Элементы векторной алгебры

Федеральное агенство по образованию
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Карельский государственный педагогический
университет»
Мольков С.И.
Методы математической физики.
Часть I. Теория поля
Учебно-методическое пособие
Петрозаводск
Издательство КГПУ
2009
ДК53
ББК 22.36
М203
Печатается по решению
редакционно-издательского совета
КГПУ
Рецензенты:
В.И. Сысун, д.ф.-м.н., профессор ПГУ,
С.Р. Богданов, к.ф.-м.н., доцент КГПУ.
С.И. Мольков
Методы математической физики. Часть I. Теория поля: Учебно-методическое
пособие. Петрозаводск: Издательство КГПУ, 2009-50с.: ил.
В учебно-методическом пособии изложены основные положения теории скалярных и векторных полей в декартовых и ортогональных криволинейных координатах. Рассмотрение дифференциальных операций первого и
второго порядков проведено с использованием дифференциального оператора Гамильтона «набла». Приводятся краткие доказательства интегральных
теорем теории. Существенное внимание уделено физическим приложениям
теории поля. Все разделы иллюстрируются примерами и задачами.
В первые два раздела в качестве справочного материала включены основные сведения по векторной алгебре и анализу. Материал пособия согласуется с программой курса «Методы математической физики». Пособие
предназначено для студентов и аспирантов физико-математических факультетов, изучающих теоретическую физику.
УДК 53
ББК 22.36
B
ISRN
И.И. Мольков, 2009
ГОУВПО «КГПУ», 2009
2
1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА


Вектором A называется величина, характеризуемая модулем A= | A | и
направлением в пространстве. Вектора складываются геометрически по правилу параллелограмма. В трехмерном евклидовом пространстве при исполь
зовании декартовой системы координат вектор A можно выразить через его
проекции (компоненты) на оси координат с помощью соотношения:

3




A  Ax ex  Ay e y  Az ez   Ai ei ,
(1.1)
1
где для осей использованы обозначения i=1-x, 2-y, 3-z; Ai - компоненты век

тора; ei - тройка единичных | ei |=1 взаимно перпендикулярных векторов (ортов), определяющих положение соответствующих осей.

На рис. 1.1 изображен вектор A в правой
системе координат (ось oz совпадает с поступательным движением правого винта, если его
вращать от оси 0x к оси 0y). Абсолютная величина и направляющие косинусы вектора равны:
A  Ax2  Ay2  Az2 , cos  i=Ai/A,
(1.2)

где  i- угол между вектором A и i–ой осью си-
Рис.1.1
стемы координат. Каждая точка пространства ха
рактеризуется радиус-вектором r с компонента-
ми, равными координатам точки:
 


r  x2  y2  z 2 .
r  ex x  ey y  ez z ,
(1.3)
Операции с векторами


Сумма векторов A и B и произведение скаляра  на вектор определяются выражениями:
  3 
A  B   ei ai  bi  ,
i1

3
A   eiAi ,
i 1
(1.4)
3
Скалярное и векторное произведения векторов равны:
3
 
 
A  B  A B cos A B   Ai Bi ,


(1.5)
i 1
ex e y ez
 



A  B  A B sin  A B n  Ax Ay Az =


Bx B y Bz



= ex Ay Bz  Az By   e y  Ax Bz  Az Bx   ez Ax By  Ay Bx .
(1.6)



где n - единичный вектор, перпендикулярный плоскости векторов A и B ,
направление которого определяется по правилу правого винта. Скалярное
   
произведение коммутативно ( A · B = B · A ), а векторное – антикоммутативно
 
 
( A  B   B  A ). Модуль векторного произведения равен площади паралел

лограмма, построенного на векторах A и B .
Скалярное и векторное произведение ортов определяются формулами
 

ei  ek   ik , ei  ek   ikl el ,
(1.7)
где  ik - символ Кронекера, равный 1 при i=k и 0 при i≠k;  ikl - кососимметричный символ Кронекера, равный 0, если хотя бы два индекса совпадают;
εikl=±1, если все индексы разные и образуют циклическую перестановку 123
или 321(ε123=ε231=ε312=1, ε321=ε213=ε132=-1).
Смешанное произведение векторов
ax a y az



a  b  c  bx by bz .


(1.8)
c x c y cz
Смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах. Смешанное произведение допускает циклическую перестановку сомножителей:
a




    
  
a  b  c  b  c  a   c  a  b .
b
c
Двойное векторное произведение
        
a  b  c  b a  c   c a  b .


 
(1.9)
(1.10)
4
Тождество Лагранжа
   
   
   
a  b  c  d  a  c  b  d  b  c a  d .




   
(1.11)
Трансформационные свойства компонент вектора
При параллельном переносе системы координат компоненты векторов
не меняются. При операции поворота осей системы координат вокруг точки 0
компоненты вектора Ai преобразуются по закону:
3
3
A   cki Ai ,
'
k
Ak   cik Ai' ,
i 1
(1.12)
i 1
где второе выражение определяет обратные преобразования; cki - направляющий косинус k-ой оси новой системы координат K' относительно i–той оси
старой системы координат K:
 

ck i  cos xk' xi  ek'  ei


(1.13)
При записи прямого и обратного произведений в матричном виде имеем:
 A1'   c11 c12 c13   A1 
 ' 
 
 A2    c21 c22 c23   A2  ,
 '  c c c   A 
 A3   31 32 33   3 
'
 A1   c11 c21 c31   A1 
 ' 
  
A

c
c
c
 2   12 22 32   A2  .
 A   c c c   A' 
 3   13 23 33   3 
или в сокращенной записи:

 

A' = Ĉ A , A = Cˆ 1 A' ,
(1.14)
(1.15)
где обратная матрица Cˆ 1 совпадает с транспонированной прямой матрицей
~
Cˆ . Из девяти величин cki только три являются независимыми. В самом деле,
 
выразим орты системы ek' , e j' через орты системы K:




ek'   cki ei ,
e j'   c jl el ,
(1.16)
i
l
Перемножим эти равенства с учетом первого условия (1.7), получим:
 
 
ek'  e j'   cki c jl ei  el =  cki c jl il   cki c ji   kj .
i ,l
i ,l
i
Таким образом, получаем шесть уравнений связи для cki :
c
ki
c ji   kj
(1.17)
i
5
При k=j три уравнения
c
2
ki
 1 (k=1,2,3) и при k  j еще три уравнения:
i
c
ki
c ji  0 (k,j=1,2; 1,3; 2,3).
i
Трансформационные свойства компонент Ai можно использовать для

определения векторов: вектором A называют совокупность трех величин
A1, A2, A3, которые при повороте системы координат преобразуются по закону (1.12).
Теорема о компонентах вектора
При повороте системы координат меняются компоненты векторов, но
их скалярное произведение в силу определения (1.5) являются инвариант
ным. Тогда, если для компонент вектора A и трех величин f1, f2, f3, выражение Axf1 + Ayf2 + Azf3 инвариантно относительно поворотов системы коор
динат, то f1, f2, f3 также является компонентами вектора f , то есть преобразуется по закону (1.12).
При операции инверсии системы ко

ординат ( r  r ), когда направление
осей меняется на противоположное,
правая система координат становится
левой, как показано на рис. 1.2. Здесь
правая система координат (а), система
координат после инверсии (б), после
Рис. 1.2.
поворота ее на 180о вокруг оси Оy по-
лучаем левую систему координат (в), которая является зеркальным отражением правой системы координат.
Различают два вида векторов: полярные (или истинные), компоненты
которых меняют знак при инверсии, и аксиальные (или псевдовектора), компоненты которых при этом знака не меняют. Это означает, что псевдовектора при инверсии изменяют свое направление на противоположное, тогда
как истинные вектора свое направление сохраняют. Примером аксиального
вектора является векторное произведение двух полярных векторов:
6
  -r

 

A  B r
  A  (  B)  A  B .
Направление полярных векторов в физике имеет естественный харак
тер. Так, положение частицы, характеризуемое радиусом вектором r , ее ско


рость  , ускорение a , сила действия на частицу F являются истинными
векторами. Направление аксиальных векторов определяется соглашением в

научном сообществе. Угловая скорость частицы  и угловое ускорение
 
   это примеры псевдовекторов, направление которых определяется по
правилу правого винта. Связи между полярными и аксиальными векторами,
принятые в физике, содержат векторные произведения:
        
    r , a    r      r  .
Скаляры также делятся на два вида: истинные, не меняющие знак при
инверсии системы координат, и псевдоскаляры, меняющие при этом знак.
Например, электрический заряд и масса частицы являются истинными скаля

рами, а скалярное произведение полярного A и аксиального B векторов является псевдоскаляром:
  -r
 
A  B r
  A B .
Упражнение 1
1.1 Доказать равенства (1.8-1.11).
3
 3 

1.2 Используя выражение A   Ai ei   Aiei получить законы преобразоваi 1
i 1
ния (1.12, 1.13).
2. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
Если каждому допустимому значению скалярной переменной величины

t соответствует определенный вектор A , то есть, задан его модуль и
направление в пространстве, то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргументы. В прямоугольной декартовой системе координат векторфункция определяется тремя скалярными функциями Ai (t ) :
7




At   Ax t ex  Ay t e y  Az t ez =

 A t e .
3
i 1
i
i
(2.1)

Годографом вектор-функции At  называется кривая, описываемая
концом вектора при изменении t , в случае, когда начало вектора помещено в
фиксированную точку. Положение частицы в пространстве в зависимости от


времени t определяется функцией r t  . При этом годографом r является траектория движения частицы.
Производной вектор-функции по скалярному аргументу является век
тор-функция dA / dt , определяемая выражением:

dA 3 dAi 
(2.2)

ei .
dt i 1 dt
При этом предполагается существование производных dAi/dt. Используя выражение (2.2), получаем правила дифференцирования вектор-функций


A и B:


 d   dA dB
 dt A  B  dt  dt ,
 

dA
 dA
 dt   dt ,

где  - скалярная константа

 dA
dA  d
(2.3)

A
,

dt
dt
dt

где    t  - скалярная функция
      
 dA  B  A  dB  B  dA ,
 dt
dt
dt




   
 dA t  dA d
d
A

B
d
B
d
A

 A

 B,

 dt
dt dt
dt
d dt
 
Если задано кинематическое уравнение движения частиц r  r t  , то
 
первая производная определяет ее скорость, а вторая- ускорение:   r ,
  
a   = r .

Пример 2.1. Пусть скорость частицы  меняется по модулю и направ



лению. Так как   dr / dt , а dr - элемент траектории частицы, то  направ-


8

лен по касательной к траектории. Тогда скорость  можно представить в ви-
де:


 t    t  t 

где  - единичный вектор ( =1), направленный по касательной к траектории.

 

  
Ускорение частицы равно a        a  a n , где a - тангенциальное
ускорение, направленное по касательной к траектории и описывающее изме
нение модуля скорости  ; a n - нормальное ускорение, перпендикулярное к

скорости  и описывающее изменение направления скорости. В самом деле,

 
производная по времени от скалярного произведения    =1 равна 2  =0, а,
.

следовательно,  перпендикулярно  .

Неопределенным интегралом от вектор-функции At  называется со

вокупность всех первообразных Bt  для At  :



(2.4)
 At dt  Bt   C .
Определенный интеграл от вектор-функции равен:







t0  ,
A
t
dt

B
t

B

t
(2.5)
t0

где Bt  - некоторая первообразная на отрезке t ,t 0  . При расчете определенного интеграла от вектор-функции необходимо определить три неопределен
ных интеграла для каждой из компонент At  :



A
 t dt   ei  Ai t dt   ei Bi t   Bi t0 .
t
t0
i
(2.6)
i
Пример 2.2. Определить траекторию движения частицы массы m в по
стоянном гравитационном поле напряженностью g .
Согласно второму закону Ньютона уравнение движения частицы имеет
 
 
 
вид: a  g . Учитывая, что a   , а   r , после разделения переменных и
интегрирования в пределах от 0 до t, получим:
  
   0  gt ,
  

r  r0  0t  gt 2 / 2 .
9
 
где r0 ,  0 - положение и скорость частицы в начальный момент времени t=0.

Пример 2.3. Определить перемещение частицы r и путь S, пройден
ный частицей за время t, если известна ее скорость  t  .

 
Учитывая, что dr  dt и dS   dt , получаем:
t
 t 
r    t dt , S    t dt .
0
0
Упражнение 2
В задачах 2.1-2.6 найти производную по скалярному аргументу t от за 
 

данного выражения, если A  At  , B  Bt  , C  C t  :



   dB 
  dC d 2 C 
 3
 2  ;
2.1. A  B ;
2.2. A   B   ; 2.3. C  
dt
dt
dt 



  
  
 2
2.4. A  B  C ; 2.5. A  B ;
2.6. A  B  C .








В задачах 2.7-2.9 найти дифференциал от выражений:

 d 2C
 2
 2
2.7. A  B ;
2.8. A  B ;
2.9. C  2 .
dt

 d d   2 
2.10. Показать, что  
  .
dt dt  2 




2.11. Частица движется по закону: r t   R cost ex  R sin t e y   0 tez , где




R, , 0  const . Определить траекторию движения частицы, ее скорость, и
ускорение, рассчитать перемещение и путь, пройденный частицей за время
T
2

.
3. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
Скалярная величина, которая принимает определенное значение в

каждой точке r области пространства V, называется стационарным скалярным поле:

   r    x, y, z  .
(3.1)
Если  зависит, кроме того, от времени t, то скалярное поле называется нестационарным:
10

   r , t    x, y, z, t  .
Примеры скалярных полей

1. Нестационарное поле температуры T  T r , t  .
2. Плотность массы (   dm/ dV ) и плотность электрического заряда

(   dq / dV ),    r, t .
3. Потенциальная энергия частицы массой m в постоянном гравитаци
онном поле напряженностью g :

(3.2)
U r   mgz ,
где z- высота частицы над поверхностью земли.
4. Потенциальная энергия частицы массой m в гравитационном поле
частицы массой M:

U r   GmM / r ,
(3.3)
где G - гравитационная постоянная
5. Потенциальная энергия частицы с зарядом q в электрическом поле
частицы с зарядом Q :

U r  
1 qQ
,
4 0 r
(3.4)
где  0 - электрическая постоянная.
Вместо потенциальной энергии U удобно использовать потенциал  ,
равный потенциальной энергии частицы единичной массы (m=1) или заряда
(q=1).

Поверхности, на которой функция  r  принимает постоянное значение, называются поверхностями уровня или эквипотенциальными поверхностями. Уравнения поверхностей уровня имеют вид:
 x, y, z   const  c .
Задавая различные значения постоянной c, получаем систему эквипотенциальных поверхностей. Для примера 3 эквипотенциальные поверхности - си
стема плоскостей, перпендикулярных вектору g .
11
Скалярное поле называется центральным или сферическим, если 
принимает одинаковые значения на равных расстояниях от некоторой точки
источника поля. Если источник поля поместить в начало координат, то  r  =
 r  . Центральными являются поля, описанные в примерах 4 и 5. Эквипотен-
циальные поверхности для них - концентрические сферы. Поля называются
осевыми или цилиндрическими, если  принимает одинаковые значения для
точек, находящихся на равном расстоянии от некоторой прямой, называемой



осью поля. Если ось поля совпадает с осью Oz, то  r  =  x 2  y 2 . Эквипотенциальные поверхности осевого поля - системы цилиндров с общей осью.

Векторная величина A , которая принимает определенное значение в

каждой точке пространства r области V, называется стационарным векторным полем:
3
   
 
A  Ar   Ax, y, z    ei Ai r  .
(3.5)
i 1

Если A зависит, кроме того, от времени t, то векторное поле называют нестационарным:
  

A  Ar , t   Ax, y, z, t .
Примеры векторных полей
1. Напряженность гравитационного поля точечной массы M (закон
всемирного тяготения Ньютона):




M r
 F
mM r
, g   G 2 .
F  G 2
m
r r
r r
(3.6)
2. Напряженность электрического поля точечного заряда Q (закон Кулона):




 F
1 qQ r
1 Qr
, E 
.
(3.7)
F
4ε0 r 2 r
q 4ε0 r 2 r
 
 
3. Напряженность электрического E r , t  и индукция магнитного Br , t 
полей.
12
  
4. Поле скоростей потока жидкости или газа u  u r , t  , плотность по 
  
тока J r , t    r , t u r , t  .


5. Плотность электрического тока j r , t   u , где  - здесь плотность

заряда, u - направленная скорость элемента объема заряженной среды в точке

r в момент времени t.
Линиями тока или силовыми линиями векторного поля называются


кривые, такие, что в каждой точке r вектор A направлен по касательной к
лини тока. Линии тока не пересекаются между собой за исключением слу

чая, когда вектор A неопределен или равен нулю. Если dr - элемент линии


  

тока в точке r , то dr  Ar  =0, так как вектор A параллелен dr . Тогда:



e x e y ez



dx dy dz  ex Az dy  Ay dz   e y  Az dx  Ax dz   ez Ay dx  Ax dy   0
Ax
Ay Az
 
Вектор dr  A равен нулю, когда его компоненты равны нулю. Отсюда получаем дифференциальное уравнение линий тока в декартовых координатах:
dx dy dz

 .
Ax Ay Az
(3.8)
Центральным векторным полем называется поле вида:

 
 r
Ar    r  .
r
Силовые линии центрального поля, как следует из уравнения (3.8)- прямые,
проходящие через начало координат. Частный случай центрального поля центрально-симметричное или сферическое поле.

 
r
Ar    r  .
r
Сферическими являются поля из примеров 1 и 2.
Цилиндрическим векторным полем с осью, совпадающей с осью Oz,
называется поле вида:

 
 
ez  r  ez 
,
Ar     

13
где   x 2  y 2 . Силовые линии цилиндрического поля проходят через ось

поля и перпендикулярны к ней, а A - зависит от расстояния до оси.
Упражнение 3
В задачах 3.1-3.5 найти эквипотенциальные поверхности скалярных

полей, k - постоянный вектор, a, b, c = const.


  
3.1.  r   4 x 2  9 y 2 ;
3.2.  r   k  r ;
3.3.  r   r ;


3.4.  r   1 / r ;
3.5.  r  = ax 2  by 2  cz 2 .

3.6. Найти потенциальную энергию U r  частицы массой m в гравитационном поле, создаваемом частицей массой M, находящейся в точке

R X , Y , Z  .
В задачах 3.7-3.11 найти силовые линии векторных полей, где a, b, n =
const.
 


3.7. Ar   ayex  bxe y ;



3.10. A  xex  ye y ;

 
  
r
3.8. Ar   n ;
3.9. Ar  = r ln r ;
r



3.11. A  yex  xe y .
4. ГРАДИЕНТ. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА – «НАБЛА»

Пусть задано скалярное поле  r  , изменение d при переходе от точ


ки r к точке r  dr равно:
d 



dx 
dy 
dz
x
y
z
,
(4.1)

где dx, dy, dz - компоненты вектора dr . Так как величина d инвариантна от-
носительно поворотов системы координат, то частные производные
 / dx i являются компонентами вектора, называемого градиентом  :
grad 
3
     
 
ex 
ey 
ez  
ei ,
x
y
z
i 1 xi
(4.2)
14
Оператором L̂ называется правило, по которому одной функции   x 
ставится в соответствие другая функция   x  тех же независимых переменных, совокупность которых сокращенно обозначенных, как x :
Lˆ   x     x .
(4.3)
Оператор L̂ называется линейным, если:
Lˆ c1 1  c2 2   c1 Lˆ  1  c2 Lˆ  2 , где c1,c2=const.
(4.4)
Градиент функции можно записать с помощью линейного векторного
дифференциального оператора Гамильтона – «набла»:
      
    ex  e y
 ez .
r
x
y
z
(4.5)

grad     .
r
(4.6)
Пример 4.1. Рассчитать градиент скалярного поля   r .
x r y r z
 r r 1 2
1 / 2
,
r   ei
 ,
 x  y 2  z 2  2 x  ,
 .
xi x 2
r y r z r


r
 xi r
r   ei  , r  .
r r
r
(4.7)

Пример 4.2. Рассчитать градиент центрального поля  r    r  .


 r
 
  r
 xi   r
=  ei
.  r  
.
(4.8)
   ei
  ei

xi
r xi
r r r r
r r


Изменение скалярного поля d при смещении r на dr согласно (4.1)
можно записать в виде скалярного произведения:

d    dr .
(4.9)

На поверхности уровня   const и d  0 . Тогда   dr  0 , то есть, 


перпендикулярен dr и, так как dr принадлежит поверхности уровня, градиент  , направлен по нормали к этой поверхности в сторону роста  .

Изменение  в направлении вектора S определяется величиной
d 



называется производной по направлению S . Согласно
dS , где
S
S
15

(4.9) d =   dS =  S dS , где  S - проекция вектора  на направление S . Сравнивая эти выражения, приходим к заключению, что производная
по направлению равна проекции градиента на это направление:

  S .
S
(4.10)
Из определения градиента и линейности оператора  следуют правила
вычисления градиента:
 c  0, c  const ,
 c   c    c   c  ,
1 1
2 2
1
1
2
2

  1 2   1 2   2  1 ,

u

 u r  
 .


(4.11)
( 4.12 )
( 4.13)
( 4.14 )
Примеры из курса физики
1. В неоднородном поле температур возникает поток тепла, ведущий к

выравниванию температуры в среде. Плотность потока J Q , равная количеству тепла, пересекающего за единицу времени перпендикулярную потоку
единичную площадку, пропорциональна градиенту температуры (Закон
Фурье):
 

J Q r , t   T r , t  ,
(4.15)
где  - коэффициент теплопроводности, а знак минус указывает, что поток
распространяется в направлении уменьшения температуры.

2. При неоднородном распределении примеси плотностью  r, t  в
среде возникает диффузионный поток массы примеси, ведущий к выравниванию ее плотности, пропорциональный  (закон Фика):


J m   D r , t  ,
(4.16)
где D - коэффициент диффузии.
3. На частицу с потенциальной энергией U действует сила

F  U .
16
Используя для U выражение (3.2), получим для силы, действующей на ча
стицу в постоянном гравитационном поле g , выражение:


F  mgz  mgez .
Используя для U выражения (3.3, 3.4), получим закон всемирного тяготения Ньютона (3.6) и закон Кулона (3.7). Если вместо потенциальной энергии использовать соответствующие потенциалы, то получим выражения для
напряженностей соответствующих полей.
1 Q

4. Потенциал кулоновского поля точечного заряда Q :  r  
.
4 0 r

Эквипотенциальные поверхности  r   c представляют собой систему
концентрических сфер. Напряженность поля равна:


 
 r
1 Qr

.
E r    r   

dr r 4 0 r 2 r
Уравнение силовых линий поля (3.8) имеет вид:
dx dy dx dz
dx
dy
dz
или
,



 . Их решение y  c1 x ,
3
3
3
x/r
y/r
z/r
x
y x
z
z  c2 x . То есть силовые линии представляют собой систему исходящих из
начала координат, где находится источник поля Q , прямых, нормальных эквипотенциальным поверхностям.
Упражнение 4.
 

В задачах 4.1-4.11 вычислить градиент скалярного поля  r  , где k , d постоянные вектора, a, b, c, ,  ,  , n =const.
4.1.   ax 2  by 2  cz 2 ; 4.2.   ax  y  z  ; 4.3   ln r ;
4.4.   r n ;
 
 3
 5
4.5.   1 / r n ;
4.6.   k  r ; 4.7.   k  r ;
4.8.   r 2 k  r ;
   
  
  
4.9.   k  r  d  r ; 4.10.   e x  e z  r  ;
4.11.   ex  ey  r .
 


 
 

5. ПОТОК И ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
17

Пусть n - единичный вектор, нормальный к элементарной площадке


dS . Введем вектор dS  dSn с компонентами dSi  dx j dxl :
 


dS  ex dydz  e y dxdz  ez dxdy .
(5.1)
Элементарным потоком векторного поля через площадку dS называют вели

чину скалярного произведения A на dS .
 
dN  A  dS  AdS cos   An dS  Ax dydz  Ay dxdz  Az dxdy
(5.2)




где  - угол между векторами A и dS , An - проекция A на направление n
(рис. 5.1).

Потоком векторного поля A через поверхность S , ограниченную
замкнутым контуром L , называют поверхностный интеграл от
элементарного потока, равный:
 
N   dN   A  dS   Ax dydz  Ay dxdz  Az dxdy.
S
Рис. 5.1
S
(5.3)
S
Поток векторного поля через замкнутую поверхность S, ограни-
чивающую объем V, определяется выражением:
 
N   A  dS .
(5.4)
S
Основное свойство потоков
Если объем V , ограниченный поверхностью S , разбить системой поверхностей на объемы V1 , V2 ... , каждый из которых ограничен замкнутыми
поверхностями S1 , S 2 ... , то поток N через поверхность S будет равен сумме
потоков через поверхности S1 , S 2 ...
N   Ni ,
(5.5)
i
так как потоки через смежные поверхности между объемами Vi взаимно
компенсируют друг друга и в сумме остаются только потоки через внешнюю
поверхность.
 

Пример 5.1. Вычислить поток векторного поля Ar   g r r через сферическую поверхность радиуса R с центром в начале координат.
18
 
Для нормали к поверхности имеем выражение: n  R / R . Тогда эле
 


мент поверхности будет: dS  dS R / R . На поверхности сферы: A R  g R R ,

 

R
тогда: N   A  dS   g R R  dS  g R R  dS  4R 3 g R  .
R
S
S
S

Линейным интегралом векторного поля вдоль дуги кривой L называют

криволинейный интеграл от скалярного произведения A на элемент кривой

dr (рис.5.2):
 
(5.6)
C12   A  dr   Ax dx  Ay dy  Az dz   Ar dr ,
L
L
L


где dr =  ei dxi - элементарное изменение радиуса век
тора точки, принадлежащей кривой L , Ar - проекция A


на направление dr . Циркуляцией векторного поля A
вдоль замкнутой кривой L называют линейный интеРис 5.2
грал этого поля вдоль L :
 
C   Adr   Ar dr .
L
(5.7)
L
При изменении направления обхода циркуляция меняет знак.
Основное свойство циркуляции
Если поверхность, ограниченную замкнутым контуром L , разбить сеткой кривых на совокупность ячеек, представляющую собой систему замкнутых контуров L1 , L2 ... , то циркуляция по контуру L равна сумме циркуляций
по контурам L1 , L2 ... .
C  C i ,
(5.8)
i
так как линейные интегралы по смежным сторонам ячеек компенсируются, и
в сумме остается только циркуляции по внешнему контуру. При этом циркуляция по контурам Li должны проводиться в том же направлении, что и циркуляция по контуру L так, что каждая смежная сторона проходится дважды в
противоположных направлениях.
19
   ez  r 
Пример 5.2. Вычислить циркуляцию векторного поля Br   2
x  y2
по замкнутому контуру L : z  0, x 2  y 2  R 2 ;  , R  const .

 


Величина ez  r   yex  xey , тогда вектор B на окружности радиуса R
направлен по касательной к ней и принимает постоянное значение равное
 / R . Длина контура L равна 2R и для C получаем:
 

C   B  dr  B  dr  2R  2 .
R
L
L
Упражнение 5.
 
В задачах 5.1-5.4 найти поток векторного поля Ar  через сферическую
поверхность радиуса R с центром в начале координат.  , n  const .
 r






5.1. A  n ;
5.2. A = er r ;
5.3. A = r n r ;
5.4. A = ln r r .
r
 
В задачах 5.6-5.8 найти поток векторного поля Ar  через поверхность,
ограниченную координатными поверхностями и частью сферической поверхностью радиуса R с центром в начале координат, принадлежащей первому октанту декартовой системы координат.
5.5-5.1;
5.6-5.2;
5.7-5.3;
5.8-5.4.
6. ДИВЕРГЕНЦИЯ И РОТОР ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

Дивергенцией векторного поля A называется скалярное произведение

оператора Гамильтона - «набла» на вектор A :

 A A A
divA    A  x  y  z .
x
y
z
Правила вычисления дивергенции:

c  0,




  c1 A1  c2 A2  c1  A1  c2  A2 ,

 
  A    A  A   ,

где c - постоянный вектор, c1 , c2  const ,  - скалярное поле.


(6.1)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
20
 x y z
Пример 6.1.   r 
   3.
x y z
Пример 6.2.



r
1
1 3  dr 3 r 3  4 r 3 3
 

 3  3 r  r  3  3  r 
 3  r  3r
 3  3  0, r  0 .
r
r
r
r
dr r r
r r r

Ротором вектора поля A называют векторное произведение операто
ра Гамильтона «набла» на вектор A .



e x e y ez

 

   Az Ay    Az Ax    Ay Ax 
rotA    A 
 ex 



  ey 
 (6.5)
  ez 
x y z

y

z

x

z

x

y






Ax Ay Az
Правила вычисления ротора

c  0,




  c1 A1  c2 A2  c1  A1  c2  A2 ,



   A    A    A .

(6.6)

(6.7)
(6.8)
   z y    z x    y x 
Пример 6.3.   r  ex     e y     ez     0 .
 x z 
 y z 
 x y 



 dg r 
Пример 6.4.   g r r = g r    r + g  r =
 r =0.
dr r
Упражнение 6
В задачах 6.1-6.5 вычислить дивергенцию векторного поля,

n,   const , c - постоянный вектор:




6.1. A  x 4 yzex  xy 4 ze y  xyz 4 ez ;


6.4. A  rer c ;
 1 


6.2. A  n r ; 6.3. A   r r ;
r


 r
6.5. A  ln r c  3 , r  0 ;
r

В задачах 6.6-6.13 вычислить ротор векторного поля, n  const , c - по-
стоянный вектор:




6.6. A  yzex  xze y  xyez ;




6.8. A   r r ;
6.9. A   r c ;


6.7. A  e xyz r ;
   n
6.10. A  c  r  c ;
21
   n
6.11. A  c  r  r ;
   
6.12. A  c /c  r  ;
   
6.13. A  r /c  r  .
7. ТЕОРЕМА ГАУССА-ОСТРОГРАДСКОГО
Поток векторного поля через замкнутую поверхность S равен интегралу от дивергенции этого поля, взятого по объему V , ограниченному этой
поверхностью.
 

A

d
S



A
dV .


S
(7.1)
V
Доказательство

Рассмотрим поток A через поверхность элементарного параллелепипеда объемом dV  dxdydz (рис.7.1). Поток через грани
dxdz , расположенные перпендикулярно оси y, в точ-
ках y и y  dy равен:
dN y   Ay x , y, z dxdz  Ay x , y  dy, z dxdz 
A 
A

=  Ay x, y, z   Ay x, y, z   y dydxdz  y dV ,
y 
y

Рис. 7.1.
где использовалось разложение функции Ay в ряд
Тейлора, а средние значения координаты точек x, z на гранях dxdz заменялось в силу малости граней значениями x и z . Аналогично вычисляются потоки через грани dydz и dydx :
dN x 
Ax
dV ,
x
dN z 
Az
dV .
z
Суммарный поток через поверхность элементарного параллелепипеда
равен:

 A A A 
dN  dN x  dN y  dN z   x  y  z dV    A dV или
y
z 
 x

dN    A dV .
(7.2)
22
Поток через конечную замкнутую поверхность S находим, интегрируя равенство (7.2) по объему V , ограниченному этой поверхностью. Тогда, учитывая основное свойство потоков (5.5), получаем равенство (7.1).
С помощью равенства (7.2) можно определить дивергенцию, не прибегая к использованию декартовых координат (6.1):

 dN
1  
divA    A 
 lim  A  dS .
(7.3)
dV
V S
 

Дивергенцией векторного поля Ar  в точке r называется предел от-
ношения потока векторного поля через произвольную поверхность S, окружающую эту точку, к объему V , ограниченному этой поверхностью, при
стремлении последнего к нулю. Это определение позволит вычислить дивергенцию при использовании криволинейных ортогональных систем координат.
Пример 7.1. Уравнение непрерывности в газовой динамике.

 

Пусть  r, t  и u r , t  - плотность и скорость элемента газа в точке r в
 

момент времени t . Тогда J r , t  = u - плотность потока газа, равная по абсолютной величине массе газа, пересекающей за единицу времени перпендикулярную потоку поверхность единичной площадью. Элементарный поток че
 
рез площадку dS равен dI  J  dS , а поток газа через замкнутую поверхность
S , ограничивающую объем V , равен:
 
 
I   J  dS   u  dS .
S
S
Масса газа в объеме V равна M   dV , а изменение массы за единиV
цу времени dM / dt равно потоку газа из объема, взятому с обратным знаком:

 
dM
  I или  dV   u  dS  0 .
dt
V t
S
Используя для второго члена теорему Гаусса-Остроградского (7.1) получаем:

 




u

dV  0 .


V  t
23
Так как объем V выбран произвольно, то нулю равна подинтегральная
функция:


    u =0.
t
(7.4)
Полученное уравнение, выражающее закон сохранения массы в дифференциальной форме называется уравнением непрерывности.
С помощью теоремы Гаусса- Остроградского, можно получить еще две
формы преобразования поверхностного интеграла к объему:

=   dV .

d
S

S



=
A

d
S


A
dV .


S
(7.5)
V
(7.6)
V
Упражнение 7
7.1. Доказать формулу (7.5) Указание: применить теорему Гаусса

Остроградского к векторному полю Ai   ei .
7.2. Доказать формулу (7.6).
 
В задачах 7.3-7.5 вычислить поток векторного поля Ar  через произвольную замкнутую поверхность S , ограничивающую объем V .




7.3. A  2 x  y ex  3 y  z 2 e y  4 z  x 2  y 2 ez .






7.4. A  x  2 y  3z ez ;
7.5. A  4 xex  5 y  x 3 e y  3zez .
В задачах 7.6-7.9 вычислить поток векторного поля через сферическую
поверхность радиуса R с центром в начале координат, используя теорему
Гаусса- Остроградского.
7.6-5.1;
7.7-5.2;
7.8-5.3;
7.9-5.4.
Указание: Учитывая, что поля 5.1-5.4 центрально-симметричные, при
расчетах в качестве элементарного объема использовать объем сферического
слоя dV  4r 2dr .
8.ТЕОРЕМА СТОКСА
24
 
Циркуляция векторного поля Ar  по замкнутому контуру L равна
потоку ротора этого поля через произвольную поверхность, опирающуюся
на контур L :
 
 
 Adr =    AdS .
L
(8.1)
S
Доказательство

Рассмотрим циркуляцию A по замкнутому элементарному контуру dL ,


ограничивающему площадку dS . Проектируем dS на плоскость xy в декартовой системе координат. Получаем элементарный контур dLz со сторонами
dx и dy (рис. 8.1). Циркуляция dCz  по dLz равна:
dCz   Ax x , y dx  Ay x  dx, y dy  Ax x , y  dydx  Ay x, y dy ,
где x, y - средние значения x и y на сторонах элементарного контура dLz , равные для бесконечно
малого прямоугольника x и y . Разлагая второй и
третий член dCz  в ряд Тейлора, учитывая малость
dx и dy, получаем:
Рис.8.1. Стрелками показано направление обхода контура
dCz   Ax  x, y dx  Ay  x, y dy 
Ay
x
dxdy  Ax  x, y dx 
Ax
dydx  Ay  x, y dy 
y

 Ay Ay 

dxdy    A z dS z ,
= 
y 
 x



где   A z и dS z – проекции   A и вектора dS на ось oz. Аналогично для





dCz  и dCz  получим:

dCx     A x dS x ,




dC  y     A y dS y .

Тогда циркуляция по контуру dL равна:
 
dC    A  dS .



(8.2)
25
Циркуляцию по конечному замкнутому контуру L найдем, интегрируя
равенство (8.2) по поверхности S , ограниченной контуром L . Тогда, учитывая основные свойства циркуляции (5.8), получим равенство (8.1).
С помощью равенства (8.2) определим ротор векторного поля, не зави
сящий от использования конкретной системы координат. Если n - единичная

нормаль к поверхности dS , а   A n - проекция ротора на эту нормаль, то:

dC    A n dS , или





1  
dC
(8.3)

lim
n
 A dr .
dS S 0 S L
 

Ротором векторного поля Ar  в точке r называется вектор, проек

ция которого в направлении n равна пределу отношения циркуляции A по


контуру L площадки S , перпендикулярной в точке r направлению n к вели-
  A

чине S , когда размеры площадки стремятся к нулю, а сам контур стягивается в точку.
Пример 8.1. Вращение твердого тела
Связь линейной скорости произвольной точки твердо
го тела r , вращающегося вокруг оси 0z с угловой ско

ростью   ez , как следует из рисунка 8.2, определяется формулой:
  
 r
( 
Рис 8.2

 

ex
 r  0
x
d
dr r cosd
, 

 r cos )
dt
dt
dt
или:
 
e y ez


0    y ex  x e y .
y z
Тогда
26


ex
ey



  
x y
 y x

ez



 2e z  2 .
z
0
(8.4)
Ротор линейной скорости произвольной точки вращающегося твердого
тела принимает одинаковое значение во всех точках тела, равное удвоенной

угловой скорости. Таким образом,   A характеризует вращательную спо

собность векторного поля A в данной точке r .
Формула Грина
Для плоского контура Lx, y  имеем:
 
 

 A A 
A  dr  Ax dx  Ay dy ;   A  dS    A z dSz   y  x dxdy .
y 
 x


Тогда формула (8.1) принимает вид:
 A


A
dx

A
dy


 
x
y
L
S
y
 x

Ax
y

dxdy .

(8.5)
Упражнение 8.
В задачах 8.1-8.5 вычислить циркуляцию векторного поля по контуру L
x2  y 2  R2 , z  0 ;




8.1. A  yex  x 2 e y  zez ;




8.3. A  yex  xe y  zez ;




8.5. A   yex  xe y  5ez .




8.2. A  y 2 ex  x 2 e y  z 2 ez ;




8.4. A  zex  xe y  yez ;

9. ОПЕРАТОР A  


В физических приложениях часто используется оператор

A    A x  A y  A z ,
x
y
z
(9.1)

представляющий собой скалярные произведения вектора A на оператор Гамильтона  . Если этот оператор воздействует на скалярное поле  , то полу27


чается A    , а если на векторное поле B , то получается новое векторное


поле A   B , равное:





B
B
B
A   B  Ax
 Ay
 Az
.
x
y
z

Производная скалярного поля  по направлению S согласно (4.10)






равна проекции градиента  на это направление. Ее можно записать, ис


пользуя оператор    , где  - единичный вектор в направлении S :


  S     .
S

 
Пример 9.1. Пусть  r, t  и u r , t  - плотность массы и направленная

скорость элемента жидкости или газа в точке r в момент времени t . Тогда

следует различать частные производные по времени  / t и u / t , которые

берутся в фиксированной точке r в лабораторной системе координат и пол
ные или субстанциональные производные по времени d / dt и du / dt , кото
рые берутся в точке r , перемещающейся вместе с элементом жидкости
 
r  r t .
Связь полных и частных производных определяется выражением:
d 
 dxi 

,



  ui
dt t
t
xi
i xi dt
i
так как dx i / dt  ui - i-ая компонента направленной скорости. Аналогичное

выражение получаем и для du / dt . Используя оператор (9.1), результаты запишем в виде:
d 


 u   ,
dt t


du u 


 u   u .
dt t
(9.2)
Пример 9.2. Уравнение движения Эйлера для невязкой жидкости
Элемент жидкости, заключенный в объеме V , движется под действием

равнодействующей сил давления p r , t  , распределенной по поверхности S
 
объема и объемных сторонних сил g r , t  , отнесенных к единице массы. Тогда уравнение движения принимает вид:
28


du


dV


p
d
S
   gdV .
V dt
S
V
Знак минус перед поверхностным интегралом соответствуют тому, что

сила давления направлена внутрь объема, а dS направлен по нормали к поверхности наружу. Преобразуем поверхностный интеграл к объемному согласно равенству (7.5)  pdV и, учитывая произвольность выбора V , полуV
чаем:

du

  p   g  0
dt
Используя для субстанциональной производной выражение (9.2) получаем
уравнение Эйлера в виде:

 p 
u 
 u   u 
g  0.
t

(9.3)


Пример 9.3. Найти значение выражения r  r .


 




 
 y  z xex  ye y  zez   xex  ye y  zez  r .
y
z 
 x



Пример 9.4. Найти значение выражения c  r , где c  const
r  r   x
  
    
  
 
c

c

e
c

c

e
c

c



 


x
y
z
y
x
z
z
x
y
y 
x 
x 
 z
 y
  z
c  r  e
xe
x
x
x
y
y
z
z


 ye y  zez   c y  cz
 c x  cz  cz
 cy
 0.
z
y
z
x
y
x
Упражнение 9

В задачах 9.1-9.5 найти значения данного выражения, c  постоянный
вектор, n  const :






9.1. c  r . 9.2. r   r  . 9.3. c  r . 9.4. r   r n . 9.5. c   r n .
10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
СИМВОЛЬНЫЙ МЕТОД
29
Дифференциальные операции второго порядка получаются в результате двукратного применения оператора  к скалярному или векторному полю. В таблице 10.1 представлены все возможные подобные операции.
Таблица 10.1.


 A

 A

  A


-


     (10.1)
-

    0 (10.3)
-

(10.2)
 A  0



    A     A  A (10.4)

 

Операция дивергенция градиента скалярного поля  (10.1) производится с помощью оператора, представляющим собой скалярное произведение
операторов «набла»:
2
2
2
      2  2  2 .
x y
z
2
(10.5)
Полученный оператор  2   называется оператором Лапласа. Оператор
Лапласа можно применять как к скалярным, так и векторным полям  и

A , получая при этом новые скалярные и векторные поля. Справедливость
тождеств (10.2- 10.4), приведенных в таблице, можно показать непосредственным вычислением. Причем для векторных тождеств (10.3, 10.4) достаточно провести вычисления для одной из их компонент.
Тождества (10.2-10.4) можно получить, воспользовавшись символическим методом, согласно которому оператор  можно рассматривать как вектор и пользоваться правилами векторной алгебры. Так, двойное векторное

  
    
произведение a  a  A согласно (1.10) равно a a  A - a  a A . Заменяя a на

,



получаем тождество (10.4). Если  применяется к произведению скаляр-
ных или векторных полей, то:
- его следует применять последовательно к каждому из сомножителей
- полученные произведения преобразуются по правилам векторной алгебры
так, чтобы  стоял перед соответствующим сомножителем
30
- преобразованные произведения складываются.
Пример 10.1.
 
 
  

 
  A  B   A  A  B   B  A  B  A A  B  B A  A 


 
 

 



+ A B  B  B B  A  B  A  B   A  A  B   A   B .










Здесь использовано равенство (1.10), а индексами у  отмечена переменная,
на которую оператор действует. Полученное тождество дополняет правила
вычисления ротора (6.6-6.8):
 
 


 
 
  A B  B   A  A  B  A   B  B   A .

 
 


 

(10.6)
Аналогично можно дополнить правила вычисления градиента (4.114.15) и дивергенции (6.2-6.4) выражениями:
 




 
 
 A B  A   B  B    A  A  B  B   A.
 
 


  A B  B    A  A   B .

       
     

(10.7)
(10.8)
Упражнение 10
10.1. Вывести с помощью символического метода формулы (4.13, 6.4,
10.7, 10.8).
10.2. Получить прямым вычислением выражения (10.2-10.4, 10.6-10.8).
10.3 Доказать теоремы Грина
Первая теорема




d
S
 1 2   1 2  1   2 dV .
S
V
Указание: применить теорему Гаусса-Остроградского к векторному полю
1 2 и использовать формулу (6.4).
Вторая теорема

      dS       1dV .
1
2
2
1
S
1
2
2
V
Третья теорема




d
S
  dV .

S
V
11. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ И ВИХРЕВЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
31
 
Векторное поле Gr  называется потенциальным в области V , если в
каждой точке этой области:

 G  0.
(11.1)
В силу тождества (10.3) потенциальное поле может быть выражено через

скалярный потенциал  r  :

(11.2)
G   .

Циркуляция потенциального поля G по любому замкнутому контуру
L равна нулю, так как согласно теореме Стокса и определения (11.1):
 
 
G

d
r



G
dS  0 .


L
(11.3)
S
Линейный интеграл потенциального поля вдоль траектории L не зависит от
пути интегрирования, а определяется в силу выражения (4.9) только разностью скалярных потенциалов начальной и конечной точки траектории:

r2


2
2

r1

r1

r1
r
r
  
 



 G r   dr     r   dr    d r    r1    r2  .
(11.4)
Потенциальными являются гравитационные и электростатические поля


точечных зарядов и поле упругой силы F  r , где  - коэффициент жесткости. В силу принципа суперпозиции напряженности полей потенциальными являются поля, образованные дискретной или непрерывно распределенной системой гравитационных или электрических зарядов.
 
Векторное поле Gr  называется вихревым (соленоидальным) в области пространства V , если в каждой точке этой области:

G  0 .
(11.5)
В силу тождества (10.2) вихревое поле может быть выражено через вектор 
ный потенциал Ar  :


G    A.
(11.6)
Поток вихревого поля через произвольную замкнутую поверхность S
равен нулю, так как согласно теореме Гаусса- Остроградского и определения
(11.5):
32
 

G

d
r



G
dV  0


S
(11.7)
V
Примером вихревого поля является магнитное поле. В силу отсутствия магнитных зарядов силовые линии магнитного поля замкнуты, что иллюстрирует равенство (11.7).
Теорема разложения Гельмгольца

 

Если дивергенция (   G   r ) и ротор (   G  j r  ) векторного поля


G определены в каждой точке области V , то в этой области поле G может быть представлено в виде суммы потенциального и вихревого полей:
  
(11.8)
G  G1  G2 .
Теорема будет доказана, если указать метод определения по известным


функциям  и j величины G , удовлетворяющей равенству (11.8). Так как





  G1 = 0 и   G2 = 0, то G1 =   , а G2 =   A , где  и A - соответствую
щие скалярный и векторный потенциалы. Используя  и A , образуем век
торное поле G  :


G  =      A .
(11.9)
С учетом тождеств (10.1-10.4) имеем:


  G          A   ,





  G          A      A     A  A .

Если  и A удовлетворяют уравнениям

   ,

 
   A  A  j ,






 

(11.10)
(11.11)

то G   G и теорема доказана. Решение уравнений (11.10, 11.11) имеет вид:
 

 
1 j r dV 
1  r dV 

 r  
(11.12)
 , Ar  
 .


4 V r  r 
4 V r  r 

При бесконечном объеме V , когда дивергенция и ротор G дифферен-
цируемы и достаточно быстро убывают на бесконечности (  1 / r 2 ), интегри-
33

рование распространяется на все пространство. Само векторное поле G при
этом определяется выражением (11.9).
12. ЭМПИРИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
И УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В ВАКУУМЕ
Источниками электромагнитного поля являются заряды плотностью


 r, t  и токи плотностью j r , t  . Закон сохранения электрических зарядов в
дифференциальной форме имеет вид уравнения непрерывности


  j  0,
t
(12.1)
вывод которого аналогичен выводу закона сохранения массы (7.4). Заряды и
токи порождают электромагнитное поле, которое характеризуется напряжен 
 
ностью электрического E r , t  и индукцией магнитного Br , t  полей.
В качестве эмпирических законов электромагнитного поля используем:
1. Закон электромагнитной индукции Фарадея
ЭДС электромагнитной индукции  i , возбуждаемой в замкнутом проводнике пропорциональна скорости изменения магнитного потока N m , пронизывающего поверхность, ограниченную этим проводником:
i  
dN m
.
dt
(12.2)
2. Теорема Гаусса
Поток напряженности электрического поля N e через замкнутую поверхность S пропорционален суммарному заряду внутри этой поверхности:
Ne 
Q
0
,
(12.3)
где  0 – электрическая постоянная

3. Теорема о циркуляции B

Циркуляция вектора магнитной индукции B вдоль замкнутого контура
пропорциональна суммарному току пронизывающему этот контур:
34


 B  dr   i ,
(12.4)
0
L
где 0 – магнитная постоянная.
Из выражения (12.2), учитывая, что

L
  d
ем:  E  dr +
dt
L
d
тывая, что
dt



 i   E  dr , N m   B  dS , получаS
 
B
  dS =0. Применяя к первому члену теорему Стокса и учиS
 
B
  dS =
S

B 
S t  dS , так как интегрирование ведется по про-
странственным координатам, а производная берется только по времени t ,
получаем:

 B  

S    E  t   dS  0 .


В силу произвольности в выборе S нулю равна подинтегральная
функция, или:


B
E  
.
t
(12.5)
Полученное уравнение называется первым уравнением Максвелла. Применяя
к нему операцию дивергенции с учетом тождества (10.2), получим:




    E      B  0 или   B  const .
t
  
Так как B  Br , t  и, несомненно, в некоторой точке в некоторый момент

времени B  0 , то и const  0 . Тогда

(12.6)
  B  0.
Полученное выражение является вторым уравнением Максвелла, а вместе с
уравнением (12.5) они образуют первую пару уравнений Максвелла.
Из теоремы Гаусса (12.3) следует:
  1
E
  dS   dV .
S
0 V
Применяя к левой части теорему Гаусса-Остроградского, получаем:
35
 




E
 dV  0 или

0 
V 
 
E  .
(12.7)
0
Это четвертое уравнение Максвелла.
Аналогично, применяя к левой части выражения (12.4) теорему Стокса
 

и учитывая, что i   j  dS , где j - плотность тока, получаем:
S

   B  
0
 
j   dS  0 или
S


  B  0 j .
(12.8)
Берем дивергенцию от обеих частей полученного равенства, имеем:


    B   0   j  0 .

Полученное выражение   j  0 не согласуется с законом сохранения
заряда (12.1). Для выполнения этого закона введем, следуя Максвеллу, в

уравнение (12.8) дополнительный член- плотность тока смещения j s :

 
(12.9)
  B   0  j  j S .



Тогда     B   0   j  0   js  0 .
 
Для выполнения (12.1) необходимо, чтобы   j s 
. Согласно (12.7)
t



 

E
E

. Видно, что j s =  0
и уравнение
 0   E =  0 
   0  E и
t
t
t
t
(12.9) примет вид:



E
  B  0 j  0  0
.
t
(12.10)
Это уравнение, согласующееся с законом сохранения заряда, является третьим уравнением Максвелла. Выпишем две полученные пары уравнений Максвелла, описывающие электромагнитные поля в вакууме:
36


B
E  
t

 B  0


 первая пара уравнений Максвелла





E 
  B  0 j  0  0
t 
 вторая пара уравнений Максвелла
 

 E 

0
(12.11)
(12.12)
Упражнение 12
12.1. Используя вторую пару уравнений Максвелла, получить закон сохранения зарядов в форме (12.1).

12.2. Используя уравнения (12.6) показать, что поток B через произвольную замкнутую поверхность, равен нулю.
12.3. Вычислить поток напряженности ньютоновского поля тяготения
 
g r  через замкнутую поверхность S , ограничивающую объем V для непре
рывного распределения масс с плотностью  r  .

Указание. Напряженность гравитационного поля в точке r , созданная

элементарным зарядом  R d 3 R , заключенном в объеме d 3 R  dV в соответ-

ствии с законом всемирного тяготения Ньютона равна:
 

r R
 
dg r   G   3  R d 3 R .
r R

12.4. Вычислить   g ньютоновского гравитационного поля. При расчете учесть, что
 
r  R dS  d  4

S   3 S
r R
0
если
если

R  d 3R
,

3
Rd R

где d - элементарный телесный угол, под которым из точки R виден эле
мент поверхности dS .
13. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМАЫ КООРДИНАТ
37
В декартовой системе координат положение точки однозначно опреде



ляется компонентами радиуса - вектора точки r  xex  ye y  zez . Три функции декартовых координат qi  qi  x, y , z  также однозначно определяют
положение точки в пространстве и называются криволинейными координатами. Между декартовыми x, y, z и криволинейными q1 , q2 , q3 координатами предполагается взаимнооднозначное соответствие.
Уравнения поверхностей уровня для скалярных функций qi определяют
координатные поверхности криволинейной системы координат: qi  x, y , z  =
 ci , где ci - константа координатной поверхности. Пересечение двух коорди-
натных поверхностей определяет координатную линию криволинейной системы. Вдоль i–той координатной линии меняется только одна линейная координата qi , тогда как две другие остаются постоянными.

Единичные базисные орты ei в каждой точке направлены по касательной к соответствующей координатной линии qi .
Система криволинейных координат называется ортогональной, если

базисные орты ei взаимно перпендикулярны (рис 13.1):
 
 

(13.1)
ei  e j   ij , ei  e j   ijlel .

Вектор r запишем в декартовой системе координат, учитывая связь между декартовыми и криволинейными координатами в виде:




r  xq1 , q2 , q3 ex  yq1 , q2 , q3 e y  zq1 , q2 , q3 ez .
(13.2)
Сообщим приращение одной из криволинейных координат

dq i . Тогда конец вектора r сместится по координатной лиРис 13.1

нии qi на вектор dr :

 r
dr 
dqi .
qi
38

Вектор dr направлен по касательной к координатной линии qi , то есть

совпадает по направлению с ортом криволинейной системы координат ei в
данной точке. Тогда

 r


dr 
dqi ei  H i dqi ei .
qi
(13.3)
Величина H i называется i –ым множителем Ламе криволинейной системы
координат, и , учитывая выражение (13.2), вычисляется по формуле:
2
2
2

 x   y   z 
r
  
  
 .
Hi 
 
qi

q

q

q
 i  i  i
(13.4)
Связь декартовых ортов и ортов криволинейной системы координат

r

получаем, используя равенство
 H i ei . Тогда
qi

1 r
1  x  y 
z  


ei 

ex 
ey 
ez  .
(13.5)
H i qi H i  qi
qi
qi 

Произвольный вектор dr , когда каждая из криволинейных координат полу-
чает приращение dq i , представим в виде:

3
 3 r

dr   dqi   H i dqi ei .
i 1 qi
i 1
(13.6)
Учитывая ортогональность криволинейных координат, получим
3
2 3
dr   H i2 dqi2  dli2 ,
i 1
(13.7)
i 1

где dli  H i dqi - проекция вектора dr на координатную линию qi .

Проводя через начало и конец вектора dr координатные поверхности,
получаем элементарный криволинейный шестигранник с ребрами dli  H i dqi ,
гранями площадью dSi  H j H l dq j dql , объемом dV  H 1 H 2 H 3dq1dq2 dq3 , так как
все углы при вершинах шестигранника прямые. В зависимости от типа симметрии задачи используются различные системы криволинейных координат.
1. Полярная система координат
39
Положение точки на плоскости определяется модулем ее радиус

вектора r и углом  между r и осью 0x (рис. 13.2). Связь полярных и декартовых координат выражается соотношениями:
q1  r  x 2  y 2


x
q2    arctg y

 x  r cos
,
.
y

r
sin


(13.8)
Координатные «поверхности» на плоскости, имею
щие вид координатных линий, представляют собой
систему концентрических окружностей ( q1  r  c1 ) и
лучей ( q2    c2 ), исходящих из начала координат.
 

Множители Ламе H r , H  , связь новых er , e и декартовых ортов, вектор dr ,
Рис 13.2
его модуль и проекции на координатные линии и площадь элементарного четырехугольника dS , вычисленные по формулам (13.4-13.7) с использованием
преобразований (13.8), имеют вид:



 H r  1, er  cos ex  sin  e y ,
dlr  dr,
dS  rdrd ,

 


 H   r, e   sin  ex  cos e y , dl  rd ,



2
dr  dr ex  rdey , dr  dr2  r 2 d 2 .
(13.9)
(13.10)
2. Цилиндрическая система координат
Положение точки в пространстве характеризуется расстоянием до оси
Oz -  , углом между плоскостью Oxz и плоскостью, проходящей через точку
и ось Oz  и расстоянием от точки до плоскости Oxy (рис. 13.3). Связь цилиндрических и декартовых координат определяется выражениями:
q1    x 2  y 2

y

q2    arctg
x

q3  z  z

 x   cos

 y   sin 
z  z

(13.11)
Координатные поверхности представляют собой
Рис 13.3
систему цилиндров с осью Oz   c1  полуплос40
костей, опирающихся на ось Oz   c2  , и плоскостей, параллельных плоскости Oxy (z=c3). Для элементов цилиндрической системы координат аналогично случаю полярной системы получаем:



 H   1,
e  cos ex  sin  e y , dl  d ,

 


 H    , e   sin  ex  cos e y , dl  d ,
 H  1,
e  e ,
dl  dz,
 z
 z
 z
z
dS   d dz,

dS  d dz,
dS   d d ,
 z
(13.12)
dV   d d dz ,




dr  d e  rd e  dz ez ,
2
dr  d 2  r 2 d 2  dz2 .
(13.13)
3. Сферическая система координат
Положение точки в пространстве определяется расстоянием до начала

координат r , углом  , образованным вектором r и полярной осью Oz, углом
 между плоскостью Oxz и плоскостью, проходящей через точку и ось Oz
(рис.13.4). Связь сферических координат с декартовыми выражается соотношениями:

2
2
2
q1  r  x  y  z ,

x2  y2

,
q2    arctg
z

y

q



arctg
,
3

x
x  r sin  cos ,

y  r sin  sin , (13.14)
z  r cos .

Координатными поверхностями являются системы сфер с центром в точке O (r=c1), конусов с осью
Рис.13.4.
Oz (   c2 ) и полуплоскостей, ограниченных осью Oz
(   c3 ). Элементы сферической системы координат определяются выражениями:




er  sin  cos e x  sin  sin  e y  cos e z ,
 H r  1,





 H   r,
e  cos cos e x  cos sin  e y  sin  e z ,
 H  r sin  , e   sin  e  cos e ,
 
x
y
 
(13.15)
41
dlr  dr, dl  rd , dl  r sin  dr,

2
(13.16)
dSr  r sin  d d , dS  r sin  drd , dS  rdrd ,

2
dV  r sin  drdd ,




2
dr  dr er  rd e  r sin  d e , dr  dr 2  r 2 d 2  r 2 sin 2  d 2 . (13.17)
Упражнение 13.
13.1. Получить выражения для множителей Ламе (13.9, 13.12,13.15).
13.2. Получить выражения для ортов в полярной, цилиндрической и сферической системах координат (13.9, 13.12, 13.15).
13.3. Получить выражения для ребер, граней и объемов элементарного криволинейного шестигранника (13.12, 13.16).


13.4. Получить выражения для вектора dr и модуля dr в полярной, цилиндрической и сферической системах координат.
14. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ
КООРДИНАТАХ
1. Градиент. Проекция градиента скалярного поля  на i–тую координатную линию согласно формуле (4.10) равна производной по направлению

ei :

1 

li H i qi
 

 
1  
1  
1  
e1 
e2 
e3
H 1 q1
H 2 q2
H 3 q3
i
Тогда
(14.1)
2. Дивергенция. Согласно определению (7.3):

1 
dN  dN2  dN3
  A  lim  A  dS  1
V S
dV
(14.2)
V 0
42
где dN i - сумма потоков через две противоположные грани элементарного
шестигранника (рис.14.1) Аналогично выводу выражения (7.2), для dN 2 получаем:
dN 2   A2 q1 , q2 , q3 dS 2  A2 q1 , q2  dq2 , q3 dS 2 
A2 H 1 H 3
dq1dq2 dq3
q2
Здесь проведено разложение в ряд Тейлора и учтено,
  A2 q1 , q2 , q3 H 1 H 3 dq1 dq3  A2 q1 , q2  dq2 , q3 H 1 H 3 dq1 dq3 
что коэффициенты Ламе H 1 , H 3 берутся при таких же
значениях координат, что и компонента A2 вектора

A , а средние значения q1 , q3 на поверхности граней
dS 2 заменялись в силу малости граней значениями q1
и q3 . Соответствующие выражения получаем и для
Рис.14.1
dN1 
dN 1 и dN 2 :
A1 H 2 H 3
dq1dq2 dq3 ,
q1
dN3 
A3 H 1 H 2
dq1dq2 dq3 .
q3
Подставляя полученные выражения для dN i в формулу (13.2), с учетом
dV  H 1 H 3 H 3dq1dq2 dq3 , имеем:

 A 
 A1 H 2 H 3 A2 H 1 H 3 A3 H 1 H 2 
1


H 1 H 2 H 3  q1
q2
q3 
(14.3)
3. Ротор. Рассмотрим элементарный контур, лежащий на координатной
поверхности q3  const (рис. 14.2). Циркуляция по этому контуру векторного

поля A равна:
dC3  A1 q1 , q2 , q3 dl1  A2 q1  dq1 , q2 , q3 dl2  A1 q1 , q2  dq2 , q3 dl1  A2 q1 , q2 , q3 dl2
 A1 q1 , q2 , q3 H 1dq1  A2 q1 , q2 , q3 H 2 dq2 

A2 H 2
dq1dq2  A1 q1 , q2 , q3 H 1dq1 
q1
 A H A H 
A1 H 1
dq1dq2  A2 q1 , q2 , q3 H 2 dq2   2 2  1 1 dq2 dq1 ,
q2
q2 
 q1
43
где при вычислении учитывались малость элементарного контура, позволяющая произвести замену qi
на qi и разложение в ряд Тейлора, а также зависимость множителей Ламе от координат. Используя инвариантное определение проекции векторного поля

A (7.9), имеем:

  A  dSC
Рис 14.2
3
3
3

1  A2 H 2 A1 H 1 

.

H 1 H 3  q1
q2 
Аналогично получаем соотношения:

  A  dSC
1
1
1

  A
2


1  A3 H 3 A2 H 2 

,

H 2 H 3  q2
q3 
C2
1  A1 H 1 A3 H 3 

.


dS2 H 1 H 3  q3
q1 
Домножая каждое из полученных равенств на соответствующий орт


ei H i H i и складывая, получаем выражение для ротора векторного поля A ,
которое удобно записать в виде определителя:



e1 H 1 e2 H 2 e3 H 3

1



 A
.
H 1 H 2 H 3 q1
q2
q3
H 1 A1 H 2 A2 H 3 A3
(14.4)
4. Оператор Лапласа. Учитывая выражение для градиента поля (14.1),
имеем:
        
i
1  
ei .
H i qi
Используя формулу для дивергенции (14.3), для  получаем:
 
   H 2 H 3     H 1 H 3     H 1 H 2  
1

 .





H 1 H 2 H 3  q1  H 1 q1  q2  H 2 q2  q3  H 3 q3 
(14.5)
44

Оператор Лапласа для векторного поля A в криволинейных координатах рассчитывается с помощью формулы (10.4):



A     A      A .

При этом для расчета градиента дивергенции A необходимо использовать

формулы (14.3) и (14.1), а для расчета ротора A дважды использовать фор-




мулу (14.4).
Дифференциальные операции для цилиндрической и сферической систем координат в соответствии с выражениями (14.1, 14.3-14.5) имеют вид:
1. u 
u 
u  1 u  u 
e 
e  e,

   z z
(14.6)
u  1 u 
1 u 
er 
e 
e ,
r
r 
r sin  
(14.7)
 1  A 1 A Az


2.   A 
,
 
  z
 1 r 2 Ar
1  sin  A
1 A
 A  2


,
r r
r sin 

r sin  

 
e  e ez
 1 


3.   A 
,
   z
A A Az

er

1

 A  2
r sin  r
Ar

r e


rA
(14.8)
(14.9)
(14.10)

r sin  e

,

r sin  A
(14.11)
1   u  1  2u  2u
4. u 
,



      2  2 z 2
(14.12)
1   2 u 
1
 
u 
1
 2u
u  2  r
. (14.13)

 sin 

r r  r  r 2 sin   
  r 2 sin 2   2
Для полярной системы координат нужно использовать формулы для
цилиндрической системы, заменяя  на r и считая, что поля не зависят от z .
Упражнение 14.
45

В задачах 14.1- 4.12 вычислить градиент скалярного поля ur  , n=const
14.1. u   2  z 2 2  z 2 ;
14.2. u  z ;
14.3. u   2 2 z 2 ;
14.4. u   3  z  z 3 ;
14.5. u   n z ;
14.6. u   n z n ;
14.7. u  r  2   2 ;
14.8. u  r ;
14.9. u  r 2 2 2 ;
14.10. u  r 2  r 2     ; 14.11. u  r n z ;
2
14.12. u  r n n ;
В задачах 14.13-14.20 вычислить дивергенцию и ротор векторного по 
ля Ar  :








14.13. A  e  cos 2  e  ze z ; 14.14. A  e   e  zez ;





 1

14.15. A  sin  e  e   3ez ; 14.16. A   ze  z e  zez ;









14.17. A  r 2 er  cos  e   e ; 14.18. A  cos  er  sin  e  re ;








14.19. A  r er  r e  re ;
14.20. A  rer  r e  r e .
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
1. Левин В.И. Методы математической физики / В.И. Левин. М.: Учпедгиз, 1956.
2. Гольдфайн И.А. Векторный анализ и теория поля / И.А. Гольдфайн. М.:
Наука, 1968.
3. Очан Ю.С. Методы математической физики / Ю.С.Очан. М.: Высшая
школа, 1965.
4. Болсун А.И., Гронский В.К., Бейда А.А. Методы математической физики/ А.И Болсун., В.К. Гронский., А.А.Бейда. Минск.: Вышэйшая школа, 1988.
5. Несис И.Е. Методы математической физики / И.Е. Несис. М.: Просвещение, 1977
6. Джефрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики /Г. Джефрис,
Б.Свирлс. М.: Мир, 1969
46
7. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике/А.Г.Свешников, А.Н.Боголюбов, В.В. Кравцов.М.: МГУ,
2000.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ



   d 2 B  d A   dB 
 B 
 ;
 
2.2. A   B  2  
dt
dt
dt







  d 2 C d 3C 
dA     dB      dC 
 ;
 B  C  A  
 C   A   B 
2.3. C   2  3  ;
2.4.
dt
dt
dt
dt
dt

















 2   dA 





d
A
d
B
d
C
d
B
 ;
 B  C  A  
C  B 
2.5. 2  B  A    A2  B   ; 2.6.
dt
dt
dt
dt
dt





 
 2
     
 2
 
 
2.7. d A  B  2 A  B B  dA  A  dB ; 2.8. d A  B  2 B 2 A  dA  A2  B  dB ;


  2   dB  A 
 ;
2.1. 3 A  B  A
B
dt

T






3.10.


dx
dy dz
 
x
y
0




 
z  c1  ñèñò.ïë .  0z . ln C  ln x   ln y. 



1
cx -система
y
гиперболических цилиндров
dx
dy dz
 
y
x
0
z  c1 xdx  ydy
y2 x2
  c
z
z
y   x 2  cz
47



4.1. 2ex ax  e y by  ez cz ;
4.4.
; 4.5.  n

r
 1  1
4.2. ax z
exyz  ey xz  ezxy ;
 
 
 
 4
; 4.6. 3 k  r k ; 4.7. 5 k  r k ;
r n 2
     
4.9. 2 k  r r  k  r c  c  r k ;

r
4.3. 2 ;
r
 

 
4.8. r 2 k  2 k  r r ;
   


4.10.  e y ;
4.11. ez .
 
 
c r
d
c  r r
3 n
2
6.1. 4xyzr ; 6.2. n ; 6.3. 3 r   r
; 6.4.
e 1  r ; 6.5. 2 ;
r
dr
r
r






6.6. e xyz x z 2  y 2 ex  y x 2  z 2 e y  z  y 2  x 2 ez ; 6.7. e xyz  yzex  xze y  xyez ;


   n


6.8. A   r r ;
6.9. A   r c ;
6.10. A  c  r  c ;
   n
   
   
6.11. A  c  r  r ;
6.12. A  c /c  r  ;
6.13. A  r /c  r  .
7.3. 9V ; 7.4. 3V ; 7.5.12V ; 7.6. 4R3n ;
Содержание
1. Векторная алгебра……………………………………………………… 3
2. Вектор-функция скалярного аргумента ………………………………...7
3. Скалярные и векторные поля…………………………………………..10
4. Градиент. Оператор Гамильтона – «набла» …………………………..14
5. Поток и циркуляция векторных полей………………………………...18
6. Дивергенция и ротор векторных полей ………………………………..20
7. Теорема Гаусса-Остроградского ………………………………………22
8. Теорема Стокса…………………………………………………………..25

9. Оператор A   ………………………………………………………….27


10. Дифференциальные операции второго порядка.
Символьный метод……………………………………………………..30
11. Потенциальные и вихревые векторные поля………………………… 32
48
12. Эмпирические законы электромагнитного поля
и уравнения Максвелла в вакууме…………………………………….34
13. Криволинейные ортогональные системы координат……………….. 37
14. Дифференциальные операции в криволинейных координатах ……..42
15. Ответы и решения……………………………………………………….47
16. Список рекомендуемой литературы…………………………………….
Учебное издание
Методы математической физики
Часть I. Теория поля.
Учебно-методическая разработка
Мольков Сергей Иванович
49
Редактор Е.В. Иванова
Компьютерная верстка Г.О. Предтеченский
Подписано в печать 12.03.2009. Формат 60х84 1/16 Бумага газетная
Гарнитура Таймс. Печ.л.3.3. Тираж 100 экз. Изд. № 12. Заказ 2.
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Карельский государственный педагогический университет»
Республика Карелия, 185680, г. Петрозаводск, ул. Пушкинская, 17
Печатный цех КГПУ
50