Диа-парамагнитная система формирования компактного

Диа-парамагнитная система формирования компактного пучкового тора…
Л.А. СУХАНОВА, Ю.А. ХЛЕСТКОВ
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
ДИА-ПАРАМАГНИТНАЯ СИСТЕМА ФОРМИРОВАНИЯ КОМПАКТНОГО ПУЧКОВОГО
ТОРА В ДИОДЕ С МАГНИТНОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ И КАСПОМ
Задача данной работы – выяснить некоторые физические свойства системы формирования компактного пучкового тора, состоящей из диода с магнитной изоляцией и каспом. Описана естественная система координат, позволяющая
упростить решение нелинейных уравнений самосогласованного поля. Исследованы законы сохранения вдоль траекторий. Исследованы граничные условия на взрывоэмиссионном катоде и получены аппроксимации функций, имеющих
особенности, вблизи катода.
Постановка задачи. Для увеличения времени удержания высокотемпературной плазмы в
термоядерных реакторах токамакового типа можно использовать тороидальный сильноточный
релятивистский пучок (СРП) – компактный пучковый тор (КПТ), электромагнитное поле которого
не имеет особенностей, а потому может служить абсолютной магнитной ловушкой [1, 2].
В сильноточной физике пучков заряженных частиц хорошо разработаны методы генерации
и транспортировки прямоточных СРП. Задача данной работы – выяснить некоторые физические
свойства системы формирования компактного пучкового тора, состоящей из диода с магнитной
изоляцией и каспом.
Естественная система координат и законы сохранения для стационарной заряженной
среды. Использование так называемой естественной системы координат (ЕСК) наряду со стандартной цилиндрической системой координат (ЦСК) позволяет упростить решение системы уравнений, описывающих процесс формирования КПТ. ЕСК можно построить различными способами.
Например, используя систему координат t , , ,  , где линии   const совпадают с траекториями заряженных частиц. В такой системе координат p2  0 , где p 2 – ковариантная координата
импульса заряженных частиц; 2 – координата .
Как показано в [3], в стационарной аксиально-симметричной заряженной среде, находящейся в собственном электромагнитном поле, выполняются следующие законы сохранения.


 0,
 0 , следует, что полная энергия системы «частица + поле»      ( – поИз
t

тенциал электрического поля), а также ковариантная циклическая проекция полного импульса (т.е.
аксиального момента импульса) частицы + поля  3  p3  A3 (где p3 и A3 – аксиальные компоненты импульса частиц и векторного потенцииала электромагнитного поля) сохраняются вдоль
траекторий:
      0 ,
3    3  0 .

Точкой здесь обозначена полная производная по времени:   / t   .
В рассматриваемой естественной системе координат эти законы сохранения означают, что
  (),  3   3 () , т.е. полная энергия и полный аксиальный момент импульса зависят только от
одной координаты.
Условия на взрывоэмиссионном катоде. Взрывная эмиссия в окрестности катода в модели
описывается плазмой бесконечной плотности nк и проводимости  к [4]:
nк  , к   .
Так как плотность эмиссионного тока jк  nк к , где  к – безразмерная скорость частиц, конечна, то необходимо, чтобы
к  0  pк  0,  к  1 .
(1)
В работе принята безразмерная система измерения, в которой все фундаментальные константы положены равными единице: e  c  4  1 , где e – фундаментальный заряд; c – скорость
света. В этой системе pк   к к – импульс частиц на катоде;  к  1  к2 
Согласно закону Ома
jк  к  Eк  к  Hк  ,
1/2
– лоренц-фактор.
Диа-парамагнитная система формирования компактного пучкового тора…
где Eк и H к – напряженности электрического и магнитного поля на катоде.
Сравнивая это выражение с (1), получим второе известное условие [4]:
Eк  0 .
Тогда, учитывая граничное условие
к  V ,
где V – потенциал катода, получим
()      1  V  0 ,
3 ()  p3  A3  A3к ()  2 ψк () .
(2)
(3)
(4)
Здесь  ψк – продольный поток магнитного поля на катоде.
Из уравнения Пуассона
  n,
и (2) имеем на катоде
 
 2
 2

 0;
 ,
 .
2
z r
z
r 2
Учитывая (3), получаем следующее утверждение: в диоде с магнитной изоляцией со взрывоэмиссионным катодом существует особенность в граничных условиях на катоде:
nк  ,
 / z   / r  0,
 2 / z 2   2 / r 2  ,
 / z   / r  0,
 2  / z 2   2  / r 2  .
(5)
При численном решении нелинейных уравнений самосогласованного поля СРП [2] в стационарном диоде с магнитной изоляцией придется уходить от особенностей (5), аппроксимируя поведение функций n( z, r ) , ( z, r ) , ( z, r ) в окрестности катода.
Для этого может оказаться достаточным в окрестности катода свести геометрию к известному случаю однородного по r плоского диода Чайлда–Ленгмюра в бесконечном продольном магнитном поле (рис. 1) [4].

В приближении
 0 задача сводится к решению уравнений Пуассона и непрерывности:
r
 2  / z 2  n,
(6)
j z / z  0.
Отсюда следует приближение постоянства плотности эмиссионного тока
2J
(7)
jz  j0  n z  2 0 2 ,
rкe  rкi
где J 0  2 J z 0 ; ( J z 0 – полный продольный ток).
Подставив n из (7) в (6), получаем уравнение [4]
j0 
2 

,
2
z
2 1
имеющее первый интеграл, удовлетворяющий граничным условиям  к  1,
    2 j  2  1 ,
 
0
 z 
2
который сводится к квадратурам

d

2
 1
1/4
  2 j0 1/2 z  const
 к
0
z
Диа-парамагнитная система формирования компактного пучкового тора…
и в случае   1 имеет вид
4
2
4
5

 3
V  ( z )   ( z )  1   3  2 4  j03 z 3 .


(8)
Рис. 1. Плоский диод Чайлда–Ленгмюра в бесконечном продольном магнитном поле;
rкi, rкe – внутренний и внешний радиусы кольцевого плоско-параллельного катода
Из (8) получаем искомые аппроксимации функций
2
z 2/3
;
n( z )  1/3 J 02/3
2  r 2 2/3
9
r


кe
 z ( z )  91/3 J 01/3
кi
z 2/3
 rк2e  rк2i 
1/3
.
Заключение. В работе описана естественная система координат ЕСК, которая используется наравне с цилиндрической системой координат ЦСК при исследовании процесса формирования
компактного пучкового тора, существенно облегчая решение нелинейных уравнений самосогласованного поля.
Получены законы сохранения вдоль траекторий полной энергии и полного аксиального момента импульса системы «частица + поле» для стационарной аксиально-симметричной заряженной среды в собственном электромагнитном поле.
Исследованы граничные условия для СРП вблизи взрывоэмиссионного катода. Показано,
что граничные условия имеют особенности. Исследован способ аппроксимации функций, имеющих особенности, вблизи катода.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Суханова Л.А., Хлестков Ю.А. // Известия вузов. Физика. 2009. Т. 52. № 2. С. 75.
2. Капитанов А.Н., Образцов Н.В., Суханова Л.А. и др. // Физика плазмы. 2009. Т. 35. № 6. С. 559.
3. Суханова Л.А., Хлестков А.Ю. // Известия вузов. Физика. 2008. Т. 51. № 12. С. 56.
4. Лебедев А.Н. Физические процессы в сильноточных диодах. М.: МИФИ, 1984.