Построение графика функции 𝑦 = 𝑘𝑓 (𝑥 ) 1. Покажем, как, зная график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), построить график функции 𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥), где 𝑘 ∈ ℝ. При этом нам достаточно рассмотреть только положительные значения 𝑘 > 0, поскольку, для построения, например, графика функции 𝑦 = −2𝑓(𝑥), достаточно построить график функции 𝑦 = 2𝑓(𝑥), а затем симметрично отразить его относительно оси абсцисс. Построим график функции 𝑦 = 2√𝑥 исходя из графика функции 𝑦 = √𝑥. Точка 𝐹 графика функции y = √𝑥 с абсциссой x0 имеет ординату √x0 , а точка 𝐹2 графика функции y = 2√𝑥 с той же абсциссой x0 – ординату 2√x0 , то есть в два раза большую (рис.1). Поэтому ординаты точек графика функции y = 2√x получаются умножением на число 2 ординат соответствующих точек графика функции y = √𝑥 (рис.2). Рисунок 2 Рисунок 1 Это преобразование графика функции y = √𝑥, в результате которого получается график функции y = 2√𝑥, называется растяжением вдоль оси Oy с коэффициентом 2. Таким же образом приходим к выводу, что ординаты точек графика 1 функции y = √x 2 получаются умножением на число 1 2 ординат соответствующих точек графика функции y = √𝑥 (рис.3). В этом случае тоже 1 можно сказать, что график функции y = √x получается из графика функции 2 1 y = √𝑥 растяжением вдоль оси Oy с коэффициентом . Однако, чаще говорят, 2 1 не о растяжении с коэффициентом , а о сжатии в 2 раза. 2 Рисунок 3 2. Рисунок 4 В общем случае при построении графика функции 𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥) на основе графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) применимы те же рассуждения, что и в предыдущем примере. Сравним ординаты точек графиков функций 𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥) и 𝑦 = 𝑓(𝑥), имеющих одинаковую абсциссу x (рис.4). Ордината точки графика функции y = 𝑘𝑓(𝑥) получаются умножением на число 𝑘 ординаты точки графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). Поэтому способ построения графика функции 𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥) из графика функции y = f(x) следующий: 𝒇(𝒙) График функции 𝒌𝒇(𝒙) 𝒚 = 𝒌𝒇(𝒙),где 𝒌 > 𝟎, получается растяжением графика функции 𝒚 = 𝒇(𝒙) вдоль оси ординат Oy в 𝒌 раз Если 𝟎 < 𝐤 < 𝟏, то вместо выражения «растяжение графика в 𝐤 раз » 𝟏 предпочтительнее употребить выражение «сжатие графика в 𝒌 раз» Отметим, что, если коэффициент 𝑘 > 1, то точка графика функции y = 𝑘𝑓(𝑥) лежит дальше от оси 𝑂𝑥 в сравнение с соответствующей точкой графика функции y = 𝑓(𝑥). Если 0 < 𝑘 < 1, то - ближе. Область определения функции 𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥) совпадает с областью определения функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), а ее множество значений составляет множество чисел 𝑘𝑐, где 𝑐 ∈ 𝐸(𝑓). На рисунке 5 приведены примеры построения графиков функций с помощью растяжения вдоль оси ординат, с коэффициентами 𝑘 = 3 и 𝑘 = 0,05, соответственно. Во втором случае уместно говорить о сжатии графика функции 𝑦 = 𝑥 2 в 20 раз. На рисунке 6 – пример построения графика функции 𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥) с отрицательным коэффициентом 𝑘 = −2. В этом случае сначала растяжением графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) вдоль оси ординат 𝑂𝑦 строится график функции 𝑦 = 2𝑓(𝑥), а затем симметрией относительно оси 𝑂𝑥 – график функции 𝑦 = −2𝑓(𝑥). Рисунок 5 Рисунок 6 Упражнения 1. Постройте график функции. 1 a) 𝑦 = 𝑥 3 b) 𝑦 = −3|𝑥| 𝑥 2, x < 0 c) 𝑦 = −0,5𝑓(𝑥), где 𝑓(𝑥) = { 2𝑥, x ≥ 0 d) 𝑦 = 2|𝑥 + 1| 3 2. На рисунке изображен график функции y = f(x). Постройте график функции 𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥), где 𝑘 = 2; −2; 0,5, −0,5 b) a) 3. Найдите множество значений функции 𝑦 = kf(x), если известно множество значений функции 𝑦 = f(x). E(f) a) (1; 3] c) (−∞; 1] e) (−∞; −2) ∪ (2; ∞) k 4 -2 0,5 E(f) b) (−∞; ∞) d) [−6; 2] ∪ (3; 6] f) [−2; −1] k 2 -2 -0,2 4. Пусть функция 𝑦 = f(x) – периодическая с периодом 𝑇. Докажите, что функция 𝑦 = 𝑘f(x) также является периодической с периодом 𝑇. 5. Будет ли обратимой функция 𝑦 = 𝑘f(x), если функция 𝑦 = f(x) обратима?