собой.
Протоколов (правил взаимодействия) и апппаратуры с соответсвующим программным обеспечением
напридумывали и используют много: ModBus (RTU, TCP, ASCII), Profibus, Profinet, CAN, HART, DF1, DH485 и т.д. Вот эта
совокупность железа (аппаратуры) и программного обеспечения, реализующая некоторые утвежденные в мировом
масштабе правила называется Интерфейсом. Некоторые особо хитрые производители реализуют свои протоколы
поверх общепринятых.
Интерфейсами RS232 это всем знакомый COM-порт, с тремя основными проводными линиями: Tx (transmit,
передача), Rx (recieve, получение) и GND (ground, земля), действует на 35 метров. RS485 это асинхронный
последовательный интерфейс по 2 проводам (полудуплексный, сначала прием, затем передача по совмещённым
Tx/Rx+ и Tx/Rx- линиям) или 4 проводам (отдельно Tx+, Tx-, Rx+, Rx- это дуплексная связь) с разностью потенциалов на
каждой паре от 2 до 10 вольт.
Модбас это протокол с проверкой целостности пакета по чексумме (контрольная сумма), подтверждением доставки и
корректности запроса — или ответом, почему запрос неверен. В сети модбас есть два вида устройств: master —
инициирует обмен; slave — выполняет запросы мастера. Мастер всего один. Пакет от мастера расходится ко всем
слейвам, которые сравнивают адрес назначения со своим, если сходится, то смотрят следующие два байта — это
команда работы с регистрами памяти — чтение/запись (за исключением нескольких редко используемых служебных
команд), потом байты адреса и непосредственно данных, в конце чексумма. Достаточно подробно и понятно
расписано на википедии. Для реализации Модбас, Ррофибас и других выпускаются специальные преобразователи,
подключающиеся к приборам, контроллерам, компъютерам. Во многих случаях они встраиваются в приборы и
котроллеры на заводах изготовителях. Тогда завод должен поставить вместе с «желегом» и программное
обеспечение этих интерфейсов. При выборе и заказе приборов и контроллеров всегда изучайте оборудование на
наличие интерфейсов.
В АСУТП обычно присутствует вычислительная техника. Упрощенная схема АСУТП дана ниже:
Здесь ТОУ – технологический Объект Управления; ЛПР – локальные приборы регулировния;
1.3. Некоторые вопросы проектирования – изучение объекта управления.
Начинать нужно с подготовки описания технологического объекта по всем важным для приборного парка
характеристикам. При проектировании требуется обосновать и выбрать датчики, все элементы, управляющей части,
исполнителные механизмы так, чтобы части системы соответсвовали свойствам рабочей среды и была возможность
их смонтировать в требуемых, но доступных местах.
Каждый датчик и преобразователь имеет ограничения
применения по средам и диапазонам измерения и, соответственно, по шкалам измерения. Поэтому при выборе
датчика следует очень внимательно рассматривать его характеристики и возможности. На производстве много
проблем с несоответствием приобретённых приборов для контроля с реальными параметрами среды. Например,
вихревые датчики расхода с ограничением по нижней границе вызывали остановки установки дистилляции на VKG.
Поэтому сразу следует составить таблицу величин изменений потоков и технологических параметров вашего
объекта. Нужно зафиксировать границы измерений величин технологических параметров на всех участках
технологического процесса и во всех аппаратах.
Для этого нужно свести в единую систему все единицы измерений и технологических параметров в контролируемом
и управляемом технологическом процессе. Затем следует определить какие потоки влияют на какие параметры.
Желательно описять эти связи и влияния в виде пар для выбора контуров регулирования и управления и тоже
запротоколировать. Мы увидим такие взаимосвязи когда один поток влияет на несколько параметров. Это следует
учитывать, чтобы избежать случаев когда стремясь потоком удержать один параметр в границах, мы выводим другой
за допустимые ганицы. Например, расходом пара воздействуем как на температуру внутри колонны, так и на
давление в ней. Здесь следует предусмотреть взамодействие контуров управления.
Нужно зафиксисовать коррозионные характеристики сред в трубопроводах и аппаратах, зоны и классы
взрывоопасности и пожароопасности на объекте. Выбранные срелства автоматизации должны соответствоватиь
условиям в аппаратах и оборудовании по перечисленным условиям. Требуется увязывать установку на месте
измерения с физическими возможностями оборудования и условиями взрывоопасности, пожароопасности,
вредными условиями среды. Часто доступность для обслуживания входит в противоречие с затратами и вопросами
монтажа.
При решениии вопросов коммуникаций элементов автоматизации ( кабели, сеть Ethernet, радиосвязь и т.д.), также
учитывается
все вышеуказанные условия.
Обязательно нужно проектировать контуры защитного и
информационного заземления, а также обеспечитвать помехозащиту линий связи и фильтрацию сигналов.
Все приборы должны обладать возможностью взаимодействовать между собой, Датчики, преобразователи и
исполнительные механизмы характеризуются типами входного сигнала (электрический, оптический, механический,
пневматический и др.) и границами его изменения. Требуется согласовывать все типы этих сигналов. Нужно выбирать
таже типы питания датчиков, уравлящих элементов, исполнительных механизмов. Исполнительные механизмы в по
питанию бывают разных типов: электрические, пневматические, гидравлические. В настоящее время в качестве
исполнительных механизмов широко используются электрические двигатели с управляемой частотой вращения. Это
наиболее экономичный способ изменения материальных потоков во время регулирования, т.к. здесь нет потерь на
преодоление трения.
Прмежуточным звеном в постановке задачи яляется набор проектных решений, который определит скелет Вашей
системы. Примеры решений, а) температуру продукта после холодильника поддерживаем подачей оборотной
охлажденной воды, б) число загрузок сланца в газогенератор и скорость движения сланца поддерживаем числом
ходов гидравлической выгрузки золы, в) основные задачи управления и регулирования распределяются в трех
управляющих контроллерах, двух промышленных компьтерах, связанных с четырмя дисплеями пользователя и
дисплеем разработчика и т. д.. Из набора этих решений вырисовываются фунциональные и принципиальные схемы
контроля и управления, которые оформляются по своим правилам. Часто для нахождения проектного решения нужно
провести эксперементальное или исследовательское действие, которое должно проводиться в рамках проектной
процедуры.
2.1 Обратная связь
В системах контроля и управление происходит движение информации и ее обработка. Информация переносится в
сообщениях, передаваемых в физических сигналах. Принципиальным моментом является то, что в сообщении
информацией о процессе являются только данные об изменение параметра состояния. Если параметр не изменился
сообщение можно не посылать.
Специфическим и обязательным информационным взаимодействием в системах автоматического регулирования и
управления является обратная связь по параметру, характеризующего состояние объекта (выходной параметр). Эта
связь определяет сигнал на исполнительный механизм. Такая идея была сознательно сформулирована в 19 веке на
основании обобщения ряда технических решений реализованных в процессе промышленной революции. Новизна
заключалась в идее рассматривать объект управления и обратную связь как единую целое. Такая система имеет
другие свойства, чем сам объект регулирования.
Обратная связь может быть положительной и отрицательной. При положительной связи значение выходного
параметра накладывается на задание. При отрицательной обратной связи задание сравнивается (вычитание) со
значением выходного параметра. Отрицательная связь позволяет создавать устойчивые системы.
Азбучным примером может служить регулятор Уатта. В 1763 году шотландец Джеймс Уатт занялся проблемой
регулирования скорости вращения и создал первые варианты своей системы.
При использовании потока пара для вращения лопастей, колес, валов и подобных механических конструкций важно
держать постоянной скорость вращения этих конструкций. Шотланский конструктор
изобрел устройство,
позволяющее успешно решать эту задачу. Массивный шарик связывается пружиной с вращающимся валом. В тоже
время он связан рычажной передачей с клапаном на трубопроводе подачи вращающего пара. Шарик вращается
вместе с валом и под действием центробежной силы меняет пложение бегунка на определенную величину. При этом
он обеспечивает соответствующее открытие клапана (за счет рычажной системы). Первоначальная настройка
рычажной системы обеспечивают требуемое положение клапана и нужный объем подачи пара для желаемой
скорости вращения.
Когда в процессе движения скорость вращения становится выше заданной, увеличивается центробежная сила и
шары поднимает бегунок. При этом рычажная передача прикрывает клапан на линии подачи пара. Вращающая сила
уменьшается, и скорость вращения падает. При понижении скорости вращения вала, центробежная сила
уменьшается. Шары опускаются, а рычажная система соответственно открывает регулирующий клапан. Пара идет
больше, скорость вращения восстанавливается. Этот процесс регулирования является классическим, многократно
исследовался, имеет точное математическое описание.
После формулировки основополагающего решения заключающего в использование обратной связи по измеряемым
выходным параметрам был определен математический принцип использования этой связи. Он гласит, что для
регулирования технологического параметра требуется величину управляющего сигнала рассчитывать и устанавливать
пропорционально величине изменения регулируемого выходного параметра. Применение этих простых и понятных
правил вызвало революцию в управлении технологическими процессами.
Потребовался математический аппарат для однотипного описания свойств объектов управления, обратной связи и
управляющих устройств. Такой математикой стали преобразования Лапласа. В свою очередь, частотная теория
позволила разработать математические основы создания алгоритмов для модулей регулирования. Для реализации
математических решений
были разработаны аппаратные средства - регуляторы. Они показали высокую
эффективность. Без них стало нельзя обходиться. В конкурентной борьбе аппаратные регуляторы помогали фирмам
выигрывать. Автоматика стала наукой и модной дисциплиной.
Регуляторы работают используя отрицательную обратную связь, в качестве которой используется сигнал от датчика.
Этот сигнал в сумматоре сравнивается с Заданием на параметр, который вводит оператор процесса. В сумматоре,
путем вычитания значений сигналов, определяется величина рассогласования между ними – отклонение (е).
Регелятор использует значения рассогласования для расчета изменение величины управляющего сигнала на
исполннительный механизм (по заложеннымформулам).
сумматор
Z
e
f
Р
u
ОУ
y
Рис 2.1 Схема контура управления с обратной связью.
На рисунке Z – заданное значение технологического параметра, е – рассогласование, Р –
регулирующий блок, U- сигнал на исполнительный механизм, f – внешние возмущения, ОУ – объект
управления, Y – регулируемый параметр состояния объекта. Сумматор вычитает из задания сигнал обратной
связи.
Принцип функционирования регулирующей системы. В сумматоре постоянно происходит сравнение
(вычитание) текущего значения регулируемой величины у с заданным значением Z, определяя отклонение е
= z – у. Изменение управляющего сигнала на выходе регулятора зависит от изменения отклонения. Если
текущее значение равно заданному значению, то регулятор не меняет управляющее воздействие (система
работает в установившемся режиме). В противном случае управляющее воздействие на объект u изменяется
в соответствии с величиной отклонения по алгоритмам, заложенным в регулятор. Чем больше отклонение
регулирования (и дольше оно наблюдается), тем больше изменение управляющего воздействия на объект.
Данная схема справедлива как для автоматического, так и для ручного управления. При ручном
регулировании человек-оператор, наблюдая за показаниями датчиков, мысленно сравнивает их с заданными
значениями, т.е. определяет величину ошибки регулирования и, исходя из этого, решает, какие действия
предпринимать. Но качество регулирования человеком обычно хуже чем прибором, т. к. прибор непрерывно
и точно отслеживает по обратной связи изменения параметра и математически точно преобразует эту
величину в сигнал на исполнительный механизм.
2.2 Примеры реализации задач регулирования
Мы видим, что, исходя из своей сути, процесс автоматического регулирования и управления содержит много
действий и взаимодействий составляющих элементов. Чтобы получился ожидаемый результат, следует
выполнять действия в определенной последовательности и контролировать результы каждого шага. Иначе
будут происходить непредвиденное и часто опасные события. Например, если при ядерной реакции
несвоевременно опустить тормозящий стержень, произойдет ядерной взрыв. Действия должны быть
логичными и вытекать друг из друга. Последовательность взаимосвязанных действий называется
алгоритмом.
Структурная схема ПИ аппаратного регулятора, выпускаемого для регулирования температуры. Это
устройство может работать как в режиме ручного управления, так и в режиме автоматического
регулирования. Имеется переключатель режимов «Р» ручной и «А» автомат, а также ограничители
выходного сигнала.
Здесь квадратики это платы реализующие указанные функции. Х = 0 регулирование температуры по
умолчанию. GV –ручной сигнал, PV – атоматический режим, АСС – аналоговый сигнал..
При использовании программируемых контролеров, контуры контроля и управления, для разработчика
работа увеличивается и усложняются, т.к. требуется проводить разнообразные дополнительные операции
приема, обработки и выдачи сигнлов. Порядок движения сигналов и информации в такой системе
представлен на схеме ниже.
2.3 Классификация систем управления (6 лекция)
Системы управления используются и проектируются для неисчислимого разнообразия процессов. В зависимости
от основной цели задачи управления классифицируются следующим образом:,
Системы управления с обратной связью, в тоим числе системы стабилизации - поддержание регулируемх
величину на заданном значении, систем программного управления и следящие системы - системы, алгоритм
функционирования которых изменяет регулируемую величину в зависимости от изменения другой величины.
Системы управление по возмущению без обратной связи. Их называют системами ивариантного упраления
(выход X(t) не зависит (инвариантен) от возмущения f (t) ).
Комбинированные системы упраления включающие оба принципа управления.
Также проводят классификацию по количества контуров, по качеству управления (устойчивые, оптимальные,
улучшенного качества), по характеру сигналов ( непрерывные,
дискретные, импульсные, цифровые), по виду
математических моделей (
линейные, нелинейные), по виду используемой энергии (пневматические,
гидравлические, электрические, механические комбинированные).
Сейчас популярны адаптивные системы, которые делятся на самонастраивающиеся и самоорганизующиеся.
3
Описание объекта управления.
Разработать управляющее устройства невозможно, если не иметь иатематического описания процесса в объекте
управления. Стратегия управления базируется на понимании, как физический процесс реагирует на входной
сигнал. Имеются два основополагающих подхода к получению такого описания. Первый базируется на том, что в
технологических прцессах реализуются физические законы. Там действует закон сохранения масс, закон сохранения
энергии, законы химических превращений. Действуют законы физики для движения, теплообмена, законы
эдектродинамики и так далее. Например:
1.
При движении твердого тела в жидкой или газообразной среде на него действует сила сопротивления (или
вязкого трения). При таком режиме движения второй закон Ньютона записывается в виде
где х это перемещение тела, ν – вязкость среды.
2. Для электрической RLC цепочки действует следующее дифференциальное уравнение:
3. Согласно закону охлаждения Ньютона, скорость изменения температуры тела, т.е. производная dT/dt
,
пропорциональна разности температур тела и окружающей среды - dT/dt = T – a , где а - const.
Поняв суть физических процессов в объекте и описав их математически, можно относительно просто применить
правила анализа и синтеза для систем управления и разработать регулирующие блоки объекта. Так начинали
основополположники ТАУ Максвел, Вышеградский и другие. Научное разработка методов регулирования начиналась
на базе описания простых процессов с помощью дифференциальных уравнений физмческих законов первого и
второго порядка.
Ситуация усложняется тем, что в реальном объекте происходит много различных взаимодействующих процессов.
Результирующая математическая модель становится многомерной и нелинейной. Поэтому такое направление может
получиль мощное развитие только при широком внедрении вычислительной техники на предприятиях и институтах.
3.1 Черный ящик (лекция 7)
Столкнувшись с проблемами при работе с математическими моделями разработчики изменили напрвление для
создания описаний объектов. Чёрный я́щик — термин, используемый для обозначения системы, внутреннее
устройство и механизм работы которой очень сложны, неизвестны или неважны в рамках данной задачи. «Метод
черного ящика» — метод исследования систем, когда вместо свойств и взаимосвязей составных частей системы,
изучается реакция системы, как целого, на изменяющиеся условия. Подход чёрного ящика сформировался в точных
науках (в кибернетике, системотехнике и физике) в 20-40 годах XX века. Система, которую представляют как «черный
ящик», рассматривается как имеющая некий «вход» для ввода воздействия на систему и «выход» для отображения
результатов воздействия, при этом происходящие в ходе работы системы процессы наблюдателю неизвестны.
Предполагается, что состояние выходов функционально зависит от состояния входов.
Используя методы математики получают функцию зависимости выходов от значений входных сигналов. Нужно
проводить эксперименты, подавая разные типы входных сигналов. Знания, полученные об объекте по методу
черного ящика, не позволяют получить информацию о его внутреннем строении. Но в ходе наблюдения над
реакциями системы на внешние воздействия достигается такой уровень знаний об исследуемом объекте, который
позволяет прогнозировать поведение «чёрного ящика» при заданных условиях. На схеме ниже показано в общем
виде представление системы как черного ящика. Х – это функция зависимости выхода У от входа Х.
3.2 Экспериментальное описание. Импульсное воздействие и переходный процесс.
Подход к объекту как ящику привел к развитию методов эксперементального иссследования. Базой для получения
характеристик объекта управления является обработка реакции и изменений объекта при подаче на него стандартных
воздействий. Входные воздействия изменяются во времени, и реакция ОУ (переходные характеристики) будут
функциями времени и различными для разных видов воздействий. В виде входных воздействий используют один из
типовых видов сигналов (см. рисунок 3.2).
x
x
x
x
1
t
t
t
t
а) единичный
б) -функция
в) линейный
ступенчатый
(дельта-функция,
сигнал
Рисунок 3.2
г) синусоидальный
(гармонический)
сигнал
Ступенчатое упраляющее воздествие просто реализуемое и наиболее используемое воздействие. Быстрый скачек
управляющего воздействия на большую величину (теоретически на бесконечность) вверх и сразу вниз сложно
организовать на практике, но оно дает очень полезную базовыю информацию об объекте. Синусоидальные
сигналы тредуется подавать для всего диапазона частот при получении полного и точного описания объекта
управления.
При подаче на вход ступеньчатого управляющего воздействия на выходе объекта мы будем иметь сигнал
примерно такого вида как на рисунке ниже.
Мы видим два типа выхода. Нижний процесс соответствует объекту с физическими закономи описываемыми
дифференциальными уравнениями первого порядка. Например, простые тепловые процессы (уравнение
Ньютона).
Такой процесс называют апериодическим.
Вторая кривая соответствует объекту с
дифференциальными уравнениями второго порядка. Это процесс с исходно заложенной колебательностью.
В теории линейных оптимальных систем управления показывается, что для систем уравнений с постоянными
коэффициентами основополагающее значение имеет реакция на импульс ( дельта функция). Выходная реакция
на все остальные входные сигналы объекта складываются (интеграл) из реакций на каждый импульс, из которых
состоит входной сигнал.
3.3 Инормация о разработчиках Теории автоматического управления.
В 1876 году появилась работа, оказавшая большое влияние на науку о регулировании - труд профессора И.А.
Вышнеградского "Об общей теории регуляторов". В этой работе было выведено условие устойчивости для линейных
систем третьего порядка и даны конкретные указания о том, как влияют конструктивные параметры на устойчивость.
И.А. Вышнеградский явился основоположником классической теории регулирования. В 1866 году выходит в свет
статья Максвелла "О регуляторах". Швейцарский математик А. Гурвиц в 1895 году ввел алгебраические условия
устойчивости для линейных систем любого порядка. Долгое время оставалась неизвестной инженерам аналогичная
работа Рауса, выполненная им еще в 1877 году по просьбе Максвелла.
3.4 Реакции объекта управления Y(t) на типовые воздействия
В зависимости от вида входного воздействия функция у(t) иметь разное название:
Переходной характеристикой h(t) называется реакция объекта на единичное ступенчатое воздействие (сигнал) при
нулевых начальных условиях, т.е. при х(0) = 0 и у(0) = 0. Обобщенное представление реакции аперидического
процесса на ступенчатый вход приведен на рисунке. Прежде всего - процесс достигает установившегося значения.
Жирная кривая - это переходная характеристика. На рисунке показаны важные параметры характеризующие эту
характеристику. Величина установившегося выходного сигнала – У ст. (пунктир). Ԏ - запаздывание выхода объекта. Т
– постоянная времени объекта. Для ее получения нужно провести касательную к кривой в точке ее перегиба (в точке
где скорость роста меняет знак, т. е. скорость начинает уменьшатся по величине). Значение времени от момента, где
эта касательная пересекает ось t до момента времени когда она пересечет горизонтальную линию, соответствующую
значению установишегося состояния процесса и есть постоянная Т. Эти параметры используются при создании
математической харктеристики объекта.
Импульсной характеристикой (t) называется реакция объекта на -функцию при нулевых начальных условиях.
При подаче на вход объекта синусоидального сигнала на выходе, как правило, в установившемся режиме
получается также синусоидальный сигнал, но с другой амплитудой и фазой: y = Aвых*sin(*t + ), где Aвых - амплитуда,
 - частота сигнала,  - фаза.
3.4.1 Объекты
статические, которые достигают установившегося значения выходного сигнала (состояние статики) при подаче
постоянного значения входного воздействия. Примером является любой тепловой объект. Например, если на вход
электрического нагревателя подать некоторое напряжение, то с течением времени его температура установится на
соответствующем значении. При этом установившаяся температура будет зависеть от величины поданного
напряжения.
астатические - у которых такая зависимость отсутствует. То есть, при постоянном входном воздействии амплитуда
сигнала на выходе непрерывно растет с постоянной скоростью, ускорением и т.д. Пример: Зависимость угла поворота
ротора электродвигателя от приложенного напряжения. При подаче напряжения угол поворота будет постоянно
возрастать, поэтому однозначной зависимости у него нет (пример см. на рисунке 1.8, б).
, рад.
Т, °С
Туст
t
t
Неоднозначные реакции на входное воздействие: Иногда можно встретить объекты, в которых одно и то же входное
воздействие вызывает различные реакции. Это объект с переменными параметрами.
Для таких объектов требуется дополнительные исследования, с целью выяснить причины такого поведения объекта.
Может оказаться, что такое поведение объекта, с непредсказуемым изменением свойств, является его глубинным
качеством. Описать его можно только с привлечением описания случайным процессом и волновыми функциями.
Поэтому нужно проводить серию экспериментов с подачей одинаковых входных воздействий на объект управления
для выявления его свойств . На VKG неоднозначный характер имеет процесс коксования в кубах.
3.1. Частотное описание систем управления. Классическая теория.
Исследование АСР существенно упрощается при использовании математических методов операционного исчисления,
поскольку позволяет от решения дифференциальных уравнений перейти к решению алгебраических уравнений.
Весьма удобно исследовать линейные системы с постоянными параметрами с помощью преобразования Фурье и
Лапласа. Идея была простая – вместо функций во времени использовать их представление в виде суммы
гармонических колебаний, т.е. синусоид и косинусоид. Фиксируем входные и выходные функции в виде числовых
последовательностей. Пусть имеется объект с входом Х вх(t) и выходом Х вых(t). Математмческое описание «внутри»
объекта нам неизвестно.
Эти функции (оригиналы) методами операционного исчисления переводятся в другие, более удобные для работы,
функции, называемые образами. Далее работают с образами, а затем обратными преоразованиями возвращаются к
исходному (временному описанию). Исторически теория автоматического управления (ТАУ) построена на
использовании - операционных преобразований Фурье и Лапласа. С полученным «образом» в дальнейшем работаем
методами линейной алгебры и геометрии. Никаких дифференциальных уравнений.
В основе преобразования Фурье лежит формула Эйлера
, где — важная
математическая величина (константа) , определяющаяся следующей формулой:
.
Значение е =2,71828… Если с 1 долара прибыль 100 % получать один раз в конце года у нас будет 2 доллара.
Константа E означает максимально возможную годовую прибыль при 100 % годовых и максимально частой (каждый
час) капитализации процентов.
Графически формула Эйлера представляется так:
Формула дает смысл величине Х как элементу какого то вращения
(колебания) с заданой частотой. Re - ось действительных значени; Im – ось мнимых значений;
Преобразование Фурье – интегральное преобразовние. Границы интеграла меняются по Х или по времемени (t).
Здесь дан интеграл обработки какой то функции f (x) – общий вид.
–j*x*Ѡ
В экспоненте e
присутствует постоянная переменная «JѠ», потому в следующем выражении логично указать
в образе обрабатываемой функции для какого значения Ѡ считается f(JѠ).
Запись преобразования Фурье для функций времени, с учетом замечания,
называют
прямым преобразованием Фурье. В подинтегральном выражении принимают участие значение нашей функции f
(t), например Х вх(t), в момент времени (t), значение этого времени (t), и частота колебания Ѡ для которого мы
находим значение преобразования Фурье. Суммируя (интегрируя) подинтегральные величины для всего
диапазона времени ( t меняется минус ∞до плюс ∞) при выбранной частоте мы получаем «ОБРАЗ» временной
функции для этой частоты. Потом берём другую частоту и проделываем эту процедуру для нее. Так мы получаем
образы для всех частот.
Мы сделали преобразование входного сигнала Х вх(t) и перевели его из временого описания (функция времени) в
описание в виде значений параметра для всех частот (в частотную область).
Таким же образом обрабатывается выходной временной «сигнал выхода» и получается «ОБРАЗ» выходного сигнала
для частотного представления.
Математики давно разработали таблицы преобразоаваний Фурье и Лапласа для всех возможных видов стандартных
сигналов, включая наши стандартные входные сигналы.
Преобразование Лапласа:
Заметим, что временная функция имеет преобразование Фурье тогда и только тогда, когда: функция однозначна,
содержит конечное число максимумов, минимумов и разрывов и абсолютно интегрируема. Поэтому нет спектра
единичной ступенчатой функции, -функции (импульсной функции) и ряда других важных функций, так они не
соответствуют этим условиям.
Из-за этих ограничений чаще используют преобразование с более сложной переменной S = σ + jω, которая
включает в себя мнимую частотную составляющую jω из преобразования Фурье и дополнительно действительную
составляющую переменной σ . Здесь, как обычно, ω - угловая частота колебаний.
Соотношение
называют прямым преобразованием Лапласа.
изображения по оригиналу сокращенно записывается Лапласа.
, где
Операция определения
- символ прямого преобразования
Преобразование Лапласа обратимо, то есть, зная «образ» по Лапласу, можно определить оригинал, используя
соотношение обратного преобразования
или
, где
- символ обратного преобразования Лапласа.
Функция угловой частоты
называется Фурье-изображением, а функция X(s) называется Лаплас
иззображением или частотным спектром функции.
Эти функции образов (спектры) в теории автоматического управления представляют графически, изображая отдельно
их действительную и мнимую части:
На рисунке ниже представлено типичное изображение спектра какого то входного или выходного Х(t) сигнала,
состоящего из колебаний с разными частотами.
Re {X(jѠ)} - значение действительной части комплекного числа,
представляющего функцию «образа»
преобразования Лапласа или Фурье. Im {X(jѠ)} - значение мнимой части, комплекного числа представляющего
функцию «образа» преобразования Лапласа или Фурье. Иногда (для передаточной функции) их обозначают так
P(jѠ)- действительная часть, Q(jѠ)- мнимая часть. Для каждой частоты своя пара значений { P(jѠ), Q(jѠ)}. Это точка
на комплексной плоскости P и Q. Для множества частот Ѡ координаты P(jѠ) и Q(jѠ) дают кривую спектра, которая
к примеру будет выглядеть так:
Если у нас преобразуется счень простая функция – синус какой то частоты f0, то ее «образ» лля преобразования
Фурье будет выглядеть как всплеск на частоте f0 (а также на частоте «- f0». что есть недостаток преобразования
Фурье).
Нормальный сигнал Х(t) содежит много синусоид с разными амплитудами и после пребразования мы получим
непрерывный набор таких скачков для всех частот, что видно на графике в координатах P(jѠ) и Q(jѠ).
Для преобразований Фурье и Лапласа справедливы следующие правила:
1.
2.
3.
Линейность: Если складываются две частотные функции, то можно складывать две обратные им функции во
времени и наоборот.
Чтобы продифференцировать частотную функцию, полученную преобразованием Лапласа, нужно умножить
ее на комплексную переменную S (S = σ + jω). Для получения второй производной нужно еще раз умножить
на эту же переменную S. И так далее. Для преобразования Фурье нужно умножать только на jω.
Для получения интеграла частотной функции нужно разделить ее на комплексную переменную S. Для
преобразования Фурье нужно делить на jω.
3.2 Передаточные функции динамического звена
Практически любые функции времени в Теории Автоматического Управления имеют преобразование Лапласа. На
практике для выполнения прямого и обратного преобразований Лапласа используются таблица преобразований,
фрагмент которой показан в таблице. Они разработаны матаматиками в 19 ом веке и используются всеми кому
нужно. Все исходные функции – есть функции времени.
Таблица 1.
1
Здесь представлены преобразовния всех наших стандартных входных воздействий; -функции, ступенчатого входа,
линейной функции и разного вида синусоид. Используя такие сигналы мы уже имеем для них описание по Лапласу.
Определение образа для выходного сигнала сложнее. Нужно полученную на выходе объекта после подачи входного
сигнала временную функцию (обычно табличную) апроксимировать в какое то математическое выражение и уже для
него искать выражение преобразование Лапласа. Обычно в виде рациональной функции. Рациональная функция —
это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Любая рациональная функция может быть
представлена в виде суммы простейших дробей, это применяется при аналитическом интегрировании. Многочлены
являются рациональными функциями (у них знаменатели тождественно равны единице).
Пусть мы провели эту работу и преобразование Лапласа входного и выходного сигналов имет вид рациональных
n
дробей Х вых(s) = (b0 sm +... bm) и Х вх(s) = (a0 s +... an). Для получения описания объекта (динамического звена)
требуется образ выходного сигнала разделить на образ входного сигнала, того который вызвал появление данного
выхода. Мы получаем описание связи между управляющими переменными и выходными параметрами.
Найденная таким методом связь между выходными
Хвых (t)
= Y и управляющими (входными) Хвх (t)
величинами системы выражается передаточной функцией W(s)
есть отношение между изображениями Лапласа выхода и управления.
= U
. Передаточная функция W(s)
.
Суть передаточной функция связана с понятием импульсной функции. Импульсной характеристикой динамического
звена называют реакцию звена на импульсное воздействие
этот сигнал обозначим как
(дельта функцию). Выходную реакцию объекта на
.
Получив образы Лапласа для дельта функции и для выходного сигнала найдем передачную фукцию, для чего
разделим Выход на Вход. Значение «образа» Входа в данном случае равно 1. Поэтому передаточная функция будет
совпадать с «образом» выхода
. Полученная при других типах входных сигналов функция
будет иметь
точно такой же вид и описание, что также следует из многочисленных опытов и математических выкладок.
Таким образом передаточная функция звена – это изображение по Лапласу выходной характеристики
динамического звена при импульсном входе.
В свою очередь, импульсная характеристика может быть получена из передаточной функции обратным
преобразованием Лапласа.
.
3.3 Описание объекта управления.
3.3.1 Определение параметров передаточной функции объекта по переходной кривой
В целом считается, что очень многие объекты управления в первом приближении грубо описываются
апериодическим звеном 1-го порядка. Это верно т. к. много законов физики описываются дифференциальными
уравнениями первого порядка. Ниже представлен для примера график поведения выхода такого объекта при подаче
импульсного сигнала W(t) и при подаче ступенчатого воздействия на его вход (переходная характеристика) h(t).
Процесс получения передаточной функции объекта, исходя из данных о переходном процессе, называется
идентификацией объекта.
Переходной характеристикой h(t) называется реакция объекта на единичное ступенчатое воздействие (сигнал) при
нулевых начальных условиях, т.е. при х(0) = 0 и у(0) = 0. Еще ее называют кривой разгона.
Предположим, что при подаче на вход некоторого объекта
ступенчатого воздействия была получена переходная характеристика
(см. рисунок 1.31). Требуется определить вид и параметры
передаточной функции.
у
ууст
Передаточная функция такого звена имеет вид
д

T
t
W(s) 
Рисунок 1.31
K  s
e
Ts  1
(инерционное звено с запаздыванием). Эта формула выведена из описания объекта в диффуравнениях.
Мы должны по переходной характеристике h(t) снять численные параметры передаточной функции: К коэффициент усиления, Т - постоянная времени,  - запаздывание. Они определяются из графических характеристик
кривой разгона рисунка 1.31 Коэффициентом усиления К называется величина, показывающая, во сколько раз
данное звено усиливает входной сигнал (в установившемся режиме), и равная отношению выходной величины У уст
ко величине ступеньки входа Х:
K
у уст
х
.
Установившееся значение выходной величины У уст - это значение У
при t  . Запаздыванием  называется промежуток времени от момента изменения входной величины х до начала
изменения выходной величины у. Постоянная времени Т для рассматриваемой передаточной функции 1-го порядка
определяется просто: сначала проводится касательная к точке перегиба, затем находятся точки пересечения с осью
времени и асимптотой yуст. Время Т определяется как интервал времени между этими точками.
функция звена запаздывания: W(s) = e- Ƭ s.
Передаточная
Это простой способ моделирования объектов управления дифференциальным звеном первого порядка. Достаточно
провести несколько экспериментов, получить и обработать несколько кривых разгона и можно указать вариант
передаточной функции объекта.
Такой способ применим, когда нет информации для построения
более
содержательного описания объекта.
3.3.2 При подаче на вход объекта синусоидального сигнала на выходе, как правило, в установившемся режиме
получается также синусоидальный сигнал, но с другой амплитудой и фазой: y = Aвых*sin(*t + ), где Aвых - амплитуда,
 - частота сигнала,  - фаза. Эти пользуются при описании технологического звена.
Простой алгоритм экспериментального определения частотных характеристик линейного динамического
звена, объекта или системы управления
1.
2.
3.
4.
Подать на вход объекта синусоидальный сигнал частоты
и постоянной амплитуды.
Дождаться затухания свободной составляющей переходного процесса.
Измерить амплитуду выходного сигнала и сдвиг его по фазе относительно входного сигнала.
Отношение амплитуды выходного установившегося сигнала к амплитуде входного сигнала определит
5.
модуль частотной характеристики при частоте
.
Сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного сигнала определит угол (аргумент) частотной
характеристики при частоте
.
Умножение значения модуля на cos(угла) даст значение вещественной части характеристики, а
умножение значения модуля sin(угла) даст значение мнимой части характеристики.
Применяя данный алгоритм для частот от нуля до бесконечности, можно экспериментальным путем определить
частотную характеристику конкретного устройства. Затем строим все типы частотных характеристик и получаем
математическое описание объекта.
Частотные характеристики
показывают, во сколько раз объект
(динамическое звено или устройство), работающее в установившемся режиме, изменяет амплитуду входной
синусоиды частоты , и на какой угол сдвигает входную синусоиду по фазе.
6.
Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача
расчета АСР сводится к определению ее передаточной функции.
Знаменатель передаточной функции называется характеристическим уравнением. Корни характеристического
уравнения называются полюсами
. Корни числителя передаточной функции называется нулями. Полиномы
дробно-рациональной функции могут быть представлены в виде произведения биномов (разложение многочлена на
сомножители), тогда функция может быть представлена в форме Боде
Если нули обозначить Z, а полюса Р, то согласно правилам линейной алгебры, передаточную функцию можно
записать в форме Боде в виде:
то решение во временной области (после обратного преобразования Лапласа) выходная переменная У(t)) будет
представлена суммой показательных функций:
...
Полюса (Р) определяют
устойчивость системы. Для устойчивой системы вещественная часть полюса должна быть отрицательной. Нули
определяют величину коэффициентов Сi перед функцией е-р•t, то есть амплитуду колебаний.
Передаточная
функция
системы
с
обратной
связью
Будет иметь следующий вид:
рисунок
1.26
(задание
(Х)):
Wз ( s ) 
W1
1  W1W2
4.4 Критерии устойчивости
Устойчивость является одним из необходимых условий, обеспечивающих нормальное функционирование
автоматических систем. Поэтому чрезвычайно важно выяснить те условия, которые обеспечивают принципиальную
работоспособность системы, ее устойчивость.
На рисунке примеры устойчивых и неустойчивых процессов.
На комплексной плоскости корней корни с отрицательными вещественными частями располагаются на левой
полуплоскости, а корни расположенные в правой полуплоскости положительны. Необходимое и достаточное условие
устойчивости линейной системы может быть сформулировано так: линейная система устойчива, если все корни ее
характеристического уравнения являются отрицательными. Напомним,что полюса характеристического уравнения
(они в математике назывются собственными значеними и обозначаются λ) входят в решения выходной функции,
полученной с помощью передаточной функции, как степени выражения:
Если λ больше 0 решение Х будет бесконечным.
4.4.1 Для оценки устойчивости системы в классической теории не требуется находить корней ее характеристического
уравнения. Разработаны правила по которым можно судить о знаках действительных частей этих корней и тем
самым об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. Эти косвенные признаки
называются критериями устойчивости.
Критерий устойчивости Михайлова предназначен для оценки устойчивости системы по его характеристическому
уравнению замкнутой системы. Устойчивая система содержит только левые корни. Для устойчивости системы
характеристический частотный вектор должен пройти последовательно (поочередно) в положительном направлении
(против часовой стрелки)
квадрантов. Вектор начинает движение при
Годографы Михайлова для систем: а - устойчивых, б – неустойчивых.
с положительной вещественной оси.
По виду годографа Михайлова судят об устойчивости системы. Устойчивые годографы проходят поочередно
квадрантов. На границе устойчивости годограф проходит через начало координат.
Вывод Как мы знаем передаточная функция замкнутой системы имеет вид W(s) = K(s)Wo(s) /(1+K(s)Wo(s)), где: Wo –
передаточная функция объекта управления, K(s) – передаточная функция звена управляющего (через поток энергии)
данным параметром. Для того чтобы система стала устойчива следует изменить знаменатель передаточной функции
замкнутой системы чтобы она соответствовала критерию устойчивости. Характеристическое уравнение (знаменатель)
замкнутой системы будет иметь вид
1+K(s)Wo(s)=0. Это выражение и нужно изменить.
Изменять свойства самого технологического обычно сложно и нежелательно. Но свойства уравляющего звена менять
допустимо. В классической теории это звено часто называют корректирующим звеном.
5 Корректирующие звенья и регуляторы
Разработка математических описаний объектов, сначала разомкнутых, а затем замкнутых, с анализом устойчивости
таких систем привела к пониманию необходимости добавки корректирующих звеньев в систему управления. Этим
занимаются в теории автоматического управления в разделе синтеза автоматических систем.
Корректирующие
звенья должны исправлять амплитудно-частотные и фазовые характеристики автоматической системы так, чтобы
выполнялись требованиям по критериям устойчивости. В настоящее время разработаны и повсюду применяются
стандартные корректирующие звенья – регуляторы. Каждый регулятор в свою очередь может состоять из нескольких
простых звеньев. Обычно это звено линейного усиления, интегрирующее звено и дифференциальное звено. Мы
будем использовать для описания корректирующего звена его поведение во времени и его
частотные
характеристики.
Аналитический способ синтеза. В этом случае желаемый вид передаточной функции мы находим аналитическим
(математическим) способом. Основные этапы синтеза системы аналитическим способом:
1) Задаются желаемой передаточной функцией замкнутой системы Фжел(p), при которой обеспечивается желаемая
переходная функция системы.
2) Исходя из вышеприведенных формул (смотри «Вывод») определяем желаемую передаточную функцию
разомкнутой системы (то есть значение произведения передаточной функции объекта и функции корректирующего
звена K(s)Wo(s), используемое в числителе ) из уравнения замкнутой системы.
3) Эксперементально найти передаточную функцию объекта управления Wo(s).
4) Найти передаточную функцию корректирующего устройства K(s) из желаемой передаточной функции разомкнутой
системы. Это обычная алгебраическая операция. Проводится делением желаемой функции разомкнутой системы на
передаточную функции объекта управления.
5) Реализовать аппаратно полученную функцию корректирующего звена. В этом заключается основная сложность
реализации аналитического метода.
Но большее распространение получил другой подход. Регулятор из элементарных корректирующих звеньев.
5.2 Стандартные корректирующие звенья: В настоящее время повсюду применяются набор стандартных
корректирующих звеньев, объединенных в общую систему, которая называется регулятором. Каждый регулятор
содержит
нескольких простых звеньев, таких как
звено линейного усиления, интегрирующее звено и
дифференциальное звено. Звенья соединены параллельно, что приводит к сложению их передаточных функций.
Эти звенья вырабатывают управляющее воздействие U(t). Мы рассмотрим поведение корректирующего звена во
времени и его частотные характеристики.
Усилительное звено (пропорциональное регулирование). П-закон. Для пропорционального регулирующего звена
управляющее воздействие пропорционально величине входного сигнала (величине рассогласования). Если
регулируемый параметр отклоняется от заданного значения, требуется пропорционально увеличить воздействие на
объект. Коэффициент пропорциональности обозначают как K1: U = K1.e.
Передаточная функция П-регулятора имеет вид:
.
Если
равна, например, единице, то управляющее воздействие станет равным K1 (см. рисунок).
величина
ошибки
Интегрирующее звено (интегральное регулирование).
И-закон Управляющее воздействие пропорционально интегралу от ошибки. То есть чем дольше существует
отклонение регулируемого параметра от заданного значения, тем больше управляющее воздействие:
u  K 0  e( t )dt .
К0 = 1/Т. Передаточная функция звена:
Фазовая характеристика звена ϕ() = -π/2 = -90°.
Поведение во времени при подаче импульсного сигнала - w(t), и подаче ступенчатого сигнала h(t)/
Интегральное звено запоминает значение импульса и складывает импульсы приходящие один за другим . При
возникновении отклонения управляющее воздействие начинает увеличиваться со скоростью, пропорциональной
величине рассогласования. Например, при е = 1 скорость роста управляющего воздействия будет равна 1/Т.
Достоинство данного принципа регулирования в устранении статической ошибки. При возникновении ошибки звено
будет увеличивать управляющее воздействие, пока рассогласование регулируемой величины и задания не станет
равным «0». Недостаток – звено содействует неустойчивости процесса из-за отставания по фазе на 90°.
Дифференцирующее звено (дифференциальное регулирование).
Корректировка ведется по величине скорости изменения входной величины в звено:
Передаточная функция
Временные характеристики: Импульсная функция w =Т •dδ/dt, Переходная функция h = Т •δ
.
К2 = Т.
Если регулируемая величина стала больше чем была на прежнем шаге, скорость параметра станет отрицательна и
звено выдаст отрицательный управляющий сигнал, и наоборот, при уменьшении величины параметра сигнал
управления прыгнет вверх. При использовании дифференцирующего звена быстрый изменение регулируемой
величины вызовет большее управляющее воздействие. При медленном изменении – меньшее воздействие.
Регулятор генерирует управляющее воздействие только при изменении регулируемой величины. Такие регуляторы
дают импульсы (-функция) на каждом шагу.
5.3 На практике типовые П-, И- и Д-звенья регулирования комбинируются и реализуются в виде ПИ-регуляторов и
ПИД-регуляторов. Регулирующие звенья объединяются параллельно, их выходные сигналы складываются. Эти
звенья относятся к элементарным. Промышленная реализация их не сложна и не трудоемка. Стремятся добиться
широкого диапазона изменения их коэффициентов и постоянных времени, что позволяет заметно корректировать и
менять частотные характеристики объектов управления.
Типы и реализация регуляторов.
Регуляторы по физической реализации можно разделить на аналоговые,
цифровые и дискретные. К дискретным регуляторам относятся позиционные и релейные. Наибольшее
распространение среди аналоговых получили Пропорционально-Интегрально-Дифференциальные регуляторы,
сокращенно ПИД регуляторы, реализующие три типовых корректирующих звена. Каждый программист может
реализовать эти законы программно в контроллере. Это цифровые ПИД регуляторы. В цифровых регуляторах можно
не только повторить алгоритмы аналоговых, но и реализовывать более сложные алгоритмы, неиспользуемые в
аналоговой технике. Стандартные формы регуляторов уже заложены в поставляемое обеспечение контроллеров и
SCADA систем.
Релейные (позиционные) регуляторы это простые и надежные регуляторы, у которых выходное значение
принимает всего два значения. Используются в системах управления уровнем, дозировки, технологической защиты и
так далее. Для них U = Umax, если е ≧0 и U = Umin если е≦ 0, где е=U-Y.
5.3.1 Комбинированный ПИ-регулятор (пропорционально-интегральный регулятор):
Представляет собой два параллельно работающих звена - Пропорционального и Интегрального. Данное соединение
сочетает в себе достоинства обоих звеньев: быстродействие и отсутствие статической ошибки.
ПИ-закон регулирования описывается уравнением
u  K 0  e( t )dt  K1  e( t )
е
и передаточной функцией
П
u
И
WПИ(s) = K1 + К0/s.
ПИ-регулятор имеет два независимых параметра (настройки): Kи – коэффициент интегральной части и Kп –
коэффициент пропорциональной.
При возникновении рассогласования е = 1 управляющее воздействие изменяется, как показано на рисунке
u(t)
е(t)
K1
1
t
 = arctg K0
t
Общую структурную схему замкнутого контура управления для ПИ – регулятора можно представить в виде:
5.3.2 ПИД-регулятор (пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор) можно представить как
соединение трех параллельно работающих регулирующих звеньев.
u  K 0  e( t )dt K1  e( t )  K 2
Закон ПИД-регулирования описывается уравнением:
de( t )
dt
и передаточной функцией
WПИД(s) = K0/s + K1 + K2 s. ПИД-регулятор имеет три коэффициента настройки: K0, K1 и K2.
ПИД-регулятор является самым распространённым типовым регулятором , поскольку он сочетает в себе
достоинства всех трех элементарных корректирующих звеньев. Мгновенная реакция такого регулятора на единичное
ступенчатое изменение рассогласования показана на рисунке:
Приобретая промышленный ПИ или ПИД регулятор, вы не имеете гарантий, что с помощью трех типовых
элементарных звеньев сможете изменить характеристики результирующего объекта управления и добьётесь
устойчивости замкнутой системы. Чтобы повысить вероятность достижения этого результата, изготовитель
обеспечивает возможность менять частотные и временные характеристики каждого из звеньев в очень широких
пределах. Учитывайте возможности и диапазон параметров регулятора при его выборе для работы.
5.4. Математическое описание ПИД регулятора.
Согласно принципу обратной связи, сигналом для любого регулятора является величина отклонения,
которая определяется как разность между заданным и текущим значением регулируемого параметра (e = z – у).
Выходным сигналом регулятора является величина воздействия (управляющего u), подаваемая на исполнительный
механизм. В настоящее время входы и выходы явлются стандартными электрическими или пневматическими
сигналами. В некоторых случаях выход регулятора представляет собой последовательность импульсов для
исполнительного механизма, например, шагового двигателя.
Уравнение классического ПИД регулятора в его классическом математическом выражении имеет вид:
ПИД регулятор вырабатывает управляющий сигнал как сумму трех составляющих, трех корректирующих
элементарных звенев. Кроме того можно задавать начальное значение выходного сигнала - UО. Составляющая Up
пропорциональна рассогласованию e(t) (напомним, е это разница выходного сигнала и задания), вторая
составляющая Ui равна интегралу (сумме) по времени отклонений всех e(t), а третья составляющая равна
производной отклонения е(t), которая изменится при изменении Х(t).
Базовый сигнал UО будет на выходе регулятора в начале процесса регулирования. Кроме того он играет роль
исходного смещения. Параметр К – коэффициент усиления регулятора. Ti – постоянная времени регулирования, Td –
постоянная времени дифференцирования. Эти параметры используются для настройки системы управления и
изменения качества регулирования. Усиление регулятора – К - безразмерная величина. Постоянные времени
выражаются в секундах. Выход реального регулятора всегда ограничен некоторыми пределами Umax и Umin.
Интегральная часть важна для устранения статической ошибки. Она запоминает значения своего выхода для
каждого момента времени и постоянно накапливает (суммирует) их. Если замкнутая система регулирования достигла
заданного значения величины e(t) и Uр(t) станут равны 0. Допустить, чтобы u(t) на выходе регулятора стала равна 0
нельзя. При нулевом выходном сигнале регулятора исполнительные механизмы закроются и технологический
процесс прекратится. И тут на помощь приходит интегральная часть, которая помнит сумму своих выходных сигнал Ui
до данного момента. На выходе регулятора останется эта величина - сигнал Ui. Когда снова начнет меняется
величина e(t), то начнут меняться все выходы корректирующих звеньев, включая Ui, который снова будет
накапливать свой выход на пути к заданному значению.
Дифференциальная часть следит за скоростью изменения параметра и прогнозирует величину следующего
отклонения от задания. В зависимости от прогноза она воздействует на управляющий сигнал, тормозя или ускоряя его
рост.
5.4.1 Реализация ПИД регулятора в контроллерах и компьютерах.
Разработчикам приходится реализовывать ПИД-регулятор на устройствах вычислительной техники в
дискретном числовом виде. Принципиальным решением для программирования является то на каждом шаге
программы рассчитывектся величина приращения управляющего ΔU(i) сигнала, которая затем добавляется к
значению этого сигнала на предыдущем шаге расчета. U(i) = U(i-1) + ΔU(i). Выражение, которое нужно
запрограммировать имеет вид:
ΔU(i) = U(i) - U(i-1) = ΔUp(i) + ΔUi(i) + ΔUD(i) где
ΔUp(i) = К• e(i)
ΔUi(i) = Ui(i-1) + Ki • e(i)
Ki = K • h/ Ti
Ui(0) = UО
ΔUD(i) = KD • (Y(i) - Y(i-1))
(i), (i-1) – номера шагов рассчета и управления. Здесь учитывается то, что все действия в компьютерах
(контроллерах) осуществляются пошагово. U(i) и e(i) – это значения выхода регулятора и величины рассогласования
на (i текущем) шаге. U(i-1) – это значение выхода регулятора на прошлом (i-1) шаге. Y(i) и Y(i-1) – значение
регулируемой величины на текущем и прошлом шаге.
Регулятор на каждом шаге рассчитывает величину приращения управляющего сигнала ΔU(i), который
добавляется (или вычитается) к предыдущему сигналу на исполнительный механизм. U(i) = U(i-1) + ΔU(i). Контроллер
(компьютер) выдает на исполнительный механизм это значение U(i).
Начальное значение UО включено в состав интегральной части как значение на первом шаге и далее в явном виде
не проявляется. При изменении свойств объекта управления регулятор сам будет подстраиваться под объект путем
подбора нового значения Ui при достигнутом заданном режиме.
В вычислительном плане алгоритм чрезвычайно прост. Требуется:
ввести коэффициенты К, Ki, KD и величину UО в программу;
запомнить значение выходного сигнала с регулятора U(i-1);
получить значения e(i) = Y(i) - Z;
рассчитать значения ΔUp(i), ΔUi(i), ΔUD(i) по указанным выше формулам;
рассчитать значение ΔU(i);
найти значение U(i) = U(i-1) + ΔU(i) и выдать его на исполнительный механизм;
продолжить эту последовательность действий, начиная со второго пункта;
5.5 Качество работы системы
Важным показателем качества является устойчивость, поскольку основное назначение системы регулирования
заключается в поддержании заданного значения регулируемого параметра. Регулятор воздействует на систему таким
образом, что ликвидирует это отклонение. Если система в результате этого воздействия возвращается в исходное
состояние, то такая система называется устойчивой. Если же возникают колебания со все возрастающей амплитудой
или происходит монотонное увеличение ошибки е, то система называется неустойчивой.
Пусть выходной сигнал звена или системы y(t) рассматривается как сумма двух составляющих y(t) = yуст + уп(t),
где
y уст  lim y(t )
t 
- и уп(t) – переходная составляющая, равная
уп(t) = y(t) – yуст.
Необходимое и достаточное условие устойчивости формулируется следующим образом: Звено или система
называются устойчивыми, если переходная составляющая с течением времени стремится к нулю:
lim yп (t )  0
t 
. (То есть весь переходный процесс стремится к установившемуся состоянию). Если уп(t) с течением
времени стремится к бесконечности, звено или система называются неустойчивыми.
5.5.1 Прямые показатели качества
К ним относятся: степень затухания , перерегулирование , статическая ошибка ест, время регулирования tp и
другие. Они понятны при визуальном рассмотрении. Рассмотрим их, использую нижеприведенный рисунок
переходного процесса
По нему можно понять все определения для установившегося значения выходного сигнала.
y уст  lim y(t )
t 
.
Степень затухания  определяется по формуле
  1
A3
A 1 , где А1 и А3 - соответственно 1-я и 3-я амплитуды переходной кривой.
Перерегулирование
=
y max  y уст
A1

y уст
y уст
где ymax - максимум переходной кривой.
Статическая ошибка ест = х - ууст, где х - заданная величина.
Время достижения первого максимума tм - определяется по графику.
Время регулирования tp определяется следующим образом: определяется допустимое отклонение  и строится
«коридор» шириной 2. Это есть время, после которого колебания регулируемой величины перестают превышать
допустимого отклонения от установившегося значения.
Оптимальные значения времени регулирования, времени достижения первого максимума,
перерегулирования и статической ошибки соответствуют минимальным значениям (чем меньше, тем лучше).
Степень затухания, наоборот, должна быть максимально большой (максимум  равен 1).
5.6. Правила настройки регуляторов.
На практике применяются различные приближенные методики определения параметров настройки регуляторов. В
качестве примера рассмотрим методику колебаний Зиглера-Никольса настройки регуляторов для устойчивых
объектов, которая заключается в следующем. На реальном объекте с П-регулятором начинают постепенно
увеличивать значение коэффициента усиления K до тех пор, пока в замкнутой системе не возникнут автоколебания.
Это есть критическое усиление Kкр и критический период колебаний Ткр. Затем находятся приближенные значения
параметров в соответствии с рекомендациями таблицы 2.11. Здесь предполагается, что передаточная функция
W(s) 
объекта представлена в виде (апериодическое звено):
постоянная времени, τ – время запаздывания.
K  s
e
Ts  1 здесь
K –коэффициент усиления; Т –
Таблица 2.11. Определение параметров настройки регулятора по методике колебаний Зиглера-Никольса.
Закон регулирования
Значение параметров настройки
П
К П = 0.5 Kкр
ПИ
КП = 0,45 Kкр, ТИ= 0,85 Ткр
ПИД
К П = 0,6 Kкр, ТИ= 0,5 Ткр , Тд= 0,05 Ти
Необходимо отметить, что получаемые параметры настройки с использованием рекомендаций табл. 2.11 следует
рассматривать как начальные значения, которые в последующем требуют уточнения.
При настройке ПИД-регулятора надо учитывать, что интегральная составляющая (И) позволяет обеспечить нулевую
ошибку слежения, однако вследствие отрицательного фазового сдвига ее действие имеет тенденцию к
дестабилизации. Дифференцирующая составляющая (Д) придает регулятору прогнозирующее свойство. За счет того,
что управляющее действие пропорционально скорости изменения ошибки обеспечивается стабилизирующий эффект,
однако это может приводить к выработке больших управляющих сигналов.
6
Современный подход - пространство состояний.
Работу системы управления можно описать словесно. Словесное описание помогает понять принцип
действия системы, ее назначение, особенности функционирования и т.д. Однако, оно не дает количественных
оценок качества управления, поэтому не пригодно для нахождения характеристик и синтеза систем
автоматизированного управления.
Исторически теория автоматического управления (ТАУ) построена на использовании - преобразований
Лапласа. В частотных методах описывается связь между входными и выходными сигналами.
Но теряется глубина понимания процессов. Говорят о «Черном ящике». Такая модель называется внешним
описанием
, в противоположность уравнению состояния
.
В настоящее время процессы моделируют набором связанных между собой дифференциальных уравнений
баланса энергии, массы, компонентов масс, сил и моментов. Состоянием называется набор всех переменных Хi,
производные которых входят в систему дифференциальных уравнений. Если известны текущие значения
переменных состояния ( Х0 ) и управляющие сигналы, то можно описать дальнейшее поведение системы. Состояние
это вектор – столбец из переменных состояния.
Непосредственно измерить все переменные состояния обычно не удается. Существуют
переменные, которые непосредственно не измеряются. Поэтому параметры разделяются на измеряемые и
наблюдаемые.
6.1 Линейная система дифференциальных уравнений для переменных состояния записывается в виде:
6.1
Основу математической модели многомерной системы во временной области составляет векторноматричная форма записи системы дифференциальных уравнений первого порядка, которая носит название
уравнения состояния. Эта система уравнений в векторно-матричная форме имеет вид –
(6.11.)
где
— вектор состояния размерности
определяющие его состояние,
, который включает в себя переменные объекта, однозначно
— вектор управления или входа размерности
систему извне,
, который включает в себя сигналы, действующие на
— матрицы параметров, включающие в себя параметры системы, размерность которых соответственно
,
— порядок системы.
6.2 Если подставить эти матрицы в уравнение состояния (1) то получится развернутая форма –
. 6.2
6.3
Измерямые датчиками параметры считаются выходными параметрами. Измеряемые величины нужно связать
с компонентами состояния векторными выражениями. которое определяет переменные состояния, доступные для
наблюдения –
(2) .
где
наблюдения,
— вектор выхода размерности
, который содержит переменные объекта, доступные для
— матрица параметров размерности
–
Уравнение выхода (2) также можно записать в развернутой форме
6.3
Выходные величины – измерения, обозначаются через Y1, Y2,…Yp и составляют вектор столбец
. Мы видим, что выходные переменные классической теории попрежнему используются, но
с состояниями они связаны дополнительной системой уравнений.
Обычно число измеряемых величин Р меньше числа переменных состояния N и требуется дополнительно
исследовать ОУ для нахождения для получения нужной информации.
Управляющие входные сигналы, которые
влияют на переменные состояния, которые может изменять человек, обозначаются U. В векторной форме:
.
6.2 Пример описание линейных многомерных процессов
Рассмотрим смесительный бак, схема которого представлена на рис. 1.З Бак наполняется с помощью двух
потоков, имеющих переменные расходы F1(t) и F2(t). Оба входных потока содержат растворимое вещество с
постоянными величинами концентрации c1 и с2. Выходной поток имеет скорость истечения F(t). Предполагается, что
содержимое бака перемешивается так, что концентрация выходного потока равна концентрации c(t) в баке.
Управляемык Вентили позволяют изменять расходы F1(t) и F2(t). Выходной поток F(t) идет самотеком и зависит от
высоты жидкости h в емкости. Этот расход определяется законами физики и рассчитывается согласно формуле 1.30.
В свою очередь, уровень (высоту) находим как объем деленный на площадь поперечного сечения бака. Поскольку в
баке происходит активное перемешивание и концентрация усредняется по всему объему. Первое уравнение для
смесительного бака - уравнения баланса масс. Второе уравнение это уравнение баланса массы растворимого
вещества (компонента), например, кислоты.
Установившееся значение процесса используется как базовый уровень, относительно которого справедливы
дифференциальные уравнения. Значения этого режима являются начальными значениями для дифуравнений.
Из выражений равновесия 1.34 – 1.36 вытекает, что у каждого установившегося состояния будут свои коэффциенты
в уравнении А. Они зависят от значений V0, F10 , F20. Уравнения баланса в численном виде соответсвенно будут
выглядеть различно для разных установившихся значений. Каждому из установившихся значений будет
соответсвовать свое дифференциальное значение. Поиск численных коэфициетов дифуравнения для заданного
равновесного состояния называется процедурой линеаризации.
Связь переменных состояния и входных переменных, описанная в уравнениях будет представлена системой
линейных уравнений. Величина Θ есть время заполнения бака и определяется по выражению ϴ = V0/F0.
В матричном виде с
матрица С, связывающая измеряемые величины выходного потока (Х1-расход, С0концентрация) с параметрами состояния, имеет вид:
Полученные выражения соответствуют общему виду системы (уравнения 6.2 и 6.3).
Если численные значения расходов, концентраций и объема для установившегося режима
будут, например:
(режим 1)
то система уравнений после подстановки численных значений в выражение выглядит так:
Это линеаризванное выражение для режима 1.
Для другого равновесного состояния будут другие другие численные входов, уровня и, соответственно, другие числа в
матрицах. Все решения системы с указанными числовыми значениями соответствуют только данному рановесному
состоянию. Для системы с постоянными параметрами такие коэффициенты будут неизменными или линейно
связанными. Тогда и решения ситемы будут постоянными. Но если коэффициенты изменяются нелинейно, как в
нашей системе, такую систему характеризует набор решений для кождого равновестного состояния. Нужно
опрелелится на каких равновесных состоянния мы будем регулировать параметры процесса.
Обычно число управляющих величин R меньше, чем переменных состояния N.
Возмущения (изменения нагрузки, внутренние шумы) которые влияют на переменные состояния, обозначаются V:
Согласно теории дифференциальных уравнений решение для Х(t) систем с постоянными параметрами записывается:
Где λi собственные значения (полюса) характеристического уравнения матрицы А, е i - соответствующие им
собственные вектора, ʍi – коэффициенты с учётом начальных значений Х0 и нолей характеристического
уравнения.
7. Свойства объектов описанных в уравнениях параметров состояния.
Анализ свойств матричной системы состояний методами линейной алгебры позволяет ввести и оценивать
новые свойства системы Управляемость объекта и Восстанавливаемость (наблюдаемость) системы.
7.1 Управляемость объекта
Понятие управляемости введено известным математиком Кальманом. Оно утверждает возможность перевода
всех параметров состояния объекта из любого заданного значения в любое другое заданное значение за
конечное время. Имеется в виду, что входной управляющий вектор/ переменная, изменяясь, переводит систему
из одного состояния в другое Если это условие выполняется мы имеем полностью управляемую систему. Если
часть параметров состояния управляющим воздействием невозможно перевести в требуемое состояние, то такая
система частично управляема. Примером частично управляемой системыслужит смесительный бак в случае
подачи обеих расходов с одинаковыми концентрациями С1 . (U) = (F1, F2).
Как бы мы не изменяли параметры
концентрацию в баке С на любое значение кроме С 1 нам не удастся.
F1, F2, вывести
Вводится понятие матрицы управляемости, анализ которой дает понимание можно ли добится требуемого
управления. Для линейных систем с
постоянными параметрами справедлив следующий результат:
N-мерная линейная система с постоянными параметрами х (t) = Ах (t) + Bu (t) является полностью управляемой
тогда и только, тогда, когда вектор-столбец матрицы управляемости
Р = (В, АВ, А2В, …., Аn-1 В)
порождает n мерное пространство ( имеет ранг n).
То есть матрица Р должна иметь размерность N. В таком случае входные управляющие переменные могут влиять
на все
n параметров состояния. Если такого нет то мы имеем два подпространства: подпространство
управляемых состояний и подпространство неуправляемых состояний. При учете наличия управляемых и
неуправляемых величин, дифференциальное уравнение состояния
преобразуется в каноническую форму
управляемости:
Здесь подматрица
A11, связанная с управляемой частью
параметров состояния, имеет размерность m соответствующую размерности управляющей подматрицы В1 , а
пара A11, В1 является полностью управляемой.
Определение Ранг матрицы (размерность матрицы)
подматрицы, у которой определитель не будет равен 0.
равен числу строк (столбцов) наибольшей
ее
7.2 Восстанавливаемость (наблюдаемость) системы
Смысл восстанавливаемости (наблюдаемости) - определения настоящего (текущего) состояния по прошлым
наблюдениям.
Возможность
восстанавливаемости
математически
сформулировано
Калманом.
Восстанавливаемость жестко связана с понятием наблюдаемости. Наблюдаемость является свойством системы,
показывающим, можно ли по измеряемому выходам (параметрам) полностью восстановить информацию о
состояниях системы. Система называется наблюдаемой, если на конечном интервале времени по выходу
системы в конце этого интервала и при известном управляющем воздействии U(t) можно определить все
начальные компоненты вектора состояния Х(t).
N-мерная линейная система с постоянными параметрами
является полностью наблюдаемой в том и только том случае, если
вектор-строки матрицы восстанавливаемости порождают п-мерное пространство ( имеет ранг n).
.
Восстанавливаемость зависит только от матриц матрицы измерений С и матрицы А. Она должна иметь
размерность N. Это означает, что измеряемых параметров должно быть достаточно чтобы рассчитать все n
параметров состояния. Если система не является полностью восстанавливаемой, то по выходным измеряемым
переменным невозможно однозначно установить, в каком состоянии находится часть системы.
Система наблюдаемых и ненаблюдаемых параметров состояния представляется в канонической форме
восстанавливаемости:
Здесь А'11 — матрица размерами m X m, а пара А'11, С'1 , является
полностью восстанавливаемой (наблюдаемой). По наблюдениям y (t) мы можем восстановить все компоненты
состояний, входящих в блок А‘11. Соответственно наблюдаемыми состояниями системы являются те компоненты
вектора состояния, которые можно восстановить по условиям, приведённым выше. Остальные параметры
являются ненаблюдаемыми. Ненаблюдамые параметры определить не удастся, пока не будет изменена
матрица А или матрица С.
7.3 Восстановитель состояния
Фи́ льтр Ка́лмана — рекурсивный фильтр оценивающий вектор состояния динамической системы, используя ряд
неполных и зашумленных измерений. Назван в честь Рудольфа Калмана. Фильтр Калмана предназначен для
рекурсивного дооценивания вектора состояния динамической системы. Для расчёта текущего состояния системы
необходимо знать текущее измерение, а также предыдущее состояние самого фильтра. Фильтр Калмана, другим
фильтрам, реализован во временно́ м, а не в частотном представлении, но в отличие от других фильтров, фильтр
Калмана оперирует не только оценками состояния, а еще и оценками неопределенности (плотности распределения)
вектора состояния, опираясь на формулу Байеса условной вероятности.
Алгоритм реализует два действия. Сначала фильтр Калмана экстраполирует (предсказывает) значения переменных
состояния, а также их неопределенности на текущий шаг по итоговой оценке состояния с предыдущего шага. На
втором действии по данным измерения, полученного с погрешностью, результат экстраполяции уточняется путем
дополнения
соответствующими текущими измерениями, умноженными на матрицу коэффициентов
K(t).
Скорректированная таким образом оценка называется апостериорной оценкой состояния, либо просто оценкой
вектора состояния
.. Благодаря пошаговой природе алгоритма, он может в реальном времени отслеживать
состояние объекта (без заглядывания вперед, используя только текущие замеры и информацию о предыдущем
состоянии и его неопределенности).
Для наблюдаемых систем, описываемых матричными уравнениями
x°(t) = A (t) x(t) + B (t) u (t)
y(t)=C(t)• X(t)
с помощью восстановителя состояния
x˄° (t)=A (t)x˄ (t) + B(t) u(t) + K(t) [y (t) -C(t)x ˄ (t) ]
получают x ˄ - оценки параметров состояния Х, в том числе и для неизмеряемых .
Важный элемент для коррекции есть матрица коэффициентов усиления K(t). Она содержит в себе информацию о
ковариационных матрицах возмущений (шумах) самого объекта управления и шумах измеряемых параметров.
Pk|k-1 матрица ковариаций шумов переменных состояния объекта контроля. Sk - матрица ковариаций шумов
измерений. Hk – матрица из единиц и нулей, указывающая для каких переменных состояния складываются шумы
возмущений и измерений. Где единичка там складываются, где 0 - суммирования нет.
Посколько здесь есть матрица Pk|k-1 , использующая значения на текущем и предыдущем шаге, то расчет матрицы
усиления рекурсивен. Если эта матрица сходится после ряда шагов расчета, то ее установившееся значение можно
принять как матрицу с постоянными значениями и не корректировать дальше на каждом шаге восстановителя
состояния.
Таким образом наблюдатель использует принцип обратной связи и сравнивает оценку измерений, полученную с
использованием оценки состояния, со значением, идущими непосредственно от датчиков с коррекцией по шумам.
Восстановители состояния реализуются на вычислительных устройствах – компьютерах и контроллерах.