ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Основные законы динамики. Законы Галилея
- Ньютона.
1. Закон инерции: изолированная материальная точка
неспособна вывести себя из состояния покоя или равномерного прямолинейного движения без воздействия
внешних сил или полей;
2. Основной закон динамики: сила, действующая на
тело, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной
системе отсчета пропорционально величине силы и
совпадает с ней по направлению: m  a  F , масса мера инертности точки: m  P / g .
3. Закон равенства действия и противодействия;
4. Закон про равнодействующую силу: несколько одновременно действующих на точку сил сообщают ей
такое ускорение, какое сообщает ей одна сила, равная
их геометрической сумме: m  a   F .
1.
i
Дифференциальные уравнения движения
свободной материальной точки в декартовых координатах.
Метод кинетостатики: если к движущейся под действием сил точке приложить силу инерции, то геометрическая сумма всех сил будет равна нулю:
F  m  a  0  F  Ф , где Ф - сила инерции.
Так как: m  a   F , то проектируя на ось координат
2.
i
получаю: m  a  cos(a ,i )   X , так как: a  cos(a ,i )  ax то аналоi
гично для y и z получаю: mx   X i

my   Yi

mz   Zi
3.
Основные задачи динамики точки.
1. Зная массу материальной точки и уравнение ее движения определить модуль и направление равнодействующей силы, под действием которой точка движется.
2. Зная силы, действующие на материальную точку, ее
массу и начальные условия движения определить траекторию.
6.
Связи и реакции связей.
Несвободная материальная точка - на движение наложены кинематические ограничения. Связи - тела,
ограничивающие свободу движения материальной
точки. Динамические реакции связи - силы, с которыми связи действуют на движущуюся материальную
точку.
Классификация связей:
1. стационарные - уравнения которых не содержат t в
явном виде и нестационарные.
2. голономные - ограничивающие только свободу перемещения, а не скорость и неголономные.
3. неудерживающие - препятствующие движению в
одном направлении и допускающие в противоположном и удерживающие.
Дифференциальные уравнения
относительного движения материальной точки.
aa  ar  ae  ac , подставляя в основное уравнение динамики: mar  mae  mac   Fi , обозначая переносную и
7.
кориолисову силы инерции: mar   Fi  Фe  Фc . В проекциях на координатные оси: mxr  X  Фex  Фcx
myr  Y  Фey  Фcy
mzr  Z  Фez  Фcz
Координаты центра масс системы материальных точек.
Механическая система материальных точек - совокупность точек, в которой положение и движение каждой
зависит от остальных. Система с кинематическими
ограничениями - несвободная. Масса механической
системы - арифметическая сумма масс всех ее точек.
Центр масс - геометрическая точка, положение которой определяется уравнениями: 
 mi xi
8.
 xc 
M


 mi yi
 yc 
M

zc   mi zi

M

Силы, действующие на точки механической
системы.
Задаваемые силы и реакции связи;
Внешние силы - силы, с которыми на механическую
систему действуют другие тела, не входящие в нее.
Внутренние силы - силы взаимодействия точек системы.
Свойства внутренних сил:
1. главный вектор внутренних сил равен нулю;
2. главный вектор момент внутренних сил относительно любого неподвижного центра равен нулю.
9.
4.
Свободное падение тела без учета сопротивления воздуха.
v0=0; my
  mg ; y  gt  c1 ; y  gt  c1t  c 2 . По
2
начальным условиям: y( 0)  0 и y(0)  0 определяю
постоянные интегрирования и: y  H  gT 2 .
2
Движение тела, брошенного под углом к
горизонту, без учета сопротивления воздуха.
x  с1t  c2
; x  с1
; 
, постоян  0
mx
2
  mg y   gt  c3  y   gt  c t  c
my
3
4

2
ные интегрирования определяются по заданным
начальным условиям.
5.


Теорема о движении центра масс механической системы.
m
r . Уравнение движения механической систеrc   i i
14.
Моменты инерции твердого тела. Радиус
инерции.
Момент инерции - скалярная величина, равная произведению массы на квадрат расстояния.
Планарный момент инерции - момент инерции относительно плоскости: I
  m  y 2 ; осевой - относи10.
XOZ
i
i
тельно оси: I   m  ( y2  z2 )2   m  (y2  z2 ) ; полярный X
i
i
i
i
i
i
2
относительно полюса: IO   mi  ri   mi (xi2  yi2  zi2 ) ; центробежный момент инерции: I XY   mi  xi  y .
i
Радиус инерции - расстояние от оси до воображаемой
точки, в которой необходимо сосредоточить массу
тела, чтоб момент инерции этой точки относительно
заданной оси был равен моменту инерции данного
тела относительно этой же оси:   I x .
x
M
11.
Главные оси и главные моменты инерции.
Главная ось инерции - ось, относительно которой центробежный момент равен нулю. Если для тела существует материальная ось симметрии, то главная ось
инерции совпадает с ней. Если все центробежные моменты инерции равны нулю, то каждая из осей является главной осью инерции.
Главная центральная ось инерции - центральная ось
инерции, проходящая через центр масс.
Главные моменты инерции - моменты инерции относительно главных осей.
Теорема о моменте инерции относительно
параллельных осей.
Теорема: Момент инерции относительно оси равен
сумме момента инерции относительно параллельной
ей центральной оси и произведение массы тела на
квадрат расстояния меду осями: Iz = Izc + mh2.
Для однородного стержня: Izc = ml2/12;
для однородного кольца: Izc = mR2;
для однородного диска: Izc = mR2/2;
12.
Дифференциальные уравнения движения
механической системы.
Основное уравнение динамики для каждой точки механической системы: mi  ai  Pi E  Pi J . Проектируя на
13.
оси координат:
mx  X iE  X iJ .

E
J
my  Yi  Yi
E
J


mz

Z

Z
i
i

мы:
M
d 2r
 mi  dt 2i
 Pi E  Pi J
;
;
d2
(  mi ri )  Pi E  0
dt 2
M  ac  Pi E .
Теорема: Центр масс механической системы движется
как материальная точка, обладающая массой механической системы, к которой приложены все внешние
силы, действующие на данную механическую систему.
mxс  X iE

E
myс  Yi
E


mz

Z
с
i

Следствия:
1. внутренние силы не влияют на движение механической системы.
2. если главный вектор всех внешних сил равен нулю,
то центр масс находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно.
3. если проекция главного вектора всех внешних сил
на какую-либо ось равна нулю, то проекция центра
масс неподвижна или движется равномерно и прямолинейно.
Импульс силы и его проекции на координатные оси.
Импульс силы - векторная величина, характеризующая
передачу материальной точке механического движения за некоторый промежуток времени со стороны
других тел, действующих на нее, равна произведению
силы на время ее действия и совпадает с ней по
направлению: S  P   ; В проекциях на оси:
15.
t2

S x   X  dt

t1
t2


S y   Y  dt
t1

t2

S

 z  Z  dt

t1

Теорема об изменении количества движения
материальной точки.
Количество движения материальной точки - вектор,
численно равный произведению массы точки на скорость ее движения и совпадающий с ней по направлению.
Векторная производная по времени от количества
движения материальной точки геометрически равна
вектору силы, действующей на точку.
Основное
уравнение
динамики:
;
dv
16.
m
d (mv )
 P
dt
. Интегрируя получим:
dt
v2
t2
v1
t1
 P
 d (mv )   P  dt
; mv2  mv1  S .
Теорема: Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно
импульсу силы, действующей на точку за этот промежуток времени.
Теорема об изменении количества движения
механической системы.
Количество движения механической системы - вектор,
равный геометрической сумме всех количеств движения материальных точек этой системы, численно равный произведению массы системы на скорость центра
масс и совпадающий с ней по направлению.
Векторная производная по времени от количества
движения механической системы геометрически равна
главному вектору внешних сил, действующих на механическую систему.
. Так как: d  mi vi
,
d  mi ri
E
J
17.
K   mi vi 
то:
;
dK
 PE
dt
dt
 M  vc
интегрируя
dt
получим:
 Pi  Pi
K2
t2
K1
t1
E
 dK   P  dt
;
E.
K2  K1  S
Теорема: Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил,
действующих на систему за этот промежуток времени.
Следствия:
1. внутренние силы не влияют на изменение количества движения;
2. Закон сохранения количества движения механической системы: если главные векторы всех внешних
сил, действующих на точки системы, равны нулю, то
вектор количества движения механической системы
остается постоянным.
3. Закон сохранения проекции вектора количества
движения механической системы: если проекции векторов всех внешних сил, действующих на точки системы, на ось равны нулю, то проекция вектора количества движения механической системы на эту ось
остается постоянной.
Моменты количества движения материальной точки относительно полюса и оси.
Момент количества движения материальной точки
относительно полюса - вектор численно равный произведению количества движения на плечо d (кратчайшее расстояние от полюса до линии действия количества движения) и направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через вектор количества движения и
полюс, в сторону, откуда вращение вектора вокруг
полюса видно против часовой стрелки: lo  mv  r , где
18.
r - расстояние от полюса до материальной точки.
Проекция момента количества движения материальной точки относительно полюса на ось, проходящую
через этот полюс равна моменту количества движения
точки
относительно
этой
оси:
,
где
k
единичный
орт
lz  mv XOY  d XOY  lo  cos(lo , k )
оси z.
Теорема об изменении момента количества
движения материальной точки.
lo  mv  r ; взяв производную по времени от обоих
частей
уравнения
получим:
19.
dlo
dr
dv
 mv   m  r  v  mv  ma  r  P  r  M o ( P ) ,
dt
dt
dt
dl
итак: o  M ( P ) .
o
dt
Теорема: векторная производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно полюса равна вектору момента силы, действующей на точку относительно того же центра.
Следствия:
1. если линия действия силы проходит через полюс. То
момент количества движения относительно этого полюса постоянный;
2. если момент силы относительно оси равен нулю, то
момент количества движения относительно этой оси
постоянный.
Кинетический момент механической системы относительно центра и оси.
Кинетический момент относительно полюса - главный
момент количества движения механической системы
относительно полюса - вектор, равный геометрической
сумме момента количества движения всех точек системы относительно того же полюса: Lo   loi
20.
Кинетический момент относительно оси - скаляр, равный алгебраической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно той же оси:
Lx   lxi  Lo  cos( Lo , i )
Кинетический момент вращающегося твердого тела
относительно оси вращения равен произведению угловой скорости на момент инерции тела относительно
оси
вращения:
lzi  mvi  ri  mi    ri2 ;
Lz   lzi   mi    ri2     mi  ri2    I z .
21.
Теорема об изменении кинетического момента механической системы.
dLo
dl
  oi   M o( Pi E )   M o( Pi J )  M E
dt
dt
Теорема: векторная производная по времени от кинетического момента механической системы относительно полюса геометрически равна главному моменту
все внешних сил, действующих на механическую систему.
Следствия:
1. внутренние силы не влияют на изменение кинетического момента;
2. если главный момент все внешних сил относительно
полюса равен нулю, то кинетический момент относительно этого полюса постоянный;
3. если главный момент все внешних сил относительно
оси равен нулю, то кинетический момент относительно этой оси постоянный;
22.
Работа и мощность.
Работа силы - количественная мера превращения механического движения в другие виды движения.
Если сила постоянна по модулю и направлению, а точка ее приложения перемещается прямолинейно, то
работа равна произведению модуля силы, длинны перемещения и косинуса угла между этими векторами:
A  P  S  cos( P , S ) . Знак работы совпадает со знаком
проекции
силы
на
ось
перемещения.
.
Интегрируя
для точки
dA  P  dS  Xdx  Ydy  Zdz
М
получим:
M2
M2
A   P  dS  cos( P , dS )   ( Xdx  Ydy  Zdz )
M1
2
M1
Мощность - работа, выполненная за единицу времени.
Теорема о работе равнодействующей силы: работа
равнодействующей на некотором перемещении равна
алгебраической сумме работ, составляющих ее сил на
этом же перемещении.
23.
Работа сил тяжести, упругости.
Работа силы тяжести численно равна произведению
силы тяжести на вертикальное перемещение точки ее
приложения, не зависит от траектории перемещения, а
только от расстояние между вертикальными проекциями начального и конечного положения точки:
M2
M2
M1
M1
А   dA   ( Xdx  Ydy  Zdz)   (0  0  mg)  mg( z1  z2 )  mgH
Работа силы упругости численно равна произведению
половины коэффициента жесткости на квадрат перемещения точки приложения силы, поскольку модуль
силы упругости равен произведению коэффициента
жесткости на удлинение:
А   dA 
M2
M2
M1
M1
 P  dx    cx  dx  
сx
2
2 l
0

cl .
2
M2
M2
M2
M1
M1
M1
P  Pn  P  Pве р тик ; А  dA  P  ds  P  R  d  M ( P)  d
  
 z
. Мощность: N  dA  M ( P)  d  M ( P)   .
z
z
dt
1 2
2
Теорема: изменение кинетической энергии материальной точки на некотором перемещении равно работе
силы, действующей на точку, на том же перемещении.
Кинетическая энергия механической системы при различных видах движения.
Кинетическая энергия механической системы - скаляр,
равный сумме кинетических энергий всех точек сиmi vi2 .
стемы:
26.
T

2
При поступательном движении:
При
При
mi vс2 M  vc2

2
2
движении:
m r2  2
I  2
 z
 i i2
2
плоскопараллельном
I МЦС   2
T
T
вращательном
m v2
T i i 
2
2
движении:
( I  M  d 2 )   2 I c   2 M  d 2   2 I c   2 M  vc2
 c




2
2
2
2
2
, где d - расстояние от центра масс до МЦС.
Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.
mi v22i mi v12i
(

)
A( P E ) 
A( P J ) , так как работа
27.
2
24.
Работа сил, приложенных к твердому телу.
Работа внутренних сил на конечном перемещении
равна нулю.
Работа силы, действующей на поступательно движущееся тело равна произведению этой силы на приращение линейного перемещения.
Работа силы, действующей на вращающееся тело равна произведению момента этой силы относительно оси
вращения
на
приращение
угла
поворота:
dt
Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.
Кинетическая энергия материальной точки - скаляр,
равный половине произведение массы точки на квадрат ее скорости.
Основное уравнение динамики: m dv  P , домножим
dt
на элементарное перемещение: m  dv  dr  P  dr ;
dt
2
mv
m  dv  v  dA ; d (
)  dA . Интегрируя полученное
2
2
2
выражение: mv 2  mv1  A
25.

2
2

i

i
внутренних сил равна нулю, то: T  T   A( P E ) .
2
1
i
Теорема: изменение кинетической энергии механической системы на конечном перемещении равно сумме
работ внешних сил на том же перемещении.
Потенциальное силовое поле. Потенциальная энергия.
Силовое поле - часть пространства, в каждой точке
которого на помещенную в ней материальную точку
действует сила, зависящая только от положения этой
точки. Потенциальное силовое поле - это стационарное (не изменяющееся во времени) поле, работа сил
которого не зависит от формы траектории точки, а
только от ее начального и конечного положений. Силовая функция потенциального поля - такая функция,
что: 
u . Потенциальные силы - силы потенциаль28.
 X  x

u

Y 
y

Z  u

z

ного поля. Элементарная работа потенциальной силы
равна полному дифференциалу силовой функции:
.
u
u
u
A  Xdx  Ydy  Zdz 
dx 
dy 
dz  du
x
y
z
Полная работа потенциальной силы равна разности
значений силовой функции в начальном и конечном
положении точки. На замкнутом перемещении равна
нулю.
Потенциальная энергия - величина, отличающаяся от
силовой функции, взятой с отрицательным знаком, на
постоянную величину - нулевое значение силовой
функции. A = u0 - u = П. Проекции потенциальной силы, действующей на материальную точку равны взятым с отрицательным знаком частным производным от
потенциальной энергии по соответствующим координатам: 
П .
 X   x

П

Y  
y

Z   П

z

Эквипотенциальная поверхность - поверхность равного потенциала, единственная для каждой точки поля ГМТ с постоянным значением потенциальной энергии.
Закон сохранения механической энергии.
mv 2
A  d (
)   du , интегрируя это выражение полу2
2
чим: mv  u  сonst , Т + П = const.
2
Если материальная точка движется под действием потенциальной силы, то полная механическая энергия
постоянна.
29.
Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела.
При поступательном движении все точки тела движутся так же, как и центр масс, значит:  Mxc   X e
30.

e
 Myc   Y
 Mzc   Z e

Задачи:
1. по закону движения определить главный вектор
внешних сил, действующих на точки данного тела.
При этом главный вектор момент всех внешних сил
относительно центра масс равен нулю.
2. по внешним силам и начальным условиям найти
закон движения тела.
Дифференциальные уравнения вращательного движения твердого тела.
dLz d ( I z   )

 I z     mz ( Pi ) . Аналогично для двух
dt
dt
 I     M x ( P E )
других осей:  x
E
 I y     M y ( P )
 I z     M z ( P E )

31.
Задачи:
1. по закону движения и моменту инерции определить
главный вектор момент всех внешних сил, действующих на точки данного тела.
2. по внешним силам, моментам инерции и начальным
условиям найти закон движения тела.
3. по внешним силам и угловому ускорению определить момент инерции.
Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела.
Плоскопараллельное движение состоит из поступательного вместе с центром масс и вращательного вокруг него:  Mxc  X e
32.

e
 Myc  Y


I


M
( Pi e )
 z
33.
Принцип Д’Аламбера для материальной
точки.
Pi  Фi  0
Геометрическая сумма всех приложенных к движущейся материальной точке сил и сил инерции этой
точки равна нулю.
34.
Главный вектор момент сил инерции.
Главный вектор момент сил инерции точек системы
относительно неподвижного полюса равен взятой с
отрицательным знаком векторной производной по
времени от кинетического момента данной системы
относительно
того
же
полюса:
MoФ   (Фi  ri )   (mi  ai  ri )  
dL
d
(mi  vi  r )   o .

dt
dt
Возможные (виртуальные) перемещения
механической системы. Идеальные связи.
Возможные (виртуальные) перемещение точки - мысленное бесконечно малое перемещение точки, допускаемое наложенными на нее связями (линейное расстояние или угол поворота).
Вектор r возможного перемещения направлен по касательной к траектории перемещения точки и составляет главную линейную часть вектора действительного перемещения dr.
Cвязи, сумма работ реакций которых на возможном
перемещении равна нулю, называются идеальными:
 Ri  r i  cos( Ri ,r i )  0 .
35.
Принцип возможных перемещений для механической системы.
Pi  Ri  0 ;
 Pi  r i  cos( Pi , r i )   Ri  r i  cos( Ri , r i )  0 ,
36.
пусть связи, наложенные на точки механической системы двусторонние, стационарные, голономные и
идеальные, тогда:  Pi  r i  cos( Pi , r i )  0 .
Принцип возможных перемещений - принцип Лагранжа - для равновесия механической системы с двусторонними, стационарными, голономными и идеальными связями необходимо и достаточно, чтоб алгебраическая сумма работ задаваемых сил на возможном перемещении равнялась нулю.
Общее уравнение динамики. Принцип
Д’Аламбера-Лагранжа.
Принцип Д’Аламбера: (Pi + Ri + Фi) = 0; (Pi + Ri +
Фi)ri = 0, полагаем. что связи, наложенные на механическую систему двисторонние, стационарные, голономные и идеальные, тогда: (Ri  ri) = 0;
(Pi + Фi)ri = 0 - общее уравнение динамики - для
движения механической системы с двусторонними,
стационарными, голономными и идеальными связями
сумма работ задаваемых сил и сил инерции точек системы на любом возможном перемещении равна нулю.
37.
Обобщенные координаты, обобщенные силы
и их вычисление.
Обобщенная координата qi - независимая величина,
заданием которой однозначно определяется положение всех точек механической системы.
Обобщенная сила - Qi - соответствующая обобщенной
координате qi - скалярная величина, равная отношению элементарной работы сил, действующих на систему на перемещении, вызванном элементарным приращением обобщенной координаты к величине этого
38.
приращения: Q  Aqi   Pi  ri .
i
qi
qi
39.
Уравнение Лагранжа второго рода.
Пускай q - обобщенная координата, зависящая от времени. Производная по времени от обобщенной координаты - обобщенная скорость, тогда: vi
ri .
qi
Кинетическая
T
mi vi2 1
 
2
2
ческой

qi
энергия
механической
системы:
.
Частная
производная
кинетиmv v
i i
энергии
i
по
обобщенной
координате:
v , частная производная кинетической
T
  mi vi  i
qi
qi
энергии
по
обобщенной
скорости:
T
v
r
  mi vi  i   mi vi  i . Продифференциqi
qi
qi
руем
последнее
выражение
по
времени:
r
dv r
d T d
d r
( )  (  mi vi  i )   mi i  i   mi vi  ( i ) ;
dt q i dt
q i
dt q i
dt q i
dv r
r
учитывая, что:
 mi dti  qi   ( Pi  Ri )  qi  Qi  QiR и
i
i
d r
v
 mi vi  dt ( qi )   mi vi  qi
i
i

T
qi
получим:
T
d T
T или d T
(
)
 Qi .
(
)  Qi 
dt qi
qi
dt qi
qi