по аналитической геометрии

УПРАЖНЕНИЯ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
1. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы три прямые A1x  B1 y  C1  0 , A2 x  B2 y  C 2  0 , A3 x  B3 y  C 3  0 образовывали треугольник.
2. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы три прямые A1x  B1 y  C1  0 , A2 x  B2 y  C 2  0 , A3 x  B3 y  C 3  0 имели
единственную общую точку.
3. Даны две прямые A1x  B1 y  C1  0 , A2 x  B2 y  C 2  0 . С помощью
 A B1 
A B C 
рангов r и R матриц  1
 и  1 1 1  выразить усло A2 B2 C 2 
 A 2 B2 
вия, необходимые и достаточные для того, чтобы прямые: 1) пересекались; 2) были параллельны; 3) совпадали.
4. Найдите условия, необходимые и достаточные для того, чтобы точка
M 0 ( x 0 , y0 )
лежала между двумя параллельными прямыми
Ax  By  C1  0 и Ax  By  C 2  0 .
5. Даны три параллельные прямые: Ax  By  C1  0 , Ax  By  C 2  0 ,
Ax  By  C 3  0 . Найдите условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы вторая прямая лежала в полосе, образованной первой и
третьей прямыми.
6. Найти расстояние d между двумя параллельными прямыми
Ax  By  C1  0 и Ax  By  C 2  0 .
7. Записать уравнения прямых, параллельных прямой Ax  By  C  0 и
отстоящих от нее на расстоянии d .
Ax 0  By 0  C
8. Получить формулу d 
для нахождения расстояния от
2
2
A B
точки M 0 ( x 0 , y 0 ) до прямой Ax  By  C  0 не используя нормального уравнения прямой.
9. Доказать, что прямая Ax  By  C  0 параллельна прямой, проходящей через точки M 1 ( x 1; y1 ) и M 2 ( x 2 ; y 2 ) тогда и только тогда, когда
Ax 1  By 1  C  Ax 2  By 2  C  0 .
A1x  B1 y  C1  0 ,
10. Даны две смежные стороны параллелограмма
A2 x  B2 y  C 2  0 и точка пересечения его диагоналей M 0 ( x 0 ; y 0 ) .
Записать уравнения двух других его сторон.
11. Точки M 1 ( x 1; y1 ) и M 2 ( x 2 ; y 2 ) не лежат на прямой Ax  By  C  0 .
 , в котором точка пересечения прямой
Найдите отношение
Ax  By  C  0 и прямой M 1M 2 делит отрезок M 1M 2 .
A1x  B1 y  C1  0 ,
12. Стороны треугольника заданы уравнениями
A2 x  B2 y  C 2  0 и A3 x  B3 y  C 3  0 . Найти длину высоты треугольника, опущенную на третью сторону.
13. Прямая на плоскости задана векторным уравнением ( r, N )  C  0 ,
r0 – радиус-вектор точки M 0 . Найти радиус-вектор точки M 1 , симметричной точке M 0 относительно заданной прямой.
14. Точка M 0 лежит на прямой Ax  By  C  0 . Вектор M 0M 1 имеет
координаты {A; B} . Доказать, что точка M 1 лежит в положительной
полуплоскости относительно прямой Ax  By  C  0 .
15. Две прямые на плоскости заданы векторными уравнениями:
( r, N )  C  0 и r  r0  t   (где ( N,  )  0 ). Найдите радиус-вектор
точки пересечения прямых.
16. Найдите условия, необходимые и достаточные для того, чтобы точка
M 0 ( x 0 , y0 , z0 )
лежала между двумя параллельными плоскостями
Ax  By  Cz  D1  0 и Ax  By  Cz  D2  0 . (сравни с 4)
Ax  By  Cz  D1  0 ,
17. Даны
три
параллельные
плоскости:
Ax  By  Cz  D2  0 , Ax  By  Cz  D3  0 . Найдите условия, необходимые и достаточные для того, чтобы вторая плоскость лежала в полосе, образованной первой и третьей плоскостями. (сравни с 5)
18. Найти расстояние d
между двумя параллельными плоскостями
Ax  By  Cz  D1  0 и Ax  By  Cz  D2  0 (сравните с задачей 6).
19. Записать
уравнения
плоскостей,
параллельных
плоскости
Ax  By  Cz  D  0 и отстоящих от нее на расстоянии d (сравните с
задачей 7).
Ax 0  By 0  Cz 0  D
20. Получить формулу d 
для нахождения рассто2
2
2
A  B C
яния от точки M 0 ( x 0 , y 0 , z0 ) до плоскости Ax  By  Cz  D  0 не
используя нормального уравнения плоскости. (сравните с задачей 8)
21. Три вектора OA  a , OB  b , OC  c – некомпланарные. Доказать,
что плоскость, проходящая через точки A , B , C перпендикулярна
вектору [a, b]  [b, c]  [c, a].
22. Даны две плоскости A1x  B1 y  C1z  D1  0 , A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0 .
С помощью рангов r и R матриц
 A1 B 1 C 1 
 A B C D1 

 и  1 1 1

 A2 B2 C 2 D2 
 A 2 B2 C 2 
выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы плоскости: 1) пересекались; 2) были параллельны; 3) совпадали.
23. Даны три плоскости A1x  B1 y  C1z  D1  0 , A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0 ,
A3 x  B3 y  C 3 z  D3  0 . С помощью рангов r и R матриц
 A1 B 1 C 1 
 A1 B 1 C 1 D1 




 A 2 B2 C 2  и  A2 B2 C 2 D2 
A B C 
A B C D 
3
 3
 3 3 3
3
3
выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
1) три плоскости имели одну общую точку;
2) три плоскости были различны и пересекались по одной прямой;
3) плоскости попарно пересекались и линия пересечения любых двух
плоскостей была параллельна третьей стороне (т.е. плоскости образовывают «призму»).
4) две плоскости параллельны, а третья их пересекает;
5) три плоскости параллельны;
6) две плоскости совпадают, а третья их пересекает;
7) две плоскости совпадают, а третья – им параллельна;
8) три плоскости совпадали.
24. При каком необходимом и достаточном условии четыре плоскости
Ak x  B k y  C k z  Dk  0 ( k  1,2,3,4 ) образуют пирамиду?
25. Запишите векторное уравнение плоскости, проходящей через точку
M 0 с радиус-вектором r0 параллельно неколлинеарным векторам 1
и 2 (не используя смешанное произведение векторов).
26. Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты уравнений
 A 1x  B1 y  C1z  D 1  0
прямой 
чтобы эта прямая а) была парал A 2 x  B2 y  C 2 z  D 2  0
лельна оси Ox (оси Oy , оси Oz ); б) пересекала ось Ox (ось Oy ,
ось Oz ); в) совпадала с осью Ox (осью Oy , осью Oz ).
 A 1x  B1 y  C1z  D 1  0
27. Дана
прямая
и
плоскость
A x  B y  C z  D  0
2
2
2
 2
A3 x  B3 y  C 3 z  D3  0 . С помощью рангов r и R матриц
 A1 B 1 C 1 
 A1 B 1 C 1 D1 




и
A
B
C
A
B
C
D
2
2
2
2
2
2
2




A B C 
A B C D 
3
3
3
3
 3


3
3
выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы прямая:
1) пересекалась с плоскостью; 2) была параллельна плоскости; 3) лежала в плоскости.
28. Записать уравнение
x  x 0 y  y0 z  z0


m
n
p
Ax  By  Cz  D  0 .
29. Записать уравнение
плоскости,
проходящей
перпендикулярно
через
прямую
плоскости
перпендикуляра, опущенного из точки
x  x 0 y  y0 z  z0
M 1 ( x 1; y1; z1 ) на прямую
.


m
n
p
30. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M 1 ( x 1; y1; z1 )
 A 1x  B1 y  C1z  D 1  0
перпендикулярно прямой 
.
 A 2 x  B2 y  C 2 z  D 2  0
31. Даны точка M 0 с радиус-вектором r0 и плоскость ( r, N )  D  0 .
Найти радиус-вектор точки M 1 , симметричной точке M 0 относительно заданной плоскости.
32. Записать уравнение проекции прямой r  r0  t   , не перпендикулярной плоскости ( r, N )  D  0 на эту плоскость.
33. Записать уравнение прямой, проходящей через точку M 0 с радиусr0
вектором
и пересекающей две скрещивающиеся прямые
r  r1  t1  1 и r  r2  t2  2 .
34. Записать уравнение общего перпендикуляра к двум скрещивающимся
прямым r  r1  t1  1 и r  r2  t2  2 .
35. Прямая r  r0  t   и плоскость ( r, N )  D  0 не параллельны. Точка M лежит на прямой на расстоянии d от плоскости. Найти радиус
вектор точки M .
36. Запишите векторное уравнение прямой в пространстве, проходящей
через точку M 0 с радиус-вектором r0 перпендикулярно двум неколлинеарным векторам a и b .
37. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми, используя методы векторной алгебры.
38. Доказать, что произведение расстояний от любой дочки гиперболы до
ее асимптот есть величина постоянная.
39. Найти наибольший радиус окружности, лежащей внутри параболы
y 2  2 px и касающейся параболы в ее вершине.
40. Доказать, что если две гиперболы имеют общие асимптоты и лежат в
одной и той же паре вертикальных углов, образованных их асимптотами, то их эксцентриситеты равны между собой.
41. Доказать, что если две гиперболы имеют общие асимптоты и лежат в
разных парах вертикальных углов, образованных их асимптотами, то
произведение их эксцентриситетов больше или равно 2, причем это
произведение равно 2 только для равносторонних гипербол.
42. Доказать, что сумма обратных величин отрезков, на которые фокус эллипса делит проходящую через него хорду, есть величина постоянная
(Указание: использовать полярное уравнение кривой).
43. Доказать, что сумма обратных величин отрезков, на которые фокус гиперболы делит проходящую через него хорду, есть величина постоянная (Указание: использовать полярное уравнение кривой).
44. Доказать, что сумма обратных величин отрезков, на которые фокус параболы делит проходящую через него хорду, есть величина постоянная
(Указание: использовать полярное уравнение кривой).
x 2 y2
45. Через точку гиперболы

 1 проведены две прямые, паралa2 b2
лельные асимптотам. Доказать, что площадь параллелограмма, образованного этими прямыми и асимптотами гиперболы есть величина поab
стоянная, равная
.
2
46. Доказать, что точки пересечения эллипсов n 2 x 2  m 2 y 2  m 2 n 2  0 и
m 2 x 2  n 2 y 2  m 2 n 2  0 (где m  n ) лежат на окружности. Указать
центр и радиус этой окружности.
x 2 y2
47. Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы

 1 до ее
a2 b2
асимптоты равно b .
48. Доказать, что длина отрезка, соединяющего центр эллипса с произвольной его точкой, заключена между длинами полуосей этого эллипса.
49. Доказать, что произведение расстояний от фокусов эллипса до касательной, проведенной к эллипсу в любой точке M 0 , равно квадрату
малой полуоси.
50. Записать уравнение сферы с центром в точке M 0 ( x 0 , y 0 , z0 ) и радиуса
R в векторной форме.
51. Если
M – отличная от начала координат точка на конусе
2
2
x
y
z2

  0 , то все точки прямой OM также лежат на конусе.
a2 b2 c2