E Eds E ds E 4r 2 q 4r 2 q . 0 (3) 4 0 r 4. В соответствии с теоремой Остроградского Гаусса поток от нескольких зарядов через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, содержащихся внутри этой поверхности 1 in E (4) qi . 0 i 1 5. Применительно к сферической поверхности, заполненной воздухом, уравнение (4) для трёх заданных зарядов представится следующим образом 1 q1 q 2 q 3 112 2 3 510 9 444 В м . (5) E (возд) 0 9 10 1 6. Поток напряжённости электрического поля заданных зарядов при заполнении внутренности сферы водой уменьшится в раз, потому что вода будет поглощать часть энергии поля на изменение конфигурации молекул E ( возд ) 444 E ( H 2O ) 5,5 В м . (6) 81 s 2 s 1.2.17. Полусфера радиуса R с плоским основанием помещена в однородное постоянное электрическое поле с известной напряжённостью E, ортогональной основанию. Найти поток вектора напряжённости через основание и поверхность полусферы. Решение 1. Внешняя нормаль для основания бу дет противоположна по направлению E , поэтому поток в соответствии с теоремой Остроградского Гаусса определится как y n О 1 E n ds R E . z 2 (1) s Е 2. Поток через поверхность целесообразно определять в сферических координатах и , именно эти два угла будут однозначно определять положение точки на полусфере, в случае использования привычных декартовых координат, их будет три. 3. Определим далее компоненты уравнения (1) E n E cos , (2) 38 (3) dS R sin d d . 4. Поток через элементарную площадку, расположенную на поверхности полусферы запишется так 2 dS E R sin cos d d . 5. Произведение тригонометрических функций можно свернуть sin cos sin 2 , тогда интеграл для потока примет вид 2 2 2 (4) (5) 2 R E2 2 2 sin 2 d d R E sin 2 d , 2 0 0 0 (6) R E 2 (7) cos2 02 R E . 2 6. В результате математических преобразований мы пришли к довольно тривиальному результату, суммарный поток через полусферу равен нулю (8) 1 2 0 , как и следовало ожидать, полусфере не рождает и не поглощает поле, как говорят, внутри полусферы отсутствуют источники и стоки. Одним словом: что входит, то и выходит. 2 2 1.2.18. Напряженность однородного электрического поля Е = 1 кВ/м. Чему равен поток напряженности электрического поля через квадрат со стороной L = 1 м, плоскость которого расположена в воздухе под углом = 30° к направлению вектора напряжённости электрического поля? Решение 1. Запишем математическое выражение теоремы Остроградского Гаусса E E n ds . (1) n Е s 2. Определим нормальную составляющую вектора напряжённости электрического поля, пронизывающего квадрат E n E cosE; n E cos180 30 866 В / м . (2) 3. Подставим значение проекции вектора напряжённости электрического поля на направление внешней нормали в уравнение (1) E E n ds E n s E n L 866 1 866 В м . 2 s 39 (3) 1.2.19. Найти потоки однородного электрического поля напряженности Е = 500 В/м через замкнутую поверхность прямой равнобедренной трехгранной призмы, высота которой равна h = 1 м. Передняя грань призм, перпендикулярна вектору напряжённости, нижняя грань, параллельна Е. Решение Е n1 1. Определим поток вектора напряжённости через плоскость призмы перпендикулярную направлению вектора напряжённости В h n2 1E E n1ds1 E cos180 s1 E h , 0 Е 2 (1) s h С А n3 (2) 1E 500 В м . 2. Для определения потока напряжённости электрического поля через грань ВС определим её длину (3) BC h h h 2 1,41м . Площадь этой грани s2 = hBC = 1,41 м2, угол между внешней нормалью n2 и вектором напряжённости равен 450, т.к. треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный. 3. Величина потока напряжённости через грань ВС 2 E E n 2 ds 2 E cos s 2 500 0,71 1,41 500 ,5 В м . (4) 2 2 s 4. Через грань АС поток вектора напряжённости будет нулевым, пото0 му что n; E 90 , соs 900 = 0. 1.2.20. Определить поток вектора напряжённости через цилиндрическую поверхность, расположенную в воздухе, длиной L = 2 м ось, которой совпадает с тонкой, бесконечно длинной нитью, несущей заряд, с линейной плотностью = 10 10 Кл/м. L Решение 1. Определим заряд, сосредоточенный на длине нити L 10 (1) Q L 2 10 Кл . 2. Цилиндрическая поверхность является замкнутой, поэтому к ней можно применить теорему Остроградского Гаусса 10 E Q L 2 10 В 22,2 . 12 0 0 1 9 10 м 40 (2) 1.2.21. Напряженность однородного электрического поля равна Е. Чему равен поток напряженности электрического поля через квадрат со стороной L, плоскость которого расположена под углом 30° к направлению электрического поля? Решение L 1. Элементарный поток вектора напряжённости электрического поля через малый элемент поверхности ds определяется уравнением (1) dE E dsn cos E : ds , dE Eds cos E; n , E; n 600 , так как E const ,то 1 1 Es EL2 E d E Eds E ds . 2s 2 s 2 2 s E ds (2) 1.2.22. Докажите, что поток напряженности однородного электрического поля через любую замкнутую поверхность равен нулю. Решение 1. Рассмотрим, сферическую поверхность, находящуюся в стационарном электрическом n поле. Выделим произвольную силовую линию в каждой точке, которой вектор напряжённости поля будет являться касательной. Выберем две одинаковые элементарные площадки ds и построим для них векторы внеш ней нормали n и напряжённости E . 2. Запишем уравнения для потока вектора напряжённости E Eds cos E; n E Eds , ds E , n ds E (1) s s очевидно, что при прочих равных условиях поток вектора напряжённости может быть положительным, отрицательным, и даже равным нулю, в за висимости от угла E; n . 3. Если рассматриваемая замкнутая сферическая поверхность не содержит зарядов (отсутствуют источники и стоки), то число входящих силовых линий должно быть рано числу выходящих силовых линий, что собственно и составляет суть теоремы Гаусса: «Поток вектора напряжён- 41 ности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, делённой на 0» iN 1 iN если E Ed s qi , Ed s 0 , q i 0 ,то 0 i 1 i 1 s s что и требовалось доказать. 1.2.23. Чему равен поток напряженности однородного электрического поля через поверхность усеченного конуса, радиусы сечения которого равны R и r? Напряженность электрического поля Е составляет угол с осью конуса. Решение 1. Как было показано в предыдущей задаче, суммарный поток s1 через боковую поверхность усечёнn1 E ного конуса будет равен нулю, сле довательно необходимо учесть n2 только потоки через основания. При s2=R 2 заданном направлении поля, поток вектора напряжённости через меньшее основание будет отрицательным, а через большее - положительным. 2. Результирующий поток, таким образом, определится как 1 2 ; , 2 1 ER 2 cos E; n 2 Er 2 cos E; n1 =r2 E Или, окончательно ER 2 r 2 cos . 1.2.24. Докажите, что поток напряженности электрического поля точечного заряда Q через любую поверхность равен телесному углу, под которым видна эта поверхность, умноженному на q/0. 42 Решение 1. Выделим элементарный телесный угол d, опирающийся на бесконечно малую площадку ds, расположенную на расстоянии r от заряда. Эту площадку вне зависимости от формы всей поверхности можно считать ввиду её малости плоской. Элементарный телесный угол определится как ds . (1) d ds 4r 2 n Телесный угол, охватывающий всю поверхность, будет равен d q s E . (2) r 4r 2 s 2. Модуль вектора напряжённости электрического поля, создаваемого точечным зарядом 1 q . (3) E 4 0 r 2 3. Запишем далее математическое выражение теоремы Гаусса 1 i n Ed s qi , (4) 0 i1 s и подставим в подынтегральное выражение (4) значение Е из уравнения (3) и ds из уравнения (1) 1 q q q 2 4 r d d . (5) 2 4 0 r 0 0 0 0 1.2.25. Поток напряженности электрического поля через равномерно заряженную плоскую поверхность, с поверхностной плотностью заряда , равен ФЕ. Чему равна электрическая сила, действующая на пластину в направлении, перпендикулярном ее плоскости? E n s ds Решение 1. Запишем уравнение для потока вектора напряжённости электрического поля, с учётом того, что поверхность плоская (1) Eds; Es cos , s откуда напряжённость поля запишется как 43 (2) E s cos . 2. С другой стороны, напряжённость поля можно определить через заряд плоскости и возникающую силу взаимодействия заряженной плоскости и поля F F F E C C ; E C . (3) Q s s 3. Совместим уравнения (3) и (2) FC (4) FC cos . s s cos (5) FC . 1.2.26. С какой силой действует электрический заряд q на равномерно заряженную бесконечную плоскость? С какой силой действует эта плоскость на заряд? Чему равна напряженность электрического поля плоскости? Поверхностная плотность заряда плоскости равна . Решение 1. Заряд пластины определится в виде произведения её площади на поверхностную плотность заряда Q S . (1) 2. Для использования теоремы Гаусса выделим мысленно цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости и с основаниями ds, расположенными относительно плоскости симметрично. Поток вектора напряжённости через боковую поверхность цилиндра будет равен нулю. В силу симметрии вектор напряжённости поля, создаваемого пластиной будет по модулю одинаков по обе её стороны и направлен в противоположные стороны (2) E1 E 2 E . Суммарный поток через поверхность выделенного цилиндра, таким образом, определится как 2Eds . (3) 3. Так как внутри поверхности цилиндра заключён заряд (4) Q ds , то согласно теореме Гаусса должно выполняться условие 2Eds ds 0 , из которого следует 44 . (5) 2 0 Напряжённость поля пластины не зависит от длины цилиндра, т.е. на любых расстояниях от плоскости вектор напряжённости одинаков. 4. Определим далее величину силы, действующей на заряд +q, внесённый в поле пластины +q q F . (6) F qE 2 0 5 В соответствии с третьим законом Ньютона, коE торый никто не отменял и для электрических сил, сила, действующая на заряд со стороны плоскости по модулю будет равна силе, действующей со стороны заряда на плоскость. E 1.2.27. Используя теорему Гаусса, определите напряженность электрического поля внутри и вне равномерно заряженного шара радиуса R, с объёмной плотностью заряда ; Решение: 1. Поле в данном случае будет обладать центральной симметрией. Очевидно, что уравнение напряжённости поля вне шара можно определить, воспользовавшись теоремой Гаусса Er 4r 2 Q 0 , (1) откуда 1 Q (2) r R , Er 4 0 r 2 2. Сферическая поверхность радиуса r R заключает в себе заряд Q (4 3) r 3 , теорема Гаусса в этом случае запишется как 1 4 Er 4r 2 r 3 , 0 3 заменим далее плотность заряда в уравнении (4) на Q 1 Q Er r r R . 4 0 R 3 45 (3) (4) 4 3R 3 (5) Анализ уравнений (2) и (5) показывает, что внутри шара напряжённость поля растёт линейно в функции расстояния r, вне шара – напряжённость убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, так же как и для точечного заряда. 1.2.28. Используя теорему Гаусса, определите напряженность электрического поля равномерно заряженной бесконечной нити, если заряд единицы длины нити . Решение: 1. Выделим мысленно вокруг нити цилиндр высотой h и радиусом r. Потоки напряжённости через основания цилиндра будут нулевыми, поэтому вычислим поток через боковую поверхность (1) Er 2rh . 2. Заряд нити протяжённостью h равен Q h . 3. Теорема Гаусса в этом случае запишется в виде (2) Er 2rh h 0 , откуда: 1 . (3) Er 2 0 r 4. Существенно отметить, что уравнение (3) будет справедливым и для бесконечного заряженного цилиндра. Напряжённость поля внутри равномерно заряженной цилиндрической поверхности отсутствует. Напряжённость поля вне поверхности определяется линейной плотностью заряда и расстоянием r от оси цилиндра. E E E h 2 0 E 0 h 2 0 r E y h 1.2.29. Используя теорему Гаусса, определите напряженность электрического поля вне и внутри равномерно заряженной пластины толщины h, если объемная плотность заряда в пластине равна , нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до центральной плоскости пластины. Решение 1. Пусть пластина имеет размеры x y h , в этом случае её заряд определится как 46 (1) Q V x y h . 2. Напряжённость поля создаваемого пластиной при (r h) определим с помощью теоремы Гаусса, выделив мысленно цилиндр, основания которого параллельны плоскости пластины. Суммарный поток через такой цилиндр будет определяться только его основаниями, т.е. 2Eds (2) Ed s Q 0 . s h ( xy )h , E 0 2 0 3. Напряжённость поля внутри пластины E r 0 . 2E xy (r h) . (3) (4) 1.2.30. Тонкий стержень, расположенный в воздухе, длиной L = 0,5 м заряжен с линейной плотностью заряда = 110 6 Кл/м. На расстоянии r0 = 0,5 м от стержня расположен точечный заряд q = 10 9 Кл, расположенный симметрично относительно концов стержня. Определить силу взаимодействия заряда со стержнем. Решение dFy 1. По аналогии с задачей 1.2.14 dF представим стержень в виде большоq го числа элементарных зарядов dq = dFx dL, каждый из которых можно считать точечным и воспользоваться для определения элементарной силы взаимодействия dF законом Кулона 1 qdL dF , (1) 4 0 r 2 r r0 r где r = r0/cos, dL = rd/cos. d 2. Перепишем уравнение (1) с r d учётом значений r и dL q dF d . (2) 4 0 r0 dL L 3. Определим вертикальную и горизонтальную составляющие элементарной силы q cos q sin dFy d, dFx d . 4 0 r0 4 0 r0 47 (3) 4. Проинтегрируем уравнения (3) в пределах от = до = + Fy q cos q d 4 r 4 0 0 0 r0 q cos d 4 sin 0 r0 q q (4) sin sin 2 sin . 4 0 r0 4 0 r0 5. Заряд q расположен симметрично относительно концов стержня, поэтому горизонтальные составляющие элементарной силы будут возникать попарно равные по модулю и противоположные по направлению, другими словами (5) Fx 0 . 6. Определим в уравнении (4) значение sin путём анализа соответствующих треугольников L2 L sin . (6) L2 4r02 L2 2 r0 4 7. Подставим значение sin из уравнения (6) в уравнение (4) q L 9 10 9 10 15 0,5 (7) F Fy 5 10 3 H . 2 2 2 4 0 r0 4r L 0,025 0,1 0,025 0 1.2.31. Электрическое поле в воздухе создаётся тонкой прямолинейной нитью, расположенной в воздухе и несущей равномерно распределённый заряд с плотностью = 100 нКл/м. На расстоянии L = 1 м от нити расположен круглый тонкий диск диаметром D = 0,5 см. Определить поток вектора напряжённости электрического поля через поверхность диска, если его плоскость составляет угол = 300 с вектором напряжённости, проходящим через центр диска. En Решение 1. По отношению к плоскости диска поле нити является неоднородным E E n ds , Е L (1) s при этом E n E cos . Уравнение (1) можно переписать следующим образом E E cos ds . (2) s 2. Размеры диска на много меньше рас48 стояния между нитью и диском, что позволяет средние значения по длине нити величины Е и cos рассматривать как постоянные E E cos ds . (3) s 3. С учётом значения площади диска, уравнение (3) можно записать так 1 D 2 E 0 cos 0 , 4 где индекс 0 относится к величинам, имеющим место в центре диска. 4. Напряжённость поля от нити в точке 0 определяется уравнением E0 . 2 0 L 5. Выразим далее угол через заданный по условию задачи угол cos 0 cos sin . 2 6. Подставим уравнения (5), (6) в уравнение (4) D 2 25 10 6 1 10 7 9 10 9 3,14 E sin 0,5 3,5 10 2 В м . 4 2 0 L 1 E (4) (5) (6) (7) 1.2.32. Две концентрические проводящие сферы радиусами R1 = 10 см и R2 = 20 см заряжены разноимёнными зарядами Q1 = 1 нКл и Q2 = 0,5 нКл. Определить напряжённость электрического поля в точках, лежащих на расстоянии от центра r1 = 5 см, r2 =15 см и r3 = 0,5 м. На расстоянии L = 2 м от внешней сферы расположена квадратная пластина со стороной a = 1 cм, ориентирована так, что поток вектора напряжённости электрического поля максимален. Найти величину этого потока. Решение 1. Выделим три области пространства {1,2,3} в которых необходимо определить напряжённость электрического поля. 2. Для определения напряжённости в области 1 воспользуемся теоремой Остроградского Гаусса: выделим мысленно сферическую область радиуса r1. Зарядов внутри этой области нет, поэтому 49 Q2 3 2 Q1 R1 r1 r2 1 о R2 r3 E ds 0 , (1) n s из чего следует ввиду сферической симметрии поля E n E1 E1 ds 0, s 0 . (2) s Таким образом, внутри сферы радиуса r1 будет отсутствовать, потому что данная замкнутая поверхность внутри себя не содержит зарядов 3. Для определения параметров поля в пространстве между заряженными сферами проведём вторую мысленную сферическую поверхность радиусом r2, внутри которой будет находиться заряд Q1. Теорема Остроградского Гаусса в этом случае запишется следующим образом Q E n ds 1 . (3) 0 s 4. При сферической симметрии поля E 2 E n , поэтому уравнение (3) упростится Q Q Q1 E 2 ds 1 , E 2 1 , (4) 2 s 4 0 0 1 0 r2 s 110 9 В (5) 360 . 0,025 м 5. В области 3 поле будет представлять собой суперпозицию полей двух заряженных сфер Q Q Q Q (6) s E n ds 1 0 2 , E 3 41r32 02 . E 2 9 10 9 E 3 9 10 9 1 0,510 Е а L а 9 В (7) 18 . 0,25 м 6. Поскольку в условии задачи речь идёт о максимальной величине потока вектора напряжённости электрического поля через заданную площадку, то это значит, что E E 3ds , (8) s где E3 напряжённость поля на расстоянии L от поверхности внешней сферы. 7. Определим модуль напряжённости поля Е3 50 E 3ds s Q1 Q 2 Q1 Q 2 . , E3 2 0 4R 2 L 0 E 3 9 10 9 1 0,510 2,2 9 2 1 В . м 8. Подставим значение Е3 в уравнение (8) E E 3s 112,56 5 61 В м . (9) (10) (11) 1.2.33. Потенциал заряженного шара радиусом R1 = 1 м, расположенного в воздухе равен, 1 = 3000 В. На расстоянии l = 1 м от поверхности шара нормально к вектору напряжённости поля E расположен металлический диск радиусом R2 =510 3м. Определить потенциал электрического поля в месте расположения диска и поток вектора напряжённости через поверхность диска. Решение 1. Запишем уравнение потенциала шара на его поверхности и на удалении l s E2 от его поверхности Q E1 1 , (1) 4 0 R 1 R1 R1 Q 2 1 (2) R 1 l 4 0 R l 2. Определим напряжённость поля в плоскости диска R1 . (3) Er , E 1 R 1 l2 3. Применим для нахождения потока вектора напряжённости электрического поля уравнение (8) предыдущей задачи E Eds , (4) s которая применительно к данному случаю можно переписать следующим образом 1 R 1 E Es R 22 , (5) (R 1 1) 2 E 3 10 3 1 3,14 25 10 6 0,06 В м . 4 51 (6)