Механика и основы механики сплошных сред

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Физический факультет
Рассмотрено и рекомендовано на
заседании кафедры теоретической и
вычислительной физики РГУ
Протокол №
Зав. кафедрой
Саченко В.П.
«____»______________200 ___ г.
УТВЕРЖДАЮ:
Декан факультета
Рабкин Л.М.
«____»______________200 ___ г.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
Учебной дисциплины «МЕХАНИКА, ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД»
вузовского компонента цикла ОПД.Ф.1 для специальностей 010400 ФИЗИКА и 013800
РАДИОФИЗИКА И ЭЛЕКТРОНИКА
Составитель:
Кандидат физико-математических наук
Доцент Фомин Г. В.
Ростов-на-Дону
2006
2
Учебно-методический
комплекс
составлен
на
основании
Государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности
010400 «Физика».
Курс 2 и 3. Семестры – 4 и 5. Экзамены – 5-й семестр. Аудиторные занятия – 140 часов. В
т.ч.: Лекции – 70 часов. Практические занятия – 70 часа. Самостоятельная работа – 60
часов. Контрольные работы – 7 шт. Всего часов – 200.
Цели курса
Курс «Механика, основы механики сплошных сред» - начальный раздел цикла обще
профессиональных дисциплин по теоретической и математической физике. Курс имеет
целью освоение слушателями базовых методов решения задач о движении механических
систем разного уровня сложности и исследования динамических свойств вещества.
Основной задачей курса является знакомство слушателей с основными из известных к
настоящему моменту методов решения динамических задач для систем с различным
числом степеней свободы и различным уровнем сложности. Рассматриваемые в курсе
классические методы решения динамических задач имеют свое продолжение в
последующих курсах обще профессионального цикла подготовки физиков и служат
основой для изучения специальных дисциплин.
Основные задачи курса
Изучение основных методов решения классических динамических задач для систем
разным числом степеней свободы и разного уровня сложности. Овладение приемами
методами решения конкретных задач. Ознакомление с современным подходом
теоретическому анализу исследуемых свойств движения и взаимодействия,
применением в этом анализе различных математических теорий – анализа, алгебры
геометрии в сочетании с качественным анализом изучаемых явлений.
с
и
к
с
и
Перечень и содержание дисциплин, необходимых при изучении
курса
Механика.
Молекулярная физика.
Математический анализ (дифференциальное и интегральное исчисление).
Аналитическая геометрия и алгебра.
Векторная и тензорная алгебра.
Дифференциальные уравнения.
Содержание лекционных занятий (70 часов)
N
п.п.
1
Тема/Содержание
Введение. Цели и задачи теоретической физики.
Теоретическая физика. Свободная частица. Закон инерции.
Взаимодействие. Положение, импульс (момент импульса), энергия
частицы. Состояние движения. Законы сохранения.
Число
часов
2
3
2
3
4
5
6
7
8
9
Связи. Силы реакции.
Классификация связей. Голономные и неголономные связи.
Стационарные и нестационарные связи. Идеальные связи. Методы
определения силы реакции.
Уравнения движения.
Уравнения движения простейших механических систем. Основная
задача динамики. Постулат детерминизма. Ковариантность уравнений
движения. Уравнения движения в форме уравнений первого порядка.
Получение уравнений движения в независимых координатах для
систем со связями.
Инвариантность.
Масштабная инвариантность. Инвариантность относительно
преобразований состояния и времени. Инерциальные системы
отсчета: инвариантные преобразования координат и времени,
векторное пространство, евклидово пространство, ортогональные
преобразования, правило сложения скоростей, абсолютность времени
и принцип относительности Галилея; принцип относительности
Эйнштейна: геометрия пространства-времени, преобразования
Лоренца. Неинерциальные системы отсчета.
Закон движения.
Задача с начальными условиями. Решение уравнений движения на
примерах простых механических систем. Инвариантность и законы
движения. Законы сохранения и уравнения движения. Основные типы
движений – финитное, инфинитное, колебание, вращение,
лимитационное движение, виды равновесий.
Фазовое пространство.
Определение пространства состояний и фазовой траектории.
Расширенное фазовое пространство. Свойства фазовых траекторий.
Фазовый поток. Фазовый портрет. Канонические переменные.
Интегралы движения и расслоение фазового пространства.
Функция Лагранжа и уравнения Лагранжа.
Лагранжевы механические системы. Метод определения функции
Лагранжа системы со связями. Связь законов сохранения со
свойствами функции Лагранжа. Системы отсчета и функция
Лагранжа. Уравнения Лагранжа. Ковариантность уравнений
Лагранжа. Функционал действия. Принцип наименьшего действия.
Функция Гамильтона. Канонические уравнения.
Определение функции Гамильтона. Связь с функцией Лагранжа.
Получение канонических уравнений из принципа наименьшего
действия. Связь законов сохранения со свойствами функции
Гамильтона. Канонические переменные и канонические уравнения.
Канонические преобразования (начало).
Функция действие. Уравнение Гамильтона-Якоби.
Действие как функция координат и времени. Полный интеграл
уравнения Гамильтона-Якоби и определение закона движения.
Канонические преобразования и производящие функции.
2
2
6
2
4
4
2
2
4
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Конкурирующие взаимодействия.
Гармонический осциллятор в среде: уравнение движения, закон
движения осциллятора при сильном и слабом затухании и фазовые
траектории, логарифмический декремент затухания, рассеяние
энергии.
Консервативные системы с конкурирующими взаимодействиями.
Функция Лагранжа таких систем, уравнения движения. Анализ
потенциальной энергии. Характер движения при различных
начальных условиях. Фазовые портреты. Нелинейные колебания и их
период. Линеаризация уравнений вблизи устойчивых равновесий.
Функция Гамильтона и канонические уравнения. Решение уравнения
Гамильтона-Якоби. Закон движения в канонических переменных.
Гармонический осциллятор с вынуждающей силой
Функция Лагранжа гармонического осциллятора с гармонической
вынуждающей силой. Уравнение движения. Резонанс. Биения.
Функция Гамильтона и канонические уравнения.
Гармонический осциллятор с вынуждающей силой в среде
Учет затухания. Решение в комплексном виде. Сдвиг фазы.
Установившиеся колебания. Скорость перекачки энергии.
Дисперсионная кривая.
Адиабатический инвариант
Системы с медленно меняющимися параметрами. Определение
адиабатического инварианта. Адиабатический инвариант и законы
сохранения.
Интегрируемые консервативные системы с двумя степенями
свободы
Определение функции Лагранжа. Уравнения движения. Анализ
движения по циклической координате. Анализ эффективной
потенциальной энергии. Области финитного и инфинитного
движения. Период нелинейных колебаний и вращения. Линеаризация
уравнений движения вблизи состояния устойчивого равновесия. Закон
движения и траектория. Функция Гамильтона. Канонические
переменные. Анализ фазового портрета. Решение задачи методом
Якоби-Гамильтона. Отделение переменных.
Задача двух тел
Функция Лагранжа. Законы сохранения энергии и импульса. Система
центра инерции. Внутренняя энергия и энергия центра масс.
Сохранение момента импульса. Собственный и орбитальный моменты
импульса. Приведенная масса и эффективные частицы.
Движение в центральном поле
Основные свойства движения в центральном поле. Анализ
вращательного и радиального движения. Траектория, ее свойства.
Задача Кеплера
Анализ эффективной потенциальной энергии. Уравнение траектории.
Период и угловой период. Законы Кеплера. Функция Гамильтона
финитного движения в канонических переменных.
Задача рассеяния
Постановка задачи рассеяния. Угол рассеяния. Прицельное
расстояние. Сечение рассеяния. Рассеяние в кулоновском поле
(формула Резерфорда). Рассеяние на сферическом барьере.
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
5
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Задача N тел
Интегралы движения в задаче о движении замкнутой системы N
частиц. Внутренняя энергия и собственный момент импульса
замкнутой системы как функции состояний частиц. Приближенные
модели замкнутой системы N частиц.
Абсолютно твердое тело
Кинематика твердого тела: число степеней свободы, подвижная и
неподвижная система координат, поступательная и угловая скорость
твердого тела, влияние выбора начала подвижной системы на
значения этих скоростей, анализ мгновенного перемещения твердого
тела.
Динамика твердого тела
Кинетическая энергия твердого тела. Тензор моментов инерции, его
свойства, классификация твердых тел по типам симметрии.
Собственный момент импульса твердого тела. Уравнения движения.
Момент сил. Углы Эйлера. Функция Лагранжа твердого тела в
обобщенных координатах. Уравнения движения в форме уравнений
Эйлера.
Многомерный гармонический осциллятор
Функция Лагранжа и уравнение движения многомерного осциллятора.
Переход к нормальным координатам. Собственные частоты.
Нормальные колебания.
Системы с большим числом частиц
Статистический ансамбль. Статистическое равновесие. Теорема
Лиувилля. Равновесное распределение.
Частица сплошной среды
Кинематика частицы сплошной среды. Деформации. Динамика
частицы сплошной среды. Тензор напряжений.
Динамика внутренних степеней свободы частицы сплошной
среды
Внутренняя энергия. Уравнения термодинамического состояния.
Уравнение непрерывности. Уравнение теплопроводности. Вязкость.
Замкнутая система уравнений динамики частицы сплошной среды.
Явления переноса. Континуальные уравнения баланса.
Идеальная жидкость
Замкнутая система уравнений идеальной жидкости. Гидростатика.
Течения в идеальной жидкости: стационарное течение, интеграл
Бернулли, теорема Томсона, потенциальное течение.
Звуковые волны. Плоская волна. Монохроматическая волна.
Сверхзвуковое течение. Поверхности разрыва.
Вязкая жидкость
Уравнения Навье-Стокса. Скорость диссипации энергии. Закон
подобия. Ламинарное и турбулентное течение.
1
2
5
2
2
2
2
2
2
2
6
Содержание практических занятий (70 часов)
N
п.п.
1
2
3
4
5
6
7
8
Тема/Содержание
Положение, импульс (момент импульса), энергия в задачах
свободная частица, частица в вязкой среде, частица в поле тяжести,
частица на окружности, частица на вращающемся стержне,
одномерный гармонический осциллятор, плоский математический
маятник, заряд на окружности в кулоновском поле точечного заряда,
частица в гармоническом поле.
Связи. Силы реакции в задачах
частица на окружности, частица на вращающемся стержне, плоский
математический маятник, заряд на окружности.
Уравнения движения в задачах
свободная частица, частица в вязкой среде, частица в поле тяжести,
частица на окружности, частица на вращающемся стержне,
одномерный гармонический осциллятор, плоский математический
маятник, заряд на окружности в кулоновском поле точечного заряда,
частица в гармоническом поле.
Закон движения в задачах
свободная частица, частица в вязкой среде, частица в поле тяжести,
частица на окружности, частица на вращающемся стержне,
одномерный гармонический осциллятор, плоский математический
маятник, заряд на окружности в кулоновском поле точечного заряда,
частица в гармоническом поле.
Линеаризация уравнений движения в задачах
плоский математический маятник, заряд на окружности в
кулоновском поле точечного заряда.
Фазовое пространство в задачах
свободная частица, частица в вязкой среде, частица в поле тяжести,
частица на окружности, частица на вращающемся стержне,
одномерный гармонический осциллятор, плоский математический
маятник, заряд на окружности в кулоновском поле точечного заряда,
частица в гармоническом поле.
Функция Лагранжа и уравнения Лагранжа в задачах
свободная частица, частица в поле тяжести, частица на окружности,
частица на вращающемся стержне, одномерный гармонический
осциллятор, плоский математический маятник, заряд на окружности в
кулоновском поле точечного заряда, частица в гармоническом поле.
Функция Гамильтона. Канонические уравнения в задачах
свободная частица, частица в поле тяжести, частица на окружности,
частица на вращающемся стержне, одномерный гармонический
осциллятор, плоский математический маятник, заряд на окружности в
кулоновском поле точечного заряда, частица в гармоническом поле.
Число
часов
3
3
2
4
2
4
2
2
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Функция действие. Уравнение Гамильтона-Якоби в задачах
свободная частица, частица в поле тяжести, частица на окружности,
частица на вращающемся стержне, одномерный гармонический
осциллятор, плоский математический маятник, заряд на окружности в
кулоновском поле точечного заряда, частица в гармоническом поле.
Задачи на канонические преобразования и производящие функции
Конкурирующие взаимодействия в задачах с различными
комбинациями взаимодействий: упругое взаимодействие и вязкость,
кулоновское взаимодействие и вращающаяся система отсчета,
кулоновское взаимодействие и поле тяжести, вращающаяся система
отсчета и поле тяжести и т.д. Полный анализ таких задач.
Адиабатический инвариант в задачах
частица в бесконечной яме с медленно движущимися стенками,
частица на наклонной плоскости с медленно меняющимся углом
наклона.
Интегрируемые консервативные системы с двумя степенями
свободы в задачах
Сферический маятник, частица на поверхности конуса в поле тяжести,
плоский маятник с подвижной точкой подвеса. Исследование этих
задач методами лагранжевой и гамильтоновой механики.
Задача двух тел
Задача о переходе в систему центра инерции. Получение внутренней
энергии и собственного момента импульса. Приведенная масса.
Движение в центральном поле
Задача о движении в центральном поле в лагранжевой формулировке.
Функция Гамильтона. Интегрирование уравнения Гамильтона-Якоби в
задаче о движении в центральном поле.
Задача Кеплера
Анализ эффективной энергии задачи Кеплера. Масштабирование.
Анализ траектории в задаче Кеплера в зависимости от энергии.
Задача рассеяния
Масштабирование в задаче рассеяния. Получение угла рассеяния как
функции потенциальной энергии взаимодействия. Расчет
дифференциального эффективного сечения рассеяния в функции от
угла рассеяния в различных потенциалах.
Абсолютно твердое тело
Диагонализация тензора моментов инерции. Вычисление моментов
инерции простых тел.
Динамика твердого тела
Зависимость угловой скорости от углов Эйлера. Свободное вращение
ротатора, шарового волчка и симметрического волчка.
Многомерный гармонический осциллятор
Задача о колебаниях линейной симметричной трехатомной молекулы.
Частица сплошной среды
Задача о кинематике частицы сплошной среды, бесконечно малых
деформациях и разложении деформаций на сдвиги и равномерные
расширения/сжатия.
Динамика частицы сплошной среды
Задача о динамике частицы сплошной среды как твердого тела.
4
2
6
2
10
2
2
2
2
2
2
4
2
2
8
23
24
Идеальная жидкость
Задачи по гидростатике, интегралу Бернулли.
Вязкая жидкость
Задача на определение скорости диссипации энергии в вязкой
жидкости.
2
2
Содержание самостоятельной работы (60 часов)
Связь интегралов движения с симметрией системы в механике Лагранжа. Теорема Э.
Нетер.
Бесконечно малые канонические преобразования. Скобки Пуассона.
Связь законов сохранения с симметрией в механике Гамильтона.
Переход к каноническим переменным в интегрируемых задачах с двумя степенями
свободы.
Свободное движение асимметрического волчка.
Учебно-методические материалы по дисциплине
находятся на сайте www.phys.rsu.ru\~fomin
Основная литература
1. Механика. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц.
2. Гидродинамика. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц.
3. Курс теоретической механики для физиков. И.И.Ольховский.
4. Задачи по классической механике. Коткин, Сербо.
Дополнительная литература
1. Теория поля. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц.
2. Статистическая физика. Часть 1. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц.
3. Начала теоретической физики. Б.В.Медведев.
4. Классическая механика. М.А.Айзерман.
5. Основы гамильтоновой механики. Д. тер Хаар.
6. Классическая механика. Дж.У.Лич.
7. Лекции по аналитической механике. Ф.Р.Гантмахер.
8. Классическая механика. Г.Голдстейн.
9. Классическая динамика. Дж.Л.Синг.
10. Математические методы классической механики. В.И.Арнольд.
11. Теория и задачи сплошных сред. Дж.Мейз.
12. Сборник задач по теоретической физике. Л.Г.Гречко,
О.Ф.Томасевич, А.М.Федорченко.
13. Сборник задач по теоретической механике. М.П.Халиманович.
В.И.Сулгаков,
Календарно-тематический план
по курсу «Механика, основы механики сплошных сред» для специальностей 010400
ФИЗИКА, 013800 РАДИОФИЗИКА И ЭЛЕКТРОНИКИ
9
Дата
Краткое наименование темы
Цели и задачи теоретической физики. Положение, импульс, энергия
Связи. Силы реакции
Уравнения движения
Инвариантность
Закон движения
Фазовое пространство
Функция Лагранжа и уравнения Лагранжа
Функция Гамильтона. Канонические уравнения
Канонические преобразования
Функция действие. Уравнение Гамильтона-Якоби
Конкурирующие взаимодействия. Гармонический осциллятор в среде
Консервативные системы с конкурирующими взаимодействиями
Гармонический осциллятор с вынуждающей силой
Гармонический осциллятор с вынуждающей силой в среде
Адиабатический инвариант
Интегрируемые консервативные системы с двумя степенями
свободы
Задача двух тел
Движение в центральном поле
Задача Кеплера
Задача рассеяния
Задача N тел
Кинематика абсолютно твердого тела
Динамика твердого тела
Многомерный гармонический осциллятор
Системы с большим числом частиц
Кинематика макро частицы
Динамика макро частицы
Динамика внутренних степеней свободы макро частицы
Идеальная жидкость
Звуковые волны
Вязкая жидкость
Число
часов
4
4
4
8
4
4
4
4
4
4
4
12
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
6
6
4
4
4
4
4
4
4
Экзаменационные вопросы
1. Механика частиц со связями. Уравнения Лагранжа. Задание: записать функцию
Лагранжа и уравнения Лагранжа в задаче
1.1. о сферическом маятнике.
1.2. о частице внутри конуса.
1.3. о плоском маятнике со свободной точкой подвеса.
1.4. двух тел.
1.5. Кеплера.
1.6. о симметричной линейной трехатомной молекуле (вдоль оси).
1.7. о симметричной линейной трехатомной молекуле (поперечные смещения).
10
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
1.8. о свободном твердом теле.
Законы сохранения. Задание: записать законы сохранения в задаче
2.1. о сферическом маятнике.
2.2. о частице внутри конуса.
2.3. о плоском маятнике со свободной точкой подвеса.
2.4. двух тел.
2.5. Кеплера.
2.6. о симметричной линейной трехатомной молекуле.
2.7. о свободном твердом теле.
Колебания. Нелинейные колебания. Задание: каковы условия колебаний и их периоды
в задачах
3.1. о сферическом маятнике.
3.2. о частице внутри конуса.
3.3. о плоском маятнике со свободной точкой подвеса.
3.4. Кеплера.
Движение в центральном поле.
4.1. Общие свойства движения в центральном поле.
4.2. Закон движения в центральном поле и уравнение траектории.
4.3. Траектории в задаче Кеплера в зависимости от энергии.
4.4. Законы Кеплера.
Система многих взаимодействующих частиц.
5.1. Статистическое равновесие. Зависимость плотности вероятности от основных
интегралов движения.
5.2. Больцмановский газ. Распределение Максвелла.
Рассеяние частиц.
6.1. Угол рассеяния и прицельное расстояние. Общее соотношение между ними.
6.2. Дифференциальное сечение рассеяния в эксперименте и теории.
6.3. Формула Резерфорда.
Движение твердого тела.
7.1. Кинематика твердого тела. Мгновенная ось вращения.
7.2. Тензор моментов инерции. Волчки.
7.3. Функция Лагранжа и уравнения Лагранжа твердого тела.
7.4. Углы Эйлера.
7.5. Уравнения Эйлера.
7.6. Свободное вращение симметрического волчка.
Движение относительно неинерциальных систем отсчета.
8.1. Функция Лагранжа и уравнения движения частицы в поступательной
ускоренной системе отсчета.
8.2. Функция Лагранжа и уравнения движения частицы в ускоренно вращающейся
системе отсчета.
8.3. Функция Лагранжа и уравнения движения частицы в равномерно
вращающейся системе отсчета.
8.4. Энергия в равномерно вращающейся системе отсчета.
Колебания систем со многими степенями свободы.
9.1. Характеристическое уравнение, закон движения и условия ортонормировки sмерного осциллятора.
9.2. Частоты и закон движения симметричной трехатомной линейной молекулы вдоль
оси.
9.3. Частоты и закон движения симметричной трехатомной линейной молекулы
поперек оси.
11
10. Канонический формализм, уравнения Гамильтона. Задание: записать функцию
Гамильтона и канонические уравнения в задаче
10.1.
о сферическом маятнике.
10.2.
о частице внутри конуса.
10.3.
двух тел.
10.4.
Кеплера.
10.5.
о симметричной линейной трехатомной молекуле (вдоль оси).
10.6.
о симметричной линейной трехатомной молекуле (поперечные смещения).
10.7.
о свободном твердом теле.
11. Канонические преобразования, теорема Лиувилля.
11.1.
Формальное определение канонических преобразований.
11.2.
Дать формулировку теоремы Лиувилля о фазовом объеме.
11.3.
Перейти к переменным действие-угол в задаче о сферическом маятнике.
11.4.
Перейти к переменным действие-угол в задаче о частице в конусе.
11.5.
Перейти к переменным действие-угол в задаче Кеплера (финитное
движение).
11.6.
Перейти к переменным действие-угол в задаче об s-мерном гармоническом
осцилляторе.
12. Метод Гамильтона-Якоби. Задание: найти закон движения и уравнение траектории
методом Гамильтона-Якоби в задаче
12.1.
о сферическом маятнике.
12.2.
о частице внутри конуса.
13. Механика частиц со связями. Уравнения Лагранжа.
13.1.
Дать формальное определение системы частиц со связями.
13.2.
Дать формальное определение функции Лагранжа и уравнений
Лагранжа.
14. Законы сохранения. Дать формальное определение закону сохранения и привести
пример.
15. Колебания.
Нелинейные
колебания.
Дать
формальное
определение
колебательному движению, нелинейным колебаниям, периоду и привести
пример.
16. Канонический формализм, уравнения Гамильтона. Дать формальное определение
функции Гамильтона и каноническим уравнениям.
17. Метод Гамильтона-Якоби. Дать формальное определение функции действия и
уравнения Гамильтона-Якоби.
Основы механики сплошных сред.
1. Система многих частиц как континуум; скалярные, векторные и тензорные поля;
1.1. Что такое макро частица?
1.2. Каким образом описываются свойства сплошной среды в целом?
1.3. Что называется тензором бесконечно малых поворотов и как выражается угол
бесконечно малого поворота через поле бесконечно малых смещений?
1.4. Что называется тензором бесконечно малых деформаций?
1.5. Как определяется деформация вещества в данной точке и направлении?
1.6. Как определяется изменение объема макро частицы?
1.7. Что называется деформацией сдвига, и какая часть тензора деформаций ей
соответствует?
1.8. На какие деформации можно разложить общую деформацию?
1.9. Как выглядит бесконечно малое смещение макро частицы в общем случае?
1.10.
В чем отличие макро частицы от абсолютно твердого тела?
1.11.
Что такое тензор скоростей деформаций?
12
2.
3.
4.
5.
6.
1.12.
Какой физический смысл ротора и дивергенции поля скоростей?
1.13.
Какие уравнения, определяют твердотельную динамику макро частицы?
1.14.
Какие силы называют объемными и поверхностными?
1.15.
Что такое тензор напряжений?
1.16.
Как вычисляется давление внутри сплошной среды?
1.17.
Как определяются нормальные и касательные напряжения?
1.18.
Как выглядит тензор напряжений в изотропной среде при отсутствии
касательных напряжений?
1.19.
Как выглядит уравнение изменения импульса макро частицы для полевых
функций среды, и какие полевые функции в него входят?
1.20.
К чему сводится уравнение изменения момента импульса макро частицы?
явления переноса; континуальные уравнения сохранения.
2.1. Как выглядит уравнение баланса импульса среды? Физический смысл входящих в
уравнение слагаемых.
2.2. Как выглядит уравнение баланса энергии среды? Физический смысл входящих в
уравнение слагаемых.
уравнения состояния, замкнутая система уравнений гидродинамики.
3.1. Что такое уравнения термодинамического состояния вещества?
3.2. Как выглядит уравнение непрерывности в дифференциальной форме?
3.3. Как выглядит уравнение непрерывности в интегральной форме и каков его
физический смысл?
3.4. Как выглядит уравнение теплопроводности однородной и изотропной среды и
откуда оно следует?
3.5. Что представляет собой замкнутая система уравнений для полевых функций
идеальной жидкости?
течения в идеальной жидкости.
4.1. Как выглядят уравнения баланса импульса и энергии идеальной жидкости?
4.2. Что такое интеграл Бернулли, и в каких условиях он имеет место?
4.3. Что такое изоэнтропическое течение?
4.4. Как выглядят уравнения Эйлера в условиях изоэнтропического течения?
4.5. Что такое циркуляция скорости?
4.6. Сформулируйте теорему Томсона о циркуляции скорости. В каких условиях она
имеет место?
4.7. Что такое потенциальное течение?
4.8. Какой интеграл имеют уравнения Эйлера в условиях потенциального течения?
вязкость.
5.1. Что представляет собой процесс диссипации энергии макро частицы, и от чего он
зависит?
5.2. Как выражается тензор вязких напряжений через тензор скоростей деформации?
Физический смысл этого соотношения.
5.3. Какие изменения вносит учет вязкости в динамические уравнения среды?
Физический смысл этих поправок.
5.4. Что представляет собой замкнутая система уравнений для полевых функций
вязкой жидкости?
5.5. Какие граничные условия используются при соприкосновении вязкой жидкости с
твердым телом?
турбулентность, закон подобия.
6.1. Что такое число Рейнольдса и в чем состоит закон подобия?
6.2. Каковы отличия между турбулентным и ламинарным течениями вязкой
жидкости?
13
7. звуковые волны.
7.1. Как линеаризуются динамические уравнения идеальной жидкости вблизи
равновесия, и к какому уравнению это приводит?
7.2. Как выглядит решение волнового уравнения для плоской волны? Дайте
пояснения.
7.3. Как связаны между собой поля скорости, давления и плотности в бегущей
плоской волне?
7.4. Что представляет собой спектральное разложение и решение в виде плоской,
монохроматической волны?
8. ударные волны; сверхзвуковые течения.
8.1. Как выглядит диаграмма распространения малого возмущения при сверхзвуковом
течении среды, и что такое число Маха и конус Маха?
8.2. Какие поверхности разрыва могут существовать в сплошной среде при сильно
неравновесных процессах?
Примеры решения задач
Задача 1
Частица может двигаться по стержню, вращающемуся вокруг оси ему перпендикулярной
с постоянной угловой скоростью ω.
Определить силу реакции, действующую на частицу со стороны стержня.
Голономная, идеальная, но нестационарная в данном случае связь определяется
соотношением y = xtg(ωt) между декартовыми координатами частицы на вращающемся
стержне и временем. Сила реакции F направлена перпендикулярно стержню. Введем
координату q вдоль стержня и выразим декартовые координаты x, y и проекции силы
реакции Fx, Fy через q, F.
x = qcos(ωt); y = qsin(ωt);
Fx = -Fsin(ωt); Fy = Fcos(ωt)
Запишем 2-ой закон Ньютона в декартовых координатах
mx  Fx ;
my  Fy
и подставим в него соответствующие производные x, y и компоненты силы
x  q cos  t  q sin  t ; y  q sin  t  q cos  t ;
mx  m(q cos  t  2q sin  t  q 2 cos  t )   F sin  t ; (2.3)
my  m(q sin  t  2q cos  t  q 2 sin  t )  F cos  t ; (2.4)
Теперь умножим уравнение (2.3) на –sin(ωt), а уравнение (2.4) на cos(ωt) и почленно
сложим эти два уравнения. В результате получим силу реакции F  2mq . Смысл этого
результата прост. Сила реакции стержня в точности компенсирует силу Кориолиса,
действующую на движущуюся по вращающемуся стержню частицу. Направление силы
реакции определяется знаком скорости q , но всегда лежит вдоль прямой,
перпендикулярной стержню.
Задача 2
Найти функцию Лагранжа и записать уравнения движения в задаче:
14
Точка подвеса плоского математического маятника колеблется вертикально с постоянной
частотой γ и амплитудой a
Найдем функцию Лагранжа такого маятника.
1. Выберем декартовую систему координат как в «Механике», с горизонтальной осью x,
направленной слева направо и вертикальной осью y, направленной вниз. В этой
системе координат функция Лагранжа частицы в плоскости в поле тяжести равна
m( x 2  y 2 )
L( y, x, y ) 
 mgy .
2
2. Осуществим переход к независимой координате, углу отклонения от вертикальной
оси φ, с учетом вертикального колебания точки подвеса маятника x = lsinφ; y = lcosφ +
acos(γt).
В результате получим
x  l cos  ; y  l sin    a sin(  t );
x 2  y 2  l 2 2  2al  sin(  t ) sin   a 2 2 sin 2 ( t );
ml 2 2
 mgl cos   mal  sin(  t ) sin   .
2
ma 2 2

sin 2 ( t )  mga cos( t )
2
Добавка к функции Лагранжа любой функции времени, а в общем случае, любой
функции, сводящейся к полной производной по времени от некоторой функции
координат и времени, не приводит к изменению уравнений Лагранжа (см. в связи с
этим нулевой цикл, задачу 9 и §2 «Механики»). Поэтому, в частности, можно
отбросить два последних слагаемых в выписанной функции Лагранжа, так как они
зависят только от времени. Кроме того, можно преобразовать третье слагаемое,
содержащее линейную зависимость от скорости, выделив в нем полную производную
по времени
d (cos  )
mal  sin  sin(  t )  mal sin(  t )

dt
.
d (mal sin(  t ) cos  )
2

 mal cos  cos( t )
dt
Отбросив полную производную, мы избавляемся от линейной зависимости от
скорости, и функция Лагранжа приобретает вид
ml 2 2
L( ,  , t ) 
 mgl cos   mal 2 cos  cos( t ) .
2
3. Выбрав, как и в случае обычного плоского маятника, масштаб массы, длины и
времени
~  m /[ M ]  1;
[ M ]  m; m
~
,
[ D]  l ; l  l /[ D]  1;
L( ,  , t ) 
l ~
;g 1
g
получим безразмерную функцию Лагранжа.
[T ] 
15
Подставим полученную функцию Лагранжа в уравнение Лагранжа и запишем уравнение
движения маятника с вертикально колеблющейся точкой подвеса
 2
L( ,  , t ) 
 cos   a 2 cos  cos( t );
2
dp
L
p 
  ;
 ;

dt
L
  sin   a 2 sin  cos( t );

   sin   a 2 sin  cos( t )
Задача 3
Частица движется по наклонной плоскости в поле тяжести, отражаясь упруго от
установленного внизу отбойника. Угол наклона плоскости медленно меняется. Найти
зависимость высоты подъема от угла наклона, используя адиабатический инвариант.
Полная энергия частицы в каждый момент времени равна
E = p2/2m + mgxsinα,
где ось x направлена вдоль наклонной плоскости. С другой стороны, эта же энергия равна
потенциальной энергии в точке наивысшего подъема частицы E = mghmax. Отсюда
получаем зависимость импульса от координаты
p( x)  2m( E  mgx sin  )  2m 2 g (hmax  x sin  ) .
Адиабатический инвариант представляет собой интеграл по всему циклу движения,
например, от нижней точки до верхней и обратно. Так как угол за один цикл меняется
незначительно, то мы можем его считать постоянным. По той же причине постоянной
будет и полная энергия.
1
pdx по всему циклу равен удвоенному интегралу по движению от нижней
Интеграл
2 
точки до верхней, то есть величине
h / sin
1 max
 m 2 g (hmax  x sin  )dx .

0
Обозначив u = xsinα/hmax и произведя замену переменной интегрирования x на u, получим
3
m 2 ghmax
2
.

 sin  0
 sin  3
Так как эта величина остается постоянной в процессе медленного изменения угла
наклона α, то максимальная высота подъема изменяется по закону
J
3
m 2 ghmax
hmax
1
1  u du 
1  3J
 
2  m g




2/3
sin 2 / 3  .
Задача 4
Определить закон движения и уравнение траектории методом Якоби-Гамильтона в
задаче о сферическом маятнике.
16
Запишем уравнение Гамильтона-Якоби для функции действие S(φ,θ,t), заменив импульсы
в функции Гамильтона на соответствующие производные действия по координатам и
приравняв функцию Гамильтона производной действия по времени со знаком минус
2
 S 
1  S 
1
S

  cos   
.

 
2
2   
t
2 sin    
Отделяя зависимость от времени S(t, φ, θ) = - Et + S0(φ, θ), получим уравнение для
укороченного действия S0(φ, θ) в виде
2
2
1  S0 
1  S0 

  cos  E .

 
2    2 sin 2    
В этом уравнении можно также отделить зависимости от углов, то есть представить
искомое решение в виде
S0(φ, θ) = Sφ(φ) + Sθ( θ).
Такая возможность возникает в связи с отсутствием аргумента φ в уравнении.
После подстановки в уравнение записанной суммы, мы должны потребовать его
тождественного выполнения
2
2
1  dS 
1  dS 

  cos   E .

 
2  d  2 sin 2   d 
Для того чтобы тождество выполнялось при любых значениях, в частности, угла φ,
производная dSφ/dφ должна быть постоянной dSφ/dφ = pφ ≡ Mz = const.
Отсюда Sφ(φ) = pφφ.
Таким образом, полное действие имеет вид
S(t, φ, θ) = - Et + pφφ + Sθ(θ),
где последнее слагаемое находится из простого уравнения
2
p2
1  dS 

 cos   E


2  d  2 sin 2 
и имеет вид
2


p2

d .
S ( )   2 E 

cos

2


2
sin



Укороченное действие, таким образом, имеет вид


p2
S 0 ( , )  p    2 E 
 cos d
2


2 sin 


Итак, в нашей задаче полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби зависит от двух
постоянных – полной энергии E и момента импульса pφ. Мы получим закон движения,
дифференцируя полный интеграл по этим постоянным и приравнивая результат другим
постоянным. А именно,
S
S
 t0 ;
 0 .
E
p
Первое соотношение дает неявное выражение закона изменения координаты θ(t). Второе
соотношение определяет уравнение траектории.
17
Контрольные вопросы
Цикл 0
Задачи
1. Свободная частица на прямой линии.
2. Частица на прямой линии в вязкой среде.
3. Частица на прямой в поле тяжести.
4. Свободная частица на окружности.
5. Частица, скользящая по равномерно вращающемуся стержню.
6. Частица на конце пружинки (одномерный осциллятор).
7. Частица в поле тяжести на конце стержня (плоский математический маятник).
8. Заряженная частица на окружности в поле закрепленного заряда.
9. Частица на прямой линии в поле гармонической силы.
Вопросы
1. Как описывается положение системы в задачах 1-9? В чем отличия и совпадение?
2. Что такое одномерная система и число степеней свободы?
3. Как записываются импульс (момент импульса) и энергия в задачах 1-9? Какие
отличия в поведении этих функций в разных задачах, и чем эти отличия объясняются?
4. Дайте определения диссипативной, консервативной и нестационарной системы.
5. Что называется состоянием механической системы? Является ли импульс (момент
импульса) независимой характеристикой состояния? То же в отношении энергии.
18
6. Дайте определение и классификацию связей. Является ли пружинка из задачи 6
связью?
7. Опишите связи в задачах 4,5,7,8.
8. Что такое силы реакции? Как направлена сила реакции в случае идеальной связи?
9. Обобщив опыт решения задач 4,5,7,8, опишите, как определяются силы реакции в
случае идеальной связи.
10. Какой физический смысл сил реакций в задачах 4,5,7,8?
11. В каких формах можно записать уравнения движения одномерных систем?
12. Запишите уравнения движения задач 1-9 в разных формах.
13. Что означает ковариантность (иногда говорят «форм инвариантность») уравнений
движения и в чем отличие ковариантности от инвариантности?
14. Что называют преобразованиями систем отсчета?
15. В чем состоит принцип, или постулат детерминизма? Покажите, что из него следует
указанная форма уравнений движения.
16. Что означает масштабная инвариантность, инвариантность относительно сдвигов и
отражений в пространстве и времени?
17. Какими свойствами инвариантности обладают уравнения движения в задачах 1 – 9?
18. Объясните выбор масштабов в рассмотренных задачах и запишите их уравнения
движения после масштабирования.
19. Что называют системой отсчета? Поясните физический смысл сдвигов,
преобразований масштабов и отражений в пространстве и времени.
20. Поясните физический смысл коэффициентов, определяющих инвариантные
однородные преобразования координат и времени свободной частицы.
21. Что называется преобразованием Галилея?
22. Что называют инерциальными системами отсчета?
23. Как выглядят однородные пространственные преобразования, оставляющие
инвариантными уравнения движения свободной частицы на плоскости?
24. Что такое ортонормированная система координат и ортогональные преобразования на
плоскости?
25. В чем состоит классическое правило сложения скоростей?
26. Поясните смысл абсолютности времени и относительности пространства в
классической модели.
27. Сформулируйте релятивистский принцип относительности.
28. Что такое интервал в пространстве-времени? Поясните его физический смысл.
29. Напишите преобразования Лоренца и поясните их физический и математический
смысл.
30. Каков смысл изменений интервалов длины и времени, следующих из преобразований
Лоренца? Что называется γ-фактором?
31. Как изменяется уравнение движения свободной частицы при нелинейном
преобразовании координаты? В чем физический смысл этого преобразования?
32. Что называется неинерциальной системой отсчета, и как изменяется уравнение
движения свободной частицы при переходе в равномерно ускоренную систему
отсчета?
33. Каков физический смысл сил инерции?
34. Что такое закон движения механической системы и как он определяется в
большинстве задач?
35. Получите законы движения рассмотренных задач аналитически.
36. Чем отличается процесс решения линейных дифференциальных уравнений от
нелинейных?
19
37. Каков смысл констант, входящих в закон движения? Поясните смысл различных
наборов постоянных в рассмотренных задачах.
38. Дайте полный анализ физического, качественного характера движения
рассмотренных систем при различных начальных условиях?
39. С какими типами движений Вы познакомились?
40. В чем состоит процесс линеаризации нелинейных уравнений движения, в каком
случае, и с какой целью он проводится?
41. Как инвариантные свойства уравнений движения связаны с постоянными в законе
движения?
42. Как, используя инвариантность, можно упростить запись закона движения? Дайте
анализ всех рассмотренных задач.
43. Что такое фазовое пространство и фазовые траектории?
44. Каким важным свойством и почему обладают фазовые траектории?
45. Какова структура фазового и расширенного фазового пространства в рассмотренных
задачах?
46. Что такое канонические переменные, в каких задачах они вводятся и зачем?
47. Что представляет собой функция Лагранжа, и какие механические системы не
являются лагранжевыми?
48. Каков «алгоритм» определения функции Лагранжа системы со связями?
49. Как определяется обобщенный импульс и как связаны законы сохранения
обобщенного импульса и энергии со свойствами функции Лагранжа?
50. Какие преобразования функции Лагранжа не меняют уравнений движения системы?
51. Сформулируйте принцип наименьшего действия Гамильтона. Что из него следует?
52. Как определяется функция Гамильтона механической системы, и для каких систем
она существует?
53. Что представляют собой канонические уравнения?
54. Как связаны свойства функции Гамильтона с законами сохранения импульса и
энергии?
55. В чем особенность фазовых координат «действие-угол»?
56. Что такое канонические преобразования фазовых координат, и каким условиям они
должны удовлетворять?
57. Что представляет собой уравнение Гамильтона-Якоби?
58. Что такое полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, и как, найдя этот интеграл,
можно найти закон движения системы?
59. Найдите закон движения в задачах 1, 3 - 8, используя метод Якоби-Гамильтона.
60. Что такое производящая функция канонического преобразования?
61. Как выглядят производящие функции движения, тождественного преобразования,
точечного преобразования и перехода к переменным «действие-угол»?
Цикл 1
Задачи
10. Гармонический осциллятор в среде с линейной вязкостью («Механика», §25).
11. Заряженная частица m, e на равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси
стержне в поле двух таких же по величине и знаку зарядов, закрепленных на
стержне симметрично относительно оси вращения на расстоянии a/2 от нее.
20
12. Заряженная частица m, e на вертикальной окружности радиуса R в поле
закрепленного в нижней точке окружности того же по величине и знаку заряда и в
поле тяжести g.
13. Частица m на вертикальной окружности радиуса R, равномерно вращающейся с
угловой частотой ω вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр, в поле
тяжести g.
14. Гармонический осциллятор
(«Механика», §22).
в
поле
вынуждающей
гармонической
силы
15. Гармонический осциллятор в поле вынуждающей гармонической силы и в среде с
линейной вязкостью («Механика», §26).
16. Частица m в бесконечно глубокой потенциальной яме с медленно движущейся
стенкой (адиабатический процесс, «Механика», §49).
17. Частица на наклонной плоскости с медленно меняющимся углом наклона. Найти
зависимость высоты подъема от угла наклона, используя адиабатический инвариант.
18. Плоский математический маятник с вертикально колеблющейся точкой подвеса
(«Механика», гл.1, зад.3 в), §30, зад. 1 к §30).
19. Плоский математический маятник с горизонтально колеблющейся точкой подвеса
(«Механика», гл.1, зад.3 б), §30, зад. 2 к §30).
21
Вопросы
1. Как выглядит уравнение движения гармонического осциллятора в среде?
2. Как использование масштабной инвариантности позволяет записать уравнение
движения, и как выглядит общее решение (закон движения)?
3. Что представляет собой закон движения осциллятора в среде при сильном затухании,
и как выглядят фазовые траектории в этом случае?
4. Каков закон движения гармонического осциллятора в среде при слабом затухании,
каковы фазовые траектории?
5. Что такое логарифмический декремент затухания, и по какому закону в среднем
рассеивается энергия гармонического осциллятора в среде?
6. Запишите функцию Лагранжа задачи 11 в общем и безразмерном виде. Поясните роль
и физический смысл безразмерного параметра.
7. Запишите уравнение движения задачи 11, следующее из уравнения Лагранжа.
8. Проведите полный анализ потенциальной энергии в задаче 11. Поясните характер
движения при различных значениях безразмерного параметра и различных начальных
условиях. Какой физический смысл имеет критическое значение безразмерного
параметра?
9. Как выглядят фазовые портреты задачи 11 при k < kcr и k > kcr?
10. Как определяется период нелинейных колебаний?
11. Определите частоты гармонических колебаний задачи 11 вблизи устойчивых
положений равновесия при различных значениях безразмерного параметра.
12. Запишите функцию Гамильтона и уравнения движения в форме канонических
уравнений задачи 11.
13. Запишите и решите уравнение Гамильтона-Якоби задачи 11, получив полный
интеграл и закон движения. Как выглядит закон движения в канонических
переменных?
14. Запишите функцию Лагранжа задачи 12 в общем и безразмерном виде. Поясните роль
и физический смысл безразмерного параметра.
15. Запишите уравнение движения задачи 12, следующее из уравнения Лагранжа.
16. Проведите полный анализ потенциальной энергии в задаче 12. Поясните характер
движения при различных значениях безразмерного параметра и различных начальных
условиях.
17. Как выглядят фазовые портреты задачи 12 при g < gcr и g > gcr?
18. Как определяется период нелинейных колебаний?
19. Определите частоты гармонических колебаний задачи 12 вблизи устойчивых
положений равновесия при различных значениях безразмерного параметра.
20. Запишите функцию Гамильтона и уравнения движения в форме канонических
уравнений задачи 12.
21. Запишите и решите уравнение Гамильтона-Якоби задачи 12, получив полный
интеграл и закон движения. Как выглядит закон движения в канонических
переменных?
22. Запишите функцию Лагранжа задачи 13 в общем и безразмерном виде. Поясните роль
и физический смысл безразмерного параметра.
23. Запишите уравнение движения задачи 13, следующее из уравнения Лагранжа.
22
24. Проведите полный анализ потенциальной энергии в задаче 13. Поясните характер
движения при различных значениях безразмерного параметра и различных начальных
условиях.
25. Как выглядят фазовые портреты задачи 13 при ω < ωcr и ω > ωcr?
26. Как определяется период нелинейных колебаний?
27. Определите частоты гармонических колебаний задачи 13 вблизи устойчивых
положений равновесия при различных значениях безразмерного параметра.
28. Запишите функцию Гамильтона и уравнения движения в форме канонических
уравнений задачи 13.
29. Запишите и решите уравнение Гамильтона-Якоби задачи 13, получив полный
интеграл и закон движения. Как выглядит закон движения в канонических
переменных?
30. Запишите функцию Лагранжа задачи 14 в общем и безразмерном виде. Поясните роль
и физический смысл безразмерного параметра.
31. Запишите уравнение движения задачи 14, следующее из уравнения Лагранжа.
32. Что называется резонансом, и какой характер носит движение задачи 14 вблизи
резонанса?
33. Поясните смысл перехода в колеблющуюся систему отсчета в задаче 14.
34. Запишите функцию Гамильтона и канонические уравнения задачи 14.
35. Запишите уравнения движения задачи 15, в общем, и безразмерном виде. Поясните
роль и физический смысл безразмерных параметров.
36. Поясните смысл перехода к комплексному виду уравнения движения.
37. Запишите закон движения задачи 15 в общем виде и поясните физический смысл
этого решения. Почему можно ограничиться частным решением неоднородного
уравнения, и зависит ли это решение от начальных условий движения?
38. Исследуйте зависимость амплитуды и сдвига фазы от безразмерных параметров. Как
ведет себя сдвиг фазы при слабом затухании вблизи резонанса?
39. Исследуйте скорость «перекачки» энергии в зависимости от безразмерных
параметров. Что такое дисперсионная кривая?
40. На какие поверхности расслаивается расширенное фазовое пространство осциллятора
в среде при наличии вынуждающей силы?
41. К какому выводу приводит анализ движения частицы в одномерной яме с медленно
меняющейся шириной?
42. Что такое адиабатический инвариант в общем случае? Является ли адиабатический
инвариант интегралом движения?
Цикл 2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Вопросы
Запишите функцию Лагранжа сферического маятника и проведите масштабирование.
Какие законы сохранения имеют место для сферического маятника?
Как записываются уравнения движения сферического маятника с учетом законов
сохранения, и что такое эффективная потенциальная энергия?
Дайте анализ характера движения сферического маятника при различных начальных
условиях движения (закон движения по углу θ и уравнение траектории).
При каких условиях имеют место малые колебания сферического маятника, и как
определяется частота малых колебаний?
Каковы условия замкнутости траектории сферического маятника?
Запишите функцию Гамильтона и канонические уравнения задачи о сферическом
маятнике.
23
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
Поясните структуру фазового пространства сферического маятника, и
проанализируйте его движение в переменных действие-угол.
Как записывается уравнение Гамильтона-Якоби для сферического маятника, и как
применяется метод отделения переменных для его решения?
Получите закон движения и уравнение траектории сферического маятника из
полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби.
Запишите функцию Лагранжа частицы в конусе, и проведите масштабирование.
Какие законы сохранения имеют место в этой задаче?
Как записываются уравнения движения частицы в конусе с учетом законов
сохранения, и какова эффективная потенциальная энергия в этой задаче?
Дайте анализ характера движения частицы в конусе при различных начальных
условиях движения (закон движения по расстоянию до вершины r и уравнение
траектории).
При каких условиях имеют место малые колебания частицы в конусе, и как
определяется частота малых колебаний?
Каковы условия замкнутости траектории частицы в конусе?
Запишите функцию Гамильтона и канонические уравнения задачи о частице в
конусе.
Поясните структуру фазового пространства частицы в конусе, и проанализируйте ее
движение в переменных действие-угол.
Как записывается уравнение Гамильтона-Якоби для частицы в конусе, и как
применяется метод отделения переменных для его решения?
Получите закон движения и уравнение траектории частицы в конусе из полного
интеграла уравнения Гамильтона-Якоби.
Запишите функцию Лагранжа маятника с подвижной точкой подвеса, и проведите
масштабирование.
Какие законы сохранения имеют место в этой задаче?
Как записываются уравнения движения маятника с подвижной точкой подвеса с
учетом законов сохранения в системе центра инерции?
Дайте анализ характера движения маятника с подвижной точкой подвеса при
различных начальных условиях движения (закон движения по φ и уравнение
траектории).
При каких условиях имеют место малые колебания маятника с подвижной точкой
подвеса, и как соотносятся частоты малых колебаний этого маятника с обычным
маятником (задача 7)?
Запишите функцию Гамильтона и канонические уравнения задачи о маятнике с
подвижной точкой подвеса.
Как записывается уравнение Гамильтона-Якоби для маятника с подвижной точкой
подвеса, и как применяется метод отделения переменных для его решения?
Получите закон движения и уравнение траектории маятника с подвижной точкой
подвеса из полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби.
Дайте определение и запишите функцию Лагранжа замкнутой системы 2 частиц.
Получите закон сохранения полного импульса в этой задаче, и дайте определение
системы отсчета центра масс.
Дайте определение и получите выражение для внутренней энергии и кинетической
энергии в целом замкнутой системы двух частиц.
Дайте определение приведенной массы.
Как изменяется радиус-вектор частицы при бесконечно малом повороте системы
координат?
24
34. Какой закон сохранения замкнутой системы двух частиц следует из изотропии
пространства, и как это доказывается?
35. Дайте определения и запишите выражения для собственного и орбитального
моментов импульса.
36. В какой форме может быть сформулирована задача двух тел с учетом имеющихся
законов сохранения, и как восстановить закон движения реальных частиц после
определения закона движения в центральном поле?
37. Каковы следствия закона сохранения момента импульса в отношении характера
движения частицы в центральном поле?
38. Как выглядит радиальный закон движения в центральном поле, и какими свойствами
может обладать радиальное движение?
39. Как выглядит траектория движения в центральном поле, каким общим свойством она
обладает, и при каких условиях траектория финитного движения замкнута?
40. Что представляет собой задача Кеплера?
41. Проведите масштабирование в задаче Кеплера, указав физический смысл масштабов
длины и времени.
42. Исследуйте эффективную потенциальную энергию этой задачи, определите точки
поворота, и дайте качественное описание характера движения при различных
энергиях.
43. Определите уравнение траектории в задаче Кеплера при различных энергиях.
44. Чему равен угол поворота траектории при инфинитном движении в задаче Кеплера?
45. Чему равен период вращения в задаче Кеплера?
46. Запишите функцию Гамильтона в задаче Кеплера в переменных «действие-угол» для
финитного движения. Найдите период вращения из этого выражения.
47. Что представляет собой процесс рассеяния, и что такое угол рассеяния и прицельное
расстояние?
48. Как зависит угол рассеяния от прицельного расстояния и энергии взаимодействия с
центром в общем случае центрального поля?
49. Какова эта зависимость в случае задачи Кеплера? Поясните смысл выбираемых в
этом случае масштабов.
50. Как экспериментально и теоретически определяется дифференциальное эффективное
сечение рассеяния?
51. Как зависит дифференциальное сечение от угла рассеяния в задаче Кеплера (формула
Резерфорда)?
52. Посчитайте сечение рассеяния двух твердых шариков диаметром a.
53. Какие интегралы движения имеют место в задаче о движении замкнутой системы N
частиц?
54. Запишите внутреннюю энергию и собственный момент замкнутой системы как
функции состояний частиц. Почему такая запись названа в тексте «инвариантной»?
55. Как можно построить лабораторную систему отсчета и масштабов для замкнутой
системы взаимодействующих частиц (пример гравитации)?
56. Опишите систему отсчета центра инерции в этой же задаче. Как выбираются
масштабы?
57. В чем состоят приближенные модели замкнутой системы N частиц?
58. Что такое твердое тело, и сколько степеней свободы имеет эта система (дайте
пояснения)?
59. Что представляют собой подвижная и неподвижная система координат в описании
твердого тела, и какие величины служат обобщенными координатами?
25
60. Как выражается скорость частицы твердого тела через поступательную и угловую
скорость, и какими свойствами обладают эти скорости в отношении к выбору начала
подвижной системы координат?
61. К чему сводится мгновенное перемещение твердого тела, и что такое мгновенная ось
вращения?
62. Как зависят внутренняя энергия и собственный момент импульса твердого тела от
состояний частиц, и какими свойствами обладают эти функции?
63. Как зависит внутренняя энергия от угловой скорости твердого тела, и что такое
тензор моментов инерции?
64. Что такое главные оси и главные моменты инерции твердого тела? Дайте
классификацию твердых тел по типам симметрии.
65. Как выражается собственный момент импульса твердого тела через угловую
скорость?
66. Как записывается функция Лагранжа твердого тела, и как выглядят уравнения
движения для поступательных степеней свободы твердого тела?
67. Что такое вектор момента сил, и как выглядят уравнения движения для
вращательных степеней свободы твердого тела?
68. Что представляют собой углы Эйлера?
69. Как выражаются компоненты угловой скорости твердого тела через углы Эйлера и
их производные по времени (опишите процесс), и как записывается функция
Лагранжа твердого тела в обобщенных координатах?
70. Как записываются уравнения Эйлера?
71. Опишите свободное движение ротатора и шарового волчка.
72. Опишите свободное вращение симметрического волчка.
73. Опишите качественно свободное вращение асимметрического волчка в терминах
углов Эйлера.
74. Дайте описание свободного вращения твердого тела по Пуансо.
75. Опишите движение свободного твердого тела с точки зрения подвижной системы.
76. Получите функцию Лагранжа и уравнения движения свободной частицы
относительно поступательно движущейся системы отсчета. Дайте пояснения.
77. Как записываются импульс и энергия свободной частицы относительно
поступательно движущегося наблюдателя? Что и в каком случае сохраняется?
78. Получите функцию Лагранжа и уравнения движения свободной частицы
относительно произвольно движущейся системы отсчета. Дайте пояснения.
79. Как записываются импульс и энергия свободной частицы относительно произвольно
движущегося наблюдателя? Что и в каком случае сохраняется?
80. Опишите процесс линеаризации системы с несколькими степенями свободы.
81. Как выглядит функция Лагранжа и уравнения движения многомерного
гармонического осциллятора?
82. Что такое главные координаты и собственные частоты осциллятора? Опишите, как
именно упрощается задача после перехода к главным координатам.
83. Что такое характеристическое уравнение?
84. Как определяется матрица преобразования от обычных смещений к нормальным
координатам, и как выглядит общее решение задачи о движении многомерного
гармонического осциллятора?
85. Решите задачу о продольных колебаниях молекулы.
86. Решите задачу о поперечных колебаниях молекулы.
87. Опишите лабораторную систему отсчета, в которой задаются начальные условия
колебаний молекулы.
88. Опишите систему центра инерции, в которой описываются колебания молекулы.
26
89. В чем состоят условия замыкания траекторий атомов (фигуры Лиссажу)?
90. Опишите фазовые траектории гармонического осциллятора, условия их замыкания.
91. Как выглядит функция Гамильтона многомерного гармонического осциллятора в
нормальных фазовых координатах и в переменных «действие-угол»? Дайте
комментарий.
92. Что такое ансамбль Гиббса? Сформулируйте теорему Лиувилля.
93. Опишите, что происходит в системе большого числа взаимодействующих частиц, и
что такое статистическое равновесие?
94. Что такое распределение Максвелла?
Цикл 3
Вопросы
1. Что такое макро частица?
2. Каким образом описываются свойства сплошной среды в целом?
3. Что называется тензором бесконечно малых поворотов и как выражается угол
бесконечно малого поворота через поле бесконечно малых смещений?
4. Что называется тензором бесконечно малых деформаций?
5. Как определяется деформация вещества в данной точке и направлении?
6. Как определяется изменение объема макро частицы?
7. Что называется деформацией сдвига, и какая часть тензора деформаций ей
соответствует?
8. На какие деформации можно разложить общую деформацию?
9. Как выглядит бесконечно малое смещение макро частицы в общем случае?
10. В чем отличие макро частицы от абсолютно твердого тела?
11. Что такое тензор скоростей деформаций?
12. Какой физический смысл ротора и дивергенции поля скоростей?
13. Какие уравнения, определяют твердотельную динамику макро частицы?
14. Какие силы называют объемными и поверхностными?
15. Что такое тензор напряжений?
16. Как вычисляется давление внутри сплошной среды?
17. Как определяются нормальные и касательные напряжения?
18. Как выглядит тензор напряжений в изотропной среде при отсутствии касательных
напряжений?
19. Как выглядит уравнение изменения импульса макро частицы для полевых функций
среды, и какие полевые функции в него входят?
20. К чему сводится уравнение изменения момента импульса макро частицы?
21. Что представляют собой термодинамические параметры вещества?
22. Что такое уравнения термодинамического состояния вещества?
23. Как получить уравнения термодинамического состояния вещества, зная внутреннюю
энергию или свободную энергию (изотропная среда при отсутствии касательных
напряжений)?
24. Как выглядит уравнение непрерывности в дифференциальной форме?
25. Как выглядит уравнение непрерывности в интегральной форме и каков его
физический смысл?
26. Как выглядит уравнение теплопроводности однородной и изотропной среды и откуда
оно следует?
27. Что представляет собой процесс диссипации энергии макро частицы, и от чего он
зависит?
28. Как выражается тензор вязких напряжений через тензор скоростей деформации?
Физический смысл этого соотношения.
27
29. Какие изменения вносит учет вязкости в динамические уравнения среды? Физический
смысл этих поправок.
30. Как выглядит уравнение баланса импульса среды? Физический смысл входящих в
уравнение слагаемых.
31. Как выглядит уравнение баланса энергии среды? Физический смысл входящих в
уравнение слагаемых.
32. Что представляет собой замкнутая система уравнений для полевых функций
идеальной жидкости?
33. Как выглядят уравнения баланса импульса и энергии идеальной жидкости?
34. Что такое интеграл Бернулли, и в каких условиях он имеет место?
35. Что такое изоэнтропическое течение?
36. Как выглядят уравнения Эйлера в условиях изоэнтропического течения?
37. Что такое циркуляция скорости?
38. Сформулируйте теорему Томсона о циркуляции скорости. В каких условиях она имеет
место?
39. Что такое потенциальное течение?
40. Какой интеграл имеют уравнения Эйлера в условиях потенциального течения?
41. Чем отличается интеграл уравнений Эйлера стационарного, потенциального течения
от интеграла Бернулли?
42. Как линеаризуются динамические уравнения идеальной жидкости вблизи равновесия,
и к какому уравнению это приводит?
43. Как выглядит решение волнового уравнения для плоской волны? Дайте пояснения.
44. Как связаны между собой поля скорости, давления и плотности в бегущей плоской
волне?
45. Что представляет собой спектральное разложение и решение в виде плоской,
монохроматической волны?
46. Как выглядит диаграмма распространения малого возмущения при сверхзвуковом
течении среды, и что такое число Маха и конус Маха?
47. Какие поверхности разрыва могут существовать в сплошной среде при сильно
неравновесных процессах?
48. Что представляет собой замкнутая система уравнений для полевых функций вязкой
жидкости?
49. Какие граничные условия используются при соприкосновении вязкой жидкости с
твердым телом?
50. Какова скорость диссипации энергии в вязкой жидкости?
51. Что такое число Рейнольдса и в чем состоит закон подобия?
52. Каковы отличия между турбулентным и ламинарным течениями вязкой жидкости?
Темы семинарских занятий
1 Семинар. Положение, импульс, энергия
2 Семинар. Связи. Силы реакции.
3 Семинар. Уравнения движения.
4 Семинар. Инвариантность.
5 Семинар. Закон движения.
6 Семинар. Фазовое пространство
7 Семинар. Функция Лагранжа. Уравнения Лагранжа.
8 Семинар. Функция Гамильтона. Канонические уравнения.
9 Семинар. Функция действие. Уравнение Гамильтона-Якоби.
10 Семинар. Гармонический осциллятор в среде с линейной вязкостью.
28
11 Семинар. Заряд на вращающемся стержне в поле двух других зарядов.
12 Семинар. Заряд на окружности в поле тяжести.
13 Семинар. Частица на вращающейся окружности в поле тяжести
14 Семинар. Гармонический осциллятор в поле гармонической вынуждающей силы
15 Семинар. Гармонический осциллятор в среде под действием гармонической
вынуждающей силы.
16 Семинар. Частица в яме с медленно движущейся стенкой (адиабатический инвариант)
17 Семинар. Частица на наклонной плоскости с медленно меняющимся углом наклона.
18 Семинар. Симметрия и законы сохранения.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Классические выражения для импульса p=mv и энергии E = mv2/2 свободной
частицы являются, вообще говоря, приближенными. В более точной модели,
именуемой релятивистская механика, эти выражения выглядят следующим
образом
p  mv
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1 v2 c2 ; E 
p 2c 2  m2c 4
.
Здесь c = 3·108 м/сек – скорость света. Если в системе отсчета наблюдателя
скорость частицы значительно меньше скорости света, то можно ограничиться
приближенными, классическими значениями импульса и энергии. Покажите это
самостоятельно.
Докажите, что уравнение движения q  f (q, q , t ) ковариантно относительно
преобразований вида t = t(Q,T); q = q(Q,T), где T – новое время, а Q – новая
координата.
Докажите, что уравнения движения, записанные в форме уравнений первого
порядка
q  f q (q, p, t ); p  f p (q, p, t )
обладают более широким классом ковариантных преобразований, чем уравнение
q  f (q, q , t ) . А именно, здесь можно независимо подвергать преобразованию, как
координату, так и импульс q = q(Q, P, t); p = p(Q,P,t).
Покажите, что уравнение движения в задаче о заряженной частице на окружности
инвариантно относительно отражения угла χ = φ + π.
Покажите, что при c → ∞ (thψ << 1) релятивистское соотношение, определяющее
связь между скоростями в различных инерциальных системах отсчета
v~  th
, превращается в классическое правило сложения скоростей, а
v ~
v th  1
преобразование Лоренца - в преобразование Галилея.
Выберем новую координату ~
x так, чтобы ее связь с прежней координатой x была
~
нелинейной x  f (x ) . Запишите уравнение движения свободной частицы в новой
системе координат. Поясните физический смысл проведенного преобразования.
Запишите закон движения свободной частицы, используя полную энергию
частицы E как одну из постоянных интегрирования. Масштабируйте это решение,
выбрав масштаб энергии [E] = 2E.
29
8. В задаче о движении частицы массы m в вязкой среде с коэффициентом трения α и
начальной энергией E0 характерным масштабом длины является величина
2mE0
[E]
. Какой физический смысл она имеет?
[ D]  [T ]

[M ]

9. Как выглядит закон движения частицы в поле тяжести, если в качестве
постоянных, определяемых начальными условиями, выбрать полную энергию и
момент времени, в который скорость равна нулю?
10. Покажите, что движение частицы в гармонически колеблющемся поле выглядит
как движение свободной частицы с точки зрения наблюдателя из колеблющейся
системы отсчета ~
x  x  cos t ; ~
p  p  sin t .
11. Известно, что изменение функции Лагранжа на полную производную по времени
произвольной функции координат и времени Φ(q,t) не меняет уравнений
движения. Для доказательства этого факта покажите, что выполняется тождество
d    d(q, t )     d(q, t ) 
 
  
 0.
dt  q  dt   q  dt 
12. Посчитайте значения действия в задачах: частица в поле тяжести, свободная
частица на окружности, частица на вращающемся стержне, гармонический
осциллятор и частица в гармонически меняющемся поле для истинных
траекторий, проходящих через заданные точки qA(tA=0) = 0; qB(tB=1) = 1
пространства событий q, t. Используйте для этого масштабированные функции
Лагранжа.
13. Функция Лагранжа свободной частицы в релятивистской механике имеет вид
Lrel  mc 2 1  v 2 / c 2 . Покажите, что a) при малых скоростях частицы v<<c эта
функция переходит в нерелятивистскую функцию Лагранжа, и b) выражение Lreldt
является инвариантным относительно преобразований Лоренца.
L
14. Посчитайте полную энергию по формуле E (q, q )  q
 L для следующих
q
систем: свободная частица на прямой, частица в поле тяжести, свободная частица
на окружности, свободная частица на вращающемся стержне, гармонический
осциллятор, плоский математический маятник, заряд на окружности, частица в
гармонически меняющемся поле.
15. Найдите функцию Гамильтона свободной релятивистской частицы. Покажите,
что в пределе бесконечной скорости света она имеет вид классической функции
Гамильтона.
16. Запишите уравнение Гамильтона-Якоби для свободной релятивистской частицы
на прямой x.
17. В задаче о частице в гармонически меняющемся поле переход в колеблющуюся
систему отсчета реализуется преобразованием
p2
p2
~ ~
x~
x  cos t ; p  ~
p  sin t; H 
 x cos t; H 
.
2
2
Докажите, что при этом выполняется условие каноничности новых переменных:
~
  pdq  Hdt    ~pdq~  Hdt


 ~ 
; q  ~ , покажите,
q
p
что производящей функцией тождественного канонического преобразования
p с точностью до аддитивной функции времени. Последняя
является   q~
18. Используя условие каноничности, записанного в виде p 
30
несущественна, так как ведет лишь к добавке функции времени к функции
Гамильтона. Ответьте на вопрос, каким условиям должны удовлетворять
преобразования, чтобы производящая функция зависела от переменных q, ~
p?
19. Добавление к функции Лагранжа полной производной по времени произвольной
df (q, t )
~
функции координат и времени L  L 
является каноническим
dt
преобразованием. Покажите, что при этом q~  q; ~
p  p  f q и найдите
производящую функцию этого преобразования в переменных q, ~
p.
20. При апериодическом затухании осциллятора в среде (λ > 1) решение уравнения
движения имеет вид линейной комбинации двух затухающих экспонент x = Ae-(λ-d)t
+ Be-(λ+d)t, где d  2  1 . Можно записать постоянные A и B в виде
A  Ce(  d )t0 ; B  Ce(  d )t0 .
(Предполагаем, что ни A ни B не равны нулю). Здесь C > 0 – новая постоянная,
которая (вместе со знаками ±) определяет исходное состояние осциллятора в
момент t = t0. Найдите связь этой постоянной с начальной энергией осциллятора.
21. Уравнения движения затухающего осциллятора в переменных «действие-угол»
имеют вид
J  4J sin 2 w; w  1   sin 2w .
В случае  > 1 скорость изменения угла обращается в ноль, когда угол достигает
значения w, где sin2w = 1/. Покажите, что в этой же точке обращается в ноль и
угловое ускорение, а также, что это предельное решение отвечает прямой линии p
= -( + d)x, где d  2  1 .
22. В задаче о заряде на окружности в поле тяжести и в поле закрепленного заряда
определите функцию Гамильтона системы;
запишите канонические уравнения движения;
запишите уравнение Гамильтона-Якоби;
найдите его полный интеграл;
найдите закон движения, используя полный интеграл уравнения ГамильтонаЯкоби.
23. В задаче о частице на вращающейся окружности в поле тяжести
-
определите функцию Гамильтона системы;
запишите канонические уравнения движения;
запишите уравнение Гамильтона-Якоби;
найдите его полный интеграл;
найдите закон движения, используя полный интеграл уравнения ГамильтонаЯкоби.
24. В задаче о сферическом маятнике решение уравнения Гамильтона-Якоби в
переменных действие-угол имеет вид S(wφ, wθ, t) = Jφwφ + Jθwθ – Et + const.
Получите закон движения в переменных действие-угол, учитывая, что
-
31
1
J   M z , J 
2
 max
 p d     2E  U
1
eff
( ) d
min
2
z
2
M
 cos .
2 sin 
25. Для частицы, движущейся по поверхности кругового конуса в поле тяжести
(конус расположен вертикально, вершиной вниз с углом раствора 2α)
 построить переменные «действие-угол»,
 записать условие замкнутости обычной и фазовой траектории,
 записать функцию Гамильтона и уравнения движения в форме канонических
уравнений,
 получить закон движения и уравнение траектории, найдя полный интеграл
уравнения Гамильтона-Якоби.
26. Для плоского математического маятника со свободной точкой подвеса на
горизонтальной оси
 найти функцию Гамильтона и записать уравнения движения в форме
канонических уравнений,
 записать и решить уравнение Гамильтона-Якоби и, получив полный интеграл,
найти закон движения и уравнение траектории.
27. Запишите уравнения движения замкнутой системы двух частиц, подставив
функцию Лагранжа в уравнения Лагранжа. Получите функцию Гамильтона и
запишите уравнения движения этой системы в форме канонических уравнений.
28. Запишите функцию Лагранжа задачи двух тел в переменных R (центр масс), V
(скорость центра масс); r (относительный радиус вектор частиц r1 – r2), v
(относительная скорость частиц v1 – v2). Запишите с ее помощью уравнения
движения. Получите функцию Гамильтона в переменных R, P (полный импульс);
r, p = mv и запишите уравнения движения в форме канонических уравнений.
29. Запишите уравнение Гамильтона-Якоби частицы в центральном поле. Найдите его
полный интеграл, и получите закон движения и уравнение траектории частицы из
полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби.
30. В единицах масштаба времени [T] = [S]3/[α]2[M] = M3/(mα2) частота вращения по
круговой орбите равна единице. Считая, что Земля вращается по круговой орбите,
определите, чему равна приведенная единица масштаба времени в обычных
единицах.
31. Покажите, что из выражения для функции Гамильтона, отвечающего финитному
движению в задаче Кеплера
1
.
H E
2
2J r  J  
следует, что частоты ωφ = dwφ/dt и ωr = dwr/dt совпадают (wφ, wr - углы,
канонически сопряженные действиям Jφ, Jr) и соответствующий период в том же
масштабе равен T = 2πab/M. Здесь M = Jφ - момент импульса,
и U eff ( ) 
a  1 /( e 2  1); b  1 / (e 2  1) - полуоси эллипса и e2 = 2E + 1 – эксцентриситет
орбиты.
32. Функция Лагранжа свободной частицы во вращающейся системе отсчета имеет
вид
L = mv2/2 + mv[Ωr] + m[Ωr]2/2
Покажите, что уравнения движения имеют вид
dv/dt = [rdΩ/dt] + 2[vΩ] + [Ω[rΩ]]
32
33. Если система отсчета K вращается относительно инерциальной системы отсчета
K0, то импульсы частицы равны в обеих системах p0 = mv0 = m(v + [Ωr]) = p.
Покажите, что с точки зрения вращающегося наблюдателя импульс частицы p
вращается со скоростью – Ω.
34. Покажите, что значение полной энергии свободной частицы в инерциальной
системе отсчета E0 = mv02/2 не совпадает с энергией в равномерно вращающейся
системе отсчета K.
35. Покажите, что из двух определений тензора бесконечно малого поворота χik =
u j 
1  u
 , где u – поле бесконечно малых смещений, следует
eilkdφl и  ij   i 
2  x j x i 
выражение dφ = rotu/2 для поля бесконечно малых углов поворота.
ТЕСТИРОВАНИЕ
ТЕСТЫ
1. Число степеней свободы частицы в поле тяжести
a. 1
b. 2
c. 3
2. Число колебательных степеней свободы молекулы из N атомов
a. 3N
b. 3N-3
c. N
d. 3N-6
3. Функция Лагранжа L  x 2 / 2  x есть функция Лагранжа
a. Свободной частицы
b. Частицы в ускоренной системе отсчета
c. Частицы в среде с линейной вязкостью
4. Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби свободной частицы имеет вид
a. S = ax + bxt + c
b. S = ax + bt + c
c. S = (ax + bt)x + c
5. У частицы в поле тяжести (ось z направлена вертикально) сохраняются
a. Энергия и полный импульс
b. Энергия и x, y-компоненты импульса
c. Момент мпульса и x, y-компоненты импульса
6. Частица с функцией Лагранжа L  x 2 / 2  x 4 совершает при всех начальных
условиях
a. Инфинитное движение
b. Гармонические колебания
c. Нелинейные колебания
7. Функция Гамильтона гармонического осциллятора имеет вид
a. H = p2/2 + x
b. H = p2/2 – x2
c. H = p2/2 + x2
8. Сила инерции, действующая на частицу массы m в системе отсчета, движущейся с
ускорением W, равна
33
a. mdW/dt
b. –mW
c. mW
d. -mW2/2
9. Число степеней свободы трех частиц, связанных стержнями, равно
a. 3
b. 2
c. 6
10. Внутренняя энергия системы взаимодействующих частиц зависит
a. От относительных скоростей частиц
b. От положения их центра масс
c. От внешнего поля
11. Круговой конус расположен вертикально в поле тяжести вершиной вниз. Частица,
движущаяся по внутренней поверхности конуса (трением пренебречь),
a. При некоторых начальных условиях упадет на вершину конуса
b. Упадет при всех начальных условиях
c. Не упадет ни при каких начальных условиях
12. Скорость диссипации энергии у гармонического осциллятора в среде при наличии
гармонической вынуждающей силы
a. Не зависит от частоты вынуждающей силы
b. Растет с ростом частоты вынуждающей силы
c. Падает с удалением частоты вынуждающей силы от собственной частоты
осциллятора
13. С уменьшением прицельного расстояния при рассеянии в кулоновском поле угол
рассеяния
a. Ведет себя не монотонно (убывает, затем возрастает)
b. Монотонно убывает
c. Монотонно возрастает
14. Уравнение движения плоского математического маятника (угол φ отсчитывается
от направления вниз) имеет вид
a. φ’’ = -sinφ
b. φ’’ = -φ
c. φ’’ = sinφ
15. Функция Гамильтона гармонического осциллятора с частотой ω после
канонического преобразования к переменным действие J угол w имеет вид
a. H = Jw
b. H = ωJ
c. H = J2/2
16. Частица в виде бусинки насажена на стержень и может двигаться без трения.
Стержень равномерно вращается около перпендикулярной ему оси. Сила реакции
со стороны стержня
a. Не действует на частицу
b. Компенсирует силу Кориолиса
c. Вызывает центробежное ускорение
17. Направление оси симметрии свободного симметрического волчка
a. Всегда остается неизменным в пространстве
b. Равномерно вращается вокруг направления момента импульса
c. Колеблется по отношению к направлению момента импульса
18. Энергия свободного симметрического волчка с заданными моментами инерции
a. Не зависит от момента импульса
34
b. Зависит от момента импульса
c. Зависит только от величины момента импульса
19. Амплитуда колебаний гармонического осциллятора пропорциональна
a. Энергии
b. Квадратному корню из энергии
c. Квадрату энергии
20. Действие свободной классической частицы с единичной массой на прямой x и на
интервале [(t=0,x=0); (t=1,x=1)] равно
a. ¾
b. ½
c. 1
21. Действие свободной релятивистской частицы с единичной массой на прямой x и
на интервале [(t=0,x=0); (t=1,x=1/2)] равно (скорость света равна 1)
a. -√¾
b. ½
c. -1
О
ТВЕТЫ НА ТЕСТЫ
Вопрос
Ответ
1
с
Вопрос
Ответ
12
c
2
d
13
b
3
a
14
a
4
b
15
b
5
b
16
b
17
b
6
c
18
b
7
c
19
b
20
b
8
b
9
b
10
a
11
a
21
a
ГЛОССАРИЙ
Ансамбль
Гиббса
Аддитивность
интегралов
движения
Апериодическое
затухание
Биения
Вариация
Внутренняя
энергия
Волчок
Совокупность одинаковых механических систем, находящихся в
разных состояниях.
Интегралы движения, значения которых для системы, состоящей
из отдельных частей, взаимодействием которых можно пренебречь,
равно сумме значений для каждой из частей в отдельности.
Движение, наблюдаемое при сильном трении и состоящее в
асимптотическом приближении к состоянию равновесия
Вынужденные колебания, наблюдаемые при приближении частоты
вынуждающей силы к собственной частоте системы. При биениях
амплитуда колеблется с частотой, равной разности частот
вынуждающей силы и собственных колебаний
Функция, определяющая малые отклонения некоторой наперед
заданной функции.
Энергия покоящейся как целое механической системы
Шаровой волчок – твердое тело с одинаковыми главными
моментами инерции, симметрический волчок – два из трех главных
момента совпадают, асимметрический волчок – общий случай
твердого тела с разными главными моментами инерции
35
Герполодия
Главные
колебания
Действие
Декремент
затухания
Диссипативная
функция
Задача
двух тел
Закон
инерции
Законы
Кеплера
Замкнутая
система
Замкнутые
траектории
Звуковое
поле
Изотропия
пространства
Инерциальная
система
отсчета
Интеграл
движения
Канонические
уравнения
Ковариантность
Линия
узлов
Мгновенная ось
вращения
Кривая, описываемая эллипсоидом инерции на неподвижной
плоскости
Колебания многомерного гармонического осциллятора,
совершающиеся с определенными частотами
1.Функционал траектории в пространстве событий, вычисляемый
как интеграл от функции Лагранжа системы по времени в
некоторых фиксированных пределах.
2.Функция положения и времени, вычисляемая вдоль истинной
траектории движения системы в пространстве событий.
3.Одна из канонических переменных, равная интегралу от
импульса по замкнутой траектории движения.
Логарифмическим декрементом затухания называют произведение
коэффициента затухания на период колебаний
Определяет интенсивность диссипации энергии в системе
Задача о движении замкнутой системы взаимодействующих частиц
В инерциальной системе отсчета всякое свободное движение
происходит с постоянной по величине и направлению скорости
1.Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых
находится Солнце.
2.За равные промежутки времени радиус-вектор планеты
описывает равные площади
3.Квадраты
времен
обращения
планет
по
орбитам
пропорциональны кубам их размеров
Система частиц, взаимодействующих только друг с другом, но ни с
какими посторонними телами
Траектории, формирующие замкнутые кривые
Поле, отвечающее гармоническим колебаниям среды около
состояния равновесия
Независимость уравнений движения системы от направления в
пространстве
Система отсчета, по отношению к которой свободная частица
движется равномерно и прямолинейно
Функция состояния, не изменяющая своего значения в процессе
движения системы
Форма записи уравнений движения механической системы,
описываемой функцией Гамильтона
Независимость формы записи уравнений от выбора переменных,
определяющих состояние или положение системы
Линия пересечения подвижной и неподвижной плоскостей XY при
описании ориентации твердого тела в пространстве
Если поступательная и угловая скорости твердого тела взаимно
перпендикулярны в некоторый момент времени, то всегда можно
выбрать такое начало подвижной системы координат, что
движение твердого тела в данный момент будет представлено как
чистое вращение вокруг оси, проходящей через это начало.
36
Момент
силы
Нормальные
колебания
Обобщенная
координата
Обобщенный
импульс
Однородное поле
Однородность
времени,
пространства
Осциллятор
Переменная
действия
Перигелий
Полный интеграл
Преобразования
Галилея
Прецессия
Производящая
функция
Резонанс
Ротатор
Связи
Секториальная
скорость
Собственная
частота
Степени свободы
Точка остановки
Угловая
переменная
Вектор, равный векторному произведению радиус-вектора частицы
твердого тела в подвижной системе координат на силу,
действующую на эту частицу
Колебания (так же именуемые главными), которые совершаются
многомерным гармоническим осциллятором с определенными
(собственными) частотами
Любая из полного набора величин, вполне характеризующих
положение системы
Производная функции Лагранжа системы по обобщенной скорости
Поле, во всех точках которого на частицу действует одна и та же
сила.
Не зависимость от времени уравнений движения. Обычно, так же,
независимость от времени функции Лагранжа системы. То же для
пространства – независимость от координаты (или всех координат)
Система, совершающая малые колебания
Интеграл по циклу изменения координаты от импульса.
Используется в качестве одной из канонических переменных в
гамильтоновой механике задач с ограниченным движением
Точка максимального сближения частицы с центром поля в задаче
Кеплера
Решение уравнения Гамильтона-Якоби, зависящее от постоянных,
число которых равно числу аргументов неизвестной функции
действия
Преобразования координат в классической механике при переходе
от одной системы отсчета к другой, движущейся равномерно и
прямолинейно относительно первой. В релятивистской механике
аналогичные преобразования называются преобразованиями
Лоренца
Вращение оси симметрии свободного симметрического волчка
относительно направления момента импульса
Функция канонических переменных из новой и прежней системы
фазовых координат, которая определяет преобразование
(каноническое) от одной системы координат к другой
Явление возрастания амплитуды гармонических колебаний с
приближением частоты вынуждающей силы к собственной частоте
колеблющейся системы
Твердое тело, все частицы которого расположены вдоль прямой
Ограничения на положения и/или скорости частиц системы,
фиксированные внешними условиями (физическими телами)
Скорость, с которой радиус-вектор частицы описывает площадь
Одна из частот колебаний многомерного гармонического
осциллятора
Число независимых координат, однозначно описывающих
положение механической системы
Точка, в которой скорость одномерной системы обращается в ноль
Одна из канонических переменных в описании движения
интегрируемой ограниченной системы.
37
Фаза
Фазовая траектория
Фазовое
пространство
Финитное
движение
Циклическая
координата
Циклическая
частота
Эксцентриситет
Эффективное
сечение
Аргумент гармонической функции в законе движения осциллятора
Траектория, вдоль которой изменяется состояние механической
системы
Область, заполненная всеми возможными фазовыми траекториями
механической системы
Движение, происходящее в ограниченной области пространства.
Если область движения не ограничена, то движение называют
инфинитным
Координата, от которой не зависит функция Лагранжа. Импульс,
отвечающий циклической координате, сохраняется
Частота гармонических колебаний
Безразмерный параметр траектории движения в задаче Кеплера
Отношение потока рассеянных частиц пучка к плотности потока
налетающих частиц в теории рассеяния