Document 316605

Глава 3. ГРУППА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
3.1 Неквантованное электромагнитное поле.
3.1.1. Трудности группового описания электромагнитного поля
Групповое описание электромагнитного поля проделаем по той же
схеме, как и для гармонического осциллятора. Найдем группу, параметры которой отождествим с динамическими переменными электромагнитного поля, с компонентами электрической и магнитной напряженности.
Затем произведем квантование, выбирая подходящее пространство функций на группе.
Структура группы подсказывается тем, что поперечное электромагнитное поле можно рассматривать как систему гармонических осцилляторов. Поэтому искомую группу W электромагнитного поля, взаимодействующего с электронами, построим как обобщение группы осциллятора. Необходимо построить такую группу типа группы окаймленных
матриц (2.4), в рамках которой учитывается различие продольных, скалярных и поперечных составляющих электромагнитного поля с учетом дополнительных условий и взаимодействия электромагнитного поля с зарядами.
Рассмотрим эти вопросы подробнее.

Введем, кроме координатного трехмерного пространства Е3 ( х ) ,

трехмерное пространство волновых векторов Е3 (k ) , которое будем


называть также импульсным пространством, учитывая связь p  k
импульса и волнового вектора фотона. Определим в импульсном
пространстве неподвижную и подвижную (местную) систему координат и обозначим через   ,   0,1, 2,3 , орты неподвижной системы координат. С целью выделения продольных компонент поля, введем в импульсном пространстве сферическую систему координат. В каждой точке
сферы радиуса k определим местную систему координат, в которой
единичные орты e ,   ,  ,  , направлены вдоль координатных линий
угловых параметров  , 

и вдоль вектора k . Подвижные орты e
по-
лучаются из неподвижных ортов  k , k  1,2,3 , с помощью вращения в импульсном пространстве.
Представим электромагнитное поле в объеме V коэффициентами
Фурье, разлагая компоненты потенциала в ряд Фурье





A  x   V 1 / 2 
A
k
exp
i
k
x,

k
57
  0,1, 2,3 .
(3.1)
Разложим (см. правую часть (3.2)) электромагнитное поле, заданное
в импульсном пространстве в сферической системе координат, на скалярные, продольные и поперечные составляющие.


A( k )    A    e A (k ) ,   0,  ,  ,  ,


e 
где
(3.2)
1
s
 s k .
k s
Используя для описания магнитного поля поперечные компоненты векторного потенциала, т.е. полагая H   ikA , H   ikA , получим уравнения Максвелла для поперечных компонент поля (нерационализованная
система CGSE)
k 2 A   0 E  
4 
j , E    0 A ,    , 
c
и уравнение для продольной компоненты электрического поля
4 
0E  
j ,
c
1 A
E 
 ikA0 ,
c t

где
(3.3)
(3.4)
(3.5)
j  ,    ,  ,   компоненты Фурье плотности тока.
Из этих уравнений видно, что производная по времени от продольной
компоненты выражается через переменные зарядов фермиевского поля,
тогда как производные по времени от поперечных компонент поля выражаются через переменные электромагнитного поля и через компоненты
поперечного тока. Поэтому переменные поперечного поля можно рассматривать как динамические переменные осцилляторов и квантовать такое
поле как систему осцилляторов, даже в том случае, когда учитывается
взаимодействие с электронным полем.
В отличие от уравнений для поперечных компонент уравнение (3.4)
определяют не динамику осцилляторов, а формально являются аналогом
уравнения для “скорости” некоторых “частиц”. Координаты “частиц”
можно выразить через продольную компоненту векторного потенциала.
Каждая “частица” находится под действием силы, являющейся продольной
компонентой плотности тока. Таким образом процедуру квантования
необходимо построить так , чтобы учесть различие между состояниями ,
описывающими продольные и поперечные степени свободы электромагнитного поля. Наша задача состоит в том, чтобы учесть продольное поле
в группе и в функциях на группе.
58
Так как параметрическая группа отождествляется с классической неквантованной системой, то также как в классическом случае, где нет проблем с описанием различия поперечных и продольных компонент, введем
сначала описание поля с помощью четырехмерного потенциала. Параметры группы будем рассматривать как классические динамические переменные.
Квантование выполняется построением унитарного представления
группы. В результате операторные динамические переменные квантованной системы отождествляются с элементами алгебры Ли представления.
Заметим , что оператор энергии электронов записывается с помощью
оператора Дирака


D       iA  m , тогда как оператор энергии
свободного электромагнитного поля обычно выражается через оператор
умножения на абсолютную величину импульса p, являющимся квадратным корнем из оператора Лапласа в импульсном пространстве. Чтобы решаемая задача была более перспективной, дополнительно потребуем, чтобы операторы D и p были насколько это возможно близкими по своей
структуре. С этой целью мы произведем извлечение квадратного корня из
оператора Лапласа  в трехмерном пространстве тем же способом, который применяется при выводе уравнения Дирака для электрона, полагая
 
3
k
  k  , что приведет к более совершенному описанию элек-
k 1
тромагнитного поля и частиц.
3.1.2 Матричные переменные электромагнитного поля
Учтем, что в квантовой электродинамике взаимодействие поля и частиц задается с помощью блочно - диагональной матрицы (см. (6.17))
Cint    A  .

Так как мы стремимся иметь, насколько это возможно, единое описание
электромагнитного и электронного поля, построим матрицы


A x     A  x  ,
где ввели базисные орты неподвижной системы координат в
матриц
  k
 k  
 0
 1 0 
0 
 .
,  0  
0
1
k 


59
(3.6)
виде
В стандартном представлении имеем
 0
  1,    k


 k 
k
0
0 
, k = 1,2,3,
где  k – матрицы Паули.
Будем рассматривать величины (3.6), нумеруемые точками трехмерного пространства, как аналоги координат
q1 ,..., qn системы гармонических осцилляторов, а производные по времени P   A
как аналог им-
 x0
пульсов.
Итак, ввели матричный базис для определенных выше ортов   в
импульсном пространстве. Руководствуясь аналогией с группой свободного, поперечного поля, построим пространство
векторVA

столбцов, компонентами которых являются матрицы A x  , и введем для
описания состояний электромагнитного поля матричную динамическую
переменную (аналог комплексной амплитуды ωq  ip гармонического
осциллятора ).
Определим, как выше было указано, оператор

 k k   kx , x ik , j
(3.7)
действующий естественным образом в пространстве VA векторов - столб
цов, где  kx , x – матрица оператора дифференцирования по переменной
xk . Предполагается, что этот оператор аппроксимирован каким либо способом конечномерной матрицей. Например, в импульсном представлении
оператор  k аппроксимируется диагональной конечномерной матрицей.
С помощью оператора (3.7) составим матрицу 8-ого порядка, которую
будем называть матричной переменной
Матрицы

f (x )

f ( x )  ( 0   k k )(  A  ) .
будем рассматривать как аналог величин вида
q  ip гармонического осциллятора, причем , эрмитов оператор i k k
является аналогом частоты  осциллятора.
Для того, чтобы упростить учет связей между параметрами электромагнитного поля, введем замену базисных матриц 1 , 0 на матрицы
60
0 
1
2
1   
0
,  0 
1
2
1   .
(3.8)
0


Представим электромагнитное поле коэффициентами Фурье A  k



A( k )    A  k .

Для преобразования матрицы (3.7)
к импульсному
заменим дифференциальный оператор i
s
представлению
оператором умножения на
диагональную матрицу с компонентами k s , оператор i   i s  s
за-
s
меним матрицей с компонентами ke , где e 

1
sks .

k s
В результате матрица f (x ) преобразуется к матрице

f (k )  P e  ike ( A e ) 
  0 L1   0 L2   0 e E 1   0 e E  2   e E  ik  e e A , (3.9)


где набор индексов ijk пробегает значения 123, 312, 231.
L1   P 0  ikA выражение Лоренца,
L2  P 0  ikA некоторое “второе”, дополнительное к L1 , выражение
Лоренца,
E   P ,    ,   компоненты поперечного электрического поля,
E 1  P   ikA0 , E  2  P   ikA0 – компоненты продольного и вто1 A
рого (дополнительного к нему) электрического поля , P  
,
c t
H i  A j ,k  Ak , j – компоненты магнитного поля, где набор ijk получа
ется циклической перестановкой индексов 123.

Разложение (3.9) матричной переменной f (k ) , в соответствии с общей схемой, определяет физический смысл параметров группы W. Переменная L1 , пропорциональная переменной  0 , при построении динамики
обращается в нуль с помощью дополнительного условия
 0  0 , задан-
ного в начальный момент времени (см. (3.22), (3.28)).
В дальнейшем с помощью когерентных состояний, построенных на
группе W, получим описание состояний квантованного электромагнитно61
го поля, а, привлекая когерентные состояния для заряженных частиц, построим динамику взаимодействующих частиц и электромагнитного поля.
3.1.3. Определение группы электромагнитного поля
Введем безразмерные матричные переменные
z  4 1/ 2 f  (  e  ie   e ) / 2 ,
где
  4 

1 / 2

P ,

1/ 2
 k 


 4c 

A ,
(3.10)
  0,,,  ,


P , A  коэффициенты разложения полей P ( x ), A  x 
  kc ,
в ряд Фурье
и построим группу W , элементами которой являются матрицы
где
1 z
b 


w , z , b    0   e z  ,
0 0
1 

b  ih  z  e z / 2 .
(3.11)
Здесь h – эрмитова матрица размерности 88, υ – матричный оператор,
коммутирующий с элементом e  и действующий на вектор - столбец z.
Величина z  получена операцией инволюции f  f  , которая на множестве матричных переменных f  P e  pe ( A e ) выполняется по
правилам
1)
a
1
f1  a2 f 2


 a1 f1  a2 f 2 ,
где a1 , a 2 числа комплексно-сопряженные к числам a1 , a 2 .
2)

e0  e0 e  e , e e


 e e ,
 ,   ,  ,  .
Закон умножения элементов группы W имеет вид
(3.12)
ww0  w(0 , 01 z  z 0 , b  b0  z  0 e z 0 ) .
Из разложения (3.9) видно, что параметрами группы W для заданного

значения импульса p являются поперечные компоненты электрического и
магнитного поля, E  , H   ikA ,    ,  , и продольные компоненты
электрического поля E  и векторного потенциала A  .
62
3.1.4. Параметры группы
Выделим в группе W поперечную подгруппу W , в которой компоненты   , соответствующие   0,  , равны нулю, а ненулевыми являются
компоненты соответствующие    ,  и продольную подгруппу W|| , в
которой не равны нулю компоненты  , ,   0,  , матрицу υ относим
к поперечной подгруппе.
В поперечной подгруппе введем следующие комплексные параметры
группы
 
1 
1 
(  i  ),   
(  i  ),
2
2
  , 
.
(3.13)
В продольной подгруппе введем аналогичные параметры
1
1
( 0  i  ),   
(   i 0 ) ,
2
2
1
1
0 
( 0  i  ),   
(   i 0 ) .
2
2
0 
Матричная переменная z
(3.14)
выражается через переменные   ,  
для поперечного поля по формулам
z           , z           ,    ,  ,


  i1 e ,   ie1 , 1 
где
(3.15)
1 e
,
2
для продольного поля по формулам
z||          ,   0,  ,
(3.16)

где  0 , 0 даны формулами (3.8) ,
e0   0 ,  0 
1  e0
1  e0
1  e0
,    e
,    e
.
2
2
2
Итак, для электромагнитного поля аналогом безразмерных переменных
осциллятора  
p

,  q


являются
  ,   . Аналогом комплексной амплитуды z 
является величина
63
переменные
   i
осциллятора
2
z
  e  ie   e
2
.
Аналогом группы окаймленных матриц (2.4) будет группа матриц (3.11).
3.2. Динамика неквантованного электромагнитного поля.
Уравнения Максвелла.
3.2.1. Источники поля
Мы показали на примере гармонического осциллятора, что эволюция
квантованного и неквантованного осциллятора может быть получена вычислением произведения элементов группы. Покажем, что динамику неквантованного электромагнитного поля можно получить групповым способом аналогично тому, как это было проделано для осциллятора.
По аналогии с формулой (2.9) , определяющей динамику осциллятора,
эволюцию электромагнитного поля представим в виде последовательности малых преобразований
wt n   w0  ,1  , 2 ...  ,n .
(3.17)
В пределе необходимо вычислить элемент группы , параметры которого
удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (см. ниже ).
Используем группу, элементы которой заданы формулой (3.11).
Для того, чтобы получить описание динамики электромагнитного поля
под действием внешних сил и внутренних, упругих сил, введем по аналогии с формулами (2.6) , (2.7) множество
матриц
 0  i s1

s   0 e

0
0


 ie  s 1  ,

0

(3.18)
определяющих источники поля, которые уточним ниже из сравнения с
уравнениями Максвелла и каждому моменту времени t s поставим в соответствие матрицы
 s
 1  s1

0




 e  s 1  ,


1


где   exp ie ,     ,   t /  ,  s 1   s1e ,
(3.19)
(3.20)
   ,  для поперечного поля,   0,  для продольного поля. Будем рас-
сматривать  s1 как величины пропорциональные соответствующим ком-
64
понентам плотности тока или заряда. Коэффициент пропорциональности
найдем из сравнения с уравнениями Максвелла. Сравнивая
(3.20) и
(3.10), заметим, что структура источников аналогична импульсной компоненте.
3.2.2.1. Уравнения электромагнитного поля
Запишем (3.17) в виде рекуррентного уравнения
ws  w(t s )  ws 1  , s ,
где
  , s , s , даны формулами
(3.21)
(3.19), (3.18).
Пусть состояние неквантованного (классического) электромагнитного
поля в некоторый
момент времени
t s 1 , дается элементом группы
(3.11), а именно матрицей ws 1 , параметры которой в момент времени
t  ts 1 удовлетворяют условию Лоренца
 0 t   0 .
(3.22)
Покажем, что преобразование сдвига (3.21) дает решение уравнений
Максвелла для малых промежутков времени, а последовательность преобразований (3.17) дает решение этих уравнений для конечных промежутков времени.
Вычислим матрицу
ws  ws 1 s
 1 z s
bs 

   s  s e z s  ,


1


z s e z s
где bs  ihs 
.
2
(3.23)
В соответствии с законом умножения (3.12) указанный сдвиг
шется в параметрах группы следующим образом
запи-
z s  1 z s 1   s 1 ,
bs  bs 1  z s1e  s 1 .
(3.24)
Рассмотрим это преобразование для поперечного и продольного поля.
3.2.2.2. Уравнения поперечного поля.
В случае поперечного поля из (3.12) для матрицы z s , фигурирующей
в (3.21), получим рекуррентное уравнение
65
zs 
 s e  ie  s e
 z s 1  i e z s 1   s 1 ,
2
3.25)
откуда
 s   s1   s1 ,
 s   s1   s1   s1 2 .
( s   s1 ) /  ,
Вычисляя пределы отношений
уравнения
 
 
t
t
   

  ,
 
(3.26)
когда   0 , получим
2 
 ,

i
 i     ,
t

(3.27)
где    ,  .
Уравнения (3.27) совпадают с уравнениями Максвелла для поперечного поля в сферической, подвижной, местной системе координат, если
положить
    j
2

.
(3.28)
Решение уравнений (3.27) для поперечного поля имеет вид,


  t    1  0  1 t  ,  1 t  
где  t   exp i t  t 0 ,   kc .
i t

 dt  t  t  ,
 t0
(3.29)
3.2.2.3. Уравнения продольного поля.
Для продольного поля, дополняя систему уравнений (3.24) уравнением непрерывности для плотности заряда, получим замкнутую систему
уравнений относительно переменных  0 ,   ,  0 ,
 0


t
 i    0 ,
1
t
 i

0
1
  ,

Из решения этих уравнений
66
 0
t
 i  .
(3.30)
 t   0 ,  t  

0
i
0

, 
0
t
t   i  dt   t  ,
(3.31)
t0
найдем, что дополнительное условие (3.22), т. е.  0 t   0 , выполняется
в каждый момент времени, если оно выполнялось в начальный момент
времени. Второе уравнение (3.30) тогда совпадает с уравнением (3.5).
Заметим, что уравнения (3.30) и (3.5) в отличие от уравнений (3.4) и
(3.27), не содержат упругой силы, что является следствием дополнительного условия Лоренца (3.22) или, с другой точки зрения, следствием уравнения непрерывности (3.30) для источников поля.
Рассмотрим теперь систему уравнений для параметров  0 ,  
(см. (3.14))
Из рекуррентных уравнений (3.24)
уравнения
 0
t
1
 i   ,


0
 
t
получим дифференциальные
1
 i 0    .
(3.32)

Учитывая дополнительное условие (3.22) и выражая параметр Лоренца
 0 t  через координаты и импульсы,  0 
1
( 0  i  ) , найдем, что
2
 0  i 2  .
(3.33)
Используя дополнительное условие (3.22) еще раз, получим
 
1
(   i 0 )     i 2 0 .
2
(3.34)
Принимая во внимание (3.31), (3.33), (3.34), первое из уравнений (3.32)
запишем следующим образом
 0
 
1
i 2
 i    0 
t
t

 i    i 2 0  i   2i   2i 0 ,


 
  2   i 0 .
t
откуда
Таким образом,


1 
1   
0

 i 
.
 t 
2 
67
(3.35)
1  
В частности, для импульсной переменной получим   
.
 t

Итак, используя умножение в группе, по формулам (3.29), (3.31) получили явное выражение для матричных zt , bt  и числовых параметров   t ,   t  в произвольный момент времени.
3.3. Квантование электромагнитного поля.
Мы показали выше, что динамика неквантованного поперечного
поля строится также как динамика осцилляторов и для построения динамики неквантованного продольного поля необходимо в начальный момент времени ввести связь в виде условия Лоренца  0  0 и учесть
закон сохранения заряда. Это приводит к выполнению второго дополнительного условия на параметры группы, отождествляемые с динамическими переменными электромагнитного поля. Тогда при учете этих
условий получаются правильные уравнения Максвелла, в частности различие поперечного и продольного поля . В общем случае динамика неквантованного поля получается с помощью групповых сдвигов (см. (3.17)
).
Чтобы построить теорию квантованного электромагнитного поля
необходимо, ввести подходящие функции на группе, (см. раздел 2.2.1) , с
помощью которых будем получать состояния поля. Затем, выполняя групповые сдвиги, аналогично тому как было сделано в случае гармонических осцилляторов (см. (2.53)), построим динамику квантованного электромагнитного поля, используя в данной главе неквантованные источники поля, а в пятой и последующих главах заменим классические токи
токами перехода. Как известно, в согласии с современным подходом [26],
квантованное поперечное поле можно отождествить с системой квантованных осцилляторов, что можно получить с помощью поперечной подгруппы. Квантование продольного поля и суммарного поля, а также
динамику поля построим на основе группы W , когда интегрирование
производится по группе, в которой параметр Лоренца  0 не равен нулю, тогда как классические источники и квантованные токи перехода удовлетворяют уравнению непрерывности. Если источники электромагнитного поля заданы, то для них выполняется закон сохранения заряда и можно выполнить интегрирование в функциональном интеграле также как
для простой модели, используя формулу воспроизводимости.
Покажем, что динамическое описание как классического, неквантованного, так и квантованного электромагнитного поля можно получить груп68
повым способом. Мы покажем , что групповой способ описания основывается на структуре элементов группы W , в частности динамика , изменение состояния со временем, являются следствием закона умножения
в группе.
Итак, квантование есть переход от группы к функциям на группе, т. е.
к представлению группы. Пространство состояний будет вложено в пространство представления группы. Будем использовать индуцированное
представление.
3.3.1. Индуцированные представления [27,28]
Пусть дана группа W и разложение элементов группы w  kx , где
k – элементы подгруппы , x – элементы смежного класса.
Введем функции  w такие, что  k 0 w   k 0  w. Пусть пространство
представления образовано функциями
 w   k  x .
(3.36)
Представление группы в пространстве введенных функций  w дается
формулой
T w0  w   ww0  .
В пространстве функций  b на однородном пространстве B=W/K
T w0  w   b, w0  b  w0  , где
представление дается формулой
b  b  w0 – сдвиг в однородном пространстве получается из разложения.
bw0  k b ,  b, w0    k  .
3.3.2. Индуцированные представления T w  группы W
электромагнитного поля
Для построения состояний и динамики квантованного электромагнитного поля введем разложение элементов группы и функций на
группе W.
3.3.2.1. Разложение элементов группы
Будем исходить из группы W , элементы которой даны выше формулой (3.11).
В соответствии с общей схемой (см. 3.3.1) представление группы W построим, используя разложение элементов группы виде произведения
w  kx элементов k , составляющих подгруппу и элементов смежного
класса,
69
 1 0 ih 


k  0  0 ,
0 0 1 


1 z

x  0 1
0 0

z  e z / 2 

e z  .

1

(3.36a)
3.3.2.2. Пространство функций на группе
Будем считать, что пространство представления группы и, следовательно, пространство состояний, в соответствие с общей формулой
(3.36), образовано функциями
(3.37)
 w   k  x,
где
(3.38)
 k   exp i  ,   iSpb  Sph ,
Spb – след матрицы b,   1 / 8 .
Представление группы в пространстве функций  w задается формулой
(3.39)
T w0  w   ww0  ,
в пространстве функций  x  , формулой
T w0  x   exp  i   0  q  x  w0 ,
(3.40)
где iq  билинейная форма от параметров элементов w, w0 .
Так как будем рассматривать в основном функции вида  ww01 ,
т.е. применять сдвиг с помощью элемента обратного по отношению к
w0 , то в дальнейшем удобнее задавать оператор представления формулой
T w01  x   exp  i   0  q  x  w01  ,


где q  iSp z  e z 0 выражено через параметры матриц z, z 0 , например, через параметры   ,  ,   1 / 8 .
3.3.3. Когерентные состояния
В общем случае когерентными состояниями на группе электромагнитного поля будем называть функции  ww01  , полученные групповым
сдвигом, введенной выше производящей функции
(3.41)
 w  exp  i 
когерентного состояния. Числовые или матричные параметры элементов w, w0 будем называть, соответственно, числовыми или матричными
параметрами когерентного состояния.
70
Принимая во внимание формулы (3.38) , определяющие фазовый параметр θ , запишем
 w   ww01   exp i   exp Spb ,
(3.42)
Выразим параметры элемента w  через параметры элементов
w, w0
для поперечного и продольного поля. Перемножая элементы w, w01 , получим
 1 z
b 


w  ww01   0    e z   ,
0 0
1 

(3.43)
b  b  b0  z  e z0 ,
(3.44)
где
3.3.3.1. Когерентные состояния поперечного поля

 ,k

 ,k
Представим эти состояния в виде функций от параметров 
, ,
являющихся коэффициентами Фурье компонент векторного потенциала и импульса электромагнитного поля, откуда получим когерентные
состояния для поперечного поля
 w   ww01   exp i  ,
(3.45)
где i   Spb    i  i 0  Spz  e z 0  
i


   0,   0, ,
2  ,k
    ,     ,    ,  ,   1 / 8 .
3.3.3.2 Когерентные состояния продольного поля
В случае продольного поля элементы группы будем задавать матричным параметром
(3.46)
z   0  0   0 0         
или числовыми параметрами  0 , 0 ,   ,  , а
также
параметрами
 0 ,   ,  , 0 .
По формуле (3.43) получим когерентное состояние для продольного
поля
 w   ww01   exp i  ,
(3.47)
где
   iSpb     0  q ,
71
q  iSpz  e z 0 
i
2


k
 0   0 0     00     00
0
(3.48)
Введем в (3.48) замену параметров, полагая в соответствии с (3.14)
      i 2 0 ,  0   0  i 2  .
Отсюда, используя параметры  ,  , получим
q
1
 
 
0 0
0 0
   0    0    0    0 .
2 k
(3.49)
Два первых слагаемых в формуле (3.49) назовем основными компонентами, образующими кинетическую составляющую действия продольного поля. Два других слагаемых назовем дополнительными компонентами.
Итак,
 w   ww01   exp i   exp  i(   0 )  iq .
В общем случае когерентное состояние является произведением
 ww0   1 ww0  2 ww0 ,
где 1 ww0   когерентное состояние продольного поля, параметры поперечного поля равны нулю,  2 ww0   когерентное состояние поперечного
поля, параметры продольного поля равны нулю
3.3.3.3 Свойство воспроизводимости
Покажем, что для когерентных состояний
формулу воспроизводимости
(3.45), (3.47)
I   dw w2 w 1  ww11  w1 w01    w2 w01 .
имеем
(3.50)
Действительно, подставляя в (3.50) когерентные состояния (3.45),
(3.47) и применяя прямое и обратное преобразование Фурье, получим
формулу (3.50).
Итак, свойство воспроизводимости записывается в виде формулы
(3.50) и проверяется непосредственным вычислением преобразования
Фурье с использованием параметров
  ,  для поперечного поля и
параметров  0 ,   ,   ,  0 для продольного поля.
3.4. Функциональный интеграл. Динамика квантованного поля
3.4.1. Общий вид функционального интеграла
В соответствии с общим правилом, что квантование есть переход
от группы к функциям на группе, пусть состояние квантованного элек72
тромагнитного поля задано некоторой функцией  w на группе W,
например, как суперпозиция базисных функций, полученных действием на вакуум. Обобщая динамику квантованного осциллятора (см. Гл.
2) мы задаем динамику квантованного поля с помощью произведения
малых сдвигов


(3.51)
 wn,1n ......,11w01 ,
где каждому моменту времени ts мы поставим в соответствие полученные ранее из сравнения с уравнениями Максвелла; элементы группы


  ,s  exp i s s и элементы алгебры Ли s , определяющие источники
электромагнитного поля (см. (3.18)). Произведение элементов   , s
определяет эволюцию поля, как решение уравнений Максвелла.
Покажем, что используя свойство воспроизводимости, мы можем
представить функцию (3.51) в виде многократного интеграла, в пределе n   , функционального интеграла




n
n1
K   Dw  ws  ,s ws , Dw   d ws ,
 wn,1n......,11   Dw  ws,1s ws11  w0   K w0  ,
где
n
s 1
1
1
1
s 1
s 1
(3.52)
t  n ,
ws  элементы группы электромагнитного поля W.
Для доказательства формулы (3.52) , учитывая, что   , s есть элементы группы, сделаем замену переменных интегрирования. Полагая
~  w  1 , w
~  w  1  1 , ……, w
~  w  1  1  1 , …… (3.53)
w
1
1  ,1
2
2  , 2  ,1
s
s  ,s
 , 2  ,1
и используя формулу воспроизводимости (3.50), получим интеграл
(3.52).
С помощью формулы (3.52) мы вводим под знаком функционального интеграла семейство функций на группе
  

 

 ws   ws ws1   wss1ws11  exp is  ,
(3.54)
где ws , ws 1 ,   ,s  элементы группы,   , s  элемент группы как угодно
близкий к единице, выраженный через внешние переменные.
Функции (3.54) являются когерентными состояниями, полученными
внешним сдвигом матричного параметра (аргумента) когерентного состояния.
Кроме внутренних переменных, ws , ws 1 , по которым произ-
водится интегрирование, когерентные состояния и функциональный ин-
73
теграл содержат в качестве параметров внешние переменные, являющиеся источниками поля.
3.4.2 Явный вид функций для функционального интеграла
3.4.2.1 Матричные параметры
Выполним далее явное вычисление функций (3.54), а именно, выразим эти функции

через параметры,
элемент ws  ws1s
лое время.

элементов ws , ws1, s , w, ws , где
является решением уравнений Максвелла за ма-
Для этого сначала выразим матричные параметры bs через
матричные параметры вида z s ,  s исходных групповых
элементов
ws , ws 1 и элемента  s , как угодно близкого к единице.
Перемножая матричные аргументы, указанных функций

ws  ws ws1  ws  ,1s ws11 ,
получим
bs  bs  bs1  zse zs1  i  zs zs1   s1e zs1   zse s1 .
(3.55)
3.4.2.2 Числовые параметры для поперечного и продольного поля
Выразим далее числовые величины  s  Spbs ,
ные параметры. Вычисляя с помощью (3.55)
получим в общем случае
величины
через матрич-
i s  Spbs
 s   s   s 1   s,кин   s,пот   s,вз ,
(3.56)
s,кин  iSpzse zs 1 , s,пот   Spzs zs1 ,
(3.57)
где


s,вз  i Sp zs  zs1 e s1 .
В случае поперечного поля выразим
(3.58)
величины  s через параметры
 s ,  s .
Имеем
z   (  e  ie   e ) / 2 ,

     e ,

74
(3.59)
(3.60)
откуда по формулам (3.61), (3.62) получим кинетическое и потенциальное слагаемые и слагаемое взаимодействия для поперечного поля
 s,кин  
1


  s  s 1,  s  s 1, ,
2 ,p

 s,пот    ( s  s 1,  s  s 1, ) ,
2  ,k
1


  ( s   s 1 ) s 1, .
2 k ,
 s,вз  
(3.61)
(3.62)
В случае продольного поля числовая переменная  s  iSpbs
выражается через матричные параметры по тем же формулам (3.56),
(3.57), (3.58), что и для поперечного поля. В качестве числовых параметров продольного поля выберем переменные  s ,  s или  s ,  s ( в
случае поперечного поля мы выбрали параметры  s ,  s ).
Это удобно, так как равенство  0  0 есть дополнительное условие
на переменные поля
Согласно формуле ( 3.16 ) имеем
zs  0  s0  0 s0   s   s ,
     e .
(3.63)

Вычислим в случае продольного поля слагаемые разложения
 s   s   s 1   s,кин   s,пот   s,вз .
(3.64)
Вычисляя по общим формулам (3.57), (3.58) через продольные переменные (3.14) кинетические и потенциальные составляющие и слагаемые взаимодействия для продольного поля получим


i s,кин  iqs  Sp z s e z s 1 
 i 
    s  s1   s  s1   s  s1 ,
2 k s s1
0

0


0

0
(3.65)
 s,пот  Spz s z s1 
 
 
0 0
0 0
 
  ( s  s   s  s 1   s  s   s  s 1 ) ,
(3.66)
k
 s,вз  iSp( z s  z s1 ) s1 


2
0
0
0



 (( s   s 1 ) s 1  ( s   s 1 ) s 1 ) .
k
75
(3.67)
Сделаем замену переменных в формулах (3.65), (3.66), полагая
      i 2 0 ,  0   0  i 2  ,
получим
1
 
 
0 0
0 0
  s  s 1   s  s 1   s  s 1   s  s 1 ,
2 k
i s,кин  iqs 
(3.68)
(3.69)
 s,пот  Spz s z s1     ( s  s1   s  s01   s0 s01   s0 s01 ) . (3.70)
k
Здесь первые два слагаемых есть основные компоненты кинетической
и потенциальной части элементарного (за малое время ) действия, а
следующие два слагаемых под знаком суммы являются вспомогательными
дополнительными компонентами.
3.4.3 Функциональный интеграл в экспоненциальной форме
Используя в функциональном интеграле (3.52 ) в качестве функции
 
функцию
 ws от групповых параметров для поперечного поля
 w  exp  i , построим функциональный интеграл, вычисляя подинтегральное выражение (3.52) как произведение экспонент.
В результате получим интеграл
K   Dw exp iS /  ,
(3.71)
где величина S является функцией, зависящей от переменных интегрирования, от начальных условий и от параметров внешних сил
3.4.3.1 Действие и функциональный интеграл
продольного поля
Используя параметры
для поперечного
и
 s ,  s , учитывая, что
n
S    s  S кин  S пот  S вз ,
(3.72)
s 1
по общей формуле (3.52) найдем функциональный интеграл в непрерывной форме

n
n
K( t )   Dw ( ws ,s ws11 )   Dwexp  is
s 1
s 1

iS

Dwe
.
(3.73)
С помощью формул (3.61), (3.62) в дискретной форме получим для
поперечного поля слагаемые действия (3.72)
 n
S кин     s ( s1   s1 )  nn1  1 0 ,

2 s 1k
76
(3.74)
S пот 
 n


   ( s  s 1,   s  s 1, ) ,
2 s 1k
S вз 
 n

   s (  ,s    ,s 1 ) .
(3.75)
2 s 1k
Используя ( 3.67 ), ( 3.69), (3.70), получим функциональный интеграл
(3.73 ), в котором действие представлено в гамильтоновой форме через
координаты и импульсы.
Для поперечного поля

1
1
4  
 
S
         
  .
 dt    
4
ct 2
c
k  


Выражая (3.76) через размерные величины по формулам (3.10),
чим
1
2
P
 k


, 
 
 A , 
4kc
 4c 
E
 P 0  ikA

0
 
, 
.
8kc
8kc

 0,  ,
(3.76)
полу-
(3.77)
(3.78)
Для поперечного поля

1
1
4  
 A
S
 E  E   k 2 A  A 
A j .
 dt    E
4
ct 2
c
k  


(3.79)
Для продольного поля
1
A
1   4  

0
0 0

S
dt 
E


ikA

E
E

A
j

A
j .






4
c

t
2
c
k


(3.80)
Здесь черта над символом обозначает комплексное сопряжение.
Выражение для S совпадает с действием для классического электромагнитного поля, что дает две формы функционального интеграла
(3.52) и (3.73).
77