Производная третьего порядка функции равна … Чтобы найти третью производную функции, нужно

Задание N 10.
Варианты ответа:
Производная третьего порядка функции
равна …
Решение:
Чтобы найти третью производную функции, нужно
трижды последовательно продифференцировать
функцию, то есть
Тогда
Задание N 10.1
Производная второго порядка функции
равна …
Решение:
Производная второго порядка функции
производной, то есть
, равна производной от ее первой
. Тогда
.И
.
10.2
Дана функция
. Тогда
равно …
Решение:
Производная второго порядка функции
производной, то есть
. Тогда
, равна производной от ее первой
и
. Найденные производные
подставим в
. Тогда
.
Математический анализ / Асимптоты графика функции
Задание N 11.
Варианты ответа:
Уравнение наклонной асимптоты графика
функции
имеет вид
Тогда значение k равно…
–2
.
Решение:
Уравнение наклонной асимптоты графика
функции имеет вид:
. Угловой
коэффициент k вычисляется по формуле:
1
.
Тогда
4
–1
11.1
Горизонтальная асимптота графика функции
имеет вид...
Решение:
Прямая
является горизонтальной асимптотой графика функции
, если
Вычислим предел:
, или
.
.
Вывод:
– горизонтальная асимптота.
11.2
Вертикальная асимптота графика функции
имеет вид…
Решение:
Прямая
если
является вертикальной асимптотой графика функции
– точка разрыва и при этом хотя бы один из односторонних
пределов
,
равен
.
Точками разрыва функции являются те точки, в которых знаменатель равен
нулю:
;
– точка разрыва функции и
.
Вывод: x= –8 – вертикальная асимптота.
Математический анализ / Основные методы интегрирования
12.
Множество первообразных функции
равно …
Решение:
Замечая, что
, положим
Задание N 12.1
.
Варианты ответа:
Множество первообразных функции
равно …
Решение:
Интегрируем методом по частям, используя
формулу
. Тогда
,
12.2
В неопределенном интеграле
тогда интеграл примет вид …
введена новая переменная
Решение:
Если
, то
и
. Тогда
Векторный анализ / Норма вектора в евклидовом пространстве
Задание N 13.
Варианты ответа:
Длина вектора
равна 3.
Проекция вектора на ось Oy
положительна. Тогда координата y
равна…
6
Решение:
Длина вектора
вычисляется как
–2
По условию
. Отсюда
получаем:
полученное уравнение:
. Решаем
2
.
,
Так как по условию проекция вектора
на ось Oy положительна, то
ответом является
0
.
13.1
Длина суммы векторов
и
равна…
Решение:
Найдем координаты суммарного вектора:
.
Вычислим длину найденного вектора:
13.2
На векторах
, как на сторонах построен
треугольник. Тогда длина стороны CB равна…
Решение:
Сделаем схематический чертеж.
По правилу вычитания векторов:
. Координаты векторов таковы
.
Тогда
.
Вычислим требуюмую длину стороны CB , или, что то же самое, длину вектора
.
Векторный анализ / Линейные операции над векторами
.
Задание N 14.
Варианты ответа:
Даны вектор
и точка
Тогда точка В имеет координаты …
.
Решение:
, при
этом
. Следовательно:
.
Тогда
Задание N 14.1
Точки
последовательные вершины параллелограмма. Точка
пересечения его диагоналей. Если
, то
– точка
равен …
Решение:
Условие задачи полезно проиллюстрировать рисунком, который поможет при
решении.
По правилу вычитания векторов
параллелограмма:
14.2
Даны вектор
ось
равна…
. По свойству диагоналей
. Тогда
. Тогда проекция вектора
на
Решение:
Координатами вектора называются его проекции на оси координат. А так как
координаты разности векторов вычисляются по
формуле:
, то
.
Векторный анализ / Скалярное произведение векторов
Задание N 15.
Варианты ответа:
Даны векторы
,
,
. Тогда скалярное произведение
8
равно…
Решение:
Найдем координаты вектора
20
.
Тогда
17
12
15.1
Косинус угла между векторами
и
равен…
Решение:
Применим формулу:
15.2
Векторы
и
взаимно перпендикулярны. Их длины:
скалярный квадрат
Векторный анализ / Векторное произведение векторов
равен…
,
. Тогда
Задание N 16.
Варианты ответа:
Даны векторы
Тогда модуль вектора
,
равен…
,
.
5
Решение:
Отметим, что заданные векторы
следующие координаты:
имеют
и
4
.
Найдем вектор
, используя формулу:
3
.
Затем вычислим модуль найденного вектора
формуле:
Тогда
по
0
.
.
Модуль вектора
:
.
16.1
На векторах
То площадь
и
, как на сторонах построен параллелограмм.
параллелограмма равна …
Решение:
Площадь параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах, равна
модулю векторного произведения этих векторов. При решении нужно
использовать свойства векторного произведения векторов:
1)
,
2)
3)
Тогда
.
16.2
Даны орты
, тогда выражение
преобразовать к виду …
можно
Решение:
Для решения воспользуемся свойствами векторного произведения векторов:
1)
2)
, тогда
, тогда
.
Отсюда:
.
Рассмотрим теперь, чему равно векторное произведение
. Пусть это
векторное произведение равно некоторому вектору
то есть
Согласно определению векторного произведения:
того тройка векторов
,
,
правая
.
, кроме
. Тогда
. Таким образом:
. А, следовательно, выражение, предложенное в задании можно
преобразовать к виду:
.
Отметим, что представленное решение очень подробное, а потому кажется
громоздким. Для упрощения решения можно воспользоваться готовой таблицей
векторных произведений координатных ортов
многих учебниках.
Функциональный анализ / Элементы теории множеств
Задание N 17.
Объединением множеств
и
является множество…
Решение:
Объединением
множеств A и B называется
множество, состоящее из всех
элементов, принадлежащих хотя
бы одному из множеств A и B.
Поэтому
Варианты ответа:
, представленной во
17.1
Разностью
множество…
множеств
и
является
Решение:
Разностью
множеств A и B называется совокупность тех элементов
из A, которые не содержатся в B. Поэтому
17.2
Пересечением множеств
и
является множество…
Решение:
Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее из всех
элементов, принадлежащих как A, так и B. Поэтому
Функциональный анализ / Мера плоского множества
.
Задание N 18.
Варианты ответа:
9
Мера плоского множества, изображенного
на рисунке, равна …
12
Решение:
Мерой плоского множества в данном случае
является значение площади треугольника
ABC. Поэтому получаем
20
4,5
18.1
Мера плоского множества, изображенного на рисунке, равна …
Решение:
Мерой плоского множества в данном случае является значение площади круга с
радиусом R=2, поэтому
.
18.2
Мера плоского множества, изображенного на рисунке, равна …
Решение:
Мерой плоского множества в данном случае является значение площади
трапеции ABCD. Найдем площадь трапеции
Функциональный анализ / Отображение множеств
Задание N 19.
Варианты ответа:
Образом отрезка
отображении
множество …
при
является
Решение:
На отрезке
функция
непрерывна. Найдем образы
концевых точек отрезка
при
отображении с помощью функции
. Имеем
,а
Поэтому образом отрезка
при
отображении функцией
будет
отрезок
.
.
.
19.1
Образом отрезка
при отображении
постоянные, является множество …
, где k,n –
Решение:
Отображение осуществляется линейной функцией
образы концевых точек отрезка
отрезка
будет отрезок
:
. Найдем
. Образом
,
.
19.2
Образом множества
при отображении
является …
Решение:
Отображение осуществляется тригонометрической функцией
получаем, что
, а при
:
. При
, отметим
также, при
. Поэтому образом интервала
:
будет
вся числовая прямая, так как на указанном интервале функция
непрерывна
Функциональный анализ / Метрические пространства
Задание N 20.
Варианты ответа:
Множество упорядоченных групп из
n действительных чисел
с расстоянием
образует
метрическое пространство …
Решение:
Множество упорядоченных групп из
n действительных чисел
с расстоянием
называется
n-мерным арифметическим
евклидовым пространством
(метрическим пространством).
20.1
Множество действительных чисел с расстоянием
метрическое пространство …
образует
Решение:
Множество действительных чисел с расстоянием
метрическое пространство
Комплексный анализ / Формы записи комплексного числа
.
образует
Задание N 21.
Пусть
тогда
Варианты ответа:
. Известно, что
,
,
–4
равно …
Решение:
Используя равенство
,
комплексное число можно возвести в n- ую степень
по формуле Муавра
Имеем
.
.
4
21.1
На рисунке приведено геометрическое изображение комплексного
числа. Его тригонометрическая форма записи имеет вид …
Решение:
Воспользуемся равенством
. В нашем случае
, а аргумент
будет равен
комплексного числа
. Имеем.
21.2
Комплексное число
в тригонометрической форме имеет вид …
Решение:
Воспользуемся равенством
, аргумент
. В нашем случае
определим из системы равенств:
.Аргумент комплексного числа
будет равен
, так
как вектор, изображающий данное комплексное число находится в четвертой
координатной четверти. Имеем
.
Комплексный анализ / Операции над комплексными числами
Задание N 22.
Варианты ответа:
Результатом деления комплексного числа
комплексное число
является …
на
Решение:
Найдем значение выражения
, умножив и
числитель и знаменатель дроби на . Имеем
.
Найти значение выражения
.
Решение:
Умножим и числитель и знаменатель данного дробного
выражения на сопряженное знаменателю. Имеем
22.1
Найти значение выражения
.
Решение:
Имеем
Комплексный анализ / Определение функции комплексного переменного
.
Задание N 23.
Варианты ответа:
Действительная часть функции
, где
,
имеет вид …
Решение:
Имеем
Тогда действительная часть функции
имеет вид
.
23.1
Мнимая часть функции
, где
, имеет вид …
Решение:
Полагая
, имеем
.
Тогда мнимая часть функции
будет иметь вид
Комплексный анализ / Дифференцирование функции комплексного переменного
Задание N 24.
Если
Варианты ответа:
и
, то
имеет вид …
Решение:
Найдем производную функции
. Имеем
.
24.1
Дана функция
. Тогда
равно
Решение:
Найдем значение функции
при
. Имеем
.
24.2
Значение производной функции
в точке
равно …
Решение:
Подставим в производную
значение
. Имеем
.
24.3
Если
и
, то
имеет вид …
Решение:
Найдем производную функции
. Имеем
.
Дифференциальные уравнения / Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Задание N 25.
Варианты ответа:
Функция
является решением
дифференциального уравнения
. Тогда значение
равно …
Решение:
Вычислим производную первого порядка
и подставим
и
в данное дифференциальное
уравнение
. Тогда:
, то есть
.
2
25.1
Общее решение дифференциального уравнения
Решение:Для решения линейного дифференциального уравнения
можно ввести замену
. Следовательно,
. Тогда
,
. Положим
имеет вид…
, то есть
, или
и
,
, где
. Тогда общее решение уравнения примет вид:
.
25.2
Общее решение дифференциального уравнения
Решение:Для
решения линейного дифференциального уравнения
можно ввести замену
Положим
имеет вид…
,
, то есть
. Тогда
, или
.
. Следовательно,
и
,
, где
уравнения примет вид:
. Тогда общее решение
.
Дифференциальные уравнения / Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Задание N 26.
Варианты ответа:
Решение задачи Коши
имеет вид…
,
Решение:
Для решения дифференциального
уравнения
разделим
переменные:
и
проинтегрируем обе части этого
равенства
, или
, где
.
Тогда общее решение данного
уравнения примет вид:
.
Для вычисления значения
произвольной постоянной
воспользуемся начальным условием
, а именно,
, то
есть
. Следовательно, частное
решение уравнения будет равно
.
26.1
Решение задачи Коши
имеет вид…
,
Решение:
Для решения линейного дифференциального уравнения
ввести замену
, то есть
, где
. Тогда
,
, или
. Следовательно,
можно
. Положим
,
и
. Тогда общее решение уравнения примет вид:
. Для определения частного решения воспользуемся условием
, то есть
и
. Следовательно, частное решение
уравнения будет равно
.
26.2
Функция
будет частным решением задачи Коши:
,
при…
Решение:Из
равенства
Подставим функцию
следует, что
, то есть
.
в дифференциальное уравнение:
Тогда
, то есть
.
Дифференциальные уравнения / Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Задание N 27.
Варианты ответа:
Общее решение линейного
однородного дифференциального
уравнения второго порядка
имеет вид …
Решение:
Составим характеристическое
уравнение
и решим
его:
. Тогда общее
решение примет вид:
,
где
.
27.1
Корни характеристического уравнения линейного однородного
дифференциального уравнения равны:
имеет вид…
Решение:
. Тогда это уравнение
.
Характеристическое уравнение имеет вид
,
, где
. Следовательно, соответствующее
дифференциальное уравнение можно записать как
.
27.2
Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
второго порядка
имеет вид …
Решение:
Частное решение данного уравнения со специальной правой частью ищется как
, где − это количество нулевых корней
характеристического уравнения. Составим характеристическое уравнение
и решим его:
. Так как среди корней
характеристического уравнения нет нулевых корней, то частное решение имеет
вид:
.