Лекция 17. Потенциал электростатического поля

Лекция № 17
ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
План
1. Работа сил электростатического поля. Потенциальность
(консервативность) электростатического поля. Циркуляция вектора
напряженности электростатического поля.
2. Потенциал. Разность потенциалов. Связь между потенциалом и
напряженностью электростатического поля.
3. Электрический диполь. Дипольный момент. Потенциал диполя.
Момент сил действующих на диполь во внешнем
электростатическом поле.

1. Работа сил электростатического
поля. Работа силы F ,

совершаемая при перемещении
dl материальной точки под действием
 
этой силы равна dA  Fdl  Fdl cos  , где  - угол между направлением
силы и направлением перемещения.

Пользуясь этой формулой можно
F
найти работу по перемещению заряда в
поле другого неподвижного заряда (рис.
dr 
1
2
17.1)
dl
Заряд q1 перемещается из точки 1 в точку 2
q1
в поле заряда q . Элементарная работа силы


dl равна:
F на перемещении
r
 
dA  Fdl  Fdl cos   Fdr .
r
r
Так как сила F 
1
qq1
40 r 2
2
, то полная работа
на пути из точки 1 в точку 2 равна
r2
r2
A12   dA   Fdr 
r1
r1
r2
qq dr
 41
r1
0
r
2

qq1  1 1 
  ,
40  r1 r2 
q
Рис. 17.1
то есть:
A12 
qq1  1 1 
  
40  r1 r2 
(*)
Потенциальность (консервативность)
электростатического

поля. Циркуляция вектора E .
12
Из формулы (*) видно, что A12 не зависит от пути перемещения
заряда q1 и определяется только относительными положениями q и q1 в
начале и конце пути. Отсюда, в частности следует, что работа по
перемещению заряда q1 по замкнутому контуру равна нулю, то есть
электростатическое поле является потенциальным.
 
 
Элементарную работу dA можно записать в форме: dA  Fdl  q1Edl ,

где E - вектор напряженности поля, создаваемого зарядом q . Работа по
замкнутому контуру равна:


 


dA

q
E
d
l

q
E
1
1


 dl

Выражение  Edl называется циркуляцией вектора E по замкнутому
контуру. Для электростатического поля работа по замкнутому контуру из


формулы (*)  dA  0 , отсюда  dA   q1Edl  q1  Edl  0 , то есть
 
E
 dl  0
Таким образом, условием потенциальности электростатического поля
является равенство нулю циркуляции вектора напряженности

электростатического поля E по любому замкнутому контуру.
2. Потенциал. Разность потенциалов.
Тело, находящееся в потенциальном поле имеет потенциальную
энергию. Работу по перемещению тела можно представить в виде разности
потенциальных энергий в начале и конце пути
A12  W p1  W p 2 
qq1  1 1 
qq1
qq1
   

40  r1 r2  40 r1 40 r2
Потенциальную энергию можно отсчитывать от любого уровня (так
как физический смысл имеет только лишь разность потенциальных
энергий). Удобно выбрать потенциальную энергию заряда на
бесконечности за начало отсчета потенциальной энергии.
Устремим r2   , тогда:
A1  W p1 
qq1
40 r
, а в общем случае:
Wp 
qq1
40 r
(**)
где W p - потенциальная энергия заряда q1 в поле заряда q на расстоянии
r.
13
Определение. Потенциал – это энергетическая характеристика
электростатического поля, скалярная величина, численно равная
отношению потенциальной энергии, которую имеет заряд в данной точке
поля, к величине этого заряда.

Wp
q1
Подставляя выражения для потенциальной энергии (**), получим
формулу для потенциала электростатического поля точечного заряда.

q
40 r
Единица измерения потенциала – Вольт.    1В .
В силу введенного определения потенциала  работа по
перемещению заряда q1 в электростатическом поле из точки 1 в точку 2.
A12  W p1  W p 2 
откуда
 q
qq1
qq1
q 
  q1( 1   2 ) ,

 q1 

40 r1 40 r2
4

r
4

r
0 1
0 2

A12  q1( 1  2 ) ,
1   2 
A12
q1
Разность потенциалов – отношение работы по перемещению заряда к
величине этого заряда, удельная работа кулоновских сил, однозначно
определяемая начальной и конечной точками перемещения.
Связь
между
потенциалом
и
напряженностью
электростатического поля.

Для работы на перемещении dl можно написать два эквивалентных
выражения.
 
dA  q1 Edl

dA  q1d
Знак « - » во второй формуле связан с тем, что работа сил поля над
зарядом равна убыли потенциальной энергии заряда.
Сравнение двух формул приводит к связи между потенциалом поля

 и вектором напряженности электростатического поля E .
14
 
Edl  Ex dx  E y dy  Ez dz  d
Отсюда
d
d
d
; Ey  
; Ez  
.
dx
dz
dy





Вектор E можно представить как E  Exex  E y e y  Ez ez , подставляя

выражения для компонентов вектора E , получим:

 d  d 
d  d  d 
d  
E
ex 
ey 
ez  
ex 
ey 
ez 
dx
dy
dz
dy
dz 
 dx
Выражение в скобках есть не что иное как grad  , окончательно
Ex  
получаем:

E   grad
Напряженность
знаком минус.

поля E равна градиенту потенциала, взятому со

(Примечания. 1. Используя символ «набла»  
связь между вектором напряженности
представить более компактно:
d  d 
d 
ex 
ey 
ez ,
dx
dy
dz

E и потенциалом  можно

E  
2. В случае радиальной симметрии E  
Рис. 17.2
d
).
dr
Пример: Пусть имеются эквипотенциальные
линии (линии одинакового потенциала) 1 , 2 и
3 причем 1  2  3 (рис. 17.2). Требуется

указать направления векторов grad и E в
некоторой точке А. В соответствии с
определением градиента он направлен в сторону
быстрейшего возрастания  , то есть по
перпендикуляру к касательной в точке А к
эквипотенциальной линии 2 в сторону 3 . Из


формулы связи E и  следует, что вектор E
направлен в противоположную сторону.
3. Электрический диполь. Дипольный момент. Потенциал диполя.
15
Электрическим диполем называют систему двух одинаковых по
величине разноименных точечных зарядов  q и  q , расстояние между
которыми значительно меньше расстояния до тех точек, в которых
определяется поле системы. Прямая, проходящая через оба заряда,
называется осью диполя (рис. 17.3)
В соответствии с принципом суперпозиции потенциал поля в
некоторой
точке
А
равен:
1 q q
q  r1  r2 
   

.
40 r1 40 r2 40  r2 r1  40  r1r2 
Пусть точка А выбрана так, что длина l намного меньше расстояний
и r2 . В этом случае можно положить, что r1  r2  l cos  ; r1r2  r 2 и
дип  1   2  
r1
q

q

формулу для потенциала диполя  дип можно переписать:
1 ql cos 
 дип 
40 r 2
где  - угол между осью диполя и
A
направлением к точке А, проведенным
от


диполя. Произведение p  ql называется
электрическим моментом диполя
или
дипольным моментом.

Вектор p направлен по оси диполя от
r1
r2
отрицательного заряда к положительному.
Таким образом, произведение ql в формуле
для  дип является дипольным моментом p и

соответственно:

q
q
p cos 
l
дип 
Рис. 17.3
40 r 2
Потенциал поля диполя пропорционален дипольному моменту p ,
косинусу  и обратно пропорционален квадрату расстояния от диполя до
рассматриваемой точки, т.е. потенциал диполя, убывает быстрее с
 1
 r
расстоянием, чем потенциал точечного заряда  ~  .
Момент сил, действующий на диполь во внешнем электрическом
поле.
16
Поместим диполь в электрическое
поле (рис. 17.4). Пусть направление
диполя составляет с направлением

вектора
напряженности
E
некоторый
угол
На
.
отрицательный заряд действует


сила
направленная
F1  qE ,
против поля, на положительный


заряд действует сила F2  qE ,
Рис. 17.4
направленная вдоль поля.
Эти силы образуют пару сил с вращающим моментом:
M  F  l sin  qE  l sin  pE sin .
В векторном виде:

 
M вр  p  E

Диполь в однородном внешнем поле поворачивается под действием
вращающего момента таким образом, чтобы сила, действующая на

положительный заряд диполя, совпадала по направлению с вектором E и
осью диполя. Этому положению соответствует   0 и М вр  0
17
Вопросы для самоконтроля.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
18
Как вычислить работу, совершаемую над точечным зарядом при его
перемещении в электрическом поле? Зависит ли эта работа от формы
траектории?
Что такое потенциал электростатического поля? Запишите его
выражение для точечного заряда.
Какова связь потенциала с напряженностью электростатического
поля?
Что такое электрический диполь? Дипольный момент?
От чего зависит потенциал поля диполя?
Вычистите момент сил, действующих на диполь во внешнем
электрическом поле.