ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ НОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
И АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОИЗВОДСТВА
Кафедра «Теоретическая и прикладная механика»
А.В. Коробко, В.Н. Сокотущенко, Е.Н. Грядунова
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
Расчет статически неопределимых рам
смешанным и комбинированным методами
Методические указания по выполнению
расчетно-графических работ
Дисциплина – «Строительная механика»
«Строительная механика машин»
Специальности – 150301 «Динамика и прочность машин»
270102 «Промышленное
и гражданское строительство»
270105 «Городское строительство и хозяйство»
Печатается по решению редакционноиздательского совета ОрелГТУ
Орел 2007
1
Авторы:
д-р техн.наук, профессор кафедры
«Теоретическая и прикладная механика»
А.В. Коробко
канд. техн. наук, доцент
В.Н. Сокотущенко
канд. техн. наук, доцент
Е.Н. Грядунова
Рецензент: д-р техн. наук, профессор, зав. каф.
«Промышленное и гражданское
строительство»
В.И. Колчунов
Методические указания по выполнению РГР на тему «расчет статически неопределимых рам смешанным и комбинированным методами» содержат смешанный метод расчета статически неопределимых
рам, комбинированный способ расчета, задание к РГР и необходимую
литературу.
Предназначены студентам, обучающихся по специальностям:
150301 – «Динамика и прочность машин», 270102 – «Промышленное
и гражданское строительство», 270105 – «Городское строительство и
хозяйство», изучающих дисциплину «Строительная механика», могут
быть полностью использованы при изучении дисциплины «Строительная механика машин».
Редактор М.В. Одолеева
Технический редактор Н.А. Соловьева
Орловский государственный технический университет
Лицензия ИД №00670 от 05.01.2000 г.
Подписано к печати 20.07.2007 г. Формат 60х84 1/16
Печать офсетная. Уч.-изд. л. 2,7. Усл. печ. л. 2,0. Тираж 100 экз.
Заказ №_______
Отпечатано с готового оригинал-макета
на полиграфической базе ОрелГТУ.
302020, г. Орел, Наугорское шоссе, 29.
© ОрелГТУ, 2007
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………………..4
1 Смешанный метод расчета статически неопределимых рам………...5
1.1 Общие замечания…………………………………………………..5
1.2 Примеры решения задач…………………………………………..7
2 Комбинированный способ расчета…………………………………...20
2.1 Общие замечания…………………………………………………20
2.2 Примеры решения задач……………………………………..…..21
3 Задание к РГР………………………………………………………….26
Литература……………………………………………………………….26
Приложение……………………………………………………………...27
3
ВВЕДЕНИЕ
Строительной механикой называется наука о методах расчета сооружений на прочность и устойчивость.
В строительной механике широко применяются методы теоретической механики, сопротивления материалов, математики и физики.
Строительная механика является наукой экспериментальнотеоретической, так как базируется на результатах испытаний сооружений (в натуре и на моделях), опыте их в эксплуатации и теоретических исследованиях. Трудно переоценить значение современной
строительной механики. Вооруженный знанием ее законов и правил,
проектировщик получает возможность создавать сооружения не только надежные и прочные в эксплуатации, но так же и экономичные.
В методических указаниях изложены основные понятия, необходимые для изучения строительной механики, даны методы расчета
статических неопределимых балок, приведены примеры расчетов рам
и балок.
4
1 СМЕШАННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ
1.1 Общие замечания
Смешанный метод рекомендуется применять для расчета статически неопределимых стержневых систем (как правило, рам) в том случае, когда их структура существенно неоднородна, т.е. отдельные выделенные условно части обладают ограниченной подвижностью ввиду наличия большого количества «лишних» связей, а другие более
подвижны, так как имеют небольшое число таких связей (рис. 1.1).
Рисунок 1.1
Левая и правая части рамы (фрагмент I) обладают меньшей подвижностью, чем средняя часть (фрагмент II), которая относительно
более свободна.
Степень статической и кинематической неопределимости этой рамы равны 7. Такая система обладает примерно одинаковой трудоемкостью при решении как методом сил, так и методом перемещений.
Смешанный метод использует преимущества метода сил и метода
перемещений. В нем за основные неизвестные принимаются как перемещения (повороты и поступательные смещения узлов), так и усилия (силы и изгибающие моменты).
При выборе основной системы в одной части рамы, обладающей
относительной свободой, исключаются лишние связи (как в методе
сил), а в «более жесткой» вводятся дополнительные связи (как в методе перемещений). Например, для рассматриваемой рамы основная
5
система будет иметь вид, представленный на рисунке 1.2. Эта система
имеет три неизвестных: два Z 2 и Z 3 – угловые перемещения во введенных заделках и X 1 – усилие по направлению отброшенной связи
(если средний пролет не загружен, то в нем не возникает поперечной
силы и изгибающего момента).
Рисунок 1.2
Таким образом, при решении заданной рамы смешанным методом
будет три неизвестных: X 1 , Z 2 , Z 3 . Если внешняя нагрузка будет
симметричной, то Z 2 Z3 и останется два неизвестных X 1 и Z 2 .
Условием для составления канонических уравнений смешанного
метода являются эквивалентность заданной и основной систем как в
отношении внутренних усилий, так и в отношении перемещений узлов, что соответствует условиям:
- отсутствия перемещений по направлению отброшенных связей;
- отсутствия реактивных усилий во введенных заделках или дополнительных связях.
Система канонических уравнений в рассматриваемом случае будет иметь следующий вид:
Z 2 1P 0,
11 X1 12
X1 r22 Z 2 R2 P 0.
r21
(1)
В этих уравнениях:
11 – перемещение в выбранной основной системе по направлению усилия X1 от действия усилия X1 1;
11 X1 – то же от действия усилия X1 ;
– перемещение в основной системе по направлению усилия X 1
12
от угла поворота Z 2 1 ;
6
Z 2 – то же от угла поворота Z 2 ;
12
1P – перемещение в основной системе по направлению усилия
X 1 от действия заданной нагрузки;
– реакция во введенной заделке от усилия X1 1;
r21
X 1 – то же от усилия X 1 ;
r21
r22 – реакция во введенной заделке от угла поворота Z 2 1 ;
r22 Z 2 – то же от угла поворота Z 2 ;
R2P – реакция во введенной заделке от действия заданной нагрузки.
Коэффициенты канонических уравнений делятся на четыре
группы:
- коэффициент 11 определяется как в методе сил с использованием интеграла Максвелла-Мора;
- коэффициент r22 определяется по таблицам, составленным для
метода перемещений;
определяется из чисто статических соображе- коэффициент r21
ний, свойственных методу перемещений;
определяется путем составления плана пере- коэффициент 12
мещений.
Следует иметь в виду, что
r21
.
12
(2)
После нахождения неизвестных X 1 и Z 2 из системы канонических
уравнений строятся окончательная эпюра изгибающих моментов путем суммирования исправленных единичных эпюр моментов M1 X 1 и
M 2 Z 2 и грузовой эпюры моментов M P :
M oк M 1 X 1 M 2 Z 2 M P
Далее по эпюре M oк строится эпюра Q, а по эпюре Q – эпюра N.
1.2 Примеры решения задач
Пример 1. Рассмотрим пример расчета рамы (рис. 1.1).
7
Строим эпюры M1 , M 2 и M P (рис. 1.3) и определяем коэффициенты системы канонических уравнений (1).
M12
1
2
1
128
11
dx 4 4 4
2
;
EJ
2
3
EJ
3EJ
M M
1
1
1024
1P 1 P dx 4 4 64
2
.
EJ
2
EJ
EJ
пр
л
r22 r22
r22
EJ 0,5EJ 2 3EJ ;
r21 r21 л r21пр 4 4 8;
12 r21 8;
32
R2 P R2лP R2прP 64 2 106,667.
3
Рисунок 1.3
8
При этом окончательно система канонических уравнений примет
следующий вид:
1024
128
X 1 8Z 2
0,
EJ
3EJ
8 X 1 3EJZ 2 106,667 0.
(3)
Решая систему, находим:
X 0,1875EJ Z 2 24 0,
1
X 1 0,375EJ Z 2 13/ 333 0;
0,5625EJ Z 2 10,667;
Z2
10,667
18,963/ EJ ;
0,5625EJ
X 1 20,445 кН .
Построим исправленные эпюры M 1 X 1 и M 2 Z 2 и окончательную
эпюру изгибающих моментов M ок (рис. 1.4).
M ок M 1 X 1 M 2 Z 2 M p .
Рисунок 1.4
9
Проводим статическую проверку решения путем статического вырезания узлов рамы и составления уравнений равновесия.
18,963 17,78 1,185 18,963 18,965 0.
Проводим кинематическую проверку решения. Для этого строим
единичную эпюру изгибающих моментов M 1 в любой статически
определимой системе метода сил (рис. 1.5) и перемножаем ее с эпюрой « M ок ».
Рисунок 1.5
M ок M 1
4
dx
4 23,11 2 17,78 4
EJ
6 EJ
4
18,963 4 4 4,74 6 9,482 8
6 EJ
4
4
184,88 71,12
75,852 113,76 75,856
6 EJ
6 EJ
1
75,84 75,84 0.
EJ
Равенство нулю интеграла Максвелла-Мора говорит об отсутствии перемещения по направлению отброшенной связи X 1 . По эпюре
« M ок » строим эпюру «Q» (рис. 1.6).
10
Рисунок 1.6
ql M пр М лев 2 8 1,185 15,408
8 3,556 11,556 кН ;
2
1
2
4
Q2 8 3,556 4,444 кН ;
18,963 9,482
Q32
7,111 кН ;
4
64 17,78
Q24
20,444 кН ;
4
2 8 0 64
Q4
16 кН ;
2
8
Q5 8 8 0.
По эпюре «Q» строим эпюру «N» (рис. 1.7).
Q1
Рисунок 1.7
11
Рисунок 1.8
Проводим окончательную проверку решения, составляя уравнения
равновесия.
Y 0; 11,556 20, 444 20, 444 11,556 16 4 64 64 0.
X 0; 27,556 7,111 7,111 27,556 0.
Пример 2. Для рамы (рис. 1.9, а) определить горизонтальное перемещение шарнира К от действия заданной внешней нагрузки.
Степень статической неопределимости для заданной рамы равна
10; степень ее кинематической неопределимости равна 7.
Основная система смешанного метода показана на рис. 1.9, б.
Так как нагрузка, действующая на раму, имеет кососимметричный
характер, а также учитывая симметрию самой рамы относительно
вертикальной оси, можно утверждать, что симметричные неизвестные
X 3 X 4 X 5 0 . Система канонических уравнений смешанного метода существенно упрощается и приобретает следующий вид:
11 X 1 12 Z 2 1P 0,
r21 X 1 r22 Z 2 R2 P 0.
12
Рисунок 1.9
Строим единичные эпюры M 1 , и M 2 и грузовую эпюру моментов M p .
Рисунок 1.10
13
Определяем коэффициенты канонических уравнений:
M 12
2
1
1
1
11
dx 3 3 3
333
2 72 / EJ ; 1P 0;
EJ
2
3
EJ
EJ
r22 r22л r22пр 3EJ 3EJ 6 EJ ;
r2 P r2лP r2прP 9 9 18;
12 r21 6;
r21 r 21л r 21пр 3 3 6.
С учетом найденных коэффициентов запишем систему канонических уравнений и решим ее.
72
X 1 6Z 2 0,
12 X 1 EJZ 2 0,
EJ
X 1 EJZ 2 3.
6 X 1 6 EJZ 2 18 0.
X 1 0,23 кН , Z 2 2,77.
«Исправляем» эпюры единичных моментов и строим окончательную эпюру «Мок» по формуле:
M ок M 1 X 1 M 2 Z 2 M p .
14
Рисунок 1.11
Проводим статическую и кинематическую проверки эпюры
« M ок ».
Статическая проверка
0,69 2,77 3 9 9 9 0.
Кинематическая проверка
M ок M1
1
2
1
EJ dx 2 2,77 3 3 3 EJ
4
2 2,77 3 2 1,38 3 2,77 3 1,38 3
6EJ
2
8,31/ EJ 16,62 8,28 8,31 4,14
3
1
8,31 8,32 0.
EJ
Рисунок 1.12
Проверки удовлетворяются.
15
Для определения горизонтального перемещения шарнира используем статически определимую систему, приведенную выше, и построим эпюру M к .
M ок M1
EJ dx
Рисунок 1.13
1
1
4
3 3 0б 69
2
EJ 6 EJ
2 2,77 3 2,0 1,38 7 2,77 7 1,38 3
3,105
2
16,62 19,32 19,39 4,14
EJ
3EJ
1
3,105 8,367 5,26 / EJ .
EJ
Таким образом шарнир К смещается
вправо на величину X K 5,26 / EJ .
Пример 3. Для рамы (рис. 1.14, а) определить угол поворота узла
К от заданного теплового воздействия.
Степень статической неопределимости для заданной рамы равна
3; степень ее кинематической неопределимости равна 4.
Рисунок 1.14
Основная система смешанного метода показана на рис. 1.14, б.
Каноническое уравнение в рассматриваемом случае примет следующий вид:
11 X 1 12 Z 2 1t 0,
r21 X 1 r2 Z 2 R2t 0.
16
Строим единичные эпюры моментов (рис. 1.15) и с их помощью
определяем коэффициенты канонических уравнений.
Рисунок 1.15
M12
1
2
1
1
5
tcpl 10 4 40 ; 11
dx 1 3 1
2 1 4 1
;
EJ
2
3
2 EJ
EJ EJ
lt
20 1
t
d
M tcpN
1
1
20
1 3 2
1 4 10 0,33 4 10 0,33 4 350 .
0,4 2
0,4
17
X 0;
r22 1,5EJ 3 0;
r22 4,5EJ .
X 0;
r21 0;
X 0;
R2t 60 EJ 0;
12 0.
R2t 60 EJ .
Тогда система канонических уравнений приобретает следующий
вид:
5
X 1 350 0,
EJ
4,5EJZ 2 60 EJ 0.
X 1 70 EJ ;
Z 2 13,33 .
Рисунок 1.16
18
Строим эпюры « М ок » по формуле:
М окt M1 X 1 M 2 Z 2 M tcp .
Кинематическая проверка. Определим угол поворота сечения А,
который в заделке, как известно, равен нулю. Для этого предварительно построим единичные эпюры изгибающих моментов и продольных сил от действия единичного момента, приложенного в сечении А в основной системе метода сил (рис. 1.17).
Рисунок 1.17
M окt M 1
EJ
dx
t
1
2
2
3
M tcp N 80 EJ 2 1
1
4 EJ
1
1
d
1
2
1
40 EJ 2 1
10 0,5 4 13,33 6,67 20,0 0.
2
3 4 EJ
Определим угол поворота узла К. Для этого построим эпюры единичных моментов M A и единичных продольных сил N A (рис. 1.18).
Рисунок 1.18
19
K
M окt M A
dx
t
tcp N A
EJ
d M A
2 1 1
1
2
1 20 1
1
EJ 70 3
2 40 2 0,333
0,5 3 2
2
3
2
2
EJ
2
3
4
EJ
0,
4
2
10 0,167 4 10 0,167 4 10 0,25 3 10 0,25 3
1
70 0,5 10 2 0,333 20 1,5/ 0, 4 37,22 75 32,78 .
3
Следовательно, узел К поворачивается против часовой стрелки на
величину K 32,78 .
2 КОМБИНИРОВАННЫЙ СПОСОБ РАСЧЕТА
2.1 Общие замечания
При расчете статически определимых систем наряду с вышеупомянутыми методами довольно широкое распространение получил и
комбинированный способ расчета. Наиболее целесообразно использовать его для расчета симметричных рам на воздействие несимметричных нагрузок.
Сущность комбинированного способа состоит в следующем. Заданная несимметричная нагрузка раскладывается на симметричную и
кососимметричную составляющие. Далее, в отличие от смешанного
метода, рама рассчитывается раздельно на каждое из этих нагружений. При этом для каждого варианта загружения может использоваться любой из известных методов (метод сил или метод перемещений).
На предварительном этапе производится выбор основных систем
рамы с учетом симметрии заданных систем и с использованием приема группировки неизвестных. Затем анализируется количество симметричных и кососимметричных неизвестных в рамках каждого рассмотренного метода.
20
Рассмотрим вариант выбора основных систем на примере рамы
(рис. 2.1)
Рисунок 2.1
Основные системы, соответствующие методам сил и перемещений, со своими неизвестными изображены на рисунке 2.2.
Рисунок 2.2
Из анализа выбранных основных систем можно сделать вывод о
том, что при расчете рамы на симметричную нагрузку целесообразно
применить метод перемещений с одним лишь симметричным неизвестным Z1 , (при этом остальные, кососимметричные, неизвестные
заведомо равны 0). При расчете на кососимметричную составляющую
внешней нагрузки следует применить метод сил, дающий только одно
кососимметричное неизвестное X 4 (при этом остальные симметричные неизвестные X 1 X 2 X 3 0 ). Ниже приведены примеры расчета
рам с использованием комбинированного способа.
2.2 Примеры решения задач
Пример 1. Для рамы, изображенной на рисунке 2.3, необходимо
построить эпюры М, Q и N от действия внешней нагрузки.
21
Рисунок 2.3
На рисунке 2.4 показаны основные системы при расчете соответственно заданной рамы методом сил и методом перемещений, выбранные с учетом ее симметрии при использовании группировки неизвестных. Анализ выбора основных систем отражен в таблице 2.1.
Рисунок 2.4
Таблица 2.1 - Анализ выбора основных систем
Произведем разложение заданной нагрузки на симметричную и
кососимметричную составляющие (рис. 2.5).
22
Рисунок 2.5
Для расчета заданной рамы применим комбинированный способ.
При этом при расчете на симметричную составляющую нагрузки используем
метод перемещений с одним неизвестным Z1 ( Z 2 Z 3 Z 4 0 ), а на кососимметричную - метод сил так же с одним неизвестным X 1 ( X 2 X 3 0 ).
Расчет на симметричную нагрузку
Строим эпюры M 1 и M P ; из них определяем Z11 и R1P , а из канонического уравнения метода перемещений находим Z1 .
Рисунок 2.6
r11 EJ 1,5 EJ 2 5 EJ ;
R
R1P 2 4,5 9; Z1 1P 1,8 ; М оксим M 1Z1 M PC .
EJ
r11
r11Z1 R1P 0;
«Исправив» M 1 , строим окончательную эпюру моментов от симметричной нагрузки (рис. 2.7)
23
Рисунок 2.7
Расчет на кососимметричную нагрузку
Разбивая основную систему метода сил на отдельные фрагменты
(рис. 2.8), строим эпюры M1 и M P . По этим эпюрам подсчитываем
11 и 1P , и решая каноническое уравнение методом сил, находим X1 .
Рисунок 2.8
Рисунок 2.9
24
11 X 1 1P 0;
M 12 dx 1
2
1
1
2
1
1
2
1
11
1 6 1
4 1 6 1
2 26 2
EJ
2
3 3EJ
2
3 2 EJ
2
3
2 EJ
1 2
26
;
2 4
EJ 3
3
EJ
кос
M M1
1
1 1
6
1P P
dx 6 6
2
;
EJ
2
2 3EJ
EJ
63
X1
0,692.
26
«Исправив» эпюру M 1 строим M ок от кососимметричной нагрузки
(рис. 2.10).
M оккос M 1 X 1 M Pкос .
Рисунок 2.10
Складывая эпюры моментов от симметричной и кососимметричной нагрузок, строим эпюру «Мок» (рис. 2.11).
Рисунок 2.11
25
По эпюре « M ок » строим эпюру «Q», а по эпюре «Q» - эпюру «N»
(рис. 2.12).
Рисунок 2.12
3 ЗАДАНИЕ К РГР
1. Выбрать вариант расчетной схемы рамы по своему порядковому номеру в журнале учета посещаемости студентов.
2. Рассчитать раму с помощью смешанного метода и построить
эпюры внутренних усилий: М, Q, N.
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров, А.В. Сопротивление материалов / А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. – М.: Высшая школа, 1995. –
606 с.
2. Дарков, А.В. Строительная механика / А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. – М.: Высшая школа, 1995. – 560 с.
3. Коробко, В.И. Расчет статически неопределимых систем. Методические указания к выполнению РГР / В.И. Коробко, А.В. Коробко. – Орел: ОрелГТУ, 1998. – 65 с.
4. Строительная механика. Под ред. А.В. Даркова. – М.: Высшая
школа, 1976. – 600 с.
26
ПРИЛОЖЕНИЕ
Варианты заданий
27
28
29
30
31
32
33
