Appx_17_RayleighEq

1
А.П. Солодов
Электронный курс
Уравнение Рэлея.
Гидродинамическая неустойчивость
1. Введение
В природе и технике мы имеем дело с различными стационарными и
нестационарными процессами. Хотя с философской точки зрения «все
течет…, все меняется»1, следует признать, что инженерному мышлению
ближе стационарный подход. Этому имеется две причины. Во первых,
большие технические системы работают в стационарных условиях, на
расчетных, оптимизированных режимах. Например, ядерные электростанции
предназначены для работы в базовом режиме с постоянной нагрузкой. Вовторых, стационарные режимы проще для изучения и понимания.
Однако такой стиль инженерного мышления таит в себе серьезные
опасности. Любая система подвержена случайным возмущениям, к которым
можно условно отнести также случающиеся время от времени ошибки
персонала. Поведение системы после внесения возмущения является ее
важнейшей характеристикой. Если происходит возвращение к исходному
состоянию, она устойчива и надежна в эксплуатации. Если нет, то
необходимо специальное управление, технический отказ которого может
привести к катастрофе.
Исследование устойчивости начинается с анализа реакции системы на
малые возмущения. Благодаря малости отклонений от положения равновесия
возможна линеаризация математической формулировки задачи. С
линейными уравнениям для малых возмущений работать гораздо проще, чем
с общим, чаще всего нелинейным математическим описанием.
Фундаментальная идея – разложение решения вблизи точки равновесия по
степеням малых отклонений – является одним из пунктов обсуждения в
настоящей главе.
Если система устойчива по отношению к малым возмущениям, то это
позитивный результат. Строго говоря,
далее следует проверить
устойчивость по отношению к конечным возмущениям, которые обычно
являются уже нелинейными. Это сложная задача и актуальная тема для
специальных исследований.
Если система неустойчива к малым возмущениям, то она абсолютно
неустойчива. Применительно к технике или технологии, следует сделать
вывод о том, что вряд ли стоит проектировать установку с таким свойством,
полагаясь только на специальное стабилизирующее управление. Если же
говорить о некотором явлении, то фактически речь идет о его
наблюдаемости, реализуемости. Действительно, следует задаться вопросом,
1
В.В.Маяковский, «Мелкая философия на глубоком месте», 1925
2
А.П. Солодов
Электронный курс
как можно зафиксировать некоторое явление, физическое состояние или
режим, если любые малые возмущения разрушают его.
К задачам обсуждаемого рода относится проблема гидродинамической
устойчивости. Волны на воде, возникающие под действием ветра, или
переход от ламинарного режима течения в трубе к турбулентному при
увеличении скорости – примеры из этой области. Особый внутренний
драматизм проблемы состоит в том, что гладкие, без волн и турбулентности,
решения естественным образом получаются из полной системы
дифференциальных уравнений гидродинамики. Нет никаких видимых
причин, по которым решение Пуазейля с параболическим профилем
скорости, такое как в кровеносных капиллярах, неправильно для
газопровода с диаметром трубы почти в человеческий рост. Неясно, почему
ветер не только ускоряет поверхностный слой воды благодаря трению, но и
обязательно приводит к возникновению волн.
Тому, как получают ответ на эти вопросы, посвящена настоящая глава.
Центральное место занимает анализ дифференциального уравнения Рэлея:
 U 

v  
 k 2   v , (1)
U  c

где v – комплексная амплитуда возмущений скорости, искомая функция
поперечной координаты y; U(y) – профиль скорости основного,
невозмущенного потока; k – волновое число; с – комплексная скорость
возмущений, c = cr + ici . Для различных длин волн (различных k) будут
найдены значения волновой скорости c и решен вопрос о нарастании или
затухании возмущений. Будет также определено поле возмущений скорости.
С точки зрения техники работы в Mathcad, сделаем акцент на
интегрировании
дифференциальных
уравнений
с
комплексными
коэффициентами и на интерпретации получившихся комплексных решений.
2. Уравнения гидродинамики для
свободного сдвигового потока
Мы рассмотрим вопрос об устойчивости к малым возмущениям
модельного плоскопараллельного потока с характерным S–образным
профилем (Рис. 1). Ось x направлена вдоль основного течения, ось y –
перпендикулярно ему. Предполагается, что скорость основного потока
изменяется только вдоль оси y, так что U = U(y). Основные изменения
скорости сосредоточены в слое толщиной 2H вблизи точки перегиба
профиля скорости.
3
А.П. Солодов
Электронный курс
x
U0
y
-U0
2H
Рис. 1. Профиль скорости основного потока.
В дальнейшем величины U0 и H приняты за масштабы для скорости и
координат. Поэтому независимые переменные (координаты и время),
искомые функции (скорость и давление) и параметры k и c следует
рассматривать как безразмерные величины в соответствии с формулами
преобразования:
U 0
x
y
W
p
x
; y ; 
; W
; p
;
H
H
H
U0
U 02
k  k  H ; c  cr  i  ci 
c
cr
i i .
U0 U0
(2)
Профиль безразмерной скорости основного, невозмущенного течения
рассматриваемого типа хорошо аппроксимируется гиперболическим
U
 f ( y )  tanh( y) .
тангенсом:
U0
( 3)
Прототипом такого течения может служить слой сдвига, получающийся
при большом вдуве через проницаемую стенку. Похожий профиль скорости
получается на краю струи, истекающей из сопла реактивного двигателя, или
при впадении реки в море. Таким образом, круг относящихся к теме явлений
очень широк.
Математическая формулировка в безразмерной форме для этой задачи
записывается следующим:
4
А.П. Солодов
Электронный курс
U V

0
x y
(4)
U
U
U
P 1   2U  2U 
U
V

 



x
y
x R  x 2 y 2 
(5)
V
V
V
P 1   2V  2V 
U
V

 



x
y
y R  x 2 y 2 
(6)
где R = U0H / 
жидкости.
– число Рейнольдса,

– кинематическая вязкость
3. Метод малых возмущений.
Линеаризация.
Предполагаемое решение, т.е. поля скорости W = (U,V) и давления P,
представим как сумму основного течения и возмущений:
U ( x, y, )  f ( y)    u( x, y,τ ); V ( x, y, )    v( x, y,τ );
P( x, y, )  P0    p( x, y, ),
(7)
где  << 1 малый параметр.
Сделаем подстановку асимптотических представлений (7)
в полные
уравнения (4)–(6). В результате уравнения будут содержать члены с разными
степенями малого параметра . Главная идея состоит в том, чтобы собрать
вместе слагаемые с одинаковыми степенями малого параметра, т.е. одного
порядка малости. Эти операции может выполнить символьный процессор
Mathcad с помощью оператора collect, как показано ниже. Поскольку строки
вычислений получаются очень длинными, их пришлось разбить на
фрагменты,
предварительно
заблокировав
вычисления,
о
чем
свидетельствует черная метка в верхнем правом углу.
Результат подстановки (7) в уравнение неразрывности (4) показан на
Рис. 2.

x

U  x  y   
y
V  x  y  
0



 u  x  y    v  x  y     
y
 x

substitute  U x  y  
f ( y)    u  x  y   
substitute  V  x  y  
  v  x  y  
collect  
0

5
А.П. Солодов
Электронный курс
Рис. 2. Подстановка разложений в уравнение неразрывности
Параметр  можно сократить, и в результате получается уравнение
неразрывности относительно возмущений скорости, не отличающееся по
виду от исходного уравнения.

t
U( x  y  t) substitute  U( x  y  t)

f ( y)    u ( x  y  t )    u ( x  y  t )
t
____________________________________________________________

U  x  y    
 x
substitute  U x  y  

collect  
f ( y)    u  x  y  

 
u x  y    
x
x
____________________________________________________________
u  x  y   


U  x  y   
u  x  y      f ( y) 
2

V  x  y    
 y
v  x  y   

y

U  x  y   

substitute  U x  y  
f ( y)    u  x  y  
substitute  V  x  y  
  v  x  y  
collect  
u  x  y      v  x  y   
2


y
f ( y)  
Рис. 3. Линеаризация уравнения движения
Проведем теперь подстановки (7) в левую часть уравнения движения (5)
(см. Рис. 3). В результате получаются слагаемые порядка  и порядка 2.
Нелинейные слагаемые, содержащие произведения возмущений и их
производных, оказываются величинами более высокого порядка малости
(2 << ), и ими можно пренебречь. Собственно в этом и состоит полезность
метода малых возмущений.
Дальнейшие вычисления совершенно однотипные, и мы их не
воспроизводим. Собирая члены одного порядка, получают следующую
систему дифференциальных уравнений для возмущений поля течения, т.е.
для пульсаций u, v, p продольной и поперечной скорости, а также давления:
u v

0
x y
(8)
  f ( y) 
u
u
p 1   2u  2u 
 f ( y)  v
   2  2

x
y
x R  x
y 
6
А.П. Солодов
Электронный курс
(9)
v
v
p 1   2 v  2 v 
 f ( y)     2  2 

x
y R  x y 
(10)
Слагаемыми, содержащими множитель 2, мы пренебрегли как
величинами более высокого порядка малости. Главное преимущество
уравнений (8)–(10) перед исходной формулировкой (4)–(6) – линейность.
Как будет показано ниже, благодаря этому удается перейти от уравнений в
частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнением.
4. Переход в комплексную область
Два свойства уравнений (8)–(10) помогают сделать априорные
предположения о виде решения:
Линейность уравнений (8)–(10), означающая пропорциональность между
искомыми функциями u, v, p и их производными; таким свойством
обладает комплексная экспонента
exp(ik(x – cτ)), описывающая
распространение волны вдоль оси x с фазовой скоростью c (см. первый
блок вычислений в Mathcad-документе на Рис. 4).
Независимость переменных коэффициентов f(y) и f(y) от продольной
координаты x и времени  ; эти коэффициенты есть функции только от
поперечной координаты у.
Эти подсказки помогают построить и опробовать решения в виде
произведения комплексной амплитуды, зависящей от поперечной
координаты y, и волнового экспоненциального множителя, как это показано
во втором блоке вычислений на Рис. 4.
7
А.П. Солодов

x
Электронный курс
exp i  k   x  c    i  k  exp i  k   x  c  

exp i  k   x  c    i  k  c  exp i  k   x  c  

________________________________________
p  x  y    pa ( y)  exp i  k   x  c  
u  x  y    ua ( y)  exp i  k   x  c  
v  x  y    va ( y)  exp i  k   x  c  
________________________________________

x
u  x  y   

y
v  x  y  
0 simplify 



y
i  exp i  k   x  c     k  ua ( y)  i 

va ( y) 

0
Рис. 4. Переход в комплексную область
Следующий шаг – подстановка комплексных представлений в систему
(8) – (10) дифференциальных уравнений для возмущений. Эти операции
представлены в третьем блоке на
Рис. 4. на примере уравнения
неразрывности
(8).
Оператор
simplify
после
подстановок
и
дифференцирования упрощает исходное выражение. Комплексная
экспонента сокращается, а результат можно представить в виде (11).
На этом этапе работы сделаем существенное упрощающее
предположение, связанное с ролью сил вязкости. Будем считать вязкость
жидкости малой и пренебрежем операторами со вторыми производными в
правых частях уравнений (9) и (10). Формально, мы переходим к пределу
больших чисел Рейнольдса (R) и пользуемся тем обстоятельством, что
множители (1/R) перед операторами со вторыми производными стремятся к
нулю. Более подробный анализ показывает, что полные вязкие решения в
этом пределе действительно в основном сводятся к решению задачи о
невязких возмущениях.
Опуская рутинные промежуточные выкладки, выпишем получившуюся
систему обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной
области:
v  y   i k u( y) ;
(11)
8
А.П. Солодов
Электронный курс
i k u ( y )  f  y   c   v  y 
d
f  y   i k p( y) ;
dy
(12)
i k v( y )  f  y   c   p ( y ) .
(13)
Чтобы избежать громоздких обозначений, комплексные амплитуды
u(y), v(y), p(y) записаны индекса «а». Поскольку эти величины зависят только
от y, их нетрудно отличить от самих возмущений (например, от u(x,y,) ).
Дифференцируя уравнение (12) и комбинируя результат с (13), можно
исключить давление. После простых преобразований получают следующую
систему для невязких возмущений (u,v):

i  f ( y )
u  
 k2 v ;
k  f ( y)  c

(14)
v  i k u .
(15)
Продифференцировав (15) и взяв выражение для u из (14), можно
записать одно уравнение второго порядка (уравнение Рэлея) для поперечных
пульсаций v вместо системы двух уравнений первого порядка:
 f ( y )

v  
 k2 v .
f
(
y
)

c


(16)
Получившиеся уравнения (14), (15) и (16) – линейные и однородные.
Однако их коэффициенты непостоянны: они являются функциями
независимой переменной
y. Поэтому для интегрирования придется
воспользоваться численным методом.
Если при некотором заданном волновом числе k (т.е. для некоторой
длины волны) будет получено решение задачи возмущений, такое, что
мнимая часть фазовой скорости c является положительным числом, то имеет
место неустойчивость. Действительно, волновой экспоненциальный
множитель, который для краткости мы в дальнейшем будем обозначать
через h, можно представить в виде


h( x, )  exp(ik ( x  c))  exp ik  x   cr  ici     exp  kci   exp  ik  x  cr   
.
(17)
Первый сомножитель в правой части выражения дает экспоненциальный
рост возмущений во времени, если ci > 0. Полезно заметить, что второй
сомножитель описывает синусоидальные и косинусоидальные волны,
бегущие вдоль оси x с фазовой скоростью cr . Для полностью симметричной
9
А.П. Солодов
Электронный курс
системы с неподвижной средней линией (см. Рис. 1) следует ожидать cr = 0,
что соответствует стоячим волнам.
Отметим еще раз особенности задачи, связанные с использованием
комплексных переменных. Дифференциальные уравнения (14), (15) и (16)
записаны в комплексной области; их коэффициенты – комплексные
величины (мнимая единица фигурирует явно, кроме того фазовая скорость c
– комплексный параметр). Независимая переменная y (переменная
интегрирования) – вещественная величина. Это пространственная
координата, нормальная к направлению основного потока. Искомые
решения (u, v) будут комплекснозначными функциями от действительной
переменной y.
5. Численное интегрирование в
комплексной области. Программа
Euler
План дальнейших действий таков. Зададимся некоторым значением
волнового числа k и попытаемся найти допустимые решения для амплитуд
пульсаций u(y), v(y). Поскольку решается система второго порядка,
понадобится два граничных условия. Эти условия должны отражать
физически понятное требование затухания возмущений по обеим сторонам
от слоя сдвига.
Имеется некоторая свобода при выборе значения комплексной фазовой
скорости. Вещественная часть, как пояснялось выше, должна быть нулем, а
мнимую часть можно варьировать. Нам придется подбирать значение
фазовой скорости (ее мнимой части) так, чтобы получилось физически
допустимое, затухающее на бесконечности решение для возмущений
заданной длины волны.
Эти предварительные замечания приобретут более конкретный смысл,
когда мы приступим к операциям интегрирования. Однако здесь возникает
неожиданное препятствие. Попробуем обратиться к какому-либо
встроенному решателю дифференциальных уравнений (например, к
rkfixed) в случае, когда начальные условия (вектор IC) или правые части
(Dy) содержат мнимые или комплексные числа:
S  rkfixed ( IC  3  3  N  Dy).
Mathcad зафиксирует ошибку, отмечая красным IC или Dy и выводя
сообщение:
«This value must be real. Its imaginary part must be zero.»
т.е.: «Это значение должно быть реально. Его мнимая часть должна быть
нулевая.»
Система помощи выводит следующее пояснение:
10
А.П. Солодов
Электронный курс
«This expression contains an imaginary or complex valued expression
somewhere in which it is not allowed. Examples are subscripts and superscripts,
differential equation solvers, mod, and angle.»
т.е.: «Это выражение содержит мнимое или комплексное выражение там,
где это не позволяется. Примеры – нижние и верхние индексы, решатели
дифференциальных уравнений, mod и angle.»
Итак,
встроенные
решатели
Mathcad
не
работают
с
дифференциальными уравнениями в комплексной области. Необходимо
разработать пользовательскую функцию для численного интегрирования
систем дифференциальных уравнений, свободную от ограничений на тип
переменных. В качестве численного метода выберем достаточно точный и
простой при реализации модифицированный метод Эйлера.
ymdl
y
yR
yL
xL
xmdl
x
xR
Рис. 5. Метод Эйлера второго порядка
Алгоритм этого метода иллюстрируется на Рис. 5. Вычисляется наклон
касательной в начальной (левой) точке и делается половинный шаг. По
значениям в средней точке (xmdl, ymdl) находится наклон касательной в
середине отрезка. Эта касательная близка к истинной. Теперь из левой точки
делается полный шаг вдоль касательной, определенной в средней точке.
Благодаря симметрии средней точки порядок метода получается
повышенным: при уменьшении шага вдвое ошибка уменьшается в четыре
раза.
Соответствующая вычислительная программа на языке Mathcad
представлена на
Рис. 6. Структура матрицы, содержащей результат
интегрирования, для функции Euler такая же, как для встроенной функции
rkfixed: первый столбец содержит вектор значений независимой переменной,
второй, третий и т.д. столбцы – векторы решений для искомых функций,
составляющих систему дифференциальных уравнений, в том порядке как
они указаны в векторе правых частей Dy. Обозначения в программе выбраны
11
А.П. Солодов
Электронный курс
вне связи с конкретной задачей о гидродинамических возмущениях; x и y
означают аргумент и функцию, как на Рис. 5. Резервный параметр P
включен в список для удобства дальнейшего использования программы
Euler.
Euler ( IC  xL  xR  N  Dy  P) 
  Y 0  IC 
h
 X0  xL 
( xR  xL)
N
for n  0  N  1
  x  Xn
 L
 y L  Y n  
x mdl  x L 
h
2
y mdl  y L 
1
 h  Dy x L  y L  P
2




y R  y L  h  Dy x mdl  y mdl  P
 Xn1  x  h Y n1  y 
L
R 



T
augment X  Y




Рис. 6. Mathcad-программа метода Эйлера
6. Интегрирование и поиск
собственных значений
Располагая теперь программой Euler, можно приступить к
интегрированию системы (14), (15). Общая последовательность действий
должна быть такой:
Записать вектор правых частей Dw системы дифференциальных уравнений
(14), (15) и задать подходящие начальные условия для составляющих
скорости (w0,w1) ≡ (u,v) на одном из концов отрезка интегрирования
(Рис. 7).
Составить функцию, оценивающую удачность выбора пробного значения
cIm (uDv(t) на Рис. 8).
Организовать автоматический поиск подходящего значения cIm (блок Given
… Find на Рис. 8).
Представить результаты в наглядной графической форме (Рис. 9–Рис. 12)
12
А.П. Солодов
k  0.4
Электронный курс
f ( y)  tanh ( y)
c ( cIm )  ( 0  i  cIm )
 


2
 d f ( y)

 
2

dy
2
Dw ( y  w  cIm )   i  
 k   w1 

 k  f ( y)  c ( cIm )



i  k  w 0


i
IC   
1
.
Рис. 7. Правые части системы дифференциальных уравнений и начальные
условия
Подходящие начальные условия IC (Рис. 7) на левом конце отрезка
интегрирования (при y = –3) выбираются следущим образом. Рассмотрим
решения уравнения (16) за пределами слоя сдвига, т.е. при y < –3 и при
y > 3. Вторая производная от профиля скорости основного течения здесь
равна нулю (см. Рис. 1). Поэтому получается уравнение с постоянными
коэффициентами
v   k 2 v
(18)
с решениями:
v  A1 exp  ky   A2 exp  ky  .
(19)
Ясно, что для y < –3
бесконечности решение:
v  A2 exp  ky  ; u 
следует выбрать затухающее на отрицательной
A k exp  ky 

v
 2
ik
ik
( 20)
Выражение для u получено из (15). Значение A2 удобно (без потери
общности) выбрать равным exp(3k). Тогда в точке y = –3
получим
следующие условия, обеспечивающие затухание на отрицательной
бесконечности:
u(–3) = i ; v(–3) = 1.
(21)
Эти значения записаны в форме вектора
IC
на Рис. 7 и они
используются как начальные условия при обращении к решателю Euler.
В результате интегрирования получается некоторая точка (u(3), v(3)) на
правом конце отрезка интегрирования. Для допустимого решения эта точка
должна принадлежать затухающей на бесконечности ветви решения (19):
 A k exp  ky  u
v
v  A1 exp  ky  ; u    1
;
 1 i
ik
ik
v
13
А.П. Солодов
Электронный курс
(22)
Последнее из соотношений (22) задает условие, которое должно
выполняться на правом конце отрезка интегрирования. Соответствующая
программная реализация в виде пользовательской функции uDv(t) дана на
Рис. 8; t – «немое» обозначение для мнимой части фазовой скорости, т.е. для
cIm (или cimag). Поиск подходящего, собственного значения задачи cimag
организуется как решение нелинейного уравнения в блоке «Given … Find».
Конечно, никакой явной записи этого
нелинейного «уравнения» не
существует, а происходит обращение к функциям YUV, Euler, uDv , чтобы
вычислить отношение (u/v) на правом конце отрезка интегрирования и
сделать это отношение правильным (равным –i , см. (22)) посредством
подбора значения сimag. Этим «подбором» занимается встроенная функция
Find.
N  100
uDv( t) 
YUV ( cIm )  Euler ( IC  3  3  N  Dw  cIm )
 2 
 u  YUV ( t) 1
inf
N vinf  YUV ( t)
N






uinf
vinf
____________________________________________________
t  0.45
Given
Im ( uDv( t) )

cimag  0.46986


1
cimag  Find( t)
   1.336  10 4
Re uDv cimag

yuv  YUV cimag
Рис. 8. Поиск собственного значения cimag и собственных функций yuv (t –
«немое» обозначение для cimag , 0.45 – первое приближение)
Результаты вычислений получились следующими. Для волнового числа
k = 0.4 значение комплексной фазовой скорости оказалось равным
с = i  0.46986. Таким образом, существует решение с положительной
мнимой частью фазовой скорости. В соответствии с (17), будет наблюдаться
экспоненциальный рост возмущений. За некоторый промежуток времени
первоначально малые пульсации достигнут конечных значений,
соизмеримых со скоростью основного потока. Реальной оценкой является
примерно 10% от U0 . Произойдет переход от ламинарного течения к
турбулентному.
Аналогичные вычисления проводят и для других длин волн.
Неустойчивыми оказываются возмущения с волновыми числами в интервале
0÷1.
14
А.П. Солодов
Электронный курс
7. Возвращение в действительную
область
По результатам решения построим графики распределения реальной и
мнимой частей комплексных амплитуд продольной u и поперечной v
пульсаций скорости (Рис. 9). Видно, что распределения имеют экстремумы в
области слоя сдвига, т.е. там, где скорость основного потока (Рис. 1) сильно
изменяется, а первая и вторая производные заметно отличны от нуля (Рис.
10). По обеим сторонам от слоя сдвига происходит затухание возмущений.
 0
y  yuv
 1
u  yuv
 2
v  yuv
2
2
Re ( v)
Re ( u)
1
Im( v)
i  0  N
0
Im( u)
2
0
4
2
0
2
4
4
y
4
2
0
2
4
y
Рис. 9. Результаты решения: распределения комплексных амплитуд по
толщине слоя сдвига
f ( y)  tanh ( y)
1
d2
dy
2
f ( y)
d
f ( y)
dy
f ( y)
0.5
0
0.5
1
2
0
y
2
15
А.П. Солодов
Электронный курс
Рис. 10. Скорость основного потока и ее производные
При анализе этих распределений возникает естественный вопрос: каким
образом комплексные амплитуды представляют реальное поле течения. Для
ответа на этот вопрос необходимо вернуться к представлению пульсаций
через комплексную амплитуду ua, va Рис. 4 и волновой множитель h (17):
u( x, y, )  ua ( y) h( x, )
v( x, y, )  va ( y) h( x, )
(23)
Эти комплексные представления являются решениями линейной системы
дифференциальных уравнений (8)–(10) в частных производных с
действительными
(вещественными)
коэффициентами.
Справедливо
утверждение: если имеется какое-либо комплексное решение линейной
системы с вещественными коэффициентами, то и комплексно-сопряженная
функция также будет решением. Отсюда следует удобный способ
построения вещественного решения из комплексных представлений:
необходимо взять полусумму двух комплексно-сопряженных решений, т.е.
1
ur ( x, y, )  ua ( y)  h( x, )  ua ( y)  h( x, )
2
(24)
Развернутая иллюстрация таких вычислений приведена Рис. 11.
Располагая распределениями для комплексной амплитуды (см. Рис. 9),
можно построить по приведенным формулам полную картину
пространственно-временной эволюции возмущений:


u  ur ( y)  i  ui ( y)
complex
Re ( u  h)



h  exp k  ci    exp i  k  x  cr  


cr 

simplify  exp k  ci    ur ( y)  cos ( k  x)  ui ( y)  sin( k  x)
0

factor
complex
u  h  ( u  h)
simplify  exp k  ci    ur ( y)  cos ( k  x)  ui ( y)  sin( k  x)

2


factor
Рис. 11. Вычисление продольных пульсаций в вещественной области
(ur(y), ui(y) –вещественная и мнимая часть комплексной амплитуды)
Другой общепринятый способ представления пульсаций – построение
среднеквадратичных значений. Для заданного значения координаты y
проводят пространственное осреднение квадрата пульсации ur
вдоль
16
А.П. Солодов
Электронный курс
координаты x на представительном отрезке – длине волны,
x = 0÷L,
L = 2/k :
L
1
2 1
u 2   ur ( x, y, ) 2 dx  ua ( y )
exp  2ci k   .
L0
2
Таким образом, среднеквадратичное значение пропорционально модулю
комплексной амплитуды.
Распределение среднеквадратичных значений продольной и поперечной
пульсаций скорости в слое сдвига показано на Рис. 12. Наиболее энергичные
пульсации сосредоточены на средней линии потока, совмещенной с точкой
перегиба на профиле скорости основного потока.
4
3
vi
ui
2
1
0
4
2
0
yi
2
4
.
Рис. 12. Результаты решения: среднеквадратичные значения пульсаций в
слое сдвига
8. Заключение
Итак, допустив существование в первоначально гладком сдвиговом
течении малых возмущений, мы обнаружили, что их амплитуда возрастает
по экспоненциальному закону. Предметом анализа было свободное течение
с перегибом на профиле скорости. Следовательно, по крайней мере такие
потоки оказываются абсолютно неустойчивыми к малейшим отклонениям.
Первоначально малые пульсации быстро достигают значений, соизмеримых
со скоростью основного течения, поток заполняется беспорядочно
движущимися вихрями – происходит переход от ламинарного к
турбулентному режиму течения.
Хотя рассмотренная линейная теория описывает только первоначальную
стадию, когда амплитуда возмущений еще невелика, можно констатировать,
что получено объяснение явного преобладания турбулентных потоков в
17
А.П. Солодов
Электронный курс
природе и технике, в то время как ламинарные течения являются
относительно редко наблюдаемым феноменом.
Анализ методом малых возмущений поясняет механизм возникновения и
роста гидродинамических возмущений. Подробное изложение поможет
заинтересованному читателю во всех деталях воспроизвести решение в
среде Mathcad и продвинуться далее в понимании этой проблемы.
Более сложные задачи, чем рассмотренная здесь, получаются при
исследовании потоков, ограниченных твердыми поверхностями, а также в
теории двухфазных расслоенных потоков.