 

4 x 2  15 x
Построить график функции y 
с использованием тео5 x  4 
рии пределов, первой и второй производной
1. Естественная область определения есть вся числовая ось,
кроме точки x = 4, т.е. x   , 4   4, .
Чётность – нечётность.
4 x 2  15 x  4 x 2  15x
.
y (  x) 

5 x  4
5 x  4
y  x   y  x  
  функция не является чётной и не являетy  x    y  x 
ся нечётной, т.е. это функция общего вида.
Так как функция дробно-рациональная, то она не является
периодической.
2. Граничных точек функция не имеет. Функция не определена
при x  4 , т.е. x  4 – точка разрыва. Рассмотрим поведение функции вблизи этой точки:
4 x 2  15 x
1
lim

  (знаменатель стремится к
5 x  4 
x  4  0 5 x  4 
4 x 2  15 x
нулю, оставаясь отрицательным, так как lim 5x  4  0 ,
x  4 и

x  4  0

lim 4 x 2  15x  4  0 .
x  4  0
2
4 x  15 x
  (знаменатель стремится к нулю, оставаx  4  0 5 x  4 
ясь положительным, так как lim 5x  4  0 , x  4 x  4 и
lim


x  4  0
lim 4 x  15x  4  0 .
x  4  0
2
Из приведённого мы можем заключить, что прямая x  4
вертикальная асимптота.
Функция непрерывна во всех точках, кроме тех, для которых
знаменатель равен нулю, т.е. кроме точки x = 4. Таким образом
 ,4 и  4, - промежутки непрерывности.
3. Точки пересечения с осями координат:
4  0 2  15  0
 0 . Имеем точку 0,0 .
Ось Oy  x  0  y 
50  4 
15 
 
4
x
x


0
4 x 2  15 x

0 

Ось Ox  y  0 
4
5 x  4 
5( x  4   0

15 
15 
 
 
15
 x x    0  x x    0
 
 
 x1  0, x2   .
Имеем
4
4
4
 x  4
x  4  0


 15 
точки 0,0 ,   ,0  .
 4 
Нули функции – это решение уравнения y = 0. Мы их уже по15
лучили: x1  0, x2   .
4
Ищем промежутки знакопостоянства функции:
 4 x 2  15x  5 x  4  0
4 x 2  15x
y0
0

5 x  4


5
x

4

0



15 
15 
 
 
4 x x    5 x  4   0
 x  x   x  4   0
 
 

4
4
x  4  0
 x  4


 15 
 x x  x  4  0 .
4

Решаем это неравенство методом интервалов.
+
_
4 
+
15
4
_
0
x
15 

Имеем y  0 при x    4,   0,,
4

 15 
y  0 при x   ,4    ,0  .
 4 
4. Первая производная. Находим её:


 4 x 2  15x  1  4 x 2  15x 
  

y  
 5  x4  


5
x

4





1 4 x 2  15x  x  4  4 x 2  15x  x  4
 

5
x  42
1 8 x 2  15  x  4  4 x 2  15x
 

5
x  42








1 8 x 2  15x  32 x  60  4 x 2  15x 1 4 x 2  32 x  60
 
 

5
5
x  42
x  42
4 x 2  8 x  15 4  x  3 x  5
.
 
 
5  x  42
5
x  42
Найдём нули первой производной, т.е. найдём решения уравнения y  0 .
x  3x  5  0 
4  x  3 x  5
y  0  

0

5
x  42
x  42
 x  3 x  5  0
 x  3 x  5  0
 x  3 x  5  0






2
x

4

0
x


4


 x  4   0
 x  3  0
 x  3

.
  x  5  0  
x


5

 x  4 

Точки x  3 и x  5 являются критическими точками.
Точками разрыва первой производной функции являются те точки, в которых знаменатель производной равен нулю:
x  42  0  x  4  0  x  4 .
Рассмотрим поведение первой производной слева и справа от
точки разрыва:
lim y  lim
4 x  3 x  5
1
  .
5 x  42
4 x  3 x  5
(Выражение для производной мы преобразуем, деля числитель и
знаменатель производной на числитель. Числитель знаменателя
есть функция бесконечно малая при x  4  0 , сохраняя положительный знак, а знаменатель знаменателя  1. Таким образом, всё выражение под знаком предела есть отношение единицы
к бесконечно малой функции, сохраняющей отрицательный знак,
которое, как известно, есть величина бесконечно большая со знаком минус).
Аналогично рассуждая, мы получим, что
4 x  3 x  5
1
lim y  lim

lim
  .
x  4  0
x  4  0
x  4  0
5 x  4 2
5 x  4 2
4 x  3 x  5
Находим промежутки постоянства знака первой производной:
x  3x  5 
4  x  3 x  5
y  0  

0

5
x  42
x  42
x  4  0
x  4  0
5 x  4 2
 lim
x  4  0
2
2

 x  3 x  5 x  4  0  x  3 x  5 x  4  0

.

2

 x  4
 x  4  0
Решаем это неравенство методом интервалов:
+
+
-5
-
-4
-
-3
x
Имеем y  0 при x   ,5   3, ,
y  0 при x   5,4   4,3.
5. Найдём невертикальную касательную y  k x  b при x   .
4 x 2  15x
f ( x)
4 x 2  15x
5 x  4
k  lim
 lim
 lim

x   x
x  
x   5 x x  4 
x









4 x 2  15x Л
4 x 2  15x
8 x  15 Л
 lim
 lim
 lim

 x   10 x  20
x   5 x 2  20 x
x  
2
5 x  20 x
Л

8 x  5
8 8 4
 lim
 lim
  .

x  
x   10 10
5
10x  20
 4 x 2  15x 4 
b  lim  f ( x)  k x   lim 
 x  
x  
x   5 x  4
5 

 1
 4 x 2  15x  4 x 2  16 x 
1  4 x 2  15x

 lim 
 4 x   lim 

x   5
x


x4
 x4
 5



 1  1   1   1
1
 x  1
 x Л
 lim 
 lim
  lim
5 x   x  4  x    x  4 5 x   1
5
5
Аналогично находим невертикальную касательную y  k x  b
при x   :
4 x 2  15x
f ( x)
4 x 2  15x
5 x  4
k  lim
 lim
 lim

x   x
x  
x   5 x x  4 
x

4 x 2  15x Л
4 x 2  15x
8 x  15 Л
 lim
 lim
 lim

 x   10 x  20
x   5 x 2  20 x
x  
2
5 x  20 x
Л

8 x  5
8 8 4
 lim
 lim
  .

x  
x   10 10
5
10x  20
 4 x 2  15x 4 
b  lim  f ( x)  k x   lim 
 x  
x  
x   5 x  4
5 

 1
 4 x 2  15x  4 x 2  16 x 
1  4 x 2  15x

 lim 
 4 x   lim 

x   5
x  
x

4
5
x

4





 1  1   1   1 .
1
 x  1
 x Л
 lim 
 lim
  lim
5 x   x  4  x    x  4 5 x   1
5
5
Таким образом, невертикальные касательные при x   и
x   совпадают и мы имеем одну вертикальную касательную
y
4
1
x .
5
5
6. Найдём вторую производную:


 4  x  3 x  5   4 x 2  8 x  15 
 
   2
y   y   
2


x  4   5 x  8x  16 
5

4  x 2  8 x  15 
 
  2
5  x  8 x  16 


4 x 2  8 x  15 x 2  8 x  16  x 2  8 x  15 x 2  8 x  16
 

2
2
5
x  8 x  16



4 2 x  8x  8 x  16  x
 
2
5
 
2
x  4 



 8 x  15 2 x  8
2 2




4 2 x  8 x 2  8 x  16  x 2  8 x  15 4 2 x  4
8
.
 



4
4
3
5
5
 x  4
x  4 5x  4
Находим нули второй производной, т.е. решаем уравнение
y  0 .
1  0
8
1
0
0
 .
3
 x  43
5 х  4 3


x

4

0

Эта система решений не имеет, так как содержит невозможное
равенство 1  0 . Из этого следует, что график функции не имеет
точек перегиба.
Так как вторая производная есть функция дробно-рацинальная,
то точки разрыва второй производной ищем из условия равенства
нулю знаменателя:
x  43  0  x  4  0  x  4 .
Таким образом, x  4 - точка разрыва второй производной.
Поведение второй производной вблизи точки разрыва:
8
8
1
lim

,
lim
  .
x  4  0 5 x  4 3
5 x  4  0  x  43
Так как знаменатель выражения, стоящего под знаком предела,
является функцией бесконечно малой ( lim x  4  0 ), оставаx  4  0
ясь меньше нуля (т.е. отрицательной), то предел равен бесконечности со знаком минус.
8
8
1
lim

lim
  .
x  4  0 5 x  4 3
5 x  4  0  x  43
Так как знаменатель выражения, стоящего под знаком предела,
является функцией бесконечно малой  lim x  4  0  , остава x 4  0

ясь больше нуля (т.е. положительной), то предел равен бесконечности со знаком плюс.
Определяем промежутки знакопостоянства второй производной:
 x  4 3  0
8
1
y  0 
0
0
  x  4 3  0 .
3
3
x  4
5 x  4 
 x  4   0
Решаем это неравенство методом интервалов:
+
_
-4
x
Таким образом y  0 при x   4, ,
y  0 при x   ,4 .
7. Составляем таблицу, в которую вносим все граничные точки,
все критические точки, точки разрыва функции, точки разрыва
первой производной, точки разрыва второй производной, а также
промежутки, на которые эти точки делят область определения в
порядке возрастания.
x
y
y
,
y
y
(-∞,-5)
+
_
-5
0
(-5,-4)
_
-4
-∞ -∞
(-4,-3)
_
-3
0
(-3,+∞)
+
_
_
-∞ +∞
+
+
+
8. Строим график функции.
Из таблицы видно, что x  5 - точка сильного локального
4 52  15 5
максимум функции, значит ymax 
 5 . Имеем
5 5  4
точку, через которую проходит график функции  5,5 . Точка
x  3 - точка сильного локального минимума (см. таблицу), зна4 32  15 3
чит
ymin 
 1,8 . Имеем ещё одну точку
5 3  4
 3,1,8.
Начинаем строить график с точек, через которые проходит
график: это точки пересечения с осями координат 0,0 и
 15 
  ,0  , точки экстремума  5,5 и  3,1,8. Далее, проводим
 4 
на плоскости Оxy вертикальную асимптоту x  4 и невертикаль4
1
ную асимптоту y  x  . Затем в каждом промежутке непре5
5
рывности плавно соединяем полученные точки графика, следя за
тем, что точки графика неограниченно близко приближаются к
наклонной асимптоте при возрастании аргумента по абсолютной
величине, и неограниченно близко приближаются к вертикальной
асимптоте, уходя неограниченно вверх или вниз.
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
10 9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x