ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

Лекции 3
Автор - Трушин А.М.
Уравнения движения реальной жидкости
В потоке реальной жидкости будут действовать как нормальные, так и
касательные напряжения.
Рассмотрим сначала идеализированный случай однонаправленного движения
несжимаемой вязкой жидкости, в котором все скорости имеют одинаковые направления.
Выделим в потоке жидкости двигающейся параллельно оси z элементарный
параллелепипед, грани которого ориентированы по осям координат (Рис.5).
Рис.5. К выводу уравнения баланса сил при одномерном движении вязкой несжимаемой
жидкости
Будем считать, что скорость wz уменьшается вдоль осей x и y . С учетом условия
однонаправленности имеем
wx = wy = 0
Определим проекции внешних сил на ось z, действующих на элементарный
объём.
P 
P

dz dx dy   dx dy dz
Сила давления: P dx dy   P 
z 
z

Сила тяжести:  g dx dy dz
Сила трения, возникающая при изменении скорости по оси x:


 S dz dy   S 
 S 

dx dz dy   S dx dy dz
x
x

Сила трения при изменении скорости по оси y ( на Рис.5 не показана)

 S dz dx   S 

 S 

dy dz dx   S dy dz dx
y
y

При равенстве скоростей wx и wy нулю касательные напряжения, действующие
по оси z, при изменении скорости wz по осям x и y выражаются по закону внутреннего
трения Ньютона (4).
При изменении wz по оси x:
 S   xz   
wz
x
При изменении wz по оси y:
 S   yz   
wz
y
Следовательно, проекция сил трения на ось z равна
  2 wz  2 wz 
  2  2  dx dy dz
y 
 x
Из уравнения неразрывности при wx = wy = 0 следует
ускорения равна
wz
 0 , поэтому величина
z
wz
( индивидуальная производная равна частной).
t
В соответствии с основным принципом динамики получим уравнение баланса
сил, действующих по оси z

 2w 2w 
wz
P
dx dy dz   dx dy dz  g dx dy dz    2z  2z  dx dy dz
t
z
y 
 x
Сократив на величину элементарного объёма, получим уравнение баланса сил,
отнесённых к единице объёма
  2 wz  2 wz 
wz
P

   g    2  2 
t
z
y 
 x
(49)
Полученное уравнение выражает одновременно как баланс сил, так и баланс
количества движения (импульса), так как левая часть уравнения (49) (произведение
ускорения на массу единицы объёма) равна скорости изменения импульса в единице
объёма, а правая часть этого уравнения равна потоку импульса, входящего в единицу
объёма, за счёт действия внешних сил.
В общем случае, когда вектор скорости направлен произвольно, уравнения
движения несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости (баланса сил) в проекциях на
оси координат, имеет вид
ось z:

 2w 2w 2w 
wz
P
   g    2z  2z  2z 
t
z
y
z 
 x
ось x:

  2 w  2 w  2 wx 
wx
P

   g    2x  2x 
t
x
y
z 2 
 x
ось y:
  2 wy  2 wy  2 wy 
P



 g    2  2 
2 
t
y

x

y

z


(50)
wy
Эти уравнения называются системой уравнений Навье-Стокса.
Уравнение Навье-Стокса в векторной форме:


dw

  g  grad P   w
dt
Где
 - оператор Лапласа
При
 = 0, уравнение Навье-Стокса переходит в уравнение Эйлера (28)
(51)
Совместное решение уравнения (51) и уравнения неразрывности (17) позволяет
получить поле скоростей и давлений в движущейся несжимаемой ньютоновской
жидкости.
Точные аналитические решения этой системы в силу её нелинейности удаётся
найти для небольшого числа простых симметричных течений.
Получим решение этой задачи для одного из таких простых движений.
Рассмотрим стационарное ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости в
прямой круглой трубе, радиуса R и длины L. Расположим ось трубы по координате x.
Для стационарного, однонаправленного движения несжимаемой жидкости из уравнения
неразрывности при wz = wy = 0 имеем
w x
w dw
,тогда x  x  0
x
t
dt
Следовательно, уравнение Навье-Стокса для оси x из системы уравнений (50)
принимает вид
  2 wx  2 wx  P
  2  2  
z  x
 y
(52)
Для осесимметричного течения в прямой круглой трубе удобно использовать
цилиндрические координаты.
Для осесимметрического неразрывного движения несжимаемой жидкости
зависит только от текущего радиуса трубы, wx  f r  , т.к
wx
wx
 0 , следовательно, в
x
цилиндрических координатах имеем две переменные: радиус трубы в произвольной
точке сечения (r) и длину трубы (х), причем r 
y2  z2
Найдём по правилам дифференцирования неявной функции вторые производные wx.
2
 2 wx  2 wx  dr  wx  2 r
  

y 2
r 2  dy 
r y 2
 2 wx  2 wx  dr  wx  2 r

  
z 2
r 2  dz 
r z 2
2
2
 dr   dr 
Легко найти, что       1
 dy   dz 
2
 2r  2r 1

 , следовательно, уравнение (52) в цилиндрических координатах
y 2 z 2 r
имеет вид
 2 wx 1 dwx 1 dP


r 2 r dr
 dx
(53)
Поскольку левая часть уравнения зависит от r, а правая от х, порознь они должны
быть равны некоторой константе, следовательно зависимость Р от x линейна, тогда
dP P

dx x
Для удобства интегрирования, запишем уравнение (53) в компактной форме
1 d  dwx  1 P
r

r dr  dr   x
Граничные условия:
1) r = 0;
2) r = R;
dwx
 0 ( условие экстремума по теореме Ролля)
dr
wx = 0 ( условие прилипания)
Интегрируя, получим
r
dwx 1 P r 2

 C1
dr
 x 2
(54)
Из граничного условия (1)
wx 
С1=0,
отсюда
1 P r 2
 C2
 x 4
Из граничного условия (2) получим
1 P R 2
, следовательно
C2  
 x 4
wx  
Поскольку
1 P 2
R  r2
4 x


(55)
P P2  P1

x
L
величина
отрицательна,
в
технике
часто
рассматривают Р как разницу давлений на входе и выходе, т.е. Р = Р1-Р2.
Эту величину называют гидравлическим сопротивлением или потерянным
давлением.
При использовании Р = Р1-Р2. ( в виде потерянного давления) получим
wx 
P 2 2
R r
4L


(56)
Полученное параболическое распределение скорости (профиль скорости) по
радиусу трубы называется уравнением Пуазейля.
Из уравнения (56) видно, что скорость по оси трубы (r = 0) имеет максимальное
значение на оси трубы
wx max 
P 2
R
4L
Найдём среднюю скорость по поперечному сечению трубы S:
wx ср 
 wx dS
S
S


1 2
R  r 2 2r dr
P 2
L


R
2
R
8L
0
R
Обозначим wx ср = w
w
P 2
R
8L
Отсюда видно, что средняя скорость вдвое меньше максимальной.
Умножив величину средней скорости на площадь поперечного сечения, получим
объёмный поток ( расход) жидкости в трубе круглого сечения.
Q
PR 4
8L
(57)