LECTURES
реклама
Глава 1. Поверхностные интегралы
§1. Площадь поверхности
Площадь поверхности, заданной явным образом.
z = f(x,y), где функция f(x,y) определена в замкнутой ограниченной
области G, при этом функция f(x,y) имеет в области G непрерывные
частные производные второго порядка. Произведем разбиение поверхности P кусочно-гладкими линиями. Фрагменты разбиения на
Pi , M i Pi Pi, M xi , yi , z i ;
поверхности обозначим, как
n
n
i 1
i 1
S ( Pi , M i ) S i 1 f x ( xi , yi ) f y ( xi , yi ) S (Gi ), (3)
z i f xi , yi . Проведем через точку Mi касательную плоскость к поверхности Pi. При этом ту часть плоскости, которая проецируется на Gi обозначим Si.И такую процедуру проведем для всех
фрагментов Pi.Тем самым рассматриваемая поверхность окажется
покрытой фрагментами касательных плоскостей. Полученная конструкция (скорее всего) не является многогранником в привычном
смысле. Введем сумму
n
S ( Pi , M i ) S i , (1)
Правая часть выражения (3) при d 0 представляет собой интегральную сумму (для случая двойного интеграла) для функции
1 f x2 f y2 , заданной на области G. В условиях указанной
теоремы предел указанной суммы существует, а следовательно существует следующий предел:
lim S ( Pi , M i ) S
d 0
S 1 f x f y dxdy , ч.т.д.
G
Замечание: Поверхности также могут задаваться и неявным образом. Но основной способ задания поверхностей (в смысле общности) – это параметрический способ задания поверхностей.
i 1
Пусть di максимальный диаметр Pi, а d – максимальный диаметр по
Площадь поверхности, заданной параметрически.
всем фрагментам разбиения.
Параметрическое задание поверхности определяется следующими
формулами:
d 0 сумм
Определение: Число S называется пределом при
0 существует 0 такое, что для
любого разбиения P , такого, что d :
вида 1, если для любого
i
lim S Pi , M i S , d 0
Если существует такой предел, то поверхность Р называется квадрируемой, а число S – площадью этой поверхности.
Теорема 1: Пусть функция
z f x, y определена в замкнутой
ограниченной области G, в которой она имеет непрерывные частные
производные первого порядка, тогда фигура задаваемая данной
функцией является квадрируемой, и ее площадь вычисляется по
следующей формуле:
S 1 f x2 ( xi , yi ) f y2 ( xi , yi )dxdy, (2)
G
Док-во: Рассмотрим некоторый фрагмент разбиения Pi, на котором
произвольный образом выберем точку Mi. Замкнем уравнение касательной к плоскости к функции
z f x, y :
z z i f x xi , y i x xi f y xi , y i y y i
Вектор нормали в точке Mi
ni f xi , yi ; f xi , yi ; 1.
между нормалью и осью Oz. Вычислим
cos w
Пусть
Пусть
– угол
cos wi :
1
f x2 ( xi , yi ) f y2 ( xi , yi ) 1
S Gi
i
;
r xi y j z k;
r (u , v) i (u , v) j k .
x u, v; y u, v; u, v g.
Фиксировав параметр v и изменяя параметр u, радиус-вектор опишет
на нашей поверхности некоторую линию. Таким образом, фиксируя
разные значения, соответствующие параметрам u и v, получим криволинейную систему координат на поверхности. (Рассматриваемая
поверхность является двумерной) Вычислим производные вектора r:
ru u (u, v)i u (u, v) j u (u, v)k ;
rv v (u, v)i v (u, v) j v (u, v)k ;
Плоскость, проходящая через данную точку M и содержащая вектора ru и rv, является касательной к данной поверхности. Поэтому вектор нормали
i
j
n [ru rv ] u u
v v
k
u u
v
v
u u u u u
i
j
k;
v
v v
v u
MT r (u du, v) r (u, v) ru du;
dS [ru du rv dv] [ru rv ] du dv.
dS [ru rv ] dudv Ai Bj Ck dudv
A 2 B 2 C 2 dudv.
– площадь области в плоскости Oxy, на которую
проецируется поверхность Pi, тогда справедливо
S Gi S i cos wi . Таким образом, получаем, что площадь Si
будет равна
Si 1 f x ( xi , yi ) f y ( xi , yi ) S (Gi ).
Рассмотрим сумму
Суммируя по всем элементарным сегментам разбиения, получаем
следующую формулу для вычисления площади поверхности D.
S A 2 B 2 C 2 dudv, (u, v) g (1)
g
Рассмотрим модуль векторного произведения:
[ru rv ] ru rv sin ru rv 1 cos 2
2
ru2 rv2 ru rv cos
2
ru2 rv2 ru rv EG F 2
E ru2 u2 u2 u2 , G rv2 v2 v2 v2 ,
F u v u v u v ;
Откуда
S EG F dudv
2
(2)
ной функции является криволинейная поверхность. Если
f M 1 , то соответствующее вычисление двойного интеграла
дает нам площадь данной поверхности.
Теорема 1: Пусть поверхность P задана явным образом
z zx, y в замкнутой ограниченной области G. Пусть функция z z x, y имеет в области непрерывные частные производные первого порядка. Эти требования необходимы для того,
чтобы поверхность была гладкой. Пусть на поверхности P задана
непрерывная функция f(M).Тогда поверхностный интеграл от функции f(x,y,z)вычисляются следующим образом:
f ( x, y, z)dS f ( x, y, z( x, y))
P
1 z x2 ( x, y) z y2 ( x, y)dxdy (4)
G
g
Замечание (О вычислении длины на криволинейной поверхности):
Док-во: Рассмотрим разбиение поверхности
Рассмотрим поверхность, а на ней достаточно близкие точки. Поставим перед собой вопрос о вычислении кратчайшей линии, которая
P Pi , M i Pi
соединяет две точки
M u, v и N u du, v dv . В том
случае, когда точки M и N бесконечно близки, расстояние dl вычисляется как длина вектора dl:
n
и составим интегральную сумму
i 1
n
I ( M i , Pi ) f ( M i ) S ( Pi ).
i 1
dl ru du rv dv (ru du rv dv) 2
ru2 du 2 2ru rv dudv rv2 dv 2
Указанная интегральная сумма соответствует поверхностному интегралу, находящемуся в левой части формулы (4). Рассмотрим интеграл из правой части формулы (4):
Edu 2 2 Fdudv Gdv 2
n
На самом деле в дифференциальной геометрии квадрат элемента
длины определяется следующей формулой (через E, F и G):
dl 2 Edu 2 2 Fdudv Gdv 2
(3)
dl 2 называется первой квадратичной формой поверхности, или
метрикой поверхности. По первой квадратичной форме формулы (3)
на поверхности измеряются линии, углы между линиями. Первая
квадратичная форма определяет внутреннюю геометрию поверхности, которая определяет форму поверхности в пространстве. Чтобы
поверхность была однозначно заданной необходимо
2
2
2
2
f ( x, y, z( x, y)) 1 z x z y dxdy f ( x, y, z( x, y)) 1 z x z y dxdy
i 1 Gi
G
Воспользуемся формулой среднего значения:
n
n
f ( K i ) 1 z x2 z y2 dxdy (/ K i Pi /) f ( K i ) S ( Pi ); M i любая, K i фикс.
i 1
i 1
Gi
Полученная сумма соответствует правой части формулы (4). Рассмотрим разность
§2. Поверхностные интегралы первого рода
Рассмотрим квадрируемую поверхность P. Рассмотрим разбиение
этой поверхности P на квадрируемые части. Пусть на P задана непрерывная функция
f M , M i Pi . Составим интегральную
n
сумму
I ( M i , Pi ) f ( M i ) S ( Pi ).
i 1
Пусть
d i diam Pi ; d max d i ; 1 i n .
Определение: Число I называется пределом интегральных сумм
I ( M i , Pi ) при d 0 , если для любого 0 существует
0 , такая, что для любого разбиения, для которого d , и
для любого выбора точек M i Pi выполняется
I (M i , Pi ) I .
Обозначается:
lim I M i , Pi I .
d 0
Если такой предел существует, то он называется поверхностным
интегралом первого рода, и имеют место следующие обозначения
f (M )dS или f ( x, y, z)dS
P
P
Замечание: Поверхностный интеграл является обобщением двойного интеграла на тот случай, когда областью задания подынтеграль-
n
n
S (P )
i 1
S ( P)
( f (M i ) f ( K i )) S ( Pi )
i
i 1
Таким образом, при указанном разбиении предельные значения
левых и правых частей совпадают.
В том случае, когда поверхность задана параметрически, поверхностный интеграл вычисляется по формуле
f ( x, y, z)dS f ( (u, v), (u, v), (u, v))
Ф
EG F 2 dudv; g {(u, v)}.
g
§3. Ориентация поверхности.
Определение: Будем называть поверхность Ф двусторонней, если
на ней можно задать непрерывное поле нормалей, иначе поверхность называется односторонней.
Пусть Ф – простая, гладкая, ориентированная поверхность, пусть
задана ориентация
nM ,
– кусочно-гладкая кривая с
направлением обхода t, оно положительно если стоя на поверхности
головой в направлении нормали, мы оставляем область слева. Пусть
Ф простая, кусочно-гладкая поверхность, разобьем Ф на гладкие
простые поверхности так, чтобы разбиение состояло из треугольников. На Ф выберем ориентированную совокупность, которая задает
поле нормалей
nM .Ориентации двух соседних треугольников
согласованы, если на общей границе направления обходов противоположны. Ф – ориентированная поверхность.
Определение: Ф – ориентированная поверхность, если для любой
триангуляции можно указать такие ориентации треугольников, что у
любых двух треугольников, имеющих общую сторону ориентации
согласованы.
§4. Поверхностный интеграл второго рода.
Предположим, что задана полная, кусочно-гладкая, ориентированная поверхность. Создадим для поверхности Ф поле нормалей
nM . Пусть на поверхности Ф заданы функции P(M), Q(M),
R(M). Разобьем Ф на N полных квадрируемых поверхностей
Выберем
Ф .
S Ф . Составим инте-
M : M Ф , S
гральную сумму:
I{M , Ф }
поверхности и его производные:
r x i y j z k x i y j z ( x, y ) k ;
rx i z x k ; ry j z y k
i j k
N 1 0 z x { z x i z y j k };
0 1 zy
I dxdy z x P z y Q R x, y, z x, y
G
т
[ P(M )ni (M ) Q(M )n2 (M ) R(M )n3 (M )]Si ; n {n1 , n2 , n3};
1
I1 Pdydz; I 2 Qdxdz; I 3 Rdxdy.
Ф
Ф
Ф
§5. Формула Остроградского-Гаусса.
d диаметр Ф (d i diam(Ф )).
Определение: Будем говорить, что I – это предел интегральной
d 0 , если 0 можно указать такое
0:
Фi
, M i d I I P, Q, R, Фi
, M i .
Определение: Будем говорим, что Ф – замкнутая поверхность, если
Ф – полная ограниченная поверхность без границ.
суммы при
Если I является пределом интегральных сумм, то говорят, что I –
поверхностный интеграл второго рода векторного поля
aM
поверхности Ф.
aM называется
скаляр, который в декартовых координатах имеет вид:
P Q R
div (a )
.
x y z
Теорема (Остроградского-Гаусса): Пусть D R – регулярное,
замкнутое, ограниченное, кубируемое множество. Пусть граница
этого множества состоит из конечного числа замкнутых, кусочногладких ориентированных поверхностей; и будем считать, что на
3
I P( M )dydz Q( M )dxdz R( M )dxdy
(1)
Ф
Рассматривают также частные интегралы второго рода:
I1 P(M )dydz;
Ф
I 2 Q(M )dxdy;
Ф
I 3 R(M )dxdy.
Ф
Пусть G – регулярное, замкнутое, ограниченное и квадрируемое
множество на плоскости. Предположим, что на множестве G задана
вектор-функция
Определение: Дивергенцией векторного поля
3
r u, v C 1 G , такая, что она задает
гладкую поверхность Ф.
nM , внешняя по
отношению к области D.
P, Q, R C 1 ( D); a P i Q j R k .
границе
D
выбрана единичная нормаль
Если все три этих условия выполнены, то справедливо следующее
равенство:
div (a ) dv (a, n) dS ,
P
D
Теорема: Если функции P, Q и R непрерывны на поверхности Ф;
N ru rv , то существует интеграл второго рода I, причем
выполняется равенство:
I [ P(r (u, v)) N1 (u, v) Q(r (u, v)) N 2 (u, v) R(r (u, v)) N3 ]dudv.
G
(2).
Док-во: Докажем теорему для случая, когда D – простая область.
Нам надо доказать только одно равенство, так как другие доказываются аналогично.
R
z dv R n dS ;
3
D – z-трапециевидная область
D
D
2
R
R
dv
dxdy
D z G z (x, y ) dz z
1
z ( x, y )
– по
dxdy R( x, y, z 2 ( x, y )) dxdy R( x, y, z1 ( x, y )
Док-во:
G
N
N
N
I dS Pn1 Qn 2 Rn 3 dudv [ru rv ] [ P 1 Q 2 R 3 ]
[ru rv ] [ru rv ] [ru rv ]
G
Ф
dudv[ PN1 QN 2 RN 3 ] , ч.т.д.
G
G
формуле Ньютона-Лейбница.
R dxdy Rdxdy Rdxdy Rdxdy
D
Ф1
z x, y C 1 G ; z z x, y . Радиус-вектор такой
Ф3
R( x, y, z1 ( x, y )) dxdy R( x, y, z 2 ( x, y )) dxdy.
G
Рассмотрим явно заданную поверхность
Ф2
G
То есть для z – трапецеидальной области формула (2) справедлива.
Докажем теперь формулу для простой области D. Разобьем область
D на сумму конечного числа z-трапецеидальных областей:
R
R
z dv z dv Rdxdy;
i
D
i
Di
D Di ; Rdxdy Rdxdy
Di
i
i
Pi
в области G задано скалярное поле. Скалярное поле зависит от выбора точки M и не зависит от выбора прямоугольной системы координат. В этом случае можно говорить, что фиксирована некоторая
,
P
ч.т.д.
функция
ux, y, z , где x, y, z G ,
задаем скалярное поле
в области G.
2. Векторное поле
M G поставлен в соответствие некоторый
aM , то говорят, что в области G задано векторное поле.
Если каждой точке
§6. Формула Стокса
вектор
D R 3 – регулярное множество и пусть
1
заданы функции P, Q, R C D . Будем рассматривать век
торное поле a ( M ) P i Q j R k . Будем называть
Векторное поле зависит от выбора точки M и не зависит от выбора
прямоугольной системы координат. При фиксированной декартовой
системе координат векторное поле может быть задано вектором
ротором вектор-функции:
R(x,y,z):
Определение: Пусть
i
rot ( a )
x
P
j
y
Q
k
R Q
i
z
z
y
R
R P Q P
j
k
;
z
y
x
x
– край поверхности Ф,
a( x, y, z) Px, y, z , Qx, y, z , Rx, y, z .
Определение: Кривая L называется векторной линией векторного
поля
aM , если в каждой точке данной кривой, вектор, задаю-
щий векторное поле, является касательным вектором к данной кривой.
3. Градиент и производная по направлению
Теорема (Стокса) Пусть Ф – полная, ограниченная, кусочногладкая, ориентированная поверхность, причем указана ориентация
nM ,
ax, y, z или тремя скалярными функциями P(x,y,z), Q(x,y,z),
состоит из конечного
числа замкнутых кусочно-гладких кривых и на
задано положи-
тельное направление обхода. Пусть - некоторая окрестность
поверхности Ф, в ней заданы гладкие функции
P, Q, R C 1 . Тогда справедлива следующая формула:
rot a , n dS a , dl.
Ф
Глава 2. Потенциальные векторные поля
u u u u u u
grad u ; ;
i
j
k;
y
z
x y z x
l (cos , cos , cos );
u
u
u
u
gradu l
cos cos cos .
l
x
y
z
Здесь и в дальнейшем будем полагать, что функции, задающие скалярные и векторные поля имеют непрерывные частные производные
первого порядка.
Данное определение градиента связано с выбором системы координат, но на самом деле вектор grad u не зависит от выбора системы
координат, поскольку его направление указывает на направление
наибольшего роста скалярной величины u, а его длина равна скорости роста величины u вдоль этого направления.
4. Дивергенция
Определение: Будем говорить, что векторное поле потенциальное,
если можно указать скалярное поле
u C 1 0 , такое что верно
равенство:
Теорема: Следующие четыре утверждения эквивалентны:
a
скалярная функция:
где P, Q, R – компоненты вектора
aM .
Данное определение дивергенции связано с выбором системы коор-
– потенциальное поле;
div a
– простая, замкнутая, кусочно-гладкая кривая:
a, dl 0.
динат; далее будет показано, что
– замкнутая, кусочно-гладкая кривая, то
a, dl 0.
Определение: Ротором векторного поля
2. Если
3. Если
M 1 , M 2 D ; 1 , 2
a, r dl a, r dl.
1
– кусочно-гладкие кривые:
5. Ротор (вихрь)
§1. Скалярные и векторные поля
1. Скалярное поле
ется вектор-функция
i
rot a
x
P
j
y
Q
k
R Q
y z
i
z
R
Будет показано, что ротор тоже не зависит от системы координат.
6. Циркуляция
M G
a P, Q, R называ-
P R Q P
j
x y
k .
x
z
2
Если каждой точке
не зависит от системы
координат.
4.
a M является
P Q R
,
div a
x y z
u u u
a grad u ; ; .
x y z
1.
Определение: Дивергенцией векторного поля
(на плоскости или в пространстве)
поставлено в соответствие некоторое число
uM , то говорят, что
Пусть в области G задано векторное поле и пусть AB – кривая, целиком лежащая в области G. Рассмотрим следующий интеграл:
Рассмотрим произвольную точку M, проведем через точку M плоскость и окружим точку M некоторым замкнутым контуром L, лежащим в этой плоскости. Запишем для поверхности P формулу Стокса
и запишем формулу среднего значения:
Pdx Qdy Rdz.
a dl rot a n dS rota n
7. Поток
L
Пусть в области G задано векторное поле
Определение: Поверхностный интеграл второго рода по выбранной
стороне поверхности
P
называется потоком векторного поля
Пусть:
1. Функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) определены и непрерывны в
области G , тогда следующие три условия являются эквивалентными
(т.е. из каждого условия следуют два других):
aM через ориентирован-
ную поверхность P. Поток векторного поля не зависит от выбора
системы координат.
1) Для любого замкнутого контура LG;
P Q R
dxdydz Rdxdz Qdydz Rdxdy.
x y z
G
P
Pdx Qdy Rdz 0 .
L
Pdx Qdy Rdz не
2) Для любых двух точек A, BG
AB
8. Инвариантное определение дивергенции
Введем вектор
зависит от пути интегрирования
a P, Q, R, тогда формула Остроградского-
3)
Гаусса может быть переписана в следующем приемлемом виде:
Pdx Qdy Rdz является полным дифференциалом, т.е.
u=u(x,y,z), такая, что
div a dxdydz a n dS.
G
du Pdx Qdy Rdz .
P
При этом выполняется
Рассмотрим произвольную точку M и окружим эту точки гладкой
поверхностью P, которая ограничивает область G, где находится
точка M. Обратимся к формуле Остроградского-Гаусса и применим
для нее формулу среднего значения, то есть для некоторой точки M*
(такая точка найдется), справедливо следующее равенство:
2. Если, кроме того, область G является поверхностно односвязной
областью, а функции P, Q и R имеют области G непрерывные частные производные первого порядка, то каждое из условий 1-3 эквивалентно последующему условию.
G
P
a n dS
P
V G
Pdx Qdy Rdz u(B) u( A) .
AB
div a M * dxdydz a n dS div a M *
.
Теорема 1 (о независимости криволинейного интеграла второго
рода от пути интегрирования)
(a n)dS ( P cos Q cos R cos )dS Pdydz Qdxdz Rdxdy;
P
S P
Так как циркуляция векторного поля и
nM .
P
P
L
S P не зависит от выбора
системы координат, то проекция вектора rot a на произвольное
направление n не зависит от выбора системы координат, а значит и
сам вектор rot a не зависит от выбора системы координат.
a P, Q, R. Пусть
P – гладкая, двусторонняя поверхность, лежащая в области G. Выберем одну из сторон поверхности и зафиксируем непрерывное поле
нормалей
a dl
AB
Такой интеграл называется циркуляцией вдоль векторного поля
вдоль кривой AB.
.
Q P
x y
R Q
y z
R Q
y z
Будем теперь стягивать поверхность P к точке M, так,
что V
G 0 , а M * M . В пределе получим следующее
§2. Потенциальные поля
равенство:
div a M lim
a n dS .
V G
Полученная формула показывает, что поток векторного поля и объ-
V G не зависят от выбора системы координат и, следователь
но, div a M не зависит от выбора системы координат, а зависит
только от самого векторного поля a M .
ем
9. Инвариантное определение ротора
Q P
R Q
P R
L Pdx Qdy Rdz P x y dxdy y z dydz z x dxdz
Теперь воспользуемся формулой Стокса:
Введем вектор
a P, Q, R, тогда формула Стокса переписы-
вается в следующем виде:
a dl rot a n dS.
L
P
Определение: Векторное поле
aM называется потенциальным
в области G, если его можно представить в виде градиента некоторого известного скалярного поля.
u u u
a ( M ) grad (u ) ; ;
x y z
uM называется скалярным потенциалом векторного
aM . Если вектор aM P, Q, R, то
Функция
поля
P
u
u
u
;Q
;R
x
y
z
. Это означает, что выполнение
условия 3 теоремы 1 вытекает из потенциальности поля, а из условия 3 вытекает выполнение условий 1, 2 и 3. Значит
aM в обла-
сти G обладает следующими свойствами:
1)
(a; dl ) Pdx Qdy Rdz 0 .
L
L
2) Для любых точек A, BG циркуляция вдоль кривой AB не зависит
от выбора кривой ABG.
3) Если поле
a P, Q, R– потенциальное, то
Q P
x y
R Q
y z
Повторные операции с оператором набла :
1)
P R
z x
2)
Последние три равенства означают, что ротор потенциального поля
равен нулю, т.е. потенциальное поле является безвихревым. Если
область G является поверхностно-односвязной, то из условий
rot aM 0 и теоремы (1), условия 3 следует, что поле явля-
ется потенциальным.
rot grad u grad u u o
div rot a a 0
div grad u grad u u 2 u
3)
2u 2u 2u 2
2
2
u u
x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2
С оператором Лапласа связано уравнение Лапласа:
§3. Соленоидальные поля
aM называется соленоидаль
ным в области G , если в этой области выполняется div a 0 .
Соленоидальное поле представимо в виде a rot b , т.к.
div a div rot b 0 .
Определение: Векторное поле
Соленоидальное поле в объемно-односвязной области обладает
следующим свойством:
(a, n)dS div (a )dxdydz
P
Функция u, удовлетворяющая уравнению Лапласа называется гармонической функцией.
Глава 3. Функциональные последовательности и ряды
n N
Определение: Если каждому натуральному
Поток соленоидального поля через любую кусочно-гладкую поверхность равен нулю, тогда по формуле Остроградского-Гаусса:
u 0 – уравнение Лапласа
G
соответствие функция
f x , определенная на множестве Х, то
говорят, что задана функциональная последовательность
f n x : f1 x , f 2 x , ..., f n x , ...
Определение: Если числовая последовательность
Иногда это свойство за определение соленоидального поля. При
этом условие объемно-односвязной области является весьма существенным. Указанное свойство показывает, что векторные линии
соленоидального поля не могут начинаться и заканчиваться в области соленоидальности. Для соленоидального поля имеет место закон
сохранения векторной трубки (интенсивности), т.е. трубки составленной из векторных линий.
поставлена в
f n x0 схо-
дится (расходится), то говорят, что исходная функциональная последовательность
Точка
x0
f n x сходится (расходится) в точке x 0 .
называется точкой сходимости (расходимости) функцио-
нальной последовательности
f n x .
Определение: Говорят, что функциональная последовательность
f n x сходится на множестве Х если она сходится в каждой
(a, n )dS (a, n )dS
P1
точке Х (аналогично вводится определение расходимости).
P2
Замечание: Любое векторное поле a
можно представить в виде суммы потенциального и соленоидального полей:
Предел функциональной последовательности зависит от x и соответственно обозначается:
lim f n ( x) f ( x) .
a grad u rot b
n
Аналогично вводятся определения для функциональных рядов. Членами функциональных рядов являются функции, определенные на
множестве Х. Функциональный ряд имеет вид:
§4. Оператор Гамильтона
u1 x u 2 x ... u k x ... u k ( x) .
k 1
i
j
k ;
x
y
z
;
;
x y z
u u u
grad u u i
j
k
;
x
y
z
div a a
P Q R
a P, Q, R div a i
j
k
x
y
z
i
j
k
d
d
d
rot a a
dx dy dz
P Q R
Определение: Если числовой ряд
u
k 1
k
( x 0 ) сходится (расхо
дится), то говорят, что функциональный ряд
u
k 1
(расходится) в точке
k
( x ) сходится
x0 .
Определение: Если функциональный ряд
u
k 1
k
( x ) сходится в
каждой точке Х, то говорят, что
указанный ряд сходится на множестве Х.
Поставим вопрос: в каком случае предел последовательности непрерывных функций является непрерывной функцией. В каком случае
сумма ряда, состоящая из непрерывных функций – функция непрерывная? Эти два вопроса взаимосвязаны, т.к. сумма ряда есть предел
последовательности частичных сумм. Предел произвольной функциональной последовательности
как сумма ряда
u
k 1
k
f n x может быть рассмотрен,
( x ) , где u k x f k x f k 1 x .
Ответы на поставленные вопросы тесным образом связаны с понятием равномерной сходимости последовательностей.
S x : S n x S x при n на множестве Х. Иными
словами, это означает что 0 N x X такой,
что n N x X выполняется условие
S x S n x
u x
k 1
Пусть
f n x сходится на Х к f x . Сходимость в точке x
означает, что
.
Примечание: Рассмотрим тот же ряд, но в случае, когда множество
X принимает значения
§1. Равномерная сходимость функциональной последовательности и
рядов
k
S x
X 0 x 1.
x
x n 1
S x S n x
1 x
1 x
, следова-
sup S x S n x 0
0;1
0 N : n N :
f n x f x . В нашем случае, вообще говоря N зависит
от и от х.
тельно, данная последовательность расходится на множестве X.
§2. Признаки равномерной сходимости функциональных
последовательностей и рядов
Определение: Говорят, что функциональная последовательность
f n x сходится равномерно на множестве Х, если:
0 N
(один и тот же для всех
Обозначения:
f n x f x на Х.
Теорема 1 (Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности):
x X ) такой, что
n N и x X : f n x f x .
f n x сходилась равномерно на множестве Х к некоторой функции f x ,
Для того чтобы функциональная последовательность
необходимо и достаточно, чтобы
0 N : n N , p >0 – натурального,
x X , выполнялось следующее условие:
f n p x f n x .
Геометрическая иллюстрация равномерной сходимости.
Док-во: 1. Необходимость. Пусть последовательность
С геометрической точки зрения
неравенство
f n x f x означает, что при n N график
любой функции
функции
f x .
f n x будет лежать в
-окрестности графика
f n x x n к
f x 0 на полуинтервале 0, 1 ?
f n x f x 2 , используя свойства
Сформулируем эквивалентные определения равномерной сходимости что функциональной последовательности.
Определение: Функциональная последовательность
X
.
X
u x схоk 1
f n p x f n x
x X
(1)
последовательность
стью и, следовательно, сходится к некоторому числу, зависящему от
выбора х. Таким образом, функциональная последовательность
sup f n ( x) f ( x) 0 при n ,
Определение: Говорят, что функциональный ряд
– натурального
f n x является фундаментальной числовой последовательно-
называется равномерно сходящейся на множестве Х, если
0 N : n N : sup f n ( x) f ( x)
2. Достаточность. Пусть
Условие (1) означает, что
f n x
– натурального,
x X , ч.т.д.
0 N N n N p
x X :
f n x на сегменте 0, 1 ?
дится равномерно к функции
n p N и
f n p x f x n N , p
2) Сходится ли равномерно функциональная последовательность
т.е.
f x на множестве Х, тогда
0 N N n N выполняется
f n x f x 2 , т.к. p – натуральное, то, очевидно, что
равномерно сходится к функции
модуля, окончательно получаем
1) Сходится ли равномерно последовательность
функции
f n x
k
S x на множестве Х, если последо-
вательность его частичных сумм сходится равномерно к функции
f n x сходится на множестве Х при n , а значит и последовательность f n p x также сходится к f x при
n , где p – натуральное. Переходя к пределу при p
в неравенстве (1): f x f 2 x n N , x X ,
а это и означает, что
f n x f x , ч.т.д.
Теорема 1’ (Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда):
Для того, чтобы функциональный ряд равномерно сходился к своей
сумме необходимо и достаточно, чтобы
X).
2. Последовательность
0 N : n N , p – натурального, x X ,
выполнялось
множестве X. Тогда ряд
u x .
k
k
номерно на множестве X.
k
k n 1
a x b x сходится равk 1
n p
S n p x S x
S n x равномерно ограничена на
Док-во: Признака Дирихле-Абеля полностью повторяет схематично
доказательство данного признака для числовых рядов.
Док-во: Аналогично доказательству теоремы 1.
§3. Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных рядов
f x
Определение: Числовой ряд
p
k 1
k называется мажорантным
(или мажорирующим) для функционального ряда
u x на
k 1
множестве X, если
k
n
Теорема 4: Пусть функциональная последовательность
непрерывна на промежутке Х. Пусть функциональная последова-
тельность
f n x равномерно сходится к f x на Х. Тогда
f x непрерывна на промежутке Х.
f x в какой либо
точке множества Х. 0 0 : f x f x0
n, x X , u n x pn .
Док-во: Докажем непрерывность функции
функциональная последовательность
Теорема 2 (Признак Вейерштрасса):
Если для функционального ряда
Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов
u x на множестве Х сущеk
k 1
ствует мажорантный сходящийся ряд
p
k 1
k , то исходный функ-
дится к функции
числовых рядов
В том числе, в частности
n p
ется условие
p
k n 1
n N , p
n p
u x
k n 1
k
k
k n 1
– натурального, выполня-
. Т. к. по условию u k x pk , то
– натурального и
n p
f n x0 f x0 / 3 (2)
0 , по критерию Коши для
N : n N и p
x X
u k x
n p
p
k n 1
k
f n x с номером n N , т.к.
f n x непрерывна в точке x 0 , то для задан-
Возьмем какую-нибудь функцию
указанная функция
ного
0 :
f n x f n x0 / 2
выполняется
f x на множестве Х, то
N N n N x X : f n x f x / 3 (1)
циональный ряд сходится на множестве Х.
Док-во: Зададим произвольное
. Таким обра-
зом, для функционального ряда выполняется критерий Коши равномерной сходимости, ч.т.д.
f n x равномерно схо-
при
x x0
(3)
Из соотношений (1)-(3), следует, что при
x x0 : f x f x0 f n x f n x
f n x f n x0
f n x0 f n x0 / 3 / 3 / 3 , значит,
Признак Дирихле-Абеля
функция
Определение: Функциональная последовательность
f n x
называется равномерно ограниченной
Теорема 4’: Если все функции
u k x непрерывны на промежутке
на множестве Х, если существует константа M такая, что
n, x X : f n x M
f x является непрерывной, ч.т.д.
Х и ряд
.
u
k 1
k сходится на множестве Х, то ряд
S x является
непрерывной функцией на множестве Х.
Теорема 3 (признак Дирихле-Абеля равномерной сходимости функциональных последовательностей):
Док-во:
u k x – непрерывна, то S n x u k x – непреk 1
Пусть:
1. Функциональная последовательность
ет при каждом x
множестве Х (т.е.
X
bn x не возраста-
а сходится к нулю равномерно на
bn1 x bn x x X ; bn x 0, n
на
рывная функция на множестве Х. По условию теоремы
равномерно сходится к
S n x
S x на Х, поэтому по теореме 4 функция
S x непрерывна на множестве Х, ч.т.д.
Переход к пределу под знаком интеграла и почленное интегрирование ряда
Пусть
x
f n t f t dt
x0
lim f n x f x на множестве Х. Пусть точки x и
n
x 0 – две произвольные точки из множества Х. Рассмотрим два ин-
f
n
(t )dt
x
f
в следующем виде:
x0
x
x
f (t )dt lim f
n
x0
n
(t )dt
f (t )dt
lim
n
f
n
x
x0
x0
x0
n
Теорема 5’: Если все функции
Аналогичный вопрос ставится и для сходящегося числового ряда.
Если последнее равенство верно, то говорят, что ряд можно интегрировать почленно от x до
равномерно сходится
f t dt , ч.т.д.
к
(t )dt lim f n (t )dt (2)
x0
x
f n t dt
x0
b a x x0
x
x
x0
x0
f n t f t dt f n t f t dt
. Последнее означает, что
(1)
(t )dt f (t )dt
x
x0
Иными словами верно ли равенство
x
n
x
x0
n
x
x0
и
f t f t dt , перепишем
x0
теграла:
x
x
a; b и u k x , то x, x0 a; b
k 1
x 0 . Корректный переход к пределу под
знаком интеграла возможен в том случае, если имеется равномерная
сходимость соответствующей последовательности или ряда.
u k x непрерывны на сегменте
u
t
dt
k
x
x u k t dt .Т.е. при указанных условиk
1
k
1
0
0
x
x
ях функциональный ряд надо интегрировать почленно.
Теорема 5: Пусть функция
f n x – непрерывны на сег-
a; b. Пусть f n x равномерно сходится к f x
на сегменте a; b . Тогда для любых x, x0 a; b
менте
x
lim
n
f
x
n
(t )dt lim f n (t )dt , причем
x0
x0
x
f
n
(t )dt
x0
n
Пусть
x
f (t )dt на a; b, для любого x
0.
x0
Док-во: По определению равномерной сходимости нам надо доказать, что
x
0 N n N x a; b:
x
lim f n x f x
n
на множестве Х. Пусть функции
f n x и f x дифференцируемы на сегменте a; b . Поставим вопрос: сходится ли последовательности f n x и f x .
Теорема 6: Пусть
f n (t )dt f (t )dt .
x0
Переход к пределу под знаком производной и почленное дифференцирование ряда
1.
x0
f n x имеют непрерывные производные на
Функции
a; b.
0 , т.к. f n x равномерно сходится к f x на
a; b, то N n N и x a; b:
2.
f n x f x на сегменте a; b .
f n x f x / b a . Оценим разность интегралов
3.
f n x x на a; b .
сегменте
Зададим
x
x0
x
Тогда:
x0
1.
f n t dt f t dt . Отметим, что функция f x – непре-
рывная функция на сегменте
x a; b:
x
a; b. Тогда n N и
f t dt f t dt
n
x0
2.
x
x0
Функция
f x дифференцируема на сегменте a; b .
f x x , т.е. lim f x lim x
n
n
.
f n x x на a; b , то по теореме 4 функция x является непрерывной на сегменте a; b , по теореме
Док-во: Т.к.
3:
lim
n
x
f n' t dt t dt
x0
x0
M n , M 0, n . В этом случае говорят, что имеет-
x
ся сходимость в метрике этого пространства. Природа элементов
метрического пространства может быть весьма разнообразна
(например, функции). Введем метрику на множестве функций в
метрическом пространстве.
x
lim f n x f n x 0 t dt
n
x0
Пример 1: Рассмотрим множество всевозможных ограниченных
x
x a, b; f x f x0 t dt
lim f n x f x
n
x0
функций на сегменте
( f , g ) sup f ( x) g ( x) . Можно проверить, что функция
x
f x f x0 t dt
мость
Таким образом, получаем, что функция
f x является дифферен-
f x x , ч.т.д.
цируемой функцией:
Все функции
u k x имеют непрерывные производные на
a; b.
сегменте
u x сходится к S x на сегменте a; b.
k 1
k
при
n в метрике данного пространства
sup f n ( x) f ( x) 0
при
n (равно-
[ a ,b ]
мерная сходимость), то есть сходимость в метрике рассматриваемого пространства соответствует ранее введенному понятию равномерной сходимости.
a; b, удовлетворяющих в точках разрыва следую1
щему условию: f x f x 0 f x 0 .
на сегменте
Для данного множества функций введем:
b
( f ( x) g ( x))
( f , g)
2
dx .
a
3.
f n f
2
2.
удовлетворяет трем вышеперечисленным условиям. Сходи-
Пример 2: Рассмотрим множество кусочно-непрерывных функций
Теорема 6’: Пусть:
1.
[ a ,b ]
означает, что
x0
a; b . Введем метрику следующим образом:
u x сходится равномерно к x на сегменте
Можно проверить, что введенная таким образом функция
a; b.
введенное условие точки разрыва позволяет избежать ситуа-
k 1
k
S x – дифференцируемая функция на сегменте
a; b, причем S x x , или
f , g удовлетворяет трем условиям функции расстояния. А
ции
f , g 0 при f g . Сходимость f n x к f x
Тогда функция
b
означает, что
( f n , f ) ( f n ( x) f ( x)) 2 dx 0
2
a
при n . Такая сходимость называется сходимостью в среднем. Введенное ограничение на значение функции в точках разрыва
u k x u k x .
k 1
k 1
гарантирует, что предельная функция
Док-во: Доказательство теоремы сводится к доказательству теоремы 6.
f x при сходимости в
среднем будет определяться единственным образом.
Определение: Пусть функции
f n x и f x интегрируемы на
a; b, говорят, что функциональная последовательность
f n x сходится в среднем к функции f x на сегменте
сегменте
Сходимость в среднем
Рассмотрим координатное пространство Em и рассмотрим две точки
из этого пространства
M 1 x1 ,..., xm , M 2 y1 ,..., y m и
a; b , если
рассмотрим
(M 1M 2 )
x1 y1 2 ... ( xm ym ) 2 .
Определение: Если на некотором множестве задана функция расстояния ( x,
1)
2)
3)
y ) , удовлетворяющая следующим условиям:
( x, y ) 0x, y , причем ( x, y ) 0, если x y ;
( x, y ) ( y, x);
( x, z ) ( x, y ) ( y, z );
то говорят, что на данном множестве введена метрика, а само множество называется метрическим пространством.
Для последовательности точек в координатном пространстве
{Mn} M, при
n lim M n M
n
яние между любой точкой последовательности
означает, что рассто-
при
b
2
( f n , f ) ( f n ( x) f ( x)) 2 dx 0
a
n .
Теорема 7: Пусть функции
f n x и f x интегрируемы на
a; b, если функциональная последовательность
f n x f x на сегменте a; b , то f n x f x в
среднем не сегменте a; b .
сегменте
Док-во: Зададим некоторое достаточно малое значение
f n x f x на a; b , то N
x (a, b) справедливо неравенство
как
f n ( x) f ( x)
ba
.
0 , так
такое, что n
N,
Поэтому
n N :
b
b
2
( f n ( x) f ( x)) dx
a
b
( f
ba
(b a)
n
( x) f ( x)) dx .
b
f
2
f n , f 0 при n , то есть мы
dx 0
b
b
a
a
dx 2 fgdx g 2 dx 0
a
a
2
a
2
2
(f g )
Рассмотрим интеграл
Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского
2
Это означает, что
имеем сходимость в указанной метрике или последовательность
x
( f
x
n
f n x f x в среднем, ч.т.д.
при
Замечание: Обратное утверждение не верно, более того из сходимости в среднем, не следует обычная (поточечная) сходимость.
Зададим
x0
( f
(t ) f (t ) 1dt
x
n
(t ) f (t )) 2 dt 12 dt
x0
n
x0
b
( f
n
(t ) f (t )) 2 (a b)dt 0
a
0 , тогда N : n N правая часть полученного
. Тем самым n N , x из
неравенства будет меньше чем
Определение: Говорят, что функциональный ряд
U R x
k 1
S x на сегменте a; b , если последовательность его частичных сумм S n x сходится в среднем к S x
на a; b , то есть
сходится в среднем и
2
n
( S n , S ) S ( x) U k ( x) dx 0 при
k 1
a
b
2
n
сегмента
x
( f n (t ) f (t ) 1dt
x0
f n x и f x интегрируемы на
a; b. Пусть функциональная последовательность f n x
сходится в среднем к
x
n
f
f x на a; b , тогда x0 , x a, b :
n
(t )dt
x0
f (t )dt
S (t ) u
k 1 x0
x0
x
f
x
n
(t )dt f (t )dt
x0
на
x0
верно
a; b.
x
b
n
( x) f ( x)) 2 dx 0 при
a
k 1 x0
Следовательно,
( f
n
(t ) f (t )) dt 0 на a; b .
b
( f ( x)g ( x))
a
a; b .
x0
В доказательстве теоремы 6’ условие 3 заменяется на условие, что
ряд
U
k
' ( x)
f x .
a; b к некоторой непрерывной
Теорема Арцела
Определение: Функциональная последовательность
{fn(x)}называется равномерно непрерывной на Х, если
: f n x f n x" .
2
Теорема (теорема Арцела): Если функциональная последовательность равномерно ограничена и
x0
b
2
на
0 0 : n, x' , x" X : x' x"
n x0 .
x
x
uk (t )dt S (t )dt
f n x называется равномерно ограниченной на множестве Х,
если A 0 : n, x X ; f n x A.
Доказательство:
( f
(t )dt
Определение: Функциональная последовательность
x0
По условию теоремы
k
то есть функциональный ряд можно интегрировать почленно, причем
функции
Причем для любого фиксированного
x0
x
сходится в среднем на сегменте
x0
x0
a; b к функции S x и если все функции U k x и
S x интегрируемы на сегменте a; b , то x, x0 a, b :
k 1
x
x
( f n (t )dt f (t )dt , ч.т.д.
менте
Теорема 8: Пусть функции
x
Теорема 8’: Если функциональный ряд сходится в среднем на сег-
x
Сходимость в среднем представляет собой более слабое условие,
чем равномерная сходимость, но, наряду с этим, является достаточным условием перехода к пределу под знаком интеграла, а сходимость в среднем для функциональных рядов является достаточным
условием почленного интегрирования функционального ряда.
lim
a; b.
dx
f
a
b
2
( x)dx g 2 ( x)dx
a
равномерно непрерывна на сегменте
a, b , то из нее можно выде-
лить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на сегменте
a, b .
таким образом, получаем, что
Глава 4. Несобственные интегралы
§1. Несобственные интегралы I рода
Пусть функция
f x определена на полупрямой
A' A"
a x .
A
Будем полагать, что
A a
f ( x)dx
Указанный интеграл
A
f ( x)dx
A"
A'
A'
f x dx A' A" f x dx
, ч.т.д.
А"
A"
sin x
d ( cos x) cos x
cos x
sin x
А' x dx A' x x A' x 2 dx A' x dx
A'
A
lim
A"
Вернемся к примеру 4. Рассмотрим следующий интеграл
a
зависит от A, то есть является функцией аргумента А.
Рассмотрим
0 A 0 A, A A
выполняется
.
a
A"
A"
A"
A"
Этот предел может существовать, а может и не существовать. Но
независимо от этого будем обозначать его,
f ( x)dx и называть
a
1 1
dx 2 2
2
A' A" A' x
A' A"
4
0 и выберем A
2
2
, по
A' A"
его несобственным интегралом первого рода.
Зададим
В том случае, если предел существует, несобственный интеграл
первого рода называется сходящимся, если предел не существует –
расходящимся.
критерию Коши исходный несобственный интеграл первого рода
a
B
f ( x)dx
sin x
dx сходится.
x
0
a
B
Теорема 2: (признак сравнения) Пусть
f ( x)dx
f ( x)dx lim
0 f x g x при
x a и функции f x и g x интегрируемые функции на
любом сегменте a; A, тогда из сходимости интеграла
A
f ( x)dx
lim
A
B B
g ( x)dx
Признаки сходимости несобственных интегралов I рода
(1)
a
следует сходимость интеграла
Теорема 1 (Критерий Коши сходимости несобственных интегралов
первого рода): Для того чтобы несобственный интеграл
f ( x)dx
(2)
a
f ( x)dx сходился необходимо и достаточно, чтобы
а из расходимости (2) следует расходимость интеграла (1).
a
0A a : A' , A"; A' A, A" A
выполняется
Док-во:
A"
неравенство
f ( x)dx
Aинтеграл
А
f ( x)dx то есть
а
А
А
a
a
эти функции подчиняются такому соотношению
А
А
a
a
Ф( А) f ( x)dx g ( x)dx G( A)
А
A f ( x)dx
введём две функции
Ф( А) f ( x)dx и G ( А) g ( x)dx
A'
Док-во: Обозначим функцией
A a
.
а
из последней записи следует, что если интеграл (1) сходится, то
По определению сходимость несобственного интеграла
функция
G A – ограниченная, поэтому функция A также
будет ограниченной и, следовательно, интеграл (2) сходится. Если
f ( x)dx означает существование lim Ф( А) .
же интеграл (1) расходится, то функция
A
0
В свою очередь, для того чтобы существовал этот предел необходимо и достаточно, чтобы
0A : A' A, A" A вы-
поэтому функция
Следствия:
A' A" , но
A'
A"
A"
а
a
A'
A' A" f ( x)dx f ( x)dx
f ( x)dx
,
G A также неограниченна и значит интеграл
(1) является расходящимся, ч.т.д.
полняется следующее неравенство
A неограниченна,
0 f x
1)
c
x
f ( x)dx
x a c const 0 , то
при
сходится при
1 , если f x
сделать значение функции таким
A A
c
x
выполняется условие, что
A"
f ( x) g ( x)dx исходный интеграл сходится, ч.т.д.
A'
то
A A
и
g A / 2M , при
f ( x)dx расходится при 1.
2)
f x 0 и g x 0 при
§2. Несобственные интегралы второго рода
f ( x)
x a lim
x g ( x )
f x определена на полусегменте a, b будем
считать, что функция f x является не ограниченной на этом
полусегменте. При этом на сегменте a , b функция является
ограниченной (при этом a , b a, b ). Точку а назовем
особой точкой функции f x и рассмотрим интеграл:
Пусть функция
f ( x)dx и g ( x)dx то интегралы сходятся и расходятся
при этом одновременно.
Признак Дирихле – Абеля
b
Признак Дирихле – Абеля относится к интегралам следующего вида,
а именно:
f ( x)dx .
a
Понятно, что значение данного интеграла будет зависеть от
Теорема 3 (Признак Дирихле – Абеля): Пусть:
f x непрерывна на полупрямой a, и имеет
на этой прямой ограниченную первообразную F x
( F x f x ), M 0 : F x M x , .
1) Функция
g x является не возрастающей функцией на
промежутке , , пусть g x 0
2) Пусть функция
при
x 0 и, кроме того, имеет непрерывную производную на
ственным интегралом II рода на полусегменте
b
b
f ( x)dx lim
f ( x)dx
0
a
A"
с a, b
A"
A'
A'
c 1
f ( x)dx lim
A"
f ( x) g ( x)dx f ( x) g ( x)dx g ( x)dF ( x) g ( x) F ( x)
a
Если особая точка c является внутренней точкой промежутка разби-
b
Док-во: Для доказательства воспользуемся критерием Коши, для
этой цели рассмотрим следующий интеграл
1 0
a
b
f ( x)dx lim
2 0
a
c 2
A'
F ( x) g ( x)dx
A'
f ( x)dx сходился на a, b необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось условие:
A
F x g x dx
A
M g A M g A M g A g A
a
a "
f ( x)dx .
a '
Справедливость этого утверждения вытекает из того, что сходимость несобственного интеграла означает существование предела
lim Ф ( ).
0 0
f x и g x удовлетворяют
условию 0 f x g x при a x b и существуют
M g A M g A 2M g A
Признак сравнения: Если функции
0 , так как функция g x 0 при
x , то такая константа A ; A A , мы можем
интегралы
Зададим произвольное
c
b
Рассмотрим модуль исходного интеграла:
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
Теорема (Критерий Коши): Для того чтобы несобственный интеграл
0 такое 0 , что
, : 0 ,0
A
b
.
g x является непрерывной (по условию), то
интеграл правой части существует. Кроме того, функция g x не
возрастает и g x 0 при x . Поэтому g x 0 при
x , . Для определенности будем считать, что A A .
f x g x dx M g A M g A
c
A"
A"
A'
Так как функция
A
a, b .
Если указанный предел существует, то говорят, что несобственный
интеграл сходится.
.
и
В независимости от этого указанный предел будем называть несоб-
ения, то есть
, Тогда интеграл f ( x) g ( x)dx сходится.
0 значения этого интеграла.
рассмотрим предел при
b
g ( x)dx
b
(1)
Рассмотрим несобственный интеграл второго рода
a
c – внутренняя особая точка интервала
b
f ( x)dx
f ( x)dx , где
a
a, b.
(2)
a
Определение: Если существует предел «конструкции» следующего
то из сходимости (1) следует сходимость (2), а из расходимости (2)
следует соответственно расходимость (1).
Следствие: Если
f x 0 , g x 0 при x a, b и
f ( x)
lim
k 0 , то интегралы
x a 0 g ( x)
b
b
a
a
f x dx и обозначается V.p. f x dx .
(1)
Отметим, что исходный несобственный интеграл может быть расходящимся, то есть может не существовать предел
(2)
b
с 1
lim f x dx f x dx .
1 0
c 2
2 0 a
a
b
f ( x)dx
то он называется главным значением несобственного интеграла
второго рода
b
g ( x)dx
b
c
lim f ( x)dx f ( x)dx ,
0
c
a
вида:
V.p.
a
dx 2 dx
dx
lim
ln ln 2 ln 2
1 x 0 1 x x lim
0
2
сходятся и расходятся одновременно.
.
Главное значение несобственного интеграла
§3. Несобственные кратные интегралы
Пример:
xdx lim
B
A
B A
1 2
A B2
A 2
B
xdx lim
Полученный предел очевидно не существует. Пусть
тогда указанный интеграл:
Несобственный интеграл возникает на неограниченной области,
либо ограниченной области, но имеющей особые точки. Пусть G –
ограниченная квадрируемая область на плоскости
B A,
Пусть
области G (за исключением, быть может, некоторой точки M 0 )
область , где
f x определена на , и пусть функция f x
интегрируема на любом сегменте.
Пусть функция
f x, y интегрируема в области G Рассмотрим предел
на области G .
0
A
lim
A
f x dx , то он
A
называется главным значением несобственного интеграла
f x dx в смысле Коши и обозначается следующим образом:
(V.p. = vabeur principal).
В этом случае говорят, что функция
мой
– диаметр области
.
f x, y dxdy .
G
Этот предел называется несобственным интегралом от функции
f x, y по области G (несобственный двойной интеграл). Для
кратных несобственных интегралов, как правило, не вводят понятия
интегралов первого и второго рода. Если указанный предел существует и не зависит от способа стягивания области
точке M 0 ,
то говорят, что несобственный интеграл сходится, а в противном
случае – расходится. В ряде задач математической физики важную
V . p. f x dx
.
lim
Определение: Если существует предел
f x, y , не ограниченная в окрестности
M 0 . Заключим точку M 0 в произвольную квадрируемую
определена функция
точки
1 2
A A2 0
xdx lim
A 2
x, y , и пусть в
f x интегрируема на пря-
, Очевидно, что если несобственный интеграл
.
f x dx сходится, то его значение совпадает с его собственным
роль играет случай, когда – круг с радиусом
и центром в
точке M 0 . Если существует
lim
0
f x, y dxdy , где – круг с радиусом и центром
G
в точке M 0 , то этот предел называется главным значением несоб-
ственного интеграла по области G от функции
значением. Но может так быть, что несобственный интеграл расходится, но при этом имеет конечное главное значение.
чается
f x, y и обозна-
V.p.
f x, y dxdy
G
F: R
f x, y определена в неограниченной области G
и пусть последовательность Gn ограниченных квадрируемых
Пусть функция
областей монотонно «исчерпывает» область G, то есть любая об-
Gn1
и
G
R; DF D, y Q; F x, y интеграл по x
( y)
ласть Gn
N 1
n
на
( y), ( y) I y F ( x, y)dx .
( y)
и этот интеграл называется собственным интегралом, зависящим от
параметра.
G
n 1
Пусть функция
области вида
f x, y интегрируема в любой ограниченной
Gn . Рассмотрим числовую последовательность
I n , построенную следующим образом
I n f x, y dxdy . Если lim I n и не зависит от выбоn
Gn
ра последовательности областей
ный интеграл
Gn то говорят, что несобствен,
f ( x, y)dxdy сходится, а в противном случае –
Теорема 1 (Теорема о непрерывности): Пусть Q – параллелепипед в
n-мерном пространстве:
c1 ...cn R; d n R, ck d k , Q c1 , d1 ... cn , d n
.
Вместо параллелепипеда может быть замкнутое, ограниченное,
плотное в себе множество
v
a, b R, a b; F u, v, y f x, y dx
при
u
u, v a, b, y Q .
Gn
расходится.
Замечание: Кратные несобственные интегралы обладают следующим удивительным свойством, а именно: для несобственных интегралов понятия сходимости и абсолютной сходимости являются
эквивалентными.
Отмеченное свойство обусловлено произвольностью стягивания
к точке M 0
,
или соответственно, произвольностью выбора
последовательности
Gn .
a, b a b ;
a, b t R : min a, b t max a, b.
2.
3. A, B – множите-
A B ( x, y) : x A y B, a, b c, d .
A B ; f – отображение
D( f ) A, R( f ) B .
4. A, B – множители; f:
A R N ; A – плотное в себе множество A и
x A, [окрестность точки]
y y A y x .
Пусть имеется множество Q в n-мерном
R R и в нем заданы
функции y ,..., y ,
y ,..., y , причем и та1
1
v v0 , y y0 , где u, v a, b, y Q. Фиксируем
0 , тогда по первой теореме Вейерштрасса можно указать
такое число C 0 , что f x, y C при
x a, b, y Q; 1
указать такое
по теореме Кантора
a, b Q , можно
2 0 , что выполняется:
v
N
u
f ( x, y )dx
3 b a 1
при
u
1 n
v0
f ( x, y
0
u
v0
u0
u0
v
v
f x, y dx f x, y 0 dx f x, y 0 dx f ( x, y 0 )dx
v
)dx
u0
v
, : R : D( ) D( ) Q . Пусть в R :
D x, y , x ( y), ( y) y Q.Рассмотрим
случай когда N 1 , Q c, d – следовательно, F x, y :
0
v v0 1 ,
y y 0 2 , F (u, v, y ) f (u 0 , v0 , y 0 )
кие, что
N
C 1
x a, b, y y0 2 .Фиксируем u u0 1 ,
N
N
функция f равномерно непрерывна на сегменте
f ( x, y) f ( x, y0 )
5.
пространстве
u 0 a, b, v0 a, b,
y0 Q ; F u, v, y F u 0 , v0 , y0 при u u 0 ,
R R \ ; .
ли;
f x, y непрерывна в области определения. Тогда
F u, v, y непрерывна в своей области определения
dF a, b a, b Q .
Пусть
Док-во:
Собственные интегралы, зависящие от параметра
1.
Теорема 1.1:
u
f ( x, y ) f ( x, y 0 ) dx
u
f ( x, y 0 ) dx
u0
uv
3
2.
f ( x, y 0 ) dx
v
vu
v0
3
3 ( b a 1)
u u 0 C v v0 C
3 b a 1 3 (C 1)
3
F
u, v, y f x, y dx .
y
y
u
v
3 (C 1)
Док-во:
,
, : R N R, D( ) D( ) Q; ( y), ( y) a, b
и соответственно
I y
( y)
f ( x, y)dx .
( y)
F x, y непрерывна на прямоугольнике C a, b c, d . Обозначим:
Теорема 1.2: Пусть функция
b
d
a
c
I y f x, y dx ; F x f x, y dy .
I y непрерывна на сегменте c, d
I C c, d .
b
c
a
b
b
d
c
a
a
c
dy f x, y dx dx f x, y dy .
Док-во: По теореме 1.2:
c
a , b c , d
b
f ( x, y )dxdy sgn b a sgn d c F x dx
a
ч.т.д.
v
y
v
c
u
u
c
f
f x, t dx F u , v, c
t
f
x, t dt F u, v, c f x, y f x, c dx
t
u
v
ренцируемы на
f
C a, b c, d ; , диффеy
c, d , C 1 c, d .
Тогда:
2.
Пусть функция f непрерывна в области определения
f C a, b c, d , пусть также существует производf f
ная
и
непрерывна также на C a, b c, d .
y
F C 1 a, b c, d , где C 1 – множество непре-
рывных функций, имеющих непрерывные
I y
первые производные.
y
c, d . I C 1 c, d .
f
dx y f y , y y f y , y
y
y
Док-во: I
I y
Тогда:
1.
y
1. I – дифференцируема на
Теорема 1.4:
y
u, v a, b, y c, d получаем:
Теорема 1.5: Пусть f,
a ,b c , d
I y dy
фиксируем
c
I C c, d , K C( a, b) ;
I y dy f x, y dxdy
d
F u, v, c F1 u, v, t dt
, ч.т.д.
d
c
y
y
F u , v, y
F u, v, c F1 u , v, t dt
y
y
c
y
F u, v, y
F
u
,
v
,
c
F1 u , v, t dt F1 u, v, y
y
y
c
I y dy K xdx , тогда
d
f x, y dx
y
u
v
F1 u, v, y
F u , v, c f u, v, y F u , v, c F u , v, y
K Ca, b .
d
функция). Введем следующую вспомогательную функцию, которую
назовем «формальной» производной:
dx
1. Функция
3.
u
F u , v, c dt
Тогда:
2. Функция
f
f x, y dx f x, y dx f u, v
u u u
u v
F F
и
непрерывные (т.к. f y, y – непрерывная
u v
v
Уточним теорему 1.1: Пусть
y Q
f
f x, y dx f v, y ;
v v u
v
C
ч.т.д.
при
F
u, v, y f u, y ; F u, v, y f v, y ;
v
u
y F y , y , y I – дифференцируема.
F
F
y
y
u
v
f y , y y f y , y y
y
y
, ч.т.д.
f
x, y dx
y
b
g x, y dx сходится равномерно на Q
Глава 5. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
§1. Определение несобственного интеграла
a
b
1
f x, y 2 g x, y dx
a
Определение: Функция f называется локально интегрируемой, если
R1 Q, R2 Q, R1 , R2 Q , т.е. f – интегрируема на
сегменте R1 , R2 .
Q R N , пусть a R, b R , a b .
Рассмотрим полуинтервал a, b . Пусть задана функция
f x, y f : R1 N R; D f a, b Q . Будем
считать, что y Q f ( x, y ) локально интегрируема по переменной x на a, b . Несобственным интегралом с особой точкой b
Определение: Пусть
по
a
a
Пусть:
1.
R, R, .
a
3.
f x, y dx схо-
f x, y – непрерывна по x на a, b .
C 1 a, b , (t ) a, b при
t , ; a; t b .
t
t( , )
a
дится равномерно на множестве Q к I, если
0 A a, b y Q R a, b справедлива
оценка
I y f x, y dx
или
b
a
R
I y f x, y dx
f x, y dx сходится равномерно на
множестве Q, причем справедливо равенство:
a
y Q, 0 A a, b, R A, b справедлива
оценка
Тогда следующий интеграл сходится равномерно на множестве Q,
тогда и только тогда, когда
R
. (Определение поточечной
a
– первое свойство
Теорема 2.2 (Замена переменных в несобственных интегралах,
зависящих от параметра):
2. y Q,
b
b
несобственного интеграла, зависящего параметра, называющееся
теоремой о линейности.
b
a, b называется формальное выражение: f ( x, y)dx .
Определение: Будем говорить, что интеграл
b
1 f x, y dx 2 g x, y dx
b
f t , y t dt f x, y dx .
a
Теорема 2.3: Пусть для каждого
y Q
ux, y и
функции
сходимости).
vx, y C
Пусть имеются два N-мерных пространства
y 0, R b
u( R, y); v( R, y)
( y). Тогда
R N , R N 2 ; Q1 R N 2 ; f ( x, y) x Q1 , y Q2 ;
f : R N1 N 2 R ; f Q1 Q2 . Пусть x 0 – предель1
ная точка множества
Q1 , x0 R N 2 ;
b
1
по переменной x. Пусть
u
dx x x, y vx, y сходится равномерно по y Q
a
причем:
: R N R, D( y) Q2 ; Будем говорить, что F x, y
равномерно стремится к y при x x0 , x Q1 по
y Q2 , если 0 [ окрестность точки x 0 ]
y Q2 , x Q1 справедлива оценка
y f x, y . Обозначение следующее:
2
a
ся равномерно по
y Q , причем верно:
v
u
a dx x v y vx, y ux, y a dx u x .
b
b
Теорема 2.4: Пусть
x x0
xQ1
dx ux, y x vx, y сходит-
тогда и только тогда, когда
yQ2
f x, y
y .
b
x Q
функция
f x, y локально интеb
грируема по x на сегменте
a, b . Пусть dx f x, y сходитa
§2. Свойства несобственного интеграла, зависящего от параметра
Пусть
y Q f ( x, y ), g ( x, y )
ся поточечно на множестве Q
– локально интегрируемы
b
по x на
b
a, b . Пусть 1 , 2 R . f x, y dx и
a
dx f x, y сходится равa
номерно на Q
0 A a, b y Q R a, b,
b
тогда выполняется условие
dx f x, y
a
.
b
Док-во: Обозначим
I y dx f x, y при
f x, y dx 2 . Перейдем к пределу при
a
R1
y Q 0 A a, b y Q R A, b
b
f x, y dx 2 . По теореме
R1 b . При этом
R
I y dx f x, y
R2
R2 A, b
.
R2
a
b
(2.4)
Заменим
R
b
R
b
a
a
a
R
a
I y dx f x, y dx f x, y dx f x, y dx f x, y –
y Q функция
f x, y локально интегрируема по x. Пусть g x – локально
Теорема 2.6 (Признак Вейерштрасса): Пусть
остаток.
0 A x, y y Q R A, b
b
dx f x, y
f x, y dx сходится равномерно на Q, ч.т.д.
R
, ч.т.д.
интегрируема по x. Пусть:
f x, y C g x , при
x a, b, y Q . Здесь C R . Пусть сходится интеграл
b
b
g x dx
Теорема 2.5 (Критерий Коши): Пусть y Q функция
интегралы
f x, y dx,
b
f x, y dx –
f x, y локально интегрируема по x a, b .
сходятся равномерно на Q.
b
Док-во: Без ограничения общности будем считать, что
dx f x, y сходится равномерно на Q тогда и только тогда,
a
0 A [a, b) y Q
R1 A, b R2 A, b что выполняется условие
когда
R2
dx f x, y
.
dx f x, y сходится равномерно на множестве Q к
функции I. Фиксируем
y Q, R1 A, b, R2 A, b, R2 R1 .
f x, y dx
R2
R2
f x, y dx C g x dx C
R1
R1
C 1
0 . Выберем
b
I y dx f x, y
a
2
R1
R2
a
a
1.
C 0, y Q, R a, b
2.
R2
R1
a
a
f x, y dx I y f x, y dx 2 2 .
yQ , x b
vx, y
0; y Q функция vx, y моно-
b
Тогда рассматриваемый интеграл
равномерно на Q.
2. Докажем достаточность. Пусть выполнено условие (1). Из этого
Док-во: y Q функция
b
f x, y dx сходится поточечно по критерию Ко-
ши. Фиксируем
0 и выберем число
A a, b; y Q; R1 A, b,
ux, y vx, y dx сходится
a
Необходимость выполнена.
a
u x, y dx C ;
тонна по переменной x.
a
следует, что
R
a
f x, y dx I y I y f x, y dx
I y
ux, y и
Пусть выполняются два требования:
R1
a
y Q функции
vx, y локально интегрируемы по x a, b .
Теорема 2.7 (Признак Дирихле-Абеля): Пусть
R1
R2
a
a
. Фиксируем
f x, y dx f x, y dx
f x, y dx и
f x, y dx сходятся равномерно на Q, ч.т.д.
y Q; R1 , R2 A, b мы можем записать следующее:
f x, y dx
. Согласно критерию Коши интегралы
b
A a, b : y Q, R A, b
Фиксируем
b
a
g x dx
R1
R1
b
R2
R2
R1 A, b , R2 A, b ;
Док-во:
a
C 0, g x 0 . Выберем A a, b
R2
R1
1. Пусть
a
a
ux, y непрерывна по x; y Q
функция vx, y C по x. Пусть: a b ( b a – рассмат1
ривается аналогично). Выберем
R
C 0; y Q; R a, b u x, y dx C .
a
y Q . Рассмотрим случай, когда vx, y – не воз
v x, y 0 .
растает по x; v ( x, y ) 0;
x
b
Фиксируем
Фиксируем
R2
R1 , R2 a, b ;
a
сходится поточечно, то
R
последовательности:
R2
dx u x, y vx, y
R2
x
x
v
x R2
dx u t , y vx, y x R dx dt ut , y x, y
1
R1
a
a
x
R2
R2
R1
x
v
dt ut , y vR2 , y dt ut , y vR1 , y dx dt ut , y x, y
a
x
R1
a
a
R2
R1
R2
x
a
a
R1
a
dt u t , y vR2 , y dt u t , y vR1 , y dx dt u t , y
v
x, y
x
C vR2 , y C vR1 , y
u
x, y C vR1 , y C vR2 , y C vR2 , y 2C vR1 , y
x
vx, y – не убывает по x,
v
v x, y 0, x, y 0 . Справедлива та же оценка. По
x
условию теоремы, функция v ( x, y ) 0 при x b моно. Пусть
тонно равномерна по y, следовательно,
R2
yQ , R b
a
кажем, что
R1
dx f x, y I y . По-
R
R1
dx C
Pn x I y ,
yQ , R
y Q , Fn y – монотонная. Согласно признаку Дини для
dx u x, y vx, y .
R
R2
Fn C Q . Так как dx f x, y –
Согласно теореме 1.2
0 при R
dx ux, y vx, y
yQ
1
b
dx f x, y I y . Перепишем
yQ , R b
a
0, N N , y Q, n N
это
I y F y . Положим A R
n
ем
y Q, R A, b :
N . Фиксиру-
R
b
b
dx f x, y
a
R
Rn
I y dx f x, y dx f x, y
I y Fn y
, ч.т.д.
§3. Непрерывность, интегрирование и дифференцирование интеграла,
зависящего от параметра
Теорема 2.9 (Непрерывность):
b
Пусть:
f C a, b Q ; dx f x, y – сходится равноa
мерно по y на множестве Q к функции
I CQ .
I y , следовательно, верно:
Rn
: Rn a, b; Rn b . Обознаn 1
Док-во: Выберем
R1
Rn
R2 b . По критерию Коши интеграл
чим
b
dx ux, y vx, y сходится равномерно на множестве Q,
a
Fn y dx f x, y , Fn C (Q) . Так как
a
b
dx f x, y ; Q [c, d ]; c R, d Q, c d ; P y I y
gQ , n
n
ч.т.д.
a
, ч.т.д.
Теорема 2.8 (Признак Дини): Пусть множество
Теорема 2.10 (Интегрируемость):
Q c1 , d1 ... c N , d N
b
c1 ,..., c N R; d1 ,..., d N R; c1 d1 , ..., c N
Пусть:
f a, b Q ,
dN
b
dx f x, y сходится поточеч-
Пусть:
I y ; I CQ . Пусть y Q
x a, b f x, y 0 либо
x a, b
либо
a
f x, y 0 , следовательно, f x, y dx
a
сходится равномерно на множестве Q.
Rn a, b, Rn b, n . Обозна-
Rn
чим:
Fn y dx f x, y .
a
c, d к функции I. Пусть y0 c, d . Обознаy
чим
k x, y dt f x, t следовательно:
y0
b
Док-во: Выберем
f C a, b c, d ; dx f x, y сходится
равномерно на
a
но на Q к
1.
I C c, d – непрерывная функция;
2.
k Ca, b c, d ; причем сходится равномерно по
y c, d ;
3.
y
b
y0
a
t
dx f x, y сходится. Пусть dx y x, y сходится равb
dt I t dx F x, y , причем
0
a
y
b
b
y
y0
a
a
y0
Док-во: Согласно теореме 2.9: I
Согласно теореме 1.2:
a, R a, b .
C c, d .
1.
y
2.
зависящего от параметра
a
.
b
R
y
y0
a
a
y0
y
b
y
b
y
a
y0
a
y0
y
R
a
y0
a
y0
b
b
y
a
a
y0
I y dx f x, y 0 dx dt
a
F R, y dt dx f x, t dt dx f x, t dt dx f x, t
y0
нейности)
R
F R, y
F R, y
Фиксируем
c, d
R
y0
b
y
a
y0
a
сходится равномерно по y на сегменте
dt I t dx F x, y ;
y
B
y0
A
a
b
b
Таким образом, интеграл
a
на сегменте
b
dx f x, t
a
d c 1
max y , y0
c, d
Так как C c, d , то I y , такая:
dt
dx f x, t
y y0
R
.
y
b
d
I y dx f x, y0 dt t y I C 1 c, d
dy a
y0
.
b
dx f x, y сходится равномерно по y
a
R A, B, получим
c, d . I y по формуле
b
0 : dx f x, t сходится равномерно по t на
min y , y0
f
x, t –
t
I y dx f x, y .
dt dx f x, t
F R, y
(свойство ли-
Ньютона-Лейбница:
A a, b, t c, d R A, B
Фиксируем
f
x, t
t
dx f x, y 0 dt
.
y
f
dx
t
a
b
Согласно теореме 2.10 во втором интеграле мы можем поменять
местами интегралы:
Используем теорему 1.3 (об интегрировании собственного
интеграла):
b
C c, d можно записать:
I y dx f x, y0 dt t ; I y dx f x, y0 dt
dt dx f x, t dx dt f x, t
y
I y y .
Док-во: В силу теоремы 2.9 о непрерывной зависимости интеграла,
R
y
I y , а также I C 1 c, d .
некоторой функции
y
dt I t dx k x, y
dx f x, y сходится равномерно по y на сегменте c, d к
a
y0
y0
b
dx k x, y dtI (t ) .
a
F R, y
Тогда:
k C a, b c, d ,
R
a
c, d к y .
номерно на
dt dx f x, t dx dx f x, t
Нужно доказать:
b
d c 1
, ч.т.д.
Следовательно, I – дифференцируемая функция, ч.т.д.
Теорема 2.12: Пусть
f a, b c, d и интеграл
b
Теорема 2.11: Пусть
ствует
t
y
при
f C a, b c, d и пусть суще-
x a, b, y c, d . Пусть
t
C a, b c, d . Пусть y 0 c, d :
y
dx f x, y сходится равномерно по y на каждом сегменте
a
c, R1 c, d к функции I y .
d
Пусть
dy f x, y сходится равномерно по y на каждом сегменc
те
c, R2 a, b к функции K x .
d
a
c
b
c
a
dy dx f x, y и
Пусть существует хотя бы один
b
d
F R
dx dy f x, y .
Тогда:
1.
b
R1
R
b
R1
R
R1
R1
c
c
dy dx f x, y dy dx f x, y
dy dx f x, y
R1
b
c
R
dy dx f x, y
b
b
b
R
R
a
dx f x, y dx f x, y dx f x, y
d
I C c, d ;
d
d
dy I y – сходится.
.
c
2.
b
K C a, b ;
dx K x – сходится.
По признаку Вейерштрасса интеграл
a
d
3.
d
b
с
R
dy dx f x, y сходится
a, b . Фиксируем 0 . Выбе-
равномерно по R на сегменте
b
dy I y dx K x или в следующем виде
c
рем
a
d
b
b
d
c
a
a
c
dy dx f x, y dx dy f x, y .
a
b
R2
К
R2 c, d : R a, b : dy dx f x, y
2
.
b
Заметим, что интеграл
dx f x, y сходится равномерно по y на
R
d
Док-во: Пусть существует
c
. Без ограничения
a
a b, c d . Используя теорему
I C c, d и K C a, b . По-
общности будем считать, что
2.9, получаем, что
b
скольку
нить функцию
сходится поточечно, то мы можем оце-
I y следующим образом:
b
dx f x, y
R
a
2R2 c 1
R a, b F R
. По признаку
2
R2 c
2R2 c 1
,
b
dy I y сходится, также
a
поточечно на
c
R
d
dx K x dy I y . Докажем этот факт, введя
R b
a
c
следующую функцию
Теорема 2.13 (Третья теорема об интегрировании): Пусть
f C a, b c, d интеграл dx f x, y сходится
d
F R :
R
d
b
R
d
c
a
c
a
a
c
F R dy I y dx K x dy dx f x, y dx dy f x, y
dy f x, y сходится поточечно на a, b к функции K x ;
K Ca, b . Пусть далее
x a, b, y c, d f x, y 0 или
x a, b , y c, d f x, y 0 существует один
.
d
Согласно теореме 2.10
из интегралов
b
dy dx f x, y сходится.
c
b
b
d
c
a
c
b
c
a
dy I y или dx I x . Тогда существует из
b
F R dy dx f x, y dy dx f x, y dy dx f x, y
a
d
них и они равны друг другу.
a
d
c, d к функции I y ; I Cc, d ,
d
c
d
R
d
Док-во: Пусть существует
.
Фиксируем
.
ч.т.д.
a
сравнения интеграл
c
b
I y dx f x, y dx f x, y
d
b
Фиксируя
dx f x, y
a
c, R2 (по условию теоремы). Можно указать
A a, b , что y c, R2 , R A, b
сегменте
b
dy dx f x, y
R1 c, d , следовательно, мы можем записать:
I y dy и без ограничения общноc
сти будем считать, что
b
(теорема 2.8)
a b, c d
. Согласно признаку Дини
dx f x, y сходится равномерно на любом сегa
менте
d
c
1
c, R2 c, d . Тогда интеграл dy f x, y сходит-
ся равномерно на
a, R1 a, b : f x, y
f x, y ;
1 либо –1. Следовательно, существует
d
b
c
a
x
a
сходится при всех p, сходится равномер-
, p2 . F2 p x p 1 e x dx , следовательно,
1
F2 p – бесконечно гладкая на , и
но на
F2( n ) p
c
dx f x dy I y , ч.т.д.
ln n x e x dx
dy dx f x, y . Тогда, согласно теореме 2.12, сходится
b
p 1
x
p 1
ln n x e x dx . Интеграл
1
x
d
p 1
ln n x dx
p 0 , расходится при
сходится при
0
p0
§4. Интегралы Эйлера
Рассмотрим интеграл
dx x
p 1
1
чим
ln n x e x dx x p1 ln n x e x dx x p1 ln n x e x
0
0
1
. Рассмотрим первый интеграл. Пусть
p 0 . Фиксируем
0 p1 p . Рассмотрим предел следующей функции:
0 p1 p p2 . Обозна-
и сходится равномерно на
Г p
x
p 1
e x x dx
– бесконечного дифференциала
0
на
0, . Г p x p1 ln n x e x dx
(n)
- гамма-
0
функция Эйлера (интеграл Эйлера).
ln n x e x 1 p1
lim
x
lim x p p1 ln n x e x 0
1 p
x 0
x 0
x
Г (n) p
x
p 1
ln n x e x dx
0
.
Причем,
1 p1 1 . Согласно признаку сравнения
Признаки приведения
1
p 1
n
x
dx x ln x e сходится абсолютно. Пусть p 0 ,
1.
0
Г 1 e x dx e x
ln n x e x 1 p1
lim
x
x 0
x1 p
1, если n 0
, если n четное 0
, если n нечетное
2.
ln n x e x
p 1
1.
e t
dx 2t dt
t
x
0
Г p 1
x
p
e
x
2
.
p 0 , тогда
x e
x
x
x 0
0
px
0
– ее можно аналитически продолжить на комплексную плоскость,
причем полюсами будут все целые точки отрицательной полуоси.
Г n 1 n! Г p 1 p Г p
x p 1 ln n x e x x p 1 ln n x e x x p 1 ln n x e x
n
.
Формула дополнения
Но интеграл
dx x
p 1
ln x e
n
x
0
сходится равномерно по p на сегменте
1
F1 p dx x p 1 e x
0
– бесконечно гладкая на
1
при
по признаку Вейерштрасса
Пусть
p1 , .
p 0 , следовательно, F1 p
0, , причем
F1( n ) p x p 1 ln n x e x dx . Интеграл
0
dx
e x p Г p . Пусть
n Z , n 0 Г n 1 nГ n 1 1 ... n!
p1 0 . Пусть p p1 , тогда мы можем записать:
1
p 1
.
расходится.
0
Фиксируем
e
3. (Формула приведения) Пусть
1 p 0 , то по признаку сравнения
dx x
Г 1 / 2
x
0
.
1
x 0
0
тогда
Т.к.
0 p 1 , тогда
Г p Г 1 p
sin p
Формула Стирлинга
Пусть
p 0 , тогда
1
p
Г p 1 2p p p e p 1
2
p
12
p 1
p0 0 c 0 : p p0 p c 2 o 2 ; n N
p
p
n! 2n n n e n 1 n , n 0
n .
1
Пусть
x 1 x
p R, q R;
p 1
q 1
0
p 0, q 0 , расходится при
ра первого рода, он сходится при
p 0 или q 0 , сходится равномерно на
p1 , q1 , где p1 0, q1 0 .
1
B p, q x p 1 1 x
q 1
dx , при p 0, q 0 –
-
0
функция Эйлера.
B C 0, 0, :
1
x
p 1
ln x 1 x
q 1
n
nm
B p, q
p n q m
1
1
dt
B p, q x
; t 1; dx
1 t
x
1 t 2
dt
1
1 t 1 t
2
p 1
dt t
q 1
1 t
pq
1
1
1 t
0
q 1
1 t
pq
0
dt 1 t
p 1 q 1
t
dt Bq, p B p, q Bq, p
при t 2 /
dt dx x t x
,t
, t / t
2/
q 1
p 1
0
t p 1
1
й 1 t
e
,t /t
2
,t /t
2/
dt t
p q 1
e
, t / t
d
t
2
0 t 2 , t 2 / ,
F
p q 1
t
dt t e
0
, t , t
t
p 1
1 ;
0
, t
,t / t
,
t
1 t pq
грала от параметра
dt .
B p, q
B p, q
x
et ; x t ; dx t d
t
dt t d t t t
, t
t
, t / t
d
p 1
t
, t
t
, t
t
1;
1
:
2
1 q1 , но
,t / t
непрерывно зависят от
, t / t
B p, q
e t
и t при
,t 0 .
Согласно теореме о непрерывной зависимости собственного инте-
1
q 1
при 0 t 2
при 2 t 1 /
при 1 / t 2 /
, t
2/
dt .
B p, q t 1 x, x 1 t , dx dt
t x
p 1
при t 2 /
t / 2
t
, t
1 /
t / 2
0
y q 1 e ( xy )
при 0 t 2
при 2 t 1 /
при 1 / t 2 /
t / 2
, t
t 1 /
t / 2
при
t q 1
dt x
dx
2
n, m N ; n, m 0; p, q 0 . Тогда мы можем записать:
p 1
t x; t 1 / x;
0
0
1/ x
F
ln 1 x dx
m
dy x
t x y , y t x, dy dt
dx – интеграл Эйле-
dx
1/
при
1/
1
B , p, q
d
p 1
1 q 1
непрерывно зави-
,t / t
Г p Г q
Г p q
Г p Г q
Г p q
1/
1/
p 1
x
B , p, q dx x e dy y q 1 e y ; 0 1; p, q 0
сят
, t , p, q 0
lim
t t 0
0 0
, t
t
, t / t
lim
t t 0
0 0
d
0;
p 1
lim
t t 0
0 0
, t
t
1 . Но также:
1 q 1 B p, q . Тогда получает-
,t / t
ся:
, t / t
q 1
p 1
d 1 при 0 ~
~
B , t , p, q , t / t
B непрерывна по , t.
B p, q при 0
y B и для каждого множества A, лежащего в пересечении
A D и если A – измеримо по Жордану, то сходится не-
~
t p q 1 e t B , t , p, q t p q 1 e t B p, q . По
признаку Вейерштрасса интеграл
dt t
0
ся равномерно по
dt t
p q 1
p q 1
~
e t B
сходит-
собственный интеграл
x , причем
A
0, :
на полупрямой
f x, y g x dv
f x, y g x dv
~
e t B , t , p, q – непрерывно зависит от
D
ный интеграл
0
0 .
. Будем говорить, что несобствен-
x
f x, y g x dv
x сходится равномерно по y
D
y0 .
в точке
Тогда
Замечание: Если несобственный интеграл
Г p Г q dt t
p q 1
0
, ч.т.д.
Г p fГxq,y g x dv сходится равномерно по y в точке y ,
0
x
e B p, q B p, q
Г pD q
то можно указать такую окрестность точки y 0 , что данный
несобственный интеграл сходится поточечно к B .
t
Глава 6. Кратные интегралы, зависящие от параметра
§1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
N N , A R N . Будем говорить, что A
– регулярное множество, если A 0 , а также A int A .
Определение: Пусть
R
D R N1
Пусть имеются два пространства
Q R N2
– не пустое,
N1
и
R
N2
. Пусть множество
– не пустое, измеряемое по
Жордану. Предположим, что имеется функция f, действующая из
R N1 N 2 R2 . Будем считать, что y Q
f x, y интегрируема по x на D. Рассмотрим интеграл:
пространства
функция
F x, y непрерывно зависит от x и y при
x, y P, x y . Пусть g – интегрируемая функция по x на D.
Теорема: Пусть
I y f x, y dv x , где D, Q – замкнутые, регулярные,
Пусть
y0 D; f x, y g x dv x
D
по y в точке
Док-во: Фиксируем
y0 .
0 . Выберем окрестность 1 точки y 0
1 – множество, измеримое по Жордану и так, что сходится интеграл
f x, y g x dv x при y 1 D , тогда:
так, что
1 – окрестность, измеримое по Жордану множество, а D – замкнутое, измеримое по Жордану множество.
N N , D R N – замкнутое, регулярное, измеряемое
по Жордану множество. DF D D \ x, x ; x D;
Пусть
F x, y определена при
x D, y D, x y; F CD D \ x, x; x D
.
F x, y непрерывно зависит от x и y при
x D \ 1 , y 1 D .
2.
3.
f x, y g x dv
x
F x, y g x dv
g : R N R; D y D , g – интегрируемая функция на
множестве D. Рассмотрим следующий интеграл:
x .
x
D \1
D
F x, y g x dv
Согласно теореме о непрерывной зависимости собственного кратно-
F x, y g x dv
x непрерывно
D \1
y 1 D . Тогда можно указать такую окрестность
2 точки y 0 , что 2 1 .
зависит от
D
y A
A D, A
и пусть для каждого
f x, y g x dv
x , тогда говорят, что этот интеграл схо-
D
y0 D . Пусть для каждого 0
указать такую окрестность точки y 0 , что для каждого
F x, y g x dv
0
D\
x
1
3
I y I y0
D \ 1
можно
x
1
F x, y g xdv
дится поточечно на множестве A.
Определение: Пусть
F x, y g x dv
D\
сходится несобственный интеграл
x
1 D
.
го интеграла от параметра
Пусть кроме функции F задана функция
Определение: Пусть
.
D
1.
§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
f x, y g x dv
y 0 . Обозначим I y f x, y g x dv x
Тогда интеграл I непрерывен в точке
D
измеряемые по Жордану множества.
сходится равномерно
x
F x, y g xdv F x, y g xdv
x
1 D
0
D\
1
x
F x, y g xdv
0
1 D
x
F x, y g x dv x
D \1
F x, y g x dv
3
3
3
2 r0
2
0
0
0
2
r dr sin d d
D \1
F x, y g x dv
x
1 D
F x, y0 g x dv x
0
x
Фиксируем
0 и выберем r
0
1 D
f x, y g x dv
, ч.т.д.
x
1
2 4 cc1
3
при
x y
функция, g – интегрируемая функция. Пусть
c
c 0 N x D x y F x, y
x, y
. Тогда для каждого
y Br0 y 0 , ч.т.д.
y0 D
интеграл
f x, y g x dv
x
Теорема (о дифференцировании): Пусть F – непрерывная функция
при
x y , а y – интегрируемая функция. Пусть y0 int D ,
а несобственный интеграл
F x, y g x dv
– сходится равномерно по y в точке
y0 .
поточечно на
D , где
Пусть
n Z, 1 n N,
Пусть
F
y g x dv
c 0, N ,
Док-во N=3 (случай трехмерный): Пусть
c
F x, y
, при x, y D, x y . g – инте x, y
c1 0 , что g x c1
0 . Рассмотрим
при
n
F
y n
– непрерывна при
x D . Фиксиру-
1.
I y F x, y g x dv x
. Фиксируем
2.
I
y n
y y0
A 0 . Фиксируем
y Br0 y 0 точку y в нашем шаре. Заметим,
грируемым по параметру Жордана,
cc1
x, y
при
имеет
F
n
D y
§1. Тригонометрический ряд Фурье
x A, x y . Соглас-
Определение: Функция
f x определённая на всей числовой
f x, y g x dv
Система функций:
x – сходится.
cc1
dv x
A x, y
– такая система функций называется тригонометрической системой
функций. Основной вопрос состоит в следующем: можно ли периодическую функцию с периодом 2π представить в виде линейной
комбинации функций периодической системы? Далее будут установлены достаточные условия того, когда периодическая функция
. Заметим, что
множество A гарантированно будет лежать в нашем шаре:
f x может быть представлена в указанном виде:
A B2 r0 y 0 , следовательно, получаем:
cc1
cc
dv x 1 dv x
A x, y
Br y x, y
f x, y g x dvx
0
T 0 x : f x T f x .
1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x,, cos nx, sin nx,
A
A
y y0 .
Глава 7. Ряды и интегралы Фурье
y Br0 y 0 несобственный интеграл
при
g x dv x .
но признаку сравнения для кратных несобственных интегралов при
x
I
y n
y y0
прямой называется периодической, если
f x, y g x dv
y0 ,
тогда:
A Br0 y 0 так, чтобы множество A было множеством, инте-
y0 .
x y.
x сходится равномерно по y в точке
D
Br0 y0 x R 3 , x, y0 r0
F x, y yx
– некоторая окрестность точки
D
грируемая функция, а значит она ограниченная, следовательно,
можно указать
x сходится
D
D
A
, тогда
A
Теорема (признак сравнения): Пусть F – непрерывная при
ем r0
cc1 4 cc1
2r0 3 .
3
r
x1 sin cos, x 2 sin sin , x 3 cos
f x
a0
a n cos nx bn sin nx (1)
2 n 1
Равенство (1) называется разложением функции
метрический ряд Фурье, коэффициенты
f x в тригоно-
a n и bn
называются ко-
f x . Выведем формулы для a n
и bn . Для этого будем считать, что f x задана на сегменте
; . Отметим свойство ортогональности тригонометричеэффициентами Фурье функции
Док-во:
1 sin nx dx 0 ;
ской системы функций:
a T
a
a T
1 cos nx dx 0 ;
0
T
a T
a
0
T
f x dx f x dx f x dx
a
0
a
a T
T
a
0
f x dx f x dx , ч.т.д.
cos mx cos nx dx 0 m n ;
0
f x dx f T t dt f t dt
a
f x dx
sin mx sin nx dx 0 m n ;
§2. Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье
cos mx sin nx dx 0 m, n В пространстве
функций, заданных на сегменте
Определение: Функция
на сегменте
; можно ввести скалярное
рых она имеет разрыв первого рода.
f , g f x g x dx ; f , g 0 , f , g – огра
ниченные. Таким образом интеграл по сегменту ; от про-
Определение: Кусочно-непрерывная на сегменте
f x существует и непрерывна всюду на сегменте a, b за
исключением, быть может, конечного числа точек, в которых существует правый и левый предел функции.
f x справедливо
Лемма 1: (Лемма об аппроксимации непрерывной на сегменте
равенство (1)и что ряд Фурье (правая часть равенства (1)) можно
почленно интегрировать. Проинтегрируем равенство (1) и соответственно получим:
f x dx
a, b функции). Пусть функция f x непрерывна на сегменте
a, b, тогда для любого 0 существует непрерывная, кусочно-гладкая функция l x , такая, что для любого x из сегмента
a, b выполняется условие, что f x l x , причём
l a f a, l b f b .
Лемма 2: Если функция f x – кусочно-непрерывна на сегменте
a0
dx a n cos nx dx bn sin nx dx f x dx
2
n 1
a0
1
2 a0 f x dx
2
Умножим равенство (1) на
cos kx и получаем:
cos 2k 1
dx a k
2
2
f x cos kx dx ak cos kx dx ak
b
a, b, то: J 1 f x cos x dx 0 при ,
a
1
a k f x cos kx dx
b
. Аналогично получаем, что
bk
1
Окончательно получаем формулы для
a0
1
f x dx ; ak
bk
1
J 2 f x sin x dx 0
f x sin kx dx .
точке). Пусть
a0
a n cos nx bn sin nx – сходится в
2 n 1
точке x ; и для его суммы S x справедливо:
1
1) x , : S x f x 0 f x 0; S x f x ;
2
1
2) S S f 0 f 0.
2
f x
f x cos kx dx ;
, то для любого
a T
T
a
0
f x – кусочно-гладкая функция на сегменте
; . Тогда
a 0 , a n и bn :
.
Теорема: (О сходимости тригонометрического ряда Фурье в каждой
1
при
a
f x sin kx dx .
f x периодическая функция с периодом
числа a имеет место следующее равенство:
Теорема: Если функция
T
a, b функция
называется кусочно-гладкой, если производная этой функции
изведения любых двух функций тригонометрической системы равен
a, b, если она непрерывна во всех точках сегмента
a, b за исключением, быть может, конечного числа точек в кото-
произведение функций следующим образом:
нулю. Будем предполагать, что для функции
f x называется кусочно-непрерывной
f x dx f x dx , т.е. интеграл по любому сегменту
f x на всю числовую прямую с периодом 2 и составим
Док-во: Продолжим периодически функцию
длиной в период имеет одно и тоже значение.
Y
частичную сумму Фурье ряда:
S n x
x0
x
X
a0
a n cos nx bn sin nx
2 n 1
1
ak
. Т.к.
bk
f x cos kt dt ;
1
f x sin kt dt , то частичную сумму ряда мож-
но переписать в следующей форме:
S n a
1
f t dt
2
n
n
k 1
Dn t x – ядро Дирихле порядка n
(где
n
(где
x
x
Dn t x f t dt
D f x d ,
n
1 1 n
cos k , где t x . Функ 2 k 1
ции Dn и f x представляют собой периодические
функции с периодом 2 .
Dn
где
x
x
S n x
D f x d
n
0
Dn f x d Dn f x d
S n x S n x . Далее рассмотрим:
1
D d 2 cos k d 2 2 1
1
n
k 1
.
Т.к.
1 1
Dn - чётная функция, то
Dn d
0
f x 0
0
Dn d
J x, n 0
при
n , и аналогично:
1
f x 0 0
2
при
n , следовательно, скла-
. По лемме 2
дывая два последних результата, получаем:
S n x S n x
S f x Dn d ;
1
f x 0 f x 0 0 при
2
S x lim S n x
1
f x 0 f x 0 * .
2
Отметим, что если функция f x непрерывна в точке x и односторонние пределы совпадают, значит S x f x , тем самым
n
S
1
f x 0 f x 0 Dn d
2
0
2
x и x запишем:
f 0 f 0; f 0 f 0
(1)
Рассмотрим частичную сумму:
n
2 sin
пункт (1) теоремы доказан.
2) Для значений в точках
1
; (умножим на
2
1
. Таким образом:
n Dn 0
2
1
sin n
1
2
S n f x 0 f x f x 0
d
2
0
2 sin
2
2
1 f x f x 0
1
2
sin n d J x, n
0
2
n , т.е.
n
1
sin n
1
2
sin
2
S n
0
1
lim
0 2
обозначает
количество слагаемых, которые мы выбираем в исходной частичной
сумме ряда Фурье))
Dn не определено в точке
0 , но с другой стороны предел в данной точке равен:
1 1
2 cos k t x f t dt D t x f t dt
1
Заметим, что выражение для
1
f t cos kt cos kx sin kt sin kx dt
k 1
sin n
1
1
sin n D 1 2 .
n
2
2
2
sin
2
n
1
1 3
1 5
3
2 sin 2 2 sin 2 sin 2 2 sin 2 sin 2
1
1 1
1
sin n sin n
2 2
2
2 . Рассмотрим разность
1
1
f 0 f 0 f 0 f 0;
2
2
1
1
S f 0 f 0 f 0 f 0;
2
2
1
S S f 0 f 0 , тем
2
самым пункт (2) теоремы доказан.
0
(2)-(1):
S
n
1
f x 0
2
f x f x 0 D d
n
0
. Преобразуем ядро Дирихле
Dn
sin
2
Комплексная форма ряда Фурье
Dn :
n
1 1
cos k . Домножим на
2 k 1
cos k
и получим:
Dn sin
2
sin
2
f x
и
a0
an cos nx bn sin nx
2 n 1
1
a0 1
f t cos nt dt cos nx f t sin nt dt sin nx
2 n 1
a0 1
f t cos nt x dt . Но
2 n1
i i
f x
2
a
1
i nt n i nt n
0
f t
dt
2
2
n 1
cos
1
1
f t dt
f t int dt int
2
n 1 2
1
f t int dt int
n 1 2
c 0 c n i n x c n i n x
n 1
n 1
c
n
n
i n x
пространстве можно ввести норму из скалярного произведения:
f , f .
f
Определение: Последовательность элементов евклидова пространства
n называется ортонормированным, если её элементы
являются попарно ортогональны, а норма каждого элемента равна
единице.
стеме
fn
n
называется коэффициентом Фурье элемента f.
Если евклидово пространство имеет конечную размерность равную
1
f x inx dx . Тем самым мы получили
2
f x по системе функций inx . Указан-
ная система функций является ортогональной на сегменте
; , то есть
im x
i n x
0, m n
.
dx
1
,
m
n
§3. Понятие общего ряда Фурье
N , то система n , состоящая из N
Тригонометрический ряд Фурье является частичным случаем общего ряда Фурье. Понятие общего ряда Фурье связано с разложением
бесконечномерного евклидова пространства по ортонормированной
системе. Будем рассматривать бесконечномерное евклидово пространство, т.е. линейное пространство, в котором имеется в том
числе и бесконечно большое число независимых элементов
f , g , с точки зрения функций тригонометрической системы.
Пример: Рассмотрим пространство кусочно-непрерывных на сег-
a, b функций (Обозначение: Qa, b ,
f x Qa, b ). Будем предполагать, что в точке разрыва
1
f x0 f x0 0 f x0 0 . Введём в простран2
стве Qa, b скалярное произведение (свёртку) двух функций:
менте
b
f , g f x g x dx . Скалярное
a
влетворяет следующему свойству:
f , g
2
произведение удо-
f , f g , g
N
ложить по этому базису:
если каждому элементу
f
поставлено в соответствие неотрица-
тельное вещественное число – норма элемента
f
. Причём норма
удовлетворяет следующим условиям:
2.
3.
f 0 , если f
f f
;
f 0 , если f
, для любого
f : f f n n . Указанное
n 1
разложение также представляет собой пример общего ряда Фурье,
но только этот ряд содержит конечное число слагаемых. В случае
бесконечной размерности евклидова пространства встаёт вопрос о
сходимости ряда Фурье, рассматривается сходимость к элементу
пространства f по метрике данного пространства. Рассмотрим сумму
f
k 1
k
k . Назовём её n-ой частичной суммой ряда Фурье.
Наряду с
Sn
будем рассматривать линейные комбинации элеменn
c
тов ортонормированной системы
k 1
n из всех сумм вида c k k
k 1
наименьшее отклонение элемента
f
N
сумма ряда Фурье). Или частичная сумма
Sn
k
k
(частичная
выражает свойство
«экстремальности» ряда Фурье (минимизация погрешности приближения данного элемента f).
2
n
Док-во: Рассмотрим
c
k 1
c
k 1
k f
k
, получаем:
2
n
k
n
n
k f c k k f , c k k f
k 1
k 1
n
n
c k2 k , k 2 c k f , k f , f
k 1
k 1
fn
n
n
k 1
k 1
c k2 2 c k f k f
n
f
k 1
Примечание: Отметим, что в любом нормированном пространстве
можно ввести метрику – расстояние между двумя элементами, в
f
k 1
1
f , g : f g f g , f , g .
по норме данного евклидова
пространства имеет n-ая частичная сумма
;
;
k .
k
n
Теорема 1: При фиксированном
(данное неравенство называется неравенством Коши-Буняковского).
Определение: Линейное пространство называется нормированным,
ортогональных элемен-
тов, норма каждого из которых равна единице, образует ортонормированный базис и любой элемент f такого пространства можно раз-
N
1.
f n f , n .
n называется ряд f n n , где
n 1
f x c n in x , где
разложение функции
. Во всяком евклидовом
.
cn
f , g f g
Определение: Рядом Фурье элемента f по ортонормированной си-
Итак
данном случае
2
k )
n
2
n
2
(прибавим и вычтем
ck f k f k2 f
k 1
k 1
2
2
n
c
k 1
k 1
k f
2
n
c
k
k
k f
n
f
2
k
k 1
§4. Интеграл Фурье
2
n
f c k f k
2
.
Та-
k 1
f
ким образом наименьшее отклонение от элемента
по норме
данного пространства даёт наименьшее отклонение, ч.т.д.
Утверждения:
f , для любой ортонормированной системы n и для любого n выполняется равенство:
В том случае, когда функция
f x является не периодической,
для её представления используется интеграл Фурье. Рассмотрим ряд
f x на сегменте l, l :
a
n x
n x
f x 0 a n cos
bn sin
; (1)
2 k 1
l
l
Фурье функции
1. Для любого элемента
2
n
f
k 1
k
k f
f
2
n
f k2
(данное равенство назы-
k 1
f
, для любой ортонормированной систеn
мы
l
1
a0 f t dt;
l l
1
nt
1
nt
an f t cos
dt; bn f t sin
dt (2)
l l
l
l l
l
l
вается тождеством Бесселя).
2. Для любого элемента
где
n справедливо равенство: f k2
f
l
2
.
cos
В физике выражение вида
k 1
n
l
и
sin
гармониками, а само разложение функции
Замкнутые и полные ортонормированные системы
Определение: Ортонормированная система
n .
n в бесконечно-
мерном евклидовом пространстве называется замкнутой, если любой
элемент этого пространства можно приблизить с произвольной точностью по норме данного пространства с помощью конечной линейной комбинации элементов k :
f
n
n
k 1
k 1
и
0 c k k : f ck k
f
k 1
2
k
f
2
f k f , k . (Равенство (1) называется равенством Парсе-
1. (Необходимость) Воспользуемся тождеством Бесселя. Если
n – замкнутая, то 0 N
часть тождества будет меньше чем
n
f k k f
k 1
2
f
2
n
при
nN
f k2 f
k 1
такое, что левая
2
f k2 0 .
k 1
2. (Достаточность) Если справедливо равенство Парсеваля, то
0 n
такое, что правая часть тождества будет меньше,
, следовательно, и левая часть тождества будет меньше чем
. А последнее означает, что система n будет замкнутой,
ч.т.д.
l
l
l
l
1
1
f t dt f t cos n t x dt n
2 l l
n 1 l
l ,
. Перейдём к пределу при
при этом будем считать функ-
f x абсолютно интегрируемой, т.е.
f x dx – схо-
f x
1
0
d
f t cos t x dt 3 –
интеграл Фурье.
cos t x cos cos x sin t sin x
Док-во:
чем
1
1
f t dt f t cos t x dt
2 l l
n1 l l
l
дится, тогда:
(1)
валя).
система
f x
где
Приближённый подход: Подставим выражения для интеграла Фурье
(2) в формулу (1) и получим выражение для интеграла Фурье:
цию
:
f
f x (1) называется
кретного спектра разложения по частотам мы переходим к непрерывному спектру разложения по частотам.
n была замкнута, необходимо и достаточно, чтобы для
любого элемента
называются
f x по гармоникам. Введём, далее, выражение: n n n 1 – разность двух соседних частот.
Нужно отметить, что при l разность 0 . От дис-
.
Теорема 2: (Необходимое и достаточное условие замкнутости ортонормированной системы). Для того чтобы ортонормированная система
l
разложением функции
Ключевым моментом для построения рядов Фурье является корректность выбора ортонормированной системы
n
f x
a cos x b sin x
(4)
0
a
1
1
f t cos t dt ; a f t sin t dt.
Рассмотрим теперь строгий подход.
Теорема: Если функция
f x :
, ;
2. Кусочно-гладкая на всей числовой прямой , ;
1. Определена на всей числовой прямой
3. Абсолютно интегрируема на всей числовой прямой
x
то для любого
1
J2
справедливо равенство:
f t cos t x dt 2 f x 0 f x 0
d
, ,
1
f t cos t x dt d
0
. Нам нужно доказать,
lim f t cos t x dt d
0
S x
1
lim S x f x 0 f x 0 . Внутренний
2
интеграл представляет собой несобственный интеграл, зависящий от
и сходящийся равномерно по параметру при
0, . Это справедливо в силу мажорантного признака
Вейерштрасса: f t cos t x f t . Поэтому можно изменить в интеграле порядок интегрирования по t и :
параметра
f t cos t x dt d . Это даёт, что
0
1
S x f t cos t x d dt
0
1
sin
1
f x
d
t x
при
max 1 , 2 :
S x S x . Воспользуемся изменённым соотношением
Преобразование Фурье
0
имеем:
S x
f x
0
1
f x 0
sin
d
0
J2
достаточно большим так, чтобы
f t cos t x dt – нечётная функ-
1
1
F2 d
d f t cos t x dt 0
2
2
. Итак получаем:
1
d f t cos t x dt (2)
2
1
d f t i x t dt
2
(3)
Соотношение (3) называется комплексной формой интеграла Фурье.
Перепишем формулу (3) в виде:
f x
J3
A
.
1
F1 d , таким образом:
2
F2
f x
1
d f t cos t x dt (1)
2
0
, получим:
sin
d
a
f t cos t x dt . Запишем
f t cos t x dt . Эта функция является
Зададим
0 и возьмём
выполнялось неравенство:
F1 d
ция
1
1
1
sin
S x f x 0 f x
d
2
0
A
J1
0
d
аналогично:
равенство из равенства
f x
1 sin
1
f x 0 f x 0 . Вычитая это
d
2
0
1
0
1
чётной функцией параметра
(а именно разрывным множителем Дирихле):
J x, J1 J 2 J 3
J x, 0 при , т.к.
1
S x f x 0 при , аналогично
2
1
S x f x 0 при , ч.т.д.
2
0
sin
sin
1
1
f x
d
f x
d
0
2, 0
. При
d 0 , 0
2 , 0
является сходящимся. По
J 1 0 при
существует 1 : J 1 при 1 .
3
sin
sin t
Наконец:
A d t A t dt – сходится
существует такое 2 : J 3
при 2 . Следовательно,
3
F1
sin
f x d
интеграл Фурье в комплексной форме. Рассмотрим функцию
. Такая оценка воз-
3
можно, т.к. интеграл
f x
sin t x
f t
dt
t x t x
A
Интеграл Фурье:
1
d
лемме 2: для любого фиксированного A:
1
S x
sin
f x
A
.
Док-во: Согласно определению несобственного интеграла перепишем интеграл в левой части:
что
0
1
1
1
i x d
f t i t dt
2
2
1
введём следующее обозначение:
fˆ
1
2
f t
i t
dt . Тогда соотношение (3)
и
примет вид:
f x
1
2
fˆ i x d . Функцию
называют образом Фурье, f x – оригиналом Фурье,
переход fˆ x f x – обратным преобразованием Фурье, а
переход f x fˆ x – прямым преобразованием Фурье.
fˆ
x x dx 0
Док-во:
1
2
m x
0
, где
2
0
при 0 0 :
2
0
2
m x – масса сегмента длины .
m x
x 0 m x 1 x lim
. Итак:
плотность. Попробуем из плотности получить массу, тогда:
2 , 2 , тогда:
0 пото-
, x 0
. Поточечный
0, x 0
x : ч
x x dx 0 .
-функция представляет собой функционал, заданный на множе-
стве непрерывных функций. Будем рассматривать функции
заданные на всей числовой прямой от
x по сегменту ,
2 2
(2)
x x dx 0
X
– замкнутые множества
X , т.е.
все предельные точки, D – множество основных
Определение: Множество финитных бесконечно дифференцируемых функций назовём множеством основных функций и обозначим
их как D.
Определение: Будем говорить, что последовательность
доказать,
, обладающи-
функций.
– произвольная непрерывная функ-
x x dx 0
до
x – бесконечно дифференци-
x – финитная функция, т.е. равна 0 вне
некоторого интервала (для любой функции x свой интервал).
Пусть X – множество, на котором указанные функции x не
X X
равен 1.
x ,
руемая функция, 2)
равны нулю.
ция, заданная на всей числовой прямой. Докажем, что
что
при 0 0
основных функций сходится к функции
n x
x из множества D ,
если:
1.
a, a : n sup n x a, a
2.
k , где k
.
x :
ми следующими свойствами: 1)
1 / , если / 2 x / 2
x
при
0
,
если
x
2
0 0 0 :
-функция ( -функция Дирака) – это
такая функция, что для любой непрерывной функции
(1)
Но интегрируема ли эта функция? «Размажем» единичную массу по
некоторого множества поставить в соответствие некоторое число, то
говорят, что на данном множестве задан функционал. Введённая
нужно
Определение: Обобщённая
-функция ставит в соответствие любой непрерывной функции x её значение 0 . Если каждой функции из
Т.е.
,1 1, тем самым выполняется (1).
Таким образом
условие нормировки:
x dx 1
lim , 0
, 0 (4)
lim , ,
0
0
1, если т.x 0 a, b
a x dx 0, если т.x 0 a, b. В точности,
b
0
2
x 1 dx ,1 1 .
В частности:
, x 0
. Функция x описывает линейную
0, x0
lim
(2) , ч.т.д.
(1) принимает вид:
Обозначение :
x
x
dx
0 , если
m 0
0
Другой подход: Пусть
2
x x dx , . Тогда формула
Обозначение:
Мы доказали , что
x , тогда если
0
предел функции
x 0 m x 0 x lim
чечный предел
1
Пусть линейная плотность обозначается
отрезку
2
2
x x dx 0
Рассмотрим ось x и будем полагать, что в точке x находится масса равная 1. Вычислим линейную плотность некоторого отрезка,
лежащего на оси x . Линейная плотность выражается, как предел:
x lim
x 0 dx ;
x 0 dx
1
x
2
x – непрерывна в точке
при x
x
x 0 0 0 0 : x 0
§6. Обобщённые функции
x
1
– натуральное
x
k
n
k x на
, .
Обозначение:
n
при
x
n в D.
1
Множество D основных функций с введённой в нём сходимостью
называется пространством основных функций, которое также обозначается буквой D.
x
x порождает регулярную обобщённую функцию ˆ :
Определение: Говорят, что на пространстве D задан функционал,
Функция
если каждой функции
ˆ, x x dx x dx
торое число
u .
x D поставлено в соответствие неко-
u называется линейным, если
, 1 , 2 D :
u 1 2 u1 u 2 .
Определение: Функционал
Определение: Функционал f, определённый на пространстве D основных функций, называется непрерывным, если для любой последовательности имеем:
n x x D f , n f , .
Определение: Обобщённой функцией называется всякий линейный
непрерывный функционал, определённый на пространстве основных
функций.
.Обобщённые
0
функции, не являющиеся регулярными, называются сингулярными.
Пример:
-функция. Она определяется в соответствие с равен-
ством (4) из начала лекции:
x D :
, 0 .
Докажем, что
-функция является сингулярной обобщённой
функцией. Допустим противное, тогда существует локально интегрируемая функция
f x такая, что:
x D :
, f x x dx 0 .
Возьмём в качестве x «шапочку»
2 2
x ,
x
0 ,
2
Определим сумму двух обобщённых функций
f
g , как обоб-
и
щённую функцию, действующую по формуле:
D :
f
g, f , g, , а произведеf на число , как обобщённую функ-
ние обобщённой функции
цию действующую по формулу:
x . Очевидно, что
x
1
1
0 x , 0 . По нашему предположению:
D : f , f , . Нетрудно доказать,
что f g и f - линейные непрерывные функционалы, т.е.
, f x x dx f x x dx 0 1
операции сложения и умножения на число не выводят за пределы
множества непрерывных функций. Понятие сходимости в множестве обобщённых функций определим следующим образом.
С другой стороны, т.к.
Определение: Будем говорить, последовательность
f n обоб-
щённых функций сходится к обобщённой функции
f
x D числовая последовательность
f n , f , при n .
, если
f
f x локально интегрируемая функция.
f x x 2 – локально
Примеры: f x c const ,
интегрируемые, хотя и не интегрируемые на , . Каждой
локально интегрируемой функции f x соответствует обобщённая функция (т.е. функционал) fˆ , определённый равенством:
Пусть функция
x D :
f x x dx . Такие обоб
щённые функции называются регулярными.
Примеры:
0, x 0
1, x 0
x
f x локально интегрируема, то она огра-
ничено на любом отрезке, и, следовательно,
f x x dx
1
f x dx 0
– функция Хевисайда.
при
-функция является син-
-функцию сингу-
лярную обобщённую функцию можно представить как предел в
регулярных обобщённых функций. Введём функционал
x c x , где x - «шапочка», c
число, что
D
- такое
.
Регулярные и сингулярные обобщённые функции
f,
гулярной обобщённой функцией. Покажем, что
сходимостью обозначается D называется пространством обобщённых функций. Введённое понятие сходимости называется «слабой сходимостью». Говорят также, что последовательность функци-
f n слабо сходится к функционалу
0 , что противоречит (5). Итак,
Линейное пространство обобщённых функций с введённой в нём
оналов
x dx c x dx 1. Т.к.
x dx
2
2 x2
1
dx
t
x
1
1t 2
dt k 1
1
k 2 2
c . Поэтому x x ,
0
,
2
, то
k
лярную обобщённую функцию, соответствующую
чим
ˆ x . Докажем теперь, что ˆ x
x
. Регу-
x
x , обозна-функции при
0 в смысле сходимости в D . Для этого нужно доказать,
что
(5)
x D : ˆ , x x dx , 0 при 0,
т.е. 0 0 0
такие, что
ˆ , ,
при
0 0.
Т.к.
x непрерывная функция, то 0 0 0 такое,
что x 0 при x 0. Следовательно, при
0 0 имеем:
ˆ , , x x dx 0
. Это означает,
x x 0 dx x dx
что
ˆ , ,
при
при
0 , т.е.
-функции
0 в D . Обратим внимание на поточечный предел:
, x 0
lim x
0
0, x0
– это не есть классическая
функция. -функцию можно представить как предел многих других последовательностей регулярных обобщённых функций. Пусть
1
sin n x
1 1
1
2
Dn x cos kx
x
2 k 1
2
sin
2
(ядро Дирихле порядка n ) и пусть sup x , . Так
n
же, как и при доказательстве теоремы о поточечной сходимости
тригонометрического ряда Фурье, нетрудно доказать, что
x D :
Dˆ , D x x dx D x x dx 0 ,
n
n
n
при
n . В самом деле, т.к.
D x dx 1, то
n
Dˆ , 0 D x x 0 dx
n
n
0
1
x 0
1
sin n x dx 0
2 sin x
2
2
при
n . Это
означает, что
D̂n
при
n в D
Оказывается, что
любую сингулярную обобщённую функцию можно представить как
предел последовательности регулярных обобщённых функций иначе
говоря пространство обобщённых функций является пополнением
пространства классических локально интегрируемых функций, т.е.
получается путём добавления к пространству классических локально
интегрируемых функций всех предельных элементов в смысле слабой сходимости.
(Аналогия: Множество всех вещественных чисел получается из
множества рациональных чисел путём добавления всех пределов
последовательностей рациональных чисел. Любое иррациональное
число можно получить как предел последовательности рациональных чисел, поэтому все иррациональные числа окажутся добавленными по множеству рациональных чисел, т.е. множество всех вещественных чисел есть пополненные множества рациональных чисел.)
