Магнитное поле и его характеристики

Магнитное поле и его характеристики
Из многочисленных опытов известно, что, подобно тому, как в пространстве, которое
окружает электрические заряды, возникает электростатическое поле, так и в пространстве,
которое окружает токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, называемое
магнитным. Наличие магнитного поля определяется по силовому действию на помещенные
в него проводники с током или постоянные магниты. Термин «магнитное поле» связывают с
ориентацией магнитной стрелки под действием поля, которое создается током (это явление
впервые открыто датским физиком X. Эрстедом (1777—1851)).
Как мы уже знаем, электрическое поле оказывает силовое воздействие как на неподвижные,
так и на движущиеся в нем электрические заряды. У магнитного поля важнейшая
особенность состоит в том, что оно оказывает силовое воздействие только на движущиеся в
этом поле электрические заряды. Из опытов известно, что характер воздействия магнитного
поля на ток меняется в зависимости от формы проводника, по которому течёт ток, от
расположения проводника относительно магнитного поля и от направления тока. Значит,
чтобы охарактеризовать магнитное поле, необходимо исследовать его воздействие на
определенный ток.
При изучении характеристик электростатического поля использовались точечные заряды,
аналогично, при изучении характеристик магнитного поля используется замкнутый плоский
контур с током (рамка с током), у которого линейные размеры малы по сравнению с
расстоянием до токов, образующих данное магнитное поле. Ориентация контура в
пространстве задается направлением нормали к контуру. Направление нормали задается
правилом правого винта: за положительное направление нормали берётся направление
поступательного движения винта, у которого головка вращается в направлении текущего в
рамке тока (рис. 1).
Рис.1
Опыты демонстрируют, что магнитное поле воздействует на рамку с током, поворачивая ее
определенным образом, тем самым определяется направление внешнего магнитного поля.
Этот результат применяется для выбора направления магнитного поля. За направление
магнитного поля в данной точке пространства принимается направление, вдоль которого
располагается положительная нормаль к рамке (рис. 2). За направление магнитного поля
может быть также принято направление, совпадающее с направлением силы,
воздействующую на северный полюс магнитной стрелки, которая помещена в данную точку.
Так как оба полюса магнитной стрелки лежат в близких точках поля, то силы, которые
действуют на оба полюса, равны друг другу. Значит, на магнитную стрелку действует пара
сил, которая поворачивает ее так, чтобы ось стрелки, которая соединяет южный полюс с
северным, совпадала с направлением поля.
Рис.2
1
Рамку с током можно также использовать и для количественного описания магнитного поля.
Поскольку на рамку с током воздействует магнитное поле и оказывает на рамку
ориентирующее действие, то на нее в магнитном поле действует пара сил. Вращающий
момент этих сил зависит как от свойств поля в данной точке, так и от свойств самой рамки и
задается формулой
⃗𝑴
⃗⃗ = [𝒑
⃗]
⃗ 𝒎 ∙ ⃗𝑩
(1)
где pm — вектор магнитного момента рамки с током (В — вектор магнитной индукции,
количественная характеристика магнитного поля). Для плоского контура с током I
⃗ 𝒎 = 𝑰𝑺𝒏
⃗
𝒑
(2)
где n — единичный вектор нормали к поверхности рамки, S — площадь поверхности
контура (рамки). Таким образом, направление pm совпадает с направлением положительной
нормали.
Если в точку магнитного поля помещать рамки с различными магнитными моментами, то на
них оказывают действие различные вращающие моменты, но при этом отношение Мmax/рm
(Мmax — максимальный вращающий момент) для всех контуров одинаково и поэтому может
служить характеристикой магнитного поля, которая называется магнитной индукцией:
⃗𝑩
⃗ =
𝑴𝒎𝒂𝒙
⃗𝒎
𝒑
Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля задается максимальным
вращающим моментом, который действует на рамку с магнитным моментом, равным
единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля. Отметим, что вектор В
может быть также определен из закона Ампера и из выражения для силы Лоренца.
Зако́н Ампе́ра — закон взаимодействия постоянных токов. Установлен Андре Мари
Ампером в 1820. Из закона Ампера следует, что параллельные проводники с постоянными
токами, текущими в одном направлении, притягиваются, а в противоположных —
отталкиваются. Законом Ампера называется также закон, определяющий силу, с которой
магнитное поле действует на малый отрезок проводника с током. Сила
, с которой
магнитное поле действует на элемент объёма dV проводника с током плотности
находящегося в магнитном поле с индукцией :
.
Если ток течёт по тонкому проводнику, то
, где
— «элемент длины»
проводника — вектор, по модулю равный dl и совпадающий по направлению с током. Тогда
предыдущее равенство можно переписать следующим образом:
Сила
, с которой магнитное поле действует на элемент
проводника с током,
находящегося в магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике
и векторному произведению элемента длины
индукцию :
.
2
проводника на магнитную
,
⃗ определяется по правилу вычисления векторного произведения,
Направление силы 𝒅𝑭
которое удобно запомнить при помощи правила левой руки.
Модуль силы Ампера можно найти по формуле:
,
где α — угол между векторами магнитной индукции и тока.
Сила dF максимальна когда элемент проводника с током расположен перпендикулярно
линиям магнитной индукции (
):
.
Сила Лоренца — сила, с которой, в рамках классической физики, электромагнитное поле
действует на точечную заряженную частицу. Иногда, силой Лоренца называют силу,
действующую на движущийся со скоростью заряд лишь со стороны магнитного поля,
нередко же полную силу — со стороны электромагнитного поля вообще,[1] иначе говоря, со
стороны электрического и магнитного полей в СИ:
Названа в честь голландского физика Хендрика Лоренца, который вывел выражение для этой
силы в 1892 году. За три года до Лоренца правильное выражение было найдено
Хевисайдом[2]. (О́ливер Хе́висайд (англ. Oliver Heaviside, 18 мая, 1850 — 3 февраля,
1925) — английский учёный-самоучка, инженер, математик и физик. Впервые применил
комплексные числа для изучения электрических цепей, разработал технику применения
преобразования Лапласа для решения дифференциальных уравнений, переформулировал
уравнения Максвелла в терминах трехмерных векторов, напряженностей электрического и
магнитного полей и электрической и магнитной индукций, и, независимо от других
математиков, создал векторный анализ. Несмотря на то, что Хевисайд большую часть жизни
был не в ладах с научным сообществом, его работы изменили облик математики и физики.)
Частным случаем силы Лоренца является сила Ампера.
Поскольку магнитное поле есть силовое поле, то его, по аналогии с электрическим,
графически изображают с помощью линий магнитной индукции — линий, касательные к
которым в каждой точке совпадают с направлением вектора В. Их направление задается
правилом правого винта: головка винта, который ввинчивают по направлению тока,
вращается в направлении линий магнитной индукции.
Линии магнитной индукции можно обнаружить с помощью железных опилок, которые
намагничиваются в исследуемом поле и ведут себя подобно небольшим магнитным
стрелкам. На рис. 3а даны линии магнитной индукции магнитного поля кругового тока, на
рис. 3б — линии магнитной индукции поля соленоида (соленоид - равномерно намотанная на
цилиндрическую поверхность проволочная спираль, по которой идет электрический ток).
3
Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с током. В этом их
различии от линий напряженности электростатического поля, являющихся разомкнутыми
(они, как ранее рассматривалось, начинаются на положительных зарядах и кончаются на
отрицательных).
На ряс. 4 даны линии магнитной индукции полосового магнита; они выходят из северного
полюса и входят в южный. Вначале думалось, что здесь видна полная аналогия с линиями
напряженности электростатического поля и полюсы магнитов играют роль так называемых
«магнитных зарядов» (магнитных монополей). Однако, опыты показали, что, разрезая магнит
на части, его полюсы разделять нельзя, т. е. в отличие от электрических зарядов свободные
«магнитные заряды» не существуют, поэтому линии магнитной индукции не могут
обрываться на полюсах. В дальнейшем было показано, что внутри полюсовых магнитов
существует магнитное поле, по свойствам аналогичное полю внутри соленоида, и линии
магнитной индукции данного магнитного поля являются продолжением линий магнитной
индукции вне магнита. Значит, для постоянных магнитов линии магнитной индукции их
магнитного поля также являются замкнутыми.
До сих пор мы рассматривали макроскопические токи, которые текут в проводниках. Но по
предположению французского физика А. Ампера, в любом теле существуют микротоки,
обусловленные движением электронов в атомах и молекулах. Эти микротоки создают своё
магнитное поле и могут, к примеру, поворачиваться в магнитных полях макротоков.
Например, если рядом с каким-либо телом поместить проводник с током (макро ток), то под
действием магнитного поля данного макротока микротоки во всех атомах определенным
образом изменят свое направление, при этом создавая в теле дополнительное магнитное
поле. Вектор магнитной индукции В характеризует результирующее магнитное поле,
которое создается всеми макро- и микротоками, т. е. при одном и том же токе и прочих
равных условиях вектор В в различных средах будет иметь разные значения.
Магнитное поле макротоков описывается вектором напряженности Н. Для однородной
изотропной среды вектор магнитной индукции связан с вектором напряженности
следующим выражением:
⃗⃗ = 𝝁𝟎 𝝁𝑯
⃗⃗⃗
𝑩
где μ0 — магнитная постоянная, μ — безразмерная величина — магнитная проницаемость
среды, которая показывает, во сколько раз магнитное поле макротоков Н увеличивается за
счет поля микротоков среды.
При сопоставлении векторных характеристик электростатического (Е и D) и магнитного (В и
Н) полей, отметим, что аналогом вектора напряженности электростатического поля Е
является вектор магнитной индукции В, поскольку векторы Е и В задают силовые действия
этих полей и зависят от свойств среды. При этом, аналогом вектора электрического
смещения D является вектор напряженности Н магнитного поля.
4
Закон Био-Савара-Лапласа
Магнитное поле постоянных токов различной формы исследовалось французскими учеными
Ж. Био (1774—1862) и Ф. Саваром (1791—1841). Результаты их опытов были обобщены
французским ученым П. Лапласом.
Закон Био-Савара-Лапласа для проводника с током I, элемент dl которого создает в
некоторой точке А (рис. 1) индукцию поля dB, справедливо равенство:
𝒅𝑩 =
⃗]
𝝁𝟎 𝝁 𝑰[𝒅𝒍∙𝒓
𝒓𝟑
𝟒𝝅
(1)
где dl - вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по
направлению с током, r - радиус-вектор, который проведен из элемента dl проводника в
точку А поля, r - модуль радиуса-вектора r. Направление dB перпендикулярно dl и r, т. е.
перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с направлением касательной к
линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу правого
винта: направление вращения головки винта дает направление dB, если поступательное
движение винта совпадает с направлением тока в элементе.
Модуль вектора dB задается выражением
(2)
где α — угол между векторами dl и r.
Аналогично электрическому, для магнитного поля выполняется принцип суперпозиции:
магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или
движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей,
создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:
(3)
Расчёт характеристик магнитного поля (В и Н) в общем случае достаточно сложен. Однако
если распределение тока имеет какую-либо симметрию, то применение закона Био — Савара
— Лапласа совместно с принципом суперпозиции дает возможность просто рассчитать
некоторые поля. Рассмотрим два примера.
1. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому бесконечному
проводу (рис. 2).
В произвольной точке А, удаленной на расстояние R от оси проводника, векторы dB от всех
элементов тока имеют одинаковое направление, которое перпендикулярно плоскости
5
чертежа («к вам»). Значит, сложение всех векторов dB можно заменить сложением их
модулей. За постоянную интегрирования возьмем угол α (угол между векторами dl и r) и
выразим через него все остальные величины. Из рис. 2 следует, что
(радиус дуги CD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно
считать прямым). Подставив эти формулы в (2), получим, что магнитная индукция, которая
создаётся одним элементом проводника, равна
(4)
Поскольку угол α для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до π, то,
согласно (3) и (4),
Значит, магнитная индукция поля прямого тока
(5)
2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 3). Как видно из рисунка,
каждый элемент кругового проводника с током создает в центре магнитное поле
одинакового направления - вдоль нормали от витка. Значит, сложение векторов dB также
можно заменить сложением их модулей. Поскольку расстояние всех элементов проводника
до центра кругового тока одинаково и равно R и все элементы проводника перпендикулярны
радиусу-вектору (sinα=1), то, используя (2),
Тогда
Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током
Рис.3
6