Численное моделирование поведения защитных железобетонных конструкций АЭС при падении самолета

Численное моделирование поведения защитных железобетонных
конструкций АЭС при падении самолета
к.т.н. В.И. Голяков
ОАО «Атомэнергопроект», Москва, Россия
Существующие отечественные и зарубежные нормы по проектированию АЭС
предусматривают обязательный
учет воздействия, вызванного падением самолета.
Устойчивость функционирования при ударе самолета должна обеспечиваться для
реакторного отделения, хранилищ свежего топлива и ряда других объектов на территории
станции. Необходимый уровень защиты достигается использованием монолитных
железобетонных ограждающих конструкций.
В настоящей работе представлена методика «Удар» для численного расчета напряженнодеформированного состояния железобетонных конструкций на заданный динамический
импульс воздействия. Конструкция рассматривается в рамках трехмерного метода конечных
элементов с явной схемой интегрирования по времени. Используются конечные элементы
типа «гексаэдр» с восемью узловыми точками и восемью точками интегрирования по объему
КЭ и типа «тетраэдр» с четырьмя узловыми точками и одной точкой интегрирования по
объему КЭ.
Создание геометрии объекта, сетки армирования, генерация конечных элементов,
задание нагрузки и граничных условий для численной модели производится при помощи
программы FEMAP. Эта же программа используется для трехмерной визуализации
результатов расчета после их выполнения в программе «Удар».
Математическая модель железобетона [1] учитывает неупругое деформирование бетона
при сжатии и сдвиге, явное трещинообразование в зоне растяжения, дискретное
расположение стержней армирования в бетоне.
Построение модели основано на принципе разделения механизмов динамического
деформирования бетона.
Рассматриваются следующие механизмы деформирования [2]:
 механизм упругого деформирования бетона;
 механизм вязкопластического деформирования с накоплений пластических
деформаций и повреждений бетона при сжатии и сдвиге;
 механизм неупругого уплотнения бетона от гидростатического сжатия;
 механизм накопления повреждений с образованием макротрещин при
растяжении.
На рис. 1 приведены четыре схемы исчерпания сопротивляемости бетонного элемента.
При силовом воздействии может произойти полное разрушение бетонного элемента (рис. 1а)
или разделение его трещинами на части (рис. 1б,в,г), которые еще могут воспринимать
определенным образом ориентированные по отношению к трещинам напряжения.
Рис. 1. Схемы исчерпания сопротивляемости бетонного элемента
силовым воздействиям
Схема 1 (рис. 1а) - соответствует полному разрушению элемента по всему объему,
вследствие действия трехосного, двухосного и одноосного сжатия. При этом накопления
повреждений в бетоне происходит постепенно, а разрушенный элемент из дальнейшей
работы конструкции исключается.
Схема 2,3,4 (рис. 1б,в,г) - соответствует образованию от растягивающих напряжений
одной (см. рис. 3.1а), двух (см. рис. 3.1б) или трех (см. рис. 3.1в) взаимно ортогональных
трещин. После образования трещины бетонный элемент в перпендикулярных к площадкам
направлениях не может воспринимать растягивающих напряжений. Однако возможна его
работа на сжатия и сдвиг, с ограничением касательных напряжений.
В соответствии с принципом разделения процессов деформирования бетона полные
деформации представляются в виде суммы следующих слагаемых
 е  р k t
(1)
где - e - упругие деформации; p - пластические деформации;
k - компрессионные необратимые деформации, обусловленные закрытием микропор;
t - деформации трещинообразования, включающие в себя как необратимую часть
(пластические) tp деформаций, связанных с процессами образования трещин, и обратимую
часть te деформаций, обусловленных раскрытием, закрытием и относительным сдвигом
берегов трещин.
Рассмотрим процесс деформирования и накопления пластических деформаций и
повреждений в бетоне при сжатии и сдвиге физическая природа которых связана с
образованием и развитием микротрещин в теле бетона [3]. В модели описание данного
механизма основывается на соотношениях теории пластического течения с кинематическим
упрочнением на допредельном участке деформирования и разупрочнением на нисходящей
ветви. При этом снижение напряжения на запредельном участке деформирования
происходит только за счет выключения из работы некоторого количества связей, вследствие
накопления повреждений
Здесь и в дальнейшем при записи физических соотношений все напряжения и
прочностные параметры полагаются нормированными на прочность при одноосном сжатии.
Напряжения растяжения положительные, а сжатия отрицательные.
Условие прочности в области одно-, двух-, трехосном сжатии описывается уравнением
вида:
Ф( ij )  Т  Fm ( 0 , )
(2)
где  0 - гидростатическое давления  0  1/ 3 ii ;
Т - интенсивность касательных напряжений Т  J ;
J - второй инвариант дивиатора тензора напряжений
J  1 / 2 Sij Sij ; Sij   ij   0 ij
;
 - угол вида напряженного состояния
 3 3 J3 
;
3/ 2 
2
J


  1 / 3ar cos
J3 - третий инвариант дивиатора тензора напряжений J 3 
1
S ij S ik S kj ;
3
Fm ( 0 ,  )  кривая поверхности прочности
Fm ( 0 ,  )  Fm ( F1 ( 0 ), F2 ( 0 ),  ) .
Поверхность прочности в пространстве главных напряжений 1, 2, 3 (рис. 2)
представляет собой форму усеченного конуса, сечение которой девиаторной плоскостью
имеет вид треугольника со скругленными углами. Для наглядности ее удобно представить в
координатах нормального 3 0 , касательного
состояния  .
2Т напряжений и угла вида напряженного
Рис. 2. К описанию поверхности прочности
Поверхность состоит из 6 одинаковых частей (лепестков) расположенных между  =0 и
 =60 и симметрична относительно главных осей. В качестве направляющей выступает
девиаторная кривая Fm (см. рис. 2б) которая является функцией Т от  . Направляющими
являются меридиональные кривые Т=F(0) . Каждому  соответствует своя меридиональная
кривая F. Линии F1(0) при  =60 и F2(0) при  =0 называются главными и являются
базовыми кривыми для построения критерия прочности.
Кривая
F1(0) проходит
через
реперную
точку одноосносного сжатия
(  1  1;  3   2  0; T  1/ 3,  0  1/ 3 )
и аппроксимирует результаты трехосных
испытаний бетона при  1   2   3 , а кривая F2(0) проходит через точку двухосного
(  1  R2 ;  2  R2 ;  2  0; T  R2 1 / 3,  0  2 / 3R2 ) и
аппроксимирует результаты трехосных испытаний бетона при  1   2   3 . Девиаторной
кривой обеспечивается согласование с экспериментальными данными для других видов
напряженного состояния. В настоящее время исследователями предложены различные
варианты для задания функций девиаторной кривой. Их анализ показывает что, наилучшего
согласования с экспериментальными данными удается достичь при использовании критерия
Вильяма-Варнке [4]:
A  B( A( 2  1)  B 2 )1 / 2
Fm ( 0 , )  F1 ( 0 )
A 2  B 2
,
(3)
3 
2
2
A  F1 ( 0 )  F2 ( 0 ) ; B  2 F2 ( 0 )  F1 ( 0 ) ;  
3 2
равнокомпонентного
сжатия
где   параметр Надаи–Лоде связанный с углом вида напряженного состояния
соотношением    3ctg (  4 / 3 ) .
Выражения для меридиональных кривых прочности запишем виде:
a  b
F1 ( 0 )  1 1 0 ;
1  c1 0

 a2  b2 0 при  0   R2 ,
(4)

F2 ( 0 )  
 a3  b3 0
при  0   R2
 1 c 
3 0

где R2 - относительная прочность бетона при двухосном равнокомпонентном сжатии;
ai, bi, ci – безразмерные константы прочности, при этом задаются а1, с1, а2, с3, а остальные
константы определяются исходя из непрерывности кривой F2 и ее первой производной, а
также обязательного прохождения кривыми F1 и F2 через реперные точки (точку одноосного
сжатия для – F1 , двухосном равнокомпонентного сжатия для F2).
Условие текучести с изотропным упрочнением и разупрочнением записывается в виде:
(5)
f  J / F (q, 0 , )  1
Статическая поверхность текучести f  F (q,  0 ,  ) подобна поверхности прочности и
описывается соотношениями (2) и (3). При этом уравнения меридианных кривых
Fz (q,  0 )  (  60 0 ,  1   2   3 )
и
определяется
F1 (q,  0 )  (   0 ,  11   22   33 )
следующим образом.
(6)
Fi (q,  0 )  (ai q  bi 0 ) /(1  ci 0 / q) ,
где ai, bi, ci - константы прочности бетона, q - параметр упрочнения (разупрочнения)
характеризующий уровень достигнутых напряжений по отношению к максимальной
прочности, для одноосного сжатия q = /Rb.
Пластическое деформирование, имеющее место при f>0, сопровождается либо
увеличением параметра q от qу (предел упругости) до qm = 1, либо снижением его значения
от qm = 1 до qe = const (где qe – предел остаточной прочности).
Значения предела упругости qу, задающего начальное положение поверхности текучести,
принято qу = 0,40,5, что физически приблизительно соответствует нижней границе
микротрещинообразования в бетоне. При q = qm = 1 статическая поверхность текучести в
области одно-, двух- и трехосном сжатии совпадает с поверхностью прочности. Параметр qе определяет нижнее положение поверхности текучести на участке запредельного
деформирования, значение. Отметим, что экспериментальные данные по запредельному
деформированию носят противоречивый характер. В большинстве опубликованных работ на
диаграммах деформирования - приводится нисходящая ветвь деформирования или
показывается ее начальный участок. Хотя и существует понятие «остаточной прочности»,
физически соответствующее полному разрушению бетона и превращению его в несвязанную
раздробленную среду, однако, в нормах стран ЕС и рекомендациях НИИЖБ принято за
критерий разрушения бетона считать достижения деформациями бетона значений
соответствующих уровню напряжений на нисходящей ветви диаграммы в диапазоне 0,30,75
от максимальной прочности.
Параметр упрочения (разупрочнения) принят как функция от некоторой скалярной
величины c   dc , характеризующей уровень накопления пластических деформаций сдвига
и принимающей значения (рис. 3):
0<c<1 – на участке упрочения;
1<c<2 – на запредельном участке деформирования.
Рис. 3. К описанию пластических деформаций и заданию
параметра упрочнения
При этом величина dc представляет собой отношения приращения пластических
деформаций сдвига к их предельным значениям для данного участка деформирования.

 p dt
при
с 1

 mp ()

dc  
(7)
p
p



dt



при 1  c  2
p
p
p
  e ()   m ()  e ()
где p - интенсивность скорости пластических деформаций сдвига:
 p  4 J ()  (2eijp eijp )1/ 2
eijp   ijp   0p ij ;
 0p  1 / 3 ijp
 mp ,  ep () - предельные значения интенсивности пластических деформаций, зависящие
от вида напряженного состояния.
Следует отметить, что такой подход к заданию параметра упрочнения и разупрочнения
позаимствован из моделей проф. Ю.Л. Голды [2], где аналогичные процедуры производятся
с работой пластического деформирования.
Выбор функции q(c) основан на анализе экспериментальных диаграмм - при
пропорциональном нагружении бетона в области одно-двухосного сжатия. Помимо
экспериментальных данных использовались также рекомендованные европейскими нормами
эталонные кривые для одноосного сжатия. Судя по рассматриваемым данным, функция q(c)
на участке упрочнения существенно не линейна, а на участке запредельного деформирования
близка к линейной зависимости. При этом непосредственный переход от восходящей ветви к
запредельному деформированию должен быть плавным. Для получения гладких кривых  ()
необходимо и достаточно, чтобы сама функция и ее первая производная были непрерывны, а
на границах C = 0 и C = 1 производная принимала следующие значения:
dq
dq
  ; при С=1
0.
(8)
dc
dc
Этим требованиям отвечает функция вида (рис. 4):


if C  1
q y  1  q y 2C  C 2
q(С )  
(9)
1.25




1

1

q
C

1
if
C

1
e

При описании динамического деформирования будем исходить из предпосылки, что
скорости пластических деформаций являются функцией от уровня напряжений qdn
избыточных по отношению к статическому q.
Динамическое условие текучести описывается уравнением вида:
T – F(qdn,,)=0
(10)
Скорости пластических деформаций определяются следующим образом:
 S

(11)
ijp   p  ij  (c,  ) 
2 J

где  p - скорости интенсивности деформаций сдвига.
при
f 0
0
 
p

   b  qdn
(12)

 1
при
f 0
  q


при С=0



f =T – F(q,,)
Здесь отношение qdnq/q численно равно так называемому коэффициенту динамичности.
Ф – функция вязкозкопластичности, являющаяся обратной функцией коэффициента
динамического упрочнения.
При численной реализации параметр qdn определяется следующим образом (рис. 4):
f
qdn 
q ;
f  T  F ( q,  0 ,  )
(13)
F (q,  0 ,  )
q
Рис. 4. К описанию динамического деформирования бетона
Ниже, на рис. 5, приведены сопоставления получаемых результатов по коэффициенту
динамического упрочнения с экспериментальной кривой [5]. Видно, что численные данные
хорошо совпадают с экспериментальными результатами. Небольшие отличия наблюдаются
только в диапазоне высоких скоростей деформаций.
Коэффициент динамичности
1.8
Экспериментальная
кривая
1.6
Кdn
Результаты численных
расчетов
1.4
1.2
1
0.0001
0.001
0.01
 c
-1
0.1
1
10
Рис. 5. Сравнение результатов расчета коэффициента динамического упрочнения
с экспериментальными данным
Остановимся на описании накопления необратимых деформаций второго рода k,
физическую природу которых связывают с процессами закрытия и разрушения микропор
бетона от всестороннего сжатия.
Описания данного процесса базируется на теории пластического течения и подходе
Пэжины [6] к материалам чувствительным к скорости деформирования. В пространстве
напряжений вводится плоскость текучести перпендикулярная гидростатической оси (рис. 6).
Условие текучести записывается в виде
0
fк 
 1;
(14)
Rk (1   k ( 0к ))
где Rk - константа модели, характеризующая начало неупругого уплотнения материала
Rk=(0.5 -0.7)Rb.
Рис. 6. К описанию механизма неупругого объемного деформирования бетона
Функция упрочнения  k ( 0к ) задает кривую напряжения - деформаций при
гидростатическом сжатии (рис. 6)
 k (сk )  ak cк0.5  bk cк2 ; cк  1000 0к
Скорости необратимых компрессионных деформации вычисляются следующим образом:
ijk  0k  ij  H k J 0.5 Sij 
(15)
0k   kb  ( f k )
Остановимся на описании механизма образования макротрещин от растяжения и
деформирования бетона с трещинами. До начала нагружения в бетоне трещины отсутствуют,
а деформации  ijt =0.
При действии растягивающих или смешанных напряжений типа «сжатие-растяжение» в
каждом элементарном объеме (трехмерном КЭ, слое бетона пластины или оболочки) может
образовываться семейство макротрещин трех взаимно перпендикулярных, но произвольно
ориентированных в пространстве плоскостях.
В модели стадия образования макротрещин рассматривается как процесс накопления
повреждений с постепенным выключением из работы на растяжение некоторого количества
волокон.
При этом деформации  ijt разделяются на необратимую  ijtр часть связанную с процессом
образования трещин и обратимую часть  ij обусловленную раскрытием и относительным
сдвигом берегов трещин.
Условие текучести (процесса образования трещин) при растяжении определяется
неравенством:
f 33  ~33 / Rbt  qt (c) f t (~33tp )  0 , (16)
где Rbt – прочность бетона при одноосном растяжении;
f t (~33tp ) - функция, задающая вид статической диаграммы деформирования при
одноосном растяжении:
1
при
 33tp   mtp ;

f t (~33tp )  
(17)
~33tp   mtp
p
tp
tp
1

при





.
m
33
e
tp
tp

e m

tе
 mtp   btm  Rbt / Eb,c ;
 etp   bte  Rbt / Eb,c ;
btm – деформации бетона, соответствующие концу участка текучести;
bte – предельное значение диаграммы, соответствующее образованию трещин;
qt(c) – функция, учитывающая снижение сопротивления бетона растягивающим усилиям
вследствие напряжения повреждений (микротрещин) от сжимающих напряжений:
1
при с  0.2


2
(18)
qt (c)  1  4(с  0.2) 0.2  c  1

0
c 1

Для определения скоростей необратимых деформаций ~ tp
воспользуемся
33
вязкопластическим подходом [6].
 f 33 t
tp
~

 33   bt 
 0
при
при
f 33  0;
f 33  0.
(19)
Ниже, на рис. 7 показано сопоставление полученной в результате расчета кривой
динамического упрочения K dp (  ) при растяжении с зависимостью, предложенной в [5]
Ю.В. Баженовым, аппроксимирующей экспериментальные данные.
Численные расчеты проводились при нагружении с постоянной
деформирования   const .
скоростью
Коэффициент динамичности
3
Кdn
Экспериментальная
кривая
2.75
2.5
Результаты численных
расчетов
2.25
2
1.75
1.5
1.25
1
0.0001
0.001
0.01
 c
-1
0.1
1
10
Рис. 7. Сравнения результатов расчета коэффициента динамичности
при растяжении с экспериментальной кривой
Из сопоставлений видно, что в диапазоне скоростей   10 4  1 c 1 результаты хорошо
соответствуют друг другу. Аналогичным образом при ~22  0 и ~11  0 осуществляется
процесс образования трещин и накопления необратимых деформаций по двум другим
~11tp . Условия сдвига (проскальзывания) берегов макротрещины
направлениям ~22tp и
относительно друг друга определяется неравенством вида:
f 3  (   cy ) / Rbt  0, (20)
где  - касательные напряжения в плоскости трещины;cy – прочность контактов берегов
трещин.
Геометрия стержней армирования задается в препроцессоре и является кусочнолинейной. Стержни разбиваются на одномерные конечные элементы и они полностью
сцеплены с окружающим бетонным телом, однако, это сцепление ограничено некоторой
предельной сдвиговой прочностью.
Вклад усилий в узле арматуры i в значения узловых сил конечного элемента
вычисляется, например для глобальной компоненты х, по формуле:
k
Px   Fxi N j ( i , i ,  i ) ,
(21)
j 1
где Fxi – усилие в i-ом узле арматурного стержня;
Nj – функции формы конечного элемента;
i ,i ,  i - локальные координаты узла i стержня арматуры в конечном элементе
бетона;
k – количество узловых точек в конечном элементе бетона.
В качестве иллюстраций применения численной методики «Удар» ниже приведены ряд
примеров расчета защитных конструкций АЭС при падении самолета.
На рис. 8 показана защитная оболочка АЭС, радиус которой составляет 25м, а толщина –
0,5м. Расчет производится на падение самолета легкого класса – «Lear Jet». На рис. 9
приведен график импульса воздействия. Пятно воздействия площадью 12м2 находится в зоне
сопряжения сферической и цилиндрической частей защитного купола реакторного
отделения.
Рис. 8. Расчет защитного купола АЭС на падение самолета Lear Jet
1.2x10
7
P, н
1.0x107
8.0x10
6
6.0x10
6
4.0x106
2.0x10
6
0.0x100
t, c
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
Рис. 9. График нагрузки в пятне воздействия при падении
самолета типа «Lear Jet»
На рис. 10 представлен график изменения во времени прогиба оболочки в центре пятна
нагружения. Максимальный прогиб был достигнут в момент времени t = 85мс – 48мм. Рис.
11 показывает изополя меридиональных деформаций оболочки при t = 85 мс. Видны зоны
трещинообразования на внутренней части конструкции. Максимальные деформации
растяжения составили 0,29%, а сжатия – 0,12 %.
20
W, мм
0
-20
-40
-60
t, c
0
0.04
0.08
0.12
0.16
Рис. 10. Изменение во времени прогиба оболочки при падении самолета Lear Jet.
Рис. 11. Деформации в защитной оболочке при падении самолета
Lear Jet (t = 85 мс).
На рис. 12 показан фрагмент большепролетной железобетонной плиты толщиной 1,5м с
проемом. По оси y проходит плоскость симметрии, а на остальных внешних границах
приняты условия защемления. Расчет производится на воздействие при падении самолета
типа Phantom массой 20т (рис.13). Пятно воздействия площадью 7м2 находится вблизи
проема.
Рис. 12. Фрагмент защитной конструкции с проемом.
F, МН
120
80
40
t, мс
0
0
20
40
60
80
100
Рис. 13. Изменение во времени нагрузки при падении военного самолета Phantom RF-4E.
Рис. 14 демонстрирует распределение по объему конструкции параметра накопления
ущерба в бетоне С (см. формулу (7)). Превышение данного параметра величины 1 указывает
на выход на ниспадающую ветвь деформирования, а превышение величины 2
свидетельствует о наличии зон разрушения бетона. В рассматриваемом случае мы наблюдем
зоны сдвигового разрушения бетона в угловых зонах возле проема – областей концентрации
напряжений в конструкции.
Рис. 14. Изополе параметра поврежденности бетона конструкции в момент
максимального прогиба.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Список литературы
Голяков В.И., Обизюк В.А. «Математическое моделирование деформирования бетона при
интенсивных динамических нагрузках». Сборник научных трудов 26 ЦНИИ МО РФ,
выпуск II/2, - М.: 26 ЦНИИ, 2006, с.56-77.
Голда Ю.Л. «Математическое моделирование процессов динамического деформирования
железобетонных конструкций при действии интенсивных динамических нагрузок».//НТС
«Некоторые проблемы механики инженерных сооружений и конструкций», - М.:26
ЦНИИ, 1998, с.126-186.
Берг О.Я. «Физические основы теории прочности бетона и железобетона». - М.:
Стройиздат, 1961, 95с.
Willam K. J. and Warnke E. P. «Constitutive model for the triaxial behavior of concrete», Italy,
Int. Assoc. Bridge Struct. Eng. Proc. Vol.19, pp.1-30, 1975.
Баженов Ю.М. «Бетон при динамическом нагружении». - М.: Изд. литературы по
строительству, 1968, 271с.
Пэжина П. «Основные вопросы вязкопластичности». - М.: Мир, 1968, 176с.