Применение гибридных методов к решению

ПРИМЕНЕНИЕ ГИБРИДНЫХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА
Рамиль Мирзоев1, Галина Мехтиева2 , Вагиф Ибрагимов3
1, 2, 3
Бакинский Государственный Университет, Баку,
Азербайджан
1
[email protected], 2,3 [email protected]
Как известно, немалая часть научно-технических задач
сводится к решению интегральных уравнений с переменными
границами. Приближенными решениями таких уравнений
ученые занимаются давно. Одна из первых работ в этой области
принадлежит В. Вольтерра, который является основоположником в исследовании и применении интегральных уравнений с
переменной границей, поэтому эти уравнения названы
уравнениями Вольтерра в его честь. При численном решении
таких уравнений в основном используются разные варианты
метода квадратур. Здесь, к численному решению интегральных
уравнений Вольтерра применяется конкретный одношаговый
метод типа гибридных.
Введение. Рассмотрим следующее нелинейное интегральное уравнение Вольтерра второго рода:
x
y ( x)  f ( x)   K ( x, s, y ( s))ds, x [ x0 , X ],
(1)
x0
здесь достаточно гладкие функции f (x) , K ( x, s, y) заданы на
отрезке [ x0 , X ] и в области G  {x0  s  x  X , y  a} , соответственно, которые считаются известными. Предполагаем, что
интегральное уравнение (1) имеет единственное непрерывное
решение, определенное на отрезке [ x0 , X ] . Обозначим это
решение через функцию y (x) и рассмотрим нахождение её
приближенных значений. С этой целью отрезок [ x0 , X ] с
помощью постоянного шага 0  h разбиваем на N равных
частей и точки разбиений определяем в виде: xm  x0  mh
(m  0,1,2,..., N ) . Приближенные значения функции y (x) в точ-
ках xm (m  0,1,2,..., N ) обозначим через y m , а точные через
y ( xm ) .
Классическим методом решения интегральных уравнений
(1) является метод квадратур, который в одном варианте можно
написать в виде (см. напр. [1], [2]):
n
y n  f n  h ai K ( xn , xi , yi ) (n  0,1,2,..., N ),
(2)
i 0
здесь f n  f ( x n ), ai (i  0,1,..., n) – коэффициенты формулы
квадратур. Как следует из (2) с увеличением значений величины
n , соответственно увеличивается число обращений к вычислению ядра K ( x, s, y(s)) . Для сохранения на каждом шаге количества вычислительных работ, при решении интегральных
уравнений (1), в [3, 4] предложен многошаговый метод с постоянными коэффициентами, имеющий следующий вид:
k
k
i 0
i 0
k
k
 i yni   i f ni  h i( j ) K ( xn j , xni yni ),
(3)
j 0 i 0
здесь коэффициенты  i , i( j ) (i, j  0,1,2,..., k ) – некоторые
действительные числа, причем  k  0 , которые определяются из
однородной системы линейно-алгебраических уравнений.
Обычно, в теории численных методов исследуются одношаговые и многошаговые методы, каждый из которых, имеет
свои преимущества и недостатки. Учитывая отмеченное, ученые
предложили построить методы на стыке этих направлений,
которые сохраняли бы лучшие свойства одношаговых и
многошаговых методов и назвали их гибридными. Поэтому,
здесь попытаемся применить к численному решению уравнения
(1) гибридные методы.
1. Построение гибридного метода для решения
интегральных уравнений типа Вольтерра.
Рассмотрим специальный случай, когда функция
K ( x, s, y(s)) не зависит от аргумента x и обозначим её через
F (s, y)  K ( x, s, y) . Тогда из уравнения (1) можем написать
y ( x)  f ( x)  F ( x, y ( s )), y ( x0 )  f ( x0 ) .
(1.1)
Существует целый класс гибридных методов для решения
задачи (1.1). Один из них имеет следующий вид (см. напр. [5]):
y n1  y n  f n1  f n  h(3F ( xn  h / 3, y n1 / 3 )  F ( xn  h, y n1 )) / 4, (1.2)
который является представителем типа одношаговых и имеет
степень точности p  3 . Для этого покажем, что применение к
нахождению численного решения уравнение (1) методом (1.2),
возможно. Используя теорему Лагранжа можно написать:
K ( xn 1 , s, y ( s ))  K ( xn , s, y ( s))  hK x ( n , s, y ( s )),
где x n   n  x n 1 .
Следовательно, можем написать:
xn
xn
x0
x0
 ( K ( xn1 , s, y(s))  K ( xn , s, y(s)))ds  h  K x ( n , s, y(s))ds.
Учитывая условия наложенные на функцию K ( x, s, y(s))
получаем, что
xn
 K  ( x, s, y(s))ds  M .
x
x0
Тогда можем написать
xn
h  K x ( n , s, y ( s ))ds  O(h).
(1.5)
x0
Если учесть полученное в равенстве (1.4), то можно написать
следующее:
x n 1
y n 1  y n  f n 1  f n 
 K (x
n 1
, s, y ( s ))ds .
(1.6)
xn
Интеграл, который заменили малой величиной первого
порядка по h , можно заменить малой величиной высокого
порядка по h с добавлением промежуточной точки при
исследовании разности функции y (x) , например, в следующей
форме:
y ( xn 1 )  2 y ( xn 1 / 2 )  y ( xn ) .
Таким образом, получили, что если при оценке первого
интеграла участвующего в (1.4) применим (1.8) и повторим
выше описанное, то интеграл заменяется величиной второго
порядка имеющей следующий вид:
Здесь метод (1.12) является методом Эйлера, а
соотношение (1.13) является методом трапеций и их вместе
можно назвать методом Рунге-Кутта второго порядка. Метод
(1.14) построен для вычисления приближенного значения
величин y ( xn  h / 3) , который можно заменить другим методом,
при этом нужно учесть точность метода (1.15). Отметим, что все
методы участвующие в составе метода прогноза-коррекции
устойчивы и поэтому сходимость метода (1.12)-(1.15) не
вызывает сомнений (см. [6]).
Теперь
построим
алгоритм
для
использования
представленного метода прогноза-коррекции, отметим, что в
следующем алгоритме мы будем означать начальное значение
y ( x0 ) через f 0  f ( x0 ) .
ЛИТЕРАТУРА
[1] G. Eason, B. Noble, and I. N. Sneddon, “On certain integrals of
Lipschitz-Hankel type involving products of Bessel functions,”
Phil. Trans. Roy. Soc. London, vol. A247, pp. 529–551, April
1955. (references)
[2] J. Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, 3rd
ed., vol. 2. Oxford: Clarendon, 1892, pp.68–73.
[3] K. Elissa, “Title of paper if known,” unpublished.
[4] R. Nicole, “Title of paper with only first word capitalized,” J.
Name Stand. Abbrev., in press.
[5] Y. Yorozu, M. Hirano, K. Oka, and Y. Tagawa, “Electron
spectroscopy studies on magneto-optical media and plastic
substrate interface,” IEEE Transl. J. Magn. Japan, vol. 2, pp.
740–741, August 1987 [Digests 9th Annual Conf. Magnetics
Japan, p. 301, 1982].
[6] M. Young, The Technical Writer's Handbook. Mill Valley, CA:
University Science, 1989.