Тема: Преобразование графиков функций Выполнила: Вострова Елена Евгеньевна СВАО, Школа № 298 Москва, 2011 г. Содержание Введение ................................................................................................................... 3 Параллельный перенос ........................................................................................... 5 Перенос вдоль оси ординат................................................................................. 5 Перенос вдоль оси абсцисс ................................................................................. 5 Отражение ................................................................................................................ 6 Построение графика функции вида y=f(-x)....................................................... 6 Построение графика функции вида y=-f(x)...................................................... 7 Построение графика четной функции ............................................................... 7 Построение графика нечетной функции ........................................................... 8 Построение графика обратной функции ........................................................... 9 Деформация (сжатие и растяжение) ...................................................................... 9 Сжатие (растяжение) графика вдоль оси ординат ........................................... 9 Сжатие (растяжение) графика вдоль оси абсцисс .......................................... 10 Функции, содержащие знак модуля .................................................................... 11 Построение графика функции y=|f(x)| ............................................................. 11 Построение графика функции y=f(|x|) ............................................................. 11 Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах) .................. 12 Заключение ............................................................................................................ 14 Используемая литература ..................................................................................... 15 2 Введение Понятие функциональной зависимости, являясь из центральных в математике, пронизывает все ее приложения, оно, как ни одно другое, приучает воспринимать величины в их живой изменчивости, во взаимной связи и обусловленности. Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Существуют различные способы задания функции: аналитический, табличный, словесный, а также графический. Иногда график является единственно возможным способом задания функции. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи и порой является средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой интерес для самих учащихся. Опыт работы показывает, что материал, связанный с построением графиков функций учащимися усваивается недостаточно полно с точки зрения требований, предъявляемых на экзаменах. Поэтому задачи на построение графиков нередко вызывают затруднения. Графическое изображение функции дает весьма наглядное представление о поведении функции в целом. Нередко график оказывает существенную помощь при решении задачи. Поэтому важно уметь упрощать процедуру построения графиков, используя для этого различные преобразования. Иногда график строится с помощью полного исследования функции, которое устанавливает область определения, область значений, промежутки убывания и возрастания, промежутки знакопостоянства, асимптоты и т. д. Но довольно часто при построении графиков функций можно избежать подобных исследований, используя ряд приемов, позволяющих путем некоторых преобразований получить график требуемой функции из графика какой-нибудь хорошо известной функции. Цель данной презентации – дать систематизированное изложение методов построения графиков функций в рамках программой средней школы. 3 знаний, предусмотренных Главное внимание презентации уделено именно методам построения графиков, а не изучению отдельных видов функций. Такой подход представляется наиболее целесообразным, так как позволяет сделать материал более доступным, облегчить усвоение материала учащимися. А также рассматриваются примеры построения графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций. Презентация может быть использована как элемент урока или элективного курса. 4 Параллельный перенос Перенос вдоль оси ординат Пусть требуется построить график функции y=f(x)+b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений x на |b| единиц больше соответствующих ординат графика функции y=f(x) при b>0 и на |b| единиц меньше при b<0. Для построения графика функции y=f(x)+b следует построить график функции y=f(x) и перенести его на |b| единиц вниз при b<0 или на |b| единиц вверх при b>0. Перенос вдоль оси абсцисс Пусть требуется построить график функции y=f(x-a). Рассмотрим функцию y=f(x), которая в некоторой точке x=x1 принимает значение y1=f(x1). Очевидно, функция y=f(x-a) примет такое же значение в точке x2, координата которой определяется из равенства x2-a=x1, т.е. x2=x1+a, причём рассматриваемое равенство справедливо для совокупности всех значений x из области определения функции. Следовательно, график функции y=f(x-a) может быть получен параллельным перемещением графика вдоль абсцисс влево на |a| единиц при a>0 или вправо на |a| при a<0. Для построения графика функции y=f(x-a) следует построить график функции y=f(x) и перенести его на |a| единиц влево при a>0 или вправо на |a| единиц при a<0. 5 Отражение Построение графика функции вида y=f(-x) Очевидно, что функции y=f(-x) и y=f(x) принимают равные значения в точках, абсциссы которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Иначе говоря, ординаты графика функции y=f(-x) в области положительных (отрицательных) значений x будут равны ординатам графика функции y=f(x) при соответствующих абсолютной величине отрицательных (положительных) значений x. Для построения графика функции y=f(-x) следует построить график функции y=f(x) и отразить его относительно оси ординат полученный график является графиком функции y=f(-x). Замечание: Точка пересечения графика с осью Y остается неизменной. Замечание: График четной функции не изменяется при отражении 6 относительно оси Y, поскольку для четной функции f(-x)=f(x). Пример: (-x)²=x² Построение графика функции вида y=-f(x) Ординаты графика функции y=-f(x) при всех значениях аргумента равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку ординатам графика функции y=f(x) при тех же значениях аргумента. Для построения графика функции y=-f(x) следует построить график функции y=f(x) и отразить его относительно оси абсцисс. Замечание. Точки пересечения графика с осью X остаются неизменными. Построение графика четной функции График четной функции симметричен относительно оси ординат. Для построения графика четной функции у=f(x) следует построить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента x≥0. График функции у=f(x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно оси ординат и получается отражением ее относительно этой оси. 7 Построение графика нечетной функции График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Для построения графика нечетной функции у=f(x) следует строить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента x≥0. График функции у=f(x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно начала координат и может быть получен отражением этой ветви относительно оси ординат с последующим отражением в области относительно оси абсцисс. 8 отрицательных значений х Построение графика обратной функции График обратной функции симметричен графику прямой функции относительно прямой y=x. Для построения графика функции y=φ(x), обратной по отношению к функции y=f(x), следует построить график y=f(x) и отобразить его относительно прямой y=x Деформация (сжатие и растяжение) Сжатие (растяжение) графика вдоль оси ординат Рассмотрим функцию вида y=k∙f(x), где k>0. Нетрудно заметить, что при равных значениях аргумента ординаты графика этой функции будут в k раз больше ординат графика функции y=f(x) при k>1 или в 1/k раз меньше ординат графика функции y=f(x) при k<1. Для построения графика функции y=k∙f(x) следует построить график функции y=f(x) и увеличить его ординаты в k раз при k>1 или уменьшить его ординаты в 1/k раз при k<1. 9 Замечание. Точки пересечения графика с осью X остаются неизменными. Сжатие (растяжение) графика вдоль оси абсцисс Пусть требуется построить график функции y=f(α∙x) где α>0. Рассмотрим функцию y=f(x), которая в произвольной точке x=x1 принимает значение y1=f(x1). Очевидно, что функция y=f(α∙x) принимает такое же значение в точке x=x2, координата которой определяется равенством x1= α∙x2, или x2=x1/α, причем это равенство справедливо для совокупности всех значений x из области определения функции. Следовательно, график функции y=f(α∙x) оказывается сжатым (при α >1) или растянутым (при α <1) вдоль оси абсцисс относительно графика функции y=f(x). Для построения графика функции y=f(α∙x) следует построить график функции y=f(x) и уменьшить его абсциссы в α раз при α>1 или увеличить его абсциссы в α раз при α<1. 10 Замечание. Точки пересечения графика с осью y остаются неизменными. Функции, содержащие знак модуля Построение графика функции y=|f(x)| Части графика функции y=f(x), лежащие выше оси x и на оси x, остаются без изменения, а лежащие ниже оси X – симметрично отображаются относительно этой оси (вверх). Замечание. Функция y=|f(x)| неотрицательна (ее график расположен в верхней полуплоскости). Построение графика функции y=f(|x|) Часть графика функции y=f(x), лежащая левее оси Y, удаляется, а часть, лежащая правее оси Y – остается без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси Y (влево). Точка графика, лежащая на оси Y, остается неизменной. 11 Замечание. Функция y=f(|x|) четная (ее график симметричен относительно оси Y). Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах) 1.) 2.) 12 3.) 4.) Решите уравнение: Рассмотрим функции: При решении уравнения f(x)=φ(x) учащиеся могут графиками функций без подробного обоснования воспользоваться различных этапов исследования. Рисунок подсказывает, что x=2 является единственным корнем уравнения. 13 Заключение Мы видим, что правила преобразования графиков существенно упрощают построение графиков сложных функций. Помогают найти нетрадиционное решение сложных задач. Построение эскизов графиков – важнейший навык, необходимый как в математике (для исследования уравнений и неравенств), так и в смежных разделах знаний. Без графиков сейчас не представляется даже информация о текущих экологических и социальных проблемах. График – это язык, средство для передачи емкой, качественной информации об интересующих нас явлениях в их взаимосвязи с сопровождающими (или побуждающими) обстоятельствами. 14 Используемая литература 1. Экзамен по алгебре и начала анализа (Пособие для учителей и старшеклассников.) С. Н. Саакян Москва, 2001, «Вербум - М»; 2. Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике И. Н. Данкова, Т. Е. Бондаренко и др. Москва, 2006, «5 за знания»; 3. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа В. С. Крамор Москва, 1994, «Просвещение»; 4. Графики функций (учебное пособие для поступающих) А. М. Дороднов, И. Н. Острецов и др. Москва, 1972, «Высшая школа»; 5. Наглядный справочник по алгебре и началам анализа с примерами. Л. Э. Генденштейн, А. П. Ершова, А. С. Ершова. Москва, 1997, «Илекса»; 6. Алгебра и начала анализа 10-11 классы А. Г. Мордкович Москва, 2009, «Мнемозина». 15