прямая-урок1-учит

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Урок 1
Тема урока:
Основные виды уравнений прямой на плоскости
Замечание:
Данную тему нужно изучать после изучения темы «векторы». Материал предназначен для математических классов и изложен таким образом,
чтобы закрепить основные понятия векторной алгебры. Уравнения прямой
на плоскости выведены с использованием условий коллинеарности и перпендикулярности векторов.
Цель урока:
Вывести основные уравнения прямой на плоскости: общее уравнение, каноническое, параметрическое, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой с угловым коэффициентом. Перед началом урока рекомендуется повторить условия перпендикулярности и коллинеарности векторов, скалярное произведение.
Задачи урока
1) Школьники должны знать:
− основные виды уравнения прямой на плоскости: общее уравнение,
каноническое, параметрическое, уравнение прямой в отрезках, уравнение
прямой с угловым коэффициентом;
− понимать смысл всех коэффициентов, стоящих в уравнениях.
2) Школьники должны уметь:
− объяснить смысл всех коэффициентов, стоящих вы уравнении;
− написать уравнение прямой на плоскости по заданным
o двум ее точкам,
o точке и перпендикулярному ей вектору,
o точке и параллельному ей вектору,
o точке и заданному уравнению параллельной ей прямой,
o точке и заданному уравнению перпендикулярной прямой,
− написать уравнения биссектрис углов, образуемых двумя заданными прямыми на плоскости;
− написать уравнение прямой на плоскости, проходящей через
данную точку и пересекающей данный отрезок ровно посередине;
− находить площадь треугольника, отсекаемого данной прямой от
координатных осей.
Виды уравнений прямой на плоскости
Прямая на плоскости может быть задана одним из следующих ниже
уравнений.
1. Прямая на плоскости однозначно задается точкой и вектором, перпендикулярным к этой прямой. Такой вектор называется нормальным вектором.
2
n
M0
M
L
Пусть М0(x0, y0) –точка, лежащая на прямой L; а вектор n  ( A, B) –
нормальный вектор прямой L. Тогда для любой точки М(x, y), лежащей на
этой прямой, вектор M 0 M  ( x  x0 , y  y0 ) будет перпендикулярен вектору n ,
а значит, их скалярное произведение должно быть равно нулю:


M 0 M  n  M 0 M , n  0;
 M M , n   A( x  x )  B( y  y )  0.
0
0
0
A(x – x0) + B(y – y0) = 0 –
получили уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0) перпендикулярно вектору n  ( A, B) .
2. Выведем из полученного выше уравнения общее уравнение прямой:
Пусть
A(x – x0) + B(y – y0) = 0;
Раскроем скобки:
Ax + By + (–Ax0 – By0) = 0.
Обозначим (–Ax0 – By0) = C, тогда получаем
Ax + By + C = 0 –
общее уравнение прямой на плоскости, где коэффициенты А, В − координаты нормального вектора.
3. Прямая на плоскости так же однозначно задается точкой и вектором, параллельным этой прямой. Такой вектор называется направляющим.
3
q
M0
L
M
Пусть М0(x0, y0) – точка, лежащая на прямой L; а вектор q  (l , m) –
направляющий вектор этой прямой. Тогда для любой точки М(x, y), лежащей на этой прямой, вектор M 0 M  ( x  x0 , y  y0 ) будет коллинеарен вектору
q  (l , m) ;
следовательно, координаты вектора M 0 M будут пропорциональ-
ны координатам вектора q :
x  x0 y  y0

–
l
m
получили каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
М(x0, y0) параллельно направляющему вектору q  (l , m) .
4. Получим из канонического уравнения прямой параметрические уравнения, введя параметр t:
x  x0 y  y0

t;
l
m
 x  x0  lt ,

 y  y0  mt 
параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(x0, y0) параллельно вектору q  (l , m) .
5. Если С  0, то можно из общего уравнения прямой Ax + By + С = 0 получить уравнение прямой «в отрезках». Разделим общее уравнение
Ax + By = –С на коэффициент (–С):

A
 B
x     y  1.
C
 C
4
Обозначим:

C
C
 a;   b ,
A
B
тогда
x y
 1 –
a b
уравнение прямой в отрезках, где a и b – величины направленных отрезков, отсекаемых прямой от координатных осей.
Y
O
a
X
b
6. Если В  0, то можно получить уравнение прямой с угловым коэффициентом. Из общего уравнения Ax + By + C = 0 выразим y:
By = –Ax – C;
y
A
C
x .
B
B
Обозначим
 A
 С
    k;     b ,
 B
 B
тогда
y = kx + b –
уравнение прямой с угловым коэффициентом, где k – угловой коэффициент прямой, или тангенс угла между прямой и осью OX, (k = tg); а b – ордината точки пересечения прямой с осью OY.
5
Y

O
X
b
Если  − острый угол, то k > 0, если  − тупой угол, то k < 0, если
 = 0 , то прямая параллельна оси ОХ и k = 0, если  = π/2, то прямая перпендикулярна оси ОХ и не имеет углового коэффициента.
7. Найдем уравнение прямой L, проходящей через две точки А(x1, y1) и
B(x2, y2) на плоскости. Тогда вектор q  AB = (x2 – x1, y2 – y1) – направляющий вектор этой прямой, а точка A(x1, y1)  L.
M
B
L
A
Для любой точки М(x, y), лежащей на прямой L, векторы AM и q
должны быть коллинеарны, а значит, их координаты должны быть пропорциональны:
x  x1
y  y1

–
x2  x1 y2  y1
получили уравнение прямой, проходящей через точки А(x1, y1) и B(x2, y2).
6
Пример 1.
Написать уравнение прямой L, проходящей через точку М0(−5, 2) перпендикулярно вектору n  (1,3) .
Решение
Для любой точки М (x, y), лежащей на прямой L, вектор M 0 M перпендикулярен нормальному вектору n :
M0M  n .
n
M0
L
N
Следовательно,
M M ,n  0 .
0
 M M , n   1 ( x  5)  3  ( y  2)  0.
0
Тогда общее уравнение прямой:
x – 3y + 11 = 0.
Пример 2.
Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0(4, 7) параллельно
вектору q  (5, 2) .
Решение
Для любой точки M(x, y), лежащей на прямой L, вектор M 0 M коллинеарен вектору q  (5, 2) . Следовательно, их координаты должны быть
пропорциональны.
7
q
M0
L
M
Так как M 0 M  ( x  4, y  7) , то каноническое уравнение прямой:
x4 y7

.
5
2
Тогда общее уравнение прямой:
2x + 5y − 43 = 0.
Пример 3.
Написать уравнение прямой L, проходящей через точки М0 (3, 4) и М1
(−3, −6).
Решение
Для любой точки M(x, y), лежащей на прямой L, вектор M1M коллинеарен вектору M1M 0 , а значит, их координаты должны быть пропорциональны.
M1
L
M
M0
Так как M1M  ( x  3, y  6), M1M 0  (3  3, 4  6)  (6,10), то каноническое уравнение прямой:
x3 y6

;
6
10
Тогда общее уравнение прямой:
5 x  3 y  3  0.
8
Пример 4.
Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0 (1, 2) параллельно прямой L1: 2x −5 y + 4 = 0.
Решение
Вектор n1  (2, 5) – нормальный вектор прямой L1 . Прямые L и L1 параллельны, следовательно, вектор n1 перпендикулярен прямой L. А значит,
для любой точки M(x, y), лежащей на прямой L, вектор M 0 M перпендикулярен вектору n1 . Следовательно, скалярное произведение векторов M 0 M и
n1 должно быть равно нулю.
n1
L
L1
M0
M
Так как M 0 M  ( x 1, y  2) и n1  (3, 1) , то
 M M , n   2  ( x 1)  5  ( y  2)  0;
0
1
2x – 2 – 5y + 10 = 0.
Тогда общее уравнение прямой:
2x – 5y + 8 = 0.
9
Пример 5.
Написать уравнение прямой L, проходящей через точку М0(3, 0) перпендикулярно прямой L1: 2x +7 y + 11 = 0.
Решение
Прямые L и L1 перпендикулярны, следовательно, нормальный вектор
прямой L1 параллелен прямой L , то есть является направляющим вектором
прямой L.
Тогда для любой точки M(x, y), лежащей на прямой L, вектор M 0 M коллинеарен вектору n1  (2, 7) . Следовательно, координаты этих векторов должны быть пропорциональны.
L1
L
n1
M0
M
Так как M 0 M  (3,0) и n1  (2, 7) , то каноническое уравнение прямой:
x3 y
 .
2
7
Тогда общее уравнение прямой L:
7x – 21y − 21 = 0.
Задачи для усвоения пройденного материала.
1. Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(1, –1) и В (2, –
1).
2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(1, –1) параллельно вектору a  (1, 2) .
10
3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(1, –1) перпендикулярно вектору a  (1, 2) .
4. Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину С(1,2), а
также уравнение высоты x  2 y  1  0 и медианы x  y  2  0 , проведенных из
одной вершины.
5. В треугольнике ABC известны координаты его вершин: А(1,2), В(3,0),
С(5,2). Написать уравнения его сторон, медиан и биссектрис.
Контрольные вопросы.
1. Перечислить основные виды уравнений прямой на плоскости.
2. Что определяют коэффициенты A и B в уравнении Ax  By  C  0?
3. Что определяют коэффициенты k и b в уравнении y  kx  b ?
4. Что определяют коэффициенты l и m в уравнении
x  x0 y  y0

?
l
m
5. Какой вектор называются направляющим вектором прямой?
6. Какой вектор называются нормальным вектором прямой?
11