СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ В МОДЕЛИ ОБЩЕГО СТАРТА КОАЛИЦИОННЫХ ИПОТЕЧНЫХ ПРОЕКТОВ Гасанов И.И., Байрамов О.Б. Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, г. Москва [email protected] Ключевые слова: коалиция заёмщиков, строительный кооператив, активы, обязательства, ссудносберегательная касса, ипотечное кредитование, очередь, самофинансирование, общий старт, синергетический эффект. Введение В работах [1] исследуется финансовая модель коалиции ипотечных заёмщиков в форме динамической системы. Конкретный вид модели для случая, когда все участники начинают своё участие в Проекте в один и тот же момент времени, приводится в [2]. Здесь приводится схема доказательства Утверждения о синергетическом эффекте коалиционного объединения ипотечных заёмщиков и результаты вычислительных экспериментов, иллюстрирующих этот эффект. Модель имеет вид: At (U tC , H tD ) , Ot (U t D , H tC ) , Et (U tC ,U t D ) e H tD H tC , H nD1 H nD (1 0.01 n ) , U kD,n1 U kD,n (1 0.01u k ,n ) , U kC,n1 U kC,n (1 0.01 vk ) , H nC1 H nC (1 0.01 n ) , U kD,n U kD,n VkD,n , U kC,n (n) U kC,n VkC,n , Gn (Vn0,D ,VnD ,VnC ,Cn ) e H nC H nD , H nC max[ 0;Gn ], n 1,2,... , H nD max[ 0;Gn ], n 1,2,... , где At вектор активов, O t вектор обязательств, текущий основной капитал кооператива равен , Et At Ot , U t D – вектор внутренних депозитов, (образованных суммой периодических взносов, досрочных изъятий и начисленных процентов), H tC – вектор невыплаченных основных сумм внешних кредитов кооператива, H tC – вектор невыплаченных основных сумм внешних кредитов кооператива, U tC – вектор невыплаченных основных сумм внутренних кредитов участников, а H tD – вектор внешних депозитов кооператива, uk , n – внутренние ставки по депозиту, k – внутренние ставки по кредиту. K n K n 0, n 1,2,..., N ., K t – это сумма наличных средств в кассе и безналичных денежных средств на расчетных счетах до востребования. Здесь неопределенные факторы выражаются внешними ставками n , n и ценами на жилье Cn , а управлением является выбор внутренних ставок по депозиту uk , n и внутренних ставок по кредиту k . 1. Синергетический эффект Если все участники начинают своё участие в Проекте в один и тот же момент времени и одинаковы, то их участие эквивалентно участию в Проекте без организации Коалиции. Если же их вклады U k различны, появляется эффект возможного уменьшения внутренней ставки кредита, что отмечается выше и демонстрирует нижеприведенный пример. Эксперимент 1 5% , 10% , C 16 u 5% , d 0.5 , U k 0.1, 0.22 , V k U k , v 9% N 30 , N 60 , N 90 , N 120 Конкретный выбор U k определялся, как случайная выборка равномерного распределения на интервале 0.1, 0.22 , N 120 700 600 Активы 500 N=30 N=60 400 N=90 300 N=120 200 100 0 0 50 100 Время 150 700 Обязательства 600 500 N=30 N=60 400 N=90 300 N=120 200 100 0 0 50 100 Время 150 20 Собственный капитал 18 16 14 N=30 12 N=60 10 N=90 8 N=120 6 4 2 0 0 50 100 Время 150 200 Как следует из приведенного расчёта и динамики собственного капитала, имеется достаточный запас для уменьшения ставки внутреннего кредита. 1. Схема доказательства синергетического эффекта E1 0 и выполняются условия между депозитными и кредитными ставками. Тогда при ставках un u для всех n 1,..., N , существуют такие внутренние ставки , при которых собственный капитал кооператива EN 0 . Утверждение Пусть для рассматриваемого строительного кооператива Доказательство. Так как, в силу естественных ограничений ставка процент по депозиту не превосходит ставки внешнего кредита, , то, очевидно, что n , взвешенная ставка вкладов Wn и H nD Wn , при любых n не меньше чем . В те периоды n , когда кооператив кредитует строительство, в силу тех же естественных соображений n u . Предположим, что . Пусть n1 n D – первый операционный период, когда кооператив кредитует строительство. Так как n при любых n , то в силу леммы 3, En1 0 , C n1 D En11 En1 0.01( U Так как при n n e u U D n1 e n1 H вектор кредитов U En1 1 En1 0.01 (u ( U D n1 e H D n1 D n1 C n и ). 0 , то ) ( n1 u ) H nD1 ) 0.01 (u En1 ( n1 u ) H nD1 ) . Поскольку n1 u , а H nD1 Wn1 0 , то из последнего неравенства следует, что En11 0 . Тогда, согласно лемме 3 [2], En En11 0 для всех n n1 1 , и, значит, EN 0 . Из этого следует, что найдется такое значение 0 , при котором EN 0 , и тогда EN 0 для любой ставки , такой что 0 . ■ Замечание. По сути, если для Коалиции заёмщиков, формируемой в динамике [1], удается понизить ставку относительно за счет того, что кооператив получает доход от использования вкладов участников со ставкой u для выдачи внутренних кредитов со ставкой u , то в случае строительного кооператива, дополнительный доход дает использование вкладов участников со ставкой u для кредитования строительства по ставке u . Литература 1. 2. Гасанов И.И., Ерешко Ф.И. Моделирование ипотечных механизмов с самофинансированием // Сообщения по прикладной математике ВЦ РАН. - М.: ВЦ РАН, 2007. 60с. Гасанов И.И., Ерешко А. Ф. Свойства модели общего старта в коалиционных ипотечных проектах. Пятая международная конференция "Управление развитием крупномасштабных систем". MLSD’2011. Доклады. ИПУ РАН, 3-5 октября 2011г. (настоящий сборник).