MsWord, 415k

Методическая разработка.
вводные уроки
курса геометрии
в 7 классе.
Из опыта работы
учителя математики
Елисейкиной Валентины
Ивановны
СОДЕРЖАНИЕ
П Р Е Д И С Л О В И Е . ................................................................................................................................................ 3
П Р Е Д И С Л О В И Е К П Е Р В О М У У Р О К У . ............................................................................................... 5
В в о д н а я б е с е д а № 1 ................................................................................................................................ 6
Тема:
Точка и прямая на плоскости .................................................................................................. 6
Примерное содержание вводной беседы. ...................................................................................................... 6
Практическая работа ........................................................................................................................................... 7
П Р Е Д И С Л О В И Е К У Р О К У № 2 . .............................................................................................................. 9
В в о д н а я б е с е д а № 2 ........................................................................................................................... 10
П Р Е Д И С Л О В И Е К Т Р Е Т Ь Е М У У Р О К У . .......................................................................................... 14
Примерное содержание вводной беседы ...................................................................................................... 15
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ УРОКУ. ............................................................................................................... 19
Вводная беседа №4 ............................................................................................................................................. 21
Тема: УГОЛ ............................................................................................................................................................ 21
Примерное содержание вводной беседы. .................................................................................................... 21
Упражнение 1. Начертите лучи OD и OС .................................................................................................... 21
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ УРОКУ......................................................................................................................... 25
Тема. Треугольник ............................................................................................................................................. 26
Примерное содержание вводной беседы ...................................................................................................... 26
Вопрос. Как называются построенные треугольники? .......................................................................... 27
ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ УРОКУ. ..................................................................................................................... 30
Тема. Окружность. ............................................................................................................................................. 31
Примерное содержание вводной беседы ...................................................................................................... 31
Вопрос. Могут ли две окружности иметь три общие точки? ............................................................. 33
Текст диктанта................................................................................................................................................... 34
ЛЕКЦИЯ 1 ................................................................................................................................................................. 36
Логическое построение курса планиметрии ............................................................................................. 36
ПОСТРОЕНИЕ КУРСА ............................................................................................................................................... 36
I. Основные понятия (по Евклиду) ............................................................................................................. 36
II. Определяемые понятия .............................................................................................................................. 37
III. Аксиомы. ...................................................................................................................................................... 38
Аксиомы измерения отрезков и углов (III группа) ............................................................................ 39
AB = AC + CB .................. 39
Аксиомы откладывания отрезков и углов (IV группа) ........................................................................ 40
0°<α<180° .......................................... 40
Аксиома V группы (V постулат Евклида) .................................................................................................. 41
Вопросы: ................................................................................................................................................................. 41
II вариант. .......................................................................................................................................................... 43
В Ы П И С К А ........................................................................................................... Error! Bookmark not defined.
РЕЦЕНЗИЯ .................................................................................................................. Error! Bookmark not defined.
1. Предисловие....................................3 стр.
2. Вводная беседа 1.Точка и прямая на плоскости...5 стр.
1
3. Вводная беседа 2. Луч, полупрямая..............10 стр.
4. Вводная беседа 3. Полуплоскость. Отрезок.......15 стр.
5. Вводная беседа 4. Угол.........................21 стр.
6. Вводная беседа 5. Треугольник..................26 стр.
7. Вводная беседа 6. Окружность...................31 стр.
8. Урок-лекция. Логическое построение курса
планиметрии.......................................36 стр.
9. Текст контрольной работы......................43 стр.
10.Анализ контрольной работы.....................36 стр.
11.Литература....................................37 стр.
12.Отзывы........................................38 - 40 стр.
2
ПРЕДИСЛОВИЕ.
При планировании учебного материала автор исходил из
главной задачи преподавания геометрии в школе - научить
учащихся логически мыслить, рассуждать, аргументировать свои
рассуждения, доказывать.
Это означает, что доказательство всех теорем и обоснование
всех задач должно быть построено на базе сформированных в
начале курса аксиом и определений, то есть базой для
воспитания навыков логических обоснований должен служить
материал первых уроков, на которых предстоит решить
следующие задачи:
Расширить знания учащихся о простейших геометрических
фигурах.
— Отработать навыки решения простейших задач на построение
с помощью циркуля и линейки.
— Обучить построению математических моделей.
Добиться умения пользоваться аксиомами для обоснования
решения как несложных, так и трудных задач,
— Выделить и изучить основные "работающие" определения,
содержащиеся в начальном курсе геометрии.
— Продолжить работу над развитием речи учащихся, памяти,
и, прежде всего, логической; абстрактного мышления,
пространственных представлений.
Положить начало воспитанию потребностей в строгих
логических обоснованиях.
— Научить выделять главное, существенное в изучаемом
материале.
— Дать учащимся начальное представление о структуре курса
геометрии в целом.
3
В соответствии с этим, основная часть каждого урока, на
котором вводится новое понятие или новое предложение,
спланирована по одинаковой схеме:
1. Практическая работа, подводящая учащихся к "открытию"
нового понятия (утверждения).
2. "Угадывание" учащимися соответствующей формулировки.
3. Устное (многократное) повторение изучаемого утверждения
(в данном случае аксиом).
4. Решение упражнений на применение изучаемой аксиомы.
5. Разбор соответствующего текста учебного пособия (чтение
учебника).
6. Анализ и запись домашнего задания.
4
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ УРОКУ.
Первый урок геометрии - самый сложный урок. Поэтому
предлагается начать его с исторического экскурса. Учитель во
время беседы должен избежать сухости, словарной
ограниченности, стилистической тяжеловесности. Для этого
геометрию надо представить не только как раздел математики
или школьный предмет, но и как носителя собственного метода
познания мира.
Основная часть урока - изучение основных свойств точек и
прямых. Этот материал знаком учащимся из курса 5-6 классов.
Школьники
умеют
изображать
точки,
чертить
прямые.
Новым
является введение математической символики, аксиомы прямой,
представление прямой как геометрического места точек. После
объяснения нового материала ученики выполняют практическую
работу
под
руководством
учителя.
самостоятельной
работой
по
определяется
помощью
диапроектора
используются
самопроверка
с
самые
по
карточкам.
различные
образцу,
Завершается
Проверка
(доски).
формы
взаимопроверка,
При
урок
работы
этом
самопроверки:
сверка
своего
решения с решением другого. За 2-3 минуты до конца урока
учащиеся записывают задание на дом.
5
Вводная беседа №1
Тема:
Точка и прямая на плоскости
План. 1. Исторический экскурс.
2. Основные свойства точек и прямых.
3. Вопросы.
Примерное содержание вводной беседы.
I.
Возникновение
первых
геометрических
понятий
непосредственно связано с повседневной жизнью человека: с
измерением полей, которые имели обычно форму прямоугольника,
строительством жилых зданий и домов. При строительстве домов
и измерении земель выработался ряд правил для обращениями с
прямыми линиями. Английское слово "straight" – "прямой"
родственно глаголу "stretch" - "натягивать". Во многих
странах людей, которые занимались разделом земли на участки,
называли "натягивателями веревки". Слово "линия" (linea)
происходит от латинского linum - "лен", " льняная нить".
Неразрывная связь геометрии и землемерия подчеркивается еще
и тем, что установление точных границ земельных участков
требовало суждения пограничной черты, что привело науку к
абстрактному понятию "линии, не имеющей ширины".
Термин "точка" происходит от греческого глагола "ткнуть".
Тот же смысл имеет латинское "punctum", от которого
произошло слово "punkt" - точка. Латинское "pungo" значит
"укалываю".
В "Началах" Евклида (365 - ок. 300г.г. до н.э.) определения
точки и линии носят описательный характер. "Точка есть то,
что не имеет частей". "Линия есть длина без ширины".
В современной геометрии нет описательных определений.
Прямая и точка - основные понятия геометрии.
2. Учитель сообщает, как изображаются точки я прямые на
плоскости и вводят соответствующие обозначения.
Учитель чертят прямую и обозначает ее строчной буквой.
Затем учитель отмечает несколько точек на прямой и точки вне
прямой и поясняет записи. Образец записи в тетради учащихся:
Точки: А, В, С, D, М,
Е,
Прямые: а, в, с, l, d,
или: AB, MN, LK, ОР.
K€a;
M€a
6
3 Практическая работа
Упражнение 1. Изобразить прямую. Отметить несколько точек на
прямой и вне прямой.
Вопрос: если изображена прямая,
то всегда ли
можно указать точки, принадлежащие ей,
и точки, не принадлежащие ей?
Упражнение 2. Изобразить прямую и отметить на ней три
произвольные точки А, В и С.
(Учитель
объясняет запись А-В-С: точка В лежит между
точками А и С).
Вопрос: Всегда ли из трех точек на прямой одна
лежит между двумя другими?
Упражнение 3. Изобразите две различные прямые, а) не имеющие
общей, точки (прямые не пересекаются).
Вспомните запись a||b Учитель объясняет запись
a∩b.
б) Изобразите две пересекающиеся прямые
(прямые имеют общую точку). Учитель объясняет
запись a∩b=A.
в) Изобразите две прямые, имеющие бесконечно
много общих точек (прямые совпадают). Учитель
объясняет запись a=b.
Вопрос: могут ли две различные прямые иметь
более двух общих точек?
Урок можно завершить работой по карточкам. Учащиеся должны
ответить на вопросы 1, 2, 3, 5.
7
Образец карточки первого варианта. Дан рисунок:
Вопросы: 1. Назовите точки, принадлежащие и не принадлежащие
прямой а.
2. Сколько прямых можно провести через K и B, C и M?
3. Имеют ли и сколько точек пересечения прямые KB и СА?
4. Какая точка лежит между точками K и B, C и A?
Проверка работы осуществляется с помощью диапроектора или
доски, на которой задания по четырем вариантам выполняли
учащиеся.
Вопросы (на дом): 1. Сколько прямых можно провести через а)
одну точку, б) две точки, в) три точки?
2. Сколько точек пересечения могут иметь
три прямые, каждые две из которых
пересекаются?
З. Сколько точек пересечения имеют четыре
попарно пересекающиеся прямые?
4. Сколько прямых могут определять пять
точек на плоскости?
8
ПРЕДИСЛОВИЕ К УРОКУ №2.
Урок начинается с проверки домашнего задания. В период
подготовки учащихся к ответу, проводится фронтальная беседа
с классом. На этих этапах урока учитель работает над
проверкой усвоения изученного материала на прошлом занятии,
закреплением понятий точка, прямая, "лежать между",
"существует и притом только одна", умении пользоваться
символами, введенными на прошлом уроке. Вопросы 3 и 4 из
домашнего задания способствуют развитию интуиции,
воображению и других важнейших качеств, лежащих в основе
любого творческого процесса.
Основная часть урока - изучение понятий: луч, начало луча,
дополнительные лучи. Изученный материал закрепляется
диктантом. Проверка осуществляется по образцу. Работа по
рисунку, ответы на вопросы, записи в тетради ученика, на
диапозитиве (доске) - все это способствует запоминанию
основного материала на длительный срок.
За 2-3 минуты до конца урока учащиеся записывают задание
на дом.
9
Вводная беседа № 2
План. 1. Проверка домашней работы.
2. Проверка усвоения изученного материала на прошлом
уроке
3. Луч, полупрямая.
4. Вопросы.
Примерное содержание вводной беседы
1. Четверым ученикам предлагается подготовить у доски
рассказ о решении упражнений из домашнего задания (сделать
рисунки).
2. В период подготовки учащихся к. ответу с классом
проводится фронтальная беседа по готовому рисунку, который
проектируется на экран.
Рисунок
Задание: опишите ситуацию, заданную рисунком
Возможные ответы: 1. m∩n=M, d∩m=K.
2. A  m, K  m, M  m.
3. C  n, M  n, B  n.
4. E  n, E  m.
5. A―M―K.
6. C―M―B.
7. d||n (d∩n=Ø)
3. Практическая работа.
Упражнение I. Изобразите прямую на плоскости. Отметьте на
ней точку Е
Вопрос: что сделала точка Е с прямой?
а1- и a2 ― полупрямые
10
Любая точка прямой разбивает ее на две части. Одна из
частей этой прямой - полупрямая, или открытый луч (a1 открытый луч).
Упражнение 2. Изобразите прямую KN и точку C, принадлежащую
прямой KN, причем K-C-N.
Вопрос: назовите полупрямые. Сколько их? Что
можно сказать о точке C и каждом из
открытых лучей?
Точку C можно отнести к одному из открытых лучей. Если
точка отнесена к полупрямой, то полупрямая станет замкнутым
лучом и точка его началом (замкнутый луч будем называть
лучом)
Упражнение 3. Отметьте две точки C и D. Начертите полупрямую
CD. Отметьте точку E, не принадлежащую CD.
Постройте луч C
Вопрос: Пересекаются ли лучи CE и CD?
Пересекаются ли полупрямая CD и луч
CE? Назовите лучи с начальной точкой E
на полупрямой CE.
Лучи могут лежать на одной прямой или не лежать на одной
прямой, причем, если два луча лежат на одной прямой, то
Вопрос: Что является общей частью для двух
лучей в каждом из случаев а), б), в).
11
Упражнение 4. Начертите прямую, отметьте точку B на этой
прямой. Вопросы: Назовите лучи с началом в
точке В. Как расположены эти лучи?
Лучи ВК и ВЕ - дополнительные лучи.
Упражнение 5. Отметьте две точки М и С, постройте луч МС.
Начертите луч, дополнительный к лучу МС.
Вопрос: Сколько таких лучей можно построить?
Урок можно завершить диктантом,
Текст диктанта.
Рисунок.
1. Назовите лучи,
исходящие из точки A.
2. Назовите два луча,
один из которых исходит из точки D
и такие, что:
а) они не имеют общих точек, кроме начала;
б) один из лучей полностью принадлежит другому;
в) общая часть представляет собой отрезок.
3. Какие точки принадлежат лучу АЕ?
4. Как расположена течка E по отношению к точкам D и K?
5. Назовите точки, которые лежат по одну сторону от точки Е.
Проверка осуществляется с помощью диапроектора.
Вопросы (на дом): 1. Точки A и B принадлежат прямой a,
точка C не принадлежит прямой a.
Постройте, лучи, выходящие из точки C
и такие, что:
а) они пересекают прямую a;
б) проходят через точки A и B;
в) пересекают отрезок AB*
2. На прямой даны две точки. Сколько пар лучей, лежащих на
этой прямой и имеющих начало в этих точках, не имеют общих
точек?
12
3. Сколько точек пересечения могут иметь пять прямых,
расположенных на плоскости?
4. Сколько прямых могут определить четыре точки на
плоскости?
13
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ УРОКУ.
При повторении и проверке усвоения изученного материала на
прошлом уроке, следует уделить особое внимание решению задач
1 и 2 , Для выработки четкого представления полезно еще раз
проанализировать содержание терминов, введенных на
предыдущем занятии. Вопросы 3 и 4 из домашнего задания
способствуют развитию творческой активности учеников,
вызывают интерес к предмету.
Изучение нового материала предлагается начать с понятия
полуплоскости, знакомства с греческим алфавитом (таблица).
Рисунок и упражнение к нему способствуют формированию
понятия полуплоскости и наглядному представлению аксиомы
полуплоскостей с общей границей. Для закрепления понятия
отрезок и изучения основных свойств отрезка учитель проводит
практическую работу, состоящую из упражнений 1-5. Урок
завершается выполнением задач на построение, целью которых
является проверить:
— Умение изобразить чертежом условия конкретной задачи.
— Понимание того, что любые две точки задают отрезок.
— Владение понятием луч.
— Понимание выражения "Точка C лежит между точками A и B",
"Точка C - внутренняя точка отрезка AB".
Кроме этого, закрепить понятия "отрезок отложен на луче от
его начала", "середина отрезка", и понятия "меньше" и
"больше", используемых при сравнении отрезков.
В качестве домашнего задания предлагаются 4 вопроса,
аналогичные рассмотренным в классе. На это следует обратить
внимание учащихся, чтобы избежать грубых ошибок.
14
Вводная беседа .№ 3
Тема: Полуплоскость, отрезок
План: 1. Проверка домашнего задания.
2.Основные свойства отрезка.
3.Полуплоскоеть.
4.Построения.
Примерное содержание вводной беседы
1. Проверка домашнего задания.
Двум ученикам предлагается подготовить рассказ о решении №3
и № 4 из домашнего задания.
В период подготовки учащихся к ответу можно провести
обсуждение №1 и № 2 из домашнего задания.
2. Практическая работа.
Упражнение 1. Изобразите прямую а.
Вопрос: Что сделала прямая с плоскостью?
(прямая разбивает плоскость на две части).
Каждую из частей, на которые прямая разбивает плоскость,
называют полуплоскостью. Учитель объясняет записи:
α
Обозначения полуплоскостей: α, β, γ.
3. Понятие отрезка известно учащимся яз курса 5-6
классов. Поэтому учитель проводит упражнения по закреплению
этого понятия и изучению основных свойств отрезка.
15
Упражнение 2. Изобразите прямую а. Точки А, В, С принадлежат
прямой а, точки М и К лежат вне прямой а, в
различных полуплоскостях относительно прямой а.
Вопросы: Запишите все отрезки, концами которых
служат отмеченные точки.
Какой точкой является точка В для
отрезка АС? Как расположена точка В
по отношению к точкам А и С?
Какой из отрезков лежит на прямой а?
Какой из отрезков пересекает прямую а?
Какой из отрезков не пересекает прямую а?
Вывод: Если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях, то
он пересекает прямую.
Если концы отрезка лежат в одной из полуплоскостей,
то он не пересекает прямую.
Упражнение 3. Изобразите отрезки AB, CD и KM. Измерьте их длину.
(запись AB=8 ед.дл., CD=15 ед.дл,, KM=3 ед.дл.)
Вопросы: Что понимаем под длиной отрезка? Как
находим длину отрезка? Какой
величиной является длина отрезка?
Сравните отрезки (как это задание
следует понимать?)
Вывод: Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля.
Упражнение 4. Изобразите луч. От его начала отложите отрезок
длиной 3 ед.дл.
Вопрос: Сколько таких отрезков можно построить?
Вывод: На данном луче от его начала можно отложить только
один отрезок заданной длины.
16
Упражнение 5. Изобразите отрезок MK. Отметьте внутреннюю
точку Е отрезка MK. Известно, что МЕ=4 ед.дл.,
ЕК=3 ед.дл.
Вопрос: Как найти длину отрезка Ж и чему она
равна?
Вывод. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он
разбивается любой его точкой.
4. Построение.
1. Построение с помощью циркуля и линейки.
№ 1. Дано: АВ – отрезок
АВ = 6 ед.дл.
Построить АВ.
Построение: 1. АО - луч.
2. окр. (А,r), r=6 ед.дл.
З. В - точка пересечения окружности и луча.
4. АВ - искомый отрезок.
№ 2. Дано: АВ - отрезок.
АС=СВ
Построить точку С.
1
2
Построение: 1. окр. (А,r), r> AB.
2. окр. (D,r)
3. O и D - точки пересечения окружностей.
4. ОD∩АB=С
5. С - искомая точка отрезка АВ.
Вопрос: Что означает АС = СЕ?
Вывод: два отрезка равны, если равны их длины.
Вопросы (на дом). 1. Начертите отрезок Ж. Постройте точку
А, А ε МК, МА=АК.
17
2. Прямая в пересекает луч ОD в точке К.
Пересекает ли прямая в отрезок ОD?
3. Точки М, N, К лежат на прямой а.
Какая из этих точек лежит между двумя
другими, если: а) МК=МN б) МК=10 ед.дл.,
NM=7 ед.дл., NК=3 ед.дл.
4. Отрезок СD имеет длину, равную 4
ед.дл. Постройте отрезок ЕК, равный
данному.
18
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ УРОКУ.
При проверке домашнего задания нельзя ожидать от каждого
учащегося "идеального" оформления этой работы (ведь она
первая, где есть построения). Особенно заметные затруднения
могут вызвать задачи 1 и 4. Следует иметь в виду, что
учащиеся часто ошибочно считают разными лучи АВ и АС и т.д.
Анализ допущенных учащимися ошибок будет способствовать
лучшему усвоению материала.
Изучение нового материала следует начать с повторения
определения угла, которое отличается от определения,
данного в учебном пособии, способа измерения углов с
помощью транспортира, градусной меры, видов углов,
обозначения углов. Для этого в классе вывешиваются таблицы
с соответствующей информацией. Изучение основных свойств
углов и закрепление известных фактов об углах достигается
решением упражнений 1-6 под руководством учителя. Следует
заметить, что рисунок к упражнению 1 дает наглядное
представление о внутренней области угла.
Выполнением задач на построение завершается урок. При этом
происходит еще закрепления понятия "угол отложен от луча в
полуплоскость, границе которой принадлежит этот луч",
аксиомы откладывания угла и понятий "меньше" и "больше",
используемых при сравнении углов.
Задание на дом содержит четыре задачи. Первые три
аналогичны упражнениям, выполненным на уроке. Задача 4
помогает развитию у учащихся определенности,
последовательности, обоснованности мышления. На следующем
уроке при проверке домашнего задания следует рассмотреть
все способы решения этой задачи к выявить наиболее
рациональный.
19
20
Вводная беседа №4
Тема: УГОЛ
План: 1. Проверка домашнего задания.
2. Угол.
3. Основные свойства углов.
4. Построение.
5. Вопросы.
Примерное содержание вводной беседы.
1. Проверка домашнего задания
Классу и четверым ученикам у доски предлагаются следующие задания:
- построить точку Е - середину отрезка СД;
- построить отрезок АВ, длина которого равна 7 ед.дл.
2. Учитель проводят повторение и закрепление определения
угла, известного из курса 5-0 классов, следующими
упражнениями.
Упражнение 1. Начертите лучи OD и OС
Вопросы. Назовите полуплоскость с
границей OD, содержащую луч ОС.
Назовите полуплоскость с границей ОС,
содержащую луч ОД.
Что понимаем под внутренней областью
угла ДОС?
Какие точки принадлежат внутренней
области угла ДОС?
Какие точки принадлежат внешней
области угла ДОС?
21
Вывод. Угол - два луча, исходящие из одной точки. Все углы
(исключая развернутый угол) делят плоскость на две
области - внутреннюю и внешнюю.
Упражнение 2. На экран спроецирован рисунок:
Вопросы. Какие из лучей являются внутренними лучами угла
МОР? (Какие из лучей угла МОР проходят между его
сторонами?)
Назовите углы, для которых луч OD является
внутренним.
Назовите все внутренние лучи угла DOP.
Упражнение 3. Начертите произвольные углы ЛОВ, СМИ, ДЕР.
Измерьте углы при помощи транспортира.
Напомнить учащимся об острых, тупых, прямых углах, а также
о развернутом угле. Ознакомить с различными способами
обозначения углов (угол может быть записан:  1,  А,  ВАС,
 (ab)). Вывод: Каждый угол имеет определенную градусную
меру, большую нуля. Градусная мера развернутого угла 180°.
Упражнение 4. Начертите произвольный угол СДЕ. Изобразите
внутренний луч АЕ.
Вопросы. Измерьте углы САЕ, ЕAD, САD - Как
найти градусную меру угла САД, зная
величины углов САЕ и ВД?
Вывод. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов,
на которые он разбивается любым внутренним лучом0
22
Упражнение 5. Начертите угол АОВ, развернутый. Угол DОВ –
прямой.
Вопросы. Что можно сказать об углах АОD и DОВ?
Как называется луч ОD?
Вывод. Углы равны, если равны их градусные меры.
Упражнение 6. Расположение углов на плоскости.
4. Построение.
а) Дано:  ВАЕ
Построить:  СDА такой, что  CDА =  BAE.
Построение.
1. DC - луч.
α1, α2 - полуплоскости,
2. Окр. (D,r) - произвольный радиус,
Окр. (А,r),
получим точки М и К,
М  АВ,
К  АЕ
3. Окр. (О,МЕ)
4. Точка А пересечение окр. (D,r) и окр. (О, ME)
5. DА - луч.
6. Угол СДА – искомый.
23
Вывод. От луча в заданную полуплоскость можно отложить угол
с заданной градусной мерой, меньше 180°, и только
один
б) Дано:  АВС
ВД ― биссектриса.
Построить: ВД.
Построение:
1. окр. (В,r), r - произвольный радиус,
получим точки M и К, М  ВС, К  АС
2. окр. (К,r)
3. окр. (M,r)
4. Окружности пересеклись в точке D
5. BD - биссектриса угла АBС.
Итог урока.
Вопросы (на дом). 1. Построить угол, равный углу DОК.
2. Построить биссектрису угла DОК.
3. Можно ли утверждать, что любая точка
отрезка, концы которого принадлежат
внешней области угла ВОС, также
принадлежат внешней области этого угла?
4. С помощью циркуля и линейки постройте
угол 2°, если на плоскости дан угол,
величина которого равна 13°.
24
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ УРОКУ.
В начале занятия учитель может сказать: "Героем
сегодняшнего урока будет треугольник. Это фигура играет
значительную роль в курсе геометрии. Обобщению свойств
треугольника посвящен сегодняшний урок."
После подробной проверки домашнего задания учитель
проводит беседу, в которой вводится понятие треугольника,
его элементов, формулируется определение равенства двух
треугольников, рассматриваются виды треугольников,
выполняются задачи на построение треугольника равного
данному. Причем соответственно равные элементы отмечаются
на чертеже одинаковыми значками. При изучении этой темы
учащиеся убеждаются, что использование букв и символов
позволяет на математическом языке очень кратко записывать
большие предложения, сформулированные на естественном
языке.
Завершается урок практической работой. Домашнее задание
содержит три задачи. Так как кроме этого учащиеся должны
проработать материал урока. Учителю необходимо воспитывать
отношение у учащихся к материалам урока как к источнику
концентрированной научной информации.
25
Вводная беседа 5
Тема. Треугольник
План. 1. Проверка домашнего задания.
2. Треугольник.
3. Основные свойства треугольника
4. Вопросы.
Примерное содержание вводной беседы
1. Задание классу и учащимся у доски.
а) построить угол, равный данному,
б) построить биссектрису данного угла,
в) построить середину отрезка,,
2.
Упражнение I. Изобразите три точки, не лежащие на одной
прямой. Соедините их последовательно
отрезками.
Вопросы. Какую фигуру получили?
Сколько вершин?
Назовите их.
Сколько сторон?
Назовите их.
Назовите углы треугольника.
Задание. Продолжите сторону АС. При вершине С во внешней
области образовался угол. ВСЕ - внешний угол
треугольника.
Упражнение 2. Начертите треугольник СDЕ и при вершине Е
построите внешний угол DЕК, К  СЕ.
Вопрос. Чему равна сумма углов ДЕК и СЕД?
Почему?
26
Упражнение 3. Начертите треугольник АВС и постройте середины
его сторон АВ, ВС,
Отрезки ОD, DК, КО - средние линии треугольника АВС.
Отрезки ВК, СО, АД - медианы треугольника АВС.
Упражнение 4. Начертите три произвольных треугольника»
Постройте в первом медиану, во втором биссектрису, в третьем -высоту, выполняя
соответствующие записи.
Учащиеся построения в треугольнике (рис. 3) выполняют
вместе с объяснением учителя.
Упражнение 5. Начертите треугольники:
а) АВС, где А, B и С - острые углы.
б) МРК, где Р - тупой угол.
в) РDЕ, где D – прямой.
Вопрос. Как называются построенные треугольники?
27
Упражнение 6. Дано: ∆АВС; Построить: ∆А1В1С1 такой, что
А1В1=АВ, А1С1=АС  А=  А1.
Построение. 1. А1D – луч
2. На луче от начала в заданную
полуплоскость откладываем  А1,  DA1E
=  BAC
3. Строим окр. (А1,АС), получим точку
С1, С1  А1D
4. окр. (А1,АВ), получим точку В1,
В1  А1Е
5. Строим отрезок В1С1
6. ∆А1В1С1 – искомый, т.к. А1В1 = АВ,
А1С1 = АС,  В1А1С1 =  ВАС.
Вывод. От начала луча в заданную полуплоскость можно
построить треугольник, равный данному.
∆АВС = ∆А1В1С1,: это значит, что  А1=  А,  В1=  В,
 С1=  С и АВ = А1В1, АС = А1С1, ВС = В1С1.
Равенство треугольников понимаем как равенство трех
пар углов и трех пар отрезков с концами в вершинах
этих углов.
Упражнение 7.На рисунке изображены равные треугольники с
некоторыми отмеченными одинаковыми значками соответственно
равными элементами.
28
Запишите равенства.
Урок завершается практической работой.
– начертите треугольник АВС,
– постройте медиану BD, D  АС,
– постройте среднюю линию ВD, где М  ВС, D  АС,
– постройте биссектрису внешнего угла ВСК, где К  АС
– Найдите периметр треугольника ABC, сделав необходимые измерения.
Вопросы (на дом). 1. Постройте два треугольника,
имеющих
общую сторону, чтобы периметры
треугольников были равны,
2. В тупоугольном треугольнике АВС (  В тупой) постройте высоту треугольника,
исходящую из вершины А.
3. Разделите прямой угол при помощи
циркуля и линейки на 4 равные части.
29
ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ УРОКУ.
После разбора упражнений из домашнего задания следует
перейти к изучению темы урока. Окружность, центр, радиус,
диаметр, хорда окружности - все эти понятия знакомы
учащимся из курса математики 5-6 классов. Поэтому решение
упражнений 1-3 способствует повторению и закреплению
основных знаний по этой теме.
Пользуясь таблицами или предварительно заготовленными на
доске чертежами, предлагается рассмотреть расположение
окружности и треугольника на плоскости, взаимное
расположение двух окружностей на плоскости без строгих
обоснований, а только на наглядно-интуитивной основе.
Для закрепления предлагается провести диктант. Проверка
происходит с помощью кодоскопа или другого проектирующего
прибора.
После записи домашнего задания необходимо предупредить
учащихся о том, что на следующем уроке тетради будут
собраны на проверку.
30
Вводная беседа 6
Тема. Окружность.
План. 1. Проверка домашнего задания.
2 Окружность.
3. Расположение: прямой и окружности на плоскости,
треугольника и окружности на плоскости, двух
окружностей на плоскости.
4. Вопросы.
Примерное содержание вводной беседы
Упражнение I. Изобразите отрезок АВ
Начертите прямую a.
На прямой отметьте произвольную точку O.
На прямой a постройте отрезок, равный данному и
имеющий один из концов в данной точке O.
Вопросы. Сколько таких отрезков можно построить?
Что можно сказать о длине этих
отрезков?
Можно ли построить точки, которые от
точки О были бы удалены на длину
отрезка АВ?
Какую фигуру образуют эти точки?
Упражнение 2. Начертите окружность с центром А и радиусом R.
Отметьте произвольную точку В такую, что В окр (АD)
А - центр окружности.
АВ - радиус.
СD - диаметр (СD = 2АВ), С окр. (А,АВ), D окр.(А,АВ).
ВЕ - хорда, Е  окр. (А,АВ).
31
3. Расположение прямой и окружности на плоскости.
Расположение окружности и треугольника на плоскости.
Отметьте три произвольные
точки А, В, С, лежащие на
окружности.
Строям отрезки АС, АВ, ВС.
В этом случае окружность
называют описанной около
треугольника.
Начертите окружность с центром
O и радиусом K, на ней три точки
К, D, Е. Постройте касательные к
окружности в каждой из точек К,
D, Е. Отметьте точки пересечения
касательных, Получили
треугольник ABC. В этом случае
говорят, что окружность вписана
в треугольник.
32
Взаимное расположение двух окружностей на плоскости. а)
окружности не имеют общих точек.
б) Окружности имеют одну общую точку (общую касательную).
в) Окружности имеют две общие точки.
Вопрос. Могут ли две окружности иметь три общие точки?
33
Урок завершается диктантом.
Текст диктанта.
Начертите окружность с центром O и радиусом.
1. Отметьте на окружности произвольную точку A, начертите
отрезок ОА. Какова его длина?
2. Каково расстояние от точки O до любой точки окружности?
3. Отметьте на окружности произвольную точку B. Начертите
отрезок АВ. Как он называется?
4. Начертите отрезок СD, проходящий через точку O, концы
которого лежат на окружности. Чему равна длина отрезка
СD? Как называется отрезок СD?
5. Начертите произвольный луч с началом в точке O.
Обозначьте точку пересечения с окружностью. Может ли этот
луч пересекать окружность еще в одной точке?
6. Проведите через центр окружности произвольную прямую.
Сколько точек пересечения имеет прямая с окружностью?
7. Сколько можно провести хорд данной окружности?
Для успешной проверки и анализа проведенного диктанта
полезно воспользоваться записями ответов, предварительно
нанесенными на пленку кодоскопа или другого проектирующего'
прибора.
34
Вопросы (на дом). Начертите окружность с центром O и радиусом
R. Постройте хорду ДЕ и разделите ее
пополам. Как расположена хорда DЕ и диаметр
окружности, проходящий через середину DЕ?
2. Рассмотрите взаимное расположение
окружности и угла на плоскости.
3. Начертите окружность с центром А и
радиусом r. касающуюся данной окружности с
центром O и радиусом R в точке Е внутренним
образом. На окружности с центром А отметьте
две произвольные точки. Постройте отрезок,
соединяющий эти точки и точку Е. Получили
треугольник. Каково расположение
треугольника и окружности с центром O и
радиусом R?
35
ЛЕКЦИЯ 1
Логическое построение курса планиметрии
Определение: Геометрия - наука, рассматривающая свойства
фигур, "Фигура есть то, что содержится внутри какой-нибудь
дли каких-нибудь границ" (по Евклиду).
Определение: Планиметрия - раздел геометрии,
рассматриваются свойства таких фигур,
в котором
все части которых
помещаются на одной плоскости»
ПОСТРОЕНИЕ КУРСА
I. Основные понятия (неопределяемые).
II. Определяемые понятия.
III. Аксиомы (Аксиома - предложение, принимаемое без
доказательства, рассматриваемое как исходное при
построении той или иной математической теории (постулат
по Евклиду)).
IV. Теоремы (Теорема - математическое предложение,
истинность которого устанавливается или опровергается
при помощи доказательства).
Следствия. Так называют те предложения, которые
составляют непосредственный вывод из аксиомы или
теоремы,
I. Основные понятия (по Евклиду)
Точка, прямая.
"точка есть то, что не имеет частей".
"прямая линия есть та, которая одинаково расположена
относительно всех своих точек".
36
II. Определяемые понятия
Определения. Так называют предложения, в которых
разъясняется, какой смысл придают тому или другому
названию.
1. Определение. Отрезком называется часть прямой,
ограниченная с обеих сторон
2. Определение. Два отрезка называются равными, если они
имеют одинаковую длину.
3. Определение. Длину отрезка называют расстоянием между
двумя точками.
4. Определение. Лучом (открытым лучом или полупрямой)
называетсячасть прямой,
на которые разбивается эта прямая
любой ее точкой»
А - начало луча,
АО - луч,
n – луч
Если точка A отнесена к одной из полупрямых, то полупрямая
называется замкнутым лучом.
Определение. Фигура, образованная двумя полупрямыми,
исходящими из одной точки, называется углом.
Стороны - полупрямые, образующие угол.
Вершина - точка, из которой они выходят.
 AOB,  O,  (n,b)
37
Определение. Два угла равны, если они имеют одинаковую
угловую меру в градусах.
Определение. Треугольником называется фигура, которая
состоит из трех точек, не лежащих, на одной прямой, и из
трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.
Определение. Треугольники называются равными, если у них
соответствующие стороны равны и соответствующие утлы равны.
III. Аксиомы.
Аксиомы принадлежности точек и прямых (I группа)
I.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки,
принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
A l
B l
I.2. (аксиома прямой). Через любые две точки можно
провести прямую, и только одну.
38
Аксиомы взаимного расположения точек на прямой и на
плоскости (II группа)
II.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит
между двумя другими.
A─B─C
II.2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Аксиомы измерения отрезков и углов (III группа)
III.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую
нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он
разбивается любой его точкой.
AB = AC + CB
III.1. Каждый угол имеет определенную градусную меру,
большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусам.
Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на
которые он разбивается любым лучом, проходящим между его
сторонами.
39
Аксиомы откладывания отрезков и углов (IV группа)
IV.1. На любой полупрямой от ее начальной точки можно
отложить отрезок заданной длины и только один.
AB = 3 ед.дл.
IV.2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно
отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180
градусам, и только один.
0°<α<180°
IV.3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему
треугольник в заданном расположении относительно данной
прямой
∆ABC = ∆A1B1C1
40
Аксиома V группы (V постулат Евклида)
V.1. Через данную точку проходит не более одной прямой,
параллельной данной прямой.
a||b
Условие
Заключение
Теорема. Если
Дано
...
, то
...
Доказать
Теорема 1. Если прямая, не проходящая ни через одну из
вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она
пересекает только одну из двух других сторон.
Дано: ∆ABC. A  a, B  a, C  a,
a∩BC=O
Доказать, что a∩AC=E
или a∩AB=K
Доказательство:
1. Пусть а разбивает плоскость на α и β, по аксиоме о
взаимном расположении точек на плоскости.
B  α, C  β, т.к. по условию a∩BC=O
2. Если
A  α, то a∩AC=E, т.к. C  β
3. Если
A  β, то a∩AB=K, т.к. B  α
Вывод. Прямая a пересекает сторону АС или сторону BC
Вопросы:
Доказать, что две различные прямые либо не пересекаются,
либо пересекаются в одной точке.
41
Дана прямая и точки A, B, C, не лежащие на этой прямой.
Известно, что отрезок АВ пересекает прямую, а АС – нет.
Пересекает ли прямую ВС?
Может ли прямая, пересекающая одну из параллельных прямых,
не пересекать другую?
42
Геометрия 7 класс.
Контрольная работа.
I вариант.
1. Вычислить смежные углы, если разность между ними 30°.
2. Даны два угла с общей вершиной. Стороны одного угла
перпендикулярны к сторонам другого. Найти эти углы, если
разность между ними равна прямому углу.
3. Сколько точек пересечения могут иметь 5 прямых,
расположенных на плоскости (сделать рисунок).
II вариант.
1. Сумма данного угла и двух смежных с ним равна 330°.
Чему равен данный угол.
2. Два тупых угла одной и той же градусной меры имеют
общую сторону, а две другие их стороны взаимно
перпендикулярны. Определить тупой угол.
3. Сколько прямых можно провести через 5 точек,
расположенных на плоскости (сделать рисунок).
43