Лекция 19. Электрическое поле проводников

Лекция № 19
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПРОВОДНИКОВ
План
1. Распределение свободных зарядов в проводнике. Электрическое
поле внутри проводника и у его поверхности.
2. Электростатическая защита.
3. Электроемкость уединенного проводника, системы проводников,
плоского конденсатора.
4. Энергия системы точечных зарядов, заряженного проводника и
конденсатора.
5. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии
электростатического поля.
1. Распределение свободных зарядов в проводнике. В заряженном
проводнике избыточные заряды располагаются на его поверхности
вследствие
кулоновского
отталкивания.
Одноименные
заряды
отталкиваются и стремятся расположиться как можно дальше друг от
друга.
Как показывает опыт, распределение зарядов по поверхности
проводника не равномерно и существенно зависит от формы его
поверхности. Плотность зарядов невелика там, где кривизна незначительна
или даже отрицательна. Для случая электростатики напряженность

электрического поля внутри проводника равна нулю ( Eвнутр  0 ), иначе
заряды в проводнике перемещались бы под действием сколь угодно малого
поля, а это уже электрический ток. Это означает, что потенциал внутри

проводника должен быть постоянным. ( E   grad , grad  0,  const ).
Следовательно, в случае равновесия зарядов поверхность проводника
должна быть эквипотенциальной. На поверхности проводника
 
напряженность поля должна быть направлена перпендикулярно E  E n
(иначе вдоль поверхности потечет ток).
25
Электрические
заряды
располагаются
на
поверхности проводника с некоторой плотностью  ,
создают вне проводника электрическое поле.
Представим небольшую цилиндрическую поверхность,
образованную нормалями к поверхности проводника и
достаточно малыми основаниями S , одно из которых
располагается внутри, а другое вне проводника (рис.

19.1). Поток вектора электрического смещения D через
внутреннюю часть поверхности равен нулю, так как


Рис. 19.1
внутри проводника E  0 , а значит D  0 .
Вне проводника в непосредственной близости к нему напряженность
 
 

E направлена по нормали к поверхности E  En , а значит D  Dn . Теорема

Гаусса для вектора D (над поверхностью проводника может быть
диэлектрик)
 
D
 dS  Qсвоб
S
где
Qсвоб  S ;
тогда
DS  S .
Так
как
D  0 E ,
получаем
0 ES  S , откуда:
E

0
Напряженность электрического поля вблизи поверхности проводника
пропорциональна поверхностной плотности заряда  .
Вблизи выпуклых частей тел поле может быть настолько большим,
что происходит ионизация окружающего атмосферного воздуха и
коронный разряд.
2. Электростатическая защита.
При внесении незаряженного проводника в электрическое поле
происходит разделение зарядов, свободные заряды образуют на одной
стороне избыток отрицательных зарядов, а на другой – избыток
положительных зарядов (рис. 19.2).
26
Это явление называется электростатической
индукцией, а заряды – индуцированными зарядами.
При равновесном состоянии поле внутри проводника
равно нулю. Линии напряженности вне проводника
E0  0
перпендикулярны к его поверхности. Нейтральный
проводник, внесенный в электрическое поле,
разрывает часть линий напряженности – они
начинаются на положительных и заканчиваются на
отрицательных индуцированных зарядах. Внутри
Рис. 19.2
поле отсутствует.
На свойстве проводников экранировать внешние поля основывается
электростатическая защита от действия внешних электростатических
полей. Когда какой – либо прибор хотят защитить от воздействия внешних
полей, его окружают проводниковым экраном. Внешнее поле
компенсируется внутри экрана возникающего на его поверхности
электрическими зарядами. При этом экран может быть не сплошным, а в
виде густой сетки.
Заметим, что если заряды находятся внутри полости, то они
вызывают возникновение индукционных зарядов и на внутренней и на
внешней поверхности проводника. Поле внутри полости в этом случае
отлично от нуля.
3. Электроемкость удельного проводника.
Пусть
имеется
некоторый
проводник,
например
металлический шарик на диэлектрической подставке. Будем
виртуально переносить на этот проводник порции заряда из
бесконечности (рис. 19.3). Увеличение заряда на проводнике в
некоторое число раз приведет к увеличению напряженности
поля в каждой точке окружающего проводник пространства в то
же число раз. Соответственно в такое же число раз возрастает
работа по перемещению единичного заряда из бесконечности на
Рис. 19.3
поверхность проводника.
Напомним, что работа по перемещению заряда из бесконечности в
данную точку, отнесенная к величине заряда есть потенциал в данной
точке. Таким образом, возрастает потенциал нашего проводника, то есть
будет пропорционален перенесенному заряду   Kq , обозначим K 
1
,
C
тогда
27
q  C
Коэффициент пропорциональности
между зарядом и
C
потенциалом, характеризует свойство накапливать электрический заряд,
называется электроемкостью или емкостью проводника. Емкость С 
q

,
численно равна заряду, сообщение которого проводнику приводит к
повышению потенциала на единицу.
Единица емкости – фарад. Фарад равен емкости конденсатора, между
обкладками которого при заряде 1 Кл возникает напряжение 1 В. Более
мелкие единицы емкости: 1 микрофарад 1мкФ  1  10 6 Ф ; 1 нано фарад
1нФ  1  109 Ф;
сферы  
Q
40 R




1 пикофарад 1пФ  1  10 12 Ф . Потенциал заряженной
, где R - радиус сферы. По определению емкости
С
Q

Q40 R
 40 R .
Q

Таким образом, емкость сферы пропорциональна радиусу сферы.
Однако это не самый эффективный способ увеличения емкости. Например,
емкость Земли всего 700 мкФ. В общем случае емкость уединенного
проводника зависит от его размеров и формы.
Электроемкость системы проводников.
Увеличение емкости проводника можно достичь, не только
увеличивая его размеры, но и приблизив к нему другой
проводник, незаряженный или заряженный. Это вызвано
тем, что под действием поля, создаваемого заряженным
проводником, на поднесенном к нему теле возникают
индуцированные (на проводнике) или связанные (на
диэлектрике) заряды. Пусть имеется некоторый
проводник I с зарядом q , имеющим потенциал 1 .
Емкость этого проводника C 
q
1
. Рядом поместим
Рис. 19.4
другое незаряженное тело II (рис. 19.4). Заряды на этом теле,
противоположные по знаку заряду проводника q , располагаются ближе к
проводнику, чем одноименный с q и, следовательно, оказывают большее
влияние на его потенциал. Поэтому при поднесении к заряженному
проводнику какого – либо тела потенциал проводника I уменьшается (по
28
абсолютной величине). По принципу суперпозиции потенциалы
складываются алгебраически    1  2  1 , потенциал проводника I
уменьшается,
тогда
электроемкость
проводника
I
C 
q
C

увеличивается.
Устройства, основанные на свойстве проводников увеличивать свою
емкость в присутствии других проводников (или диэлектриков)
называются конденсаторами.
Электроемкость плоского конденсатора.
Получим формулу для емкости бесконечного плоского конденсатора.
Если площадь обкладки S заряд на ней q , а диэлектрическая
проницаемость вещества между обкладками  , то напряженность поля

q

между обкладками равна E 
, где  - поверхностная плотность
 0  0 S
заряда. Разность потенциалов между обкладками 1   2  Ed 
q
 0 S
d , где
- величина зазора между обкладками. Откуда емкость плоского
 S
q
 0
конденсатора: C 
1   2
d
d
C
 0 S
d
Емкость
реального
плоского
конденсатора
определяется
максимально точно, если зазор между обкладками много меньше
линейных размеров обкладки. Из полученной формулы следует, что для
увеличения емкости, пространство между обкладками необходимо
заполнить диэлектриком с большим  , увеличить площадь обкладок и
уменьшить зазор между обкладками.
4. Энергия системы точечных зарядов.
Пусть имеется два заряда q1 и q2 . Заряд q1 приближается к заряду q2
из бесконечности на расстояние r (рис. 19.5). Для сближения зарядов на
расстояние r необходимо совершить работу
A1  q11 , где 1 - потенциал, создаваемый q2
на расстояние r .
Рис. 19.5
1 
q2
40 r
; A1 
q1q2
40 r
Эта работа идет на изменение потенциальной
29
энергии системы (была 0, стала W p ). С другой стороны, если q2
приближается из бесконечности к заряду q1 на расстояние r , то работа
A 2  q22  q2
q1
40 r

q1q2
, то есть A1  A2  W p можно представить
40 r
как
1
q11  q2 2  .
2
W p  q11  q2 2 
Можно показать, что для системы трёх зарядов:
Wp 
1
q11  q2 2  q33  .
2
Потенциальная энергия системных произвольного количества зарядов
определяется выражением:
Wp 
1 N
 qii
2 i 1
где N - полное число зарядов, 1 -потенциал создаваемый всеми зарядами,
кроме i -ого в точке, где находится i -ый заряд.
Энергия заряженного проводника.
Разделим проводники на отдельные части с
зарядами Q (рис. 19.6) учитывая, что
проводник эквипотенциален, получим
потенциальную энергию проводника:
N
 qii
W p  i 1
2
N
 qi
  i 1
2
Wp 
Рис. 19.6
N
 Qi
  i 1
2

 Q
2
 Q
2
Энергия конденсатора.
Рассматриваем энергию конденсатора как сумму энергий
проводников,
составляющую
конденсатор.
Используем
также
эквипотенциальность обкладок и учтем разный знак зарядов.
Q  Q Q
QU
W p  W p1  W p 2  1  2  1   2  
,
2
Wp 
30
2
QU
2
2
2
Т.е. C 
Q
Q
 , то
1   2 U
Wp 
1 Q2 1
 CU 2
2 C
2
5. Энергия электростатического поля
Энергию заряженного конденсатора можно выразить через
величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между
обкладками.
2
CU 2  0 S U 2  0  U 
Wp 


  Sd
2
d 2
2 d
Частное
U
равно напряженности поля в зазоре, произведение Sd  V d
объем, занимаемый полем, тогда
Wp 
0 E 2
2
V
31
Объемная плотность энергии электростатического поля.
Разделив энергию W p на объём, получаем плотность энергии
 0 E 2
w
2
Так как электрическое смещение D  0 E , то w 


ED
. В изотропном
2
диэлектрике направления векторов E и D совпадают, поэтому формуле
для плотности энергии можно предать вид:
  



ED E  0 E  P   0 E 2 EP
w



.
2
2
2
2
То есть, плотность энергии можно представить в виде суммы
плотности энергии в вакууме и плотности энергии, затрачиваемой на
поляризацию диэлектрика.
Зная плотность энергии в каждой точке, можно найти полную
энергию поля, занимающего объем V
0 2
W   wdV 
W
 0
2
E
2
E
dV
V
2
dV
V
Вопросы для самоконтроля.
1.
2.
3.
4.
5.
32
Каковы напряженность и потенциал электрического поля, а также
распределение зарядов внутри и на поверхности заряженного
проводника?
Чему равна напряженность электрического поля внутри проводника,
помещенного в электрическое поле? Почему?
Что называется электроемкостью идеального проводника? От чего она
зависит?
Как подсчитать электроемкость уединенного проводника и плоского
конденсатора?
Запишите выражения энергии заряженного уединенного проводника и
объемной плотности энергии электрического поля.
33