Тема урока «Тригонометрические уравнения» (2 часа)

Тема урока «Тригонометрические уравнения» (2 часа)
Тригонометрия по традиции занимает большое место в материалах конкурсных экзаменов в
вузы; чтобы научиться уверенно решать экзаменационные задачи по тригонометрии, нужна
тренировка. В школьном курсе подробно изучаются три основных метода
решения
тригонометрических уравнений – метод введения нового неизвестного, что позволяет свести
уравнение к квадратному; разложение на множители; метод введения вспомогательного аргумента.
В своем уроке я рассмотрела решение тригонометрических уравнений, опираясь на методы их
решения в наиболее доступной последовательности изложения материала.
Предварительная подготовка к уроку. Учащиеся должны знать следующие темы: «Основные
тригонометрические тождества», «Формулы сложения и их свойства», «Сумма и разность синусов.
Сумма и разность косинусов», «Простейшие тригонометрические уравнения».
Цели урока. Образовательная: формирование умений применять полученные раннее знания;
сопоставлять, анализировать, делать выводы; отработка умения решать уравнения.
Воспитательная: формирование интереса к познавательному процессу.
Развивающая: развитие наблюдательности, памяти, логического мышления.
Оборудование:
Таблицы «Формулы корней простейших тригонометрических уравнений»,
«Основные формулы тригонометрии»
Тип урока: урок совершенствования знаний. Объяснение нового материала построено на решении
конкретных примеров.
Ход урока.
1. Организационный момент. Сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение
этапов урока.
2. Изучение нового материала.
Вы уже знакомы с формулами корней простейших тригонометрических уравнений
sin 𝑥 = 𝑎; cos 𝑥 = 𝑎; 𝑡𝑔 𝑥 = 𝑎; 𝑐𝑡𝑔 𝑥 = 𝑎.
К
этим
уравнениям
сводятся
другие
тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение
различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые
примеры решения тригонометрических уравнений.
1. Уравнения, сводящиеся к квадратным.
Задача 1. Решить уравнение 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 3 sin 𝑥 = 0.
Заменим 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 на 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥, получим
2(1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥) + 3 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 0;
2 − 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 3 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 0; это уравнение является квадратным относительно sin 𝑥.
Обозначим 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑦, получим −2𝑦 2 + 3𝑦 + 2 = 0.
1
Отсюда
𝑦1 = 2,
𝑦2 = − 2 .
Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших
1
уравнений sin 𝑥 = 2
и
sin 𝑥 = − 2.
Уравнение sin 𝑥 = 2 не имеет корней, т. к. |2| > 1, и
имеет корни 𝑥 = (−1)𝑛+1 ∙
Ответ:
𝑥 = (−1)𝑛+1 ∙
𝜋
6
+ 𝜋𝑛,
𝜋
6
+ 𝜋𝑛,
𝑛 𝜖 N.
𝑛 𝜖 N.
2. Однородные уравнения.
Задача 2. Решить уравнение cos 2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥.
Заменим cos 2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥, получим
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥;
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 0.
Поделив уравнение на 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ≠ 0, получим
1 − 2 𝑡𝑔2 𝑥 = 0;
1
sin 𝑥 = − 2
1
𝑡𝑔 𝑥 = ±√2 ;
1
𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 √ + 𝜋𝑛,
2
Ответ:
1
𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 √2 + 𝜋𝑛,
𝑛 𝜖 𝑁.
𝑛 𝜖 𝑁.
Напомним, что при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть
потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения cos 𝑥 = 0
корнями данного уравнения.
Задача 3. Решить уравнение 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = sin 2𝑥.
Заменим sin 2 𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 cos 𝑥,
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥,
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0,
𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2 𝑐𝑜𝑠𝑥) = 0,
𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0
или
𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0.
𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑁
второе уравнение является однородным
уравнением первой степени,
разделим обе части уравнения на 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≠ 0.
𝑡𝑔𝑥 − 2 = 0,
𝑡𝑔𝑥 = 2,
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2 + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑁
Ответ:
𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑁;
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2 + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑁.
3. Вынесение общего множителя за скобки.
Задача 4. Решить уравнение
2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥.
2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0,
𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ (2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1) = 0,
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
или
2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1 = 0,
𝜋
𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑁
𝑥 = ± + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑁.
2
Ответ:
𝑥=
𝜋
2
6
+ 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑁;
𝑥= ±
𝜋
6
+ 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑁.
4. Преобразование суммы в произведение.
Используем формулы
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
∙ cos 2 ;
2
𝛼−𝛽
𝛼+𝛽
𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛 𝛽 = 2 𝑠𝑖𝑛 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 ;
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
cos 𝛼 + cos 𝛽 = 2 cos 2 ∙ cos 2 ;
α+β
𝛼−𝛽
𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = −2 𝑠𝑖𝑛 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛 2 .
sin 𝛼 + sin 𝛽 = 2 sin
Задача 5. Решить уравнение
sin 5𝑥 − cos 3𝑥 = sin 𝑥.
sin 5𝑥 − cos 3𝑥 − sin 𝑥 = 0.
Заменим разность синусов, на произведение, получим уравнение
5𝑥−𝑥
5𝑥+𝑥
2 𝑠𝑖𝑛
∙ 𝑐𝑜𝑠
− 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 0,
2
2
2 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 0,
𝑐𝑜𝑠3𝑥 ∙ (2 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 1) = 0.
𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 0
или
2 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 1 = 0.
𝜋
𝜋𝑛
𝜋
𝜋𝑛
𝑥= +
, 𝑛𝜖𝑁
𝑥 = (−1)𝑛 ∙ +
, 𝑛𝜖𝑁.
6
Ответ: 𝒙 =
𝜋
6
+
3
𝜋𝑛
, 𝑛𝜖𝑁;
3
12
𝜋
𝑥 = (−1)𝑛 ∙ 12 +
𝜋𝑛
,
2
𝑛𝜖𝑁.
2
5. Преобразование произведения в сумму.
1
Используем формулы sin 𝛼 ∙ sin 𝛽 = 2 (cos(𝛼 − 𝛽) − cos(𝛼 + 𝛽)),
cos 𝛼 ∙ cos 𝛽 =
sin 𝛼 ∙ cos 𝛽 =
1
(𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) + 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽)),
2
1
(𝑠𝑖𝑛(𝛼 − 𝛽) + 𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝛽)).
2
Задача 6. Решить уравнение
sin 𝑥 ∙ sin 7𝑥 = sin 3𝑥 ∙ sin 5𝑥.
1
1
∙ [cos(𝑥 − 7𝑥) − cos(𝑥 + 7𝑥)] = ∙ [cos(3𝑥 − 5𝑥) − cos(3𝑥 + 5𝑥)],
2
1
2
2
1
∙ [cos(−6𝑥) − cos 8𝑥] = 2 ∙ [cos(−2𝑥) − cos 8𝑥] ,
Умножим обе части уравнения на 2 и учитывая, что
cos(−𝛼) = cos 𝛼, получим
cos 6𝑥 = cos 2𝑥.
𝑐𝑜𝑠 6𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 0.
Заменим разность косинусов произведением.
6𝑥+2𝑥
6𝑥−2𝑥
−2 sin 2 ∙ sin 2 = 0.
Отсюда sin 4𝑥 = 0
или
sin 2𝑥 = 0.
𝜋𝑛
𝜋𝑛
𝑥 = 4 , 𝑛𝜖𝑁
𝑥 = 2 , 𝑛𝜖𝑁.
Так как первая серия решений включает в себя вторую серию решений при 𝑛𝜖𝑁, то в
𝜋𝑛
ответе записываем только 𝑥 = 4 , 𝑛𝜖𝑁. (Для наглядности рассмотреть решение
на единичной окружности)
Ответ: 𝑥 =
𝜋𝑛
4
, 𝑛𝜖𝑁.
6. Введение вспомогательного угла.
Используем формулы sin(𝛼 ± 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 ± sin 𝛽 cos 𝛼,
cos(𝛼 ± 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 ∓ sin 𝛼 sin 𝛽.
Рассмотрим уравнение (∗)
А sin х + В cos х = С, где А, В, С − данные числа и АВ ≠ 0.
Разделим обе части уравнения (*)
на √А2 + В2 ≠ 0.
А
В
С
sin х + 2 2 cos х = 2 2.
2
2
√А +В
Обозначим 𝑎 =
2
√А +В
А
√А2 +В
2
,
2
𝑏=
𝐵
√А +В
√А2 +В2
,
𝑐=
𝐶
√А2 +В2
.
Так как
𝑎 + 𝑏 = 1, то можно подобрать такой угол α, что sin 𝛼 = 𝑎, cos 𝛼 = 𝑏.
Тогда исходное уравнение примет вид
cos х cos 𝛼 + sin х sin 𝛼 = с
или cos(х − 𝛼) = с.
Если подобрать такой угол 𝛽, что a = cos 𝛽,
𝑏 = sin 𝛽, то уравнение (∗)можно записать
в виде sin(𝛼 + 𝛽) = с.
Задача 7. Решить уравнение sin 𝑥 + cos 𝑥 = √2.
Разделим правую и левую часть на √2.
√2
√2
sin х + cos х = 1.
2
2
𝜋
𝜋
sin 4 sin х + cos 4 cos х =
𝜋
cos (х − 4 ) = 1.
𝜋
х = 4 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑁.
𝜋
4
Ответ: х = + 2𝜋𝑛,
𝜋
4
𝜋
4
Так как sin = cos =
√2
,
2
1,
𝑛𝜖𝑁.
Замечание: Вспомогательный угол вводится, если слагаемое есть √𝟐 , √𝟑,
7. Решение уравнений с помощью формул приведения.
Задача 8. Решить уравнение sin х = cos 2𝑥 .
𝜋
Заменим cos 2𝑥 = sin ( 2 − 2х), получим уравнение
𝟏 или 𝟐.
𝜋
sin х = 𝑠𝑖𝑛 ( 2 − 2х).
Замечание: Из равенства синусов не следует равенство аргументов.
𝜋
2
sin х − 𝑠𝑖𝑛 ( − 2х) = 0. Разность синусов заменим произведением.
2 sin
х+2х−
𝜋
2
∙ cos
х−2х+
2
3х
𝜋
sin ( − )
2
4
𝜋
2
2
= 0,
𝜋
х
отсюда
=0
или
cos ( − ) = 0.
4
2
Это простейшие тригонометрические уравнения, которые имеют решения
3х
𝜋
𝜋
𝑋
𝜋
− 4 = 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑁
− 2 = 2 + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑁;
2
4
𝜋 2𝜋𝑛
𝜋
𝑥= +
,
𝑥 = − − 2𝜋𝑛,
𝑛𝜖𝑁.
6
3
2
𝑥=
Ответ:
𝜋
6
+
2𝜋𝑛
;
3
𝜋
𝑥 = − 2 − 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑁.
8. Понижение степени.
𝛼
Используем формулы 𝑠𝑖𝑛2 =
1+ 𝑐𝑜𝑠 𝛼
;
2
2
𝛼
2
1− 𝑐𝑜𝑠 𝛼
.
2
𝑐𝑜𝑠 2 =
Задача 9. Решить уравнение 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 = 1.
1−cos 2x
1−𝑐𝑜𝑠4𝑥
+
=1, умножим уравнение на 2
2
2
1 − cos 2𝑥 + 1 − 𝑐𝑜𝑠4𝑥 = 2,
cos 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥 = 0, заменим сумму произведением и получим
2х+4х
2х−4х
2 cos 2 ∙ cos 2 = 0,
cos 3х = 0
или
cos х = 0,
𝜋
𝜋𝑛
𝜋
х = 6 + 2 , 𝑛𝜖𝑁
𝑥 = 2 + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑁.
Ответ:
𝜋
х=6+
𝜋𝑛
,
2
𝑥=
𝜋
2
+ 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑁.
9. Введение новой переменной.
Задача 10.
Пусть
тогда
Решить уравнение
sin 𝑥 + cos 𝑥 = 𝑚,
𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
𝑠𝑖𝑛𝑥 + cos 𝑥 = 1 + sin 𝑥 cos 𝑥.
возведем правую левую часть равенства в квадрат,
𝑚2 −1
.
2
𝑚2 −1
Получим уравнение 𝑚 = 1 + 2 ,
отсюда
2
𝑚 − 2𝑚 + 1 = 0,
(𝑚 − 1)2 = 0
⇒
𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1.
Умножим уравнение на
√2
2
√2
,
2
sin х +
𝑚 = 1, проведем обратную замену
введем вспомогательный угол
√2
2
𝜋
cos х =
𝜋
√2
,
2
cos 4 sin х + sin 4 cos х =
𝜋
sin ( 4 + х) =
𝜋
𝜋
Ответ: х = (−1)𝑛 ∙ 4 − 4 + 𝜋𝑛,
√2
,
2
𝑛𝜖𝑁.
√2
,
2
𝜋
𝜋
х = (−1)𝑛 ∙ 4 − 4 + 𝜋𝑛,
𝑛𝜖𝑁.
10. Универсальная подстановка.
Используем формулы
sin 𝛼 =
𝛼
2
𝛼
1+𝑡𝑔2
2
2𝑡𝑔
cos 𝛼 =
,
𝛼
2
𝛼
1+𝑡𝑔2
2
1−𝑡𝑔2
tg 𝛼 =
,
𝛼
2
𝛼
1−𝑡𝑔2
2
2𝑡𝑔
.
Замечание: При использовании универсальной подстановки может быть потеряна серия
ответов х = 𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑁.
Задача 11. Решить уравнение sin х − 5 cos х = 5.
𝑥
2
1+𝑡𝑔2 𝑥
2𝑡𝑔
2𝑦
1+𝑦 2
𝑥
2
𝑥
1+𝑡𝑔2
2
1−𝑦 2
−5
1−𝑡𝑔2
= 5,
𝑥
пусть 𝑡𝑔 2 = 𝑦,
тогда
− 5 1+𝑦2 = 5.
2𝑦 − 5(1 − 𝑦 2 ) = 5(1 + 𝑦 2 ), отсюда y = 5.
𝑥
Проведем обратную замену 𝑡𝑔 2 = 5,
𝑥 = 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔5 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑁.
Проверка, если
х = 𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑁 , то
sin( 𝜋 + 2𝜋𝑛) − 5 cos( 𝜋 + 2𝜋𝑛) = 5.
0 − 5 ∙ (−1) = 5, верное равенство ⇒ х = 𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑁 является
корнем данного уравнения.
Ответ: х = 𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑁;
𝑥 = 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔5 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑁.
Итог урока: С какими способами решения уравнений сегодня познакомились?
Домашнее задание: Внимательно разобрать материал лекции.
Решить уравнение:
𝟏
1. 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 = 𝟒 ;
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝒙 − 𝟏 = 𝟎;
𝟒𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝟏 = 𝟎;
𝒕𝒈𝟐 𝒙 − 𝟑𝒕𝒈𝒙 − 𝟒 = 𝟎;
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝟎;
√𝟑 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝟎;
√𝟑 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝟐;
𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙;
𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙;
𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝟓𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙.