Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции: четность, нечетность; периодичность, свойства симметрии. 2. Исследовать асимптоты графика функции: вертикальные, наклонные. Проанализировать взаимное расположение графика функции и его наклонных (горизонтальных) асимптот. 3. Построить эскиз графика. 4. Найти участки монотонности функции: возрастание и убывание. Найти экстремумы функции: минимумы и максимумы. Найти односторонние производные в точках разрыва производной функции и в граничных точках области определения функции (если односторонние производные существуют). 5. Найти промежутки выпуклости функции и точки перегиба. 2. Основные понятия и этапы исследования функции 1. Область определения функции D f и множество значений функции E f . Специальные свойства функции Указать область определения функции, на оси абсцисс отметить ее граничными точками и выколотыми точками, указать абсциссы этих точек. Нахождение области определения функции приводить не обязательно. Множество значений функции находить не обязательно. Легко исследуемые свойства множества значений: неотрицательность, ограниченность снизу или сверху и т.п., используются для построения эскиза графика, контроля результатов исследования и правильности построения графика. 5 График четной функции симметричен относительно оси ординат Oy . График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Четные и нечетные функции исследуют на положительной половине области определения. Периодическую функцию исследуют на одном периоде, а график приводят на 2-3-х периодах. 2. Исследование асимптот 2.1. Вертикальные асимптоты Определение 1. Прямая x x0 называется вертикальной асимптотой графика функции y f x , если выполнено хотя бы одно из условий: lim f x 1 или lim f x . xx0 0 xx0 0 2.2. Наклонные (горизонтальные) асимптоты Определение 2. Прямая y kx b называется (невертикаль- ной) асимптотой графика функции y f x при x , если lim x f x kx b 0 . Из определения асимптоты при x следует, что f x , b lim f x kx . Вычисляя соответствующие x x пределы, получаем уравнение асимптоты y kx b . k lim x Аналогичное утверждение справедливо и в случае, когда x . Если k 0 , то асимптота называется наклонной. Если k 0 , то асимптота y b называется горизонтальной. Аналогично вводятся понятия наклонной и горизонтальной асимптоты графика функции y f x при x . 2.3. Методы исследования невертикальных асимптот Исследование асимптот при x и при x как правило проводят отдельно. Символ мы будем использовать, подразумевая выполнение одного случая, либо , либо . 1 6 В некоторых частных случаях возможно совместное исследование асимптот при x и при x , например, для 1) рациональных функций; 2) четных и нечетных функций, для графиков которых исследование можно проводить на части области определения. Метод выделения главной части. Для нахождения асимптоты выделяем главную часть функции при x . Аналогично при x . Главную часть дробно рациональной функции удобно находить, выделяя целую часть дроби: Пример 1. Найти наклонные асимптоты графика функции 2 x 2 3x 2 . x 1 3 3 o1 при x , то пря► f x 2 x 5 . Так как x 1 x 1 мая y 2 x 5 является искомой асимптотой. ◄ f x Главную часть иррациональной функции при решении практических примеров удобно находить используя методы представления функции формулой Тейлора при x . Пример 2. Найти наклонную асимптоту графика функции f x x 4 3x 1 при x . x4 ►Так как 1 4 1 3 1 4 f x x 1 3 4 1 x1 o x 4 o1 x x x x x при x , то прямая y x 4 является искомой асимптотой. ◄ Главную часть иррациональных функций вида f x ax 2 bx c и f x 3 ax3 bx 2 cx d удобно находить соответственно методом выделения полного квадрата или полного куба подкоренного выражения. 7 Пример 3. Найти наклонные асимптоты графика функции f x x 2 6 x 14 при x и x . ►В подкоренном выражении выделим полный квадрат f x x 32 5 . Так как график функции f x симметричен относительно прямой x 3 и f x x 3 5 x 3 2 5 x 3 , то f x ~ x 3 при x . Значит, прямая y x 3 является асимптотой при x , а прямая y 3 x — асимптотой при x . ◄ Для нахождения асимптот можно использовать метод выделения главной части. Пример 4. Найти асимптоты графика функции f x 4 x 2 x 2 . ►Так как 1 1 1 1 1 2 2 x 1 2 o , то функция 4x 2x x 8x 4 x 1 имеет асимптоту y 2 x при x и асимптоту 4 1 y 2 x при x .◄ 4 f x 2 x 1 Для трансцендентных функций приемлемы оба метода исследования асимптот при решении практических примеров. Замечание 1. При исследовании асимптот иррациональных, трансцендентных функций, а также функций, аналитическое выражение которых содержит модуль, целесообразно рассматривать два случая: x и x . Совместное исследование асимптот при x и при x может привести к ошибкам в исследовании. При нахождении пределов или главной части при x необходимо выполнить замену переменной x t . 8 2.4. Взаимное расположение графика функции и его асимптоты а) Если функция y f x имеет асимптоту при x , дифференцируема и строго выпукла вниз на луче x x0 , то график функции лежит выше асимптоты (рис. 1.1). б) Если функция y f x имеет асимптоту при x , дифференцируема и строго выпукла вверх на луче x x0 , то график функции лежит ниже асимптоты (рис. 1.2). в) Могут быть другие случаи поведения графика функции при стремлении к асимптоте. Например, возможно, что, график функции бесконечное число раз пересекает асимптоту (рис. 1.3 и 1.4). Аналогичное утверждение справедливо и при x . До исследования свойств выпуклости графика функции взаимное расположения графика функции и его асимптоты можно определить по знаку o1 в методе выделения главной части. Пример 5. Определить взаимное расположение графика 2 x 2 3x 2 и его асимптот. x 1 3 3 0 при x , то гра► f x 2 x 5 . Так как x 1 x 1 фик функции лежит выше асимптоты y 2 x 5 . Так как 3 0 при x , то график функции лежит ниже асимптоx 1 ты y 2 x 5 . ◄ функции f x 9 Пример 6. Определить взаимное расположение графика x 4 3x 1 и его асимптоты при x . x4 8 1 x2 1 4 x x x 4 1 o 1 при ►Из равенства f x x x x x следует, что график функции лежит ниже асимптоты y x 4.◄ функции f x Пример 7. Определить взаимное расположение графика функции f x x 2 6 x 14 и его асимптот. ► Так как f x x 3 5 x 32 5 x 3 (см. пример 3), то график функции лежит выше асимптоты y x 3 при x и при x . ◄ Пример 8. Определить взаимное расположение графика функции f x 3 x3 6 x 2 2 x 14 и его асимптот. ► Так как x 3 6 x 2 2 x 14 x 2 14 x 6 , то применяя 3 формулу 3 a 3 b a 2 3 a b 3 a3 b b 3 2 при a x 2 14 x 6 , b x 2 , получаем f x x 2 14 x 6 . Эта 2 3 3 2 3 3 x 2 14 x 6 x 2 x 2 14 x 6 x 2 3 3 разность положительна при x 3 7 и отрицательна при x 3 . 7 Поэтому при x график функции лежит ниже асимптоты y x 2 , а при x — выше асимптоты y x 2 .◄ 10 Метод вычисления пределов для исследования асимптот не позволяет оценить взаимное расположение графика функции и его асимптоты. 3. Построение эскиза графика функции Для построения эскиза графика отмечаются вертикальные и наклонные асимптоты, точки пересечения графика функции с осями. Учитывая взаимное расположение графика функции и асимптот, строится эскиз графика. Если график функции лежит выше (ниже) асимптоты при x , то, предполагая, что существует такая точка x 0 , что среди точек x x0 нет точек перегиба, получаем, что функция выпукла вниз(вверх), то есть к асимптоте. Аналогично можно прогнозировать направление выпуклости к асимптоте для вертикальных асимптот и для асимптоты при x . Однако, как показывает приведенный выше пример функции y x sin 2 x , такие предположения могут быть не x верны. 4. Участки возрастания и убывания функции. Точки минимума и максимума Определение 3. Функция f x называется возрастающей (убывающей) на интервале a, b , если для любых x1 , x2 a, b, таких что x1 x2 имеет место неравенство ( f x1 f x2 ). Дифференцируемая на интервале f x1 f x2 a, b функция f x воз- растает (убывает) на интервале a, b , тогда и только тогда, когда для любого x a, b f x 0 ( f x 0 ). Определение 4. Точка x0 называется точкой строгого ло- кального максимума (минимума) функции f x , если: 1) функция определена в некоторой окрестности точки x0 ; 11 2) существует окрестность U x0 D f , такая что для любого x U x0 справедливо неравенство f x f x0 ( f x f x0 ). Точки минимума и максимума называются точками экстремума функции f x . Необходимое условие экстремума. Если x0 — точка экстремума функции f x , то в этой точке либо f x0 0 , либо производная не существует. Достаточные условия экстремума. 1. Пусть существует 0 , такое что функция f x дифференцируема в проколотой -окрестности точки x0 и непрерывна в точке x0 . Тогда, а) если ее производная меняет знак минус на плюс при переходе через точку x0 , т.е. f x 0 для любого x x0 , x0 , f x 0 для любого x x0 , x0 , то x0 — точка максимума функции f x ; б) если ее производная меняет знак плюс на минус при переходе через точку x0 , т.е. f x 0 для любого x x0 , x0 , f x 0 для любого x x0 , x0 , то x0 — точка минимума функции f x . Модельными примерами могут служить y x (рис. 2.1) и y x (рис.2.2). 12 2. Если функция f x дважды дифференцируема в точке x0 , f x0 0 и f x0 0 ( f x0 0 ), то точка x0 является точкой максимума (минимума). Для запоминания достаточного условия удобно использовать модельные примеры: y x 2 (рис. 3.1) и y x 2 (рис. 3.2) при x0 0 имеют максимум и минимум соответственно: 3. Пусть существует 0 , такое что функция f x дифференцируема в проколотой -окрестности точки x0 , непрерывна в точке x0 . Тогда, а) если существуют конечные или бесконечные правая и левая производные в точке x0 и f x0 0 , f x0 0 , то x0 является точкой минимума (рис.4.1). б) если f x0 0 , f x0 0 , то x0 — точка максимума (рис. 4.2). Замечание 2. Из теоремы Лагранжа о среднем следует, что, если U x0 точки x0 , такая что функция f x определена и непрерывна в окрестности U x0 , дифференцируема в существует окрестность 13 проколотой окрестности U x0 и существуют конечные или бесконечные пределы производных справа и слева f x0 0 lim f x и xx0 0 f x0 0 lim f x , то существуют и правая и левая производная xx0 0 f x0 lim f x f x0 xx0 0 сто равенства x x 0 и f x0 lim xx0 0 f x f x0 x x 0 , и имеют ме- f x0 f x0 0 и f x0 f x0 0 . Поэтому, при построении графиков функций для доказательства наличия экстремума в точке разрыва производной исследуемой функции как правило рассматривают пределы производных справа и слева. Предел производной справа (слева) равен тангенсу угла наклона касательной справа (слева) в точке экстремума. Замечание 3. Точка разрыва первого и второго рода функции f x может быть точкой локального экстремума (рис. 5.1 и 5.2). 5. Выпуклость функции вверх и вниз. Точки перегиба Определение 5. Непрерывная функция y f x называется выпуклой вверх (строго выпуклой вверх) на отрезке a, b , если для любых различных точек x1 и x2 отрезка a, b выполняется неравенство x x f x1 f x2 f 1 2 2 2 x1 x2 f x1 f x2 f . 2 2 Определение 6. Непрерывная функция y f x называется выпуклой вниз (строго выпуклой вниз) на отрезке a, b , если 14 для любых различных точек x1 и x2 отрезка a, b выполняется неравенство x x f x1 f x2 f 1 2 2 2 Из определений x1 x2 f x1 f x2 f . 2 2 следует, что непрерывная функция y f x называется выпуклой вверх (строго выпуклой вверх) на отрезке a, b , если каждая точка любой хорды к графику функции y f x лежит не выше (ниже) графика y f x (рис. 6.1). Непрерывная функция y f x называется выпуклой вниз (строго выпуклой вниз) на отрезке a, b , если каждая точка любой хорды к графику функции y f x лежит не ниже (выше) графика y f x (рис. 6.2). Достаточные условия выпуклости вверх и вниз функции y f x на отрезке: Пусть f x существует на отрезке a, b , а f x — на интервале a, b . 1. Если f x 0 ( f x 0 )при всех x a, b , то функция выпукла вверх (строго выпукла верх) на отрезке a, b . 15 2. Если f x 0 ( f x 0 ) при всех x a, b , то функ- ция выпукла вниз (строго выпукла вниз) на отрезке a, b . Определение 7. Точка x 0 называется точкой перегиба функции y f x , если: 1. Функция y f x непрерывна в точке x 0 ; 2. Функция y f x имеет в точке x 0 конечную или бесконечную определенного знака производную; 3. Функция y f x при переходе через точку x 0 меняет направление выпуклости, то есть существует 0 , такое что на одном из интервалов x0 , x0 , x0 , x0 функция выпукла вверх, а на другом выпукла вниз. Определение 8. Точка x0 , f x0 называется точкой перегиба графика функции y f x , если x 0 — точка перегиба функции y f x . Необходимое условие перегиба в точке x 0 . Если x 0 — точка перегиба функции y f x и функция y f x имеет в некоторой окрестности точки x0 вторую производную, непрерывную в точке x 0 , то f x0 0 . Достаточные условия перегиба в точке x 0 . 1. Если функция y f x непрерывна в окрестности точки x0 , имеет в точке x0 конечную или бесконечную определенного знака производную, а функция f x определена в проколотой окрестности точки x 0 и меняет знак при переходе через эту точку, то x 0 — точка перегиба функции y f x . 2. Если f x0 0 , а f x0 0 , то x 0 — точка перегиба функции y f x . 16 В качестве модельных примеров рассмотрим функции y x 3 (рис. 7.1) и y 3 x (рис. 7.2). Дополнительно рассмотрим еще два примера перегиба (рис. 7.3 и 7.4). Замечание 4. Если функция y f x дважды дифференцируема в окрестности точки x 0 , и x 0 — точка перегиба функции y f x , то график функции переходит с одной стороны касательной на другую. Обратное неверно. Пример 9. Доказать, что, из того, что график функции y f x в точке x0 переходит с одной стороны касательной на другую не следует, что точка x 0 является точкой перегиба функции y f x . 1 3 2 sin x , x 0; ► Рассмотрим функцию f x . В точке x 0, x 0 x0 0 график функции имеет горизонтальную касательную, и переходит с одной стороны касательно на другую, но точка x 0 не является точкой перегиба функции f x , так как не существует левой и правой окрестностей точки x 0 , в которых сохраняется направление выпуклости функции f x . ◄ 3. Дифференцирование функции, аналитическое выражение которой содержит модуль 17 1) При исследовании с помощью производной поведения графика функции, аналитическое выражение которой содержит модуль, удобно производить дифференцирование по правилу сложной функции, учитывая, что x sign x во всех точках дифференцируемости функции y x . 2) При дифференцировании функции вида y f x sign x во всех точках дифференцируемости функции справедлива формула y f x sign x , так как производная функции сигнум равна нулю во всех точках дифференцируемости. Пример 10. Найти первую и вторую производные функции f x x2 . ► f x f x 1 2 x2 1 4 x2 32 sign x 2 , sign 2 x 2 1 4 x2 32 при x 2 .◄ 4. Основные требования к результатам исследования и построению графика 1. Все результаты исследования функции следует обосновать в ходе решения. Все исследования функции, включая все необходимые вычисления: вычисления пределов функции, вычисления производных, решения уравнений, являются необходимой частью решения задачи на построение графика функции или кривой. 2. Все результаты должны быть получены точно. Необходимые приближенные вычисление привести в решении задачи. 3. Масштаб построения графика следует выбирать так, чтобы были отражены основные характерные моменты поведения графика функции. 4. На рисунке изобразить вертикальные и наклонные асимптоты, указать уравнения асимптот. 18 5. Обозначить точки минимума и максимума функции, указать их координаты. 6. Обозначить точки разрыва производной, указать их координаты. Изобразить односторонние касательные (если они существуют). В случае существования конечной односторонней производной указать тангенс угла наклона односторонней касательной. 7. Обозначить точки перегиба графика функции, указать их координаты. Указать точное значение производной или тангенс угла наклона касательной в точке перегиба. Изобразить касательную к графику функции в точке перегиба. 19