Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики»
Московский институт электроники и математики Национального
исследовательского университета "Высшая школа экономики"
Факультет Прикладная Математика и Кибернетика
Кафедра Прикладная Математика
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
На тему
Индуцированное излучение нанотрубок________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Студент группы М-94
Духновский Сергей
Анатольевич
Научный руководитель
Профессор, д. ф.-м. н.,
Эминов Павел Алексеевич
Консультант
Профессор, д. ф.-м. н.,
Эминов Павел Алексеевич
Москва 2014
ОГЛАВЛЕНИЕ
§1.Введение…………………………………………………………………....3
§2.Квантовая теория излучения ……………………………………...….…..8
§3.Индуцированное излучение электрона на цилиндрической поверхности
нанотрубки
в
суперпозиции
электрического
и
магнитного
полей……………………………………………………………………..…...20
§4.Решение
уравнения
Дирака
поверхности в суперпозиции
для
электрона
на
цилиндрической
электрического и магнитного полей
………………………………………….………………....................................33
§5.Зависимости
энергии Ферми нерелятивистского
вырожденного
электронного газа и мощности индуцированного излучения нанотрубки от
характерных параметров…………………………………………………….44
§6.Заключение………………………………………………………...……....50
Список использованной литературы………………………………………...52
2
1. Введение
Физика низкоразмерных систем развивается быстрыми темпами.
При
этом
основным
инструментом
теоретических
исследований
становятся методы квантовой теории поля и квантовой статистической
физики в интенсивном внешнем поле.
Остановимся кратко на некоторых
важных результатах, полученных в работах различных групп авторов в
последние годы при исследовании физических эффектов связанных с
влиянием внешних электромагнитных полей на электронные свойства
нанотрубок полупроводникового типа [1-27].
Проведено квантовое описание явления пространственной и
временной дисперсии продольной диэлектрической проницаемости
продольном
магнитном
поле.
На
конкретных
в
примерах
продемонстрировано существенное различие физических свойств плазмы
однослойной
полупроводниковой нанотрубки, трехмерной плазмы и
плоской двумерной плазмы. Новые результаты получены в работах,
посвященных
развитию
теории
экранирования
кулоновского
поля
точечного заряда в намагниченном электронном газе нанотрубки. [1-15].
В нанотрубках до недавнего времени в теоретических работах
по изучению проводимости нанотрубок рассматривался так называемый
баллистический перенос носителей тока, когда средняя длина свободного
пробега электрона велика по сравнению с длиной нанотрубки. В то же
время, в настоящее время экспериментаторы получают и исследуют
электронные свойства и нанотрубок, линейные размеры которых сравнимы
или превосходят длину свободного пробега носителей тока[26]. Поэтому,
для корректного описания электронных свойств нанотрубок наряду с
баллистическим механизмом электронного транспорта, следует учесть
также электрон-фононного рассеяния в сопротивление нанотрубки.
Решение этой задачи впервые получено с учетом размерного ограничения
фононов и влияния магнитного поля[16].
3
Достигнуты существенное развитие современных представлений
о влиянии кривизны области занятой физической системой и внешних
условий на сверхпроводящие свойства нанотрубок полупроводникового
типа.
В
частности,
изучены
термодинамические
свойства
сверхпроводящей нанотрубки в зависимости от параметров нанотрубки и
магнитного поля[17-24]. На рисунке 1 показана зависимость ширины
энергетической щели от температуры для различных значений параметра
Ааронова-Бома [19]. Например, для нанотрубки с радиусом R=0.2 nm при
указанных
выше значениях остальных параметров
критическая
температура равна 20K [19] .
Используя метод функционального интегрирования, теорию
сверхпроводимости Гинзбурга-Ландау и современную теорию фазовых
переходов, изучена зависимость
от характерных параметров системы
флуктуационного вклада в термодинамические свойства намагниченного
квантового цилиндра в окрестности критической температуры. В то время,
как
было показано в работах Леванюка, в трехмерном случае
флуктуационная поправка к теплоемкости в окрестности критической
1
температуры пропорциональна T  Tc  2 , в двумерном случае

пропорциональна
1
T  Tc  ,
т.е.
роль
флуктуационных
она
эффектов
существенно возрастает с уменьшением размерности системы[19].
Важные
результаты
получены
при
изучении
процесса
ионизации низкоразмерных систем, связанных короткодействующими
силами, во внешнем электромагнитном поле, представляющем собой
суперпозицию
постоянного
и
переменного
электрических
полей
одинакового направления(см. , например, [27] и цитированную там
литературу). При получении этих результатов на ряду с методом точных
решений широко используются также квазиклассический метод мнимого
времени
4
Для примера, на рисунке 2 показана зависимость скорости
ионизации двумерной квантовой точки полем электромагнитной волны от
параметра Келдыша и радиуса квантовой точки[27].
Для
решения
поставленных
задач
использован
фундаментальный аппарат конечно-температурной квантовой теории поля
с учетом точных решений уравнений движения частиц во внешних полях
различных конфигураций[25].
заложены в
Такой подход, основы которого были
работах Фрадкина Е.С. , Никишова А.И., Ритуса В.И.,
Соколова А.А., Тернова И.М., Жуковского В.Ч., Шабада А.Е., Тютина И.В.
и
других авторов,
позволяет с большей степенью достоверности
предсказывать и объяснять физические эффекты в реальных условиях
лабораторного эксперимента.
Аналогичные
исследования
и в настоящее время
активно
проводятся как у нас в стране, так и за рубежом[17].
Рис.1.Зависимость ширины щели от температуры. 1. Ф/Ф0=0. 2 .
Ф/Ф0=0,04 3. Ф/Ф0=0,08.
5
Расчеты проведены при следующих значениях параметров нанотрубки:
R=5 nm, линейная концентрация электронов NL=28.1·109 m-1, =1.51442
meV, энергия Ферми EF=0.214 eV в свободном случае ,когда магнитный
поток Ф=0, ħ2/mg =0.231.В этом случае электроны наряду с продольным
движением совершают и вращательное движение, а максимальное
значение азимутального квантового числа n=11,т.е.электроны заполняют
достаточно большое число подзон энергии поперечного движения.
Рис.2.Зависимость
скорости
ионизации
в
поле
линейно-
поляризованной волны от параметра Келдыша для разных радиусов
двумерной квантовой точки и глубины ямы: 1 - a=10 нм, U 0
=0,06эВ;2 – а=20 нм,U 0 =0,015эВ; 3 – а=30 нм,U 0  0,007эВ .
Существенный интерес с точки зрения
приложений
представляют
возможных практических
экспериментальные
исследования процессов индуцированного
и
теоретические
излучения и поглощения
электромагнитного излучения нанотрубками [28-32].
Целью настоящей работы является построение теории вынужденного
излучения электрона, движущегося по цилиндрической поверхности в
электромагнитном
поле,
образованном
6
суперпозицией
постоянного
магнитного
поля,
направленного
вдоль
оси
Oz цилиндра
и
Здесь
рассматривается
электростатического поля того же направления.
Второй
параграф
является
вводным.
квантование свободного электромагнитного поля и изложены основы
квантовой теории излучения. Дан вывод
формул для вероятности
спонтанного и вынужденного переходов с излучением и поглощением
света. В 3 параграфе находятся спектр энергии и ортонормированные
волновые функции стационарных состояний уравнения Шредингера для
электрона
на
цилиндрической
поверхности
во
внешнем
поле,
представляющем собой суперпозицию магнитного и электрического полей
одинакового
направления.
Вычисляются
вынужденного
излучения
и
цилиндрической
поверхности,
вероятности
поглощения
находятся
соответствующие частоты излучения, а также
света
процессов
электроном
правила
отбора
на
и
получена формула для
вычисления мощности индуцированного излучения нанотрубки при
конечной температуре. В 4 параграфе находится решение стационарного
уравнения Дирака
для электрона на цилиндрической поверхности в
суперпозиции продольного магнитного поля и потенциальной ямы с
бесконечно высокими стенками
и получены
правила отбора. В 5
параграфе исследована зависимость энергии Ферми вырожденного
нерелятивистского газа
от числа частиц, радиуса нанотрубки, частоты
осцилляций и параметра Ааронова-Бома.
7
2.Квантовая теория излучения
В этом параграфе приведем, следуя в основном работе [33] ,
основные положения квантовой теории излучения. Известно, что поле
фотонов описывается вектор – потенциалом, который подчиняется
уравнению Даламбера
1 𝜕2𝑨
∇ 𝑨 − 2 2 = 0.
с 𝜕𝑡
Решение (1) будем искать в виде ряда Фурье:
(1)
1
(2)
2
𝑨=
3 ∑ 𝑨(𝝒, 𝑡)𝑒
𝐿2 𝝒
𝑖𝝒𝒓
,
где, с учетом условие периодичности
𝑒 𝑖𝝒𝒓 = 𝑒 𝑖𝝒(𝒓+𝑳) , 𝐿 = 𝐿𝑥 = 𝐿𝑦 = 𝐿𝑧 , 𝑛1 , 𝑛2 , 𝑛3 = 0, ±1, ±2, …
волновой вектор задается формулой
𝝒 = (𝜘𝒙 = 𝑛𝟏
2𝜋
2𝜋
2𝜋
, 𝜘𝒚 = 𝑛𝟐
, 𝜘𝒛 = 𝑛𝟑 ),
𝐿
𝐿
𝐿
где L - длина периодичности.
Подставляя (2) в (1), для коэффициентов Фурье ряда (2) получаем
уравнение
𝑨̈ + 𝑐 2 𝝒2 𝑨(𝝒, 𝑡) = 0.
Решение выглядит следующим образом
𝑨(𝝒, 𝑡) = 𝑨(𝝒)𝑒 −𝑖𝑐𝝒𝑡 + 𝑩(𝝒)𝑒 𝑖𝑐𝝒𝑡 .
Для того, чтобы векторный потенциал
(3)
𝑨 был вещественным,
необходимо положить
𝑩(𝝒) = 𝑨∗ (−𝝒),
(4)
где символ ∗ означает комплексное сопряжение. Это условие получается,
если решение (3) подставить в (2), а потом в сумме из коэффициентов
𝑩(𝝒) сделать замену
𝝒 → −𝝒.
8
Тогда с учетом (9), получаем
𝑨=
1
(𝝒)𝑒 −𝑖𝑐𝝒𝑡+𝑖𝝒𝒓 + 𝑨∗ (𝝒)𝑒 𝑖𝑐𝝒𝑡−𝑖𝝒𝒓 ).
3 ∑(𝑨
𝐿2 𝝒
(5)
В используемой кулоновской калибровке потенциалы
электромагнитного поля имею следующий вид:
Ф = 0, div𝑨 = 0,
Полная энергия фотонов поперечных электромагнитных волн
равняется
𝐻=
1
∫(𝓔2 + 𝓗2 )𝑑3 𝑥,
8𝜋
(6)
где 𝓔, 𝓗 − вектора электрической и магнитной напряженности
𝓔=−
1 𝜕𝑨
, 𝓗 = rot𝓗.
𝑐 𝜕𝑡
Перепишем полную энергию. Для этого подставим
(7)
в (6)
формулы(7)-(5) и учтем, что
2𝜋
2𝜋
1
1
1
𝑖𝑥(𝑛1 +𝑛1′ )
𝑖𝑦(𝑛2 +𝑛2′ )
𝑖(𝝒+𝝒′ )𝒓 3
𝐿
𝐿
∫
𝑒
𝑑
𝑥
=
∫
𝑒
𝑑𝑥
∫
𝑒
𝑑𝑦 ×
𝐿3
𝐿
𝐿
2𝜋
1
′
× ∫ 𝑒 𝐿 𝑖𝑧(𝑛3 +𝑛3 ) 𝑑𝑧 = 𝛿𝑛1,−𝑛1′ 𝛿𝑛2,−𝑛2′ 𝛿𝑛3,−𝑛3′ = 𝛿𝝒,−𝝒′ .
𝐿
Получим
𝐻=
1
1 𝜕𝑨(𝝒, 𝑡) 𝜕𝑨(−𝝒, 𝑡)
∑( 2(
) + ([𝝒𝑨(𝝒, 𝑡)][𝝒𝑨(−𝝒, 𝑡)])) .
8𝜋
𝑐
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝝒
Согласно условию (4), решение (3) можно записать в виде:
𝑨(𝝒, 𝑡) = 𝑨(𝝒)𝑒 −𝑖𝑐𝝒𝑡 + 𝑨∗ (−𝝒)𝑒 𝑖𝑐𝝒𝑡 .
Преобразуем гамильтониан, вычислим частную производную:
1 𝜕𝑨(𝝒, 𝑡)
= −𝑖𝝒(𝑨(𝝒)𝑒 −𝑖𝑐𝝒𝑡 − 𝑨∗ (−𝝒)𝑒 𝑖𝑐𝝒𝑡 ),
𝑐 𝜕𝑡
1 𝜕𝑨(−𝝒, 𝑡)
= 𝑖𝝒(𝑨(−𝝒)𝑒 𝑖𝑐𝝒𝑡 − 𝑨∗ (𝝒)𝑒 −𝑖𝑐𝝒𝑡 ).
𝑐
𝜕𝑡
Из условия поперечности поля фотонов следует, что
[𝝒𝑨(𝝒, 𝑡)] = [𝝒𝑨∗ (𝝒, 𝑡)] = 0.
9
(8)
С учетом (8), гамильтониан имеет вид
𝐻=
1
∑ ∑ 𝝒2 (𝐴∗𝑠 (𝝒)𝐴𝑠 (𝝒) + 𝐴𝑠 (𝝒)𝐴∗𝑠 (𝝒)).
4𝜋
(9)
𝝒 𝑠=1,2,3
Из поперечности электромагнитного поля вытекает, что мы не можем
считать
три
компоненты
вектор
–
потенциала
независимыми
переменными. Из трех составляющих амплитуд независимыми с учетом
условия
поперечности
остаются
только
две.
Поэтому,
следует
компоненты амплитуд вектор - потенциалов выразить через
две
независимые составляющие, при условии, чтобы выполнялось условие
поперечности:
𝐴х (𝝒) = √
𝜘𝑦
2𝜋𝑐ℏ
2𝜋𝑐ℏ 𝜘𝑧 𝜘𝑥
𝑎1 = √
𝑏1 −
𝑏 ),
(
𝜘
𝜘 𝜘𝜘12
𝜘12 2
2𝜋𝑐ℏ
2𝜋𝑐ℏ 𝜘𝑧 𝜘𝑦
𝜘𝑥
𝐴𝑦 (𝝒) = √
𝑎2 = √
𝑏1 +
𝑏 ),
(
𝜘
𝜘
𝜘𝜘12
𝜘12 2
(10)
2𝜋𝑐ℏ
2𝜋𝑐ℏ 𝜘12
𝐴𝑧 (𝝒) = √
𝑎3 = −√
𝑏,
𝜘
𝜘 𝜘 1
где
𝜘12 = √𝜘𝑥 2 + 𝜘𝑦2 ,
𝜘 = √𝜘12 2 + 𝜘𝑧2 = √𝜘𝑥 2 + 𝜘𝑦2 + 𝜘𝑧2 .
Здесь 𝑏1 , 𝑏2 − амплитуды, такие, что
𝑏1 = 𝑏1 (𝝒), 𝑏2 = 𝑏2 (𝝒), 𝑏1′ = 𝑏𝟏 (𝝒′ ).
Введем также обозначения
𝑏1 (𝑡) = 𝑏1 𝑒 −𝑖𝑐𝝒𝑡 , 𝑏2+ (𝑡) = 𝑏2+ 𝑒 𝑖𝑐𝝒𝑡 .
(11)
где символом + обозначаются эрмитово – сопряженные величины.
Подставим выражения (10) в гамильтониан (9):
10
𝐻=
1
∑ ∑ 𝑐ℏ𝜘 ′ (𝑏𝜇′+′ 𝑏𝜇′ ′ +𝑏𝜇′ ′ 𝑏𝜇′+′ ).
2 ′
′
(12)
𝜇 =1,2 𝝒
Далее воспользуемся уравнением движения
механики в представлении Гейзенберга:
операторов
квантовой
𝑑𝑓 𝑖
= [𝐻, 𝑓],
𝑑𝑡 ℏ
где
(13)
[𝐻, 𝑓] = 𝐻𝑓 − 𝑓𝐻.
Учитывая равенства (11) и воспользовавшись формулой (13), имеем
𝑖
(𝐻𝑏𝜇 − 𝑏𝜇 𝐻).
ℏ
(14)
𝑖
(𝐻𝑏𝜇+ − 𝑏𝜇+ 𝐻).
ℏ
(15)
−𝑖𝑐𝜘𝑏𝜇 =
Аналогично, имеем
𝑖𝑐𝜘𝑏𝜇+ =
Подставим гамильтониан (18) в (20),
𝑐𝜘 ′ ′+ ′
−𝑐𝜘𝑏𝜇 = ∑ ∑
[𝑏𝜇′ (𝑏𝜇′ 𝑏𝜇 − 𝑏𝜇 𝑏𝜇′ ′ ) + (𝑏𝜇′+′ 𝑏𝜇 − 𝑏𝜇 𝑏𝜇′+′ )𝑏𝜇′ ′
2
′
′
𝜇 =1,2 𝜘
+ 𝑏𝜇′ ′ (𝑏𝜇′+′ 𝑏𝜇
− 𝑏𝜇 𝑏𝜇′+′ ) + (𝑏𝜇′ ′ 𝑏𝜇 − 𝑏𝜇 𝑏𝜇′ ′ )𝑏𝜇′+′ ]
Данное равенство имеет место, если положить
[𝑏𝜇, 𝑏𝜇′+′ ] = 𝑏𝜇 𝑏𝜇′+′ − 𝑏𝜇′+′ 𝑏𝜇 = 𝛿𝜇𝜇′ 𝛿𝜘𝜘′ ,
(16)
[𝑏𝜇, 𝑏𝜇′ ′ ] = 𝑏𝜇 𝑏𝜇′ ′ − 𝑏𝜇′ ′ 𝑏𝜇 = 0,
(17)
причем из (15) следует, что
[𝑏𝜇+ , 𝑏𝜇′+′ ] = 0.
Данные соотношения (16), (17) определяют вторичное квантование
электромагнитного поля. Вторичное квантование электромагнитного поля
позволяет описать квантовую систему с переменным числом фотонов. В
равенстве (15), амплитуды не будут коммутировать друг с другом, только в
том случае, если 𝜇 = 𝜇′ , 𝜘 = 𝜘 ′ :
11
𝑏𝜇 𝑏𝜇+ − 𝑏𝜇+ 𝑏𝜇 = 1.
(18)
Из (18) видно, что 𝑏𝜇 не могут быть числами, а должны быть
операторами. Для удовлетворения равенства (18), положим в качестве
𝑏𝜇 , 𝑏𝜇+ эрмитово сопряженные бесконечные матрицы вида:
0
0
0 ⋯
√1
0
0 … ,
√2
𝑏𝜇 = 0
0
0
0
√3 …
( ……………………………….)
0
0
0
0 …
0
0
0 …
√1
𝑏𝜇+ = (
).
0
0
0 …
√2
……………………………….
Убедимся в выполнении выражения (18).Так как
1
0
0
0 ⋯
0
2
0
0 …
𝑏𝜇 𝑏𝜇+ = (
),
0
0
3
0 …
……………………………….
и
0
0
0
0 ⋯
0
1
0
0 …
𝑏𝜇+ 𝑏𝜇 = (
).
0
0
2
0 …
……………………………….
Имеем
1 0 0 0 …
𝑏𝜇 𝑏𝜇+ − 𝑏𝜇+ 𝑏𝜇 = (0 1 0 0 …).
0 …0… …1…0… …
…
…
Возьмем функцию 𝑓(𝑁), на которую действуют данные матрицы, где
𝑁 − число фотонов в состоянии, следующим образом:
12
1
0
0
0
1
0
0
0
1
𝑓(0) =
, 𝑓(1) =
, 𝑓(2) =
,… ,
0
0
0
.
.
.
(.)
(.)
(.)
где 𝑓(0) означает, что в этом состоянии нет фотонов, 𝑓(1) описывает
состояние с одним фотоном и т.д. Действуя матрицами на
вектор –
столбцы, имеем
𝑏𝜇 𝑓(0) = 0, 𝑏𝜇 𝑓(1) = 𝑓(0), 𝑏𝜇 𝑓(2) = √2𝑓(1).
В общем случае для состояния с 𝑁 одинаковыми фотонами получаем
𝑏𝜇 𝑓(𝑁) = √𝑁𝑓(𝑁 − 1).
Аналогично, для эрмитово сопряженных матриц имеем
𝑏𝜇+ 𝑓(0) = 𝑓(1), 𝑏𝜇+ 𝑓(1) = √2𝑓(2), … , 𝑏𝜇+ 𝑓(𝑁) = √𝑁 + 1𝑓(𝑁 + 1).
и 𝑏𝜇+ соответственно называются оператором
Операторы 𝑏𝜇
поглощения и испускания фотона. Также имеют место следующие
соотношения:
𝑏𝜇+ 𝑏𝜇 𝑓(𝑁) = 𝑁𝑓(𝑁),
𝑏𝜇 𝑏𝜇+ 𝑓(𝑁) = (𝑁 + 1)𝑓(𝑁).
Данные равенства можно рассматривать как задачу на отыскание
собственных значений равные 𝑁 для 𝑏𝜇+ 𝑏𝜇 или 𝑁 + 1 для 𝑏𝜇 𝑏𝜇+ . Учтем,
соотношения перестановок (16) для амплитуд 𝑏𝜇 , а также равенства
амплитуд
вектор
-
потенциалов
(10).
В
результате
получим
перестановочные соотношения для амплитуд фотонов
[𝑎𝑠 , 𝑎𝑠′+′ ] = 𝛿𝝒𝝒′ (𝛿𝒔𝒔′ − 𝝒0𝑠 𝝒0𝑠′ ).
(19)
Для одинакового импульса 𝝒 = 𝝒′ , имеем
[𝑎𝑠 , 𝑎𝑠+′ ] = (𝛿𝒔𝒔′ − 𝝒0𝑠 𝝒0𝑠′ ),
где 𝝒0 − единичный вектор.
Чтобы удовлетворить равенству (19), очевидно, надо положить
𝑎𝑠 𝑎𝑠+′ = (𝑁 + 1)(𝛿𝒔𝒔′ − 𝝒0𝑠 𝝒0𝑠′ ),
13
(20)
𝑎𝑠+′ 𝑎𝑠 = 𝑁(𝛿𝒔𝒔′ − 𝝒0𝑠 𝝒0𝑠′ ).
Из (9) и (20) имеем
1
𝐻 = ∑ 2𝑐 ℏ𝝒 (𝑁(𝝒) + ).
2
𝝒
В случае, если реальные фотоны отсутствуют 𝑁(𝝒) = 0 и получаем
нулевую энергию
𝐻 = ∑ 𝑐 ℏ𝝒 ,
𝝒
которая соответствует энергии вакуума электромагнитного поля.
Переходы, обусловленные квантованным электромагнитным полем,
оказываются возможными даже в том случае, когда реальные фотоны
отсутствуют
(вероятность
спонтанных
переходов
описываются
коэффициентом Эйнштейна А). При наличии реальных фотонов возникают
индуцированные переходы, как сверху вниз, так и снизу вверх,
характеризуемые коэффициентом Эйнштейна В.
Воспользуемся нестационарным и не квантованным уравнением
Шредингера для описания взаимодействия нерелятивистского электрона с
вторично-квантованным полем фотонов:
(−
ℏ𝜕
1
𝑒 2
−𝑉−
(𝒑 − 𝑨) ) 𝜓 = 0,
𝑖 𝜕𝑡
2𝑚
𝑐
где ℏ − постоянная Планка, 𝑉 −
потенциальная энергия
электрона, 𝒑 − оператор импульса, 𝑒 −
скорость света, 𝑨 − векторный
(21)
заряд электрона, 𝑐 −
потенциал электромагнитного
поля.
Пусть величины пропорциональные 𝑨2 малы. Воспользуемся следующим
соотношением:
ℏ
[𝒑, 𝑨]𝜓 = 𝜓 div 𝑨.
𝑖
С учетом условия
поперечности
электромагнитного поля
получаем, что операторы 𝒑 и 𝑨 коммутируют друг с другом:
14
[𝒑, 𝑨] = 0.
Тогда уравнение (21) примет вид
(−
ℏ 𝜕
− Н0 − 𝑉 ′ (𝑡)) 𝜓 = 0,
𝑖 𝜕𝑡
где
𝐻0 = 𝑉 +
1 2
𝒑 ,
2𝑚
а потенциальная энергия 𝑉 ′ равна
𝑉 ′ (𝑡) = −
𝑒
𝑐𝑚
(22)
(𝑨(𝑡)𝒑).
Далее вместо вектор – потенциала в формуле (22) воспользуемся
выражением
𝑨=
1
3∑
𝐿2 𝝒
2𝜋𝑐ℏ
√
[𝒂(𝝒)𝑒 −𝑖𝜔𝑡+𝑖𝝒𝒓 + 𝒂+ (𝝒)𝑒 𝑖𝜔𝑡−𝑖𝝒𝒓 ],
𝝒
где используются введенные выше операторы рождения и уничтожения
фотонов с импульсом  ,действующие на функцию от числа фотонов
𝑓(𝑁),которую включаем для сокращения записи в электронную волновую
функцию , полагая
𝜓 = 𝑓(𝑁)𝜓(𝐫, 𝑡).
В
рамках
теории
возмущений
решение
уравнения
представляется в виде ряда по его решениям
Шредингера
без поля излучения.
Коэффициенты этого ряда ищутся в виде [33]
𝐶𝑛′ = С0𝑛′ + С′𝑛′ +. . . +.
причем в первом приближении имеет место формула:
𝑡
𝑖
𝐶𝑛′ (𝑡) = − ∫ 𝑒 𝑖𝑡𝜔𝑛′𝑛 𝑉𝑛′′ 𝑛 𝑑𝑡,
ℏ
0
где
15
(23)
𝑉𝑛′′𝑛 = ∫ 𝜓𝑛∗ ′ 𝑉 ′ 𝜓𝑛 𝑑 3 𝑥,
𝐸𝑛′ − 𝐸𝑛
.
ℏ
Что касается функции от числа фотонов , то ее влияния учитывается
𝜔𝑛 ′ 𝑛 =
перестановочными соотношениями (19) для билинейных комбинаций
операторов рождения и уничтожения фотонов.
Зная формулы (22) и (23) , можно записать:
𝐶𝑛′ (𝑡) =
2𝜋𝑐ℏ
𝑒 𝑖(𝜔𝑛′𝑛− 𝜔)𝑡 − 1
∗
3
𝑖𝝒𝒓
∑√
[∫ 𝑑 𝑥 ψ𝑛′ 𝑒 (𝒂(𝝒)𝒑)ψ𝑛
𝝒
𝑖(𝜔𝑛′𝑛 − 𝜔)
𝑖𝑒
3
𝑐𝑚𝐿 2 ℏ
−∫𝑑
𝝒
3
𝑥 ψ∗𝑛′ 𝑒 −𝑖𝝒𝒓 (𝒂+ (𝝒)𝒑)ψ𝑛
𝑒 𝑖(𝜔𝑛𝑛′ − 𝜔)𝑡 − 1
].
𝑖(𝜔𝑛𝑛′ − 𝜔)
Отметим важный факт, что если мы изучаем излучение фотонов, то
оставляем член пропорциональный 𝒂+ , а если поглощение, то оператор
уничтожения 𝒂. Тогда имеем:
𝐶𝑛′ (𝑡) =
2𝜋 𝑒 −𝑖(𝜔𝑛𝑛′ − 𝜔)𝑡 − 1
√
∫ 𝑑 3 𝑥 ψ∗𝑛′ 𝑒 −𝑖𝝒𝒓 (𝒂+ (𝝒)𝒑)ψ𝑛 ,
3 ∑ 𝜔ℏ
(𝜔
′
−
𝜔)
𝑛𝑛
2
−𝑒
𝑚𝐿
𝜘
где частота волны
𝜔 = сϰ.
Из квантовой теории излучения известно (подробнее см. в работе
[33]),
что вероятность вынужденного перехода
электрона за единицу
времени из квантового состояния n в состояние n ' можно представить в
виде
𝑤𝑛𝑛′ = 𝐴𝑛𝑛′ + 𝜌(𝜔)𝐵𝑛𝑛′ =
𝜕 +
𝐶 ′ (𝑡)𝐶𝑛′ (𝑡),
𝜕𝑡 𝑛
где 𝐴, 𝐵 − коэффициенты Эйнштейна для спонтанного и вынужденного
перехода соответственно, а 𝜌(𝜔) − спектральная плотность фотонов.
Имеем
16
𝑤𝑛𝑛′
𝑒2
4𝜋 sin 𝑡(𝜔 − 𝜔𝑛𝑛′ )
= 3 2∑
(𝒂𝑃𝑛∗′𝑛 ) (𝒂+ 𝑃𝑛′𝑛 ),
𝐿𝑚
ℏ𝜔
𝜔 − 𝜔𝑛𝑛′
(24)
𝜘
где матричный элемент перехода
𝑃𝑛′𝑛 = ∫ 𝑑 3 𝑥 𝜓𝑛∗ ′ 𝑒 −𝑖𝜘𝑟 𝒑𝜓𝑛 .
Выполним переход в формуле (30) от суммы к интегрированию с помощью
равенства
1
1
→
∫ 𝑑3𝜘 .
∑
3
3
𝐿
8𝜋
(25)
𝜘
Заметим также, что при 𝑡 → ∞ имеет место следующая формула:
1 sin (𝜔 − 𝜔𝑛𝑛′ )𝑡
= 𝛿(𝜔 − 𝜔𝑛𝑛′ ).
𝜋
𝜔 − 𝜔𝑛𝑛′
(26)
Покажем справедливость формулы (26). Умножим обе части
на
пробную функцию 𝑓(𝜔) и проинтегрируем по интервалу (0, +∞):
+∞
(27)
1
sin (𝜔 − 𝜔𝑛𝑛′ )𝑡
∫
𝑓(𝜔)𝑑𝜔 = 𝑓(𝜔𝑛𝑛′ ).
𝜋
𝜔 − 𝜔𝑛𝑛′
0
Далее выполним замену в формуле (27):
(𝜔 − 𝜔𝑛𝑛′ )𝑡 = 𝜉.
С учетом данной замены, формула (27) примет вид:
1
𝜋
+∞
+∞
sin 𝜉
𝜉
1
sin 𝜉
∫
𝑓 (𝜔𝑛𝑛′ + ) 𝑑𝜉 = 𝑓(𝜔𝑛𝑛′ )
∫
𝑑 𝜉.
𝜉
𝑡
𝜋
𝜉
−𝜔𝑛𝑛′ 𝑡
−∞
Перейдем к пределу при 𝑡 → ∞. Данный интеграл представляет
известный интеграл Эйлера – Пуассона, который равняется:
∞
1
sin 𝜉
∫
𝑑 𝜉 = 1.
𝜋
𝜉
−∞
Таким образом, формула (26) справедлива.
Формула (26) при 𝑡 → ∞ дает нам постулат Бора:
𝜔 = 𝜔𝑛𝑛′ ,
где частота перехода
17
𝜔𝑛𝑛′ =
𝐸𝑛 − 𝐸𝑛′
.
ℏ
Так как мы рассматриваем излучение света, то происходит переход
с верхнего уровня на нижний ( 𝐸𝑛 > 𝐸𝑛′ ).
Далее, с учетом формулы (20), получаем равенство
(𝒂𝑷∗𝑛′𝑛 ) (𝒂+ 𝑷𝑛′𝑛 ) = 𝑆(1 + 𝑁(𝜔𝝒0 )),
(28)
где
𝑆 = (𝑷∗𝑛′𝑛 𝑷𝑛′𝑛 ) − (𝝒0 𝑷∗𝑛′𝑛 )(𝝒0 𝑷𝑛′𝑛 ),
(29)
𝝒0 − единичный вектор вдоль направления импульса фотона.
Перейдем далее к сферическим координатам вектора 𝝒:
𝜔
𝝒 = (𝜘 = , 𝜗, 𝜑),
𝑐
𝜔2 𝑑𝜔𝑑Ω
𝑑 𝝒=
,
𝑐3
3
где элемент телесного угла
𝑑Ω = sin 𝜗𝑑𝜗𝑑𝜑.
Будем предполагать, что внешнее излучение изотропно, а именно
число частиц с заданным импульсом не зависит от углов 𝜗 и 𝜑,т.е. 𝑁 =
𝑁(𝜔).
Далее, проведя
интегрирование с помощью дельта – функции
Дирака, вероятность перехода представляем в виде:
𝑤𝑛𝑛′
𝑒 2 𝜔𝑛𝑛′
=
(1 + 𝑁(𝜔𝑛𝑛′ )) ∮ 𝑑ΩS,
2𝜋𝑚2 𝑐 3 ℏ
где Ω, S определяются по формулам (34), (35).
Так как вероятность перехода представляется в виде :
𝑤𝑛𝑛′ = 𝐴𝑛𝑛′ + 𝜌𝐵𝑛𝑛′ ,
то в качестве вероятности
перехода при 𝑁 = 0 следует положить
следующее соотношение:
𝐴𝑛𝑛′
𝑒 2 𝜔𝑛𝑛′
=
∮ 𝑑Ω𝑆,
2𝜋𝑚02 𝑐 3 ℏ
а для коэффициента вынужденного перехода получается формула:
18
𝐵𝑛𝑛′ =
𝑁
𝐴 ′.
𝜌 𝑛𝑛
Теперь необходимо найти вероятность перехода
с поглощением
света. Для этого мы поменяем уровни 𝑛 и 𝑛′ местами в формуле для 𝐶𝑛′ (𝑡)
и оставим член пропорциональный 𝒂. Получаем выражение
𝐶𝑛 (𝑡) =
𝑒
𝑚𝐿
2𝜋 𝑒 𝑖(𝜔𝑛𝑛′ − 𝜔)𝑡 − 1
√
∫ 𝑑 3 𝑥 ψ∗𝑛 𝑒 𝑖𝜘𝑟 (𝒂(𝝒)𝒑)ψ𝑛′.
3 ∑ 𝜔ℏ
′
𝜔
−
𝜔
𝑛𝑛
2
𝝒
Если сравнить формулы для 𝐶𝑛′ (𝑡) и 𝐶𝑛 (𝑡), они представляют собой
сопряженные выражения.
Согласно формулам (20)
𝑎𝑠 𝑎𝑠+ ~(1 + 𝑁),
𝑎𝑠+ 𝑎𝑠 ~𝑁 ≠ 𝑎𝑠 𝑎𝑠+ .
Из этих формул вытекает, что мы будем иметь множитель с
𝑁(𝜔𝑛𝑛′ ),т.к. амплитуды 𝒂, 𝒂+ есть операторы. В результате получаем
следующее выражение для вероятности спонтанного перехода с нижнего
уровня на верхний:
𝑤𝑛′ 𝑛
𝑒 2 𝜔𝑛𝑛′
=
𝑁(𝜔𝑛𝑛′ ) ∮ 𝑑ΩS.
2𝜋𝑚2 𝑐 3 ℏ
19
3.Индуцированное излучение электрона на цилиндрической
поверхности в суперпозиции электрического и магнитного полей
Магнитное поле задается векторным потенциалом
1
1
𝐴⃗= {− 𝐻𝑅 sin 𝜑, 𝐻𝑅 cos 𝜑 , 0},
2
2
где H  напряженность поля, R  радиус нанотрубки,   полярный угол
цилиндрической системы координат. Потенциальную энергию электрона в
электростатическом поле выберем в виде
𝑉(𝑧) = −
𝑒 2𝑎
2
(𝑅2 − 2𝑧 2 ).
Здесь e  0  заряд электрона, постоянная a  0 и имеет размерность
см 3 . Приведенный вид потенциальной энергии соответствует движению
электрона в электростатическом поле, которое используется также при
анализе работы магнетрона.
Найдем волновую функцию электрона в суперпозиции продольного
магнитного поля и продольного электростатического поля.
Запишем уравнение Шредингера зависящее от времени:
𝑖ℏ
𝜕Ψ
= 𝐻Ψ,
𝜕𝑡
(30)
где 𝐻 – оператор Гамильтона:
𝑃⃗⃗2
𝐻=
+ 𝑉,
2𝑚
(31)
𝑒
𝑃⃗⃗ = 𝑝⃗ − 𝐴⃗, 𝑝⃗ = −𝑖ℏ∇,
𝑐
𝑝⃗ − оператор импульса, 𝑒 − заряд электрона, 𝑐 − скорость света, ℏ −
постоянная Планка.
Стационарные состояния электрона будем искать в виде:
Ψ(z, 𝜑, 𝑡) = 𝑒 −
𝑖𝐸𝑡
ℏ 𝜓(𝑧, 𝜑).
20
(32)
В цилиндрической системе координат набла-оператор ∇ выглядит
следующим образом:
∇=
𝜕
1 𝜕
𝜕
𝑒⃗𝑟 +
𝑒⃗𝜑 + 𝑒⃗𝑧 .
𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝜑
𝜕𝑧
Учитывая, что у нас 𝑟 = 𝑅 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, получаем
∇=
1 𝜕
𝜕
𝑒⃗𝜑 + 𝑒⃗𝑧 .
𝑟 𝜕𝜑
𝜕𝑧
Подставляя (32) в формулу (30) имеем:
2
𝑝𝑧2 𝑒 2 𝑎 2
1
𝑒
(𝑅 − 2𝑧 2 )) +
−
[(
(𝑝𝜑 − 𝐴𝜑 ) ] 𝜓 = 𝐸𝜓
2𝑚
2
2𝑚
𝑐
(33)
𝑒
1
𝑐
2
Преобразуем выражение 𝑝𝜑 − 𝐴𝜑 , учитывая, что 𝐴𝜑 = 𝐻𝑅:
𝑒
1
𝑒Ф
𝑝𝜑 − 𝐴𝜑 = (𝐿𝑧 −
)
𝑐
𝑅
2𝜋𝑐
(34)
,где Ф – магнитный поток через сечение цилиндра, 𝐿𝑧 – оператор проекции
момента импульса на ось 𝑧:
Ф = 𝜋𝑅2 𝐻,
Для
более
удобного
𝐿𝑧 = −𝑖ℏ
представления
𝜕
.
𝜕𝜑
формулы
(34),
воспользуемся определением кванта магнитного потока:
Ф0 =
2𝜋𝑐ℏ
> 0, 𝑒 < 0.
|𝑒|
Тогда выражение (34) можно записать в более компактном виде:
𝑒
ℏ
𝜕
𝑒Ф
ℏ
𝜕
Ф
𝑝𝜑 − 𝐴𝜑 = (−𝑖
−
+ ),
) = (−𝑖
𝑐
𝑅
𝜕𝜑 2𝜋𝑐ℏ
𝑅
𝜕𝜑 Ф0
где отношение
Ф
Ф0
называется параметром Ааронова-Бома.
Подставляя выражение (35) в (33) получаем:
21
(35)
мы
𝑝𝑧2 𝑒 2 𝑎 2
1
𝜕
Ф 2 ℏ2
2
(𝑅 − 2𝑧 )) +
−
− )
[(
(𝑖
] 𝜓 = 𝐸𝜓.
2𝑚
2
2𝑚 𝜕𝜑 Ф0 𝑅2
Применяя
метод
разделения
переменных,
будем
искать
(36)
решение
уравнения(36) в виде:
𝜓(𝑧, 𝜑) =
Множитель
1
√𝑅
1
√𝑅
𝑢(𝜑)𝑣(𝑧).
(37)
нужен для нормировки собственных функций.
Подставим (37) в уравнение (36):
[𝐴̂(𝑧)𝑣(𝑧)]𝑢(𝜑) + [𝐵̂(𝜑)𝑢(𝜑)]𝑣(𝑧) = 𝐸𝑢(𝜑)𝑣(𝑧),
где
1
𝜕
Ф 2 ℏ2
𝐵̂(𝜑) =
− )
.
(𝑖
2𝑚 𝜕𝜑 Ф0 𝑅2
𝑝𝑧2 𝑒 2 𝑎 2
̂
(𝑅 − 2𝑧 2 ),
𝐴(𝑧) =
−
2𝑚
2
Разделим данное уравнение на 𝑢𝑣, имеем:
𝐴̂(𝑧)𝑣(𝑧) 𝐵̂(𝜑)𝑢(𝜑)
+
= 𝐸.
𝑣(𝑧)
𝑢(𝜑)
Будем искать 𝐸, как сумма двух энергий:
𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2 .
В соответствии с этим, получаем два уравнения:
𝐵̂(𝜑)𝑢(𝜑)
= 𝐸1 ,
{ 𝑢(𝜑)
𝑢(𝜑) = 𝑢(𝜑 + 2𝜋),
𝐴̂(𝑧)𝑣(𝑧)
= 𝐸2 .
𝑣(𝑧)
В системе на функцию 𝑢(𝜑) наложили условие периодичности.
Найдем функцию 𝑢(𝜑). С учетом явного вида оператора 𝐵̂(𝜑),
имеем:
𝜕
Ф 2
2𝑚𝑅2
− ) 𝑢(𝜑) = 𝐸1 𝑢(𝜑) 2 ,
(𝑖
{ 𝜕𝜑 Ф0
ℏ
𝑢(𝜑) = 𝑢(𝜑 + 2𝜋).
В качестве решения 𝑢(𝜑) возьмем выражение:
22
𝑢(𝜑) =
1
√2𝜋
𝑒 𝑖𝑙𝜑 .
(38)
Подействуем функцией 𝑢(𝜑) на оператор:
(𝑖
𝜕
Ф
𝜕𝑢 Ф
Ф
− ) 𝑢(𝜑) = (𝑖
−
𝑢) = (−𝑙 − ) 𝑢(𝜑).
𝜕𝜑 Ф0
𝜕𝜑 Ф0
Ф0
Тогда
Ф 2
2𝑚𝑅2
.
(𝑙 + ) = 𝐸1
Ф0
ℏ2
Отсюда непосредственно получаем спектр энергии 𝐸1 :
Ф 2
ℏ2
𝐸1 = 𝐸1 (𝑙) = 𝜀 (𝑙 + ) , 𝜀 =
,
Ф0
2𝑚𝑅2
(39)
где 𝑙 пробегает как положительные, так и отрицательные значения:
𝑙 = 0, ±1, ±2, …
Спектр энергии 𝐸1 (𝑙) обнаруживает явную зависимость от параметра
Ааронова – Бома, а величина 𝜀 называется энергией размерного
конфайнмента. Вернемся к рассмотрению теперь уравнения относительно
функции 𝑣(𝑧):
𝐴̂(𝑧)𝑣(𝑧)
= 𝐸2 ,
𝑣(𝑧)
𝐴̂(𝑧)𝑣(𝑧) − 𝑣(𝑧)𝐸2 = 0.
Принимая во внимание вид оператора 𝐴̂(𝑧), запишем уравнение в
виде:
ℏ2 𝑑 2 𝑒 2 𝑎 2
(𝑅 − 2𝑧 2 )] 𝑣(𝑧) = 𝐸2 𝑣(𝑧).
−
[−
2
2𝑚 𝑑𝑧
2
Отсюда получаем
𝑣
′′ (𝑧)
2𝑚
𝑒 2 𝑎𝑅2
+ 2 [(𝐸2 +
) − 𝜆12 𝑧 2 ] = 0,
ℏ
2
(40)
где параметр 𝜆1 определяется следующим образом:
𝜆1 = |𝑒|√𝑎.
Сравним уравнение (46) с уравнением гармонического осциллятора:
23
𝑣 ′′ (𝑧) +
2𝑚
(𝐸 − 𝑉) = 0,
ℏ2
(41)
где 𝑉 − потенциальная энергия гармонического осциллятора:
𝑚𝜔2 𝑧 2
𝑉=
.
2
Мы видим, что наше уравнение (40) сводится к уравнению
гармонического осциллятора. Поэтому , учитывая, что энергетический
спектр гармонического осциллятора задается равенством
1
𝐸𝑛 = ℏ𝜔 (𝑛 + ) , 𝑛 = 0,1,2, …,
2
Из уравнения (40), находим спектр 𝐸2 :
1
𝑒 2 𝑎𝑅2
𝐸𝑛 = ℏ𝜔 (𝑛 + ) = 𝐸2 +
.
2
2
(42)
Аналогично, приравнивая выражения для потенциальных энергий
двух уравнений Шредингера
𝑚𝜔2
= 𝑒 2 𝑎,
2
находим частоту продольных гармонических колебаний и
соответствующую энергию колебаний:
2𝑎
𝜔 = |𝑒|√ ,
𝑚
1
𝑒 2 𝑎𝑅2
𝐸2 = ℏ𝜔 (𝑛 + ) −
, 𝑛 = 0,1,2, …
2
2
Заметим, что для устойчивости движения электрона вдоль оси 𝑧 энергия
𝐸2 должна быть принимать только положительные значения. Найдем
далее волновые функции стационарных состояний продольного движения
электрона, которые описываются уравнением (40). Соответствующие
волновые функции для гармонического осциллятора (см. уравнение (41))
имеют вид [33]:
24
1
𝑣𝑛 (𝑧) =
√2𝑛 𝑛! √𝜋𝑧0
𝑧 −12(𝑧𝑧 )2
ℏ
0 ,𝑧 = √
𝐻𝑛 ( ) 𝑒
,
0
𝑧0
𝑚𝜔
где 𝐻𝑛 − полиномы Эрмита:
2
𝐻𝑛 (𝑧) = (−1)𝑛 𝑒
𝑧2
𝑑 𝑛 𝑒 −𝑧
.
𝑑𝑧 𝑛
Проводя опять сравнение, получим нормированные собственные
функции нашего уравнения (46):
8
𝜆1 √2𝑚 2
𝜆1 √2𝑚
𝑧
ℏ
𝑣𝑛 (𝑧) = √
𝐻𝑛 ( ) 𝑒 − ℏ 𝑧 , 𝑧0 = √
,
𝜋ℏ √2𝑛 𝑛!
𝑧0
𝑚𝜔
4
(43)
Таким образом, складывая полученные ранее спектры энергий для 𝐸1 и
𝐸2 ,получаем энергию стационарных состояний электрона на поверхности
нанотрубки:
Ф 2
1
𝑒 2 𝑎𝑅2
𝐸(𝑙, 𝑛) = 𝜀 (𝑙 + ) + ℏ𝜔 (𝑛 + ) −
,
Ф0
2
2
(44)
где 𝑙 − орбитальное квантовое число: 𝑙 = 0, ±1, ±2, … и 𝑛 −главное
квантовое число, определяющее энергию продольных гармонических
колебаний электрона, 𝑒 − заряд электрона, 𝑅 − радиус цилиндра.
Волновая функция стационарных состояний принимает вид:
𝜓𝑙,𝑛 (𝑧, 𝜑) =
1
√𝑅
𝑢𝑙 (𝜑)𝑣𝑛 (𝑧),
где 𝑢𝑙 (𝜑) и 𝑣𝑛 (𝑧) определяются по формулам (38), (43).
Данная волновая функции является ортонормированной, т.е.
+∞ +∞
∫ ∫ 𝜓𝑙∗′,𝑛′ 𝜓𝑙,𝑛 𝑅 𝑑𝑧 𝑑𝜑 = 𝛿𝑛,𝑛′ 𝛿𝑙,𝑙′ .
−∞ −∞
Таким образом, электрон в рассматриваемой конфигурации внешнего
электромагнитного поля совершает финитное движение на поверхности
25
нанотрубки вдоль винтовой линии. Это движение представляет собой
суперпозицию гармонического колебания с частотой 𝜔 в продольном
направлении и вращательного движения на поверхности трубки с
энергией, определяемой формулой (39) и зависящей от параметра
Ааронова-Бома.
Вычислим вероятность вынужденных переходов из состояния 𝐸𝑛,𝑙 в
состояние 𝐸𝑛′,𝑙′ . Формула для вероятности переходов имеет вид (см. также
параграф 2):
𝑤𝑛,𝑙→𝑛′,𝑙′ =
2
𝑡
2
2𝜋𝑒 𝑐𝑁(𝜘⃗)
𝜕
⃗+ 𝛽⃗) − (𝛽⃗± 𝜘⃗ 0 )(𝛽⃗𝜘⃗ 0 )} |∫ 𝑒 −𝑖𝑐𝑡(𝜘𝑛,𝑙→𝑛′,𝑙′ ∓𝜘) 𝑑𝑡| ,
{(𝛽
ℏ𝐿3 𝜘
𝜕𝑡
0
где 𝑒 − заряд электрона, 𝑐 − скорость света, ℏ − постоянная Планка, 𝐿 −
длина периодичности,
𝜘⃗ 0 есть единичный вектор в направлении
распространения фотона, 𝑁 − число частиц, 𝛽 − матричные элементы:
𝜘⃗ 0 =
В этой формуле
знак
„ − “
𝜘⃗
.
|𝜘|
перед
𝜘 в показателе экспоненты
соответствует вынужденному излучению, а знак
„+“−
поглощению
излучения .
Величина
𝜔𝑛,𝑙→𝑛′ ,𝑙′ = с𝜘𝑛,𝑙→𝑛′ ,𝑙′ =
𝐸𝑛,𝑙 − 𝐸𝑛′,𝑙′
ℏ
равна частоте излучения (поглощения).
В наиболее интересном случае электрон находится в возбужденном
состоянии. В этом случае энергия электрона 𝐸 становится мнимой
величиной:
𝐸 →𝐸−𝑖
1
,
2𝜏
𝑡
𝑒 −𝑖𝐸𝑡 → 𝑒 −𝑖𝐸𝑡−2𝜏 ,
где 𝜏 − время жизни электрона.
26
Интеграл в формуле для вероятности перехода
2
𝑡
𝑡
−𝑖𝑐𝑡(𝜘𝑛,𝑛′ ∓𝜘)−
2𝜏 𝑑𝑡 |
|∫ 𝑒
=
0
4𝜏
1+
4𝜏 2 (|𝜔
𝑛,𝑙→𝑛′ ,𝑙 ′ |
− 𝜔)
2.
вычисляется при условии, что 𝑡 ≫ 𝜏.
Для вероятности вынужденного перехода под действием внешней
электромагнитной волны частоты 𝜔 = с𝜘 с волновым вектором 𝜘⃗,
составляющим угол 𝜃 с осью 𝑧 (см. рис. 3) и с учетом того, что мы
выбрали так систему координат, что составляющая 𝜘𝑥0 = 0, формула для
вероятности перехода примет вид:
𝑦
⃗⃗⃗⃗⃗
𝜘0
𝜃
0
𝑧
Рис.3
2𝜋𝑒 2 𝑐𝑁(𝜘⃗) 1
2
2
=
(|𝛽𝑥 |2 + |𝛽𝑦 | + |𝛽𝑧 |2 − sin2 𝜃 |𝛽𝑦 | −
3
2
2
ℏ𝐿 𝜘
𝑚 𝑐
𝑤𝑛,𝑙→𝑛′,𝑙′
2
−cos 𝜃 |𝛽𝑧
|2
2𝜋𝑒 2 𝑐𝑁(𝜘⃗) 1
)
×
2 =
3𝜘
2𝑐2
ℏ𝐿
𝑚
2
1 + 4𝜏 (|𝜔𝑛,𝑙→𝑛′,𝑙′ | − 𝜔)
4𝜏
2
× [|𝛽𝑥 |2 + cos 2 𝜃 |𝛽𝑦 | + sin2 𝜃 |𝛽𝑧 |2 ]
4𝜏
2
1 + 4𝜏 2 (|𝜔𝑛,𝑙→𝑛′,𝑙′ | − 𝜔)
Формула для вычисления матричных элементов выглядит следующим
образом:
𝑒
𝛽⃗= ∫ 𝜓𝑛+′,𝑙′ (𝑧, 𝜑)𝑒 −𝑖𝜘⃗⃗𝑟⃗ (𝑝⃗ − 𝐴⃗) 𝜓𝑛,𝑙 (𝑧, 𝜑)𝑅𝑑𝑧𝑑𝜑.
𝑐
27
(45)
Будем вычислять матричные элементы в дипольном приближении (не
зависящим от членов 𝜘⃗𝑟⃗), а именно, когда
𝑒 −𝑖𝜘⃗⃗𝑟⃗ ≈ 1.
Вычислим как связаны между собой производные в декартовых и
цилиндрических системах координат. Принимая во внимания соотношения
между декартовыми и цилиндрическими координатами
𝑥 = 𝑅 cos 𝜑,
𝑦 = 𝑅 sin 𝜑,
𝑧 = 𝑧,
𝑦
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 .
{
𝑥
Имеем
𝜕𝑓
𝜕𝑓 𝜕𝜑
𝜕𝑓
=( )
=( )
𝜕𝑥
𝜕𝜑 𝜕𝑥
𝜕𝜑
1
𝑦
1+( )
𝑥
2 (−
𝑦
𝜕𝑓
−1
=
−𝑅
sin
𝜑
.
)
𝑥2
𝜕𝜑
(46)
Аналогично
𝜕𝑓
𝜕𝑓 𝜕𝜑
𝜕𝑓
=( )
=( )
𝜕𝑦
𝜕𝜑 𝜕𝑦
𝜕𝜑
1
1
𝜕𝑓
−1
=
𝑅
cos
𝜑
.
(
)
𝑦 2 𝑥
𝜕𝜑
1+( )
𝑥
(47)
С учетом явного вида векторного потенциала и формул (47) имеем:
𝑒
𝜕 𝑒𝐻𝑅 sin 𝜑
𝜕
𝑒𝐻𝑅 sin 𝜑
𝑝𝑥 − 𝐴𝑥 = (−𝑖ℏ
+
+
) = ((−𝑖ℏ)(−𝑅−1 sin 𝜑)
).
𝑐
𝜕𝑥
2𝑐
𝜕𝜑
2𝑐
𝑒
𝜕
𝑒𝐻𝑅2
−1
𝑝𝑥 − 𝐴𝑥 = −𝑅 sin 𝜑 (−𝑖ℏ
−
).
𝑐
𝜕𝜑
2𝑐
𝑒
𝜕 𝑒𝐻𝑅 cos 𝜑
𝜕
𝑒𝐻𝑅 cos 𝜑
𝑝𝑦 − 𝐴𝑦 = (−𝑖ℏ
−
−
) = ((−𝑖ℏ)𝑅−1 cos 𝜑
)=
𝑐
𝜕𝑦
2𝑐
𝜕𝜑
2𝑐
=𝑅
−1
𝜕
𝑒𝐻𝑅2
cos 𝜑 (−𝑖ℏ
−
).
𝜕𝜑
2𝑐
Подставляя данные выражения в формулу для матричных элементов
(45), получаем:
28
+∞
2𝜋
𝑅−1
𝜕
𝑒𝐻𝑅2 𝑖𝑙𝜑
′𝜑
∗
−𝑖𝑙
𝛽𝑥 = −
∫ 𝑣𝑛 (𝑧) 𝑣𝑛′ (𝑧)𝑑𝑧 ∫ 𝑒
sin 𝜑 (−𝑖ℏ
−
) 𝑒 𝑑𝜑 =
2𝜋
𝜕𝜑
2𝑐
−∞
0
2𝜋
𝑅−1
𝑒𝐻𝑅2
′
=−
(𝑙ℏ −
) 𝛿𝑛,𝑛′ ∫ 𝑒 𝑖𝜑(𝑙−𝑙 ) sin 𝜑 𝑑𝜑 =
2𝜋
2𝑐
0
𝑅−1
𝑒𝐻𝑅2
=−
(𝑙ℏ −
) 𝑖𝜋𝛿𝑛,𝑛′ 𝛿𝑙−𝑙′,1 .
2𝜋
2𝑐
Запишем полученные формулы вводя параметр Ааронова – Бома :
𝑖ℏ
𝑒𝐻𝑅2
𝑖ℏ
Ф
𝛽𝑥 = −
(𝑙 −
) 𝛿𝑛,𝑛′ 𝛿𝑙−𝑙′,1 = −
(𝑙 + ) 𝛿𝑛,𝑛′ 𝛿𝑙−𝑙′,1 .
2𝑅
2𝑐ℏ
2𝑅
Ф0
(48)
Вычислим теперь 𝛽𝑦 :
+∞
2𝜋
𝑅−1
𝜕
𝑒𝐻𝑅2 𝑖𝑙𝜑
′
𝛽𝑦 =
∫ 𝑣𝑛 (𝑧) 𝑣𝑛∗ ′ 𝑑𝑧 ∫ 𝑒 −𝑖𝑙 𝜑 cos 𝜑 (−𝑖ℏ
−
) 𝑒 𝑑𝜑 =
2𝜋
𝜕𝜑
2𝑐
−∞
0
2𝜋
𝑅−1
𝑒𝐻𝑅2
𝑅−1
𝑒𝐻𝑅2
′)
𝑖𝜑(𝑙−𝑙
=
cos 𝜑 𝑑𝜑 =
(𝑙ℏ −
) 𝛿𝑛,𝑛′ ∫ 𝑒
(𝑙ℏ −
) 𝜋𝛿𝑛,𝑛′ 𝛿𝑙−𝑙′,1 .
2𝜋
2𝑐
2𝜋
2𝑐
0
Окончательно получим:
𝛽𝑦 =
ℏ
Ф
(𝑙 + ) 𝛿𝑛,𝑛′ 𝛿𝑙−𝑙′,1 .
2𝑅
Ф0
(49)
Осталось найти 𝛽𝑧 . Для этого воспользуемся известным соотношением из
[33] для собственных функций гармонического осциллятора:
−𝑖ℏ
𝜕𝑣𝑛 (𝑧)
𝑛
𝑛+1
ℏ
= −𝑖𝑚𝜔𝑧0 (√ 𝑣𝑛−1 (𝑧) − √
𝑣𝑛+1 (𝑧)) , 𝑧0 = √
.
𝜕𝑧
2
2
𝑚𝜔
Используя это соотношение, находим
−𝑖ℏ
𝜕𝜓𝑛,𝑙 (𝑧, 𝜑)
ℏ𝜆1 4
= 𝑢𝑙 (𝜑)(−𝑖)√
√2𝑚 (√𝑛𝑣𝑛−1 (𝑧) − √𝑛 + 1𝑣𝑛+1 (𝑧)),
𝜕𝑧
2
где параметр 𝜆1 определен выше.
Подставляем найденное выражение в (45):
29
+∞
𝑖 ℏ𝜆1 4
𝛽𝑧 = − √
√2𝑚 ∫ 𝑣𝑛∗ ′ (√𝑛𝑣𝑛−1 (𝑧) − √𝑛 + 1𝑣𝑛+1 (𝑧)) 𝑑𝑧 ×
2𝜋 2
−∞
2𝜋
ℏ𝜆1 4
′
× ∫ 𝑒 𝑖𝜑(𝑙−𝑙 ) 𝑑𝜑 = − 𝑖 √
√2𝑚𝛿𝑙,𝑙′ (√𝑛𝛿𝑛−1,𝑛′ − √𝑛 + 1𝛿𝑛′,𝑛+1 ).
2
0
Соответственно, квадраты модулей матричных элементов равны:
|𝛽𝑥
|2
ℏ2
Ф 2
= |𝛽𝑦 | = 2 (𝑙 + ) 𝛿𝑛,𝑛′ 𝛿𝑙−𝑙′,1 ,
4𝑅
Ф0
2
(50)
ℏ𝜆1
√2𝑚𝛿𝑙,𝑙′ (𝑛𝛿𝑛−1,𝑛′ + (𝑛 + 1)𝛿𝑛+1,𝑛′ ).
2
Найдем далее правила отбора.
|𝛽𝑧 |2 =
Спонтанный переход возможен только по схеме:
∆𝑙 = 𝑙 − 𝑙 ′ = 1, ∆𝑛 = 𝑛 − 𝑛′ = 0,
а изменение энергии электрона для этого перехода
ℏ𝜔𝑛𝑙→𝑛′𝑙′ = 𝐸𝑛𝑙 − 𝐸𝑛′𝑙′
Ф 2
Ф 2
= 𝜀 (𝑙 + ) − 𝜀 (𝑙 − 1 + ) =
Ф0
Ф0
= 𝜀 (2𝑙 − 1 +
2Ф
).
Ф0
Возможны также переходы
∆𝑛 = 𝑛 − 𝑛′ = ±1.
Вынужденный переход возможен по схеме:
∆𝑛 = 𝑛 − 𝑛′ = −1, ∆𝑙 = 0.
Вычисляем изменение энергии:
1
1
ℏ𝜔𝑛𝑙→𝑛′𝑙′ = 𝐸𝑛𝑙 − 𝐸𝑛′𝑙′ = ℏ𝜔 (𝑛 + ) − ℏ𝜔 (𝑛 + 1 + ) = −ℏ𝜔
2
2
(51)
Спонтанный переход возможен по схеме:
∆𝑛 = 𝑛 − 𝑛′ = 1, ∆𝑙 = 0.
Вычисляем изменение энергии аналогично:
1
1
ℏ𝜔𝑛𝑙→𝑛′𝑙′ = 𝐸𝑛𝑙 − 𝐸𝑛′𝑙′ = ℏ𝜔 (𝑛 + ) − ℏ𝜔 (𝑛 − 1 + ) = ℏ𝜔.
2
2
С учетом того, что
30
(52)
2𝑎
𝜔 = |𝑒|√ ,
𝑚
в явном виде имеем
2𝑎
ℏ𝜔𝑛𝑙→𝑛′ 𝑙′ = ∓ℏ|𝑒|√ .
𝑚
Найдем далее суммарную энергию вынужденного излучения и поглощения
для одноэлектронных переходов с учетом правил отбора. В первом случае
,когда изменяется только орбитальное квантовое число, имеем:
W1   [2n  1 
2
2
]W (l , n  l  1, n)   [2n  1 
](1  cos 2  ) 
0
0
e2 E 2
 2


( 
)
.
2
2
2( mcR)
 0 4 ( 1   ) 2  1
(53)
В зависимости от значения орбитального квантового числа и
параметра
Ааронова-Бома
величина
W1
может
принимать
положительные значения (электромагнитные волны с частотой
как
1
вынужденно излучаются), так и отрицательные значения (тогда они
должны поглощаться).
Во втором случае, когда изменяется только орбитальное квантовое число,
находим:
e2 E 2
W2  [W (l , n  l , n  1)  W (l , n  l , n  1)]    sin 

(mc ) 2
2

4 ( 2   ) 2  1
2
 0.
(54)
Таким образом, электромагнитные волны, частоты которых лежат вблизи
частоты 2 , должны поглощаться нанотрубкой.
Мощности
индуцированного
излучения
и
поглощения
электронного газа нанотрубки связаны с соответствующими формулами W1
(формула (53)) и W2 (формула(54) для одноэлектронных переходов
следующим образом:
31
∞
∞
𝑃1,2 = ∑ ∑ 𝑊1,2 (𝑛, 𝑙)
𝑛=0 𝑙=−∞
× [1 −
1
×
𝐸(𝑛, 𝑙) − 𝜇
exp [
+1
𝑘б 𝑇 ]
(61)
1
],
𝐸(𝑛′ , 𝑙 ′ ) − 𝜇
exp [
]+1
𝑘б 𝑇
где квантовые числа начального и конечного состояний связаны
правилами отбора
∆𝑙 = 𝑙 − 𝑙 ′ = 1, ∆𝑛 = 𝑛 − 𝑛′ = 0,
(62)
при вычислении P 1 и соответственно
∆𝑛 = 𝑛 − 𝑛′ = ∓1, ∆𝑙 = 0
при вычислении P 2 .
32
(63)
4.Решение уравнения Дирака для электрона на цилиндрической
поверхности и правила отбора для матричных элементов
Рассмотрим
уравнение
Дирака
для
электрона
во
внешнем
электромагнитном поле
(𝐸 − 𝐻)𝜓 = 0,
(64)
где оператор 𝐸
𝐸 = 𝑖ℏ
𝜕
,
𝜕𝑡
а гамильтониан задается формулой
H = 𝑐(𝛼⃗𝑃⃗⃗) + 𝜌3 𝑚𝑐 2 + 𝑉(𝑧),
(65)
где 𝛼⃗ = (𝛼1 , 𝛼2 , 𝛼3 ), 𝜌3 – заданные матрицы Дирака:
0001
0
0
0010
0
0
𝛼1 = (
) , 𝛼2 = (
0100
0 −𝑖
1000
𝑖
0
0
0
𝛼3 = (
1
0
0
0
0
−1
1 0
0 −1
),
0 0
0 0
0 −𝑖
𝑖
0
),
0
0
0
0
1 0
0 0
0 1
0 0
𝛼0 = 𝜌3 = (
),
0 0 −1 0
0 0
0−1
𝑃⃗⃗ – кинетический импульс, определяющийся следующим образом:
𝑒
𝑒0
𝜕 𝑒0
𝑃⃗⃗ = 𝑝⃗ − 𝐴⃗ = 𝑝⃗ + 𝐴⃗ = −𝑖ℏ + 𝐴⃗, 𝑒 = −𝑒0 ,
𝑐
𝑐
𝜕𝑟⃗ 𝑐
𝑉(𝑧) − вид потенциальной энергии, в качестве которой мы используем
потенциальную яму с бесконечно высокими стенками.
Таким образом, мы рассматриваем здесь
электрона
движение релятивистского
на цилиндрической поверхности в суперпозиции продольного
магнитного поля и потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками,
в пределах которой и происходит движение электрона в продольном
направлении.
Будем искать решение уравнения (64) в виде:
33
ψ(𝑟⃗; 𝑡) =
𝜀Е𝑡
𝑒 −𝑖 ℏ
𝜓1
𝜓
( 2 ),
𝜓3
𝜓4
где 𝜀 = ±1 – характеризует знак энергии. Перепишем уравнение (64) в
матричном виде с учетом гамильтониана (65) и матриц Дирака:
𝜓1
𝜓4
– 𝑖𝜓4
𝜓3
𝜓1
𝜓
𝜓
𝑖𝜓3
−𝜓
𝜓
𝜀𝐸 ( 2 ) = 𝑐 Рх ( 3 ) + 𝑐 Ру (
) + 𝑐 Р𝑧 ( 4 ) + 𝑚 𝑐 2 ( 2 ) −
𝜓3
𝜓2
−𝑖𝜓2
𝜓1
−𝜓3
𝜓4
𝜓1
𝑖𝜓1
−𝜓2
−𝜓4
𝜓1
𝜓
(𝑅2 − 2𝑧 2 ) ( 2 ) .
−
𝜓3
2
𝜓4
(66)
𝑒02 𝑎
После сложения вектор – столбцов, уравнение Дирака примет более
компактный вид:
(Рх − 𝑖Ру )𝜓4
𝜓1
𝜓3
𝜓1
+
𝑖Р
(Р
)𝜓
𝜓
−𝜓
𝜓
х
у
3
𝜀Е ( 2 ) = 𝑐
+ 𝑐 Р𝑧 ( 4 ) + 𝑚c 2 ( 2 ) −
𝜓3
𝜓1
−𝜓3
(Рх − 𝑖Ру )𝜓2
𝜓4
−𝜓2
−𝜓4
((Рх + 𝑖Ру )𝜓1 )
𝜓1
𝜓
(𝑅2 − 2𝑧 2 ) ( 2 ).
−
𝜓3
2
𝜓4
𝑒02 𝑎
Отсюда непосредственным образом, получаем систему уравнений:
(67)
𝑒02 𝑎 2
(𝑅 − 2𝑧 2 )] 𝜓1,3 = 𝑐 (Рх − 𝑖Ру ) 𝜓4,2 + 𝑐Р𝑧 𝜓3,1 ,
[𝜀𝐸 ∓ 𝑚𝑐 +
2
2
𝑒02 𝑎 2
(𝑅 − 2𝑧 2 )] 𝜓2,4 = 𝑐 (Рх + 𝑖Ру ) 𝜓3,1 − 𝑐Р𝑧 𝜓4,2 ,
[𝜀𝐸 ∓ 𝑚𝑐 +
2
2
где
34
Р𝑧 = − 𝑖ℏ
𝜕
.
𝜕𝑧
Запишем Рх ± 𝑖Ру к цилиндрической системе координат:
Рх ± 𝑖Ру = −𝑖ℏ𝑒 ±𝑖𝜑 (±
𝑖 𝜕
𝑒0 𝐻
∓ 𝛾𝑅) , 𝛾 =
.
𝑅 𝜕𝜑
2𝑐ℏ
(68)
Будем искать решение в виде:
𝜑
𝜓1,3 (z, 𝜑) = 𝑒 𝑖𝑙𝜑−𝑖 2 𝜓1,3 (z),
{
𝜑
𝜓2,4 (z, 𝜑) = 𝑒 𝑖𝑙𝜑+𝑖 2 𝜓2,4 (z),
𝜑
где слагаемое 𝑒 −𝑖 2 входит с учетом спина.
Подействуем волновой функцией на выражение (Рх − 𝑖Ру ):
𝑐(Рх − 𝑖Ру )𝜓4,2 = (− 𝑖ℏс) 𝑒
= (−𝑖ℏ𝑐) 𝑒
𝑖𝑙𝜑−𝑖
𝜑
𝑖 𝑑
𝑖𝑙𝜑+𝑖
2 𝜓4,2 (𝑧) =
+ 𝛾𝑅) 𝑒
(−
𝑅 𝑑𝜑
−𝑖𝜑
𝜑
2
(
𝑙+
𝑅
1
2 + 𝛾𝑅) 𝜓 (𝑧).
4,2
Аналогично для выражения (Рх + 𝑖Ру ):
𝑐(Рх + 𝑖Ру )𝜓3,1 = (− іℏс)𝑒 𝑖𝜑 (𝑖𝑅
= 𝑖ℏ𝑐
𝜑
𝑒 𝑖𝑙𝜑+𝑖 2
(
𝑙−
𝑅
𝜑
𝑑
− 𝛾𝑅) 𝑒 𝑖𝑙𝜑−𝑖 2 𝜓3,1 (𝑧) =
𝑑𝜑
1
2 + 𝛾𝑅) 𝜓
3,1 (𝑧).
Система (67) принимает вид:
𝑒02 𝑎 2
(𝑅 − 2𝑧 2 )) 𝜓1,3 (𝑧) =
(𝜀𝐸 ∓ 𝑚 𝑐 +
2
2
= (−𝑖ℏc) (
𝑙+
𝑅
1
2 + 𝛾𝑅) 𝜓 (𝑧) + 𝑐Р 𝜓 (𝑧).
4,2
𝑧 3,1
35
(69)
𝑒02 𝑎 2
(𝑅 − 2𝑧 2 )) 𝜓2,4 (𝑧) =
(𝜀𝐸 ∓ 𝑚 𝑐 +
2
2
= 𝑖ℏc (
𝑙−
𝑅
1
2 + 𝛾𝑅) 𝜓
3,1 (𝑧) −
(68)
сР𝑧 𝜓4,2 (𝑧).
Выразим из уравнения 𝜓4,2 . Возьмем в качестве 𝜀 = 1. Будем иметь
𝜓4,2 =
𝑖
(𝐸 ± 𝑚 𝑐 2 + 𝑉(𝑧) − 𝑐Р𝑧 )𝜓3,1 (𝑧).
1
𝑙+
2 + 𝛾𝑅)
ℏc (
𝑅
(69)
Введем потенциальную яму с бесконечно высокими стенками [33]
(см. рис. 4 ):
0,
𝑉(𝑧) = {
∞,
0 < 𝑧 < 𝑙,
𝑧 ∉ (0, 𝑙).
𝑉(𝑧) = ∞
𝑉(𝑧) = ∞
0
𝑙
𝑧
рис.4. Потенциальный барьер с бесконечно высокими стенками
Подставляем найденное выражение (69) в уравнение (68):
(𝐸 ± 𝑚 𝑐 2 + 𝑐Р𝑧 )
𝑖
(𝐸 ± 𝑚 𝑐 2 − 𝑐Р𝑧 )𝜓3,1 (𝑧) =
1
𝑙+
2 + 𝛾𝑅)
ℏc (
𝑅
= 𝑖ℏc (
𝑙−
𝑅
1
2 + 𝛾𝑅) 𝜓
3,1 (𝑧).
Преобразуем данное выражение:
36
((𝐸 ± 𝑚 𝑐
2 )2
−
с2 P𝑧2 )𝜓3,1 (𝑧)
ℏc 2
1
1
= ( ) (𝑙 + + 𝛾𝑅2 ) (𝑙 − + 𝛾𝑅2 ) 𝜓3,1 (𝑧).
𝑅
2
2
Обозначим 𝜓 = 𝜓3,1 . Тогда будем иметь
((𝐸 ± 𝑚 𝑐 2 )2 + ℏ2 с2 P𝑧2 )𝜓 = 𝐴𝜓,
где
ℏc 2
1
1
𝐴 = ( ) (𝑙 + + 𝛾𝑅2 ) (𝑙 − + 𝛾𝑅2 ).
𝑅
2
2
(70)
С учетом того, что имеем потенциальный барьер, получаем задачу
Штурма – Лиувилля на нахождение собственных значений и функций:
𝐴 − (𝐸 ± 𝑚 𝑐 2 )2
𝜓 = 0,
{𝜓 +
ℏ2 с 2
𝜓(0) = 𝜓(𝑙) = 0.
(71)
′′
Пусть
𝑎=𝑙−
ширина
барьера.
Решаем
дифференциальное
уравнение второго порядка:
𝜓 ′′ + 𝜆𝜓 = 0,
𝜓 = 𝐶1 cos √𝜆 𝑧 + 𝐶2 sin √𝜆𝑧.
Удовлетворим начальным условиям:
𝐶1 = 0, 𝐶2 sin √𝜆𝑎 = 0,
𝜋𝑛 2
𝜆𝑛 = ( ) , 𝑛 = 1,2, …
𝑎
Имеем собственные функции:
𝜋𝑛
𝜓𝑛 (𝑧) = 𝐶 sin
𝑧.
𝑎
Найдем коэффициент 𝐶𝑛 из условия нормировки:
𝑎
𝑎
∫ 𝜓𝑛2 (𝑧)𝑑𝑧 = 𝐶 2 ∫ sin2
0
0
Отсюда получаем, что
37
𝜋𝑛𝑧
𝑎
𝑑𝑧 = 𝐶 2 = 1.
𝑎
2
2
𝐶=√ .
𝑎
Окончательно собственные функции принимают вид:
(72)
2
𝜋𝑛
𝜓𝑛 (𝑧) = √ sin
𝑧.
𝑎
𝑎
С другой стороны,
𝐴 − (𝐸 ± 𝑚 𝑐 2 )2
𝜆=
.
ℏ2 с 2
Тогда
𝜋𝑛 2 𝐴 − (𝐸 ± 𝑚 𝑐 2 )2
,
( ) =
𝑎
ℏ2 с 2
(73)
𝜋𝑛ℏ𝑐 2
2
√
𝐸±𝑚𝑐 =± 𝐴+(
) .
𝑎
Точно также можно получить решение для 𝜓 = 𝜓4,2 . Нормируем
также экспоненту:
2𝜋
𝜑
𝜑
∫ 𝐷2 𝑒 𝑖𝑙𝜑−𝑖 2 𝑒 −𝑖𝑙𝜑+𝑖 2 𝑑𝜑 = 𝐷2 2𝜋 = 1, 𝐷 =
0
1
√2𝜋
.
Тогда решение (69) с учетом коэффициентов 𝐶 и 𝐷 имеет вид:
1
2 𝑖𝑙𝜑−𝑖𝜑
𝜋𝑛
√
2 sin
(z,
𝜓1,3 𝜑) =
𝑒
𝑧,
𝑎
√2π 𝑎
{
Для
𝜓2,4 (z, 𝜑) =
(74)
1
𝜑
2
𝜋𝑛
√ 𝑒 𝑖𝑙𝜑+𝑖 2 sin
𝑧.
𝑎
√2π 𝑎
вычисления вероятности перехода, нам необходимо найти
матричные элементы матриц Дирака по формуле:
38
̅ = ∫ 𝜓 + 𝜶 𝑒 −𝑖𝜘⃗⃗𝑟⃗ 𝜓𝑑 3 𝑥.
𝜶
Для вычисления коэффициентов 𝛼̅𝑥 , 𝛼̅𝑦 , 𝛼̅𝑧 будем рассматривать в
дипольном приближении, когда 𝑒 −𝑖𝜘⃗⃗𝑟⃗ ≈ 1.
𝜓1
0001
0 0 1 0 −𝑖𝜘1 𝑥 𝜓2
𝛼̅𝑥 = ∫(𝜓1∗ 𝜓2∗ 𝜓3∗ 𝜓4∗ ) (
)𝑒
( ) 𝑑 3 𝑥 = ∫(𝜓1∗ 𝜓2∗ 𝜓3∗ 𝜓4∗ ) ×
𝜓3
0100
𝜓4
1000
𝜓4
𝜓
× ( 3 ) 𝑑 3 𝑥 = ∫(𝜓1∗ 𝜓4 + 𝜓2∗ 𝜓3 + 𝜓3∗ 𝜓2 + 𝜓4∗ 𝜓1 )𝑑 3 𝑥.
𝜓2
𝜓1
Для
того
чтобы
вычислить
данный
интеграл,
перейдем
к
цилиндрическим координатам и воспользуемся, найденным решением по
формуле (74):
𝑎 2𝜋
𝛼̅𝑥 = ∫ ∫
0 0
1
𝜋𝑛′ 𝑧 𝑖𝜑(𝑙+1) 𝜋𝑛𝑧
−𝑖𝜑(𝑙 ′ − )
2
2 sin
(𝑒
sin
𝑒
𝑎
𝑎
+
1
𝜋𝑛′ 𝑧 𝑖𝜑(𝑙−1)
−𝑖𝜑(𝑙 ′ + )
2
2
𝑒
sin
𝑒
𝑎
1
𝜋𝑛𝑧
𝜋𝑛′ 𝑧 𝑖𝜑(𝑙+1) 𝜋𝑛𝑧 −𝑖𝜑(𝑙′+1)
𝜋𝑛′ 𝑧
−𝑖𝜑(𝑙 ′ − )
2 sin
2 sin
2 sin
× sin
+𝑒
𝑒
+𝑒
×
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
1
𝜋𝑛𝑧 1 2
𝑖𝜑(𝑙− )
2 sin
×𝑒
)
𝑅𝑑𝑧𝑑𝜑 =
𝑎 2𝜋 𝑎
𝑅 𝑎
𝑎
𝑎
=
( 𝛿𝑛,𝑛′ 2𝜋𝛿𝑙−𝑙′+1,0 + 𝛿𝑛,𝑛′ 2𝜋𝛿𝑙−𝑙′−1,0 + 𝛿𝑛,𝑛′ ×
𝑎𝜋 2
2
2
𝑎
× 2𝜋𝛿𝑙−𝑙′+1,0 + 𝛿𝑛,𝑛′ 2𝜋𝛿𝑙−𝑙′−1,0 ) = 𝑅(2𝛿𝑛,𝑛′ 𝛿𝑙−𝑙′ +1,0 + 2𝛿𝑛,𝑛′ 𝛿𝑙−𝑙′−1,0 ) =
2
= 2𝑅(𝛿𝑛,𝑛′ 𝛿𝑙−𝑙′ +1,0 + 𝛿𝑛,𝑛′ 𝛿𝑙−𝑙′−1,0 ).
Вычислим теперь 𝛼̅𝑦 и 𝛼̅𝑧 :
0
0
0
0
𝛼̅𝑦 = ∫(𝜓1∗ 𝜓2∗ 𝜓3∗ 𝜓4∗ ) (
0 −𝑖
𝑖
0
𝜓1
0 −𝑖
𝜓
𝑖
0
) ( 2 ) 𝑑 3 𝑥 = ∫(𝜓1∗ 𝜓2∗ 𝜓3∗ 𝜓4∗ ) ×
𝜓3
0
0
𝜓4
0
0
−𝑖𝜓4
𝑖𝜓3
×(
) 𝑑 3 𝑥 = ∫(−𝑖𝜓1∗ 𝜓4 + 𝑖𝜓2∗ 𝜓3 − 𝑖𝜓3∗ 𝜓2 + 𝑖𝜓4∗ 𝜓1 )𝑑 3 𝑥.
−𝑖𝜓2
𝑖𝜓1
39
×
0
0
𝛼̅𝑧 = ∫(𝜓1∗ 𝜓2∗ 𝜓3∗ 𝜓4∗ ) (
1
0
𝜓1
1 0
𝜓
0 −1
) ( 2 ) 𝑑 3 𝑥 = ∫(𝜓1∗ 𝜓2∗ 𝜓3∗ 𝜓4∗ ) ×
𝜓3
0 0
𝜓4
0 0
0
0
0
−1
𝜓3
−𝜓
× ( 4 ) 𝑑 3 𝑥 = ∫(𝜓1∗ 𝜓3 − 𝜓2∗ 𝜓4 + 𝜓3∗ 𝜓1 − 𝜓4∗ 𝜓2 )𝑑3 𝑥.
𝜓1
−𝜓2
Аналогично вычисляя, получим следующее выражения для 𝛼̅𝑦 и ̅𝛼𝑧 :
𝛼̅𝑦 = 2𝑅𝑖(−𝛿𝑛,𝑛′ 𝛿𝑙−𝑙′+1,0 + 𝛿𝑛,𝑛′ 𝛿𝑙−𝑙′ −1,0 ).
𝛼̅𝑧 = 𝑅(𝛿𝑛,𝑛′ − 𝛿𝑛,𝑛′ + 𝛿𝑛,𝑛′ − 𝛿𝑛,𝑛′ ) = 0.
Соответственно квадраты модулей равны:
2
|𝛼̅𝑥 |2 = |𝛼̅𝑦 | = 4𝑅2 (𝛿𝑛,𝑛′ 𝛿𝑙−𝑙′+1,0 + 𝛿𝑛,𝑛′ 𝛿𝑙−𝑙′−1,0 ),
(75)
|𝛼̅𝑧 |2 = 0.
Упростим слагаемое, входящее в вероятность перехода с учетом,
найденных квадратов модулей и выбора координат (см. рис.3), имеем:
2
2
(𝜶
̅+ 𝜶
̅ ) − (𝜶
̅ ± 𝜘⃗ 0 )(𝜶
̅ 𝜘⃗ 0 ) = |𝛼̅𝑥 |2 + |𝛼̅𝑦 | + |𝛼̅𝑧 |2 − sin2 𝜃 |𝛼̅𝑦 | −
2
2
2
−cos 2 𝜃 |𝛼̅𝑧 |2 = |𝛼𝑥 |2 + |𝛼𝑦 | − sin2 𝜃 |𝛼𝑦 | = |𝛼𝑥 |2 + cos 2 𝜃 |𝛼𝑦 | .
Правила отбора для уравнения Дирака
Таким образом, в этом случае возможны следующие переходы:
∆𝑙 = 𝑙 − 𝑙 ′ = ±1,
∆𝑛 = 𝑛 − 𝑛′ = 0.
Энергия должна быть положительной, поэтому
𝐸𝑛𝑙
𝜋𝑛ℏ𝑐 2
= 𝑚 𝑐 + √𝐴 + (
) ,
𝑎
2
где 𝐴 определяется по формуле (70).
Проверим, коммутирует ли гамильтониан с
вычислим коммутатор:
[𝐻, 𝜎3 ].
40
матрицей
𝜎3 , т.е.
Здесь 𝜎3 − матрица Дирака, определенная ниже по формуле (76).
Если коммутатор окажется отличным от нуля,, то это будет означать, что
проекция спина на ось z не сохраняется.
Распишем гамильтониан уравнения Дирака:
H = 𝑐(𝛼⃗𝑝⃗) + 𝜌3 𝑚𝑐 2 + 𝑉(𝑧) = 𝑐𝛼1 𝑝𝑥 + 𝑐𝛼2 𝑝𝑦 + 𝑐𝛼3 𝑝𝑧 + 𝜌3 𝑚𝑐 2 + 𝑉(𝑧).
1
0
𝜎3 = (
0
0
0
0 0
−1 0 0
)
0
1 0
0
0−1
(76)
Для вычисления коммутатора, будем использовать соотношения для
матриц 𝜎 и 𝜌. Чтобы перечислить соотношения, нам понадобятся
следующие матрицы Паули:
01
0 −𝑖
1 0
𝜎1′ = ( ), 𝜎2′ = (
) , 𝜎3′ = (
).
10
𝑖 0
0 −1
(77)
Данные матрицы характеризует проекции вектора спина на оси
координат. Также Дираком были введены матриц 𝜎𝑛 и 𝜌𝑛 , которые зависят
от матриц, определенных по формуле (77):
𝜎𝑛 = (
𝜌1 = (
0′ 𝐼 ′
),
𝐼 ′ 0′
𝜎𝑛′ 0′
),
0′ 𝜎𝑛′
𝜌2 = (
(𝑛 = 1,2,3),
0′ −𝑖𝐼 ′
),
𝑖𝐼 ′ 0′
𝜌3 = (
𝐼 ′ 0′
),
0′ − 𝐼 ′
где 𝜎𝑛′ − матрицы Паули,
0′ = (
00
10
) , 𝐼 ′ = ( ).
00
01
Теперь непосредственно перечислим соотношения для матриц:
1000
0100
𝜎𝑛2 = 𝜌𝑛2 = 𝐼 = (
).
0010
0001
𝜎1 𝜎2 = −𝜎2 𝜎1 = 𝑖𝜎3 ,
𝜎2 𝜎3 = −𝜎3 𝜎2 = 𝑖𝜎1 , 𝜎3 𝜎1 = −𝜎1 𝜎3 = 𝑖𝜎2 .
Аналогично для 𝜌:
𝜌1 𝜌2 = −𝜌2 𝜌1 = 𝑖𝜌3 и т. д.
41
(78)
Заметим важное свойство, что матрицы 𝜎𝑛 и 𝜌𝑛′ коммутируют между
собой:
𝜎𝑛 𝜌𝑛′ = 𝜌𝑛′ 𝜎𝑛 .
(79)
В качестве матриц 𝛼𝑛 выбираем следующие матрицы:
0′ 𝜎𝑛′
𝐼 ′ 0′
𝛼𝑛 = 𝜌1 𝜎𝑛 = ( ′ ′ ) , (𝑛 = 1,2,3), 𝛼0 = 𝜌3 = ( ′
).
𝜎𝑛 0
0 − 𝐼′
Перейдем к вычислению коммутатора, будем
пользоваться
соотношениями (78 - 79):
[𝐻, 𝜎3 ] = 𝐻𝜎3 − 𝜎3 𝐻 = 𝑐𝛼1 𝑝𝑥 𝜎3 + 𝑐𝛼2 𝑝𝑦 𝜎3 + 𝑐𝛼3 𝑝𝑧 𝜎3 + 𝜌3 𝑚𝑐 2 𝜎3 −
−𝜎3 𝑐𝛼1 𝑝𝑥 − 𝜎3 𝑐𝛼2 𝑝𝑦 − 𝜎3 𝑐𝛼3 𝑝𝑧 − 𝜎3 𝜌3 𝑚𝑐 2 = 𝑐𝑝𝑥 𝜌1 (𝜎1 𝜎3 − 𝜎3 𝜎1 ) +
+𝑐𝑝𝑦 𝜌1 (𝜎2 𝜎3 − 𝜎3 𝜎2 ) = 𝑐𝑝𝑥 𝜌1 (−2𝑖𝜎2 ) + 𝑐𝑝𝑦 𝜌1 2𝑖𝜎1 = −2𝑖𝑐𝑝𝑥 𝜌1 𝜎2 +
+2𝑖𝑐𝑝𝑦 𝜌1 𝜎1 = 2𝑖𝑐(−𝛼2 𝑝𝑥 + 𝛼1 𝑝𝑦 ) =
2𝑐
(𝛼2 𝑝𝑥 − 𝛼1 𝑝𝑦 ).
𝑖
Получили, что [𝐻, 𝜎3 ] ≠ 0, т.е. соответствующие операторы не
коммутируют и проекция спина электрона на ось Оz не сохраняется.
Проверим теперь, коммутирует ли проекция полного момента
количества движения с гамильтонианом, т.е. вычислим коммутатор
1
[𝐻, 𝐿𝑧 + ℏ𝜎3 ].
2
(80)
В силу линейности коммутатора, перепишем равенство (80):
1
1
[𝐻, 𝐿𝑧 + ℏ𝜎3 ] = [𝐻, 𝐿𝑧 ] + ℏ[𝐻, 𝜎3 ].
2
2
Коммутатор [𝐻, 𝜎3 ] вычислен выше. Остается вычислить [𝐻, 𝐿𝑧 ].
Будем пользоваться соотношением для момента импульса на ось 𝑧 и не
коммутативностью оператора 𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , свойствами матриц Дирака:
𝐿𝑧 = (𝑥𝑝𝑦 − 𝑦𝑝𝑥 ), 𝑝𝑥 𝑥 − 𝑥𝑝𝑥 =
ℏ
ℏ
, 𝑝𝑦 𝑦 − 𝑦𝑝𝑦 = .
𝑖
𝑖
[𝐻, 𝐿𝑧 ] = 𝑐𝛼1 𝑝𝑥 𝐿𝑧 + 𝑐𝛼2 𝑝𝑦 𝐿𝑧 + 𝑐𝛼3 𝑝𝑧 𝐿𝑧 + 𝜌3 𝑚𝑐 2 𝐿𝑧 + 𝑉𝐿𝑧 − 𝐿𝑧 𝑐𝛼1 𝑝𝑥 −
−𝐿𝑧 𝑐𝛼2 𝑝𝑦 − 𝐿𝑧 𝑐𝛼3 𝑝𝑧 − 𝐿𝑧 𝜌3 𝑚𝑐 2 − 𝐿𝑧 𝑉 = 𝑐𝛼1 𝑝𝑥 (𝑥𝑝𝑦 − 𝑦𝑝𝑥 ) +
42
+𝑐𝛼2 𝑝𝑦 (𝑥𝑝𝑦 − 𝑦𝑝𝑥 ) − (𝑥𝑝𝑦 − 𝑦𝑝𝑥 )𝑐𝛼1 𝑝𝑥 − (𝑥𝑝𝑦 − 𝑦𝑝𝑥 )𝑐𝛼2 𝑝𝑦 =
= 𝑐𝛼1 𝑝𝑦 𝑝𝑥 𝑥 −
−𝑐𝛼1 𝑦𝑝𝑥2 + 𝑐𝛼2 𝑥𝑝𝑦2 − 𝑐𝛼2 𝑝𝑥 𝑝𝑦 𝑦 − 𝑐𝛼1 𝑝𝑦 𝑥𝑝𝑥 + 𝑐𝛼1 𝑦𝑝𝑥2 − 𝑐𝛼2 𝑥𝑝𝑦2 +
+𝑐𝛼2 𝑝𝑥 𝑦𝑝𝑦 = 𝑐𝛼1 𝑝𝑦 (𝑝𝑥 𝑥 − 𝑥𝑝𝑥 ) − 𝑐𝛼2 𝑝𝑥 (𝑝𝑦 𝑦 − 𝑦𝑝𝑦 ) =
𝑐ℏ
(𝛼1 𝑝𝑦 − 𝛼2 𝑝𝑥 ).
𝑖
Таким образом, имеем
1
𝑐ℏ
𝑐ℏ
[𝐻, 𝐿𝑧 ] + ℏ[𝐻, 𝜎3 ] = (𝛼1 𝑝𝑦 − 𝛼2 𝑝𝑥 ) + (𝛼2 𝑝𝑥 − 𝛼1 𝑝𝑦 ) = 0.
2
𝑖
𝑖
Таким образом , гамильтониан коммутирует с проекцией полного момента
импульса на ось 𝑧, т.е. сохраняется только проекция полного момента
импульса на ось z, который
равен сумме орбитального и спинового
моментов импульса.
43
5.Зависимость энергии Ферми вырожденного электронного газа и
мощности индуцированного излучения от параметров нанотрубки.
Вклад в термодинамический потенциал всей системы тех частиц,
которые находятся в 𝑘 −м квантовом
состоянии,
определяется
формулой[34]
𝛺𝑘 =
𝜇−𝐸𝑘 𝑛𝑘
−𝑇 ln ∑ (𝑒 𝑇 ) ,
(81)
𝑛𝑘
где 𝑇 − термодинамическая температура, 𝜇 − химический потенциал ,
𝐸𝑘 − энергия частицы в 𝑘 −м квантовом состоянии.
Применяя принцип Паули, согласно которому числа заполнения
каждого состояния могут принимать два значения - 0 или 1(в каждом
квантовом состоянии может одновременно находится не более одного
фермиона), получаем
Ω𝑘 = −𝑇 ln (1 + 𝑒
𝜇−𝐸𝑘
𝑇 ).
(82)
Найдем среднее число частиц в 𝑘 −м квантовом состоянии. Для
этого воспользуемся тем, что среднее число частиц в в 𝑘 −м квантовом
состоянии равно производной от потенциала (80) по 𝜇[34]:
∂Ω𝑘
𝑒 (𝜇−𝐸𝑘 ) /𝑇
𝑛𝑘 = −
=
.
𝜕𝜇
1 + 𝑒 (𝜇−𝐸𝑘 )/𝑇
После преобразований, имеем
𝑛𝑘 =
1
𝑒 (𝐸𝑘−𝜇)/𝑇 + 1
(83)
.
Данная формула (83) есть функция распределения для идеального фермигаза.
Связь между полным числом частиц в газе и химическим
потенциалом находится из условия нормировки
∑
𝑘
1
𝑒 (𝐸𝑘 −𝜇)/𝑇 + 1
44
= 𝑁,
где 𝑁 − число частиц в газе. При заданных значениях 𝐸𝑘 , 𝑇и 𝑁 отсюда
находится химический потенциал  .
Построим графики зависимости 𝑁 = 𝑁(𝜇), где 𝑁 − число частиц,
𝜇 −энергия
Ферми,
в
случае
нерелятивистского
вырожденного
электронного газа, когда функция распределения Ферми обращается в 𝜃функцию. Возможные значения квантовых чисел 𝑙 и n ,определяющих
наряду с проекцией спина электрона на ось Оz нанотрубки стационарное
состояние электрона на цилиндрической поверхности, определяются из
условия
ℏ2
Ф 2
1
+
+
ℏ𝜔
+
(𝑙
)
(𝑛
) ≤ 𝜇.
2 ∗ 𝑚 ∗ 𝑅2
Ф0
2
(84)
Решаем неравенство (82) относительно 𝑛:
𝑛 ≤ 𝑁𝑙 , 𝑛 ∈ [0, 𝑁𝑙 ],
где
ℏ2
Ф 2
1 𝜇 − 2 ∗ 𝑚 ∗ 𝑅2 (𝑙 + Ф0 )
𝑁𝑙 = − +
.
2
ℏ𝜔
[
]
Здесь квадратные скобки являются символом определения целой
части
числа. Для упрощения обозначений величину 𝑤 = ℏ𝜔, которая
будет фигурировать в прилагаемой ниже программе. Мы будем находить
𝑁𝑙 при соответствующем значении 𝑙 до тех пор, пока 𝑁𝑙 не будет
принимать отрицательные значения. Тогда
𝑁 = 𝑁0 + 𝑁−1 + 𝑁1 + 𝑁−2 + … + , 𝑁𝑙 ≥ 0.
В качестве системы единиц была выбрана система СГС (сантиметр,
грамм, секунда). Программа написана в системе Mathematica:
𝑒 = 4.803 ∗ 10^ − 10;
𝑚 = 9.109 ∗ 10^ − 28;
𝑐 = 3 ∗ 10^10;
ℏ = 1.0545887 ∗ 10^ − 27;
45
𝑅 = 5 ∗ 10^ − 7;
ℏ2
𝜀=
;
2 ∗ 𝑚 ∗ 𝑅2
fer[μ_, w_, aaron_]/; (𝜇 > 0 && 𝑤 > 0 && (aaron ≥ 0 && aaron ≤ 1)): = (
list = List[];
stepi = 20;
stepl = 30;
For[𝑖 = 0, 𝑖 < stepi, 𝑖 + +,
μ1 = 𝜇 + 10 ∗ 𝑖 ∗ 𝜀;
sum = 0;
list1 = List[];
𝑘 = 0;
storage = 0;
For[𝑙 = 0, 𝑙 < stepl, ,
If[𝑘 == 2, 𝑙 = storage; 𝑘 = 0; ];
If[𝑘 == 1, 𝑙 = −𝑙];
1
ℏ2
eq = Solve[𝑤 ∗ (𝑛 + ) == μ1 −
∗ (𝑙 + aaron)2 , 𝑛];
2
2
2∗𝑚∗R
𝑟𝑜𝑜𝑡 = 𝑛/. eq[[1]];
root1 = Floor[root1];
sum = sum + root1;
If[root1 < 0, Break[], list1 = Append[list1, root1]];
If[𝑘 == 0, 𝑙 = 𝑙 + 1; storage = 𝑙; ];
𝑘 = 𝑘 + 1;
];
list = Append[list, {μ1, sum}];
];
Print[list];
);
Вызываем нашу функцию:
46
fer[40 ∗ 𝜀, 0.01 ∗ 𝜀, 0.5];
Будем строить график с помощью встроенной функции ListLinePlot:
ListLinePlot[list,
PlotStyle → Thickness[0.005],
AxesStyle → Thickness[0.005],
AxesLabel → {"μ", "N"},
GridLines → Automatic,
GridLinesStyle → Directive[Orange, Dashed]
N
400 000
300 000
200 000
100000
2. 10 13
3. 10 13
Рис.5.
47
4. 10 13
5. 10 13
N
400 000
300 000
200 000
100000
2. 10 15
3. 10 15
4. 10 15
5. 10 15
Рис.6.
5. 10 13
4. 10 13
3. 10 13
2. 10 13
1. 10 13
1. 10 6
1.5 10 6
2. 10 6
2.5 10 6
Рис.7. Число частиц 𝑁 = 405 246.
48
R
3. 10 6
5. 10 13
4. 10 13
3. 10 13
2. 10 13
5.
10 18
1.
10 17
1.5 10 17
2. 10 17
w
Рис.8.
На рисунках 5 и 6 показана связь энергии Ферми и полного числа
электронов в зависимости от радиуса нанотрубки и частоты осцилляций
при фиксированном значении параметра Ааронова-Бома.
На рисунке 7 показана зависимость энергии Ферми вырожденного
электронного газа от радиуса нанотрубки при фиксированном числе
частиц. Рисунок 8 показывает зависимость энергии Ферми от частоты
продольных гармонических колебаний электрона на цилиндрической
поверхности. Все результаты на рисунках 5-8 представлены в единицах
системы СГС.
49
6.Заключение.
Основные результаты проведенных в дипломной работе исследований
сводятся к следующему:
1.Найдены энергии и ортонормированные волновые функции
стационарных состояний электрона на цилиндрической поверхности во
внешнем поле, представляющем собой суперпозицию электрического и
магнитного полей одинакового направления. В выбранной конфигурации
внешнего поля электрон совершает финитное движение по винтовой
линии, совершая при этом гармоническое колебание вдоль оси
нанотрубки.
2.В дипольном приближении исследованы
процессы
излучения и поглощения света электроном на
вынужденного
цилиндрической
поверхности во внешнем поле, образованном суперпозицией магнитного
и электростатического полей одинакового направления.
3.Найдены правила отбора и соответствующие частоты излучения и
поглощения. Вычислена суммарная энергия индуцированного излучения
нанотрубки.
4.Показано, что в случае, когда изменяется только азимутальное квантовое
число, суммарная энергия излучения может принимать как положительные
значения
(электромагнитные
излучаются), так
и
волны
с
частотой
отрицательные значения
1
вынужденно
(тогда они
должны
поглощаться). Во втором случае, когда изменяется только продольное
квантовое число,
электромагнитные волны, частоты которых лежат
вблизи частоты 2 , должны поглощаться нанотрубкой.
5.Исследована
зависимость
энергии
Ферми
вырожденного
нерелятивистского электронного газа нанотрубки от числа частиц, радиуса
нанотрубки, частоты продольных колебаний и при параметра АароноваБома.
50
Выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю Павлу
Алексеевичу Эминову за постановку задачи и активное руководство в
поиске ее решения. Я благодарен профессору Сезонову Юрию Ивановичу
за обсуждение результатов работы, а также всем сотрудникам кафедры
,,Прикладная Математика’’ МИЭМ НИУ ВШЭ за внимание и поддержку.
51
Список литературы.
1. П.А.Эминов, Ю.И.Сезонов, А.В.Альперн, Н.В.Сальников, ЖЭТФ
130, 724 (2006).
2. В.Ф Гантмахер , ФНТ 31, N3/4, 336 (2005).
3. П.А. Эминов, Ю.И. Сезонов, ФТТ 50,2220 (2008).
4. M.F. Lin and K.W.K. Shung, Phys. Rev. B47, 6617 (1993).
5. M.F. Lin, K.W.-K. Shung, Phys. Rev. B48, 5567 (1993).
6. P.Longe and S.M. Bose, Phys. Rev. B48, 18 239 (1993).
7.А.И. Ведерников, А.О. Говоров, А.В. Чаплик, ЖЭТФ 120, 979 (2001).
8. Р.З. Витлина, Л.И. Магарилл, А.В. Чаплик, ЖЭТФ 133,906 (2008).
9. А.М. Ермолаев, Г.И. Рашба, М.А. Соляник, ФНТ 37(11), 1156(2011);
ФТТ 53(8),1518(2011).
10.А.В.Ключник, С.Ю.Курганов, Ю.Е.Лозовик, ФТТ, 2003. Т. 45(7).
С.1267- 1271.
11. П.А. Эминов, ЖЭТФ 135, 1029 (2009).
12. P.A.Eminov, Y.I.Sezonov and A.A.Uldin, Russian Journal of
Mathematical Physics, V.16, p.563 (2009).
13. M.F. Lin and D.S. Chuu. Phys. Rev. B V.56, № 8, p. 4996 (1997).
14.Р.З. Витлина, Л.И. Магарилл, А.В. Чаплик, Письма в ЖЭТФ, Т.86,
вып. 2, 132 (2007).
15.А.В. Чаплик, Л.И., Магарилл, Р.З. Витлина. Физика низких
температур, Т.34, №10, 1094 (2008)
16. ЭминовП.А., Ульдин А.А., Сезонов Ю.И., Физика твердого тела,
2011,т.53,в.8,с.1621-1627.
17. Эминов П.А., Соколов В.В., Гордеева С.В. Микроэлектроника
2014.т.43(4),с.1-12(в печати).
18 M. Kociak, S. Gueron, B. Reutel et al., Phys. Rev. Lett. 86, 2416
(2001).
19. Эминов П.А., Сезонов Ю.И., Гордеева С.В. ФТТ,2014,т.56(3),
с.423-430.
52
20. П.А. Эминов, Ю.И. Сезонов, ЖЭТФ 134, 772 (2008)
21. J. Zhang, A. Tselev, Y. Yang et al., Phys. Rev., B74, 155414 (2006).
22. P.A. Eminov, A.A. Ul’din, Yu.I. Sezonov and S.V. Gordeevda.
Russian Journal of Mathematical Physics, vol. 17, № 2, p.154-158, (2010).
23.П.А. Эминов, А.А. Ульдин. Физика низких температур т.37, № 4,
356 (2011).
24. А.М.Ермолаев, С.В.Кофанов, Г.И.Рашба. Вicник ХНУ, Фiзика,
в.14,5 (2010).
25.А.В.Борисов, А.С.Вшивцев, В.Ч.Жуковский, П.А.Эминов. Успехи
физических наук, т.167, 241(1997)
26.А.В.Елецкий. УФН, 177 (3), 233 , 2007; А.В. Елецкий, Б.М.
Смирнов. УФН, 179 (3), 225, 2009.
27. Eminov P.A., Physica B: Condensed Matter, V.42 6(1),p.158-164,2013.
28. Н.Р. Садыков, Н.А. Скоркин, ЖТФ, том 230, вып.10, 52, 2013.
29. Ю. В. Стебунов, В. Г. Лейман, А. В. Арсенин, ЖТФ, том
82,вып.1,67, 2012.
30. А.А.Григорькин, С.С.Дунаевский, ФТТ, том 51, вып. 2, 2009.
31.Н.Р. Садыков, Н.А. Скоркин, Е.А. Ахлюстина, ФТП, том 47, вып. 9,
2013.
32. O.V.Kibis, M.R.Rosenao da Costa, M.E.Portnoi, Nano Lettes, 2007.
33.Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая Механика,
М.: Наука, 1979.
34.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая Физика, М.: Наука, 1976.
53