Кинематика макро частицы

Модуль 4. Сплошная среда
Основная литература
1. Ольховский И.И., Курс теоретической механики для физиков, Изд-во МГУ,
1974
2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, «Гидродинамика», Москва, «Наука», 1988
Макроскопическая динамика вещества, или механика сплошных сред строится
на основе описания вещества с помощью усредненных характеристик его
внутреннего состояния. Методы вычисления усредненных характеристик
вещества в состоянии статистического равновесия составляют содержание
статистической физики. Динамические уравнения механики сплошной среды
являются приближенными следствиями кинетической теории.
Любое вещество состоит из структурных элементов. Структурными элементами
являются участки вещества, внутренняя энергия которых существенно
превышает их энергию взаимодействия с окружающими участками. Другими
словами структурные элементы труднее расщепить, нежели отделить друг от
друга. В низкоэнергетических состояниях вещества это обычно молекулы и
атомы. Эти структурные элементы мы будем называть частицами.
Макро частицы и поля
Рассмотрим систему с большим числом частиц. Будем считать, что отдельные
участки этой системы находятся в состоянии статистического равновесия. При
этом не обязательно, чтобы в равновесии находилась вся система целиком.
Систему будем называть средой, равновесные участки – макро частицами
(такой участок называют еще представительным объемом).
Важно всегда иметь в виду, что макро частица состоит из большого числа
частиц (атомов, молекул). Единственное условие - макро частица находится в
состоянии статистического равновесия. Для выполнения этого условия в среде
должны отсутствовать большие градиенты термодинамических параметров и
слишком быстрые процессы изменения этих параметров.
Итак, среда состоит из непрерывной совокупности макро частиц. В масштабах
среды макро частица имеет физически бесконечно малую массу Δm, объем ΔV,
энергию ΔE, энтропию ΔS и другие характеристики, аддитивно зависящие от
числа частиц, из которых состоит макро частица. Такие характеристики будем
выделять символом Δ. Все средние характеристики макро частицы, не
зависящие от числа входящих в нее частиц, участвуют в определении ее
текущего состояния. Это положение центра масс макро частицы r, которое
называется положением макро частицы, скорость центра масс v – скорость
макро частицы, плотность массы ρ = Δm/ΔV, температура T и т.д.
Макро частица, таким образом, является однородным участком вещества. Все ее
средние характеристики неизменны на протяжении ее объема. Состояние среды
в целом описывается усредненными параметрами, заданными для всех макро
частиц. Так скорости макро частиц во всей среде задаются векторной функцией
v(r,t). Эта функция определяет скорость макро частицы, находящейся в момент
времени t в положении r. Такие функции принято называть полевыми, или
полями. Поля, описывающие состояние среды, могут быть скалярными. Это,
например, поле плотности ρ(r,t), поле температуры T(r,t). Поля могут быть
векторными. Это поле бесконечно малых смещений u(r,t) = dr макро частиц,
1
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
поле скоростей v(r,t). Поля могут быть также тензорными. Примерами являются
поле напряжений σik(r,t) и поле бесконечно малых деформаций εik(r,t), с
которыми мы познакомимся ниже.
В дальнейшем изложении макро частица будет играть роль основного
динамического объекта. Уравнения, описывающие динамику макро частицы,
записываются в виде уравнений для полевых функций, характеризующих
динамику вещества в целом.
(см. также неравновесная термодинамика)
Кинематика макро частицы
Начнем с описания бесконечно малого смещения макро частицы (рис. 1),
рассматривая ее не как точечный, а как протяженный объект.
Рис.1
Положение произвольной точки макро частицы описывается радиус-вектором r
= r0 + r’. Здесь r0 – радиус-вектор некоторой выделенной точки, например
центра масс, а r’ = r – r0 – радиус-вектор той же точки относительно центра
масс. Таким образом, бесконечно малое смещение dr складывается из смещения
центра масс dr0 и относительного смещения dr’: dr = dr0 + dr’.
В свою очередь относительное смещение dr’ можно разложить на поворот и
изменение длины вектора r’ (деформацию): dr’ = d(n|r’|) = |r’|dn + nd(|r’|).
Здесь n – единичный вектор, направленный вдоль r’.
При бесконечно малом повороте dn = [dφ n], где dφ - угол бесконечно малого
поворота. Поэтому dr’ = |r’|[dφ n] + nd(|r’|) = [dφ r’] + nd(|r’|). В тензорных
обозначениях то же соотношение имеет вид dxi’ = eilkdφlxk’ + nid(|r’|) (*).
Последнее слагаемое nid(|r’|), которое определяет бесконечно малую
деформацию макро частицы, можно представить в виде
n x dx
ni d r  ni d xk2  i k k .
r
 
Подставив в качестве dxk’ левую часть этого же выражения, получим
n x dx n x n d r
ni d r  i k k  i k k
r
r
(В скобках заметим, что последнее соотношение можно получить также
искусственным приемом, умножив левую часть nid|r’| на единицу,
представленную в виде 1 = x’knk/|r’|.)
Таким образом, полное смещение частицы dxi может быть записано в форме

d r 
 xk (1.0)
dxi  dxi 0   eilk d l  ni nk


r


2
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
В скобках стоит сумма двух тензоров – антисимметричного тензора бесконечно
малого поворота χik = eilkdφl и симметричного тензора бесконечно малой
деформации εik = ninkd(|r’|)/|r’|.
Получим выражения этих тензоров через производные поля бесконечно малых
смещений dr = u(r,t).
Разложим это поле вблизи центра масс макро частицы r0 по степеням r’ = r - r0 ,
где |r’| = |r - r0| порядка размеров макро частицы. С точностью до первого
порядка малости каждую компоненту ui (i = 1, 2, 3) векторной функции u можно
записать в виде:
 u 
 u 
ui (r, t )  ui (r0 , t )   i  (r  r0 )  ui (r0 , t )   i  ( x j  x0 j )
 x 
 r 0
 j 0
Или
 u 
(1.1)
u i (r, t )  u i (r0 , t )   i  x j
 x 
j

0
Как и в формуле (1.0) 1-ое слагаемое в правой части (1.1) описывает бесконечно
малое поступательное смещение макро частицы в целом – смещение ее центра
u
масс. Второе слагаемое dxi  i xj - относительное перемещение частиц, из
x j
которых состоит макро частица.
Коэффициенты линейной формы ∂ui/∂xj в правой части (1.1) образуют тензор
второго ранга. Как любой тензор 2-ого ранга ∂ui/∂xj можно представить в виде
суммы симметричного и кососимметрического тензора
ui 1  ui u j  1  ui u j 




(1.2)
x j 2  x j xi  2  x j xi 
Сравнивая это представление и формулу (1.1) с (1.0), легко увидеть, что
симметричная часть является тензором бесконечно малых деформаций
1  u u 
(1.3.1)
 ij   i  j 
2  x j xi 
а кососимметрический тензор - тензором бесконечно малых вращений
u j 
1  u

(1.3.2)
 ij   i 
2  x j x i 
Самостоятельно покажите, что из сравнения двух определений тензора
вращений следует, что dφ = rotu/2. Другими словами, наличие вращений
определяется ротором поля бесконечно малых смещений u(r,t).
Из определения тензора бесконечно малых деформаций εik = ninkd(|r’|)/|r’|
следует, что свертка тензора εn = εijninj с направлением n вектора r’ равна
относительному бесконечно малому изменению расстояния d(|r’|)/|r’| между
частицами среды в этом направлении (посчитайте самостоятельно)
εijninj = d(|r’|)/|r’|
(1.4)
Таким образом, имея тензор деформаций εij(r,t) в каждой точке r среды и любой
момент времени t, можно посчитать любую бесконечно малую деформацию
εn(r,t) в среде.
Деформация макро частицы может сопровождаться изменением ее объема.
Выразим это изменение через тензор деформаций.
3
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
Так как макро частица мала, то ее форма может быть произвольной.
Предположим, что она имеет форму прямоугольного параллелепипеда со
сторонами x1’, x2’, x3’. Тогда объем макро частицы равен ΔV = x1’x2’x3’, а
относительное изменение объема
d (V ) d ( x1x2 x3 ) dx1 dx2 dx3




V
x1x2 x3
x1
x2
x3
dx
(k ) (k )
Согласно (1.4) k   ij ni n j ,
xk
(k)
где n - единичный вектор k-ой оси. У этого вектора отлична от нуля лишь k–ая
dxk
компонента, которая равна единице. Поэтому
  kk - k-ая диагональная
xk
компонента тензора деформаций.
Итак, относительное бесконечно малое изменение объема макро частицы равно
сумме диагональных компонент тензора бесконечно малых деформаций, то есть
следу тензора деформаций εij
d (V )
  11   22   33   ii  Trace( ij )  Spur ( ij ) .
(1.5)
V
Если след εij равен нулю, то деформация не приводит к изменению объема в
данной точке среды. Деформация, не приводящая к изменению объема среды,
называется сдвигом.
В тензоре εij можно выделить ту его часть, которая определяет сдвиг
1

 1
(1.6)
 ij    ij   ij ll    ij ll
3

 3
В записанном равенстве в круглых скобках стоит тензор, след которого равен
нулю. Действительно
1
1
 kk   kk  ll   kk   3   ll  0 .
3
3
Последнее слагаемое в (1.6) δijεll/3 представляет собой диагональный тензор с
одинаковыми компонентами εll/3 на диагонали. Такой тензор определяет одну и
ту же деформацию во всех трех направлениях. Поэтому он отвечает
равномерному сжатию (εll < 0) или расширению (εll > 0) вещества.
Соотношение (1,6) говорит о том, что любая деформация может быть
разложена на сдвиг и равномерное сжатие (расширение). Сдвигу отвечает
тензор деформации с нулевым следом, или девиатор. Равномерной деформации
отвечает диагональный тензор деформации δijεll/3 с одинаковыми
диагональными компонентами, называемый шаровым.
Вернемся теперь к общему соотношению (1.1) и перепишем его в виде
ui(r,t) = ui(r0,t) + χijxj’ + εijxj’.
(1.7)
Первые два слагаемых в (1.7) определяют поступательное ui(r0,t) и
вращательное χijxj’ смещения макро частицы, характерные для абсолютно
твердого тела. Последнее слагаемое εijxj’ описывает деформацию и отличает
макро частицу от абсолютно твердого тела. Наличие деформаций приводит к
специфическим отличиям динамических уравнений макро частицы от
уравнений движения абсолютно твердого тела, так как в движении начинают
участвовать дополнительные внутренние степени свободы, связанные с
относительным перемещением частиц.
Разделив (1.7) на бесконечно малый промежуток времени, получим выражение
для скорости макро частицы v ≡ u/dt:
4
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
(1.8)
vi  V0i  [Ωr ]i  vik x k
Здесь V0 - поступательная скорость макро частицы (скорость центра масс), Ω 1  v v 
угловая скорость вращения, а vik   i  k  так называемый тензор
2  xk xi 
скоростей деформаций.
Так как vi(r,t) - поле скоростей среды, то ∂vi/∂xk - градиент этого поля.
Следовательно, тензор скоростей деформаций есть симметричная часть
градиента поля скоростей. Кососимметричной частью градиента поля
1  v v 
скоростей является тензор  i  k  . Он определяет угловую скорость
2  xk xi 
вращения макро частицы так, что (покажите!)
Ω = rotv/2.
(1.9)
Другими словами, ротор поля скоростей описывает угловую скорость
вращения макро частицы, находящейся в данной точке среды.
Учитывая определение vik и соотношение (1.5), получим
1 d (V )

 v ii  divv .
V
dt
То есть след тензора скоростей деформаций в каждой точке среды определяет
скорость относительного изменения объема макро частицы, находящейся в этой
точке. Дивергенция («расхождение») поля скоростей описывает скорость
относительного расширения (vii > 0) или сжатия (vii < 0) среды в данной точке.
Вопросы для самоконтроля
1. Что такое макро частица?
2. Каким образом описываются свойства сплошной среды в целом?
3. Что называется тензором бесконечно малых поворотов и как выражается
угол бесконечно малого поворота через поле бесконечно малых смещений?
4. Что называется тензором бесконечно малых деформаций?
5. Как определяется деформация вещества в данной точке и направлении?
6. Как определяется изменение объема макро частицы?
7. Что называется деформацией сдвига, и какая часть тензора деформаций ей
соответствует?
8. На какие деформации можно разложить общую деформацию?
9. Как выглядит бесконечно малое смещение макро частицы в общем случае?
10. В чем отличие макро частицы от абсолютно твердого тела?
11. Что такое тензор скоростей деформаций?
12. Какой физический смысл ротора и дивергенции поля скоростей?
Динамика макро частицы как твердого тела
Предыдущий раздел показывает, что макро частица, как и абсолютно твердое
тело обладает поступательными и вращательными степеням свободы. Поэтому
динамика твердотельных степеней свободы макро частицы должна описываться
теми же уравнениями, что и динамика абсолютно твердого тела. А именно,
поступательным степеням свободы должно отвечать уравнение изменения
импульса макро частицы
dΔP/dt = ΔF
(2.1)
а вращательным степеням свободы - уравнение изменения момента импульса
dΔS/dt = ΔK
(2.2)
5
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
Уравнение изменения импульса макро частицы
Рассмотрим вначале уравнение (2.1).
Импульс макро частицы можно записать в виде ΔP = Δmv, где Δm - масса макро
частицы, остающаяся постоянной в процессе ее движения, а v - скорость центра
масс макро частицы, или просто скорость макро частицы, если не учитывать ее
размеров.
Силы, действующие на макро частицу, во-первых, обязаны своим
существованием внешним полям (например, полю тяжести) и обычно
пропорциональны массе макро частицы ΔFV = Δmg. Здесь ΔFV так называемая
объемная сила, a g - массовая плотность объемных сил (ускорение свободного
падения в случае поля тяжести).
Во-вторых, на макро частицу воздействуют также окружающие участки
вещества. Это воздействие определяется взаимодействием частиц вещества.
Оно играет основную роль в процессе установления теплового равновесия в
среде. В обычных условиях силы взаимодействия между частицами
короткодействующие, то есть каждая частица «ощущает» лишь влияние
ближайшего окружения. Воздействие от далекого окружения либо экранируется
(при кулоновском взаимодействии), либо быстро убывает с расстоянием (при
диполь-дипольном взаимодействии). Этот факт позволяет учитывать влияние
взаимодействия частиц лишь в поверхностном слое макро частицы.
Соответствующий вклад в силу, действующую на макро частицу, можно
записать в виде суммы элементарных сил dFf, действующих на поверхность Δf:
F S   dF f
f
Сила ΔF называется поверхностной. Интеграл, стоящий в последнем
выражении, зависит не только от действующих сил, но и от геометрии
поверхности Δf. Будем считать, что вся поверхность Δf состоит из небольших
плоских участков площадью df, каждый из которых имеет некоторую
ориентацию в пространстве, и nf – единичный вектор внешней нормали к нему.
Тогда можно ввести ориентированный элемент поверхности df - вектор, по величине равный площади df, а по направлению совпадающий с вектором nf.
S
Рис. 2
Элементарная сила dFi , действующая на площадку df, пропорциональна
величине площадки:
dF f
dFi f  i df
df
Площадь df можно записать как скалярное произведение ориентированного
элемента поверхности df и единичного вектора этой ориентации df = nfdf. Или, в
тензорных обозначениях, df = njfdfj. Поэтому вектор элементарной силы dF
f
6
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
является линейной однородной функцией другого вектора – ориентированного
элемента поверхности df:
dFi f f
dF f
n df  i n jf df j
df
df
dF f
Коэффициенты этой линейной зависимости  ij  i n jf образуют матрицу
df
тензора напряжений.
Как видно, тензор напряжений определяет поверхностную силу, действующую
в веществе на единицу площади поверхности. При этом он несет в себе
информацию как о самой элементарной силе dF, так и о площадке df и ее
ориентации nf.
Имея тензор напряжений, можно вычислять давления сил, действующих в
произвольных направлениях внутри вещества. Если n - единичный вектор
некоторого направления в веществе, то давление на вещество, находящееся
«под» поверхностью df = ndf площадки, ориентированной в направлении n,
равно по определению отношению элементарной силы, действующей в
направлении, противоположном n, к величине площадки df:
dFfn
p
df
С другой стороны согласно определению тензора напряжений для площадки,
ориентированной вдоль n
dF f
 ij  i n j
df
Следовательно,
dFi f
dFi f
 ij n j 
njnj 
df
df
Давление можно записать в форме
dFi f
dFnf
p

ni .
df
df
Заменив dFif/df на σijnj согласно предыдущему равенству, получим
dF f
p  n   ij ni n j
df
Это проекция тензора напряжений на направление n с обратным знаком.
Диагональные компоненты тензора напряжений представляют собой проекции
тензора напряжений на координатные оси. Действительно, если n (ij ) - j-ая
dFi f 
компонента i-ой координатной оси, то n (ji )   ij . Поэтому проекция тензора
напряжений  n ( i ) на эту ось равна:
 n   jk n(ji ) nk(i )   jk (i ) j (i ) k   (i )(i )
(i )
(Здесь по i суммирование отсутствует!).
Диагональные компоненты тензора
нормальных составляющих сил.
напряжений
описывают
действие
7
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
Недиагональные компоненты σij описывают действие касательных
составляющих сил. Ведь j-ая компонента поверхностной силы dF j f лежит в
плоскости, перпендикулярной ориентации площадки dfi, если j ≠ i.
Если в среде вообще не возникает касательных напряжений и среда изотропная,
то тензор напряжений σij диагональный для всех направлений и его
диагональные компоненты равны давлению с обратным знаком. То есть, σij = pδij.
Итак, поверхностные силы, действующие на макро частицу, могут быть записаны в виде
Fi S    ij df j .
f
Переходя в этом интеграле к интегрированию по объему макро частицы ΔV,
получим
 ij
Fi S  
dV
x j
V
Пренебрегая размерами частицы, то есть, считая функцию ∂σij/∂xj постоянной во
всем объеме макро частицы, придем к окончательному выражению
 ij
Fi S 
V
x j
Таким образом, уравнение изменения импульса макро частицы (2.1) можно
переписать в виде:
 ij
dv
m i  mg i 
V
dt
x j
Деля обе части уравнения на ΔV и учитывая, что Δm/ΔV = ρ(r,t) - плотность
вещества в точке, где находится макро частица, получим
 ij
dv
 i 
 g i . (2.3)
dt
x j
Физический смысл основного динамического уравнения макро частицы (2.3)
В рассматриваемой модели состояние каждой макро частицы среды,
находящейся в точке r в момент времени t, зависит от трех физических
характеристик – плотности вещества ρ = ρ(r,t), скорости макро частицы vi =
vi(r,t) и напряжений σij = σij(r,t). Число макро частиц бесконечно и распределены
они непрерывным, континуальным образом в пространстве. Координаты r
играют роль индексов, нумерующих макро частицы и пробегающих
континуальное множество значений, в отличие от систем с конечным (или
счетным) числом степеней свободы. Отсюда термин «сплошная среда».
Функции координат образуют непрерывные поля – скалярные (как плотность),
векторные (как скорость), тензорные (как напряжения).
Производная любого поля по координатам (например, тензора напряжений в
правой части (2.3)) определяет изменение этого поля при переходе от одной
макро частицы к другой. Частная производная поля по времени определяет
изменение этого поля в данной фиксированной точке пространства. Уравнения
(2.3) представляют собой 3 уравнения в частных производных для полевых
функций. Полная производная полевой функции по времени определяет
изменение данного поля с учетом перемещения макро частицы. В частности,
производная dvi/dt определяет ускорение макро частицы. Она содержит в себе
8
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
изменение поля скорости в данной точке пространства (частная производная по
времени) и изменение поля скорости за счет различия в скоростях у макро
частиц, находящихся в разных точках пространства
d i  i


 j i
dt
t
x j
Если плотность и напряжения заданы в каждой точке и в каждый момент
времени, то уравнение (2.3) определяет зависимость векторного поля скоростей
от времени для всех макро частиц, или во всех точках пространства. Начальным
условием может служить, например, поле скоростей во всех точках среды в
некоторый начальный момент времени. Однако обычно плотность и/или
напряжения зависят от состояния движения среды. В этом случае требуются
дополнительные уравнения для описания динамики среды.
Уравнение изменения момента импульса макро частицы
Рассмотрим уравнение изменения момента импульса макро частицы (2.2).
Проекции момента импульса макро частицы на подвижные оси имеют вид:
Si  I ij  j
Компоненты тензора моментов инерции
I ij 
 m ( x 
2
a
l
ij
 xi xj )
a
Здесь суммирование проводится по всем частицам (атомам, молекулам), из
которых состоит макро частица. Мы видим, что моменты инерции являются
величинами пятого порядка малости по размерам макро частицы (масса, как и
объем макро частицы, является величиной третьей степени малости по ее
размерам). Поэтому их объемная или массовая плотность пропорциональны
квадрату линейных размеров макро частицы, и исчезают при переходе к
пределу точечной макро частицы.
Момент объемных сил
K V   ma [ra g]
a
равен нулю, полагая постоянной напряженность поля g в объеме макро частицы
(начало координат находится в центре масс  ma ra  0 ).
a
Момент поверхностных сил
K iS   [r dF f ]  eikl  xk  lj df j 
i
 eikl

V
 ( x k  lj )
x j

 lj 
dV
dV  eikl    kj  lj  x k



x
j 
V 
состоит из двух слагаемых.
Первое слагаемое с точностью до членов четвертого порядка по размерам макро
частицы можно записать в виде
eikl   lk dV  eikl lk V
V
9
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
 lk
dV равна нулю, считая

x
j
V
постоянной в объеме макро частицы объемную плотность поверхностных сил
 lk
(сравните с оценкой момента объемных сил).
x j
Следовательно, уравнение изменения момента импульса (2.2), записанное в
расчете на единицу объема, имеет вид
eikl σkl = 0
(2.4)
Так как eikl - кососимметрический тензор, то уравнения (2.4) означают, что
тензор напряжений - симметричный тензор. И это единственный вывод,
который можно сделать из уравнения изменения момента импульса макро
частицы.
Итак, динамические уравнения макро частицы, отвечающие твердотельным
степеням свободы - поступательному движению и вращению, сводятся
фактически к трем независимым уравнениям (2.3). В них входят в общем случае
10 неизвестных полевых функций. Это плотность ρ(r,t), 3 компоненты поля
скоростей vi(r,t) и 6 независимых компонент симметричного тензора
напряжений σij(r,t). Для получения дополнительных уравнений необходимо
рассмотреть динамику внутренних степеней свободы макро частицы, связанных
с деформацией.
Объемная плотность второго слагаемого eikl  xk
Вопросы для самоконтроля
Какие уравнения, определяют твердотельную динамику макро частицы?
Какие силы называют объемными и поверхностными?
Что такое тензор напряжений?
Как вычисляется давление внутри сплошной среды?
Как определяются нормальные и касательные напряжения?
Как выглядит тензор напряжений в изотропной среде при отсутствии
касательных напряжений?
7. Как выглядит уравнение изменения импульса макро частицы для полевых
функций среды, и какие полевые функции в него входят?
8. К чему сводится уравнение изменения момента импульса макро частицы?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Динамика внутренних степеней свободы макро
частицы
Последовательное построение модели, позволяющей вычислять средние
характеристики макро частицы, проводится в рамках статистической физики и
физической кинетики. В частности, динамические уравнения, полученные ниже,
следуют из так называемого кинетического уравнения. (См. Е.М. Лифшиц, Л.П.
Питаевский, «Физическая кинетика», §§ 1-8.)
Статистическая физика утверждает, что внутреннее состояние макро частицы,
находящейся по определению в статистическом равновесии (см.
заключительный раздел предыдущего модуля), может быть описано некоторым
набором,
так
называемых,
термодинамических
параметров.
Термодинамическими параметрами являются плотность вещества ρ, тензор
напряжений σij, тензор деформаций uij, температура T, энтропия ΔS.
Температура макро частицы характеризует, грубо говоря, среднюю
кинетическую энергию частиц (атомов, молекул), а энтропия — логарифм
числа микроскопических состояний этих частиц (то есть их возможных
10
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
положений и значений скорости), реализующих одно и то же (или очень
близкое к ней) значение внутренней энергии макро частицы. Энтропия в
отличие от температуры является параметром, аддитивным по числу
структурных элементов. Таким же свойством обладают масса, объем,
внутренняя энергия макро частицы. Обычно используют плотность энтропии
либо на единицу массы вещества s = ΔS/Δm, либо на единицу объема S = ΔS/ΔV.
Тензор конечных (но малых) деформаций uij связан с тензором бесконечно
малых деформаций соотношением εij = duij.
Уравнения термодинамического состояния
Законы статистической физики утверждают, что между термодинамическими
параметрами существуют соотношения, конкретные для каждого типа среды.
Эти соотношения называются уравнениями термодинамического состояния
вещества. Примером может служить уравнение Клайперона pΔV = kΔNT уравнение термодинамического состояния идеального газа. Здесь k постоянная Больцмана, связывающая единицы измерения температуры
(градусы) с единицами измерения энергии (например, Джоули), ΔN - число
молекул (атомов) газа в макро частице газа объемом ΔV. Другой пример
уравнения термодинамического состояния σik = λiklmulm – αik(T – T0) – закон Гука
для идеально-упругой среды. Здесь λiklm – тензор модулей упругости, αik – тензор
модулей термоупругости, а T0 – температура в равновесии.
Термодинамика учит, что уравнения термодинамического состояния вещества
получаются, если известна одна из функций термодинамических параметров –
один из так называемых термодинамических потенциалов (или
характеристических функций). Получение термодинамических потенциалов
вещества является одной из основных задач статистической физики. Примером
термодинамического потенциала может служить внутренняя энергия вещества
как функция тензора деформации и энтропии.
Как мы знаем, внутренняя энергия механической системы состоит из
потенциальной энергии и кинетической энергии относительного движения.
Заметим, что кинетическая энергия вращения макро частицы Tвр = ½ΔIikΩiΩk,,
являющаяся частью ее внутренней энергии, имеет пятый порядок малости по
размерам макро частицы из-за входящего в нее тензора моментов инерции и в
дальнейшем не учитывается.
При взаимодействии с окружением энергия макро частицы меняется. При
бесконечно малом изменении энтропии d(ΔS) макро частицы ее внутренняя
энергия ΔEint меняется на величину d(ΔEint) = Td(ΔS). Это изменение касается
относительного движения частиц и называется теплом. (Заметим, что
записанное соотношение можно рассматривать как определение температуры –
энтропия зависит от энергии, и ее производная по энергии есть обратная
температура, параграф «Температура» в курсе «Статистическая физика».)
Теплоперенос может осуществляться разными путями, например, за счет
контакта с соседней макро частицей, обладающей другой температурой. Ниже
мы рассмотрим соответствующее уравнение переноса тепловой энергии.
Другим источником изменения энергии макро частицы является работа,
совершаемая внешними силами. Часть этой работы может идти на изменение
потенциальной энергии макро частицы во внешнем поле, часть – может
превратиться в тепло или деформировать макро частицу. В частности, часть
11
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
работы внешних сил изменяет лишь кинетическую энергию центра масс макро
частицы.
Изменение полной энергии ΔEtot за счет работы внешних сил имеет вид
d (Etot )  ui Fi  ui (FiV  Fi S ) (3.0).
Смещение ui состоит, как мы видели, из смещения центра масс частицы u0i и
внутренних перемещений структурных элементов друг относительно друга.
Ускоренное смещение центра масс определяет изменение лишь кинетической
энергии центра масс частицы d(ΔEcm) = u0iΔFi. Динамика изменений энергии
центра масс макро частицы содержится в уравнении движения (2.3),
полученном в предыдущем разделе. Покажите самостоятельно, что
соотношение d(ΔEcm) = u0iΔFi и уравнения (2.3) эквивалентны.
Внутренние перемещения складываются из поворотов χijxj’ и деформаций εijxj’.
Именно они определяют изменение внутренней энергии за счет работы внешних
сил
d (Eint )   ma  ij xja   ij xja g i    ij xj   ij xj  ik df k
f
a
В правой части соотношения содержатся слагаемые разных порядков по
размерам макро частицы. Работа массовых сил по деформации и повороту
макро частицы 5-ого порядка, а в работе поверхностных сил есть как слагаемые
третьего, так и пятого порядка. Вот последовательность вычислений
 (  ij xj   ij xj ) ik
dV 
f ( ij xj   ij xj ) ik df k  V
xk



V


  ij ik 
xk
  ij ik 
xj dV 
  ij ik
V
xj dV    ij ik

xj
xk
dV 
xj
dV
xk
xk
V
1-ое и 3-ье слагаемые в этом выражении имеют пятый порядок малости по
x j
размерам макро частицы. Второе слагаемое равно нулю. Ведь
  jk , а
x k
свертка по всем компонентам кососимметричного тензора поворотов χij с
симметричным тензором напряжений σij равна нулю (посчитайте
самостоятельно). Остается последнее слагаемое, которое с точностью до членов
четвертого порядка по размерам макро частицы имеет вид
  ij ik jk dV   ij ij V
V
V
Таким образом, изменение внутренней энергии макро частицы работой внешних
сил равно
d(ΔEint) = σijεijΔV = ΔVσijduij.
Деформации меняют расстояния между частицами внутри макро частицы и тем
самым меняют их энергию взаимодействия.
Суммируя сказанное, изменение внутренней энергии макро частицы можно
записать в виде
d(ΔEint) = Td(ΔS) + σijduijΔV (3.1’)
Деля обе части равенства на Δm - массу макро частицы и обозначая массовую
плотность внутренней энергии как e ≡ ΔEint/Δm, запишем
de = Tds + σikduik/ρ
(3.1’’)
12
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
Как, зная внутреннюю энергию, получить уравнения термодинамического
состояния?
Из (3.1’’) следует, что
 e 
T     T ( s, uik )
 s  u ik
(3.2)
 e 
   ik (  ; s, uik )
 ik   

u
 ik  s
Итак, если известна функция e = e(s,uik), то могут быть найдены соотношения
(3.2), которые и являются уравнениями термодинамического состояния
вещества (см. также Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, «Статистическая физика»,
часть 1, §§ 12-15).
Например, если в изотропном веществе отсутствуют касательные напряжения и
тем самым σik = -pδik, то
σikduikΔV = - pδikεikΔV = - pεiiΔV = - pd(ΔV)
В этом случае d(ΔE) = Td(ΔS) – pd(ΔV), а для единицы массы среды имеем
de = Tds – pd(1/ρ)
(3.1’’’)
Соответствующие уравнения термодинамического состояния принимают вид
 e 
T     T ( s,  )
 s  
 e 
  p ( s,  )
p  
  (1 /  )  s
Другие термодинамические потенциалы
Кроме внутренней энергии в термодинамике есть другие термодинамические
потенциалы.
Выражение (3.1’) для дифференциала внутренней энергии макро частицы
можно переписать в виде
d(ΔEint – TΔS) = -ΔSd(T) + σijduijΔV
Для этого, как видно, достаточно вычесть из обеих частей полный
дифференциал произведения температуры на энтропию. В правой части
полученного выражения стоит дифференциал функции, где независимыми
переменными является температура T и тензор деформации uij. Эта функция
ΔF(T, uij), которую называют свободной энергией Гельмгольца (или, кратко,
свободной энергией), связана с внутренней энергией простым соотношением
ΔF(T, uij) = ΔEint – TΔS
Разделив обе части выражения для дифференциала свободной энергии на массу
макро частицы Δm и обозначив f = ΔF/Δm , получим
df = -sdT + σij/ρ duij
Отсюда следует, что если в качестве термодинамического потенциала задана
свободная энергия как функция температуры и деформаций, то уравнения
термодинамического состояния вещества могут быть получены из
соотношений
13
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
 f 
s  
  s (T , uik )
 T  u ik
 f 
   ik (  ; T , uik )
 ik   
 uik T
В частности, для изотропной среды, в которой отсутствуют касательные
напряжения и где, следовательно, тензор напряжений имеет вид шарового
тензора σij = - p δij
df = -sdT - p d(1/ρ)
 f 
s
  s(T ,  )
 T  
 f 
  p(T ,  )
p  
  (1 /  ) T
Еще один термодинамический потенциал ΔW, так называемая энтальпия, или
тепловая функция, зависит от энтропии и напряжений в среде. В случае
изотропной среды и при отсутствии касательных напряжений дифференциал
массовой плотности энтальпии w получается из дифференциала внутренней
энергии (3.1’’’) добавлением полного дифференциала отношения давления к
плотности
dw = d(e + p/ρ) = Tds + 1/ρ dp
Отсюда также можно записать уравнения термодинамического состояния в
форме
 w 
T     T ( s, p )
 s  p
 w 
  1 /     ( s, p)
 p  s
Зная любой термодинамический потенциал, можно получить уравнение
термодинамического состояния.
Например, статистическая физика в случае идеального газа приводит к
следующему выражению для свободной энергии макро частицы
ΔF(T,ΔV) = - k ΔN T ln(ΔVf(T)/ΔN),
где f(T) - некоторая функция температуры.
Отсюда уравнения термодинамического состояния имеют вид
ΔS = -∂(∆F)/∂T = kΔN [ln(ΔVf(T)/ΔN) +Tf’(T)/f(T)];
p = -∂(∆F)/∂(∆V) = kΔNT/ΔV.
Последнее соотношение есть упомянутое выше уравнение Клайперона.
Итак, уравнения термодинамического состояния, которые в механике
сплошной среды предполагаются заданными, связывают между собой
термодинамические параметры вещества в каждой точке вещества и в
каждый момент времени независимо.
Уравнение непрерывности массы
Термодинамические параметры в общем случае могут зависеть от того, где
находится макро частица, и момента времени (нестационарный процесс). Эти
зависимости обусловлены взаимодействием макро частиц между собой и их
перемещением. Взаимодействие макро частиц приводит к изменению их
14
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
внутренних энергий и аргументов внутренней энергии - термодинамических
параметров ΔV (или, в общем случае, uik) и ΔS.
Согласно результатам первого раздела имеет место соотношение
1 d (V )

 divv
V
dt
Деля числитель и знаменатель левой части на Δm и учитывая, что масса макро
частицы постоянна, получим
d
(3.3)
 divv  0
dt
Уравнение (3.3) называется уравнением непрерывности. Оно содержит две
полевые функции ρ(r,t) и v(r,t) и является уравнением в частных производных.
Уравнение непрерывности можно записать в другой форме, если выразить
d (r, t ) 


v
полную производную dρ/dt через частные производные
.
dt
t
r
v
Учитывая, что divv   i , получим уравнение непрерывности в виде:
xi


(3.4)

( v i )  0
t xi
Если вещество можно считать несжимаемым, то есть d(ΔV) = 0, то уравнение
непрерывности имеет вид:
div v = 0
(3.5)
Наконец, если выделить некоторый конечный объем пространства V,
заполненный веществом, и проинтегрировать (3.4) по этому объему, то получим

dV    div ( v)dV    vdf ,
t V
V
f
или

dV    vdf
t V
f
(3.6)
Соотношение (3.6) означает, что изменение массы вещества, заключенной в
объеме V, в единицу времени равно потоку массы внутрь этого объема через
окружающую его поверхность. Знак минус указывает на то, что поток
направлен внутрь, то есть против внешней нормали. Величина ρv есть
плотность потока массы, то есть масса, протекающая в единицу времени через
единицу поверхности; ρvdf - поток массы через элементарную площадку df.
Соотношение (3.6) есть уравнение непрерывности, записанное в интегральной
форме.
Уравнение теплопроводности
Теперь рассмотрим уравнение, описывающее динамику изменения энтропии
частицы.
Изменение энтропии в единицу времени, умноженное на температуру есть
изменение внутренней энергии макро частицы за счет теплового потока внутрь
d (S )
   qdf .
частицы. Поэтому, если q - плотность теплового потока, то T
dt
f
По теореме Гаусса:
 qdf
f
  divqdV .
V
15
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
Учитывая малые размеры макро частицы, имеем
 divqdV  divq  V .
V
Подставляя этот результат в выражение для теплового потока, получим
Td(ΔS)/dt = -divqΔV.
Деля обе части на ΔV, получим
q
ds
(3.7)
T   i .
dt
xi
Плотность потока тепловой энергии q зависит от разности температур между
макро частицей и окружением, то есть от градиента температурного поля ∂T/∂xi.
Если этот градиент не очень велик, то функцию q = q(∂T/∂xi) можно разложить в
ряд Тейлора вблизи точки ∂T/∂xi = 0, ограничившись первыми неисчезающими
членами разложения.
Имеем
 T
 
 T 
T

q k  q k 
 0   q k 

 ... .
 xi
 
 xi  T 0 xi
xi
При отсутствии градиента температуры тепловой поток не возникнет, поэтому
1-ые неисчезающие члены линейны по ∂T/∂xi. Обозначая коэффициенты при
первых производных

 T 

ik   qk 
,
(3.8)
 xi  T xk 0

T
получим q k  ik
- так называемый закон Фурье, установленный
xi
экспериментально. Знак минус в этом соотношении подчеркивает тот факт, что
вектор плотности теплового потока направлен против градиента температуры.
Подставляя выражение для qi в правую часть (3.7), получим для однородной
среды
ds
 2T
T
 ik
(3.9)
dt
xi x k
Тензор ik , определенный (3.8), называется тензором теплопроводности. В
физической кинетике доказывается, что тензор теплопроводности образует
положительно определенную симметрическую матрицу. В случае изотропной
среды, то есть среды, в которой все направления равноправны, тензор является
шаровым и имеет вид ik   ik , где  - коэффициент теплопроводности. В
этом случае уравнение (3.9), называемое уравнением теплопроводности,
ds
 2T
принимает вид T
  2 , или
dt
xi
 s

 (v  grads )  T (3.10)
 t

Если воспользоваться одним из уравнений термодинамического состояния (3.2)
и выразить энтропию s через тензор деформаций uik и температуру T, то
уравнение теплопроводности будет содержать три полевых функции плотность ρ(r,t), температуру T(r,t) и тензор деформаций uik(r,t).
T 
16
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
Замкнутая система динамических уравнений
Полученные уравнения - уравнение изменения импульса макро частицы (2.3),
уравнение непрерывности (3.3), уравнение теплопроводности (3.9) и уравнения
термодинамического (3.2) состояния представляют собой замкнутую систему
уравнений для полевых функций ρ, T, v, s, σik, uik, характеризующих
динамическое состояние вещества в каждой его точке. Посчитайте число
уравнений и неизвестных функций.
Вязкость
Теперь учтем взаимодействие «внешних» степеней свободы макро частицы с
«внутренними». Такое взаимодействие переносит энергию с небольшого числа
«внешних» степеней свободы на бесконечное число «внутренних», распыляя ее
практически безвозвратно. Это явление носит название вязкости, или трения.
В процессе трения внутренняя энергия макро частицы растет за счет
относительного движения макро частиц. Другими словами этот рост имеет
место лишь в том случае, если отлична от нуля разность скоростей макро
частицы и окружающего вещества, а, следовательно, отличен от нуля градиент
скорости ∂vi/∂xk в точке, где находится частица. Важен, правда, не весь
градиент, а лишь его симметрическая часть. Ведь кососимметрическая часть
1  vi v k   ik


градиента скорости равна
, где χik - тензор бесконечно

2  x k xi  dt
малых поворотов. Этот тензор определяет вращение макро частицы как
абсолютно твердого тела, а не ее движение относительно окружения.
Симметрическая часть тензора ∂vi/∂xk есть тензор скоростей деформаций
1  v v 
vik   i  k  .
2  xk xi 
Таким образом, рост внутренней энергии макро частицы в процессе трения
должен определяться некоторой функцией тензора скоростей деформаций
~
~
d (E )
 2V  f (vik ) . Функция f (vik ) называется диссипативной функцией
dt
единицы объема вещества. Она определяет диссипацию, то есть необратимое
рассеяние энергии «внешних» степеней свободы макро частицы на
«внутренних».
Разделив обе части записанного соотношения на массу частицы Δm, получим:
~
de

 2 f (vik )
(3.11)
dt
где e - внутренняя энергия единицы массы вещества.
Диссипация энергии «внешних» степеней свободы ощущается как проявление
некоторых напряжений, действующих на макро частицу при ее движении в
среде, то есть некоторых сил трения. Из (3.11) можно определить тензор
напряжений, соответствующий этим силам, - тензор вязких напряжений σ’ik.
Для этого надо воспользоваться соотношением (3.1), учтя, что изменение
энергии (3.11) определяется работой сил трения и поэтому ds в (3.1) необходимо
положить равным нулю, а σik, равным σ’ik. Тогда получим
~
(3.12)
 ik vik  2 f (vik )
Соотношение (3.12) и определяет тензор вязких напряжений через
диссипативную функцию.
17
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
Обычно градиенты скорости частиц сравнительно малы и диссипативную
функцию раскладывают в ряд вблизи точки vik = 0, оставляя первые
неисчезающие члены разложения. Производя такое разложение, получим:
~
~
 f 
~
~
1  2 f 




f (vik )  f (0)  
 vik  2  v v  vik vlm  ...

v
 ik  0
 ik lm  0
~
Нулевой член разложения f (0) равен нулю, так как при отсутствии
относительного движения частиц диссипация не возникает. Первый член
разложения тоже равен нулю, но по иной причине. Дело в том, что поскольку
диссипация необратима, то внутренняя энергия может в этом процессе только
возрастать. Поэтому согласно (3.11) диссипативная функция может быть только
положительна. Но в приближении, линейном по vik, ее знак зависел бы от знака
vik.
~
Следовательно, коэффициенты первого приближения f (vik ) должны равняться
нулю. Остается принять, что первым неисчезающим приближением, является 2ое приближение, имеющее вид квадратичной формы (положительно
определенной) тензора скоростей деформации:
~
1
f (vik )   iklm vik vlm
(3.13)
2
~
 2 f 
 - тензор вязкости.
Здесь  iklm  

 vik vlm  0
Тензор вязкости симметричен по перестановкам i ↔ k, l ↔ m ik ↔ lm. Эта
симметрия приводит к тому, что в самом общем случае у тензора ηiklm 21
независимая компонента (покажите самостоятельно.)
В простейшем случае изотропной среды компоненты тензора вязкости могут
быть выражены всего через две независимые постоянные. Этот факт
объясняется тем, что имеется всего два независимых тензора 4-ого ранга,
скомбинированных из единичных тензоров и обладающих свойствами
симметрии, такими же, как ηiklm. Это δikδlm и δ(ilδkm) = (δilδkm + δimδkl)/2. Поэтому в
изотропном случае можно записать тензор вязкости в виде ηiklm = Aδikδlm +
Bδ(ilδkm), где A и B – некоторые коэффициенты, характеризующие вязкость в
изотропном случае.
Согласно (3.12) и (3.13) тензор вязких напряжений принимает вид
σ’ik = ηiklmvlm
(3.14)
В изотропном случае σ’ik = Aδikvll + Bvik.
Раскладывая в правой части vik на шаровой и девиатор, получим
σ’ik = B(vik –δikvll/3) + (A + B/3)δikvll
Обозначим η ≡ B/2, ξ ≡ A + B/3. Тогда
σ’ik = 2η(vik – δikvll/3) + ξ δikvll
(3.15)
Коэффициенты η и ξ называются соответственно 1-ой и 2-ой вязкостями. Так
как девиатор vik – δikvll/3 характеризует скорость деформации сдвига, то 1-ая
вязкость η влияет на вязкие напряжения σ’ik при сдвиге, а 2-ая, соответственно,
при всестороннем сжатии/растяжении. Обычно ξ << η.
Учет вязких напряжений вносит определенные коррективы в выписанные выше
уравнения динамики макро частицы. Во-первых, тензор σ’ik должен быть
добавлен к тензору обычных напряжений σik в уравнении изменения импульса
макро частицы (2.3). Во-вторых, работа сил трения σ’ikduik изменяет
внутреннюю энергию макро частицы, приводя к росту энтропии. Поэтому к
18
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
правой части уравнения теплопроводности (3.7), (3.9), (3.10) должно быть
добавлено слагаемое, определяющее мощность вязких сил трения σ’ik vik = σ’ik
∂vi/∂xk.
Вопросы для самоконтроля
1. Что представляют собой термодинамические параметры вещества?
2. Что такое уравнения термодинамического состояния вещества?
3. Как получить уравнения термодинамического состояния вещества, зная
внутреннюю энергию или свободную энергию (изотропная среда при
отсутствии касательных напряжений)?
4. Как выглядит уравнение непрерывности в дифференциальной форме?
5. Как выглядит уравнение непрерывности в интегральной форме и каков его
физический смысл?
6. Как выглядит уравнение теплопроводности однородной и изотропной среды
и откуда оно следует?
7. Что представляет собой процесс диссипации энергии макро частицы, и от
чего он зависит?
8. Как выражается тензор вязких напряжений через тензор скоростей
деформации? Физический смысл этого соотношения.
9. Какие изменения вносит учет вязкости в динамические уравнения среды?
Физический смысл этих поправок.
Явления переноса и континуальные уравнения
сохранения
Динамические уравнения изменения импульса (2.3) и теплопроводности (3.10)
могут быть представлены в форме уравнений баланса, или переноса импульса и
энергии вещества. Другими словами, эти уравнения могут быть представлены в
форме уравнений непрерывности.
Уравнение баланса импульса
  v i 
 ik

(4.1).
t
xk
Уравнение баланса энергии
  v2



  v 2

 e   div  v  e   vσ   vσ   T  (4.2).
t  2


  2

Здесь тензор плотности потока импульса Πik = ρvivk – σik – σ’ik. Выражения (vσ) и
(vσ’) имеют смысл векторов, которые являются свертками вектора скорости с
тензором тепловых и вязких напряжений, т.е. (vσ)i = vkσik и (vσ’)i = vkσ’ik.. Это
мощности поверхностных сил на единицу поверхности, вызванных тепловыми и
вязкими напряжениями. В случае изотропной среды, где σij = -pδij, имеем vkσik =
-pvi. Стоящие в левой части уравнений (4.1), (4.2) частные производные по
времени описывают изменения в единицу времени объемной плотности
импульса и, соответственно, энергии среды в каждой данной точке
пространства.
Интегрируя уравнение баланса импульса (4.1) по некоторому замкнутому
объему V и преобразуя интеграл от дивергенции к поверхностному интегралу,
получаем

vi dV    ik df k   vi vk   ik   ik df k .
t V
19
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
Отсюда видно, что изменение в единицу времени импульса вещества внутри
заданного объема

vi dV
t V
определяется потоком частиц, переносящих импульс через границу объема
  vi vk df k , и поверхностными силами тепловых   ik df k и вязких   ik df k
напряжений. Если границей среды является вакуум, то скорость и напряжения
на границе равны нулю. Тогда интеграл в правой части уравнения баланса
импульса равен нулю, откуда следует закон сохранения импульса среды в
целом, как замкнутой системы.
Интегрируя уравнение баланса энергии (4.2) по некоторому замкнутому объему
V и преобразуя интеграл от дивергенции к поверхностному интегралу, получаем
  v2



  v 2











e
dV



v

e

vσ

v
σ


T

df .


 2

t V  2


 

Т.о. изменение в единицу времени энергии внутри заданного объема

  v 2

 e dV

t V  2

определяется потоком частиц, переносящих энергию через границу объема
 v2

  v  e df ,
2

 vσ df   v σ
 vσdf   v σ  df
мощностью поверхностных сил тепловых
формулу (3.0)) и вязких напряжений
тепловым потоком
 Tdf
i
i
ik
ik
df k (см. в связи с этим
k
на границе объема и
через эту границу. По той же причине, что и в
уравнении баланса импульса, на границе среды с вакуумом поток энергии
отсутствует, поэтому полная энергия сохраняется.
Приведем формальное доказательство формул (4.1), (4.2) (см. также
«Гидродинамика» §§6, 7, 49).
Запишем уравнение изменения импульса макро частицы (2.3) при отсутствии
внешнего поля, но при наличии вязких напряжений
d (mvi )
  ik   ik 
 V
dt
xk
Раскроем полную производную в левой части
d mvi  d Vvi  dV
d  vi 


vi  V
.
dt
dt
dt
dt

d vi 
vk vi 
vi 

 V  vi divv 


V

v


v
i
k

,
dt 

x

t

x

k
k 

и соберем производные по координатам
 vi  vi vk 
d mvi 
 V 


dt

t
xk 

Приравняв правые части двух выражений для полной производной импульса
макро частицы по времени, перенеся все производные по координатам в правую
часть и разделив обе части на объем ΔV, получим уравнение (4.1).
20
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
Проделаем аналогичные выкладки для расчета энергетического баланса. Для
этого
1. Выразим полную производную по времени от полной энергии макро
частицы через частные производные
 d  Vv 2

d  mv 2

 me   
 Ve  
dt  2
 dt  2

 v 2


d  v 2

 e   V 
 e  
dt  2
 2


2
2


v  v
d  v
 V i 
 e   V 
 e  
xi  2
dt  2



dV
dt
 v  v 2
   v 2


  v 2

 V  i 
 e   
 e   vi
 e 
xi  2
 t  2


 xi  2
После группировки частных производных по координатам получим

d  mv 2

 me  
dt  2


    v2
 
   v 2


  (4.3).
 V  
 e  

v

e
 i

 xi   2
 
 t  2

2. Ту же производную по времени выразим через правые части уравнений
изменения импульса (2.3) и теплопроводности (3.7) при отсутствии
внешнего поля, но при наличии вязких напряжений, применяя при этом
выражение для полного дифференциала внутренней энергии (3.1)

dv
d  mv 2
de

 me   mvi i  m 
dt  2
dt
dt

  ik   ik 
du
ds
 Vvi
 mT  V ik ik 
xk
dt
dt
  ik   ik 

 V vi
 T    ik vik   ik vik 
xk


v
Так как  ik vik   ik i то, собирая члены с частными производными по
xk
координатам, получим

v    ik   T 
d  mv 2

 me   V i ik
(4.4)
dt  2
xk

Остается приравнять правые части полученных соотношений (4.3) и (4.4),
разделить их на ΔV и перенести производные по координатам в правую
часть, чтобы получить уравнение баланса энергии (4.2).
Заметим, что если среда находится во внешнем потенциальном поле с
потенциалом U, то массовая сила, действующая на макро частицу равна –
Δm∂U/∂xi, а потенциальная энергия макро частицы равна ΔmU. В этом
случае уравнение энергетического баланса (4.2) принимает вид
  v2



  v 2

 U  e   div  v  U  e   vσ   vσ   T  .
t  2


  2

21
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
Вопросы для самоконтроля.
1. Как выглядит уравнение баланса импульса среды? Физический смысл
входящих в уравнение слагаемых.
2. Как выглядит уравнение баланса энергии среды? Физический смысл
входящих в уравнение слагаемых.
Течения в идеальной жидкости
Модель сплошной изотропной среды, в которой в состоянии покоя отсутствуют
касательные напряжения, называется жидкостью. В жидкости тензор тепловых
напряжений является шаровым тензором, имеющим вид σik = -pδik, где p –
давление (см. в связи с этим раздел 2 предыдущей темы).
В идеальной жидкости пренебрегают вязкостью и теплопроводностью.
Полная система динамических уравнений идеальной жидкости состоит из тех
же уравнений, которые были рассмотрены в разделах 2, 3. Однако выглядят эти
уравнения проще.
1. Уравнение непрерывности массы (3.3) - (3.6), описывающее сохранение
вещества, остается в том же виде.
2. Уравнение изменения импульса (2.3) становится проще из-за отсутствия
касательных напряжений. Теперь оно называется уравнением Эйлера
dv
1
  gradp  g . (5.1)
dt

3. Уравнение теплопроводности (3.7) имеет совсем простой вид
ds
 0 (5.2)
dt
4. Уравнение термодинамического состояния вещества жидкости должно
определять зависимость энтропии от давления и плотности
s = s(ρ, p) (5.3).
Форма (4.1) уравнения баланса импульса остается прежней, однако тензор
плотности потока импульса идеальной жидкости равен Πik = ρvivk + pδik.
В уравнении баланса энергии (4.2) в случае идеальной жидкости отсутствуют в
правой части слагаемые, учитывающие вязкость и теплопроводность, а
поверхностная плотность мощности тепловых напряжений имеет вид
σikvk = -p δik vk = -pvi.
Считая жидкость тяжелой, получим уравнение баланса энергии в идеальной
жидкости
  v2


  v 2

 e  gz   div  v  gz  w  (5.4).
t  2


  2
Энтальпия единицы массы w(s, p) идеальной жидкости связаны с внутренней
энергией простым соотношением w = e + p/ρ и ее полный дифференциал имеет
вид
dw = Tds + 1/ρ dp (5.5)
Гидростатика
Условием механического равновесия макро частицы является равенство нулю
суммарной силы. Если это равенство соблюдается для всех макро частиц, то вся
среда пребывает в состоянии механического равновесия. В этом случае поля
давления, плотности и массовых сил, согласно уравнению Эйлера (5.1) должны
удовлетворять соотношению gradp = ρg. Это уравнение гидростатики.
22
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
Ряд простых задач на механическое равновесие идеальной жидкости и газа
представлен в курсе Ольховского И.И., в параграфе «Уравнения движения
идеальной жидкости». Там же описаны примеры «Закон Архимеда» и
«Равномерно вращающаяся несжимаемая жидкость», которые необходимо
изучить. Так же необходимо изучить §3 «Гидродинамики».
Интеграл Бернулли
В стационарных условиях течения идеальной жидкости левая часть уравнения
баланса энергии (5.4) равна нулю. Правую часть можно записать в виде
  v2

div  v  gz  w  

  2
 v2

 v2

 div v   gz  w   vgrad   gz  w  .
2

2

Уравнение непрерывности в форме (3.4) показывает, что при стационарной
плотности ∂ρ/∂t = 0 первое слагаемое в правой части этого выражения равно
нулю. Следовательно, уравнение баланса энергии сводится к условию равенства
нулю скалярного произведения (v grad(v2/2 + gz + w)) = 0.
В стационарных условиях траектория макро частицы идеальной жидкости
совпадает с линией тока. В каждой точке линии тока вектор скорости направлен
по касательной к ней. В условиях стационарного течения идеальной жидкости,
как мы видим, градиент функции v2/2 + gz + w везде нормален к вектору
скорости. Следовательно, сумма
v2/2 + gz + w = const (5.6)
остается неизменной вдоль линии тока.
Соотношение (5.6) называется законом Бернулли и является интегралом
динамических уравнений стационарного течения идеальной жидкости. На
самом деле уравнение Бернулли представляет бесконечное число независимых
интегралов движения, так как постоянные, стоящие в правой части (5.6), для
каждой макро частицы свои и определяются начальными условиями движения
этой макро частицы.
Изоэнтропическое течение
Уравнение теплопроводности в виде (5.2) называется условием адиабатичности
течения идеальной жидкости. Это условие эквивалентно бесконечному числу
интегралов движения. Ведь решение s(p,ρ) = const уравнения (5.2) имеет место
независимо для каждой траектории макро частицы.
Уравнение (5.2), как и в случае баланса массы, можно записать в форме
уравнения непрерывности. Действительно, энтропия макро частицы ΔS = sΔm =
ρsΔV. Из (5.2) следует, что dΔS/dt = 0. Это означает, что энтропия макро
частицы идеальной жидкости не изменяется со временем, то есть остается
постоянной вдоль траектории каждой макро частицы. С другой стороны
dS d Vs  d V 
d s 


s  V

dt
dt
dt
dt
 v s 
d s 
s 

 V  sdivv 
 V  s i 
 vi


dt 
t
xi 

 xi
23
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
 s  svi 
 V 


xi 
 t
Отсюда имеем «уравнение непрерывности» для энтропии
  s 
 div  sv   0
t
В интегральной форме

sdV    vsdf
t V
f
это уравнение означает, что изменение энтропии любого объема V идеальной
жидкости в единицу времени (левая часть уравнения) обеспечивается потоком
вещества, несущем на себе энтропию, через окружающую объем поверхность f
(правая часть уравнения).
Пусть, к примеру, все макро частицы жидкости имеют одинаковую энтропию
в некоторый начальный момент времени. Т.к. энтропия каждой макро частицы
идеальной жидкости не меняется со временем, то энтропия будет оставаться
неизменной для всей жидкости в целом s = const. При этом постоянная
одинакова везде в жидкости, для всех траекторий. Такое течение называется
изоэнтропическим.
Уравнение Эйлера (5.1) в условиях изоэнтропического течения может быть
записано в несколько иной форме. Неизменность энтропии упрощает
выражение (5.5) для дифференциала тепловой функции. Теперь для всей
жидкости dw = 1/ρ dp. Это означает, что стоящее в правой части уравнения
Эйлера слагаемое 1/ρ gradp является градиентом энтальпии
dv/dt = -gradw + g (5.1 изоэнтроп.).
Мы знаем, что в стационарных условиях уравнение Эйлера имеет интеграл
Бернулли (5.6). В условиях изоэнтропического течения несжимаемой жидкости
этот интеграл выглядит особенно просто
v2/2 + p/ρ + gz = const
Для иллюстрации применения этого уравнения изучите пример на получение
формулы Торричелли в параграфе «Основные теоремы динамики идеальной
жидкости» учебника Ольховского И.И.
Потенциальное течение
При отсутствии внешнего поля (или его потенциальности g = -gradU) векторное
поле, стоящее в правой части уравнения Эйлера изоэнтропического течения
идеальной жидкости, является потенциальным. Оно выражается градиентом
скалярной функции. Используем это в следующих расчетах.
Рассмотрим две близкие макро частицы с разностью радиус-векторов, равной
δr. Найдем скорость изменения произведения (vδr) со временем при движении
макро частиц
d(v δr)/dt = dv/dt δr + v d(δr)/dt = dv/dt δr + v δ(dr/dt) =
= dv/dt δr + v δv = dv/dt δr + δ(v2/2).
Заменим ускорение dv/dt правой частью уравнения (5.1 изоэнтроп.).
d(v δr)/dt = grad(-w – gz ) δr + δ(v2/2) = δ(-w – gz +v2/2).
Здесь ось z направлена вертикально вверх, поэтому gz = -g .
Взяв от обеих частей интеграл по замкнутому контуру, состоящему из макро
частиц, получим
24
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
d
dt
 vr      w  gz  v / 2  0 .
2
Интеграл
   v r
называется циркуляцией поля скоростей по замкнутому контуру.
Т.о. доказано утверждение о том, что циркуляция поля скоростей Γ по жидкому
контуру при изоэнтропическом течении идеальной жидкости остается
неизменной. Это теорема Томсона (лорда Кельвина).
По известной из векторного анализа теореме Стокса интеграл по замкнутому
контуру векторного поля равен интегралу по поверхности, опирающейся на этот
контур, от ротора поля. Циркуляцию поля скорости т.о. можно записать в виде
   vr   rotvdf .
Функцию rotv называют завихренностью поля скоростей. Она, как мы видели
(1.9), равна удвоенной угловой скорости вращения макро частицы. Если
граничные условия движения таковы, что частицы жидкости не вращаются
(например, на бесконечности потока жидкости можно считать v = const), то
значение rotv = 0 должно оставаться таким во всех точках изоэнтропического
потока идеальной жидкости. Такое движение жидкости называется
потенциальным.
Поле скоростей потенциального течения можно представить градиентом
скалярной функции v = gradφ, φ – потенциал поля скоростей и уравнение
Эйлера значительно упрощается. Запишем вначале равенство, являющееся
следствием формул векторного анализа
dv v
v 1 2

 v v 
 v  vrotv  .
dt t
t 2
Это левая часть уравнения Эйлера. При потенциальном течении последнее
слагаемое в правой части равно нулю, второе является градиентом половины
квадрата скорости, а первое градиентом функции ∂φ/∂t. В правой части
уравнения (5.1 изоэнтроп.) также находится градиент. Перенося все слагаемые в
левую часть, получаем уравнение Эйлера потенциального течения жидкости в
виде
grad (∂φ/∂t + v2/2 + w + gz) = 0. (5.1 потенц)
Это уравнение тут же интегрируется, и первый интеграл (так называемый
интеграл Лагранжа-Коши) принимает вид
∂φ/∂t + v2/2 + w + gz = f(t). (5.7)
Здесь f(t) – произвольная функция времени. Ее можно считать равной нулю.
Ведь потенциал скорости φ определен с точностью до добавления к нему
произвольной функции времени ~    F (t ) . Такое изменение потенциала не
изменит саму скорость, так как grad~  grad , но изменит ∂φ/∂t.
Следовательно, изменит функцию f(t). Если выбрать F (t )   f (t )dt , правая
часть интеграла (5.7) обратится в ноль.
При стационарном течении, когда поле скорости не зависит явно от времени,
интеграл (5.7) принимает форму интеграла Бернулли (5.6)
v2/2 + w + gz = const.
Но теперь, в условиях стационарного, потенциального течения, этот интеграл
имеет одно общее значение для всех макро частиц жидкости.
25
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
Для иллюстрации изучите пример на стационарное течение жидкости в
горизонтально расположенной трубке в параграфе «Основные теоремы
динамики идеальной жидкости» учебника Ольховского И.И.
Уравнение Эйлера и уравнение непрерывности являются нелинейными
уравнениями для поля скорости и поля плотности. Их решения должны быть
дополнены указанием начальных и краевых условий. Получение общего
решения этих уравнений в общем случае не представляется возможным.
Однако, в частных случаях, при наличии достаточной симметрии, такие
решения можно получить. Для иллюстрации следует изучить задачи 7 и 8 к §10
«Гидродинамики». Обратите внимание, что решение задачи 7 можно оценить из
размерных соображений. Данные в задаче параметры – радиус пузырька a,
плотность жидкости ρ и давление на бесконечности p0 формируют
единственный масштаб времени [T ]  a  p0 . Приблизительно этому
значению и равно время схлопывания пузырька в жидкости.
Звуковые волны
Если отклонения скорости v, плотности ρ’ = ρ – ρ0 и давления p’ = p – p0 от
равновесных значений v0 = 0, ρ0 = const, p0 = const невелики, то динамические
уравнения можно линеаризовать. В этом, линейном приближении, движение
макро частиц среды будет представлять собой малые колебания около их
равновесных состояний. Возникнув в одном месте среды, эти малые колебания
будут распространяться на всю среду, благодаря взаимодействию макро частиц.
Такое движение называется звуком.
Основные уравнения динамики звуковых волн описаны в §64
«Гидродинамики».
Линеаризуем динамические уравнения (3.4), (5.1), (5.3) идеальной жидкости.
Начнем с самого простого из них – условия адиабатичности s(p, ρ) = const.
Запишем это уравнение в виде p = p(ρ, s = const), считая течение
изоэнтропическим. Разложим функцию p(ρ) в ряд вблизи равновесного
состояния ρ = ρ0. Получим
 p 
p  p (  0 )        0   p 0  c 2   .
   s 0
Здесь c – постоянная, имеющая размерность скорости со значением
 p 
c    ,
   s 0
зависящая от уравнения термодинамического состояния среды.
Итак, условие адиабатичности в линейном приближении принимает вид
p’ = c2ρ’ (5.3L)
Теперь линеаризуем уравнение Эйлера без учета поля тяжести
dv
1
  gradp
dt

Левая часть уравнение Эйлера в линейном приближении по скорости принимает
вид
dv v
v

 v v 
dt t
t
26
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
Правую часть уравнения Эйлера при отсутствии внешнего поля и в том же
приближении можно представить в виде
p
p 
p 
.



0   
0
Таким образом, линеаризованное уравнение Эйлера имеет вид
v
p 
(5.1L)

t
0
Линеаризуем так же уравнение непрерывности



( v i )  0
t xi
Имеем




 

 0   vi       0 vi      0 vi

( vi ) 

t xi
t xi
t xi
t
xi
Так что линеаризованное уравнение непрерывности имеет вид
 
  0 div v  0 (3.4L).
t
Будем считать, что соблюдается условие потенциальности течения rotv = 0
(макро частицы не вращаются). Введем потенциал поля скоростей v = gradφ.
Подставив это выражение для скорости в левую часть линеаризованного
уравнения Эйлера (5.1L), получим

p 

t
0
Или, меняя порядок дифференцирования в правой части и учитывая
постоянство равновесной плотности ρ0, перепишем это соотношение в виде
 p 


  
t
 0 
Отсюда следует, что выражения под знаком градиента отличаются лишь на
произвольную функцию времени. Так как потенциал φ определен с точностью
до аддитивной функции времени (v = grad [φ + f(t)] = grad φ), то можно
приравнять функции под знаком градиента

p

t
0
Итак, изменение давления в линейном приближении можно записать в виде

p    0
(5.8.1)
t
Используя связь плотности с давлением p’ = c2ρ’, получим аналогичное
выражение плотности через потенциал поля скоростей
 
    20
(5.8.2)
c t
Подставим это выражение в левую часть линеаризованного уравнения
непрерывности (3.4L) и заменим в этом же уравнении v на gradφ
 2
 c 2   0 (5.9)
t 2
Уравнение (5.9) называется волновым. Волновому уравнению удовлетворяет
также поле скоростей, поле давлений и поле плотности (покажите!).
27
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
Плоская волна
Наиболее просто решение волнового уравнения выглядит в том случае, если все
поля зависят только от одной декартовой координаты. Пусть это будет
координата x. Т.о., все поля в каждый момент времени имеют одинаковые
значения во всех точках любой плоскости, перпендикулярной оси x. В разных
плоскостях значения полей, вообще говоря, разные. Это условие приводит нас к
волновому уравнению (5.9) плоской волны
2
 2
2  

c
 0 . (5.9x)
t 2
x 2
Потенциал поля скоростей φ = φ(x,t) есть функция двух переменных x и t.
Удобно сделать замену переменных ξ = x – ct, η = x + ct. Тогда
      




x  x  x  
    




 c
c
t  t  t


и вторые производные, соответственно
 2
         



,



2
         
x
 2
 

 
 

 
  c
  c
.
 c   c
c
c
2
 

 
 

 
t
Подставив эти выражения в волновое уравнение (5.9x), получим после
привидения подобных членов
 2
 0.

Отсюда следует, что производная ∂φ/∂ξ зависит только от ξ (и, соответственно,
производная ∂φ/∂η зависит только от η). Поэтому общий интеграл нашего
уравнения имеет вид суммы двух функций φ = f1(ξ) + f2(η). Возвращаясь к
прежним переменным, получаем
φ(x,t) = f1(x - ct) + f2(x + ct). (5.10)
Так же зависят от x, t скорость vx, плотность ρ’ и давление p’. Такая
специфическая зависимость плоской волны от координат и времени говорит о
том, что в плоскости x = ct + const функция f1(x – ct) имеет в момент времени t то
же значение, что в плоскости x = const в момент t = 0. Это означает, что поля
плотности, давления и x-компоненты скорости, отвечающие функции f1
перемещаются со скоростью c (скорость звука) в положительном направлении
оси x. Для функции f2 поля перемещаются в отрицательном направлении оси x с
той же скоростью. Такое поведение полей называется бегущей плоской волной.
Наличие в общем решении двух волн, распространяющихся в противоположных
направлениях, связано с симметрией волнового уравнения по отражению, как
времени, так и координаты. Если граничные и начальные условия не обладают
такой симметрией, то в частном решении останется лишь одна из двух волн. Так
как выбор направления оси x произволен, то всегда можно считать, что остается
волна, распространяющаяся в положительном направлении оси x, т.е. функция
f1 .
Важно понимать, что скорость c, характеризующая распространение полей в
среде, никак не связана со скоростями движения макро частиц. Во-первых,
макро частицы совершают колебания около равновесных состояний, поэтому их
28
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
скорость отнюдь не постоянная, как скорость звука в однородной среде.
Скорость каждой макро частицы меняется как по величине, так и по
направлению. Именно, поле скорости v(x,t) определяет то, как движутся макро
частицы в каждой точке и в каждый момент времени. Во-вторых, скорость
макро частицы гораздо меньше скорости звука. Последняя характеризует
скорость
распространения
взаимодействия
в
среде.
Носителями
взаимодействия в среде с близкодействием являются молекулы (атомы),
поэтому скорость звука порядка среднеквадратичной скорости движения
молекул. Скорость макро частицы определяется средней скоростью молекул
(скоростью центра масс), из которых она состоит. Эта средняя скорость никак
не связана с относительной скоростью молекул – макро частица может
покоиться, в то время как молекулы, ее составляющие, будут перемещаться с
огромными скоростями друг относительно друга.
Используя определение потенциала поля скоростей v = gradφ, а также
выражения поля давлений и поля плотности (5.8) через потенциал φ, получим

v
 f ( x  ct )
x

p   
 cf ( x  ct )
t
Отсюда следует, что v = p’/(ρc). Из определения скорости звука c2 = p’/ρ’
получаем v = c(ρ’/ρ). Таким образом, малая величина скорости макро частицы
по сравнению со скоростью звука является как раз необходимым условием
линейного приближения, в котором записано волновое уравнение.
Монохроматические волны
Поля скорости, плотности и давления в нашем приближении ограничены |v| <<
c, |ρ’| << ρ0, |p’| << p0. Это означает, что в решении волнового уравнения должны
чередоваться области разряжения и сжатия. В областях разряжения ρ’ < 0, p’ < 0
частицы имеют скорость, направленную против оси x. В областях сжатия ρ’ > 0,
p’ > 0 частицы движутся в направлении оси x. В общем случае картина
чередования таких областей не обязательно носит периодический характер. В то
же время можно всегда представить полевые функции линейной задачи в виде
линейной комбинации периодических функций времени, имеющих все
возможные периоды. Такое представление решения линейной задачи
называется разложением в ряд или интеграл Фурье. Это разложение
представляет собой полную аналогию перехода к нормальным координатам в
теории малых колебаний системы с конечным числом степеней свободы.
Каждое нормальное колебание поля в разложении является гармоническим
колебанием с определенной частотой. Такое колебание называется
монохроматическим.
Произведем спектральное разложение бегущей плоской волны. Из вида
решения (5.10) ясно, что если поле периодическое во времени, то оно должно
быть периодическим и в пространстве. Ведь зависимости от времени t и
пространственной координаты x одинаковы с точностью до множителя c.
Поэтому, если временная частота монохроматического колебания равна ω, то
«пространственная частота», т.е. частота повторения в пространстве
одинаковых значений поля на фотоснимке плоской монохроматической волны,
должна равняться ω/c. Именно этот результат мы получим, если в волновое
29
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
уравнение (5.9x) подставим монохроматическое решение для потенциала φ(x,t)
= Re[φ0(x)e-iωt]
d 2 0  2
 2 0  0 .
dx 2
c
Это уравнение обычного осциллятора, «частота» которого равна ω/c. Таким
образом, потенциал поля скорости бегущей плоской монохроматической волны
имеет вид


  a cos x  t    .
c

Здесь a – амплитуда потенциала, выражение в скобках – фаза волны
потенциала, α – начальная фаза.
Для записи этого решения в инвариантной форме вводят вектор k,
направленный вдоль распространения плоской волны n (в данном случае –
вдоль оси x, т.е. nx = 1, ny = nz = 0), равный по модулю «пространственной
частоте» ω/c. Такой вектор k = nω/c называется волновым вектором.
«Пространственной частоте» ω/c, как и обычной частоте ω, соответствует
«пространственный период» λ = 2π/(ω/c) = 2π/k - длина волны.
Сверхзвуковое течение. Поверхности разрыва
Течение среды приобретает качественно иной характер, когда его скорость
достигает скорости звука. Сверхзвуковой поток «сносит» распространяющееся
возмущение таким образом, что оно охватывает лишь ограниченную область
среды вниз по течению. Эту ситуацию можно изобразить в виде следующей
диаграммы
дозвуковой и сверхзвуковой
потоки
На этой диаграмме изображена точка O, в которой возникает малое возмущение,
порождающее звуковую волну. Волна распространяется со скоростью звука c во
всех направлениях n. Поток переносит источник возмущения со скоростью v. В
дозвуковом потоке возмущение рано или поздно охватывает всю среду. При v >
c возмущение, сносимое потоком, будет охватывать лишь ту область среды,
которое лежит внутри конуса с вершиной в точке O. Угол раствора конуса равен
2α, где sinα = c/v = 1/M. Это так называемый конус Маха. Отношение M = v/c
называется в газодинамике числом Маха.
Критические условия, возникающие в среде при распространении
сверхзвукового потока, могут приводить к появлению областей, где, сколь
малыми не выбирались бы участки среды, их нельзя считать находящимися в
состоянии установившегося теплового равновесия. Такие области не успевают
перейти в состояние равновесия за те малые промежутки времени, которые
характерны для быстрых процессов. Поведение среды в этих областях уже
нельзя описать в рамках модели макро частиц, которые по определению есть
равновесные участки вещества.
Часто неравновесные области можно описать как некоторые особые
поверхности - поверхности разрыва в объеме среды. По обе стороны 1 и 2
30
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
такой поверхности среда описывается обычной динамикой. В то же время, при
переходе через неравновесную поверхность динамические переменные такие,
как скорость, давление, плотность и т.д. испытывают конечный скачок. Связь
между состоянием среды p1, ρ1, v1,… по одну сторону разрыва и состоянием p2,
ρ2, v2,… по другую его сторону может быть установлена путем сравнения
потоков массы, импульса и энергии среды при пересечении поверхности
разрыва.
В частности, при стационарном, установившемся течении среды через
неподвижную поверхность разрыва вблизи каждой точки этой поверхности
должны сохраняться потоки массы ρ1v1df = ρ2v2df, импульса (Πik)1 dfk = (Πik)2 dfk
и энергии ρ1v1(v12/2 + w1)df = ρ2v2(v22/2 + w2)df. Здесь df = ndf – векторный
элемент поверхности разрыва, ориентированный вдоль единичного вектора
нормали n. Тензор плотности потока импульса Πik используем в виде Πik = ρvivk
+ pδik.
Для простоты выберем локальную систему координат с осью x, направленной
вдоль вектора n, т.е. n1 = 1; n2 = n3 = 0. Тогда соотношения, записанные выше,
примут форму пяти равенств:
ρ1vx1 = ρ2vx2 – баланс массы;
p1 + ρ1vx12 = p2 + ρ2vx22 – баланс нормальной компоненты импульса;
ρ1vx1vy1 = ρ2vx2vy2 – баланс касательной y-компоненты импульса;
ρ1vx1vz1 = ρ2vx2vz2 – баланс касательной z-компоненты импульса;
ρ1vx1(v12/2 + w1) = ρ2vx2(v22/2 + w2) – баланс энергии.
Различают два типа поверхностей разрыва.
 Первый, так называемый тангенциальный разрыв, имеет место, когда поток
массы вещества через поверхность отсутствует vx1 = vx2 = 0. Тогда, как это
следует из баланса нормальной компоненты импульса, p1 = p2.
Тангенциальные составляющие скорости и плотность на поверхности
тангенциального разрыва претерпевают произвольный скачок.
 При не нулевом потоке массы непрерывными являются тангенциальные
составляющие скорости vy1 = vy2; vz1 = vz2. Это также следует из уравнений
для потока импульса. Плотность, давление и нормальная составляющая
скорости в этом случае терпят разрыв. Такая поверхность разрыва
называется ударной волной.
Вопросы для самоконтроля.
1. Что представляет собой замкнутая система уравнений для полевых функций
идеальной жидкости?
2. Как выглядят уравнения баланса импульса и энергии идеальной жидкости?
3. Что такое интеграл Бернулли, и в каких условиях он имеет место?
4. Что такое изоэнтропическое течение?
5. Как выглядят уравнения Эйлера в условиях изоэнтропического течения?
6. Что такое циркуляция скорости?
7. Сформулируйте теорему Томсона о циркуляции скорости. В каких условиях
она имеет место?
8. Что такое потенциальное течение?
9. Какой интеграл имеют уравнения Эйлера в условиях потенциального
течения?
10. Чем отличается интеграл уравнений Эйлера стационарного, потенциального
течения от интеграла Бернулли?
31
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
11. Как линеаризуются динамические уравнения идеальной жидкости вблизи
равновесия, и к какому уравнению это приводит?
12. Как выглядит решение волнового уравнения для плоской волны? Дайте
пояснения.
13. Как связаны между собой поля скорости, давления и плотности в бегущей
плоской волне?
14. Что представляет собой спектральное разложение и решение в виде плоской,
монохроматической волны?
15. Как выглядит диаграмма распространения малого возмущения при
сверхзвуковом течении среды, и что такое число Маха и конус Маха?
16. Какие поверхности разрыва могут существовать в сплошной среде при
сильнонеравновесных процессах?
Вязкая жидкость
Учет вязкости требует добавки в уравнение Эйлера (5.1) к тензору тепловых
напряжений в жидкости σik = -pδik тензора вязких напряжений σ’ik (3.15).
Посчитаем производную

 'ik
  
1


2  vik   ik vll   ik vll  

xk
xk  
3


  2v
 2 vk
 2 vl
2  2 vl 
  
  2i 


xi xl
 xk xi xk 3 xi xl 
 2v  
  vk
.
  2i     
x k  3
 xi xk
Мы предположили, что жидкость однородная, поэтому коэффициенты вязкости
η, ξ не зависят от координат. Добавив это выражение в правую часть уравнения
Эйлера (5.1), получим основное динамическое уравнение вязкой жидкости в
векторном виде (без учета массовых сил)
dv



  gradp  v      graddiv v (6.1).
dt
3

Это уравнение называется уравнением Навье-Стокса.
В вязкой жидкости уравнение теплопроводности для однородной изотропной
среды имеет вид уравнения (3.10), в правую часть которого следует добавить
работу вязких напряжений σ’ikvik
 s

T   (v  grads )  T   ik vik
 t

Уравнение Навье-Стокса, уравнение теплопроводности вместе с уравнением
непрерывности и уравнениями термодинамического состояния вещества
образуют замкнутую систему динамических уравнений для вязкой жидкости.
Если жидкость несжимаемая, то divv = 0 и уравнение Навье-Стокса упрощается,
принимая вид
dv
1
  gradp  v . (6.2)
dt

Здесь ν = η/ρ – так называемая кинематическая вязкость. Для определения
полей давления и скорости несжимаемой жидкости достаточно двух уравнений –
уравнения непрерывности и уравнения (6.2).
При решении задач на течение вязкой жидкости обычно используют граничные
условия, накладываемые, например, на поле скорости. В частности, на
32
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
поверхности соприкосновения вязкой жидкости с неподвижным твердым телом
используется «условие налипания» - равенство нулю касательной составляющей
скорости жидкости. Другой пример, на поверхности соприкосновения вязкой
жидкости с вакуумом, или средой, в которой можно пренебречь наличием
касательных напряжений, касательные вязкие напряжения должны обращаться в
ноль.
Наличие вязкости приводит к диссипации кинетической энергии жидкости. В
случае несжимаемой жидкости, занимающей объем V, кинетическая энергия
равна Eкин 

2 V
v 2 dV . Работа диссипативных напряжений при б.м. смещении u
макро частицы определяется интегралом  u i il df l .
Проведя вычисления, аналогичные вычислениям изменения энергии макро
частицы (3.0), получим работу вязких сил, увеличивающих внутреннюю
энергию макро частицы d(ΔE)dis = ΔVσ’ikduik. Поэтому работа вязких
напряжений, производимых над единицей объема жидкости в единицу времени
равна σ’ikvik. Следовательно, изменение кинетической энергии объема V вязкой
жидкости за счет диссипации в единицу времени равно
E кин     ik vik dV .
V
Учитывая, что для несжимаемой жидкости σ’ik = 2ηvik, получаем
2
  v v 
E кин     i  k  dV .
2 V  x k xi 
В качестве упражнения получите это выражение из уравнения (6.2) (см. также
«Гидродинамика», §16).
Для усвоения материала рекомендуется познакомиться с решением некоторых
простых задач на движение вязкой жидкости. Это течение вязкой жидкости
между двумя параллельными плоскостями (неподвижными, и движущимися
друг относительно друга) (§17 «Гидродинамики») и задача о течении вязкой
жидкости по наклонной плоскости (река) (зад. 5 к §17).
Закон подобия. Ламинарное и турбулентное течения
Рассмотрим вязкую несжимаемую жидкость. Ее динамика описывается двумя
уравнениями – уравнением непрерывности divv = 0 и уравнением (6.2).
Неизвестными полями являются векторное поле скорости v и поле давлений p.
Так как плотность жидкости считается заданной, то неизвестной функцией
можно считать отношение поля давлений к плотности p/ρ.
Предположим, что течение жидкости является стационарным, т.е. ∂v/∂t = 0 и
∂p/∂t = 0. Стационарный поток имеет некоторую характерную скорость
обтекания u, которую можно выбрать за единицу масштаба скорости. Другим
характерным масштабом могут служить линейные размеры области, в которой
расположен поток, либо размеры тела, который он обтекает. Пусть эта величина
равна l. Выберем l за единицу масштаба длины, [D] = l. Тогда единица масштаба
времени будет [T] = l/u. В уравнении (6.2) для стационарного течения имеется
единственная постоянная ν – кинематическая вязкость. Размерность этой
постоянной [ν] = [D]2/[T]. В новом масштабе безразмерная кинематическая
вязкость будет равна ν/(ul). Величину, обратную обезразмеренной таким образом
кинематической вязкости
R = ul/ν
33
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика
называют числом Рейнольдса.
Итак, обезразмеренное уравнение стационарного течения вязкой несжимаемой
жидкости имеет вид
v v   grad  p /    1 v .
R
Это уравнение вместе с уравнением непрерывности divv = 0 зависят только от
одного безразмерного параметра R. Если в условиях задачи меняется величина
скорости потока u, и/или линейные размеры обтекаемого тела l при
неизменности его формы, но число Рейнольдса остается неизменным (за счет,
например, выбора среды с другой кинематической вязкостью), то остается
неизменным и решение уравнений. Меняется лишь масштаб скорости или
длины. Это так называемый закон подобия Рейнольдса.
Опыт показывает, что движение вязкой среды при малых числах Рейнольдса
является вполне устойчивым. Такое движение называется ламинарным, или
слоистым. Среда движется слоями, сохраняя устойчивость конфигурации слоев.
Но, при больших числах Рейнольдса такая устойчивость теряется, и течение
переходит в турбулентную фазу.
Вопросы для самоконтроля.
1. Что представляет собой замкнутая система уравнений для полевых функций
вязкой жидкости?
2. Какие граничные условия используются при соприкосновении вязкой
жидкости с твердым телом?
3. Какова скорость диссипации энергии в вязкой жидкости?
4. Что такое число Рейнольдса и в чем состоит закон подобия?
5. Каковы отличия между турбулентным и ламинарным течениями вязкой
жидкости?
34
© Фомин Георгий Викторович, Теоретическая механика