www.kvadromir.com ГЕОМЕТРИЯ

www.kvadromir.com
ГЕОМЕТРИЯ
ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ
Определение: Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается
началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором.
Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой,
либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Два ненулевых коллинеарных вектора называются сонаправленными, если они
направлены в одну сторону.
Два ненулевых коллинеарных вектора называются противоположно направленными,
если они направлены в разные стороны.
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
  
Свойства: Для любых векторов a , b , c и любых чисел k , l , справедливы равенства:
   
1.
a  b  b  a ; 

 

a b c  a  b c ;
2.
  
3.
a  0  a ;



a b  a  b ;
4.
5.
kla  k la ;
6.
k  l a  ka  la ;

 

k a  b  ka  kb .
7.




 


 
 
Лемма: Если векторы a и b коллинеарны и a  0 , то существует такое число k , что


b  ka .
Координаты вектора, с началом в точке Ax1 ; y1  и концом в точке Bx2 ; y 2  , равны
разностям координат конца и начала, то есть

ax2  x1 ; y2  y1 .
Координаты середины отрезка АВ, с концами в точках Ax1 ; y1  и Bx2 ; y 2  , равны
x  x2
y  y2
.
x 1
, y 1
2
2


Длина вектора ax; y вычисляется по формуле a  x 2  y 2 .
Расстояние между точками Ax1 ; y1  и Bx2 ; y 2  выражается формулой
d  AB 
x2  x1 2   y 2  y1 2 .
Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r имеет вид:
x2  y2  r 2 .
www.kvadromir.com
1
www.kvadromir.com
Уравнение окружности с центром в точке С x0 ; y 0  и радиусом r имеет вид:
x  x0 2   y  y0 2  r 2 .
Уравнение прямой принимает вид ax  by  c  0 .
ПЛАНИМЕТРИЯ
Прямоугольный треугольник
a2  b2  c2 ;
Теорема Пифагора :
    90 0 ;
a  c  sin   c  cos   b  tg  b  ctg ;
b  c  sin   c  cos   a  tg  a  ctg ;
a
a
b
b



;
sin  cos  sin  cos 
a
b
b
a
sin   ;
sin   ;
cos   ;
cos   ;
c
c
c
c
a
b
b
a
tg  ;
tg  ;
ctg  ;
ctg  ;
b
a
a
b
1
1
Площадь треугольника : S  a  b  c  hc ;
2
2
c

c
b
h

a
2
www.kvadromir.com
www.kvadromir.com
Произвольный треугольник
Теорема косинусов : c 2  a 2  b 2  2ab cos  ; a 2  c 2  b 2  2cb cos  ;
b 2  c 2  a 2  2ca cos  ;
Теорема синусов :
a
b
c


;
sin  sin  sin 
      180 0 ;
Площадь треугольника : S 
S
1
1
1
a  b  sin   b  c  sin   c  a  sin  ;
2
2
2
1
1
1
a  ha  b  hb  c  hc ;
2
2
2
abc
 полупериметр.
2
Связь площади треугольника с радиусами вписанной и описанной окружностей :
Формула Герона : S 
S r p 
p p  a  p  b  p  c , где p 
abc
;
4R

c
b

hb

a
www.kvadromir.com
3
www.kvadromir.com
Четырёхугольники.
Площадь трапеции: S 
ab
h
2
Здесь a, b  длины оснований; h  высота. .
S  a  b  sin  .
Площадь параллелограмма:
Здесь a, b  стороны,   угол между ними.
Площадь ромба:
S
1
d1  d 2 .
2
Здесь d1 , d 2  диагонали ромба.
1
d1  d 2  sin  .
2
Здесь d1 , d 2  диагонали четырёхугольника,   угол между ними .
S
Площадь произвольного четырёхугольника:
Правильные многоугольники
Угол правильного многоугольника:  n 
n2
180.
n
Теорема: Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и
притом только одну.
Теорема: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом
только одну.
1
P  r.
2
Здесь P - периметр многоугольника, а r - радиус вписанной окружности.
Площадь правильного n-угольника:
S
Сторона правильного многоугольника равна:
a n  2 R sin
180
.
n
Радиусы вписанной и описанной окружностей связаны соотношением:
180
r  R cos
.
n
4
www.kvadromir.com
www.kvadromir.com
Окружность и круг
Площадь круга:
S    R2.
Длина окружности:
L  2    R.
Здесь R  радиус.
Длина дуги окружности с углом :
Площадь сектора с углом :
l
S
R 2
360
R
180
.
.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Куб
V  a3.
Объём куба со стороной a :
Площадь полной поверхности куба:
S  6a 2 .
Призма
Объём призмы (или параллелепипеда):
V  S  h.
Пирамида
Объём пирамиды:
V 
Цилиндр
Объём цилиндра:
V  S  h    R 2  h;
Конус
1
S  h.
3
Площадь боковой поверхности цилиндра:
S бок  2  R  h;
Площадь полной поверхности цилиндра:
S  2  R  R  h .
Объём конуса:
V 
1
1
S  h    R 2  h;
3
3
S бок    R  L;
Площадь боковой поверхности конуса:
Площадь полной поверхности конуса:
S    R  R  L.
Здесь R  радиус основания, h  высота, L  образующая .
Сфера и шар
Площадь сферы:
Объём шара:
S  4R 2 .
V 
4 3
R .
3
www.kvadromir.com
5