Тема 3. Прямоугольная система координат. Лекция 7. Декартова
реклама
Тема 3. Прямоугольная система координат. Лекция 7. Декартова система координат. Основные вопросы 1. Проекция вектора на ось. 2. Теоремы о проекциях. 3. Декартова система координат в пространстве. 4. Координаты точки и вектора в прямоугольной системе координат. 1. Проекция вектора на ось Осью называется прямая, направление которой задано единичным вектором 1 . Пусть даны вектор а АВ и ось ℓ (рис. 2.1). Опустим из точек А и В перпендикуляры на ось ℓ и обозначим их основания соответственно через А1 и В1 . Определение 1. а А1 В1 , началом которого служит проекВектор ция начала вектора а , а концом – проекция его конца на прямую ℓ , называется проекцией вектора а на прямую ℓ (рис. 2.1). В а А В В а А1 А а1 В1 В2 А В2 0е А1 а1 В1 0 е В1 а1 А1 Рис. 2.1. Проекция вектора на прямую и ось Определение 2. Проекцией вектора à на ось ℓ называется число , обозначаемое пр а а1 , где знак «+» берется в случае, когда направление вектора à1 совпадает с направлением оси ℓ , а знак «-» , когда их направления противоположны. Углом вектора АВ (или равного с ним А1 В2 ) с осьюℓ называется углом φ , на который нужно повернуть кратчайшим образом ось ℓ около точки А1 до совме- щения ее с вектором А1 В2 . Произвольный вектор образует с осью угол φ, меняющийся от 0 до π . 2. Теорема о проекциях. Теорема 1. Проекция вектора на ось равна длине вектора, умноженной на косинус угла между вектором и осью. Теорема 2. При умножении вектора а на число λ его проекция на ось умножается на то же число. пр а пр а . (1) Теорема 3. Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на ту же ось. Из теорем 2 и 3 следует, что линейные операции над векторами приводят к соответствующим операциям над проекциями этих векторов на произвольную ось. 3. Декартова система координат в пространстве. Определение 3. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки 0 и базиса е1 , е2 , е3 . При этом различают аффинную и прямоугольную систему декартовых координат (Рене Декарт (1596-1650) – французский математик и философ). В случае аффинной системы декартовых координат базисные векторы имеют произвольные направления, оставаясь некомпланарными. При изучении последующих вопросов при решении задач векторной алгебры и аналитической геометрии будем пользоваться декартовой системой координат , когда базисные векторы попарно перпендикулярны и имеют длину, равную единице. Базис, состоящий из взаимно перпендикулярных единичных векторов, называется ортонормированным базисом. Векторы ортонормированного базиса в пространстве называются ортами и обозначаются i , j , k , а на плоскости – через i , j . Это, так называемый, декартов базис . Декартова система координат с ортонормированным базисом называется прямоугольной системой координат, которая может быть правой или левой (в дальнейшем будем использовать правую систему координат) (рис.2.4). Обозначается обычно : 0xyz Z z M(x,y,z) k α i r M1 β 0 y Y j x X Рис.2.4. Правая прямоугольная система координат в пространстве Точка 0 – начало координат. Ось 0Х – ось абсцисс, ось 0У – ось ординат, а ось 0Z – ось аппликат (различают их положительные и отрицательные полуоси). Плоскости х0У, х0Z и У0Z называются координатными плоскостями. 4. Координаты точки и вектора. Возьмем произвольную точку М пространства, она определит некоторый вектор 0М . Вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой М , называется радиус-вектором точки М по отношению к точке 0. Известно, что любой вектор может быть разложен по базису выбранной системы координат, т.е. вектор r 0М однозначно представляется в виде: r 0 М Xi Yj Zk Где X,Y,Z – координаты вектора 0М , а i , j , k - ортонормированный базис (X- абсцисса,Y – ордината, Z - аппликата ). Иначе говоря, точке М сопоставляется упорядоченная тройка чисел, которые являются координатами ее радиус-вектора 0М 0М Х , У , Z боль-шие буквы. Наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел х,у,z однозначно составляется точка пространства М(х,у,z) – малые буквы. Определение 4. Координаты радиус-вектора точки М по отношению к началу координат называются координатами точки М в выбранной системе координат. Точка М пространства обозначается : М(X,Y,Z) . Отметим, что вектор 0М является диагональю прямоугольного параллелепипеда. Вполне очевидно, что длина этой диагонали, а значит и модуль вектора 0М определяется по следующей формуле r 0М Х 2 У 2 Z 2 (3) Если предположить, что вектор 0М 1 единичный, т.е. 0М 1 1 , и учесть, что его проекция на любую ось (0х,0у,0z) будет равна косинусу угла между вектором 0М 1 и соответствующей осью, то вектор 0М 1 раскладывается в декартовом базисе в виде 0М 1 cos i cos j cos k , где , , - углы между вектором 0М 1 (а равно и 0М ) и соответствующими осями координат 0х,0у,0z . Следовательно, единичный вектор 0 М 1 е в координатах запишем так: е 0М 1 cos , cos , cos (4) Определение 5. Косинусы углов любого вектора с осями координат 0Х,0У,0Z называются направляющими косинусами этого вектора, которые определяют направление вектора в пространстве. Поскольку мы рассматриваем свободные векторы (т.е. такие векторы, которые без изменения длины и направления могут быть перенесены в любую точку пространства, и в частности в начало координат), то любой вектор, заданный в координатном пространстве 0х,у,z, может быть представлен в виде: (5) а Х i Y j Z k Такое представление вектора a называется его разложением по осям координат , или разложением по ортам . Здесь X,Y,Z – проекции вектора a на соответствующие оси координат (их чаще называют координатами вектора a ; i , j , k - орты этих осей). Так как с другой стороны пр 0 х а а cos пр 0 y а а cos и пр 0 z а а cos пр 0 х а х, то х а cos пр 0 y а y, то y а cos пр 0 z а z , то z а cos т.к. a x 2 y 2 z 2 , то X 2 Y2 Z2 ó cos X 2 Y2 Z2 z cos 2 2 2 X Y Z cos x (6) Возводя в квадрат левую и правую части равенства (6) получим (7) cos2 cos2 cos2 1 т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице. Пример 1. Найти длину вектора а 20i 30 j 60k и его направля-ющие косинусы. Решение . 1) a Х 2 У 2 Z 2 20 2 30 2 602 70 20 2 30 3 60 6 2) cos , cos , cos . 70 7 70 7 70 7